SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 11
Baixar para ler offline
Centro Educacional Adventista do Gama
3º Bimestre
Professora Andréia
9º ano
Matemática
Material de Apoio
Equações Biquadradas, Irracionais e fracionárias.
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um
termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.
Denominamos essas equações de equações biquadradas.
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:
ax4 + bx2 + c = 0
Exemplos:
x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 0
3x4 - 27 = 0
Cuidado!
x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0
As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só
possui expoentes pares.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável,
transformando-a numa equação do 2º grau.
Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação
biquadrada.
Sequencia prática
Substitua por ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
Resolva a equação ay2 + by + c = 0
Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.
Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0
dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a
nenhuma raiz real para a mesma.
Exemplos:
1) Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=4 e y''=9
Como x2= y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.
2) Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 + 4y - 60 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=6 e y''= -10
Como x2= y, temos:
Logo, temos para o conjunto verdade: .
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Considere as seguintes equações:
Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações
são irracionais.
Ou seja:
Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS
A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando
transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os
membros da equação a uma potência conveniente.
Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos
se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da
equação irracional dada (verificar a igualdade).
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação
a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.
1) Qual é o conjunto solução da equação ?
Solução
Logo, V= {58}.
2) Qual é o conjunto solução da equação ?
Solução
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
3) Qual é o conjunto solução da equação
Resolução:
Verificação:
7 = 7 (sentença verdadeira)
Portanto, S = {48}
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
As equações são expressões que utilizam LETRAS na representação de valores
desconhecidos. Algumas equações são apresentadas com frações em seu
desenvolvimento. Dessa forma, requerem algumas técnicas fundamentais para a
resolução. No caso das frações, devemos reduzir os denominadores ao mesmo valor,
aplicando o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Depois de calculado, devemos
dividir o novo denominador pelo anterior e multiplicar o resultado pelo numerador
correspondente.
EXEMPLOS
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO
Material de apoio 9ºano
Material de apoio 9ºano
Material de apoio 9ºano
A prática leva a perfeição!!

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionaisLista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionaisAndréia Rodrigues
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pJean Silveira
 
9° ano equações do 2° grau incompletas
9° ano equações do 2° grau incompletas9° ano equações do 2° grau incompletas
9° ano equações do 2° grau incompletasHélio Rocha
 
9º ano - Razões trigométricas, equação biquadrada e irracional
9º ano - Razões trigométricas, equação biquadrada e irracional9º ano - Razões trigométricas, equação biquadrada e irracional
9º ano - Razões trigométricas, equação biquadrada e irracionalAndréia Rodrigues
 
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade iiLista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade iiRodrigo Borges
 
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoSistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
 
Lista 03 1º ano logarítmos
Lista 03 1º ano   logarítmosLista 03 1º ano   logarítmos
Lista 03 1º ano logarítmosHélio Rocha
 
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...Secretaria de Estado de Educação do Pará
 
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
Mat matrizes determinantes  001 exerciciosMat matrizes determinantes  001 exercicios
Mat matrizes determinantes 001 exerciciostrigono_metrico
 
Equação do primeiro grau..
Equação do primeiro grau..Equação do primeiro grau..
Equação do primeiro grau..Nivea Neves
 
Equações sistemas de equações e inequações
Equações  sistemas de equações e inequaçõesEquações  sistemas de equações e inequações
Equações sistemas de equações e inequaçõesAntonio Magno Ferreira
 
Mat exercicios fatoracao algebrica
Mat exercicios fatoracao algebricaMat exercicios fatoracao algebrica
Mat exercicios fatoracao algebricatrigono_metria
 
Expressões para os Alunos
Expressões para os AlunosExpressões para os Alunos
Expressões para os AlunosRobinho Soares
 

Mais procurados (20)

Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionaisLista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
 
Lista resolvida 9º ano
Lista resolvida 9º anoLista resolvida 9º ano
Lista resolvida 9º ano
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
 
9° ano equações do 2° grau incompletas
9° ano equações do 2° grau incompletas9° ano equações do 2° grau incompletas
9° ano equações do 2° grau incompletas
 
9º ano - Razões trigométricas, equação biquadrada e irracional
9º ano - Razões trigométricas, equação biquadrada e irracional9º ano - Razões trigométricas, equação biquadrada e irracional
9º ano - Razões trigométricas, equação biquadrada e irracional
 
Funcao exponencial
Funcao exponencialFuncao exponencial
Funcao exponencial
 
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade iiLista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
 
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoSistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
 
Lista 03 1º ano logarítmos
Lista 03 1º ano   logarítmosLista 03 1º ano   logarítmos
Lista 03 1º ano logarítmos
 
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
 
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
Mat matrizes determinantes  001 exerciciosMat matrizes determinantes  001 exercicios
Mat matrizes determinantes 001 exercicios
 
Equação do primeiro grau..
Equação do primeiro grau..Equação do primeiro grau..
Equação do primeiro grau..
 
Equações sistemas de equações e inequações
Equações  sistemas de equações e inequaçõesEquações  sistemas de equações e inequações
Equações sistemas de equações e inequações
 
Provas 9º ano
Provas 9º anoProvas 9º ano
Provas 9º ano
 
Mat exercicios fatoracao algebrica
Mat exercicios fatoracao algebricaMat exercicios fatoracao algebrica
Mat exercicios fatoracao algebrica
 
Volumes e simetria
Volumes e simetriaVolumes e simetria
Volumes e simetria
 
lista-de-exercicios-funcao-exponencial
lista-de-exercicios-funcao-exponenciallista-de-exercicios-funcao-exponencial
lista-de-exercicios-funcao-exponencial
 
Expressões para os Alunos
Expressões para os AlunosExpressões para os Alunos
Expressões para os Alunos
 
Prova do 8º ano
Prova do 8º anoProva do 8º ano
Prova do 8º ano
 
Radiciação
RadiciaçãoRadiciação
Radiciação
 

Destaque (20)

EquaçõEs RedutíVeis Ao 2º Grau
EquaçõEs RedutíVeis Ao 2º GrauEquaçõEs RedutíVeis Ao 2º Grau
EquaçõEs RedutíVeis Ao 2º Grau
 
Funcao do 2_grau
Funcao do 2_grauFuncao do 2_grau
Funcao do 2_grau
 
Juros simples
Juros simplesJuros simples
Juros simples
 
Resolução da lista 8º ano
Resolução da lista 8º anoResolução da lista 8º ano
Resolução da lista 8º ano
 
Listão 7º ano
Listão  7º anoListão  7º ano
Listão 7º ano
 
Mat 2 - 8º ano
Mat 2 - 8º anoMat 2 - 8º ano
Mat 2 - 8º ano
 
Lista 2 - 8º ano
Lista 2 - 8º anoLista 2 - 8º ano
Lista 2 - 8º ano
 
Lista 9º ano resolvida
Lista 9º ano resolvidaLista 9º ano resolvida
Lista 9º ano resolvida
 
Gabarito lista 2 8º ano
Gabarito  lista 2 8º anoGabarito  lista 2 8º ano
Gabarito lista 2 8º ano
 
Equação biquadrada exercicios
Equação biquadrada exerciciosEquação biquadrada exercicios
Equação biquadrada exercicios
 
Matemática básica equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
Matemática básica   equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013Matemática básica   equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
Matemática básica equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013
 
Lista6ºano
Lista6ºanoLista6ºano
Lista6ºano
 
Revisão para prova 8º ano
Revisão para prova 8º anoRevisão para prova 8º ano
Revisão para prova 8º ano
 
Setima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINALSetima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINAL
 
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIESemelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
 
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL PdfSexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 
Mat 2 matutino 8º ano
Mat 2 matutino 8º anoMat 2 matutino 8º ano
Mat 2 matutino 8º ano
 
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 
Lista 7º ano
Lista 7º anoLista 7º ano
Lista 7º ano
 

Semelhante a Material de apoio 9ºano

Equ biquadradas 24032011
Equ biquadradas 24032011Equ biquadradas 24032011
Equ biquadradas 24032011Aylton Mangue
 
Equaode1grau 120204171219-phpapp02
Equaode1grau 120204171219-phpapp02Equaode1grau 120204171219-phpapp02
Equaode1grau 120204171219-phpapp02AlissonSantos146
 
Equação de 1º grau
Equação de 1º grauEquação de 1º grau
Equação de 1º grauleilamaluf
 
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio Carlos
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosEquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio Carlos
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
 
Equação do segundo grau
Equação do segundo grauEquação do segundo grau
Equação do segundo graujaoozinhoqi123
 
Mat equacoes do 1 grau 002
Mat equacoes do 1 grau  002Mat equacoes do 1 grau  002
Mat equacoes do 1 grau 002trigono_metria
 
Unid 2- sistemas lineares
Unid 2- sistemas linearesUnid 2- sistemas lineares
Unid 2- sistemas linearesBrenda Rayza
 
Matemática básica radiciação equações
Matemática básica radiciação equaçõesMatemática básica radiciação equações
Matemática básica radiciação equaçõesAlessandro Lisboa
 
Equações 7 ano
Equações 7 anoEquações 7 ano
Equações 7 anopigchi
 
Intro teoria dos numerros cap7
Intro teoria dos numerros cap7Intro teoria dos numerros cap7
Intro teoria dos numerros cap7Paulo Martins
 
Mat equacoes do 1 grau 004
Mat equacoes do 1 grau  004Mat equacoes do 1 grau  004
Mat equacoes do 1 grau 004trigono_metria
 
Equações do 1º grau ppt
Equações do 1º grau pptEquações do 1º grau ppt
Equações do 1º grau pptktorz
 
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0Adriana Bonato
 
Educogente 9° ano -aula 1 - equação do 2° grau -
Educogente   9° ano -aula 1 - equação do 2° grau -Educogente   9° ano -aula 1 - equação do 2° grau -
Educogente 9° ano -aula 1 - equação do 2° grau -Patrícia Costa Grigório
 
Matemática III Aula 20 2012
Matemática III Aula 20 2012Matemática III Aula 20 2012
Matemática III Aula 20 2012Débora Bastos
 

Semelhante a Material de apoio 9ºano (20)

Slides Aula - Equações.pdf
Slides Aula - Equações.pdfSlides Aula - Equações.pdf
Slides Aula - Equações.pdf
 
EquaçAo Do 2º Grau
EquaçAo Do 2º GrauEquaçAo Do 2º Grau
EquaçAo Do 2º Grau
 
Equ biquadradas 24032011
Equ biquadradas 24032011Equ biquadradas 24032011
Equ biquadradas 24032011
 
Equaode1grau 120204171219-phpapp02
Equaode1grau 120204171219-phpapp02Equaode1grau 120204171219-phpapp02
Equaode1grau 120204171219-phpapp02
 
Equação de 1º grau
Equação de 1º grauEquação de 1º grau
Equação de 1º grau
 
Mat74a
Mat74aMat74a
Mat74a
 
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio Carlos
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosEquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio Carlos
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio Carlos
 
Equação do segundo grau
Equação do segundo grauEquação do segundo grau
Equação do segundo grau
 
Mat63a
Mat63aMat63a
Mat63a
 
Mat equacoes do 1 grau 002
Mat equacoes do 1 grau  002Mat equacoes do 1 grau  002
Mat equacoes do 1 grau 002
 
Unid 2- sistemas lineares
Unid 2- sistemas linearesUnid 2- sistemas lineares
Unid 2- sistemas lineares
 
Matemática básica radiciação equações
Matemática básica radiciação equaçõesMatemática básica radiciação equações
Matemática básica radiciação equações
 
Ap matematica
Ap matematicaAp matematica
Ap matematica
 
Equações 7 ano
Equações 7 anoEquações 7 ano
Equações 7 ano
 
Intro teoria dos numerros cap7
Intro teoria dos numerros cap7Intro teoria dos numerros cap7
Intro teoria dos numerros cap7
 
Mat equacoes do 1 grau 004
Mat equacoes do 1 grau  004Mat equacoes do 1 grau  004
Mat equacoes do 1 grau 004
 
Equações do 1º grau ppt
Equações do 1º grau pptEquações do 1º grau ppt
Equações do 1º grau ppt
 
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
 
Educogente 9° ano -aula 1 - equação do 2° grau -
Educogente   9° ano -aula 1 - equação do 2° grau -Educogente   9° ano -aula 1 - equação do 2° grau -
Educogente 9° ano -aula 1 - equação do 2° grau -
 
Matemática III Aula 20 2012
Matemática III Aula 20 2012Matemática III Aula 20 2012
Matemática III Aula 20 2012
 

Material de apoio 9ºano

  • 1. Centro Educacional Adventista do Gama 3º Bimestre Professora Andréia 9º ano Matemática Material de Apoio Equações Biquadradas, Irracionais e fracionárias.
  • 2. EQUAÇÕES BIQUADRADAS Observe as equações: x4 - 13x2 + 36 = 0 9x4 - 13x2 + 4 = 0 x4 - 5x2 + 6 = 0 Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos. Denominamos essas equações de equações biquadradas. Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma: ax4 + bx2 + c = 0 Exemplos: x4 - 5x2 + 4 = 0 x4 - 8x2 = 0 3x4 - 27 = 0 Cuidado! x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0 As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada. Sequencia prática Substitua por ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y. Resolva a equação ay2 + by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0. Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.
  • 3. Exemplos: 1) Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0. Solução Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: y2 - 13y + 36 = 0 Resolvendo essa equação, obtemos: y'=4 e y''=9 Como x2= y, temos: Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}. 2) Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0. Solução Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: y2 + 4y - 60 = 0 Resolvendo essa equação, obtemos: y'=6 e y''= -10 Como x2= y, temos: Logo, temos para o conjunto verdade: .
  • 4. EQUAÇÕES IRRACIONAIS Considere as seguintes equações: Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais. Ou seja: Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada (verificar a igualdade). É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais. 1) Qual é o conjunto solução da equação ? Solução Logo, V= {58}.
  • 5. 2) Qual é o conjunto solução da equação ? Solução Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. 3) Qual é o conjunto solução da equação Resolução: Verificação: 7 = 7 (sentença verdadeira) Portanto, S = {48}
  • 6. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS As equações são expressões que utilizam LETRAS na representação de valores desconhecidos. Algumas equações são apresentadas com frações em seu desenvolvimento. Dessa forma, requerem algumas técnicas fundamentais para a resolução. No caso das frações, devemos reduzir os denominadores ao mesmo valor, aplicando o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Depois de calculado, devemos dividir o novo denominador pelo anterior e multiplicar o resultado pelo numerador correspondente. EXEMPLOS
  • 11. A prática leva a perfeição!!