Este documento discute os conceitos-chave de modelagem matemática de doenças infecciosas, incluindo: (1) os objetivos de aprender sobre a dinâmica de transmissão e usar modelos para avaliar intervenções; (2) por que desenvolver modelos para entender epidemias e prever tendências; (3) como doenças infecciosas diferem de não infecciosas.

1. Intensivo de Modelagem Matemática de Doenças
Infecciosas
Tazio Vanni

2. Objetivos
• Aprender sobre a dinâmica de transmissão e sua
relevância na epidemiologia de doenças
infecciosas
• Usando infecções sexualmente transmissíveis
como um exemplo:
– Para aprender sobre os parâmetros-chave na dinâmica
de transmissão
– Para avaliar o uso de modelos de transmissão
matemática para estimar o impacto de intervenções
de prevenção (por exemplo, vacinas).

3. Por que desenvolver um modelo?
• Compreender o sistema de transmissão de infecções
em uma população
• Para ajudar a interpretar as tendências epidemiológicas
observadas
• Identificar os principais determinantes das epidemias
Para orientar a coleta de dados
• Prever a direção futura de uma epidemia
• Avaliar o impacto potencial de uma intervenção

4. Como as doenças infecciosas são
diferentes das não infecciosas?
• A prevalência afeta a incidência, um caso pode
ser um fator de risco:
– Prevalência não é apenas uma medida de carga de
doença em uma população, mas também a
probabilidade de encontrar uma pessoa infectada
– Padrões de contato entre as pessoas são críticos
• As pessoas podem ser imunes.

5. Alguns termos-chave para descrever a doença
infecciosa
• Susceptível: não infectado, mas capaz de se infectar se
exposto
• Infeccioso: infectado e capaz de transmitir a infecção a
outros indivíduos susceptíveis
• Imune: possuindo anticorpos mediados por células ou
anticorpos humorais contra uma infecção
• Doença/infecção clínica: implica a presença de sinais
clínicos de patologia (não sinônimo de infeccioso)
• Infecção latente/infecção subclínica: implica a presença de
agente infeccioso mas ausência de doença clínica
• Portador: implica um estado infectado prolongado com
liberação do agente infeccioso. Os portadores podem estar
doentes, em recuperação ou saudáveis.

6. Momentos chave
Giesecke, J. Modern Infectious Disease Epidemiology. 2002.

7. Alguns termos-chave para descrever a doença
infecciosa ao nível populacional
• Epidemia: A ocorrência em uma comunidade ou região de casos de
uma doença claramente acima da expectativa normal.
• Surto: uma epidemia limitada ao aumento localizado na incidência
de uma doença
• Endemia: A presença constante de uma doença ou agente
infeccioso dentro de uma dada área geográfica ou grupo
populacional
• Pandemia: Uma epidemia que ocorre em uma área muito larga,
cruzando fronteiras internacionais e geralmente afetando um
grande número de pessoas
• Sindemia: é definida como a interação entre doenças ou agravos à
saúde em populações, que magnificam os efeitos deletérios umas
das outras.

8. Rotas de transmissão
Direta Indireta
Entre membranas mucosas - DST Pela água – hepatite A
Pela placenta– toxoplasmosis Pelo ar – varicela
Pelo sangue – hepatite B Pela comida – salmonella
Pela pele – HPV Vectores – malária
Espirro ou tosse – sarampo e flu Objectos/fômites –
estreptococcos
Giesecke J. Modern Infectious Disease Epidemiology. 2002. p. 16

9. Taxa Reprodutiva
• Também chamado “número reprodutivo”
• Representa o número de infecções causadas
por um indivíduo infeccioso.
• Em uma população 100% suscetível
– Taxa Reprodutiva Básica, R0
• Em uma população onde <100% são
suscetíveis
– Taxa Reprodutiva Efetiva, R = proporção dos
suscetíveis x R0

11. Determinantes do R0
Para um patógeno com transmissão direta pessoa-a-
pessoa (ex: influenza)
R0 = βcD
Onde β é a probabilidade de transmissão mediante o
contato entre infeccioso e suscetível
c é a taxa de contato
D duração da infectividade

12. Modelo Suscetível-Infeccioso-Recuperado
(SIR)
susceptible Infectious Removed
b.c 1/d

13. Modelo Suscetível-Infeccioso-Recuperado
(SIR)
• Considere os seguintes valores
– Probabilidade de transmissão, β = 0.15
– Taxa de contato, c = 12 contatos por semana
– Duração da infecção, D = 1 semana
• Taxa Reprodutiva Básica: R0 = 0.15 * 12 * 1 = 1.8
• Taxa Reprodutiva Efetiva no tempo: Rt = St * R0

15. Imunidade Rebanho - conceito
básico
• Qual a proporção da população devo imunizar para que
a infecção não se espalhe?
• Considere um R0=5
• Recordar é viver:
– R <1 Infecção desaparece
– Rt = St * R0
• P é a proporção de imunizados
• Logo o S= (1-P)
• Assim temos (1-P).R0<1
• Portanto, precisamos imunizar pelo menos 80% da
população

16. Modelo Suscetível-Infeccioso-Recuperado
(SIR)
• Pressupostos
– A população é fixa (sem entradas/nascimentos ou
saídas/mortes)
– O período latente é zero
– Período infeccioso = duração da doença
– Após a recuperação, os indivíduos estão imunes
• As pessoas podem estar em um dos 3 estados
– Suscetíveis (S)
– Infectados e infecciosos (I)
– Recuperados/imunes (R*)
Giesecke J. Modern Infectious Disease Epidemiology. 2002. pp. 126-130
* Não confundir com o R0

17. Suscetíveis
(S)
Infectados
(I)
Recuperado
(R)
1
2
Taxa de Mudança Proporção no estado no tempo t
dS/dt = - βcSI
1 OUT
dI/dt = + βcSI – I/D
1 IN 2 OUT
dR/dt = + I/D
2 IN
St = St-1 - βcSt-1It-1
It = It-1 + βcSt-1It-1 – It-1/D
Rt = Rt-1 + It-1/D

20. Fontes de dados para os parâmetros do modelo:
o exemplo das doenças sexualmente transmissíveis
• Considere os três parâmetros:
– Probabilidade de transmissão(β)
– Duração da infecção(D)
– Taxa de contato (c)
• De onde vem estas estimativas?

21. Transmissibilidade(β): Medida
• Medida como a probabilidade de transmissão de um
parceiro infectado para um parceiro suscetível (taxa de
ataque)
• Fontes de dados
– Rastreamento de contatos
– Casais discordantes
– Estudos de indivíduos sexualmente ativos que relatam parceiros
com status de DST conhecidos, ou se a prevalência da DST no
pool de parceiros é bem conhecida
• Desafios
– A inscrição de parceiros sexuais pode ser difícil
– Identificação de contatos entre infectados e susceptíveis e
direção de transmissão
– O que é um "contato"?

22. Duração da infectividade (D): Medida
• Fontes de dados
– Duração da doença clínica
– Duração da infecção
• Desafios
– Duração da doença = duração da infecciosidade?
– Assintomáticos versus sintomáticos
– Obrigação ética de tratar infecções identificadas
– Talvez precise confiar em dados históricos de qualidade
questionável

23. Mistura aleatória e a taxa de contato (c)
• Uma suposição dos modelos simples vistos até agora é
que a mistura é aleatória
• Cada indivíduo tem uma chance igual de formar uma
parceria com cada outro indivíduo
• Os dados do inquérito mostram que a mistura não é
aleatória para muitas características (por exemplo,
idade, etnia, religião, educação), mas tende a ser
assortativa - ”semelhantes" misturam com
”semelhantes”.
• Mas está misturando de forma assortativa com respeito
à história sexual passada?

24. Taxa de contato (c)
• Tipicamente medido como a taxa de aquisição de novo
parceiro (por exemplo, por ano)
• O modelo até agora assume homogeneidade na taxa
de contato
• Fonte de dados são pesquisas de comportamento
sexual
– População em geral
– Populações seleccionadas (por exemplo, adolescentes, adultos
com idade entre 18-45 anos, estudantes, homens gays e
bissexuais, consumidores de drogas)

25. Número de parceiros sexuais nos últimos 5 anos. British National
Survey of Sexual Attitudes and Lifestyles (NATSAL), 2000
0
10
20
30
40
50
60
Percentage
0 1 2 3 to 4 5 to 9 10 or
more
Female Male
Johnson AM et al. Lancet 2001; 358:1835-42.

26. Taxa de contato (c)
• Claramente, a taxa de contato é heterogênea
• Não se pode supor que todos os indivíduos têm a
mesma taxa de contato
• Para o comportamento sexual, um conceito importante é
o "núcleo do grupo"
– Um pequeno grupo de indivíduos com alta taxa de contato que
contribuem desproporcionalmente para a disseminação das
DST s na população
– A DST concentra-se neste grupo central

27. Taxa de Contato (c): desafios para medida
• Pesquisas de indivíduos obtêm dados sobre seu
comportamento sexual, mas serão incompletas para
seus parceiros
• Estudos de redes sexuais obtêm dados detalhados de
parceiros, mas geralmente são localizados e podem não
ser generalizáveis
• Os inquéritos gerais à população são mais
representativos da maioria, mas podem captar
insuficientemente os membros do núcleo
• Validade do comportamento sexual auto-relatado e viés
de desejabilidade social

28. Estimativas β, c, e D: crítica
• Incerteza e limitações nas estimativas de parâmetros
• Documentos bem escritos
– Identificar a fonte ou raciocínio por trás das estimativas de
parâmetros
– Realizar análise de sensibilidade para determinar quanto os
resultados do modelo dependem dos valores dos parâmetros
• Às vezes, o modelo de transmissão identificará uma falta de
conhecimento nesses parâmetros e pode direcionar pesquisas
empíricas para obter mais dados
• Calibração de modelos pode ser usada para estimar parâmetros,
como o β.