O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria como segmentos proporcionais, teorema de Tales, classificação e propriedades de triângulos, semelhança de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo. Explica que dois segmentos são proporcionais quando a razão entre as medidas dos primeiros é igual à razão entre as medidas dos últimos. Também aborda o teorema de Tales sobre retas paralelas cortadas por transversais e a definição de triângulos semelhantes quando possuem três âng

1. Aula 5
Segmentos Proporcionais, Teorema de Tales e Triângulos
Semelhança e Relações Métricas no Triângulo
Prof. Vicente da Costa Tavares
Tutor de Geometria do Pré-Enem da UFRRJ
Graduando em Matemática pela UFRRJ

2. Segmentos Proporcionais
Quatro segmentos são proporcionais quando
a razão entre as medidas dos dois primeiros é
igual à razão entre as medidas dos dois
últimos.
A razão entre segmentos de
reta é a divisão entre os
comprimentos desses
segmentos. É necessário que
esses comprimentos estejam
na mesma unidade de medida
(centímetro, metro, etc...).

3. Segmentos Proporcionais

4. Teorema de Tales
Tales de Mileto (623 e 548 a.C) foi um
filósofo pré-socrático que contribuiu
grandemente para filosofia, astronomia e
também pela matemática. Ele previu um
eclipse solar e formulou o teorema de Tales.
Afirmava ser a água o principio de todo o
Universo.
Fonte: https://filosofianaescola.com/filosofos/tales-de-mileto/
O Teorema diz que “retas paralelas, cortadas por
transversais, formam segmentos correspondentes
proporcionais”.
Fonte: Próprio autor
Logo, de acordo com o Teorema:
Fonte: https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales/
Sendo assim, lê-se que AB
está para BC, assim como,
DE está para EF.

5. Exercícios

6. (ENEM 2018) Um mapa é a representação reduzida e simplificada de uma localidade. Essa redução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a
proporção do espaço representado em relação ao espaço real. Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000. Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que
liga o navio à marca do tesouro meça 7,6 cm. A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é:
a) 4 408
b) 7 632
c) 44 080
d) 76 316
e) 440 800.

8. Teorema dos Bicos
Se entre duas retas paralelas traçarmos segmentos formando “bicos”, a soma das medidas
dos ângulos com vértices, na direção dessas retas, à direita é igual à soma das medidas dos
ângulos com vértices, na direção oposta, independentemente da quantidade de tais
ângulos.

10. Triângulos - Elementos
VÉRTICES
Os lados A, B e C são os vértices
do triângulo ΔABC.
LADOS
a, b e c são os lados do triângulo
ΔABC.
a
c
b
ÂNGULOS
Os ângulos BÂC ou Â, AB ̂C ou B ̂
e AC ̂B ou C ̂ são os ângulos do
ΔABC (ou ângulos internos do
ΔABC).
Â

11. Classificação quanto aos lado
EQUILÁTEROS ISÓSCELES ESCALENO

12. Classificação quanto aos ângulos
RETÂNGULOS ACUTÂNGULOS OBTUSÂNGULOS

15. Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes (mesma medida) e
os lados correspondentes proporcionais. Usamos o símbolo ~ para indicar que dois triângulos são semelhantes.
Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos de mesma medida. Os lados
homólogos (correspondentes) serão os lados opostos a esses ângulos.
Razão de Proporcionalidade
Como nos triângulos semelhantes os lados
correspondentes são proporcionais, o resultado da
divisão desses lados será um valor constante. Esse valor é
chamado de razão de proporcionalidade.
Os lados a e e, b e g, c e f são homólogos, sendo assim,
temos as seguintes proporções:

16. Casos de Semelhança
Caso AA – Ângulo, Ângulo
Dois triângulos são semelhantes se dois
ângulos de um são congruentes a dois do
outro.
Caso LAL – Lado, Ângulo, Lado
Dois triângulos são semelhantes se possuem
um ângulo congruente compreendido entre
lados proporcionais.
Caso LLL – Lado, Lado, Lado
Dois triângulos são semelhantes se os três
lados de um são proporcionais aos três
lados do outro.

20. Teorema Fundamental da Semelhança
Quando uma reta paralela a
um lado de um triângulo
intersecta os outros dois lados em
pontos distintos, forma um
triângulo que é semelhante ao
primeiro.

21. Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Como os triângulos ABC e HBA são
semelhantes temos as seguintes
proporções:
Usando que encontramos a
proporção:
A soma das projeções m e n é igual a
hipotenusa:
Da semelhança entre os triângulos HBA e
HCA encontramos a proporção:

24. Referências
Layout do PPT proposto por Prof.ª Renata Pontes Araujo e Prof. Eriknatan Clementino Medeiros.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/classificacao-triangulos.htm
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales/
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-tales.htm

25. Relações Métricas no Triângulo Retângulo. Toda Matéria. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/relacoes-metricas-no-
triangulo-retangulo/ Acesso em 09 Ago 2021.
Semelhança de Triângulos. Mundo Educação. Disponível em https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/semelhanca-
triangulos.htm Acesso em 09 Ago 2021.
Semelhança de Triângulos. Toda Matéria. Disponível em https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos Acesso em
09 Ago 2021.
https://www.qconcursos.com/questoes-militares/disciplinas/matematica-matematica/relacoes-metricas-no-triangulo-
retangulo/questoes?page=2 Acesso em 16 Maio 2022
Referências
Layout do PPT proposto por Prof.ª Renata Pontes Araujo e Prof. Eriknatan Clementino Medeiros.