E apresentada uma metodologia para desenvolvimento de modelos paramétricos aplicáveis a estimativas de custo de equipamentos e um caso pratico de aplicacao para estimativas conceituais de transportadores de correias.

1. 1
Modelo paramétrico para estimativa conceitual de
custos – Caso: Transportador de Correia
Tito Lívio Cardoso
http://www.linkedin.com/in/titolivio
http://github.com/SimpleMind-Net
02/04/2013
1.0 OBJETIVO
(a) Apresentar um modelo paramétrico geral, útil para estimativas conceituais de transportadores de
correias (TR)
(b) Apresentar metodologia para desenvolvimento de modelos paramétricos aplicáveis a estimativas de
custo de outros tipos de equipamentos
2.0 MODELO PARAMÉTRICO DE CUSTOS DO TRANSPORTADOR DE CORREIAS
2.1 MÉTODO RECOMENDADO PARA ESTIMATIVA AO INÍCIO DA ETAPA CONCEITUAL DOS PROJETOS
Enquanto a engenharia conceitual está sendo elaborada, a pouca disponibilidade de informações dificulta a
estimativa de investimentos em um projeto. Referencias internacionais para estimativa de capex, propõem o
uso do método de modelagem paramétrica para elaboração de estimativas durante a engenharia conceitual:
O DOE em seu Cost Estimating Guide, Seção 5.2, recomenda esta mesma prática como “tool for preparing
early conceptual estimates when there is little technical data or engineering deliverables”.
O método de modelagem paramétrica possui como principais vantagens:
 Agilidade na preparação da estimativa
 Precisão, se comparada a outros métodos de estimativa, e considerando a escassez das informações

2. 2
A precisão da estimativa por este método envolve, entre outros, as seguintes questões críticas:
 Disponibilidade, representatividade e confiabilidade da base de dados utilizada na modelagem
 Identificação do conjunto de parâmetros independentes para o modelo
 Métodos matemáticos empregados na construção do modelo
2.2 QUESTÕES RELEVANTES NA ESTIMATIVA DE CUSTOS DE TRANSPORTADORES NA ETAPA
CONCEITUAL
Quando o escopo dos projetos inclui transportadores, na etapa conceitual, é usual que o mesmo seja descrito
como um desenho unifilar sendo alguns de seus parâmetros principais, como a taxa de transporte de material
e a extensão total apresentados na Lista de Equipamentos Mecânicos.
A abordagem usual para estimativa de custo do TR é multiplicar sua extensão por um índice de custo linear
(R$/m). Esta abordagem, embora de rápida aplicação, não é válida para estimar o custo do equipamento.
Como exemplo, vários TRs para Minério de Ferro contratados em 2010 e 2011 na expansão de um terminal
portuário apresentam custo na faixa de 23,0 a 23,9 mil R$/m, coerente com a referência de cotação de
outubro/2011, 25,0 mil R$/m para 1.000m de TR para transporte de calcário em uma moagem de cimento.
Entretanto, outros TRs no pacote do terminal portuário porto apresentam custos maiores, na faixa de 64 mil
R$/m. Quando observamos o primeiro grupo de TRs identificamos que é composto por transportadores
menores, não em extensão, mas em capacidade, e o último por TRs maiores.
Portanto, existe um efeito de escala no custo dos TRs, que torna inapropriado o uso de um simples
multiplicador linear de custo. Outra observação importante é que o efeito de escala é inflacionário, ou seja, os
custos por metro elevam-se com o aumento da escala 1
. O gráfico seguinte apresenta a curva resultante de
ajuste por RMMQ 2
dos dados de Preço e Comprimento dos TRs na Tabela 1 a uma forma potencial:
Figura 1: Curva ajustada dos dados em 2.3. Eixo Y apresenta o preço, em R$ mil, e Eixo X o comprimento do TR, em mm.
1
Diversos motivos práticos levam a este efeito, entre eles, o aumento da capacidade de transporte do TR obriga a aumento na
densidade da estrutura por metro linear que o suporta. Outros fatores são menos óbvios, por exemplo, a maior potência dos
acionamentos e freios que, para capacidades cada vez maiores, começam a ser mais exclusivos (por vezes, importados) e, portanto,
mais caros por kW de potência instalada.
2
RMMQ – Regressão estatística pelo Método dos Mínimos Quadrados

3. 3
O ajuste resultante, Preço (R$ mil) = a * Comprimento (mm) ^ b, onde a = 0,0005663 e b = 1,359069613, não
apresenta boa qualidade. O coeficiente de correlação, R = 0,771, deveria estar mais próximo de 1,0 e, no
gráfico, identificamos vários pontos bastante distanciados da curva. É possível utilizar a função ajustada para
estimar o custo do TR em função do seu comprimento, mas a imprecisão envolvida é grosseira. A tentativa de
ajuste a outras funções (logarítmica, potencial modificada, etc.) não melhorou significativamente a qualidade
do resultado. A conclusão é que,
Para TRs, não é adequado estimar o custo apenas em função do comprimento, mesmo se considerarmos os
efeitos de escala.
Existem outras variáveis que precisam ser consideradas na estimativa de custo do TR.
2.3 BASE DE DADOS UTILIZADA
A tabela seguinte apresenta a compilação dos dados de cotação de 21 TRs do projeto de expansão do terminal
portuário, disponibilizados pela equipe do porto em agosto/2010.
Tabela 1: Compilação dos dados de Agosto/2010 para 21 TRs do Projeto de Expansão de um Terminal Portuário
Esta base, se não é tão extensa, apresenta o atributo de relacionar TRs com vários parâmetros distintos entre
si. No restante, este trabalho tomará como fundamento que os dados na Tabela 1 são confiáveis.

4. 4
2.4 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO
A tabela seguinte apresenta os resultados obtidos para a análise de correlação dos dados na Tabela 1.
Extraímos duas conclusões importantes:
 O preço do TR apresenta elevada correlação com a Potência total instalada no TR. Logo, qualquer
modelo para estimativa de custo que não envolva esta variável é sujeito a elevada imprecisão.
 As variáveis Capacidade Nominal e Largura são fortemente correlacionadas. Logo, a inclusão de ambas
as variáveis no modelo não conduz a aumento na capacidade de predição de custo pelo mesmo 3
.
Tabela 2: Análise de Correlação dos dados da Tabela 1
2.5 MODELO TRI-PARAMÉTRICO DO TRANSPORTADOR DE CORREIAS
O ajuste multi-variável linear por RMMQ produziu o seguinte modelo tri-paramétrico:
Preço (mil R$) = 6,52901 Potência total (kW)
+ 0,02170 Comprimento (mm)
+ 0,41183 Capacidade nominal (t/h)
- 863,987
O ajuste apresenta boa qualidade:
 Coeficiente de correlação próximo da unidade, R2
= 0,931
 Pode ser observado no gráfico da Figura 2 pouco afastamento (resíduos) dos pontos com relação à reta
que representa correspondência perfeita entre os valores reais e valores preditos
 Na amostra, apenas 4 dos valores preditos apresentaram diferenças acima de +/- 31% com relação ao
dado real.
O erro médio do ajuste é de +/- 26%, podendo este ser adotado como uma medida da imprecisão da
estimativa de custo do TR com o modelo tri-paramétrico
A amostra de dados utilizada para regressão do modelo apresenta os limites: Potência total <= 850 kW;
Comprimento <= 430 m; Capacidade nominal <= 8.800 t/h. O modelo pode ser extrapolado para valores dos
parâmetros acima dos limites informados, mas a imprecisão da estimativa resultante nesta condição não é
conhecida.
3
Comprovando esta conclusão, foi realizado o ajuste a um modelo de 4 parâmetros, incluindo a Largura. A função resultante do
ajuste apresentou qualidade ligeiramente pior do que a do modelo tri-paramétrico (vide 2.5), provavelmente porque o coeficiente
da variável Largura apresentava sinal negativo, claramente um “artefato” matemático, já que o custo não pode reduzir com o
aumento da largura.

5. 5
Figura 2: Comparação entre valores da amostra na Tabela 1 e valores preditos pelo modelo tri-paramétrico.
A reta azul representa correspondência perfeita.
2.6 MODELO BI-PARAMÉTRICO DO TRANSPORTADOR DE CORREIAS
Para situações onde não se disponha da informação referente à potência instalada total no TR, foi elaborado
um modelo bi-paramétrico, função apenas do comprimento e capacidade nominal do equipamento:
Preço (mil R$) = 0,02861 Comprimento (mm)
+ 0,76434 Capacidade nominal (t/h)
- 1.291,46165
Em função da ausência da variável Potência, o ajuste apresentou qualidade inferior à obtida com o modelo tri-
paramétrico:
 Coeficiente de correlação, R2
= 0,886
 Na amostra, 6 dos valores preditos apresentaram diferenças acima de +/- 30% com relação ao dado
real.
O erro médio do ajuste é de +/- 34%, podendo este ser adotado como uma medida da imprecisão da
estimativa de custo do TR com o modelo tri-paramétrico
Apesar de carregar uma imprecisão maior, a correlação obtida ainda é estatisticamente significativa e o uso
do modelo bi-paramétrico é recomendado como alternativa técnica ao uso dos índices de custo linear, mais
imprecisos.

6. 6
O modelo bi-paramétrico apresenta os mesmos limites associados aos dados de comprimento e capacidade
da amostra utilizada para ajuste. A imprecisão associada à extrapolação de sua aplicação para dados fora
destes limites não é conhecida.
2.7 REAJUSTE DA INFLAÇÂO NO PERÍODO
Como a amostra de dados utilizada envolve preços de agosto/2010, os valores obtidos com qualquer dos dois
modelos apresentados requer a aplicação de um fator de reajuste para valores atuais.
Para o caso do TR vamos adotar reajuste composto de dois índices: a linha 28 do IPP, referente à “Fabricação
de Máquinas e Equipamentos”, para a parcela do preço referente ao fornecimento (inclui engenharia,
fabricação e transporte) e o INCC, para a parcela referente à montagem do equipamento.
A análise de quatro contratos para aquisição e instalação de TRs no porto, onde os dois primeiros tem como
objeto o fornecimento de TRs e os dois últimos tem como objeto a montagem dos TRs, permite identificar que
52% a 60% do preço total dos TRs é referente a fornecimento, enquanto 40% a 48% é referente aos serviços
de montagem.
Assim, estabelecemos a fórmula de reajuste, onde “Var” se refere à variação do índice durante o período
entre agosto/10 e o momento de realização da estimativa paramétrica:
FR = 60% Var_IPP + 40% Var_INCC .
3.0 CASO DE APLICAÇÃO
Uma mineradora apresentou as seguintes informações quanto ao “transportador de correia de longa
distância”:
 Comprimento = 500 m
 Capacidade nominal = 1.400 t/h
 Largura da correia = 48”
 Desnível do terreno = 15 m
Como não foi fornecida informação sobre a potência instalada, aplicamos o modelo bi-paramétrico (vide 2.6),
obtendo 14.415 mil R$, e aplicando o fator de reajuste, FR = 1,11519709, temos o custo atual estimado do TR:
Estimativa: R$ 16.076 mil
32,2 mil R$/m
Imprecisão da estimativa: +/-34%
4.0 RECOMENDAÇÃO
Para redução da imprecisão da estimativa, é preciso aplicar o modelo tri-paramétrico de custo do TR (vide
2.5), o qual requer entrada da informação de potência dos acionamentos.

7. 7
Recomenda-se que se efetue o cálculo preliminar da potência requerida para o TR, considerando as diferenças
de cotas no trajeto do TR, o qual é conhecido do unifilar, fator de projeto, estabelecido no CP de mecânica,
entre outros fatores. De posse deste parâmetro é possível estimar o custo do TR com imprecisão reduzida
para 26%.
5.0 CONCLUSÃO
 O custo do TR foi estimado para uma imprecisão de +/-34%
 Foram desenvolvidos dois modelos paramétricos de uso geral para estimativa conceitual de custo de
TRs
 Foi apresentada, em detalhe, a metodologia de estimativa, que pode ser aplicada a outros tipos de
equipamentos
6.0 REFERÊNCIAS
Cost Estimating Guide – DOE, 2011
DYSERT, L. R. “Developing a Parametric Model for Estimating Process Control Costs”. Cost Engineering Vol. 43,
No. 2, FEBRUARY 2001