Geometria das massas

1. A1.1
Anexo 1
FORMULÁRIO DA GEOMETRIA DE MASSAS
A1.1 INTRODUÇÃO
Neste anexo é apresentado sumariamente as expressões mais utilizadas no
estudo da geometria de massas e algumas tabelas de perfis metálicos vulgarmente
utilizadas no projecto de estruturas metálicas.
A1.2 CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO, G
Quadro A1.1 – Centros de gravidade.
Peso específico variável Peso específico constante
Sistema discreto
gmp kk ⋅=
Ak
O
z
x
y
kr
r
G ∑=
⋅⋅=−
n
k
kk rp
p
OG
1
1 r
∑=
⋅⋅=−
n
k
kk rV
V
OG
1
1 r
Sistema contínuo
dmgdp ⋅=
O
z
x
y
r
r
dmG
∫ ⋅=−
M
dmgr
p
OG
r1
∫⋅=−
V
dVr
V
OG
r1

2. Formulário da geometria de massas
A1.2
A1.3 MOMENTOS ESTÁTICOS (OU DE 1ª ORDEM) DE UMA
SUPERFÍCIE PLANA
Quadro A1.2 – Momentos estáticos de uma superfície plana e sua relação com as
coordenadas (xG, yG) do centro de gravidade.
Em relação ao eixo OX Em relação ao eixo OY
y
x
O
G xG
yG
y
yG
xxG
da
G
A
x yAdayS ⋅== ∫ G
A
y xAdaxS ⋅== ∫
Nota: O sistema de eixos OxGyG é designado de sistema de eixos baricentrico.
Quadro A1.3 – Casos particulares.
1. Momento estático em relação a um eixo baricentrico
y
x
O
G
0=yS
2. Momento estático em relação a um eixo de simetria de
uma superfície homogénea
y
x
O
0=yS
3. Momentos estáticos de uma superfície homogénea
duplamente simétrica
y
x
O
0=xS e 0=yS

3. Anexo 1
A1.3
A1.4 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SUPERFÍCIES PLANAS
Quadro A1.4 – Momentos de inércia de superfícies planas.
Em relação ao eixo OX Em relação ao eixo OY
y
x
O
y
x
da
∫=
A
x dayI 2
∫=
A
y daxI 2
Quadro A1.5 – Teoremas associados ao cálculo de momentos de inércia.
Teorema dos
eixos paralelos
Teorema de Steiner
(d'
G = 0)
'2
' 2 GddAdAII ⋅⋅⋅+⋅+= ∆∆
2
dAII G
⋅+= ∆∆
Quadro A1.6 – Momento de inércia polar.
y
x
O
y
x
da
),( yxr
r
∫=
A
O darI 2
Quadro A1.7 – Relação do momento de inércia polar com os momentos de inércia.
""'' yxyxyxO IIIIIII +=+=+=
Quadro A1.8 – Raio de giração.
∆
P da
r∆
d
A
I
r ∆
∆ =

4. Formulário da geometria de massas
A1.4
Quadro A1.9 – Produto de inércia.
y
x
O
y
x
da
∫ ⋅=
A
xy dayxI
Quadro A1.10 – Teoremas associados ao cálculo de produtos de inércia.
Teorema dos
eixos paralelos
Teorema de Steiner
(a = 0 e b = 0)
GG
xyyx
yAbxAa
AbaII
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+='' AbaII GG yxyx ⋅⋅+=''
A1.5 DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE
SUPERFÍCIES PLANAS POR ROTAÇÃO DO SISTEMA DE EIXOS
Quadro A1.11 – Determinação de momentos de inércia e produtos de inércia por
rotação do sistema de eixos.
y
x
O
x'
y'
α
α
ααα 2sensencos 22
' ⋅−⋅+⋅= xyyxx IIII
ααα 2sencossen 22
' ⋅+⋅+⋅= xyyxy IIII
)sen(coscossen)( 22
'' αααα −⋅+⋅⋅−= xyyxyx IIII
ou, em alternativa,
αα 2sen2cos
22
' ⋅−⋅
−
+
+
= xy
yxyx
x I
IIII
I
αα 2sen2cos
22
' ⋅+⋅
−
−
+
= xy
yxyx
y I
IIII
I
αα 2cos2sen
2
'' ⋅+⋅
−
= xy
yx
yx I
II
I

5. Anexo 1
A1.5
A1.6 MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE
INÉRCIA
Quadro A1.11 – Momentos de principais de inércia e eixos principais de inércia.
y
x
O
x1
y1
α
α
22
1 4)(
2
1
2
xyyx
yx
III
II
I ⋅+−⋅+
+
=
22
2 4)(
2
1
2
xyyx
yx
III
II
I ⋅+−⋅−
+
=








−
⋅
−⋅=
yx
xy
II
I2
arctg
2
1
α
Quadro A1.12 – Momentos de principais centrais de inércia e eixos principais
centrais de inércia.
yG
xG
x'
G
y'
G
αG
α G
G
22
1 4)(
2
1
2 GGGG
GG
G yxyx
yx
III
II
I ⋅+−⋅+
+
=
22
2 4)(
2
1
2 GGGG
GG
G yxyx
yx
III
II
I ⋅+−⋅−
+
=








−
⋅
−⋅=
GG
GG
yx
yx
G
II
I2
arctg
2
1
α

6. Formulário da geometria de massas
A1.6
A1.7 ALGUMAS GRANDEZAS PARA SUPERFÍCIES PLANAS
CORRENTES
Quadro A1.13 – Momentos estáticos.
Secções Momento estático Secções Momento estático
1. Rectângulo 4. Meio-círculo
2. Triângulo 5. Quarto de círculo
3. Círculo 6. Parábola

7. Anexo 1
A1.7
Quadro A1.14 – Centros de gravidade e momentos de inércia.
Secções Momentos inércia
Centros de gravidade
Secções Momentos de inércia
Centros de gravidade
1. Triângulo 4. Círculo
2. Rectângulo 5. Meio-círculo
3. Quadrado 6. Quarto-círculo

8. Formulário da geometria de massas
A1.8
Quadro A1.15 – Produtos de inércia.
Secções Produtos de inércia
1. Rectângulo
2. Triângulo
Quadro A1.16 – Raios de giração.
Secções Raios de giração Secções Raios de giração
1. Rectângulo 3. Triângulo
2. Quadrado 4. Círculo

9. Anexo 1
A1.9
A1.8 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE ALGUNS PERFIS
METÁLICOS
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da
.

10. Formulário da geometria de massas
A1.10
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da
.

11. Anexo 1
A1.11
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da
.