O documento discute operações aritméticas binárias, incluindo: 1) Adição binária segue o mesmo princípio da adição decimal, com apenas 4 casos possíveis em cada posição. 2) Subtração binária é realizada através da adição, negando o subtraendo e somando ao minuendo. 3) Sistemas digitais representam números com sinal usando complemento de 2, onde números positivos estão na forma verdadeira e negativos na forma complementada.

1. Aritmética Digital
Operações e Circuitos
Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

2. Adição Binária
 É feita da mesma forma que uma operação de
adição decimal, o princípio é o mesmo.
 LSD – Digito menos significativo (least
significant digit)
19/05/20152 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

3. Adição Binária
 Em uma operação de adição decimal, cada
coluna (posição) é somada da direita para a
esquerda. O mesmo ocorre com a adição
binária, entretanto, existem apenas 4 casos na
adição binária em qualuqer posição:
Caso 1 CARRY 0 0 0 0 + 0 = 0
Caso 2 1 0 1 1 + 0 = 1
Caso 3 1 1 1 0 1 + 1 = 10
Caso 4 1 1 1 1 1 + 1 = 11
19/05/20153 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

4. Adição Binária
 Todo e qualquer sistema digital executa a operação
de adição com apenas DOIS operandos de cada vez!
 Os computadores modernos podem realizar UMA
operação de adição em nanossegundos.
 Adição binária é a operação aritmética MAIS
importante de um sistema digital, pois outras
operações também são realizadas apenas com
adições.
 Exemplos:
 A) 011 + 110 = 1001
 B) 1001 + 1111 = 11000
 C) 11,011 + 10, 110 = 110, 001
19/05/20154 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

5. Representação de Números com Sinal
 Magnitude do número: faixa de representação
dos números binários
 Exemplo: 0 à 63 = 000000 à 111111. Um
registrador de 6 bits pode armazenar essa faixa
de números binários.
 Sinal do número: positivo (+) ou negativo (-)
 Bit de sinal: é o bit que representa o sinal
positivo ou negativo no número binário.
 0 no bit de sinal = sinal positivo
 1 no bit de sinal = sinal negativo
19/05/20155 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

6. Representação de Números com Sinal
 Exemplos:
a6 A5 a4 a3 a2 a1 a0
0 1 1 0 1 0 0
(1bit) Bit de sinal (+) (6 bits) Magnitude = +(52)10
b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0
1 1 1 0 1 0 0
(1bit) Bit de sinal (-) (6bits) Magnitude = - (52)10
19/05/20156 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

7. Complemento de 1
 Substitua cada bit do número binário pelo seu
completo, ou seja, onde for zero, coloque um e,
onde for um coloque zero.
1 0 1 1 0 1
Número binário
original
0 1 0 0 1 0 Complemento de 1
19/05/20157 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

8. Complemento de 2
 Pegue o número em complemento de 1 e some
1 no bit menos significativo
1 0 1 1 0 1
Número binário
original
0 1 0 0 1 0 Complemento de 1
1 +
0 1 0 0 1 1 Complemento de 2
19/05/20158 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

9. Representação de números com sinal no
complemento de 2
 MSB – Bit mais significativo (most significant
bit)
 Números positivos: o bit de sinal zero é
inserido em frente ao MSB diretamente
 Números negativos: o bit de sinal um é
inserido em frente ao MSB e a magnitude deve
estar em complemento de 2
0 1 0 1 1 0 1
Bit de sinal (+) Número binário real (verdadeiro) = +45 (10)
1 0 1 0 1 1 1
Bit de sinal (-) Número em complemento de 2 = -45 (10)
19/05/20159 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

10. Representação de números com sinal no
complemento de 2
 Números com sinal SEMPRE serão
representados no sistema de complemento a 2
 A subtração pode ser efetuada a partir da
adição
 Um ÚNICO circuito que faça as duas operações
poupa hardware na fabricação do circuito
integrado
19/05/201510 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

11. Extensão de Sinal
 O tamanho de um registrador determina o número
de digitos binários armazenados para cada número.
 Cada registrador é composto por FLIP-FLOPS
 Os sitemas digitais modernos armazenam os
números binários em múltiplos pares de quatro
bits.
 Registradores de armazenamento: 4, 8, 12, 16, 32
ou 64 bits.
 Em um sistema de 8 bits, 7 representam a
magnitude do número e 1 é reservado para o sinal
(MSB)
 E se precisarmos armazenar um número de 5bits
em um registrador de tamanho 8 bits?
19/05/201511 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

12. Extensão de Sinal
 Se o número tiver sinal positivo: basta
acrescentar zeros à esquerda;
 Se o número tiver sinal negativo: devemos
acrescentar 1’s à frente;
0 0 0 0 1 0 0 1
Zeros acrescentados
(extensão do sinal para 8
bits)
BIT DE
SINAL
Valor binário para +9 em 4 bits
1 1 1 1 0 1 1 1
Uns acrescentados
(extensão do sinal para 8
bits)
BIT DE
SINAL
Valor binário para -9 (magnitude no
complemento a 2)
19/05/201512 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

13. Negação
 Um número binário com sinal é negado pela
complementação a 2
 Se o número é positivo, a negação o torna negativo
 Se o número é negativo, a negação o torna positivo
0 0 0 0 1 0 0 1 +9 Número original
1 1 1 1 0 1 1 1 -9 Complemento a 2 (já é o número negado)
0 0 0 0 1 0 0 1 +9 Negar de novo
1 1 1 1 0 1 1 1 -9 Número original
0 0 0 0 1 0 0 1 +9 Complemento a 2 (já é o número negado)
1 1 1 1 0 1 1 1 -9 Negar de novo
19/05/201513 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

14. Caso especial na representação do
complemento de 2
 Os números binários que ficam nas
extremidades da magnitude, entre as faixas
positivas e negativas, são um caso particular.
 O complemento de 2 destes números é o
próprio número
 Exemplo:
1 0 0 0 +8
1 1 0 0 0 -8
0 0 1 1 1 C1
1
0 1 0 0 0 C2
19/05/201514 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

15. Caso especial na representação do
complemento de 2
 Qual a faixa de valores de números decimais
SEM SINAL que pode ser representada com um
byte?
 R.: 256 ou 28 valores diferentes
 Um byte = 8 bits
 Não há bit de sinal
 Portanto, os 8 bits são usados para representar
a magnitude do número binário
 00000000 = 0(10)
 1111111 = 255(10)
19/05/201515 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

16. Caso especial na representação do
complemento de 2
 Qual a faixa de valores de números decimais COM
SINAL que pode ser representada com um byte?
 R.: A faixa é de -128 à + 127 em um total de 256
valores diferentes, incluindo zero.
 Um byte = 8 bits
 Há bit de sinal, portanto 1 bit é usado para o sinal
 Portanto, 7 bits são usados para representar a
magnitude do número binário
 10000000 = -128(10) = -27
 0111111 = +127(10) = +27
19/05/201516 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

17. Adição no sistema de complemento de 2
1. Somar dois números positivos
+9 0 1 0 0 1
+4 0 0 1 0 0
+13 0 1 1 0 1
BIT DE
SINAL
19/05/201517 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

18. Adição no sistema de complemento de 2
2. Somar dois números positivos
 IMPORTANTE: é necessário que a primeira e a
segunda parcela (ou primeiro e segundo
operandos) tenham a mesma quantidade de
bits
+9 0 1 0 0 1
+4 0 0 1 0 0
+13 0 1 1 0 1
BIT DE
SINAL
19/05/201518 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

19. Adição no sistema de complemento de 2
3. Somar um número positivo com um número
negativo inferior
 O CARRY gerado SEMPRE é desconsiderado
neste caso
CARRY 1 1
+9 0 1 0 0 1
-4 1 1 1 0 0
+5 1 0 0 1 0 1
O CARRY é
desconsiderado
BIT DE
SINAL
19/05/201519 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

20. Adição no sistema de complemento de 2
4. Somar dois números negativos
 O resultado está na forma de complemento a 2
com um bit de sinal e é negativo
 Não esqueça de fazer o C2 de 9
Carry 1 1 1
-9 1 0 1 1 1
-4 1 1 1 0 0
-13 1 1 0 0 1 1
Bit de carry
desconsiderado
BIT DE
SINAL
19/05/201520 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

21. Adição no sistema de complemento de 2
5. Números iguais com sinais opostos
Carry 1 1 1 1 1
-9 1 0 1 1 1
+9 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0
Bit de carry
desconsiderado
BIT DE
SINAL
19/05/201521 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

22. Subtração no sistema de complemento de 2
 Qualquer operação de subtração em
complemento de 2 torna-se uma operação de
adição
 Para subtrair um número binário (subtraendo)
de outro (minuendo):
19/05/201522 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

23. Subtração no sistema de complemento de 2
 Faça a operação de negação do subtraendo
 Adicione esse número obitdo ao minuendo
 Exemplo 1: (+9) – (+4) = 01001 – 00100
 9 é o minuendo e 4 é o subtraendo, portanto,
fazer a negação de 4 (11100)
1 1 Carry
0 1 0 0 1 +9 Minuendo
1 1 1 0 0 -(+4) Subtraendo
1 0 0 1 0 1 +5 Resultado
O carry é desconsiderado. (+9) – (+4) = +5
19/05/201523 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

24. Subtração no sistema de complemento de 2
 Exemplo 2: (-4) - (+9)
 Primeiro: identificar as magnitudes e os sinais
dos números binários  11100 – 01001
 Segundo: -4 é o minuendo e 9 é o subtraendo,
portanto, fazer a negação de 9 (10111)
 Terceiro: fazer a adição
1 1 1 CARRY
1 1 1 0 0 -4 Minuendo
1 0 1 1 1 -(+9) Subtraendo
1 1 0 0 1 1 -13 Resultado
19/05/201524 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

25. Subtração no sistema de complemento de 2
 Exemplo 3: (+9) – (-4)
 Primeiro: identificar as magnitudes e os sinais
dos números binários  01001 – 11100
 Segundo: fazer a operação de negação do
número 4  00100
 Terceiro: fazer a adição
CARRY
0 1 0 0 1 +9 Minuendo
0 0 1 0 0 -(-4) Subtraendo
0 1 1 0 1 +13 Resultado
19/05/201525 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

26. Subtração no sistema de complemento de 2
 Exemplo 4: (-9) – (+4)
 Primeiro: identificar as magnitudes e os sinais
dos números binários  10111 – 00100
 Segundo: fazer a operação de negação do
número 4  11100
 Terceiro: fazer a adição
1 1 1 CARRY
1 0 1 1 1 -9 Minuendo
1 1 1 0 0 -(+4) Subtraendo
1 1 0 0 1 1 -13 Resultado
19/05/201526 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

27. Subtração no sistema de complemento de 2
 Exemplo 5: (-9) – (-4)
 Primeiro: identificar as magnitudes e os sinais
dos números binários  10111 – 11100
 Segundo: fazer a operação de negação do
número 4  00100
 Terceiro: fazer a adição
1 CARRY
1 0 1 1 1 -9 Minuendo
0 0 1 0 0 -(-4) Subtraendo
1 1 0 1 1 -5 Resultado
19/05/201527 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

28. Subtração no sistema de complemento de 2
 Exemplo 5: (+4) – (-4)
 Primeiro: identificar as magnitudes e os sinais
dos números binários  00100 – 11100
 Segundo: fazer a operação de negação do
número 4  00100
 Terceiro: fazer a adição
1 CARRY
0 0 1 0 0 +4 Minuendo
0 0 1 0 0 -(-4) Subtraendo
0 1 0 0 0 +8 Resultado
19/05/201528 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

29. Overflow Aritmético
 Ocorre apenas quando dois números positivos
ou dois números negativos são somados
 O bit de sinal fica incorreto e a magnitude do
número é menor do que o número resultando
(quantidade de bits insuficiente para
representar o número)
 Essas somas dão um resultado ERRADO
 Na subtração, o overflow ocorre quando o
minuendo e o subtraendo tem sinais diferentes
19/05/201529 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

30. Overflow Aritmético
 EXEMPLIFICANDO: +9 + 8 = +17
 O resultado deve ser um número binário
positivo, pois estamos somando dois números
positivos
 Entretanto, como pode ser observado na tabela,
o resultado no bit de sinal dá 1, indicando um
número negativo. Isto é errado!!! É o overflow
1 carry
0 1 0 0 1 +9
0 1 0 0 0 +8
1 0 0 0 1 +17
BIT DE
SINAL
Magnitude INCORRETA
19/05/201530 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

31. Overflow Aritmético
 O overflow pode ser detectado verificando se o
BIT DE SINAL do resultado tem o mesmo valor
dos BITS DE SINAL dos números que estão
sendo somados
 Um circuito particular faz essa detecção
enviando um sinal para a unidade de controle
de que o resultado realizado pela unidade
aritmética está errado
19/05/201531 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

32. Multiplicação de números binários
 Igual ao processo decimal
1 0 0 1 Operando 1
1 0 1 1 Operando 2
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
19/05/201532 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

33. Multiplicação de números binários
 Igual ao processo decimal
1 0 0 1 Operando 1
1 0 1 1 Operando 2
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
19/05/201533 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

34. Multiplicação de números binários
 Igual ao processo decimal
1 0 0 1 Operando 1
1 0 1 1 Operando 2
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
0 0 0 0 0 * 1001 (produto parcial)
19/05/201534 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

35. Multiplicação de números binários
 Igual ao processo decimal
1 0 0 1 Operando 1
1 0 1 1 Operando 2
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
0 0 0 0 0 * 1001 (produto parcial)
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
19/05/201535 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

36. Multiplicação de números binários
 Igual ao processo decimal
1 0 0 1 Operando 1
1 0 1 1 Operando 2
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
0 0 0 0 0 * 1001 (produto parcial)
1 0 0 1 1 * 1001 (produto parcial)
1 1 0 0 0 1 1 Resultado final
19/05/201536 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto
IMPORTANTE: a maioria das máquinas digitais pode SOMAR apenas DOIS
números binários de cada vez. Por isso, os produtos parciais obtidos durante a
multiplicação NÃO podem ser somados ao mesmo tempo, portanto, são somados
2 de cada vez.

37. Multiplicação de números binários
 Somando os produtos parciais, dois a cada vez
1 0 0 1 1 * 1001 (1.º produto parcial)
1 0 0 1
1 * 1001 (2.º produto parcial deslocado à
esquerda)
1 1 0 1 1 1.º Resultado parcial: 1.º P + 2.º P
19/05/201537 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto
1 1 0 1 1 1.º Resultado parcial: 1.º P + 2.º P
0 0 0 0
0 * 1001 (3.º produto parcial deslocado duas casas à
esquerda)
0 1 1 0 1 1 2.º Resultado parcial: 1.º P + 2.ºP + 3.º P.

38. Multiplicação de números binários
 Somando os produtos parciais, dois a cada vez
19/05/201538 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto
0 1 1 0 1 1 2.º Resultado parcial: 1.º P + 2.º P + 3.º P
1 0 0 1
1 * 1001 (4.º produto parcial deslocado três casas à
esquerda)
1 1 0 0 0 1 1 Resultado Final: 1.º P. + 2.º P. + 3.º P. + 4.º P.

39. Multiplicação de números binários
 Somando os produtos parciais, dois a cada vez:
OUTRA FORMA DE EXECUTAR
19/05/201539 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto
1 0 0 1 1.º Produto Parcial
1 0 0 1 2.º Produto Parcial deslocado à esquerda
1 1 0 1 1 Soma dos dois primeiros produtos parciais
0 0 0 0 3.º Produto Parcial deslocado à esquerda
0 1 1 0 1 1 Soma dos três primeiros produtos parciais
1 0 0 1 4.º Produto Parcial deslocado à esquerda
1 1 0 0 0 1 1 RESULTADO FINAL

40. Multiplicação no sistema de complemento
de 2
 Multiplicando e Multiplicador positivos: fazer
a multiplicação como descrita anteriormente. O
resultado deve ser POSITIVO, portanto, bit de
sinal igual a zero.
 Multiplicadndo e Multiplicador negativos:
deverão estar na forma de complemento a 2,
portanto, primeiro, antes da multiplicação,
encontrar o complemento a 2 dos números e
somente depois multiplicar.
19/05/201540 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

41. Multiplicação no sistema de complemento
de 2
 Um número positivo e outro negativo:
converter o número negativo em um número
positivo usando a técnica do complemento a 2.
O produto resultante deve ser negativo por
conta dos sinais diferentes, então, o resultado
deve ser convertido pelo complemento a 2, de
modo que o bit de sinal seja 1.
19/05/201541 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto

42. Divisão binária
19/05/201542 Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto