Consevação energia mecânica

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Consevação energia mecânica

  1. 1. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO Paulo Jorge Carvalho1. Introdução Pretendemos com este trabalho verificar a conservação da energia mecânica estudando omovimento de uma esfera rígida que rola por uma calha inclinada. A ideia deste trabalho surgiu com a realização da actividade experimental “Salto para a piscina”,aquando do estudo do lançamento horizontal de projécteis no décimo primeiro ano de escolaridade.Durante as nossas pesquisas, constatámos que, além do estudo do lançamento de projécteis, também serealizava a determinação da energia cinética de uma esfera à saída de uma calha através do enunciado doprincípio da conservação da energia. Inevitavelmente, na determinação da velocidade de saída da esferarecorrendo à energia cinética determinada através do enunciado do princípio da conservação da energia,os alunos irão determinar sempre um valor superior ao medido experimentalmente, explicando essadiferença como consequência da existência da força de atrito. Para provarmos que tal não é verdade, e queexiste conservação da energia mecânica desde que a esfera apenas tenha movimento de rolamento, iremosvariar a inclinação de uma calha de 4º em 4º, desde uma inclinação inicial de 4º até 56º. Para cada ânguloestabelecido mediremos a energia mecânica no início e no fim da calha. De referir que a calha terá que serlisa e indeformável, pois, como já vimos em alguns casos, são utilizadas calhas de cortinados no referidoestudo. Esta situação resulta numa alteração do raio de rotação da esfera, pelo que não se deve realizareste estudo com esse tipo de calhas. Da observação e estudo dos resultados concluímos que a conservação da energia mecânica severifica até um ângulo limite.2. Fundamentação Teórica A fundamentação teórica que a seguir se explana tem por base o estudo apresentado por Almeida,Maria José B. Marques de, em Preparação de Professores de Física – Uma contribuição científico-pedagógica e didáctica, Almedina (2004) – Coimbra, capitulo 5. Considerações Sobre Energia. Consideremos uma esfera infinitamente rígida e que rola por um plano inclinado. A figura 1 descrevea referida situação.
  2. 2. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO Hi Hf Figura 1. Situação em que uma esfera infinitamente rígida rola por um plano inclinado Atendendo a que o sistema em estudo é a esfera, a fronteira do sistema é a sua superfície. As forças exteriores aplicadas sobre a esfera são: o peso do corpo , cuja componente na direcção domovimento realiza um trabalho positivo, dado por ; a força normalaplicada pelo plano sobre a esfera, que não realiza trabalho por ser perpendicular ao deslocamento e aforça de atrito . Caso não houvesse atrito, a esfera escorregaria pelo plano inclinado. Como no movimento dedeslizamento o sentido da força de atrito é o de contrariar o movimento da esfera, o seu sentido apontariana direcção contrária ao do movimento, ou seja, para cima. Como o momento desta força ( ), é não nulo, visto que a linha de acção desta força não passa pelo centro de rotação da esfera, fará comque a esfera role no sentido dos ponteiros do relógio, deslocando-se simultaneamente o seu centro demassa no sentido descendente. Se o movimento for de rolamento puro, isto é, sem deslizamento, a força de atrito realiza trabalhonulo pois quando o ponto de aplicação de se move, esta força passa a estar aplicada noutro ponto.Como não há deslocamento do ponto de aplicação da força de atrito sem que ela deixe de estar aplicadanesse ponto. Como resultado, a força de atrito não realizará trabalho. Recorrendo ao enunciado do princípio da conservação da energia podemos escrever a seguinteequação matemática: (1.2)visto que não há trocas de calor nem de radiação entre o sistema e o seu exterior, então ,e como se pode considerar a variação da energia cinética interna e da energia potencial internapraticamente nula, só haverá alteração da velocidade do centro de massa, , e alteração da velocidadeangular , pelo que a equação (1.2) pode escrever-se da seguinte forma: Página 2 de 11
  3. 3. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO (1.3)como só o peso do corpo é que realiza trabalho e este é dado por (1.1), teremos: (1.4)então (1.5)2.1. Determinação da Energia Mecânica da esfera A energia mecânica em cada instante é a soma da energia cinética do corpo com a sua energiapotencial associada ao eventual campo de forças conservativas. 2.1.1. Determinação da energia mecânica da esfera inicial. No inicio do movimento, a esfera será sempre abandonada sem velocidade, pelo que a sua energia mecânica inicial será dada por: Emecânica = Ecinética + Epotencial (1.6) como Ecinética = 0 J pelo que Emecânica = Epotencial = (1.7)Para o cálculo da HinicialCM faremos o seguinte de acordo como o esquematizado na figura 1: (1.8)onde é a inclinação do plano. Página 3 de 11
  4. 4. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO2.1.2. Determinação da energia mecânica final. Para o cálculo da energia mecânica no ponto escolhido para o fim do plano inclinado, é a própria energia cinética do corpo neste ponto, pelo que, (1.9)Emecânica = Ecinética =sabendo que e que , podemos reduzir a equação anterior à seguinte: (1.10)Emecânica =3. Trabalho Laboratorial3.1. Material Calha metálica, célula fotoeléctrica, CBL2, máquina de calcular gráfica com o programa EasyData2.00, esfera rígida, aparelho que possibilite a medição da inclinação da calha, fita métrica, craveira,balança digital. Nesta actividade experimental utilizámos uma esfera rígida de massa 0,01632 kg e dediâmetro 0,0155 m. O comprimento da calha (x) é m. O ângulo foimedido com o auxílio de um transferidor acoplado ao plano que contém a calha e de um fio-de-prumo.3.2. Esquema do trabalho laboratorial Página 4 de 11
  5. 5. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO Figura 2.3.3. Procedimento do trabalho laboratorial x B 1- Faça a montagem esquematizada na figura 2. 2- Meça o diâmetro e a massa da esfera. 3- Coloque uma célula fotoeléctrica na posição B. Ligue a célula fotoeléctrica à máquina de calcular gráfica no modo de funcionamento adequado, para medir o intervalo de tempo de passagem da esfera. Procedimento para a ligação (TI – 84 Plus Silver Edition) 3.1. Carregue no botão APPS Página 5 de 11
  6. 6. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO3.2. Desloque para baixo através do cursor existente na máquina até encontrar a aplicação EasyData 2.00 seleccionando-a.3.3. Após a selecção da aplicação anterior, seleccione o setup para que possa escolher o sensor pretendido. Neste caso, seleccione a posição três do visor como se mostra nos esquemas seguintes. a. b.3.4. Em seguida, escolha o comprimento do objecto a medir e carregue OK como se mostra na figura.3.5. Após os passos anteriores carregue no iniciar e após o sinal sonoro que o aparelho emite comece o trabalho experimental. Página 6 de 11
  7. 7. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO 4- Defina uma distância entre a posição A e B como indicado na figura. 5- Retire a célula fotoeléctrica do suporte universal e para a respectiva posição B, fixe-a à calha recorrendo, por exemplo a fita-cola. 6- Abandone a esfera da posição A e registe o valor do intervalo de tempo de passagem da esfera na posição B. Repita este procedimento pelo menos quatro vezes. 7- Repita o procedimento 5 e 6 para cada inclinação.4- Resultados Após a conclusão da actividade experimental e depois de seleccionar a opção sair, irá aparecer no visor da máquina a seguinte informação: A informação contida da experiência encontra-se nas listas L1 (número de ensaios realizados), L6 (intervalos de tempo para cada ensaio) e L7 (velocidade em m/s). Para visualizar as listas carregue no menu STAT e irá aparecer o seguinte ecrã: Seleccione a opção 1 para poder visualizar as respectivas listas e os respectivos valores. Percorra as listas com o cursor da calculadora e encontrará na lista L1, número de ensaios realizados; L7, velocidade (m/s) de cada ensaio e na lista L6, o respectivo tempo. Página 7 de 11
  8. 8. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO Após a consulta das listas, através da aplicação TI Connect, transfira as listas para o seucomputador para poder trabalhar com maior facilidade. No nosso trabalho utilizamos o programaMicrosoft Office Excell.Resultados obtidos 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0 44,0 48,0 52,0 56,0 0,0262 0,0176 0,0144 0,0125 0,0112 0,0102 0,0096 0,0088 0,0085 0,0079 0,0071 0,0069 0,0067 0,0064 0,5925 0,8828 1,0783 1,2427 1,3873 1,5188 1,6211 1,7634 1,8267 1,9653 2,1703 2,2328 2,3168 2,4367Tabela 1. – Velocidade do centro de massa da esfera à passagem no ponto B e o respectivomelhor intervalo de tempo para cada inclinação. 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0 44,0 48,0 52,0 56,00,0045 0,0089 0,0133 0,0177 0,0220 0,0262 0,0300 0,0347 0,0383 0,0432 0,0444 0,0475 0,0503 0,05290,0040 0,0089 0,0133 0,0176 0,0220 0,0263 0,0300 0,0355 0,0380 0,0439 0,0537 0,0568 0,0611 0,0676Tabela 2. – Energia mecânica inicial e final para cada inclinação. Para interpretar os resultados finais, tracemos um gráfico de energia mecânica final emfunção da mecânica inicial. Para tal, depois dos dados tratados, inserimos na calculadora desde alista 1 até à lista 6 os seguintes dados:L1 – número de ensaiosL2 – ânguloL3 – tempo médioL4 – velocidade do centro de massaL5 – Energia mecânica inicialL6 – Energia mecânica final Página 8 de 11
  9. 9. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO Figuras exemplificativas das listas. Em seguida, através da operação 2ND – STAT PLOT, definimos para o eixo dos x, a lista L5 e para o eixo dos Y a lista L6. Escolhemos um gráfico de pontos e mandámos traçar o respectivo gráfico. Gráfico 1- Energia mecânica final em função da energia mecânica inicial.5- Análise dos resultados obtidos Da análise do gráfico 1, verificamos que a partir de um determinado ângulo (34º) não existe conservação da energia mecânica. Representando um novo gráfico, e traçando sobre os mesmos pontos uma recta em que a condição é Emf =Emi, verifica-se claramente que os últimos quatro pontos não se ajustam à respectiva recta, porquanto resultam de erros sistemáticos cometidos por nós aquando da realização da actividade Página 9 de 11
  10. 10. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADOexperimental, pois como é óbvio, de acordo com a actividade experimental realizada, a energiamecânica final nunca poderia ser superior à energia mecânica inicial. Gráfico 2 - Energia mecânica final em função da energia mecânica inicial e uma recta que representa a função ideal Emf =Emi. Considerando apenas os primeiros nove valores, e representando sobre estes uma recta Emf = a Emi + b, obtemos o seguinte gráfico: Gráfico 3 - Energia mecânica final em função da energia mecânica inicial e uma recta que representa a função Emf = aEmi + b. Página 10 de 11
  11. 11. C ONSERVAÇÃO DA E NERGIA M ECÂNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO A respectiva função é Emf = 1,019 Emi - 3,836 x 10-4 com R = 0,999, pelo que se verifica que o declive é de aproximadamente 1 e o ponto de intersecção na origem é aproximadamente 0. Como tal podemos concluir que a energia mecânica se conserva para estas inclinações.6- Conclusões Como resultado desta actividade experimental verifica-se que, se não existe conservação da energia mecânica, isso não se deve à força de atrito, pois a mesma não realiza trabalho enquanto a esfera rolar. Verificamos também que, para inclinações pequenas inferiores a 8º e para inclinações superiores a 36º, a nossa actividade experimental não é adequada. No primeiro caso, provavelmente, a componente do peso na direcção do movimento (pequena nestes casos) foi afectada pela resistência ao rolamento. No segundo caso (maiores inclinações), o resultado obtido foi exactamente o oposto do previsto, porquanto a esfera além de rolar também começava a deslizar, pelo que os resultados obtidos para a energia mecânica final deveriam ser inferiores aos da energia mecânica inicial. Uma explicação para os resultados por nós obtidos neste caso será a passagem pela esfera na célula fotoeléctrica com um diâmetro inferior ao real em consequência da elevada inclinação da calha, pelo que obtivemos tempos inferiores aos reais e, consequentemente, energias mecânicas finais superiores. Relativamente aos dados por nós validados, o objectivo de alcançar uma recta que se ajustasse aos pontos com um declive próximo de 1 e que passasse próxima da origem foi alcançado.7- Bibliografia 1- Silva, Wilton Pereira da, Revista Brasileira de Ensino de Física, Vol. 25, no. 4, Dezembro, 2003. 2- Almeida, Maria José B. Marques de, Preparação de Professores de Física – Uma contribuição científico-pedagógica e didáctica, Livraria Almedina – Coimbra (2004). 3- Almeida, Maria José B. Marques de, Fundamentos de Física, Livraria Almedina – Coimbra (1993). Página 11 de 11

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