Fundamentos matematica Elementar

Carmen Lúcia Valgas
Elisabete Ferreira Silva
José Trobia
pONTA gROSSA - PARANÁ
2011
Matemática
Licenciatura em
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Fundamentos da Matemática I

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância - NUTEAD
Av. Gal. Carlos Cavalcanti, 4748 - CEP 84030-900 - Ponta Grossa - PR
Tel.: (42) 3220-3163
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2009
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Colaboradora de Planejamento
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Projeto Gráfico
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Jucimara Roesler
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Juscelino Izidoro de Oliveira Júnior
Osvaldo Reis Júnior
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Thiago Luiz Dimbarre
Thiago Nobuaki Sugahara
Colaboradores de Publicação
Luiz Renato Bittencourt - Revisão
Luan Dione Rein - Diagramação
Paulo Sérgio Schelesky - Ilustração
Colaboradores Operacionais
Edson Luis Marchinski
Joanice Kuster de Azevedo
João Márcio Duran Inglêz
Kelly Regina Camargo
Mariná Holzmann Ribas
CRÉDITOS
João Carlos Gomes
Reitor
Carlos Luciano Sant’ana Vargas
Vice-Reitor
V169f Valgas, Carmen Lúcia
Fundamentos da matemática I./ Carmen Lúcia Valgas,
Elisabete Ferreira Silva e José Trobia. Ponta Grossa : UEPG/
NUTEAD, 2009.
130p. il.
Licenciatura em Matemática - Educação a Distância.
1. Trigonometria. 2. Ciclo trigonométrico. 3. Equaçőes
trigonométricas. I. Silva, Elisabete Ferreira. II. Trobia, José.
III. T.
CDD : 516.24

APRESENTAÇÃO INSTITUCIONAL
Prezado estudante
Inicialmente queremos dar-lhe as boas-vindas à nossa instituição e ao curso que
escolheu.
Agora, você é um acadêmico da Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG),
uma renomada instituição de ensino superior que tem mais de cinqüenta anos de história
no Estado do Paraná, e participa de um amplo sistema de formação superior criado pelo
Ministério da Educação (MEC) em 2005, denominado Universidade Aberta do Brasil
(UAB).
O Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB) não propõe a criação de uma
nova instituição de ensino superior, mas sim, a articulação das instituições
públicas já existentes, possibilitando levar ensino superior público de qualidade
aos municípios brasileiros que não possuem cursos de formação superior ou
cujos cursos ofertados não são suficientes para atender a todos os cidadãos.
Sensível à necessidade de democratizar, com qualidade, os cursos superiores em
nosso país, a Universidade Estadual de Ponta Grossa participou do Edital de Seleção UAB
nº 01/2006-SEED/MEC/2006/2007 e foi contemplada para desenvolver seis cursos de
graduação e quatro cursos de pós-graduação na modalidade a distância.
Isso se tornou possível graças à parceria estabelecida entre o MEC, a CAPES e
as universidades brasileiras, bem como porque a UEPG, ao longo de sua trajetória, vem
acumulando uma rica tradição de ensino, pesquisa e extensão e se destacando também
na educação a distância.
A UEPG é credenciada pelo MEC, conforme Portaria nº 652, de 16 de março
de 2004, para ministrar cursos superiores (de graduação, seqüenciais, extensão e pós-
graduação lato sensu) na modalidade a distância.
Os nossos programas e cursos de EaD, apresentam elevado padrão de qualidade e
têm contribuído, efetivamente, para a democratização do saber universitário, destacando-
se o trabalho que desenvolvemos na formação inicial e continuada de professores. Este
curso não será diferente dos demais, pois a qualidade é um compromisso da Instituição
em todas as suas iniciativas.
Os cursos que ofertamos, no Sistema UAB, utilizam metodologias, materiais e
mídias próprios da educação a distância que, além de facilitarem o aprendizado, permitirão
constante interação entre alunos, tutores, professores e coordenação.
Este curso foi elaborado pensando na formação de um professor competente, no
seu saber, no seu saber fazer e no seu fazer saber. Também foram contemplados aspectos
éticos e políticos essenciais à formação dos profissionais da educação.
Esperamos que você aproveite todos os recursos que oferecemos para facilitar o
seu processo de aprendizagem e que tenha muito sucesso na trajetória que ora inicia.
Mas, lembre-se: você não está sozinho nessa jornada, pois fará parte de uma
ampla rede colaborativa e poderá interagir conosco sempre que desejar, acessando
nossa Plataforma Virtual de Aprendizagem (MOODLE) ou utilizando as demais mídias
disponíveis para nossos alunos e professores.
Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois a sua aprendizagem é o nosso
principal objetivo.

EQUIPE DA UAB/UEPG

SUMÁRIO
PALAVRAS DOs PROFESSO■■ Res 7
OBJETIVOS E ement■■ a 9
Trigonometria no triângulo 11
SEÇÃO■■ 1- Aspectos históricos da trigonometria 12
SEÇÃO 2-■■ Razões trigonométricas no triângulo retângulo 14
SEÇÃO 3-■■ Relações métricas num triângulo qualquer:
leis do seno e cosseno 26
Ciclo Trigonométrico e Funções
Trigonométricas 35
SEÇÃO■■ 1- Ciclo trigonométrico 36
SEÇÃO 2-■■ Funções trigonométricas 48
SEÇÃO 3-■■ Funções trigonométricas inversas 72
Identidades, Transformações e Equações
Trigonométricas 83
SEÇÃO■■ 1- Identidades trigonométricas 84
SEÇÃO 2-■■ Transformações trigonométricas 89
SEÇÃO 3-■■ Equações trigonométricas 97
PALAVRAS FINAI■■ S 115
REFERÊNCIAS■■ 117
NOTAS SOBRE OS AUTO■■ RES 119
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 121■■

PALAVRAS DOs PROFESSOREs
Prezado(a) aluno(a):
Em primeiro lugar queremos cumprimentá-lo por estar iniciando mais uma
disciplina do curso de Licenciatura em Matemática.
Desenvolvemos este livro didático com o cuidado de que você possa avançar
no conteúdo de forma gradativa, de modo que - partindo de conceitos mais simples -
consiga atingir conceitos mais complexos.
Nesta disciplina, vamos abordar um conteúdo de grande importância para a sua
formação profissional: a trigonometria.
A trigonometria ou método trigonométrico é uma maneira de determinar os
elementos incógnitos do triângulo, quando a geometria elementar, sozinha, não é
capaz. A própria palavra trigonometria – do grego: medir triângulos – deixa claro qual
o seu principal objetivo: resolver triângulos.
Durante os seus estudos, anote suas dúvidas e busque esclarecimentos com o
professor tutor sempre que tiver necessidade.
Sinta-se à vontade e bons estudos.

OBJETIVOS E ementa
Objetivo Geral
Possibilitar ao aluno a oportunidade de construir competências e habilidades■■
para investigar, observar, compreender, analisar e obter conclusões dos
principais conceitos da trigonometria e suas aplicações.
Ementa
Trigonometria: razões trigonométricas no triângulo retângulo, relações■■
métricas num triângulo qualquer: leis do seno e cosseno, equações
trigonométricas. Ciclo trigonométrico e as funções trigonométricas. Identidades
trigonométricas. Funções trigonométricas inversas.

FundamentosdaMatemáticaI
11
unidade 1
Trigonometria no triângulo
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Identificar as razões trigonométricas num triângulo retângulo.■■
Resolver problemas aplicando as razões trigonométricas no triângulo■■
retângulo.
Aplicar as leis dos senos e dos cossenos na resolução de problemas.■■
ROTEIRO DE ESTUDOS
SEÇÃO 1 - Aspectos históricos da trigonometria■■
SEÇÃO 2 - Razões trigonométricas no triângulo retângulo■■
SEÇÃO 3 - Relações métricas num triângulo qualquer: leis do seno e cosseno■■
UNIDADEI

UniversidadeAbertadoBrasil
12
unidade 1
PARA INÍCIO DE CONVERSA
Prezado(a) acadêmico(a):
Ao elaborarmos este material tivemos a preocupação de, inicialmente, dar
a você a oportunidade de conhecer um pouco da história da trigonometria, a fim
de facilitar o seu entendimento de alguns porquês de certos conteúdos e conceitos
dentro da trigonometria. Em seguida, você estudará as razões trigonométricas
num triângulo retângulo e as relações métricas num triângulo qualquer, tendo
oportunidade de visualizar e resolver vários problemas práticos.
É importante você ter em mente que a trigonometria tem uma linda história
na evolução da Humanidade, tem como objetivo principal o estudo das relações
entre lados e ângulos de um triângulo e constitui instrumento indispensável na
resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegação, da cartografia e da
topografia.
Durante os seus estudos, nesta unidade, anote suas dúvidas, como de
costume, e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver
necessidade.
Desejamos que você aproveite bem seus estudos.
seção 1
Aspectos históricos da trigonometria
A trigonometria, como os outros ramos da matemática, não foi obra de um só
homem ou nação. Teoremas sobre as razões entre lados de triângulos semelhantes
tinham sido conhecidos e usados pelos antigos egípcios e babilônios. Dada a não
existência, no período pré-helênico, do conceito de medida de ângulo, tal estudo seria
melhor chamado “trilaterometria”, ou medida de polígonos de três lados “triláteros”
do que “trigonometria”, a medida de partes de um triângulo.
Apalavratrigonometriatemorigem,naGrécia,dapalavratrigonos(triângulo)+
metrûm (medida). Etimologicamente, trigonometria significa medida de triângulos.
No entanto, o termo trigonometria apareceu pela primeira vez no livro
“Thesaurus”, de Bartholomeu Pitiscus (1561–1613), publicado em 1613.
Por vezes pensa-se que a origem da trigonometria está exclusivamente
ligada à resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de

13
unidade 1
medidas sobre a superfície da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento
científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu
desenvolvimento como ciência exata viesse a exigir medições e cálculos de grande
precisão. É nesse contexto que o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (180–125 a.C.)
foi considerado o fundador da trigonometria. Foi ele quem introduziu as medidas
sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco
utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na
navegação.
A Hiparco seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria,
como, por exemplo, Ptolomeu (100?–180? d.C.), que expôs em seu livro “O
Almagesto” métodos usados na construção de tabelas trigonométricas, as quais
durante catorze séculos serviram de orientação para os astrônomos.
No século III, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria,
ao introduzirem a trigonometria esférica. O estabelecimento de certas relações que
hoje chamamos fórmulas fundamentais da trigonometria deve-se aos matemáticos
hindus, do século V ao século XII. Dentre eles destaca-se Aryabhata (século VI),
um astrônomo indiano, tendo já nessa altura associado o seno de um ângulo central
à medida da corda correspondente e elaborado também uma tábua de valores do
seno. Matemáticos árabes, depois de traduzirem as obras deixadas pelos hindus,
desenvolveram o estudo das razões trigonométricas em triângulos retângulos e
estabeleceram, para qualquer triângulo, o chamado teorema ou lei dos senos.
Atrigonometria começa a afirmar-se como ciência autônoma a partir do século
XI, quando Al-Biurine reúne todas as demonstrações, quer de origem grega, quer de
origem indiana, até então conhecidas e usadas em trigonometria. Deve-se ainda aos
árabes a introdução dessa ciência na Europa Ocidental. Na Europa, a instituição da
trigonometria como ciência autônoma em relação à Astronomia é iniciada através
da tradução e publicação dos manuscritos clássicos, bem como da elaboração de
uma introdução completa à trigonometria. No século XVI, François Viète (1540–
1603) estabeleceu várias relações trigonométricas, tendo-as associado às soluções de
equações do 3º grau - é a ligação da trigonometria à Álgebra. Viète introduziu novos
teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não retângulos.
Neper e Briggs usaram o cálculo logarítmico para estabelecerem novas fórmulas
trigonométricas (século VII). No século XIX, a trigonometria atinge o seu ponto
máximo, ficando ligada à análise através das séries.

14
unidade 1
Caso você queira ampliar e aprofundar detalhes sobre a História da
Trigonometria, recomendamos a leitura de livros de História da Matemática, citados
na referência.
Você pode também fazer uma pesquisa na internet, em um site de busca,
utilizando, por exemplo, as palavras-chaves “História da Trigonometria”. Com
certeza encontrará varias sugestões de leituras interessantes. É um exercício que
vale a pena fazer!
Bom trabalho!
seção 2
Razões trigonométricas no triângulo
retângulo
Na seção anterior você fez um breve estudo da história da trigonometria.
Nesta seção você estudará as razões trigonométricas num triângulo retângulo, as
quais servirão de embasamento para o estudo das funções trigonométricas.
2.1 Triângulo Retângulo
Você já estudou, no ensino fundamental, que em todo triângulo retângulo o
lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois são chamados
de catetos. Na figura 1.1 abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ângulo Â é reto
(mede 90º), conforme você pode observar:Lembre-se:
triângulo
retângulo é todo
triângulo que
tem um ângulo
reto.
Figura 1.1 - Triângulo retângulo

15
unidade 1
Lembre-se de que,
além do triângulo
retângulo, temos
ainda o triângulo
acutângulo,
quando todos
os seus ângulos
são agudos
(menores que
90º), e o triângulo
obtusângulo,
quando possui
um ângulo obtuso
(maior que 90º).
Os nomes cateto e hipotenusa são usados apenas em triângulos retângulos.
Para esses triângulos devemos recordar ainda o Teorema de Pitágoras: “Em todo
triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
das medidas dos catetos”.
De acordo com a nossa notação, pelo teorema de Pitágoras temos:
2 2 2
a b c= +
Recomendamos que você visite o site http://www.mat.ufg.br/docentes/
jhcruz/ensino/Pitagoras.htm ou o site http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/
trigonom/trigon1/mod114.htm#trig02 para verificar como se demonstra o Teorema
de Pitágoras. Você encontrará várias sugestões de demonstrações interessantes. É
importante que você faça uma análise crítica das demonstrações apresentadas.
É um excelente exercício, que vale a pena fazer!
Bom trabalho!

16
unidade 1
2.2 Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está
associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo
retângulo.
Você sabe responder o que são figuras semelhantes?
Podemos afirmar que duas figuras são semelhantes se possuem lados
correspondentes proporcionais e ângulos homólogos congruentes (ângulos
correspondentes com a mesma medida).
Por exemplo, na figura abaixo, os triângulos retângulos ABC, ADE e AFG
são semelhantes entre si, pois têm dois ângulos congruentes.
Tomando as medidas dos lados desses triângulos retângulos e considerando
que o ângulo Â mede α, podemos estabelecer as seguintes razões:
1) Razões entre os catetos opostos a Â e as hipotenusas:
3
;
5
BC
AC
=
6 3
10 5
DE
AE
= = ;
9 3
15 5
FG
AG
= =
O número
5
3
assim obtido é chamado seno do ângulo agudo α.
Assim:
Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto oposto a um
ângulo α e a hipotenusa é uma constante chamada seno de α.
Figura 1.2 - Triângulos semelhantes

17
unidade 1
Você sabia que a palavra seno tem origem na palavra árabe jaib, que significa
dobra, bolso ou prega de uma vestimenta, portanto, não têm nada a ver com o
conceito matemático. Trata-se de uma tradução errada que dura até os nossos dias. A
palavra que deveria ser traduzida é jiba que significa um arco de caça ou de guerra.
Na tradução do árabe para o latim as consoantes jb foram traduzidas para sinus e para
a nossa língua seno.
2) Razões entre os catetos adjacentes a Â e as hipotenusas:
4 8 4 12 4
; ;
5 10 5 15 5
AB AD AF
AC AE AG
= = = = =
O número
4
5
assim obtido é chamado cosseno do ângulo agudo α.
Assim:
Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto adjacente a um
ângulo α e a hipotenusa é uma constante chamada cosseno de α.
3) Razões entre os catetos opostos a Â e os catetos adjacentes a Â:
3 6 3 9 3
; ;
4 8 4 12 4
CB ED GF
AB AD AF
= = = = =
O número
3
4
assim obtido é chamado tangente do ângulo agudo α.
Assim:
Num triângulo retângulo, a razão entre o cateto oposto e o cateto
adjacente a um ângulo α é uma constante chamada tangente de α.

18
unidade 1
Considerando as razões que você estudou até aqui, representando
simbolicamente, podemos resumir:
sen α =
cateto oposto a
hipotenusa
α
cos α =
cateto adjacente a
hipotenusa
α
tg α =
cateto oposto a
cateto adjacente a
α
α
Por serem razões entre os lados dos triângulos, os números seno, cosseno e
tangente são denominados de razões trigonométricas.
Dado o triângulo retângulo ABC de catetos b = 12 cm e c = 5 cm e hipotenusa
a = 13 cm, temos para os ângulos agudos C e B que:
5
sen
13
c
C
a
= =
12
sen
13
b
B
a
= =
12
cos
13
b
C
a
= =
5
cos
13
c
B
a
= =
5
tg
12
c
C
b
= =
12
tg
5
b
B
c
= =

19
unidade 1
Se considerarmos um triângulo retângulo, conforme figura 1.4, de
hipotenusa igual a 1 (uma) unidade de comprimento, podemos estabelecer os
seguintes resultados:
Figura 1.4 - Triângulo retângulo com hipotenusa unitária
cos cos
1
sen sen
1
c
c
b
b
α = ⇒ α =
α = ⇒ α =
logo
Então, podemos estabelecer, a partir do triângulo acima que:
tg α =
cateto oposto a
cateto adjacente a
α
α
sen
cos
α
=
α
, ou seja, tg α
sen
cos
α
=
α
E nesse mesmo triângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos:
sen2
α + cos2
α = 1
conhecida como a “Identidade Trigonométrica Fundamental”.

20
unidade 1
2.3 Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
Para obtermos os valores do seno, do cosseno e da tangente de 45º partimos de
um quadrado de lado “x”, no qual traçamos uma das suas diagonais dividindo-o em
dois triângulos retângulos isósceles.
sen 45º =
1
2 2
x
x
= , que racionalizando obtemos: sen 45º =
2
2
cos 45º =
1
2 2
x
x
= , que racionalizando vem: cos 45º =
2
2
tg 45º =
x
x
e simplificando obtemos: tg 45º = 1

Para obtermos os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º
partimos de um triângulo eqüilátero no qual traçamos uma altura, obtendo um
triângulo retângulo cujos ângulos medem 30º e 60º.
Aplicando as razões trigonométricas para o ângulo de 45º, temos:
Figura 1.6 - Quadrado de lado x
Figura 1.7 - Triângulo equilátero

21
unidade 1
Para encontrarmos a altura h do triângulo retângulo, aplicamos o teorema
de Pitágoras:
2 2 2
2 2 2 2 2 33
2 4 4 2
xx x x
x h h x h h
 
= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = 
 
Vamos aplicar as razões trigonométricas inicialmente para 30º.
sen 30º = 2
x
x
=
1
.
2
x
x
, que simplificando vem: sen 30º =
1
2
cos 30º =
3
2
x
x
=
3 1
.
2
x
x
, que simplificando vem: cos 30º =
3
2
tg 30º = 2
3
2
x
x
=
2
.
2 3
x
x
, que simplificando vem: tg 30º =
3
3
Finalmente, apliquemos as razões trigonométricas para 60º.
sen 60º =
3
2
x
x
=
3 1
.
2
x
x
, que simplificando vem: sen 60º =
3
2
cos 60º = 2
x
x
=
1
.
2
x
x
, que simplificando vem: cos 60º =
1
2
tg 60º =
3
2
2
x
x
=
3 2
.
2
x
x
, que simplificando vem: tg 60º = 3

22
unidade 1
Os valores obtidos do seno, cosseno e tangente de 30º, 45º e 60º podem ser
resumidos no quadro abaixo:
ângulos
razões
30º 45º 60º
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1 3
Observando o quadro anterior, perceba que o seno de um ângulo agudo é igual
ao cosseno do complemento desse ângulo e vice-versa, ou seja:
sen θ = cos (90º – θ)
cos θ = sen (90º – θ)
A seguir, vamos resolver alguns exemplos aplicando as razões
trigonométricas.

23
unidade 1
1) Uma pessoa está distante 80 m da base de um prédio e vê o ponto mais alto
do prédio sob um ângulo de 16º em relação à horizontal. Qual a altura do prédio?
Resolução: a partir dos dados do problema e chamando de h a altura do prédio,
temos a seguinte figura:
Figura 1.8
Na figura 1.8, a altura do prédio indicada por h e a distância conhecida de 80
m constituem os catetos do triângulo retângulo. Para relacionar esses catetos com o
ângulo conhecido, vamos usar a razão trigonométrica tangente. Assim, temos:
tg 16
80
o h
=
Usando a calculadora científica, disponível no sistema operacional do seu
computador, obtemos o valor da tangente de 16º que é 0,29 (arredondado para duas
casas decimais) e encontramos:
0,29 =
80
h
⇔ h = 0,29 . 80 ⇔ h = 23,2 m
Logo, a altura do prédio é aproximadamente igual a 23,2 m.
2) Uma árvore, partida pelo vento, mantém seu tronco perpendicular ao solo,
formando com ele um triângulo retângulo. Se a parte quebrada faz um ângulo de 60º
com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 2,6 m da sua base, qual era
a altura da árvore?
Resolução: a partir dos dados do problema temos a figura 1.9:
Figura 1.9

24
unidade 1
Trabalhando com o ângulo conhecido e os lados indicados na figura 1.9,
aplicando a razão trigonométrica seno, temos:

2,6
sen 60º
x
= e como
3
sen 60º
2
= então
3 2,6
2 x
= ⇔
2,6. 2
3
x = ⇔ 3x ≅ m
Logo, a altura da árvore era 2,6 + 3 = 5,6 m
3) Um observador, situado num ponto A, enxerga uma montanha segundo
um ângulo α. Caminhando 400 m em direção à montanha, ele passa a enxergá-la
segundo um ângulo β. Desprezando a altura do observador, calcule a altura da
montanha, sabendo que: tg α =
1
2
e tg β =
5
6
.
Resolução: pelos dados do problema temos a seguinte figura:
Podemos identificar na figura 1.10 dois triângulos retângulos distintos: ACD
e BCD.
Aplicando a razão trigonométrica tangente em cada um desses triângulos,
temos:
tg
400
h
x
α =
+
e tg
h
x
β =
Substituindo os valores de tg α =
1
2
e tg β =
5
6
e isolando h nas razões acima,
teremos:

1
(400 )
2
h x= + e
5
.
6
h x=
Figura 1.10

25
unidade 1
Por comparação:
1 5
(400 ) .
2 6
x x+ =

5
200 .
2 6
x
x+ = ⇔ x = 600 m
Como
5
.
6
h x= e x = 600 m então
5
. 600 500
6
h = = .
Logo, a altura da montanha é de 500 m.
4) Três casas A, B e C estão posicionadas de tal forma que do telhado da casa
B, vê-se a casa A exatamente na direção leste e a casa C exatamente na direção sul. A
distância entre as casas A e B é 320 m e entre B e C é 460 m. Qual a distância entre
as casas A e C?
Resolução:
Nesse problema não conhecemos nenhum dos ângulos do triângulo, por isso não é
possível utilizar as razões trigonométricas. Usamos, então, o teorema de Pitágoras.
Indicando a distância pedida por x, obtemos:
x2
= 3202
+ 4602
x2
= 102400 + 211600
x2
= 314000 ⇔ x ≅ 560 m
A distância entre as casas A e C é 560 m.
Figura 1.11
x

26
unidade 1
seção 3
Relações métricas num triângulo qualquer: leis
dos senos e dos cossenos
Na seção anterior você estudou as razões trigonométricas que são válidas
apenas quando o triângulo é retângulo.
Nesta seção você estudará relações envolvendo o seno e o cosseno que são
válidas em quaisquer triângulos, retângulos ou não.
3.1 Lei dos cossenos
Num triângulo qualquer ABC com lados a, b e c respectivamente opostos aos
ângulos α, β e γ, vale a relação: 2 2 2
2 cosc a b ab= + − γ
Essa igualdade, que é chamada lei dos cossenos, pode ser enunciada em
palavras como segue:
Figura 1.12 - Triângulo Escaleno
Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos
quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto
desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.
A lei dos cossenos se aplica a qualquer dos lados do triângulo, isto é, podemos
também escrever:
2 2 2
2 cosb a c ac= + − β
2 2 2
2 cosa b c bc= + − α

27
unidade 1
Vamos demonstrar a lei dos cossenos para o ângulo γ utilizando a figura
1.13.
Nessa figura, utilizando a definição de cosseno no triângulo da esquerda,
temos:
cos γ =
x
a
e portanto x = a cos γ.
Nesse mesmo triângulo, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
a2
= x2
+ H2
e portanto H2
= a2
- x2
.
No triângulo retângulo da direita temos: c2
= H2
+ (b - x)2
, que substituindo,
temos:
c2
= a2
- x2
+ b2
– 2 a b cos γ + x2
2 2 2
2 cosc a b ab= + − γ ,
que é a lei dos cossenos para o ângulo γ.
Figura 1.13

28
unidade 1
1) Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 9 cm e formam um ângulo de 60º.
Calcule o outro lado.
Resolução: Fazendo A = 60º, b = 6 cm e c = 9 cm e substituindo na lei dos cossenos
temos:
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
6 9 2 6 9 cos 60o
a = + − ⋅ ⋅
2 1
36 81 108
2
a = + − ⋅
2
63a = ⇔ 63a = cm

2) Determine a medida do cosseno do ângulo B do triângulo dado na figura 1.14.
Resolução:
Na figura 1.14 observamos que: a = 3, b = 4 e c = 2. Como queremos
determinar o cosseno do ângulo B, vamos aplicar a lei dos cossenos relativa ao lado
b: 2 2 2
2 cosb a c a c B= + −
Substituindo os valores, temos:
42
= 32
+ 22
– 2 . 3 . 2 . cos B
16 9 4 12 cos B= + −
12.cos B = 13 – 16 ⇔
1
cos
4
B = −
Figura 1.14
Talvez você tenha
estranhado e
quem sabe até não
entendeu o valor
negativo para o
cosseno do ângulo,
mas isso ocorre
porque o ângulo
é obtuso, ou seja,
maior que 90º.
Não se preocupe,
pois na próxima
unidade você
estudará as funções
trigonométricas,
quando esse
assunto será
tratado com
maiores detalhes.

29
unidade 1
Outra importante relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um
triângulo qualquer é a lei dos senos, cuja demonstração ficará como exercício para
você.
3.2 Lei dos senos
Para um triângulo ABC qualquer, da figura 1.15, de lados a, b e c
respectivamente opostos aos ângulos α, β e γ, vale a relação:
sen sen sen
a b c
= =
α β γ
A lei dos senos pode ser enunciada em palavras como segue:
Figura 1.15 - Triângulo escaleno
Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais
aos senos dos ângulos opostos a eles.

30
unidade 1
1) Calcule o lado b de um triângulo ABC no qual a = 5 cm, A = 30º e
B = 45º.
Resolução:
Aplicando a lei dos senos na figura 1.16, temos:
sen sen
a b
A B
=
5
sen 30 sen 45o o
b
=
5
1 2
2 2
b
=
1 2
5
2 2
b⋅ = ⋅ ⇔ 5 2b = cm
2) Num triângulo ABC são dados A = 40º, B = 35º e AB = 10 cm. Calcule o
ângulo C e os lados AC e BC . Dados: sen 40º = 0,643, sen 35º = 0,574 e
sen 105º = 0,966.
Resolução: Inicialmente vamos calcular a medida do ângulo C . Sabemos que
a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então A + B + C = 180º.
Substituindo os valores dados:
40º + 35º + C = 180º ⇔ C = 105º
Figura 1.16

31
unidade 1
Na figura abaixo estão indicados os dados do problema:
Cálculo do lado AC = b
Pela lei dos senos, temos:
sen sen
b c
B C
=

10
sen 35 sen 105o o
b
=

10
0,574 0,966
b
=
0,966. 10.0,574b = ⇔ 5,942b = cm
Cálculo do lado BC = a
Pela lei dos senos, temos:
sen sen
a c
A C
=

10
sen 40 sen105o o
a
=

10
0,643 0,966
a
=
0,966. 10.0,643a = ⇔ 6,656a = cm
Portanto, AC = 5,942 cm e BC = 6,656 cm.
Figura 1.17

32
unidade 1
Nesta unidade você estudou a trigonometria no triângulo e pôde perceber
que a principal aplicação das razões trigonométricas está na resolução de
problemas (situações práticas) que recaem em triângulos retângulos nos
quais são conhecidos os ângulos e um dos lados. Pela aplicação do seno, cosseno ou
tangente de um dos ângulos, podemos determinar os demais lados do triângulo. Para
um triângulo qualquer, você conheceu as leis do seno e do cosseno, que também são
utilizadas na resolução de problemas práticos.
Ao finalizar esta unidade, você com certeza conseguirá visualizar situações
práticas que podem ser resolvidas com os conteúdos abordados.
Na próxima unidade você estudará o ciclo trigonométrico e as funções
trigonométricas. Mas só prossiga depois de realizar as atividades e esclarecer suas
dúvidas com o professor tutor.
1) Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento
máximo de 25 m, formando um ângulo de 70º com a base, que está apoiada sobre
um caminhão, a 2 m do solo.
a) Qual á a altura máxima que a escada atinge?
b) Qual a distância do pé da escada até a parede?
2) Um observador vê um prédio mediante um ângulo visual α. Afastando-
se do prédio a uma distância de 2 m, o observador vê o prédio mediante um ângulo
visual β. Dados α = 45º e tg β = 5/6, determine a altura do prédio.
ATIVIDADES DA SEÇÃO 2

33
unidade 1
1) Num triângulo ABC, calcule:
a) a, dados b = 8, Â = 60o
e ˆB = 45o
b) a e b, dados Â = 105o
, C = 45o
e c = 10
c) o ângulo C , dados b = 2 , c = 2 e o ângulo ˆB = 30o
2) Um observador está em A e necessita calcular sua distância até o ponto B,
mas este ponto é inacessível a ele. No entanto, ele conta com os dados mostrados na
figura 1.18:
Figura 1.18
Calcule a distância AB.
3) Qual a medida do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 3 cm,
5 cm e 7 cm?

34
unidade 1
4) Demonstre a lei dos senos, enunciada na seção 3, item 3.2.
Para aprofundar os seus estudos, analisar mais exemplos resolvidos e resolver
outros exercícios, você deve ir até a biblioteca do polo de seu município e consultar
o livro de Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 3, Trigonometria, de
Gelson Iezzi.

35
unidade 2
Funções Trigonométricas
Estabelecer relações entre as unidades de medidas de ângulos.■■
Calcular a menor determinação positiva de um arco.■■
Definir e analisar as funções trigonométricas.■■
Reduzir arcos ao primeiro quadrante.■■
Determinar o valor de funções trigonométricas inversas.■■
ROTEIRO DE ESTUDOS
SEÇÃO 1 -■■ Ciclo trigonométrico
SEÇÃO 2 -■■ Funções trigonométricas
SEÇÃO 3 -■■ Funções trigonométricas inversas
UNIDADEII

36
unidade 2
Na unidade anterior você estudou a trigonometria do triângulo retângulo e as
relações métricas num triângulo qualquer: leis do cosseno e do seno. Acreditamos
que você tenha estudado muito e resolvido todas as atividades propostas.
Nesta unidade, vamos retomar as razões trigonométricas estudadas no
triângulo retângulo e rediscutir esses conceitos no ciclo trigonométrico. É importante
que você visualize a relação entre essas duas abordagens para entender as funções
trigonométricas. Em seguida, você estudará as funções trigonométricas inversas.
Durante os seus estudos, nesta unidade, anote suas dúvidas, como de costume,
e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade.
Desejamos que você aproveite bem seus estudos.
Nesta seção você vai estudar o que é o ciclo trigonométrico, as duas unidades
mais importantes para medir arcos de circunferências ou ângulos, a redução de um
ângulo qualquer ao primeiro quadrante e também algumas aplicações práticas desta
teoria.
1.1 Arcos e ângulos
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, você pode
perceber na figura 2.1 e na figura 2.2 que esta fica dividida em duas partes. Cada
uma dessas partes, que incluem A e B, é denominada de arco de circunferência.
seção 1
Ciclo trigonométrico
Figuras 2.1 e 2.2 - Arco de circunferência

37
unidade 2
Assim, no sentido anti-horário temos o arco AB e no sentido horário temos o
arco BA, sendo que os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos.
Se os pontos A e B coincidem, eles determinam os seguintes arcos: o arco
AB , denominado arco de uma volta, que é a própria circunferência; e o arco BA,
denominado arco nulo, que corresponde a um ponto da circunferência.
Figura 2.3
Consideremos agora uma circunferência de centro O e os pontos A e B
pertencentes a ela.
Figura 2.4
Unindo os pontos A e B ao centro da circunferência, obtemos o ângulo
central AO B .
Você lembra o
que é um ângulo
central?
Em rápidas
palavras, podemos
dizer que ângulo
central é todo
ângulo cujo vértice
é o centro da
circunferência.
Neste caso, o arco AB subentende o ângulo central AO B , sendo que a
medida desse ângulo AO B é igual à medida do arco AB .
É importante observar que dois arcos com a mesma medida podem apresentar
comprimentos diferentes.
Considere o desenho abaixo.
Sejam as circunferências de mesmo centro O e dois ângulos centrais: AO B
e CO D .
Figura 2.5

38
unidade 2
O arco AB subentende o ângulo central AO B , e o arco CD subentende
o ângulo central CO D .
Medida ( AO B ) = medida ( AB ) = medida ( CD ) = medida ( CO D )
O comprimento do arco CD é maior que o comprimento do arco AB .
Uma vez que a medida de um arco é diferente do seu comprimento, como
medir esse arco? E como calcular o seu comprimento?
Para respondermos a essas perguntas torna-se necessário estudarmos as
unidades de medidas.
1.2 Unidades de medidas
A unidade mais comum para medir ângulo é o grau; entretanto, a unidade
padrão é o radiano.
Mas o que é o grau?
Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco
igual a
1
360
da circunferência que contém o arco. Então, uma circunferência ou arco
de uma volta mede 360º.
Na figura 2.5, os arcos AB e CD possuem a mesma medida α, mas não
possuem o mesmo comprimento. Assim, você pode perceber que a medida de um
arco não representa a medida do comprimento desse arco.
Na mesma figura 2.5, ainda, é possível observar que cada arco determina
um ângulo e cada ângulo determina um arco. Por isso, as unidades utilizadas para
medir arcos são as mesmas utilizadas para medir ângulos.
Essas observações podem ser resumidas no quadro abaixo:

39
unidade 2
Figura 2.6 – Ângulo de 1º
Existem duas importantes subunidades para o grau: o minuto e o segundo.
Não se sabe bem quando se deu o início na matemática do uso do círculo
de 360º, mas parece dever-se em grande parte a Hiparco, através de sua tabela de
cordas. É possível que ele a tenha tomado de Hipsicles, que anteriormente tinha
dividido o ano em 360 partes. Ptolomeu utilizou a base sexagesimal, o mesmo
que fez Hiparco. Além disso, Ptolomeu subdividiu seus graus em sessenta partae
minutae primae, que significa as primeiras menores partes, cada uma das quais era
dividida em sessenta partae minutae secundae, que significa as segundas menores
partes. Daí a origem dos termos minutos e segundos para as subdivisões do grau que
utilizamos hoje.
Atualmente o minuto corresponde a
1
60
do grau e o segundo corresponde a
1
60
do minuto.
Essas grandezas são assim representadas: o grau por (º), o minuto por (’) e o
segundo por (’’).
Ou ainda:
a) Minuto (de arco): 1º = 60’
b) Segundo (de arco): 1’ = 60”
A partir desses conhecimentos é possível representar um arco de 27,43º, por
exemplo, em graus e seus submúltiplos, da seguinte maneira:
A parte inteira é de 27º e a parte decimal de 0,43º é representada em minutos
e segundos mediante uma regra de três simples.

40
unidade 2
graus minutos
1 60
0,43 x
Ou seja: 1.x = 0,43 . 60
x = 25,8
Aparte inteira é de 25’e a parte decimal é representada em segundos novamente
mediante uma regra de três simples.
minutos segundos
1 60
0,8 x
Ou seja: 1.x = 0,8 . 60
x = 48
Portanto, 27,43º = 27º 25’ 48’’.
Agora que você já sabe que é grau, vamos aprender o que é radiano.
Um radiano (representado por rad) é definido como a medida do ângulo
central que subentende um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência
que o contém. Isso significa que, se pudéssemos “desentortar” o arco e medir o
comprimento, obteríamos como resultado o raio da circunferência.
Sabemos que o comprimento da circunferência de raio “r” é 2πr, onde
π é aproximadamente igual a 3,141592... Isso significa que “desentortando” a
circunferência, obtemos um segmento de medida 2π vezes o raio. Como a cada raio
corresponde 1 rad, concluímos que a circunferência possui um arco de 2π rad.
Figura 2.7

41
unidade 2
Figura 2.8 - Comprimento da circunferência
Agora as perguntas já formuladas - Uma vez que a medida de um arco
é diferente do seu comprimento, como medir esse arco? E como calcular o seu
comprimento? - podem ser respondidas.
A medida do arco pode ser feita através de um instrumento apropriado
denominado transferidor, o qual fornece a medida do arco em graus.
O comprimento de um arco  pode ser obtido medindo-se o comprimento do
arco retificado (arco retificado é o arco transformado em um segmento de reta).
Figura 2.9
Entretanto, nem sempre é possível realizar esse procedimento. Podemos
então determinar o comprimento do arco  , conhecendo o ângulo central α
correspondente.
Figura 2.10

42
unidade 2
Sabemos que uma circunferência tem comprimento igual a 2πr, ao mesmo
tempo que apresenta um ângulo de 2π rad. Portanto, um arco de ângulo α terá um
comprimento  , obtido mediante uma regra de três simples:

2 2r rad
rad
π → π
→ α
⇔
2
2
r rad
rad
π ⋅ α
=
π
 ⇔ r= ⋅ α
Por outro lado, conhecendo o comprimento do arco, podemos determinar a
medida do ângulo central correspondente do seguinte modo:

2 2r rad
rad
π → π
→ α
⇔
2
2 r
π⋅
α =
π

⇔ rad
r
α =

Uma vez que você sabe determinar o valor de α, é possível estabelecer as
seguintes relações.

Como a circunferência tem comprimento 2C r= π , o ângulo central de
360º pode ser expresso por:
2
2
rC
r r
π
θ = = = π radianos, temos:
2π rad = 360º
π rad = 180º
1 rad =
180º
p
≅ 57,296º ≅ 57º 17’ 45’’
Da mesma forma: 360º = 2π rad
1º =
2
360
π
rad =
180
π
rad
1º ≅ 0,0175 rad
π

43
unidade 2
Relação entre as unidades:•
Tabela 2.1
1) Converta 15º para radianos.
Utilizando uma regra de três simples, vem:
graus radianos
180 π
15 x
Assim, 180 x = 15 π → x =
15
180
π
, que simplificando, obtemos:
x =
12
π
rad
2) Converta
27
4
π
rad para graus.
Utilizando uma regra de três simples, vem:
radianos graus
π 180
27
4
π
x
Logo, π x =
27
4
π
. 180, de onde simplificando, obtemos: x = 1215º.

44
unidade 2
1.3 Ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica
Podemos definir, de forma simples, que o ciclo trigonométrico é toda
circunferência de raio unitário, centro na origem do sistema cartesiano, sendo
orientada com um sentido positivo no sentido anti-horário e com sentido negativo
no sentido horário.
Figura 2.11 - Ciclo trigonométrico
O ponto A de coordenadas (1,0) da circunferência é chamado de origem
dos arcos trigonométricos. A circunferência possui 360° ou 2π rad ≅ 6,28 rad, se
tomarmos π ≅ 3,14.
A circunferência é dividida em quatro partes iguais chamadas de 1º quadrante,
2º quadrante, 3º quadrante e 4º quadrante, com as seguintes variações em graus e
radianos:
Figura 2.12 - Ciclo trigonométrico e seus quadrantes

45
unidade 2
1.4 Arcos côngruos ou congruentes
Seja a circunferência trigonométrica abaixo na qual está representado um arco
de 50º, cuja origem está na origem dos arcos, ou seja, A e cuja extremidade é B.
Figura 2.13 - Ciclo trigonométrico com arco AB
Observe os arcos de medidas:
410º = 50º + 1 . 360º,
770º = 50º + 2 . 360º,
1130º = 50º + 3 . 360º,
   
βº = 50º + k . 360º
Esses arcos diferenciam-se entre si apenas pelos números 1, 2, 3,..., k que,
neste caso, representam o número de voltas completas que cada um tem. Ao mesmo
tempo, observe que todos eles têm a mesma origem, ou seja,Ae a mesma extremidade
B, correspondente a 50º, que é chamada de menor determinação positiva do arco
ou primeira determinação positiva do arco.
Os arcos que apresentam essa característica são chamados de arcos
côngruos.
Assim, podemos definir que
Dois arcos são côngruos ou congruentes quando têm a mesma
extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras.

46
unidade 2
Os arcos côngruos são representados de uma forma generalizada em graus e
também em radianos.
Se um arco mede• α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele
é dada por αo
+ k . 360o
, onde k ∈ Z.
Se um arco mede• α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos
a ele é dada por α + 2kπ, onde k ∈ Z.
1) Um atleta corre, durante certo tempo, numa pista circular, percorrendo um
arco de 2620º. Quantas voltas completas ele deu e qual é o menor arco que tem a
mesma extremidade que 2620º?
Resolução:
Para resolver esse problema, inicialmente devemos realizar a seguinte
divisão:

2620 360
100 7
Então, temos:
2620º = 100º + 7 . 360º. Portanto, temos como resposta:
7 é o número de voltas completas percorridas pelo atleta.
100º é o menor arco (ou menor determinação positiva) que tem a mesma
extremidade que 2620º.
2) Um móvel desloca-se segundo uma trajetória circular, percorrendo um
arco de
32
5
π
rad.
Quantas voltas completas percorreu e em que quadrante parou?
Resolução:
Efetuando a divisão, temos:

32 5
2 6
π
π π

47
unidade 2
Ou seja:
32 2
6
5 5
π π
= + π
Ou ainda:
32 2
3. 2
5 5
π π
= + π
Portanto:
3 é o número de voltas completas.
2
5
rad
π
= 72º corresponde a um arco do primeiro quadrante (a menor
determinação positiva).
3) Determine o quadrante em que está a extremidade de um arco de –1905º.
Resolução: efetuando a divisão:
1905 360
105 5
Então, temos:
1905º = 105º + 5 . 360º
– 1905º = –105º + 5 . (–360º)
Como 360º – 105º = 255º e 255º está no 3º quadrante, temos que o arco de
–1905º tem sua extremidade no 3º quadrante.
4) Calcular a 1ª determinação positiva e escrever a expressão geral dos arcos
côngruos a
169
12
π
− rad
Resolução:
169 12
14
π
π π
Então, temos:
169
14
12 12
π π
− = − − π
Ou ainda:
169
7.( 2 )
12 12
π π
− = − + − π
Portanto:
A primeira determinação positiva é
23
2
12 12
π π
π − = rad.
A expressão geral é: α =
23
12
π
+ 2kπ, onde k ∈ Z.

48
unidade 2
seção 2
Funções trigonométricas
Nesta seção você vai estudar as funções trigonométricas. Essas funções são
importantes por modelarem problemas físicos para diversas áreas, entre as quais
podemos citar a Engenharia, a Química e a Matemática.
Mas você sabe, primeiramente, o que é uma função?
Antes de iniciar o estudo das funções trigonométricas, vamos fazer um estudo
rápido sobre funções, uma vez que elas serão estudadas com mais profundidade e
detalhes em Fundamentos da Matemática II e também em Cálculo Diferencial e
Integral I.
As funções aparecem com freqüência em situações em que o valor de uma
variável depende do valor de uma outra variável.
Por exemplo:
a área de um círculo depende da medida do seu raio;•
a procura por uma marca de arroz pode depender do seu preço;•
a poluição de um rio depende dos moradores da região por onde o rio•
passa.

49
unidade 2
Em várias
situações reais,
o valor de uma
variável pode
depender do valor
de duas ou mais
variáveis, como,
por exemplo, o
volume de um
prisma de base
quadrangular
depende da
medida do lado da
base e da altura.
Nesses casos
definem-se as
funções de várias
variáveis, que
serão objeto de
estudo do Cálculo
Diferencial e
Integral III.
Para modelar essas situações, utilizamos geralmente funções da forma
y = f(x), onde x é a variável independente e y a variável dependente.
2.1 Definição de função
Sejam A e B subconjuntos não vazios dos números reais. Uma função
f : A → B é uma lei que associa a cada elemento de A um único elemento de B.
Você deve ter percebido que para definir funções precisamos de dois
conjuntos e uma lei ou regra de correspondência ou associação entre esses conjuntos.
O primeiro conjunto é chamado de domínio da função e o segundo conjunto é o
contradomínio. O conjunto imagem de uma função é um subconjunto de B, formado
pelos valores de B que correspondem aos valores de A.
Por exemplo, dada a função f: A → B, onde f(x) = 2x e os conjuntos A={1,2}
e B={2,4,6}. Como f(1) = 2 e f(2) = 4 então representando no diagrama, temos:
onde f(x) = 2x é a lei de associação ou correspondência, A = {1,2} é o domínio da
função, B={2,4,6} o contradomínio e o conjunto formado pelos elementos 2 e 4 é a
imagem da função dada, ou seja, {2,4}.
Antes de estudarmos as funções trigonométricas, vamos retomar as razões
trigonométricas, mas agora utilizando o ciclo trigonométrico.
2.2 Razões trigonométricas no ciclo trigonométrico
Premido por suas necessidades, o homem cria suas ferramentas e, quando
estas se mostram eficientes, o próprio uso delas gera o seu aperfeiçoamento. Assim
também acontece com as ferramentas matemáticas. A trigonometria foi criada para
resolver um determinado problema e hoje encontra muitas outras aplicações. Para
que isso fosse possível, as suas idéias iniciais foram obrigadas a evoluir. Na seção
2 da Unidade I, você já estudou as razões trigonométricas definidas num triângulo
retângulo: sen x, cos x e tg x, onde x representa a medida de um ângulo agudo,
Figura 2.14 – Diagrama de Venn

50
unidade 2
ou seja, 0º x 90º. Mas será possível ampliar essas noções para o caso em que
x representa a medida de um ângulo maior que 90º? A resposta a essa pergunta é
afirmativa; antes, porém, convém definir e discutir alguns conceitos utilizando o
ciclo trigonométrico.
No plano cartesiano, considere uma circunferência de centro (0,0) e raio
um. Sejam P um ponto de coordenadas (x,y) do 1º quadrante, “t” a reta tangente a
circunferência no ponto A de coordenadas (1,0), Q a projeção sobre o eixo x do ponto
P. Considere o arco AP do ciclo trigonométrico com extremidade P e o ângulo
central A O P de medida α.
No triângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α e
lembrando que 1OP = , teremos:
sen α =
medida do cateto oposto
medida da hipotenusa 1
PQ PQ
PQ
OP
= = = = y
que corresponde à ordenada do ponto P. Ou seja, chamamos de seno do arco α a
ordenada desse ponto P.
No triângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α e
lembrando que 1OP = , teremos:
cos α =
medida do cateto adjacente
medida da hipotenusa 1
OQ OQ
OQ
OP
= = = = x
que corresponde à abscissa do ponto P, ou seja, chamamos de cosseno do arco α a
abscissa desse ponto P.
Figura 2.15 - Ciclo trigonométrico e a reta tangente

51
unidade 2
No triângulo retângulo OQP da figura 2.15, considerando o ângulo agudo α,
teremos:
tg α =
medida do cateto oposto sen
medida do cateto adjacente cos
PQ y
xOQ
α
= = =
α
ou ainda, no triângulo retângulo OAT da figura 2.15, considerando o ângulo agudo
α e lembrando que 1OA = , teremos:
tg α =
medida do cateto oposto
medida do cateto adjacente 1
AT AT
AT
OA
= = =
que corresponde à ordenada do ponto T, ou seja, chamamos de tangente do arco α
a ordenada desse ponto T.
As ampliações das noções de seno, cosseno e tangente de um ângulo devem
ser feitas mantendo-se estas idéias.
Figura 2.16
Figura 2.17
Com o ponto P
localizado no 2º Q
Com o ponto P
localizado no 3º Q

52
unidade 2
Figura 2.18
Com o ponto P
localizado no 4º Q
Observando essas figuras e lembrando que, no ciclo trigonométrico, o valor
do seno é representado pela medida da ordenada do ponto P e o valor do cosseno é
representado pela medida da abscissa do ponto P, podemos estabelecer os sinais do
seno e do cosseno nos quatro quadrantes, conforme segue:
Figura 2.19 - Sinais do seno e cosseno
Como a tangente é definida como a razão entre o seno e o cosseno, então ela é
positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes.
O quadro abaixo resume os valores do seno, cosseno e tangente para alguns
arcos notáveis.
α 0° 90° 180º 270° 360°
sen α 0 1 0 -1 0
cos α 1 0 -1 0 1
tg α 0 ∃/ 0 ∃/ 0
Você pode observar também pela figura 2.20:
Figura 2.20 - Seno e cosseno de arcos simétricos

53
unidade 2
sen α = − sen (− α)
cos α = cos (− α)
2.3 Redução ao 1º quadrante
O estudo da redução ao 1º quadrante é fundamental, uma vez que conhecendo
o seno, o cosseno e a tangente, para valores entre 0º e 90º, todos os arcos do segundo,
terceiro ou quarto quadrantes podem ser determinados.
2.3.1 Redução do 2º quadrante ao 1º
É uma forma de determinar seno, cosseno e tangente de ângulos do 2º
quadrante, relacionando-os com ângulos do 1° quadrante.
Figura 2.21 - Redução do 2º ao 1º quadrante
Como exemplo, vamos determinar o cosseno do ângulo de 135º que
tem extremidade no 2º quadrante.
Como θ = 135°∈ 2º Q então x = 180° − θ, isto é, x = 180° − 135° e, portanto
x = 45°.
Logo como 135° ∈ 2º Q e o cosseno no 2º quadrante é negativo, temos que:
cos 135°= − cos 45° =
2
2
−

54
unidade 2
2.3.2 Redução do 3º quadrante ao 1º

Considere um ângulo θ, tal que 180° θ 270°, P a imagem de θ no ciclo
trigonométrico e P’ o simétrico de P em relação ao centro do ciclo.
Como exemplo, apresentamos um ângulo de 240º que tem extremidade
no 3º quadrante. Para você determinar o valor do seno 240º, deve proceder da
seguinte forma:
Como θ = 240°∈ 3º Q então x = θ − 180°, isto é, x = 240° − 180° e, portanto,
x = 60°.
Logo, como 240° ∈ 3º Q e o seno no 3º quadrante é negativo, temos que:
sen 240°= − sen 60° =
3
2
−

55
unidade 2
2.3.3 Redução do 4º quadrante para o 1º
Considere um ângulo θ, tal que 270° θ 360°, P a imagem de θ no ciclo
trigonométrico e P’
o simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos.
Como exemplo, determine sen 300º e cos 300º.
Como θ = 300° ∈ 4º Q, x = 360º – 300º = 60º e o seno no 4º quadrante é
negativo, temos que:
sen 300° = − sen 60° =
3
2
− .
E como o cosseno no 4º quadrante é positivo, temos que:
cos 300° = cos 60° =
1
2
.
2.4 Funções trigonométricas
Considerando o ciclo trigonométrico e o conjunto dos números reais,
podemos associar para cada x∈ R um ponto P do ciclo. Esse ponto é a extremidade
do arco AP e x é a medida desse arco em radianos.
Essa associação nos permite definir algumas funções reais no ciclo
trigonométrico, denominadas funções trigonométricas. As funções seno e cosseno
são definidas a partir do ciclo trigonométrico e as demais em função dessas duas.
As funções trigonométricas têm como característica o fato de serem
periódicas.

56
unidade 2
Você sabe o que é uma função periódica?
Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, podemos exemplificar
com os dias da semana, que de 7 em 7 dias se repetem. Chamamos esse fato de
periódico, e o período é 7.
Assim, formalmente, uma função f(x) é chamada de periódica se existe uma
constante real p ≠ 0 tal que f(x) = f(x+p) para todo x no domínio de f.
2.4.1 Função seno
Considere x um número real, que representa a medida em radianos do ângulo
central, desenhado no ciclo trigonométrico da figura 2.24 abaixo.
Chama-se função seno a toda função de R em R que, para todo arco de medida
x, associa a ordenada y do ponto P e indica-se por f(x) = sen x.
Figura 2.24 - Ciclo trigonométrico e o ponto P

57
unidade 2
Utilizando os dados da tabela abaixo, a representação gráfica da função seno
é dada pela figura 2.25:
x sen x
0 0
π/6 0,5
π/3 0,866
π/2 1
2π/3 0,866
5π/6 0,5
π 0
7π/6 -0,5
4π/3 -0,866
3π/2 -1
5π/3 -0,866
11π/6 -0,5
2π 0
Figura 2.25 - Gráfico da função seno – senóide
Observando o gráfico da figura 2.25, podemos concluir que:
I- Como é possível determinar o sen x, para todo arco de medida x ∈ R, então o
domínio da função seno é o conjunto dos números reais.
II- Como o raio do ciclo trigonométrico é 1, então a imagem da função seno é o
intervalo fechado [−1,1], isto é, −1 ≤ sen x ≤ 1.
III- A função seno é periódica de período 2π, pois sen (x+2π) = sen x.
IV- A função seno tem intervalos de crescimento e decrescimento.

58
unidade 2
ATIVIDADE COMPUTACIONAL
Na internet procure o aplicativo livre Graphmat, salve em seu computador
e desenvolva as atividades computacionais a seguir. Faça suas conclusões referentes
a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo
sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.25.
Faça o gráfico da função y = sen x (função mãe) e a partir dele analise as
situações a seguir:
a) y = a⋅sen x, onde “a” é um número real;
b) y = b + a⋅sen x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = sen (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = sen (ax), onde “a” é um número real;
e) y = c + d⋅sen (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.
2.4.2 Função cosseno
Considere x um número real, que representa a medida em radianos do
ângulo central, desenhado no ciclo trigonométrico da figura 2.24. Chama-se função
cosseno toda função de R em R que, para todo arco de medida x, associa a abscissa
x do ponto P e indica-se por ( ) cosf x x= .
Utilizando os dados da tabela abaixo, a representação gráfica da função
cosseno é dada pela figura 2.26.
x cos x
0 1
π/6 0,866
π/3 0,5
π/2 0
2π/3 -0,5
5π/6 -0,866
π -1
7π/6 -0,866
4π/3 -0,5
3π/2 -1
5π/3 0,5
11π/6 0,866
2π 1
Figura 2.26 - Gráfico da função cosseno – cossenóide

59
unidade 2
I- Como para todo arco de medida x ∈ R é possível determinar o cos x, então o
domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais.
II- Como o raio do ciclo trigonométrico é 1, então a imagem da função cosseno é o
intervalo fechado [−1,1], isto é − 1 ≤ cos x ≤ 1.
III- A função cosseno é periódica de período 2π, pois cos (x+2π) = cos x.
IV- A função cosseno tem intervalos de crescimento e decrescimento.
Uma importante característica da função seno e da função cosseno está
relacionada com a paridade. Para todos os números reais vale, conforme você já
estudou:
Figura 2.27 - Simetrias do seno e cosseno
sen α = − sen (− α) e cos α = cos (− α)
Lembre-se de que
uma função f(x) é
par se, para todo
x no seu domínio,
tivermos f(x) =
f(−x). Uma função
é ímpar se, para
todo x no seu
domínio, tivermos
f(x) = − f(−x).
De acordo com essas igualdades, podemos afirmar que a função seno é uma
função ímpar, e a função cosseno é uma função par.

60
unidade 2
No aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computacionais a seguir.
Faça suas conclusões referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao
domínio, imagem e período, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura
2.26.
Faça o gráfico da função y = cos x (função mãe) e, a partir dele, analise as
a) y = a⋅cos x, onde “a” é um número real;
b) y = b + a⋅cos x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = cos (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = cos (ax), onde “a” é um número real;
e) y = c + d⋅cos (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.
2.4.3 Função tangente
É toda função de {x ∈ R | x ≠
2
k
π
+ π , k ∈ Z} em R, que, para todo arco AP
de medida x, associa a ordenada do ponto T, obtido pela interseção do prolongamento
do raio OP com o eixo t das tangentes. Temos assim que f(x) = tg x.
Figura 2.28 - Ciclo trigonométrico e a reta tangente

61
unidade 2
Como você já estudou, temos também que tg x =
sen
;
cos
x
x
cos x ≠ 0, ou seja,
2
x k
p
p≠ + e k∈Z.
O gráfico da função tangente tem a seguinte forma:
Figura 2.29 - Gráfico da função tangente
Analisando o gráfico da figura 2.29, você pode observar que, quando o x
se aproxima de
2
π
, pela esquerda o valor da tangente cresce até infinito e quando
x tende a
2
π
pela direita o valor da tangente decresce até infinito, sendo que para
x =
2
π
a tangente não está definida, isto é, não existe.
I- Como para todos os valores de x =
2
k
π
+ π , com k ∈ Z a tangente não está definida,
então o domínio da função tangente é o conjunto {x ∈ R |
2
x k
π
≠ + π, k Z∈ }.
II- A imagem da função tangente é o conjunto dos números reais.
III- A função tangente é periódica de período π, pois tg (x + π) = tg x.
IV- A função tangente é sempre crescente.
V- A função tangente é uma função ímpar, pois se trata de uma razão entre uma
função par e uma função ímpar.
π π

62
unidade 2
No Graphmat, desenvolva as atividades a seguir. Faça suas conclusões
referentes a cada tipo de função envolvida em relação ao domínio, imagem e período,
tendo sempre como pano de fundo o gráfico da figura 2.29.
Faça o gráfico da função y = tg x (função mãe) e, a partir dele, analisando as
a) y = a⋅tg x, onde “a” é um número real;
b) y = b + a⋅tg x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = tg (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = tg (ax), onde “a” é um número real;
e) y = c + d⋅tg (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.
2.4.4 Função cotangente
Definimos a cotangente como sendo a relação expressa por:
cos
cotg
sen
x
x
x
= .
Como a relação apresenta um seno no denominador, temos que assegurar
que esse seno nunca seja zero, caso contrário teríamos uma operação proibida na
matemática, que é a divisão por zero. Você estudou que o seno é zero apenas nos
ângulos da forma kπ, com k ∈ Z. Assim, podemos dizer que o domínio da função
cotangente é definido para todos os reais, exceto nos ângulos que zeram o seno.
Logo, dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função
cotangente a função que associa a cada x k≠ π, k ∈ Z, o número cotg x ∈ R, e
indicamos:
f(x) = cotg x
onde cotg x =
cos
; sen 0
sen
x
x
≠ , ou seja, x k≠ π, k ∈ Z.

63
unidade 2
Gráfico da função cotangente:
Figura 2.30 - Gráfico da função cotangente
I- Como para todos os valores de x = kπ, com k ∈ Z a cotangente não está definida,
então o domínio da função cotangente é o conjunto {x ∈ R | x ≠ kπ, k Z∈ }.
II- A imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais.
III- A função cotangente é periódica de período π, pois cotg (x + π) = cotg x.
IV- A função cotangente é sempre decrescente.
V- A função cotangente é uma função ímpar, pois se trata de uma razão entre uma
função par e uma função ímpar.
Faça o gráfico da função y = cotg x (função mãe) e, a partir dele, analise as
a) y = a⋅cotg x, onde “a” é um número real;
b) y = b + a⋅cotg x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = cotg (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = cotg (a x), onde “a” é um número real;
e) y = c + d⋅cotg (a x + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.

64
unidade 2
2.4.5 Função secante
Definimos a secante como sendo a relação expressa por:
1
sec
cos
x
x
= .
Como a relação apresenta um cosseno no denominador, temos que assegurar
que esse cosseno nunca seja zero, pois não é permitida a divisão por zero. Você
estudou que o cosseno é zero apenas nos ângulos da forma kπ+
2
π
, com k ∈ Z.
Assim, podemos dizer que o domínio da função secante é definido em todos os reais,
exceto nos ângulos que zeram o cosseno.
Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função secante,
a função que associa a cada x ,
2
k k z
π
≠ + π ∈ o número sec x ∈ R e indicamos
por:
f(x) = sec x
onde sec x =
1
cos x
; cos x ≠ 0, ou seja, x ,
2
k k Z
π
≠ + π ∈ .
Graficamente temos:
Figura 2.31 - Gráfico da função secante
I. Como para todos os valores de x = kπ +
2
π
, com k ∈ Z a secante não está
definida, então o domínio da função secante é o conjunto
{x ∈ R | x ,
2
k k z
π
≠ + π ∈ }.
II. A imagem da função secante é o conjunto R − ]−1,1[.
III. A função secante é periódica de período 2π, pois sec (x+2π) = sec x.
IV. A função secante é par, pois é proporcional ao inverso do cosseno, que é uma
função par.
,
2
k k Z
π
≠ + π ∈
,
2
k k Z
π
≠ + π ∈

65
unidade 2
2.4.6 Função cossecante
Definimos a cossecante como sendo a relação expressa por:
1
cossec
sen
x
x
= .
Como a relação apresenta um seno no denominador, temos que assegurar que
esse seno nunca seja zero, para não ocorrer a divisão por zero. Você estudou que o
seno é zero apenas nos ângulos da forma kπ, com k ∈ Z. Assim, podemos dizer que
o domínio da função cossecante é definido em todos os reais exceto nos ângulos que
zeram o seno. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função
cossecante a função que associa a cada x k≠ π, k Z∈ , o número cossec x ∈ R, e
indicamos:
f(x) = cossec x
onde cossec x =
1
sen x
; sen x ≠ 0, ou seja, x k≠ π, k Z∈ .
Faça o gráfico da função y = sec x (função mãe) e, a partir dele, analisando
as situações a seguir:
a) y = a⋅sec x, onde “a” é um número real;
b) y = b + a⋅sec x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = sec (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = sec (ax), onde “a” é um número real;
e) y = c + d⋅sec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.

66
unidade 2
Graficamente teremos
Figura 2.32 - Gráfico da função cossecante
I. Como para todos os valores de x = kπ, com k Z∈ a cossecante não está definida,
então o domínio da função cossecante é o conjunto {x ∈ R | pkx ≠ , k ∈ Z}.
II. A imagem da função cossecante é o conjunto R−]−1,1[.
III. A função cossecante é periódica de período 2π, pois cossec (x + 2π) = cossec x.
IV. A função cossecante é uma função ímpar, pois é proporcional ao inverso do seno,
que é uma função ímpar.
Faça o gráfico da função y = cossec x (função mãe) e, a partir dele, analise
as situações a seguir:
a) y = a⋅cossec x, onde “a” é um número real;
b) y = b + a⋅cossec x, mantendo “a” constante e variando “b”;
c) y = cossec (x + a), onde “a” é um número real;
d) y = cossec (ax), onde “a” é um número real;
e) y = c + d⋅cossec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números reais.
π

67
unidade 2
Pelo que você estudou até aqui, temos a certeza de que sabe responder
onde medimos o seno, o cosseno e a tangente no ciclo trigonométrico. Mas onde a
cotangente, a secante e a cossecante são medidas no ciclo trigonométrico?
Então, vamos analisar o ciclo trigonométrico da figura 2.33.
Figura 2.33 - Ciclo trigonométrico com o eixo da cotangente
Na figura 2.33, seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto
B de coordenadas (0,1). Essa reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo
ponto M e pelo centro da circunferência intercepta a reta tangente s no ponto S de
coordenadas (s',1). A abscissa s' desse ponto é definida como a cotangente do arco
AM correspondente ao ângulo a.
Assim, a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
cotg a = cotg (a+2kπ) = BS = s’, onde k ∈ Z.
Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo:
BS ON
OB MN
=
Como a circunferência é unitária 1OB = , ON = cos a e MN = sen a,
então cotg a =
cos a
sen a
, que é equivalente a cotg a =
1
tg a
.
Você pode perceber que a cotangente de ângulos do primeiro e terceiro
quadrantes é positiva e no segundo e quarto quadrantes é negativa. Quando a = 0 e
a = π, a cotangente não existe, pois as retas s e OM se tornam paralelas.
Na figura 2.34, seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto
M de coordenadas (x',y'). Essa reta é perpendicular à reta que contém o segmento
OM . A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V de coordenadas

68
unidade 2
(v,0). A abscissa do ponto V é definida como a secante do arco AM correspondente
ao ângulo a.
Figura 2.34 - Ciclo trigonométrico com o eixo da secante e cossecante
Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações por:
sec a = sec (a+2kπ) = OV = v.
De forma análoga, a interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U de
coordenadas (0,u). A ordenada do ponto U é definida como a cossecante do arco
AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas
várias determinações:
cossec a = cossec (a+2kπ) = OU = u.
Os triângulos OMV e Ox'M são semelhantes. Deste modo,
'
OV OM
OM Ox
=
pode ser escrito como sec a =
1
cos a
, desde que o cos a seja diferente de zero.
Os triângulos OMU e Ox'M são semelhantes, logo:
'
OU OM
OM x M
=
pode ser escrito como cossec a =
1
sen a
, desde que o sen a seja diferente de zero.

69
unidade 2
Vamos listar abaixo algumas propriedades da secante e da cossecante:
Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, você
pode constatar as seguintes propriedades:
1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica,
as suas distâncias até o centro da circunferência são sempre maiores ou iguais à
medida do raio unitário. Daí segue que:
sec (a) −1 ou sec (a) 1 e cossec (a) −1 ou cossec (a) 1
2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1º e
no 4º quadrantes e negativo no 2º e no 3º quadrantes.
3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1º e
no 2º quadrantes e negativo no 3º e no 4º quadrantes.
4. Não existe a secante de ângulos da forma a = k
2
π
+ π, onde k é um número inteiro,
pois nesses ângulos o cosseno é zero.
5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a = kπ, onde k é um número inteiro,
pois são ângulos cujo seno é zero.
arco xº sen(x) cos(x) tg(x) cotg(x) sec(x) cossec(x)
0 0º 0 1 0
não
existe
1
não
existe
6
π
30º
1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
2
4
π
45º
2
2
2
2
1 1 2 2
3
π
60º
3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
2
π
90º 1 0
não
existe
0
não
existe
1
2
3
π
120º
3
2
1
2
− 3−
3
3
− − 2
2 3
3
Resumo dos valores de alguns ângulos notáveis

70
unidade 2
arco xº sen(x) cos(x) tg(x) cotg(x) sec(x) cossec(x)
3
4
π
135º
2
2
2
2
− −1 −1 2− 2
5
6
π
150º
1
2
3
2
−
3
3
− 3−
2 3
3
− 2
π 180º 0 −1 0
não
existe
−1
não
existe
7
6
π
210º
1
2
−
3
2
−
3
3 3
2 3
3
− −2
5
4
π
225º
2
2
−
2
2
− 1 1 2− 2−
4
3
π
240º
3
2
−
1
2
− 3
3
3
− 2
2 3
3
−
3
2
π
270º −1 0
não
existe
0
não
existe
−1
5
3
π
300º
3
2
−
1
2
3−
3
3
− 2
2 3
3
−
7
4
π
315º
2
2
−
2
2
−1 −1 2 2−
11
6
π
330º
1
2
−
3
2
3
3
− 3−
2 3
3
− 2
2π 360º 0 1 0
não
existe
1
não
existe

71
unidade 2
1) Sabendo que
2
x
π
= , calcule o valor de
3 tg 2 sec 2
5 cotg cossec 3
x x
y
x x
−
=
+
.
Resolução:
Para resolver esse exemplo, basta substituirmos o valor de x na igualdade
dada, ou seja,
3 tg 2 sec 2
3 tg sec 3 0 ( 1)2 2 ,
5 0 ( 1)
5 cotg cossec 3 5 cotg cossec 3
2 2 2 2
y
π π
−
π − π ⋅ − −
= = =
π π π π ⋅ + −
+ +
e portanto: y = −1.
2) Determine os quadrantes onde estão os ângulos α, β e γ, tais que:
a) sen α 0 e cos α 0
b) cos β 0 e tg β 0
c) sen γ 0 e cotg γ 0
Resolução:
a) Como o sen α 0 e o cos α 0, então o ângulo α pertence ao terceiro
quadrante.
b) Como o cos β 0 e a tg β 0, então o ângulo β pertence ao segundo
quadrante.
c) Como o sen γ 0 e a cotg γ 0, então o ângulo γ pertence ao primeiro
quadrante.
Resumindo, temos que: α ∈ 3º Q, β ∈ 2º Q e γ ∈ 1º Q.

72
unidade 2
seção 3
Funções trigonométricas Inversas
Antes de iniciar o seu estudo das funções trigonométricas inversas, responda
às perguntas:
Você sabe o que é uma função inversa? Ou quando uma função possui
inversa?
Consideramos que é necessária uma rápida retomada do que é uma função
inversa e de quando essa função possui inversa. Não se preocupe, pois um estudo
mais detalhado sobre as funções inversas será feito em Fundamentos de Matemática
II e também em Cálculo Diferencial e Integral I.
3.1 Função inversa
Ao definirmos uma função y = f(x) na forma f: A→ B, ressaltamos que se trata
de uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder um único elemento
de B.
Em algumas funções para cada y ∈ B existe exatamente um valor de x ∈ A tal
que y = f(x). Nesses casos, dizemos que f é bijetora e define-se uma função g: B → A
na forma x = g(y). A função g é dita inversa de f, e é representada por 1
f −
.
Nem todas as funções possuem inversa. As funções do segundo grau, por
exemplo, não possuem inversas, a não ser que seja feita uma restrição conveniente
no seu domínio e contradomínio.
Agora que você já revisou rapidamente as funções inversas, vamos analisar a
existência das funções trigonométricas inversas. Vamos lá?
Você retomou que uma função f, em domínio D, possui inversa se e somente
se f for bijetora e por esse motivo nem todas as funções trigonométricas possuem
inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses
domínios para gerar novas funções que possuam inversas.
Vamos tomar como exemplo a função f(x) = sen x, que não é bijetora em seu
domínio de definição, o conjunto dos números reais, conforme você já estudou, pois

73
unidade 2
para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Se y = 0, sen x = 0, podemos
tomar x = 0, x = 2π, x = 4π, x = −2π, etc., isto é, x = 2k π, onde k é um número inteiro;
isso quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x) = sen x em seu domínio.
Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a
função é bijetora.
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos
em que elas são bijetoras. É usual escolher como domínio intervalos onde o zero é o
ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto
imagem.
Vamos ver como devemos definir a função arco-seno.
3.2 Função arco-seno
Considerando a função f(x) = sen x, vamos redefinir o seu domínio no intervalo
,
2 2
π π 
− 
 
e imagem no intervalo [−1,1].Afunção inversa de f(x) = sen x, denominada
função arco seno, definida por 1
f −
: [−1, 1] → ,
2 2
π π 
− 
 
, é denotada por
1
f −
(x) = arc sen x.
Assim y = arc sen x ⇔ sen y = x.
Gráfico das funções seno e arco-seno :
Figura 2.35 - Gráfico da função seno e da função arco-seno
Observe o gráfico da função arco-seno, na figura 2.35, para identificar as
seguintes características:
O domínio da função é [• −1, 1];
A imagem da função é• ,
2 2
π π 
− 
 
;
A função é sempre crescente.•

74
unidade 2
Figura 2.36 - Gráfico da função arco-cosseno
Observando o gráfico da função arco-cosseno, na figura 2.36, podemos
identificar as seguintes características:
O domínio da função é [• −1, 1];
A imagem da função é [0,• p] ;
A função é sempre decrescente.•
3.4 Função arco-tangente
Dada a função f(x) = tg x, com domínio restrito ,
2 2
π π 
− 
 
e imagem em R,
a função inversa de f, denominada função arco tangente, é definida por
1
f −
: R → ,
2 2
π π 
− 
 
e denotada por 1
f −
(x) = arc tg x.
3.3 Função arco-cosseno
Seja a função g(x) = cos x, com domínio restrito [0,p] e imagem [−1,1]. A
função inversa de g, denominada função arco cosseno, é definida por
1−
g : [−1, 1]→ [0,p] e denotada por 1−
g : (x) = arc cos x.
Assim y = arc cos x ⇔ cos y = x.

Gráfico da função arco-cosseno:

75
unidade 2
Gráfico da função arco-tangente:
Figura 2.37 - Gráfico da função arco-tangente
Observando, na figura 2.37, o gráfico da função arco-tangente, podemos
O domínio da função são todos os reais;•
A imagem da função é• ,
2 2
π π 
− 
 
;
A função é sempre crescente.•
3.5 Função arco-cotangente
Considerando a função f(x) = cotg x, com domínio restrito (0,π) e imagem
em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente, é definida por
1
f −
: R → (0,π) e denotada por 1
f −
(x) = arc cotg x.
Gráfico da função arco-cotangente:
Figura 2.38 - Gráfico da função arco-cotangente

76
unidade 2
Observando, na figura 2.38, o gráfico da função arco-cotangente, podemos
O domínio da função são todos os reais;•
A imagem da função é (0,• π);
A função é sempre decrescente.•
Como exercício, tente agora você definir as funções arco-secante e arco-
cossecante e em seguida trace os seus gráficos.
Determine o valor de1) y:
a) y = arc sen
1
2
 
 
 
Resolução:
Usando a equivalência y = arc sen x ⇔ sen y = x temos que sen y =
1
2
.
Como y ∈ ,
2 2
π π 
− 
 
e x 0, então y =
6
π
.
b) y = arc cos
2
2
 
−  
 
Resolução:
Pela definição temos que cos y =
2
2
− . Como y ∈ [0,p] e x 0, então y =
3
4
π
.
c) y = arc tg 3
Resolução:
Como tg y = 3 , y ∈ ,
2 2
π π 
− 
 
e x 0, então y =
3
π
.

77
unidade 2
2) Dado que θ = arc sen
1
2
 
− 
 
, calcule o valor do cos θ, tg θ, cotg θ, sec θ e
cossec θ.
Resolução:
Como θ = arc sen
1
2
 
− 
 
, então sen θ =
1
2
− e, portanto, θ =
11
6
π
.
Vamos agora calcular o valor de: cos θ = cos
11
6
π
=
3
2
− ,
tg θ = tg
11
6
π
=
3
3
− ,
cotg θ = cotg
11
6
π
= 3− ,
sec θ = sec
11
6
π
=
2 3
3
− e
cossec θ = cossec
11
6
π
= − 2
3) Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:
arc sen 1a) − arc sen (−1)
Resolução:
Fazendo a = arc sen 1 e b = arc sen (−1), temos que sen a = 1,
sen b = −1 e, portanto, a =
2
π
e b =
2
π
− .
Logo, arc sen 1 − arc sen (−1) =
2
π
2
π 
− − = π 
 
arc tg 1b) − arc tg (−1)
Resolução:
Fazendo a = arc tg 1 e b = arc tg (−1), temos que tg a = 1, tg b = −1 e, portanto, a
=
4
π
e b =
4
π
− .
Logo, arc tg 1 − arc tg (−1) =
4
π
4
π 
− − 
 
=
2
p
c) arc sen (sen
5
6
π
)
Resolução:
Temos que sen
5 1
6 2
π
= .
2
π

78
unidade 2
Nesta unidade você estudou as funções trigonométricas, as quais constituem
um tema importante da matemática, tanto por suas aplicações (que vão desde as mais
elementares, no dia-a-dia, até as mais complexas, na Ciência e na alta tecnologia)
como pelo papel central que desempenham na área de Análise Real.
Uma propriedade fundamental das funções trigonométricas é que elas são
periódicas. Por isso são especialmente adaptadas para descrever os fenômenos de
natureza periódica, oscilatória ou vibratória, como, por exemplo: movimento de
planetas, som, corrente elétrica alternada, batimentos cardíacos.
Todos os conceitos de trigonometria estudados até aqui você vai aplicar na
próximaunidadeparademonstraridentidades,efetuartransformaçõestrigonométricas
e resolver equações trigonométricas. Por isso não prossiga antes de resolver as
atividades e sanar todas as suas dúvidas com o seu professor tutor.
Assim, arc sen (sen
5
6
π
) = arc sen
1
2
 
 
 
Fazendo a = arc sen
1
2
 
 
 
temos, portanto, que: a =
6
π
.

79
unidade 2
1) Expresse 350º em radianos.
2) Expresse
8
rad
π
em graus.
3) Um móvel, partindo da origem dos arcos, percorre um arco de – 2135º. Quantas
voltas completas ele deu e em que quadrante parou?
4) Determine o quadrante onde está a extremidade do arco de
2356
4
rad
π
.
5) Verifique se são côngruos os arcos de 2630º e – 1460º.
Reduza ao primeiro quadrante e determine o valor de:1)
a) sen 330º
b) cos 210º
c) tg (3π/4)
d) sen 450º
e) sen (−390º)
f) sen (61π/6)
g) cos 1500º
h) cos (25π/3)
i) tg (−10π/3)
Calcule o valor da expressão dada por:2)
3 sen 90º 2 sen 180º cos 270º 4 tg 135º
5cos 0º 3cos 90º
− + +
+
.
Determine os quadrantes onde estão os ângulos α, β e γ, tais que:3)
sen α 0 e cos α 0
sec β 0 e cotg β 0
cossec γ 0 e tg γ 0
Sabendo que4) x é um arco com extremidade no 3º quadrante, determine apenas o
sinal da expressão y, dada por:
a)
2 2
3cos tg
4 sen tg
x x
y
x x
⋅
=
⋅
b)
3 2
3
sen cos
sen cos tg
x x
y
x x x
⋅
=
⋅ ⋅

80
unidade 2
Utilizando um software qualquer, trace o gráfico e determine o período de cada5)
uma das seguintes funções:
a) y = 3 sen x
b) f(x) = 1 + cos x
c) y = cos 2θ
d) f(x) = sen x − 1
e) g(x) = −2 + tg x
f) y = sen
2
θ
1) Sabendo que θ = arc tg 3 , calcule o valor do sen θ, cos θ, cotg θ, sec θ e
cossec θ.
2) Determine o valor de y:
a) y = arc sen
2
2
 
−  
 
b) y = arc cos
3
2
 
  
 
c) y = arc tg
3
3
 
−  
 
3) Calcule o valor do arc tg
3
4
tg
 π 
−  
  
.
4) Obtenha o valor de x, tal que, 2x + arc tg 1 =
2
π
.

81
unidade 2
Para aprofundar os seus estudos, analisar mais exemplos resolvidos
e resolver outros exercícios, você deve ir até a biblioteca do polo de seu município e
consultarolivrodeFundamentosdeMatemáticaElementar,Volume3,Trigonometria,
de Gelson Iezzi.

82
unidade 2

83
unidade 3
Identidades, Transformações
e Equações Trigonométricas
Resolver problemas envolvendo as relações trigonométricas.■■
Demonstrar identidades trigonométricas.■■
Aplicar as transformações trigonométricas na resolução de■■
problemas.
Resolver equações trigonométricas.■■
ROTEIRO DE ESTUDOS
SEÇÃO 1 -■■ Identidades trigonométricas
SEÇÃO 2 -■■ Transformações trigonométricas
SEÇÃO 3 -■■ Equações trigonométricas
UNIDADEIII

84
unidade 3
Nesta unidade, inicialmente, você vai estudar as identidades trigonométricas.
Em seguida deduzirá algumas das transformações trigonométricas e aplicará na
resolução de vários problemas. Na última seção desta unidade, você resolverá
algumas equações trigonométricas.
Além disso, você vai ter a oportunidade de refletir sobre alguns elementos da
trigonometria e utilizar as funções trigonométricas em alguns problemas. Muitos
conceitos aqui citados serão retomados no decorrer do seu curso em outras disciplinas
como, por exemplo, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e Instrumentação
para o Ensino de Matemática.
Durante os seus estudos, anote, como de costume, suas dúvidas e busque
esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade.
Bons estudos!
Nesta seção, você vai retomar algumas identidades já provadas nas unidades
anteriores e deduzirá outras identidades. Em seguida você verá como deve proceder
para provar uma identidade trigonométrica qualquer.
1.1 Relações trigonométricas
As seguintes relações, entre os valores das funções trigonométricas de
um mesmo arco, que você já estudou nas unidades I e II, são chamadas relações
trigonométricas fundamentais.
seção 1
Identidades trigonométricas

85
unidade 3
2 2
sen cos 1x x+ =1.
tg2. x =
sen
cos
x
x
; cos x ≠ 0
cotg3. x =
cos
sen
x
x
; sen x ≠ 0
sec4. x =
1
cos x
; cos x ≠ 0
cossec5. x =
1
sen x
; sen x ≠ 0
cotg6. x =
1
tg x
; tg x ≠ 0
Vamos demonstrar agora mais duas relações que decorrem dessas.
Considerando a relação 2 2
sen cos 1x x+ = e dividindo os dois membros por
2 2
cos (cos 0)x x ≠ , temos:
2 2
sen cos 1x x+ = (÷ cos2
x)
2 2
tg 1 secx x+ =
Esta relação é válida para todo
2
x k
p
p≠ +
2
π
2
π

86
unidade 3
Considerando a relação 2 2
sen cos 1x x+ = e dividindo os dois membros por
2 2
sen (sen 0)x x ≠ , temos:
2 2
sen cos 1x x+ = (÷ sen2
x)
2 2
1 + cotg cossecx x=
Esta relação é válida para todo x k≠ π.
Em seguida, vamos resolver alguns exemplos que envolvem as relações
acima.
1) Sabendo que sen x =
1
4
, com
2
x
π
π , determine:
a) cos x
b) tg x
Resolução:
a) Substituindo o valor dado na relação 2 2
sen cos 1x x+ = , temos:
2
21
cos 1
4
x
 
+ = 
 
⇔ 2 1
cos 1
16
x = − ⇔ 2 15
cos
16
x =
Como x é um arco do 2º quadrante, o valor do cosseno é negativo.

87
unidade 3
Portanto:
15
cos
16
x = − , ou seja,
15
cos
4
x = − .
b)
sen
tg
cos
x
x
x
= ⇔
1
14tg
15 15
4
x = = −
−
⇔
15
tg
15
x = −
2) Se a é um arco do 4º quadrante e cotg a = –2, calcule:
a) cossec a b) sec a
Resolução:
a) Substituindo cotg a = –2 em 1 + cotg2
a = cossec2
a, temos:
1 + (–2)2
= cossec2
a ⇔ cossec2
a = 5 ⇔ cossec a = 5±
Como a é um arco do 4º quadrante, o valor da cossecante é negativo.
Portanto: cossec a = 5−
b) De tg a =
1
cotg a
, obtemos tg a =
1
2
− .
Substituindo em tg2
a + 1 = sec2
a, temos:
2
21
1 sec
2
a
 
+ − = 
 
⇔ 2 1
sec 1
4
a = + ⇔ 2 5
sec
4
a = ⇔
5
sec
2
a = ±
Como a é um arco do 4º quadrante, o valor da secante é positivo.
Portanto:
5
sec
2
a =

88
unidade 3
1.2 Identidades trigonométricas
Dadas as funções trigonométricas f(x) e g(x), dizemos que a igualdade
f(x) = g(x) é uma identidade trigonométrica se ela é válida para qualquer valor de x
para os quais f(x) e g(x) existem.
Por exemplo:
A igualdade sen• 2
x = 1 – cos2
x é válida para qualquer x real; logo, é uma
identidade trigonométrica.
A igualdade•
1
cotg
tg
x
x
= é válida para todo
2
x k
π
≠ + π; logo, é uma
identidade trigonométrica.
Um bom caminho para provar que uma identidade trigonométrica é verdadeira
consiste em transformar o membro que apresenta expressão mais complicada na
expressão do outro membro. Para isso utilizamos as relações trigonométricas já
estudadas (e que também são identidades) e as regras usuais da álgebra. Caso os dois
membros apresentem expressões igualmente complicadas, podemos transformar
cada um deles em uma mesma expressão mais simples que as anteriores.
Veja os exemplos:
1) Demonstre a identidade:
2
tg sen
sec1 tg
x x
xx
=
+
Vamos transformar o 1º membro procurando expressar as funções em sen x
ou cos x:
2
2 2
2
sen sen
cos costg sen cos sen
sen cos
1 cos 1 sec1 tg sec
cos
x x
x xx x x x
x x
x xx x
x
= = = ⋅ = ⋅ =
+
Como chegamos ao 2º membro, a identidade está demonstrada.

89
unidade 3
2) Demonstre a identidade: tg a . cossec2
a = tg a + cotg a
Neste caso vamos transformar o 1º e o 2º membros, expressando as funções
em sen a e cos a:
tg a . cossec2
a = tg a + cotg a

2
cossen 1 sen
cos cos sensen
aa a
a a aa
⋅ = +

2 2
1 1 sen cos
cos sen cos sen
a a
a a a a
+
⋅ =
⋅
Como sen2
a+ cos2
a= 1, temos:

1 1
cos sen cos sena a a a
=
⋅ ⋅
e assim está demonstrada a identidade.
seção 2
Transformações trigonométricas
Pela propriedade distributiva da álgebra, sabemos que, se x, a e b são números
reais, as igualdades a seguir são verdadeiras.
x (a + b) = xa + xb
x (a − b) = xa − xb
Entretanto, ao contrário do que se possa imaginar à primeira vista, a igualdade
sen (a + b) = sen a + sen b é falsa.
Por exemplo:
( )o o o 3
sen 90 30 sen 120
2
+ = =
o o 1 3
sen 90 sen 30 1
2 2
+ = + =

Nesta seção vamos estudar como calcular as funções trigonométricas de arcos
da forma (a + b), (a – b) e 2a.

90
unidade 3
2.1 Fórmulas da adição
Cosseno da soma: cos (a + b)•
Na figura 3.1 temos:
- medida do arco AB é a
- medida do arco BC é b
- medida do arco AC é (a + b)
- medida do segmento OC é 1
Considerando os triângulos retângulos ONC, ODC, DEC e OMD e as razões
trigonométricas neles definidas, temos:
cos (a + b) =
ON
OC
, como ON OM MN= − então cos (a + b) =
OM MN
OC
−
e como MN ED= , temos:
cos (a + b) =
OM ED
OC
−
, isto é, cos (a + b) =
OM ED
OCOC
−
cos (a + b) =
OM OD ED CD
OCOC OD CD
⋅ − ⋅
Figura 3.1 - Soma de dois arcos

91
unidade 3
cos (a + b) =
OM OD ED CD
CDOD OC OC
⋅ − ⋅
Logo,
cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b
Cosseno da diferença: cos (a – b)•
Fazendo: cos (a – b) = cos [a + (–b)], aplicamos a fórmula da soma:
cos (a – b) = cos [a + (–b)] = cos a . cos (–b) – sen a . sen (–b)
Lembrando que: sen (–b) = –sen b e cos (–b) = cos b, podemos escrever:
cos (a − b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Seno da soma: sen (a + b)•
Já estudamos que:
sen a cos a
2
cos a sen a
2
π 
− =  
  
→
π  − =    
arcos complementares
Então, podemos escrever:
sen(a + b) = cos (a b)
2
π 
− + 
 
sen (a + b) = cos a b
2
π 
− − 
 
sen (a + b) = cos a b
2
 π 
− −  
  
Utilizando a fórmula cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b, temos:
sen (a+b) = cos a cos( b) sen a sen ( b)
2 2
π π   
− ⋅ − − − ⋅ −   
   
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

92
unidade 3
Seno da diferença: sen (a – b)•
Fazendo: sen (a – b) = sen [a + (–b)], aplicamos a fórmula da soma:
sen (a – b) = sen [a + (–b)] = sen a . cos (–b) + sen (–b) . cos a
Lembrando que: sen (–b) = –sen b e cos (–b) = cos b, podemos escrever:
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
Tangente da soma: tg (a + b)•
Como já determinamos o seno e o cosseno da soma, podemos também
obter a tangente da soma.
Sabemos que
sen (a b)
tg (a b)
cos (a b)
+
+ =
+
Aplicando as fórmulas calculadas anteriormente no 2º membro, temos:

sen a cos b sen b cos a
tg (a b)
cos a cos b sen a sen b
⋅ + ⋅
+ =
⋅ − ⋅
Dividindo o numerador e o denominador da última expressão por
“cos a . cos b”, temos:

sen a cos b sen b cos a
cos a cos b cos a cos btg (a b)
cos a cos b sen a sen b
cos a cos b cos a cos b
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅+ =
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
, simplificando obtemos:

sen a sen b
cos a cos btg (a b)
sen a sen b
1
cos a cos b
+
+ =
− ⋅
Como
sen a
tg a
cos a
= e
sen b
tg b
cos b
= , temos:
tg a tg b
tg (a b)
1 tg a tg b
+
+ =
− ⋅

93
unidade 3
Tangente da diferença: tg (a – b)•
Lembrando que tg (– b) = – tg b, obtemos a fórmula:
tg a tg b
tg (a b)
1 tg a tg b
−
− =
+ ⋅
Vamos agora estudar algumas aplicações das fórmulas de adição.
1) Calcule sen 75º.
Resolução:
Como o sen 75o
= sen (30o
+ 45o
), aplicando a fórmula
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a, onde a = 30º e b = 45º, temos:
sen 75o
= sen (30o
+ 45o
) = sen 30o
. cos 45o
+ sen 45o
. cos 30o
portanto, sen 75º =
1 2 2 3
2 2 2 2
⋅ + ⋅ , ou seja, sen 75º =
2 6
4
+
.
2) Mostre que ( )cos x cos xπ − = − .
Resolução:
Aplicando a fórmula ( )cos a b cos a cos sen a senbb− = ⋅ + ⋅ , onde a = π e
b = x, temos:
( )cos x cos . cos x sen sen xπ − = π + π ⋅ e, portanto:
( )cos x 1 . cos x 0 sen xπ − = − + ⋅ , isto é, ( )cos x cos xπ − = −
3) Dado
3
sen a
5
= , 0 a
2
π
, calcule:
a) sen a
6
π 
− 
 

94
unidade 3
Primeiramente vamos calcular cos a:
Utilizando a identidade trigonométrica sen2
a + cos2
a = 1 e substituindo
3
sen a
5
= , temos:

2
2 2 23 9 16 4
cos a = 1 cos a = 1 cos a = cos a
5 25 25 5
 
+ ⇒ − ⇒ ⇒ = ± 
 
Como 0 a
2
π
, então
4
cos a
5
= .
Aplicando a fórmula do seno da diferença, com b =
6
π
, temos:
sen a sen a cos sen cos a
6 6 6
π π π 
− = ⋅ − ⋅ 
 

3 3 1 4
sen a
6 5 2 2 5
π 
− = ⋅ − ⋅ 
 

3 3 4 3 3 4
sen a
6 10 10 10
p − 
− = − = 
 
b) tg a +
4
π 
 
 
Vamos calcular tangente de a:
Como
3
sen a 35tg a tg a tg a
4cos a 4
5
= ⇒ = ⇒ =
Aplicando a fórmula da tangente da soma, com b =
4
π
, vem:

3 7
tg a tg 1
4 4 4tg (a + ) = = tg a 7
3 14 4
1 tg a tg 1 1
4 4 4
π
+ +
π π 
= ⇒ + = π  − ⋅ − ⋅
tg a +
4
π 
 
 

95
unidade 3
2.2 Fórmulas do arco duplo
Para deduzir as fórmulas de sen 2a, cos 2a e tg 2a, basta fazer b = a nas
fórmulas da soma (a+b) de dois arcos. Acompanhe com atenção:
Seno do arco duplo•
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a, fazendo b = a, vem:
sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a
sen 2a = 2 sen a . cos a
Cosseno do arco duplo•
cos (a + b) = cos a . cos b − sen a . sen b, fazendo a = b, temos:
cos (a + a) = cos a . cos a − sen a . sen a
cos 2a = cos2
a − sen2
a
Tangente do arco duplo•

tg a tg b
tg(a b)
1 tg a tg b
+
+ =
− ⋅
, fazendo a = b

tg a tg a
tg(a a)
1 tg a tg a
+
+ =
− ⋅
2
2 tg a
tg 2a
1 tg a
=
−

96
unidade 3
Veja agora alguns exemplos aplicando as fórmulas do arco duplo.
Sabendo que sen x =
4
5
e que x é um arco do 2º quadrante, determine:
a) sen 2x b) cos 2x c) tg 2x
Resolução:
Sabendo o valor do sen x, vamos calcular o cos x.
Utilizando a identidade sen2
x + cos2
x= 1 e substituindo sen x por
4
5
, temos:
2
2 2 24 16 9 3
cos x = 1 cos x 1 cos x cos x
5 25 25 5
 
+ ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ± 
 
Como x é um arco do 2º quadrante, então:
3
cos x
5
= −
No caso a:
4 3 24
sen 2x 2 sen x cos x 2 sen 2x
5 5 25
 
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⇒ = − 
 
.
No caso b:
2 2
2 2 3 4 9 16 7
os 2x = cos x - sen x = = cos 2x
5 5 25 25 25
c
   
− − − ⇒ = −   
   
No caso c, antes de calcular o valor da tg 2x, precisamos calcular o valor da tg x.
Mas
4
sen x 45tg x tg x
3cos x 3
5
= = ⇒ = −
−
2 2
4 8 82
2 tg x 243 3 3tg 2x tg 2x
16 7 71 tg x 4 11 9 93
 
⋅ − − − 
 = = = = ⇒ =
−   − −− − 
 

97
unidade 3
seção 3
Equações trigonométricas
Nesta seção vamos estudar alguns tipos de equações trigonométricas e ver
como você deve proceder para resolvê-las.
3.1 Equações trigonométricas
Podemos definir uma equação trigonométrica como toda equação que envolve
funções trigonométricas com arco desconhecido.
Assim, são equações trigonométricas:
2 sen x = 1; tg cotg
4
x x
π 
= + 
 
; cos2
x + cos x – 2 = 0.
Como você já estudou na disciplina de Matemática Básica, resolver uma
equação significa encontrar os valores da incógnita, caso existam, que tornam a
igualdade verdadeira. O mesmo ocorre com as equações trigonométricas.
Em sua maioria, as equações trigonométricas podem ser transformadas
(utilizando as relações já aprendidas) em outras mais simples, chamadas equações
fundamentais:
sen x = sen a
cos x = cos a
tg x = tg a
Vejamos cada um desses casos, separadamente.
1º Caso: Resolução de equações do tipo sen x = sen a.

98
unidade 3
Observe os exemplos abaixo:
1) Resolva a equação
1
sen
2
x = .
Figura 3.2
Pela figura 3.2 observamos que
1
sen
2
x = corresponde a um arco x pertencente
ao 1º ou ao 2º quadrantes.
No 1º quadrante:
6
x
π
= , pois
1
sen
6 2
π
= .
No 2º quadrante:
5
6 6
x
π π
= π − = .
Observe, na figura 3.2, que todos os arcos com extremidade em M ou em
M1
são soluções da equação dada, pois cada um desses pontos será extremidade
de infinitos arcos trigonométricos, chamados arcos côngruos, após k voltas na
circunferência trigonométrica. Dessa forma, a solução geral da equação é:
5
2 ou 2
6 6
S x R x k x k
π π 
= ∈ = + π = + π 
 
, com k Z∈
2) Resolva a equação
2
sen
2
x = − .

99
unidade 3
Pela figura 3.3 observamos que
2
sen
2
x = − corresponde a um arco x
pertencente ao 3º ou ao 4º quadrantes.
Figura 3.3
No 3º quadrante
5
4
x
π
=
No 4º quadrante
5
4 4
x
π π
= π − = −
Logo, a solução geral da equação é:
5
2 ou 2
4 4
S x R x k x k
π π 
= ∈ = + π = − + π 
 
, com k Z∈
3) Resolva a equação sen x = 0.
Pela figura 3.4 verificamos que sen x = 0 se, e somente se, o arco de medida x
(em radianos) termina em A ou em A’.
Figura 3.4

100
unidade 3
Portanto, a solução geral da equação é
{ }kS x R x= ∈ = π , com k Z∈
4) Resolva a equação sen x = −1
Figura 3.5
Pela figura 3.5:
3
1 sen
2
π
− =
Portanto,
3
2
x
π
= e a solução geral da equação é:
3
2
2
S x R x k
π 
= ∈ = + π 
 
, com k Z∈ .
A partir dos exemplos anteriores, podemos concluir que:
De modo geral o conjunto solução de uma equação do tipo
sen x = sen a é: { }2 ou 2S x R x a k x a k= ∈ = + π = π − + π , com
k Z∈
5) Resolva a equação sen sen
5
x
π
=

Temos que:
2k
5
x
π
= + π ou

4
2k 2k
5 5
x x
π π
= π − + π ⇒ = + π

101
unidade 3
Portanto:
4
2 ou 2
5 5
S x R x k x k
π π 
= ∈ = + π = + π 
 
, com k Z∈
Considerando as equações dadas, que são da forma sen x = sen a, vamos
resolver, agora, as seguintes equações trigonométricas:
1) Resolva a equação: sen 2x = 1.
Como 1 sen
2
π
= , podemos escrever: sen 2x sen
2
π
= .
Daí: 2 2k k
2 4
x x
π π
= + π ⇒ = + π
E a solução geral da equação é:
4
S x R x k
π 
= ∈ = + π 
 
, com k Z∈ .
2) Resolva a equação: 2 sen 3 2x = .
Figura 3.6

102
unidade 3
Temos que:
2
sen 3
2
x = .
Pela figura 3.6 observamos que:
2
sen
2 4
π
= ou
2
sen
2 4
π 
= π − 
 
.

Logo: sen 3 sen
4
x
π
= ou
3
sen 3 sen
4
x
π
= .
Então:
2k
3 2k
4 12 3
x x
π π π
= + π ⇒ = + ou
3 2k
3 2k
4 4 3
x x
π π π
= + π ⇒ = +
E a solução geral da equação é
2 2
ou
12 3 4 3
k k
S x R x x
π π π π 
= ∈ = + = + 
 
, com k Z∈ .
3) Resolva a equação: ( )
3
sen 3
2
x − π = .
Figura 3.7

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