1) O documento discute métodos para eliminar esforços dinâmicos em sistemas em rotação através do balanceamento. 2) Existem duas condições para o balanceamento: o centro de massa deve pertencer ao eixo de rotação e os produtos de inércia envolvendo o eixo de rotação devem ser nulos. 3) O balanceamento dinâmico é mais complexo que o estático e requer o uso de massas corretoras em múltiplos planos para equalizar os esforços dinâmicos.

1. Balanceamento
Depois de calcular esforços dinâmicos, e perceber que apresentam valores proporcionais ao
quadrado das velocidades angulares, cabe uma pergunta: “como eliminá-los”. Afinal os esforços
dinâmicos não criam apenas deformações e fadiga no eixo e mancais, produzem vibrações que
transformam o sistema desbalanceado em fonte de vibrações que atingem todos outros sistemas
próximos.
Para responder tal pergunta, se faz necessário estabelecer que a grande maioria dos
dispositivos que giram, e que são de interesse na engenharia, possuem eixo fixo. Não é possível
eliminar os esforços dinâmicos nos casos em que o efeito giroscópico estiver presente, por exemplo,
nos casos em que o eixo de rotação é forçado a mudar de direção.
De posse dos teoremas TCM – Teorema do Centro de Massa e TMA – Teorema do Momento
Angular, e analisando casos em que o sólido apresenta eixo fixo, pode-se determinar as condições
para eliminar os esforços dinâmicos através da redistribuição de massa do sólido.
Condições do Balanceamento
Considere-se a ilustração anexa, nela está representado um
sólido qualquer que apresenta um eixo vertical fixo, ao qual
está ligado o sistema de eixos A(x , y , z) . Note-se que, o
eixo Ay coincide com o “eixo geométrico” de rotação, que o
vetor velocidade angular do sólido é ⃗ω=ωy⋅^j , que o vetor
aceleração angular é descrito por ⃗α=αy⋅^j . Por não interferir
nos esforços dinâmicos de um sólido balanceado, será adotado
NULO.
A aceleração angular é a resposta física da aplicação de
momentos axiais, ou seja, criam possíveis torções no eixo
físico de rotação mas não esforços nos mancais. Diante disso,
adota-se velocidade angular constante e consequentemente
aceleração angular nula.
A eliminação dos esforços de origem dinâmica pode ser obtida com:
TCM - Teorema do Centro de Massa:
ω
α
x
y
z
x
A

2. ∑ ⃗Fext .=m⋅⃗aCM
Com o objetivo em mente, a eliminação dos esforços: ∑ ⃗Fext .=zero => ⃗aCM=zero
Conclusão: o Centro de Massa do sólido deve pertencer ao eixo “geométrico de rotação”.
TMA – Teorema do Momento Angular:
∑ ⃗MCM = ˙⃗HCM ou ∑ ⃗MO= ˙⃗H O...⃗vO=0 e O∈sólido
O Momento Angular, considerando a velocidade angular do sólido como ⃗ω=ωy⋅^j :
⃗HA=
[
I xx −Ixy −Ixz
−Ixy I yy −I yz
−Ixz −I yz Izz
]⋅
[
0
ωy
0 ] ⃗HA=−Ixy⋅ωy⋅^i+I yy⋅ωy⋅^j−Ixz⋅ωy⋅^k
A derivada do momento angular:
˙⃗HA=−Ixy⋅ωy⋅˙^i+I yy⋅ωy⋅˙^j−Ixz⋅ωy⋅
˙^k
Sendo: ˙^i=ωy⋅^j∧^i => ˙^i=−ωy⋅^k ; ˙^j=ωy⋅^j∧^j => ˙^j=zero ; ˙^k=ωy⋅^j∧^k => ˙^k=−ωy⋅^i
˙⃗HA=Ixz⋅ωy
2
⋅^k−I yz⋅ωy
2
⋅^i
Nota: esta é a explicação do porque os esforços dinâmicos são proporcionais ao quadrado da
velocidade angular.
Impondo o TMA:
∑ ⃗MO=I xz⋅ωy
2
⋅^k−I yz⋅ωy
2
⋅^i
Eliminando os esforços dinâmicos ….
∑ ⃗MO=I xz⋅ωy
2
⋅^k−I yz⋅ωy
2
⋅^i=zero => Ixy=I yz=zero
Conclusão: os produtos de inércia que envolvem o eixo de rotação, no caso o eixo Ay, devem ser
nulos.
Resumindo, as condições do balanceamento são:
1) o Centro de Massa do sólido “balanceado” deve pertencer ao eixo “geométrico de rotação”.
2) os produtos de inércia do sólido “balanceado”, que envolvem o eixo de rotação, devem ser
nulos.

3. Caso especial: Balanceamento Estático.
Considere-se um sólido assemelhado a um
disco, ou seja, a sua espessura (e) pode ser
desconsiderada, quando comparada com seu raio (R):
e≪R .
Nesse caso, a “segunda condição” do balanceamento
fica automaticamente respeitada, ou seja, todos os
elementos de massa (dm) do sólido possuem cota nula
y=0 , o que garante que os produtos de inércia que
envolvem o eixo sejam nulos:
Ixy=∫x⋅y⋅dm=∫ x⋅zero⋅dm=zero
I yz=∫z⋅y⋅dm=∫z⋅zero⋅dm=zero
Resta impor a “primeira condição” do balanceamento, ou seja, o Centro de Massa deve pertencer ao
eixo geométrico de rotação. Para impor essa condição, basta adicionar (ou retirar) massa do sólido
(disco) de forma que o centro de massa do sistema “disco + massa corretora”, passe a ter centro de
massa coincidente com o eixo geométrico de rotação.
Considere-se que:
a) o eixo (y) do sistema A(x,y,z) “ligado” ao sólido, esteja na direção do eixo fixo de rotação;
b) que a massa do sólido (desbalanceado) seja “ms “;
c) que o Centro de Massa do mesmo esteja definido por: CMCM
s
(xCM
s
;0; zCM
s
) , note-se que a
definição de sólido em forma de disco já estabeleceu que yCM
sist .
=zero ;
d) que a massa corretora seja “mc” e ocupe o ponto P do sólido, definido por P(x ,0,z) , da
mesma forma só existe sólido para a cota y=0 .
A primeira condição do balanceamento impõe que o centro de massa do sistema pertença ao eixo
geométrico de rotação, ou seja:
xCM
sist.
=xCM
s
⋅ms+x⋅mc=zero
zCM
sist.
=zCM
s
⋅ms+z⋅mc=zero
ω
y
z
xA

4. 0,90
0,10
0,10
0,10
x
y
z
A
Bw
Balanceamento Dinâmico.
Neste tipo de caso, o centro de massa não pertence ao
eixo geométrico de rotação e os produtos de inércia
relacionados com o eixo de rotação (Ixy ,I xz) não são nulos.
Nota: no caso ilustrado, o eixo geométrico de rotação é o eixo
Ax.
A solução nesses casos raramente é obtida com apenas uma
massa corretora, isso só acontece se o sólido se assemelha a um disco, ou seja, recai no caso
anterior.
Voltando ao caso do balanceamento dinâmico, adotam-se dois planos corretores que alojarão duas
massas corretoras, uma em cada um dos planos.
No projeto da peça a ser balanceada, tem de haver a previsão dos planos corretores e os locais de
alojamento das massas corretoras.
No caso ilustrado pode-se alojar massas (ou retirá-las) em dois planos: x1=0,10 e x2=0,80 ,
sendo que o alojamento fica distante 0,10 m do eixo geométrico de rotação.
Sejam m1(x1 , y1, z1) e m2(x2 , y2, z2) as massas corretoras, com suas respectivas coordenadas.
Com a escolha dos planos de correção, restam 6 (seis) incógnitas:
m1(0,10; y1; z1) e m2(0,80; y2; z2)
Como a distância das massas corretoras ao eixo geométrico de rotação também fica definida com a
escolha dos planos corretores d=0,10 m , pode-se afirmar que o lugar geométrico das mesmas é
uma circunferência com centro sobre o eixo geométrico de rotação e com raio R=0,10 :
y1
2
+ z1
2
=0,10
2
eq.01
y2
2
+ z2
2
=0,10
2
eq.02
Sejam:
a) ms a massa do sólido (desbalanceado) e seu centro de massa definido por:
CMs(xCM
s
; yCM
s
; zCM
s
) ;
b) Ixy
s
e Ixz
s
os produtos de inércia do sólido (desbalanceado).
A primeira condição de balanceamento exige:
Note-se que xCM
s
pode ser qualquer, pois para corrigir o desbalanceamento, basta que o CM
pertença ao eixo geométrico de rotação.

5. m1⋅y1+m2⋅y2+ms⋅yCM
s
=0 eq.03
m1⋅z1+m2⋅z2+ms⋅zCM
s
=0 eq.04
A segunda condição de balanceamento exige:
m1⋅x1⋅y1+m2⋅x2⋅y2+I xy
s
=0 eq.05
m1⋅x1⋅z1+m2⋅z2⋅y2+I xz
s
=0 eq.06
Note-se que:
O problema do desbalanceamento está equacionado, afinal são seis incógnitas e seis equações. O
leitor mais atento diria: “ e os produtos de inércia Ixy
s
e Ixz
s
?”.
Lamento discordar que o leitor seja realmente atento, pois no EXEMPLO 04 da página 20,
apresentou-se uma situação onde os produtos de inércia ligados ao eixo de rotação forma calculados
a partir do conhecimento prévio dos esforços dinâmicos. Mas e os esforços dinâmicos como
determiná-los?.
A resposta é simples com máquinas que medem de forma direta ou indireta os esforços dinâmicos.
Basta colocar sensores nos mancais.
As máquinas de balanceamento medem os esforços de origem dinâmica de forma direta ou indireta,
sendo mais comum a forma indireta. Na forma indireta, medem-se propriedades cinemáticas dos
mancais, tais como, deslocamento, velocidade de deslocamento e aceleração, esta última mais
comum e intimamente ligada aos esforços exercidos sobre os mancais.
Cada caso exigirá uma abordagem diferente, mas em todos os casos prevalecerão as duas condições
de balanceamento.
O balanceamento dinâmico é mais complexo mas os resultados que ele promove são muito
superiores aos do balanceamento estático.
Ao longo do tempo foram desenvolvidas normas que estabelecem objetivamente os limites
máximos admissíveis do desbalanceamento residual.
A norma ISO_1940-1
Essa norma é facilmente obtida em sua íntegra (www.dcma.mil/NPP/files/ISO_1940-1.pdf), mas
tomou-se a liberdade de apresentar abaixo um resumo da mesma.
Desbalanceamento Residual Admissível (U)
O desbalanceamento residual admissível para todas as massas corretoras empregadas, é
definido por: U=mdes.×d , onde: “mdes.” é a massa desbalanceadora expressa em gramas (g), ou
seja, aquela que se corrigida, tornaria balanceamento perfeito e “d”, a distância entre a massa
desbalanceadora, e o eixo geométrico de rotação, expressa em milímetros (mm).

6. Nota: no caso de dois planos de correção, cada massa empregada no balanceamento pode ter “erro”
admissível U /2 .
Desbalanceamento Residual Específico Admissível (e)
Em geral, para rotores de mesmo tipo, o desbalanceamento residual admissível é
proporcional a massa do próprio rotor. Entenda-se que, com o aumento da massa do rotor,
proporcionalmente aumenta o desbalanceamento residual admissível.
Define-se o desbalanceamento residual específico admissível, como: e=
U
M
, onde “U” é o
desbalanceamento residual admissível e “M” é a massa do rotor, expressa em quilogramas (kg).
Qualidade do balanceamento (G)
A experiência mostra que para rotores do mesmo tipo, em geral, o desbalanceamento residual
específico admissível, varia inversamente com a velocidade operacional de rotação do rotor.
Dito de outra forma, uma mesma massa desbalanceada, cria esforços dinâmicos que crescem com a
velocidade angular do rotor, e portanto o desbalanceamento admissível diminui com o aumento da
velocidade angular.
Pode-se então esperar que o produto entre o desbalanceamento residual específico admissível e a
máxima velocidade angular de serviço seja constante: e x ω=cte .
Define-se qualidade do balanceamento como: G=e×ω ; onde: “e” é o desbalanceamento
residual específico e “ω” é a máxima velocidade angular de serviço expressa em rad/s.
A qualidade do balanceamento é fornecida na tabela abaixo, e através da mesma pode-se calcular
para cada caso, o desbalanceamento residual admissível (U), através da relação:
U=1.000⋅
G⋅M
ω
onde:
U: o desbalanceamento residual admissível, expresso em (g.mm);
G: a qualidade do balanceamento é obtida da tabela, expressa em (mm/s);
M: é a massa do rotor, expressa em (kg);
ω: é a máxima velocidade angular expressa em (rad/s).
Exemplo:
Considere-se o caso do balanceamento da roda de um veículo, com masa 30 kg, feito em
dois planos de correção, onde as massas são alojadas a distância 215,9 mm do eixo
geométrico de rotação. A máxima velocidade do veículo é de 180 km/h ou 50 m/s, e nessa
condição a velocidade angular da roda é ω=135,14rad /s . Qual o “erro” admissível nas
massas de correção?

7. Solução:
Da tabela seguinte, pode-se determinar que a qualidade de balanceamento deve ser “G
40”, ou seja, o desbalanceamento residual admissível é:
U=1.000⋅
G⋅M
ω => U=1.000⋅
40⋅30
135,14
=> U=8.878g .mm
Para cada massa tem-se: U = 4.439 g.mm.
Sendo: U=m.d => m=U /d => m=4.439/190,5=23,3 g
Ou seja, o desbalanceamento máximo admissível seria de 23,3 g.

8. Tipos de máquinas: exemplos gerais U=1.000⋅
G⋅M
ω
Grau de qualidade
de balanceamento
(G)
e×ω
(mm/s)
Motores - virabrequins de motores marinhos lentos, com velocidade do pistão
abaixo de 9 m/s, a diesel com número ímpar de cilindros, montados rigidamente.
G 4000 4.000
Motores - virabrequins de motores grandes de dois tempos, montados rigidamente.
Virabrequim para grandes motores diesel marítimos, com velocidade do pistão abaixo de 9
m/s, inerentemente equilibrado
G 1600 1.600
Virabrequim inerentemente desequilibrado, elasticamente montado G630 630
Virabrequim inerentemente desequilibrado, rigidamente montado G250 250
Motores alternativos completos para carros, caminhões e locomotivas G100 100
Carros: rodas, conjunto de rodas eixos
Virabrequim inerentemente equilibrado, elasticamente montado
G40 40
Maquinas agrícolas
Virabrequim inerentemente balanceado, rigidamente montado
Conjuntos para trituração
Eixos de transmissão (cardans, eixos propulsores)
G16 16
Turbinas a gás de aeronaves
Centrífugas (separadores, decantadores)
Motores e geradores elétricos com eixos de diâmetro maior que 80 mm, e frequência maior
que de 950 rpm.
Motores elétricos com eixos de diâmetro menor que 80 mm
Exaustores
Engrenagens
Maquinários em geral
Máquinas ferramentas
Máquinas para papel
Máquinas de produção
Bombas
Turbos carregadores
Turbinas de água
G 6,3 6,3
Compressores
Drives de computadores
Motores e geradores elétricos com eixo de diâmetro mínimo de 80 mm e frequência
superior a 950 rpm.
Turbinas a gás e vapor
Drives de máquinas ferramentas
Máquinas têxteis
G 2,5 2,5
Drives de áudio e vídeo
Drives de máquinas de moagem
G 1 1
Giroscópios
Fusos e drives de sistemas de alta precisão
G 0,4 0,4