Logaritmos   Josiane Ferzola Fagundes    Marina Menna Barreto   Reinaldo da Cruz Duarte
Problema InicialUma planta não pode viver a profundidadesmuito maiores que 10 m porque necessita deluz solar.Suponha que n...
Idéia de Solução: Partindo-se de um modelo exponencial, do   tipo y = yo . ax  Onde:   y é a luminosidade no ponto procura...
Temos:10% = 100% (25%)   x                       metros
Um pouco da História dos       Logaritmos...Muitos dos campos nos quais os cálculosnuméricos são importantes, como aastron...
A notação hindo-arábica, asfrações decimais, os logaritmos eos modernos computadores.     É hora de se considerar oterceir...
O poder dos logaritmos, como instrumento decálculo, repousa no fato de que eles reduzemmultiplicações e divisões a simples...
Como se dá isto ?Pensemos, por exemplo,   em potências de 2
Observamos que quando multiplicamos 4 (=22) por32 (=25), obtemos como resultado 128.               Mas, 128 é exatamente 2...
Podemos observar também que os númerosda primeira seqüência correspondem auma progressão geométrica enquanto osnúmeros da ...
Tentemos agora fazer o mesmo   para o nosso sistema de numeração   decimal (base 10).antiloglogaritmo       Para multiplic...
Mas e se quisermos o produto         de 2 por 3?Podemos observar que a nossa tabelanova não é muito útil já que não nosres...
Vamos então reescrever                  a primeira parte da tabela:      Podemos ver facilmente que logaritmo de 3está cer...
Resumindo temos que, se tivermos umnúmero x, que possa ser escrito como:    x=     base                  y                ...
Durante anos ensinou-se a calcular comlogaritmos na escola de 2o grau ou no iníciodos cursos superiores de matemática;tamb...
Nos perguntamos então por que    continuamos a ensinar logaritmos nas Escolas e nas        Universidades ?
... Por que apesar dos logaritmosnão serem mais necessários como facilitadores de cálculos, eles setornaram um modelo conv...
Os logaritmos e os decibéisO som é toda variação na pressão do ar (ou outromeio elástico) capaz de impressionar o ouvido.A...
Devido ao seu enorme campo devariação*,   estas grandezas sãousualmente expressas em escalalogaritmica.*Um murmúrio irradi...
Usamos escalas logaritmicas parapossibilitar uma melhor visualização   do gráfico e para transformar  algumas curvas em li...
Os Logaritmos no Curral    O consumo da ração alimentícia bovinaé proporcional à superfície externa docorpo do animal.    ...
Para resolvermos este problema, devemosutilizar além da álgebra a geometria.      De acordo com as condições do problema, ...
A geometria nos ensina que as superfícies(s) de corpos semelhantes são proporcionais aoquadrado de suas medidas lineares (...
Os logaritmos e o pHO pH de uma solução aquosa nos diz o quantoácida (H+) ou básica (OH-) é a solução.
Podemos escrever também:pH = - log [H+]    &    pOH = - log [OH-]Sabe-se, da química que: [H+] x [OH-] = 10-14aplicando-se...
Observamos então que o pH é medido  em escala logaritmica, onde cada unidade representa um fator de 10.Sabendo-se que o pH...
pH café = 5           [H+] = 10-5                       acidez      pH água = 7          [H+] = 10-7logo o pH do café é: 1...
Os logaritmos e os terremotosA escala Richter, usada para medir amagnitude dos terremotos, é uma escalalogaritmica. Isto s...
Em 1906, em São Francisco (E.U.A) teveum terremoto (8,3 na escala Richter) quecausou incêndio e destruição de quasetoda a ...
Sugestões de exercícios1. Como calcular x = 3 15,2 ?2. Calcular (6,21)8 :3. Como poderíamos saber se será possívelfazer 25...
5. Calcular o valor de A = 5 (3,4) 2 ⋅ (1,73) 2com aproximação de centésimos.6. Determinar qual é o tempo necessáriopara q...
8.  (CESGRANRIO-77)As indicações R1 e R2 ,na escalaRichter, de dois terremotos estão relacionadas pelafórmula: R1 - R2 = L...
Encontre o erro...             2          3               2         31 1    1  1                   1       1 >  ⇒ ...
Referência Bibliográfica• JACOBS, HAROLD R., “Mathenatics: a human endeavor”, ed  San Francisco, 1970• AGUIAR,       ALBER...
“Chambered nautilus” é uma criaturamarinha, que a medida que crescedesloca-se sucessivamente em direçãoà compartimentos de...
•http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/passa1f.html•FELTRE, Ricardo;YOSHINAGA, Setsuo “Físico-Química(vol3)” ed. Moderna, S...
Logaritimos
Logaritimos
Logaritimos
Logaritimos
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Logaritimos

1.726 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.726
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
55
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Logaritimos

  1. 1. Logaritmos Josiane Ferzola Fagundes Marina Menna Barreto Reinaldo da Cruz Duarte
  2. 2. Problema InicialUma planta não pode viver a profundidadesmuito maiores que 10 m porque necessita deluz solar.Suponha que num lago, a intensidade da luzse reduza 25% a cada metro deprofundidade.A que profundidade a luz se reduz a 10% daluz do dia?
  3. 3. Idéia de Solução: Partindo-se de um modelo exponencial, do tipo y = yo . ax Onde: y é a luminosidade no ponto procurado yo é a luminosidade na superfície a é a taxa de decaimento solar x é a profundidade que se quer encontrar
  4. 4. Temos:10% = 100% (25%) x metros
  5. 5. Um pouco da História dos Logaritmos...Muitos dos campos nos quais os cálculosnuméricos são importantes, como aastronomia, a navegação, o comércio, aengenharia e a guerra fizeram com que asdemandas para que estes cálculos setornassem cada vez mais rápidos eprecisos crescessem semprecontinuamente. Quatro notáveis invençõesvieram a atender sucessivamente essasdemandas crescentes.
  6. 6. A notação hindo-arábica, asfrações decimais, os logaritmos eos modernos computadores. É hora de se considerar oterceiro destes grandesdispositivos poupadores detrabalho, os logaritmos, inventadospor John Napier perto do início doséc. XVII.
  7. 7. O poder dos logaritmos, como instrumento decálculo, repousa no fato de que eles reduzemmultiplicações e divisões a simples operações deadição e multiplicação. 324 324 x 245 + 245 +1620 569 +1296 + 648 uma operação 79380 quatro operações
  8. 8. Como se dá isto ?Pensemos, por exemplo, em potências de 2
  9. 9. Observamos que quando multiplicamos 4 (=22) por32 (=25), obtemos como resultado 128. Mas, 128 é exatamente 27 ! Podemos observar que, ao invés de fazermos 4 x 32,podemos simplesmente somar seus expoentes (2 + 5 = 7) eassim, construir uma tabela que faça qualquer produto depotências de 2!
  10. 10. Podemos observar também que os númerosda primeira seqüência correspondem auma progressão geométrica enquanto osnúmeros da segunda a uma progressãoaritmética. Vamos chamar então de logaritmos os números da série aritmética e de antilogaritmos os números da série geométrica! Dizemos então que o logaritmo de 8 na base 2 é 3!
  11. 11. Tentemos agora fazer o mesmo para o nosso sistema de numeração decimal (base 10).antiloglogaritmo Para multiplicar 100 por 1000, basta somarmos seus logaritmos!
  12. 12. Mas e se quisermos o produto de 2 por 3?Podemos observar que a nossa tabelanova não é muito útil já que não nosresolve um problema relativamentesimples.Devemos então melhorar esta tabela !
  13. 13. Vamos então reescrever a primeira parte da tabela: Podemos ver facilmente que logaritmo de 3está certamente entre 0 e 1, já que 1 < 3 < 10. Observe o raciocínio e complete a tabela! 100,1 = número = 1,25
  14. 14. Resumindo temos que, se tivermos umnúmero x, que possa ser escrito como: x= base y (ex. 100 = 1) log base x=y (ex. log 10 1 = 0)
  15. 15. Durante anos ensinou-se a calcular comlogaritmos na escola de 2o grau ou no iníciodos cursos superiores de matemática;também por muitos anos a régua de cálculologaritmica, foi o símbolo do estudante deengenharia no campus universitário. Hoje porém com o advento dascalculadoras portáteis, ninguém mais em sãconsciência usa uma tábua de logaritmo ouuma régua de cálculo para finscomputacionais.
  16. 16. Nos perguntamos então por que continuamos a ensinar logaritmos nas Escolas e nas Universidades ?
  17. 17. ... Por que apesar dos logaritmosnão serem mais necessários como facilitadores de cálculos, eles setornaram um modelo convenientede se expressar os mais diversos fenômenos da natureza. Vejamos alguns exemplos
  18. 18. Os logaritmos e os decibéisO som é toda variação na pressão do ar (ou outromeio elástico) capaz de impressionar o ouvido.A impressionalidade do ouvido é devida à suacapacidade de perceber a freqüência, aintensidade e a potência com que ocorrem taisvariações. onde: dB = nível do som em decibéis (intensidade sonora) I = intensidade acústica I0 = intensidade “zero” da
  19. 19. Devido ao seu enorme campo devariação*, estas grandezas sãousualmente expressas em escalalogaritmica.*Um murmúrio irradia uma potência de 0,000000001 watt,enquanto que um avião a jato ao decolar produz umapotência de 100000 watts.
  20. 20. Usamos escalas logaritmicas parapossibilitar uma melhor visualização do gráfico e para transformar algumas curvas em linhas retas. Vejamos alguns exemplos
  21. 21. Os Logaritmos no Curral O consumo da ração alimentícia bovinaé proporcional à superfície externa docorpo do animal. Sabendo-se que um boi que pesaaproximadamente 630Kg necessita de13500 calorias de ração, perguntamos: Quantas calorias provenientes daração necessitará um boi que pesa 420 Kg?
  22. 22. Para resolvermos este problema, devemosutilizar além da álgebra a geometria. De acordo com as condições do problema, ascalorias que procuramos (x) são proporcionais àsuperfície externa (s) do corpo do animal: x s1 = 13500 s 2 onde s1 é a superfície externa do boi que pesa 630 Kg.
  23. 23. A geometria nos ensina que as superfícies(s) de corpos semelhantes são proporcionais aoquadrado de suas medidas lineares (l), e osvolumes (e, por conseguinte, o peso) sãoproporcionais ao cubo das medidas lineares. s1 l 2 420 l 3 l 3 420 = 2 ⇒ = 2 ⇒ = s 2 l1 630 l1 l1 3 630 4 1x = 13500 ⋅ 3 log x = log(13500) + ( log 4 − log 9 ) 9 3 x = 10300
  24. 24. Os logaritmos e o pHO pH de uma solução aquosa nos diz o quantoácida (H+) ou básica (OH-) é a solução.
  25. 25. Podemos escrever também:pH = - log [H+] & pOH = - log [OH-]Sabe-se, da química que: [H+] x [OH-] = 10-14aplicando-se logaritmo dos dois lados temos: log[H+] + log[OH-] = log 10-14 log[H+] + log[OH-] = -14 -log[H+] - log[OH-] = 14 pH + pOH = 14
  26. 26. Observamos então que o pH é medido em escala logaritmica, onde cada unidade representa um fator de 10.Sabendo-se que o pH do café é 5 e oda água é 7.Pergunta-se: qual é o mais ácido equantas vezes é mais ácido?
  27. 27. pH café = 5 [H+] = 10-5 acidez pH água = 7 [H+] = 10-7logo o pH do café é: 10 −5 −7 = 100 vezes mais ácido que a água 10
  28. 28. Os logaritmos e os terremotosA escala Richter, usada para medir amagnitude dos terremotos, é uma escalalogaritmica. Isto significa que as medidasde intensidade dos terremotos cresceexponencialmente
  29. 29. Em 1906, em São Francisco (E.U.A) teveum terremoto (8,3 na escala Richter) quecausou incêndio e destruição de quasetoda a cidade. Em 1989, também em SãoFrancisco, um outro terremoto (7,1 naescala Richter) atingiu a cidade járeconstruida. Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de 1906?
  30. 30. Sugestões de exercícios1. Como calcular x = 3 15,2 ?2. Calcular (6,21)8 :3. Como poderíamos saber se será possívelfazer 250 em uma calculadora comum ? Istoé, quantos algarismos têm este número?4. O volume de uma esfera é dado porV=4πR3 /3 onde R é o raio da esfera.Calcular o raio da esfera de volume 20cm3.
  31. 31. 5. Calcular o valor de A = 5 (3,4) 2 ⋅ (1,73) 2com aproximação de centésimos.6. Determinar qual é o tempo necessáriopara que um capital empregado a taxa de3% ao mês, com juros capitalizadosmensalmente, triplique seu valor.7. Uma certa cultura de bactérias crescesegundo a lei N(t) = 2000 . 10 t/36, onde N(t)é número de bactérias após t horas.Quantas bactérias haverá após 3 horas?
  32. 32. 8. (CESGRANRIO-77)As indicações R1 e R2 ,na escalaRichter, de dois terremotos estão relacionadas pelafórmula: R1 - R2 = Log (M1/M2)onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotossob a forma de ondas que se propagam pela crostaterrestre. Houve dois terremotos : um correspondente aR1 = 8 e outro correspondente a R2 = 6. A razão M1/M2 é:a)2 b)log2 10 c)4/3 d)102 e)log (4/3)9. A expressão log 2 + log 3 + log 4 + log 5 equivale a:a)log 5! b) 5! Log 5 c)5 log 5! d) 5 + log 5 ! e)5 ! + log 5
  33. 33. Encontre o erro... 2 3 2 31 1  1  1 1  1 > ⇒   >  ⇒ log  > log 4 8  2  2  2  2  1  1⇒ 2 log  > 3 log  ⇒ 2 > 3  2  2 ?!? Dividimos ambos os membros por log(1/2)
  34. 34. Referência Bibliográfica• JACOBS, HAROLD R., “Mathenatics: a human endeavor”, ed San Francisco, 1970• AGUIAR, ALBERTO F. A., XAVIER, AIRTON, RODRIGUES,JOSÉ, “Cálculo para ciências médicas e biológicas”, ed Harbra, São Paulo, 1988• IEZZI, GELSON, DOLCE, OSVALDO, MURAKAMI, CARLOS, ”Fundamentos de Matemática Elementar - logaritmos (vol 2)” , ed Atual, S Paulo, 1997• SANTOS, ANTONIO L., “Olimpíadas de matemática do estado do Rio de Janeiro”, ed Atual/ SBM, S Paulo/Rio de Janeiro, 1996• GIOVANNI, JOSÉ R., BONJORNO, JOSÉ R., “Matemática -2o grau (vol 1)” ed FTD, S Paulo• CARNEIRO, VERA C., “Funções Elementares (100 situações- problema de matemática)”, ed da Universidade, 1993
  35. 35. “Chambered nautilus” é uma criaturamarinha, que a medida que crescedesloca-se sucessivamente em direçãoà compartimentos de mesmo formato,com excessão do último, onde jáatingiu seu tamanho máximo.A concha tem o formato de uma curvachamada ESPIRAL LOGARITMICA,que foi descoberta por Descartes.
  36. 36. •http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/passa1f.html•FELTRE, Ricardo;YOSHINAGA, Setsuo “Físico-Química(vol3)” ed. Moderna, S.Paulo, 1977•HOGBEN, Lancelot “Maravilhas da matemática- influênciae função da Matemática nos conhecimentos humanos” ed.Globo, P. Alegre,1952

×