A1.1
Anexo 1
FORMULÁRIO DA GEOMETRIA DE MASSAS
A1.1 INTRODUÇÃO
Neste anexo é apresentado sumariamente as expressões mais u...
Formulário da geometria de massas
A1.2
A1.3 MOMENTOS ESTÁTICOS (OU DE 1ª ORDEM) DE UMA
SUPERFÍCIE PLANA
Quadro A1.2 – Mome...
Anexo 1
A1.3
A1.4 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SUPERFÍCIES PLANAS
Quadro A1.4 – Momentos de inércia de superfícies planas.
Em r...
Formulário da geometria de massas
A1.4
Quadro A1.9 – Produto de inércia.
y
x
O
y
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∫ ⋅=
A
xy dayxI
Quadro A1.10 – Teore...
Anexo 1
A1.5
A1.6 MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE
INÉRCIA
Quadro A1.11 – Momentos de principais de in...
Formulário da geometria de massas
A1.6
A1.7 ALGUMAS GRANDEZAS PARA SUPERFÍCIES PLANAS
CORRENTES
Quadro A1.13 – Momentos es...
Anexo 1
A1.7
Quadro A1.14 – Centros de gravidade e momentos de inércia.
Secções Momentos inércia
Centros de gravidade
Secç...
Formulário da geometria de massas
A1.8
Quadro A1.15 – Produtos de inércia.
Secções Produtos de inércia
1. Rectângulo
2. Tr...
Anexo 1
A1.9
A1.8 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE ALGUNS PERFIS
METÁLICOS
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) ...
Formulário da geometria de massas
A1.10
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técni...
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A1.11
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da
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  1. 1. A1.1 Anexo 1 FORMULÁRIO DA GEOMETRIA DE MASSAS A1.1 INTRODUÇÃO Neste anexo é apresentado sumariamente as expressões mais utilizadas no estudo da geometria de massas e algumas tabelas de perfis metálicos vulgarmente utilizadas no projecto de estruturas metálicas. A1.2 CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO, G Quadro A1.1 – Centros de gravidade. Peso específico variável Peso específico constante Sistema discreto gmp kk ⋅= Ak O z x y kr r G ∑= ⋅⋅=− n k kk rp p OG 1 1 r ∑= ⋅⋅=− n k kk rV V OG 1 1 r Sistema contínuo dmgdp ⋅= O z x y r r dmG ∫ ⋅=− M dmgr p OG r1 ∫⋅=− V dVr V OG r1
  2. 2. Formulário da geometria de massas A1.2 A1.3 MOMENTOS ESTÁTICOS (OU DE 1ª ORDEM) DE UMA SUPERFÍCIE PLANA Quadro A1.2 – Momentos estáticos de uma superfície plana e sua relação com as coordenadas (xG, yG) do centro de gravidade. Em relação ao eixo OX Em relação ao eixo OY y x O G xG yG y yG xxG da G A x yAdayS ⋅== ∫ G A y xAdaxS ⋅== ∫ Nota: O sistema de eixos OxGyG é designado de sistema de eixos baricentrico. Quadro A1.3 – Casos particulares. 1. Momento estático em relação a um eixo baricentrico y x O G 0=yS 2. Momento estático em relação a um eixo de simetria de uma superfície homogénea y x O 0=yS 3. Momentos estáticos de uma superfície homogénea duplamente simétrica y x O 0=xS e 0=yS
  3. 3. Anexo 1 A1.3 A1.4 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SUPERFÍCIES PLANAS Quadro A1.4 – Momentos de inércia de superfícies planas. Em relação ao eixo OX Em relação ao eixo OY y x O y x da ∫= A x dayI 2 ∫= A y daxI 2 Quadro A1.5 – Teoremas associados ao cálculo de momentos de inércia. Teorema dos eixos paralelos Teorema de Steiner (d' G = 0) '2 ' 2 GddAdAII ⋅⋅⋅+⋅+= ∆∆ 2 dAII G ⋅+= ∆∆ Quadro A1.6 – Momento de inércia polar. y x O y x da ),( yxr r ∫= A O darI 2 Quadro A1.7 – Relação do momento de inércia polar com os momentos de inércia. ""'' yxyxyxO IIIIIII +=+=+= Quadro A1.8 – Raio de giração. ∆ P da r∆ d A I r ∆ ∆ =
  4. 4. Formulário da geometria de massas A1.4 Quadro A1.9 – Produto de inércia. y x O y x da ∫ ⋅= A xy dayxI Quadro A1.10 – Teoremas associados ao cálculo de produtos de inércia. Teorema dos eixos paralelos Teorema de Steiner (a = 0 e b = 0) GG xyyx yAbxAa AbaII ⋅⋅+⋅⋅+ +⋅⋅+='' AbaII GG yxyx ⋅⋅+='' A1.5 DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SUPERFÍCIES PLANAS POR ROTAÇÃO DO SISTEMA DE EIXOS Quadro A1.11 – Determinação de momentos de inércia e produtos de inércia por rotação do sistema de eixos. y x O x' y' α α ααα 2sensencos 22 ' ⋅−⋅+⋅= xyyxx IIII ααα 2sencossen 22 ' ⋅+⋅+⋅= xyyxy IIII )sen(coscossen)( 22 '' αααα −⋅+⋅⋅−= xyyxyx IIII ou, em alternativa, αα 2sen2cos 22 ' ⋅−⋅ − + + = xy yxyx x I IIII I αα 2sen2cos 22 ' ⋅+⋅ − − + = xy yxyx y I IIII I αα 2cos2sen 2 '' ⋅+⋅ − = xy yx yx I II I
  5. 5. Anexo 1 A1.5 A1.6 MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA Quadro A1.11 – Momentos de principais de inércia e eixos principais de inércia. y x O x1 y1 α α 22 1 4)( 2 1 2 xyyx yx III II I ⋅+−⋅+ + = 22 2 4)( 2 1 2 xyyx yx III II I ⋅+−⋅− + =         − ⋅ −⋅= yx xy II I2 arctg 2 1 α Quadro A1.12 – Momentos de principais centrais de inércia e eixos principais centrais de inércia. yG xG x' G y' G αG α G G 22 1 4)( 2 1 2 GGGG GG G yxyx yx III II I ⋅+−⋅+ + = 22 2 4)( 2 1 2 GGGG GG G yxyx yx III II I ⋅+−⋅− + =         − ⋅ −⋅= GG GG yx yx G II I2 arctg 2 1 α
  6. 6. Formulário da geometria de massas A1.6 A1.7 ALGUMAS GRANDEZAS PARA SUPERFÍCIES PLANAS CORRENTES Quadro A1.13 – Momentos estáticos. Secções Momento estático Secções Momento estático 1. Rectângulo 4. Meio-círculo 2. Triângulo 5. Quarto de círculo 3. Círculo 6. Parábola
  7. 7. Anexo 1 A1.7 Quadro A1.14 – Centros de gravidade e momentos de inércia. Secções Momentos inércia Centros de gravidade Secções Momentos de inércia Centros de gravidade 1. Triângulo 4. Círculo 2. Rectângulo 5. Meio-círculo 3. Quadrado 6. Quarto-círculo
  8. 8. Formulário da geometria de massas A1.8 Quadro A1.15 – Produtos de inércia. Secções Produtos de inércia 1. Rectângulo 2. Triângulo Quadro A1.16 – Raios de giração. Secções Raios de giração Secções Raios de giração 1. Rectângulo 3. Triângulo 2. Quadrado 4. Círculo
  9. 9. Anexo 1 A1.9 A1.8 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE ALGUNS PERFIS METÁLICOS Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da .
  10. 10. Formulário da geometria de massas A1.10 Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da .
  11. 11. Anexo 1 A1.11 Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da .

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