Relatório de Pontes de Macarrão, incluindo resistencia dos materiais e propriedades mecanicas de cada um.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA.
CAMPUS PAU DOS FERROS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA – BCT
DISCIPLINA: MECÂNICA GERAL I; RESISTENCIA DOS MATERIAIS
PROFESSOR: JOSÉ FLÁVIO E CLAWSIO SOUZA
PROJETO PONTES DE MACARRÃO
AMANDA QUEIROZ
JUAN CARLOS
KALID MARQUES
LUCAS PESSOA
VICTORIA MAIA
Pau dos Ferros RN
Março – 2004

2. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA.
CAMPUS PAU DOS FERROS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA – BCT
Projeto Pontes de Macarrão
Amanda Queiroz
Juan Carlos
Kalid Marques
Lucas Pessoa
Victoria Maia
Relatório Apresentado às disciplinas
Mecânica Geral I e Resistencia dos
Materiais ministradas pelos Profs. José
Flávio e Clawsio Souza em
complementação a um dos requisitos
para a obtenção da nota da Unidade III.
Pau dos Ferros – RN
Fevereiro – 2014

3.  Fundamentação Teórica
 Tração, Compressão e Flexão
1. Introdução
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica que estuda as relações entre as
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que
atuam dentro de um corpo.
Um dos principais objetivos de estudo da Mecânica dos Materiais é fornecer ao futuro
engenheiro a capacidade de compreender a Análise e os Projetos de máquinas e
estruturas. Seu estudo está associado com a determinação das tensões e das
deformações.
No projeto de uma estrutura ou máquina é necessário usar primeiro os princípios de
estática para determinar as forças que estão atuando tanto sobre como no interior de
seus vários membros. É feito um estudo através do qual a estrutura em si e suas partes
são dimensionadas de forma que tenham resistência suficiente para suportar os esforços
das condições de uso que serão submetidas à essa estrutura. Esse estudo envolve a
análise de tensões de cada parte da estrutura e considerações a respeito das propriedades
mecânicas dos materiais, sendo estes os principais aspectos da resistência dos materiais.
A determinação dos esforços e as deformações da estrutura quando as mesmas são
solicitadas por agentes externos, como cargas, variações técnicas, movimentos dos
apoios, entre outros, são os principais aspectos da análise estrutural. Com base em um
coeficiente de segurança aceitável e desejado, e na análise estrutural chega-se às
dimensões dos elementos estruturais.
A forma de aplicação das tensões varia em relação a reação de apoio ou inércia do
corpo; elas podem ocorrer por tração, compressão, cisalhamento, flexão e torção.
Diante disso, vamos estudar alguns dos tipos de esforços mais comuns a que são
submetidos os elementos construtivos, são eles: tração, compressão, flexão e torção,
mas primeiramente introduziremos os conceitos de tensão e deformação.

4. 1.1. Tensão
A força ∆F representa a resultante das forças atuantes sobre o corpo num determinado
ponto. Considerando uma parcela infinitesimal de área ∆A, a força ∆F aplicada, e suas
componentes tenderão à zero; entretanto o coeficiente da força pela área tenderá a um
limite finito denominado tensão.
Tensão = lim∆A−0
∆F
∆A
1.1.1. Tensão Normal
A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua no sentido perpendicular à
∆A, é definida como tensão normal, σ (sigma). Desta forma, podemos escrever que:
σ = lim∆A−0
∆F
∆A
Se a força for de alongamento, dizemos que é uma tensão de tração, porém, se a força
for de encurtamento, é chamada de tensão de compressão.
1.1.2. Tensão de Cisalhamento
A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua tangente a ∆A, é definida
como tensão de cisalhamento, τ (tau). Desta forma, podemos escrever que:
τ = lim∆A−0
∆F
∆A

5. 1.1.3. Unidades de Tensão no SI
No Sistema Internacional de Unidades (SI), tanto a intensidade da Tensão Normal
quanto da Tensão de Cisalhamento é especificada na unidade básica de newtons por
metro quadrado (N/m²).
Esta unidade é denominada Pascal (1 Pa = 1 N/m²), como essa unidade é muito
pequena, na engenharia são utilizados prefixos como quilo (10³), mega (106
) ou giga
(109
).
1Mpa = 106
Pa = 106
N/m²
1GPa = 109
Pa = 109
N/m²
1.1.4. Tensão Normal Média
Neste tópico determinaremos a distribuição de tensão média em uma barra de seção
transversal. No entanto, antes de determinarmos essa distribuição, precisamos
estabelecer algumas hipóteses simplificadoras referentes à descrição do material e à
aplicação específica de carga.
1.1.4.1. Hipóteses
 É necessário que a barra permaneça reta tanto antes
como depois de a carga ser aplicada, e, além disso, a
seção transversal deve permanecer plana durante a
deformação, isto é, durante o tempo em que a barra muda seu volume e sua
forma.
 A fim de que a barra possa sofrer deformação uniforme, é
necessário que P seja aplicada ao longo do eixo do centroide da

6. seção transversal e o material ser homogêneo e isotrópico. Um material
homogêneo possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu
volume. Já o material isotrópico possui essas mesmas propriedades em todas
as direções.
1.1.4.2. Distribuição de Tensão Normal Média
Com a barra submetida a uma deformação uniforme constante, como observado nas
hipóteses, vemos que a deformação é o resultado de uma tensão normal constante σ.
Desta forma, cada área ∆A da seção transversal está sujeita a uma força ∆F = σ∆A, e o
somatório das forças que atuam sobre toda a área de seção transversal deve ser
equivalente à força interna resultante P na seção. Se ∆A  dA e, portanto, ∆F  dF,
então, admitindo que σ seja constante, temos:
∫ 𝑑𝐹 = ∫ σ dA
P = σ A
σ =
𝑃
𝐴
onde:
σ = Tensão Normal Média em qualquer ponto da área da seção transversal.
P = Resultante da força normal interna, aplicada no centróide da área da seção
transversal.
A = Área da seção transversal da barra.
1.1.5. Tensão de Cisalhamento Média
A tensão de cisalhamento é definida como o componente da tensão que atua no plano da
área secionada. Matematicamente,

7. 𝜏 𝑚é𝑑 =
𝑉
𝐴
Onde:
𝜏 𝑚é𝑑 = é a tensão de cisalhamento média na seção, que se supõe ser a mesma em cada
ponto da seção.
V = é a resultante interna da força de cisalhamento na seção determinada pelas equações
de equilíbrio
A = é a área da seção.
A tensão de cisalhamento média pode ser dividida em simples ou dupla.
1.1.5.1. Cisalhamento Simples
Em juntas de aço ou madeira geralmente se denominam “juntas sobrepostas”. Como os
elementos são finos, podemos desprezar o momento criado pela força F, submetendo
então, as juntas em apenas uma força de cisalhamento simples. V = F.
1.1.5.2. Cisalhamento Duplo
Quando uma junta é constituida como mostrado nas figuras, devem ser consideradas
duas superfícies de cisalhamento. Esse tipo de acoplamento é chamado de “juntas de
dupla sobreposição”.Nesse caso, temos uma condição de cisalhamento duplo. E assim,
V = F/2 em cada área secionada e o cisalhamento deve ser considerado quando aplicado
𝜏 méd = V/A.

8. 1.1.6. Tensão admissível
Ao projetar uma estrutura, é necessário assegurar-se que, nas condições de serviço, ela
atingir´o objetivo para o qual foi calculada. Do ponto de vista da pacidade de carga, a
tensão máxima na estrutura é, normalmente mantid abaixo do limite de
proporcionalidade, pois assim, não haverá deformação permanente caso as cargas sejam
aplicadas e, depois, removidas. Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para
levar em conta certas imprecisões na construção e possiveis desconhecimentos de
algumas variáveis na análise a estrutura, normalmente emprega-se um “fator de
segurança” com uma “tensão admissível”, abaixo do limite de proporcionalidade. O
fator de segurança é a relação entre a tensão de ruptura e a tensão admissível. A tensão
de ruptura é obtida em testes experimentais do material, e o fator de segurança é
selecionado com base na experiencia, de modo que as incertezas mencionadas sejam
consideradas quando o elemento é usado em condições semelhantes de tensão e
geometria. Matematicamente:
𝐹. 𝑆 =
𝐹 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑝
𝐹 𝑎𝑑𝑚
Se a carga aplicada ao elemento for relacionada linearmente à tensão desenvolvida no
interior do elemento, como no caso do 𝜎 = 𝑃/𝐴 e 𝜏 𝑚é𝑑 = 𝑉/𝐴, então
𝐹. 𝑆 =
𝜎 𝑟𝑢𝑝
𝜎 𝑎𝑑𝑚
ou 𝐹. 𝑆 =
𝜏 𝑟𝑢𝑝
𝜏 𝑎𝑑𝑚
Em qualquer dessas equações, o fator de segurança a ser escolhido é maior do que 1,
para que assim, evite a maior possibilidade de falha. Os valores específicos dependem
dos tipos de materiais a serem usados e da finalidade pretendida da estrutura ou
máquina.
1.1.7. Projeto de Acoplamento Simples
Se um elemento estiver sujeito a uma força normal em uma seção, a área requerida da
seção será encontrada por:
𝐴 =
𝑃
𝜎 𝑎𝑑𝑚

9. Por outro lado, se a seção estiver sujeita a uma força de cisalhamento, a área requerida
da seção será encontrada por:
𝐴 =
𝑉
𝜏 𝑎𝑑𝑚
Essas equações podem ser usadas em 4 tipos de problemas:
1.1.7.1. Área da Seção Transversal de um Elemento de Tração
A área da seção transversal de um elemento prismático submetido a uma força de tração
pode ser determinada desde que a força tenha uma linha de ação que passe pelo
centróide da seção transversal.
1.1.7.2. Área da Seção Transversal de um Acoplamento Submetido a
Cisalhamento
São usados, em geral, parafusos ou pinos para acoplar chapas, tábuas, ou vários
elementos. Se o parafuso estiver solto ou a força de acoplamento do parafuso for
desconhecida, é seguro supor que qualquer força de atrito entre as chapas é desprezível.
O parafuso está submetido à resultante da força de cisalhamento interna V = P na seção
transversal.
1.1.7.3. Área Requerida Para Resistir ao Apoio

10. A tensão normal produzida pela compressão de uma superfície contra outra é
denominada “tensão de apoio”. Se tal tensão tornar-se suficientemente grande, poderá
esmagar ou deformar localmente uma ou ambas as superfícies. Então, para se evitar
falha, torna-se necessário determinar a área de apoio adequada para o material que
esteja usando a tensão de apoio admissível.
1.1.7.4. Área Requerida para Resistir ao Cisalhamento Provocado Por
Carga Axial
Hastes ou outros elementos, ocasionalmente estão apoiados de tal maneira que pode-se
surgir uma tensão de cisalhamento, apesar de o elemento estar submetido a uma carga
axial.
1.2. Deformação

11. A deformação acontece quando uma força é aplicada a um corpo, que tende a mudar de
forma e tamanho. Essas mudanças denominadas “deformação” podem ser perfeitamente
visíveis ou praticamente imperceptíveis sem o uso de equipamentos precisos. O corpo
também pode deformar-se quando sua temperatura muda, como quando um telhado
expande ou contrai com a mudança das condições atmosféricas.
A deformação de um corpo não é uniforme em todo o seu volume, e assim, a mudança
na geometria de qualquer segmento de reta do corpo pode variar do longo do
comprimento. Porém, à medida que se consideram segmentos de reta cada vez menores,
eles permanecem retos após a deformação e, assim, quando se estuda as mudanças de
deformação de maneira mais uniforme, são consideradas as retas como muito pequenas
e localizadas na vizinhança de um ponto. Desse modo, imagina-se que qualquer
segmento de reta localizado em um ponto do corpo muda com o valor diferente do
segundo localizado em algum outro ponto. Além disso, essas mudanças também
dependem da orientação do segmento de reta no ponto.
1.2.1. Deformação Normal
A deformação normal é o alongamento ou a contração de um segmento de reta por
unidade de comprimento. Para desenvolver uma definição formal de deformação
normal, consideramos a reta AB, contida no interior do corpo sem deformação normal.
A reta localiza-se ao longo do eixo n e tem comprimento original de s. Após ocorrer a
deformação, os pontos A e B são deslocados para as posições A’ e B’, e a reta torna-se
curva, tendo comprimento de s’. Sendo assim, a deformação normal média
matematicamente é dada por:
𝜖 𝑚é𝑑 =
∆𝑠′
− ∆𝑠
∆𝑠
Como o ponto B é escolhido cada vez mais próximo do ponto A, o comprimento da reta
torna-se cada vez menor, de modo que o s tende a 0. Isso faz com que B’ aproxime-se
de A’, tal que s’ tenda a 0. Como consequência, no limite, a deformação normal no
ponto A e na direção n é:
𝜖 = lim
𝐵→𝐴 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑛
∆𝑠′
− ∆𝑠
∆𝑠

12. Se a deformação normal for conhecida, podemos a equação do limite anterior para obter
o comprimento final aproximado de um segmento de reta menor da direção de n depois
da deformação.
∆𝑠′
≅ (1 + 𝜖)∆𝑠
Assim, quando 𝜖 é positivo, a reta inicial alonga-se, porém, se 𝜖 for negativo, a reta se
contrai.
1.2.2. Unidades
A deformação normal é uma grandeza adimensional, já que é a relação entre dois
comprimentos. Apesar disso, é bem comum ser expressada em termos de razão de
unidades de comprimento. Por exemplo m/m.
1.2.3. Deformação por Cisalhamento
Deformação de cisalhamento é quando ocorre a mudança de ângulo entre dois
segmentos de reta, que eram originalmente perpendiculares entre si. Para demonstrar
como essa deformação ocorre, consideremos os segmentos de reta AB e AC com
origem no mesmo ponto A de um corpo e direcionados ao longo dos eixos
perpendiculares n e t. Após a deformação, as extremidades das retas são deslocadas e as
próprias retas transformam-se em curvas, de modo que o ângulo entre elas em A é 𝜃′.
Assim, a deformação dos eixos n e t é definida por:
𝛾 𝑛𝑡 =
𝜋
2
− lim
𝐵→𝐴 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑛
𝐶→𝐴 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑡
𝜃′

13. Se 𝜃′ é menor do que 𝜋/2, a deformação por cisalhamento é positiva; porém, se for
maior, a deformação é negativa.
1.2.4. Componentes Cartesianos da Deformação
Imaginemos um corpo subdividido em pequenos elementos. O elemento é retangular e
tem dimensões não deformadas x, y ez e está localizado nas vizinhanças de um
ponto do corpo. Supondo que suas dimensões sejam muito pequenas, seu formato
deformado será um paralelepípedo, uma vez que segmentos de reta muito pequenos
permanecem aproximadamente retos após deformação do corpo. Para atingir o formato
deformado, devemos considerar antes como a deformação normal muda os
comprimentos dos lados do elemento retangular, e, depois como a deformação por
cisalhamento muda os ângulos de cada lado. Os comprimentos aproximados dos lados
do paralelepípedo são:
(1 + 𝜖 𝑑𝑒 𝑥)∆𝑥 (1 + 𝜖 𝑑𝑒 𝑦)∆𝑦 (1 + 𝜖 𝑑𝑒 𝑧)∆𝑧
Os ângulos aproximados entre os lados, originalmente definidos pelos lados
∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧, são:
𝜋
2
− 𝛾 𝑑𝑒 𝑥𝑦
𝜋
2
− 𝛾 𝑑𝑒 𝑦𝑧
𝜋
2
− 𝛾 𝑑𝑒 𝑥𝑧

14. Deformações normais provocam mudança de volume no elemento retangular, enquanto
as deformações por cisalhamento provocam mudança no formato. Naturalmente, ambos
os efeitos ocorrem simultaneamente durante a deformação.
1.2.5. Análise de Pequenas Deformações
Quase todas as estruturas e máquinas têm aparência rígida e as deformações que
ocorrem durante o uso são dificilmente percebidas. Por isso, a maioria dos projetos de
engenharia envolve aplicações para as quais são permitidas apenas deformações.
Mesmo que a deflexão de um membro como uma chapa fina ou haste delgada possa
parecer grande, o material de que ele é feito pode estar sujeito apenas a deformações
muito pequenas.
Supondo que as deformações ocorridas no interior de um corpo sejam quase
infinitesimais, de modo que as deformações normais ocorridas no interior do material
sejam muito pequenas em comparação com a unidade, 𝜖 ≪ 1. Sendo assim, 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃,
𝑐𝑜𝑠𝜃 ≈ 1, e 𝑡𝑔𝜃 ≈ 𝜃 desde que 𝜃 seja muito pequeno.
1.3. Teste de Tração e Compressão
A resistência de um certo material depende diretamente de sua capacidade de suportar a
carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é específica de cada
material, e deve ser determinada através de experimentos. Um dos testes mais
importantes a realizar nesse sentido é o teste de tração ou compressão. Esse teste é
usado principalmente para determinar a relação entre a tensão normal média e a
deformação normal média em muitos materiais da engenharia, como metais, polímeros
e materiais compostos.

15. Para realizar o teste de tração ou compressão é feito um corpo de prova do material,
com o formato, e tamanho padronizados. Antes do teste são feitas duas pequenas marcas
de punção ao longo do comprimento do corpo de prova, distantes de ambas as
extremidades, pois a distribuição de tensão nas extremidades é complexa devido à
fixação nos acoplamentos em que a carga é aplicada. É medida então, a área da seção
transversal inicial do corpo de prova, A0 e o comprimento de referencia L0 entre as
marcas de punção. A fim de aplicar uma carga axial sem flexão do corpo de prova, as
extremidades são, geralmente, assentadas em juntas universais. Uma máquina de teste é
então usada para estirar o corpo de prova com taxa muito lenta e constante até que ele
atinja o ponto de ruptura. A máquina é projetada para ler a carga necessária para manter
o estiramento uniforme.
Os dados da carga aplicada são registrados a intervalos frequentes à medida que são
lidos no mostrador da máquina ou em um mostrador digital. Além disso tudo, é medido
o alongamento 𝛿 = 𝐿 − 𝐿𝑜 entre as marcas de punção no corpo de prova por meio de
um calibre ou um extensômetro. O valor de 𝛿 é usado então, para calcular a deformação
normal média do corpo de prova, porém algumas vezes não é feita, já que é possível
obter a mesma diretamente através de um extensômetro por resistência elétrica. O
extensômetro é colado ao corpo de prova em uma direção especificada. Se a cola for
muito forte em comparação com o extensômetro, este será parte integrante do corpo de
prova, de modo que quando o corpo de prova for estirado na direção do extensômetro, o
arame e o corpo de prova sofrerão a mesma deformação. Medindo-se a resistência
elétrica do arame, o extensômetro pode ser calibrado para ler valores da deformação
normal diferente.
1.4. Diagrama Tensão-Deformação
Com os dados do teste de tração ou compressão, pode-se calcular os valores de tensão e
deformação do corpo de prova e depois construir um gráfico com os resultados obtidos.
A curva é denominada diagrama tensão-deformação e pode ser escrita de duas formas:
1.4.1. Diagrama Tensão-Deformação Convencional
Com os dados registrados, determinamos a tensão nominal dividindo a carga aplicada P
pela área da seção transversal inicial do corpo de prova, pressupondo que a tensão seja

16. constante na seção transversal e em toda a região entre os pontos de calibragem.
Matematicamente:
𝜎 =
𝑃
𝐴𝑜
Da mesma maneira, a deformação nominal é encontrada diretamente pela leitura do
extensômetro, ou dividindo-se a variação do comprimento de referência pelo
comprimento de referência inicia, supondo que a deformação seja constante em toda a
região entre os pontos de calibragem. Matematicamente:
𝜖 =
𝛿
𝐿𝑜
Se os valores correspondentes de tensão e deformação forem colocados em um gráfico,
a curva resultante vai ser chamada diagrama tensão-deformação. Esse diagrama permite
obter dados sobre a resistência à tração ou compressão do material sem considerar o
tamanho ou formato físico do material. Dois diagramas de um mesmo material,
portanto, não serão exatamente iguais, uma vez que os resultados dependem de
variáveis como a composição do material, taxa de carga e temperatura de quando o teste
foi realizado, imperfeições microscópicas, entre outras. Pela curva podemos identificar
4 maneiras diferentes pelas quais o material se comporta, dependendo da grandeza da
deformação nele provocada.
1.4.1.1. Comportamento Elástico

17. Ocorre quando as deformações no corpo de prova estão na região sombreada clara do
gráfico. A curva é uma reta na maior parte da região e a tensão é proporcional à
deformação. O material, é basicamente, linearmente elástico. O limite superior dessa
relação linear é o limite de proporcionalidade. Se a tensão excede ligeiramente o limite
de proporcionalidade, o material pode ainda responder elasticamente, entretanto, a curva
tende a se fletir e achatar. Essa condição continua até que a tensão alcance o limite de
elasticidade. Atingindo esse ponto, se a carga for removida, o corpo de prova ainda
volta à sua forma original.
1.4.1.2. Escoamento
Um pequeno aumento de tensão acima do limite de elasticidade resulta no colapso do
material e faz com que ele se deforme permanentemente. É o chamado escoamento e é
indicado pela região sombreada da curva. A tensão que provoca escoamento é chamada
limite ou ponto de escoamento, e a deformação ocorrida é a deformação plástica. O
limite de escoamento superior ocorre primeiro, seguido por um decréscimo súbito da
capacidade de carga no limite de escoamento inferior. Uma vez atingido o limite de
escoamento, o corpo de prova continuará a alongar-se sem qualquer aumento da carga.
Quando um material está nesse estado, é classificado como perfeitamente elástico.
1.4.1.3. Endurecimento por deformação
Quando o escoamento termina, pode-se aplicar uma carga adicional ao corpo de prova,
que resultará em uma curva que cresce continuamente, mas que se torna mais plana até
que alcança a tensão máxima denominado limite de resistência. O aumento da curva é
chamado endurecimento por deformação, e é a região sombreada clara do gráfico.
Durante o teste, enquanto o corpo de prova sofre alongamento, a área de sua seção
transversal decresce. O decréscimo de área é bastante uniforme ao longo de todo o
comprimento de referência do corpo de prova, inclusive até a deformação
correspondente ao limite de resistência.
1.4.1.4. Estricção
Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma
região localizada do corpo de prova, em vez de em todo o seu comprimento. Como
resultado, tende a formar-se gradualmente uma estricção ou contração nessa região à
medida que o corpo de prova se alonga. Como a área da seção transversal nessa região

18. está decrescendo continuamente, a área menor pode suportar apenas carga decrescente.
Portanto, o diagrama tensão-deformação tende a curvar-se para baixo até que o corpo de
prova quebre com a tensão de ruptura. A região que representa a estricção é a de cor
escura no gráfico.
1.4.2. Diagrama Tensão-Deformação Real
Em vez de usar a área da seção transversal inicial e o comprimento do corpo de prova
para calcular a tensão e a deformação, poderíamos ter usado a área real da seção
transversal e o comprimento do corpo de prova no instante em que a carga é medida. Os
valores da tensão e da deformação calculados com essas medidas são chamados tensão
real e deformação real, e a construção gráfica de diagrama tensão-deformação real.
1.5. Lei de Hooke
Os diagramas de tensão-deformação para a maioria dos materiais da engenharia
apresentam relação linear em tensão e deformação na região de elasticidade.
Consequentemente, um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na
deformação. É a chamada “Lei de Hooke’ Matematicamente:
𝜎 = 𝐸𝜖
Onde E representa a constante de proporcionalidade, chamada módulo de elasticidade
ou módulo de Young, e é uma propriedade mecânica que indica a rigidez de um
material. E só pode ser usado se o material tiver comportamento linear-elástico. Essa
equação representa a porção inicial reta do diagrama tensão-deformação até o limite de
proporcionalidade. Por sua vez, o módulo de elasticidade representa o declive dessa
reta. Se a tensão no material for maior que o limite de proporcionalidade, o diagrama
tensão-deformação deixará de ser uma reta.
Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é 𝜎 =
𝑃
𝐴
e a
deformação específica é 𝜀 =
𝛿
𝐿
. Combinando as expressões com a lei de Hooke, acha-se
o alongamento da barra, este sendo: 𝛿 =
𝑃.𝐿
𝐸.𝐴
. Essa equação, mostra que o alongamento
de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao seu
comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção
transversal. O produto E.A é conhecido como a “rigidez” axial da barra, e a

19. “flexibilidade” da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga unitária,
assim: 𝐿
𝐸. 𝐴⁄ .
1.6. Coeficiente de Poisson
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma contração
lateral, ou seja, a largura torna-se menor, e o comprimento maior.
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região
elástica, e conhece-se por relação ou “Coeficiente de Poisson”, dado matematicamente
por:
𝑣 = |
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
| (0 ≤ 𝑣 ≤ 0,5)
O coeficiente de Poisson vai ser sempre o mesmo, independentemente de o material
estar sobre tensão ou compressão.
2. Torção
2.1. Torção em Barras de Seção Circular
Seja a barra de seção transversal circular submetida ao momento torsor T em suas
extremidades.
Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade da
barra em relação à outra. Considerando que a extremidade esquerda da barra é fixa, e a

20. da direita gira num ângulo ∅ (em radianos) em relação à primeira. Ao mesmo tempo,
uma linha longitudinal na superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo
para a posição nn’.
Analisando um elemento retangular abcd de largura dx na superfície da barra, nota-se
que, sob a ação da torção, esse elemento sofre distorção e os pontos b e d movem-se
para b’ e d’, respectivamente. Os comprimentos dos lados não variam durante a rotação,
porém os ângulos dos vértices não permanecem retos. Tem-se então, que o elemento
encontra-se em estado de cisalhamento puro e a sua deformação de cisalhamento é de
𝛾 = 𝑏𝑏′
𝑎𝑏⁄ . Chamando de 𝑑∅ o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação
à outra, chega-se a 𝑏𝑏′
= 𝑅. 𝑑∅.
Sabendo que a distancia ab é igual a dx, então 𝛾 =
𝑅.𝑑∅
𝑑𝑥
.
Quando um eixo está sujeito a torção pura, a taxa de variação 𝑑∅ do ângulo de torção é
constante ao longo do comprimento da determinada barra. Esta constante é o ângulo de
torção por unidade de comprimento, isto é, 𝜃.
Portanto,
𝛾 = 𝑅. 𝜃 = 𝑅.
∅
𝐿
A intensidade da tensão de cisalhamento é definida pela Lei de Hooke, e assim:
𝜏 = 𝐺. 𝛾 = 𝐺. 𝑅. 𝜃
Onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, igual a 𝐸
2. (1 + 𝑣)⁄ .

21. O estado de tensão no interior de um eixo pode ser determinado de modo análogo,
substituindo R por r, e assim: 𝛾 = 𝑟. 𝜃 , e a tensão de cisalhamento é: 𝜏 = 𝐺. 𝑟. 𝜃.
Essas equações nos revelam que a deformação e a tensão de cisalhamento varim
linearmente com o raio, tendo seus valores máximos na superfície do eixo.
O momento torsor de todas as forças em relação ao centroide da seção transversal é:
𝑇 = ∫ 𝜏. 𝑟. 𝑑𝐴 = ∫ 𝐺. 𝑟2
. 𝜃. 𝑑𝐴 = 𝐺. 𝜃 ∫ 𝑟2
. 𝑑𝐴 = 𝐺. 𝜃. 𝐽
𝐴𝐴𝐴
Onde J é o momento de inércia polar da seção transversal, igual a ∫ 𝑟2
. 𝑑𝐴𝐴
.
Para uma seção circular, o momento de inércia polar com relação aos eixos que passam
pelo centroide é 𝐽 = 𝜋. 𝑑4
32⁄ , onde d é o diâmetro da seção transversal.
Assim, tem-se: 𝜃 =
∅
𝐿
=
𝑇
𝐺.𝐽
, mostrando que o ângulo de torção por unidade de
comprimento é diretamente proporcional ao momento torsor e inversamente
proporcional ao produto G.J, conhecido como “módulo da rigidez à torção” do eixo.
Se substituirmos 𝜃 na equação da tensão de cisalhamento, obtemos 𝜏 =
𝑇.𝑟
𝐽
, logo a
tensão de cisalhamento máxima é dada por 𝜏 𝑚á𝑥 =
𝑇.𝑅
𝐽
.
2.2. Torção em Barras de Seção Circular Vazadas
A tensão de cisalhamento numa barra de seção circular é máxima na superfície e nula
no centro. E assim, grande parte do material trabalha com tensões bem inferiores à
admissível. Se a redução de peso e a economia de material forem fatores importantes, é
preferível usar eixos vazados.

22. A análise da torção de barras de seção circular vazada assemelha-se à de barras de seção
circular cheia. Assim, a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção
transversal é:
𝜏 =
𝑇. 𝑟
𝐽
𝑐𝑜𝑚 𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2
Onde:
𝐽 =
𝜋. (𝑑 𝑒
4
− 𝑑𝑖
4
)
32
2.3. Eixos Estaticamente Indeterminados
Quando as equações da estática são insuficientes para a determinação dos esforços
internos de torção, é preciso levar em conta as condições de deformação da estrutura.
3. Tensões em Vigas
3.1. Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor
Tendo a viga biapoiada sujeita a duas cargas P:

23. Os diagramas de esforços solicitantes são:
No centro da viga, a força sujeita é apenas o momento fletor, caracterizando assim, a
flexão pura. A ação do momento fletor faz com que a viga se curve.
É percebível que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma em
relação à outra, de tal maneira que as fibras interiores alongaram-se e as superiores
encurtaram-se, indicando a existência de uma região tracionada, e outra comprimida.
Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, existirá uma superfície em
que as fibras não sofrem nenhuma variação de comprimento, a chamada superfície
neutra. Sua interseção com qualquer seção transversal da viga dá origem a chamada
linha neutra da seção.

24. O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, é o ponto O da
figura. Chamando de d𝜃 ao ângulo entre os planos S0 e S1, e 𝜌 ao raio de curvatura,
tem-se:
𝑘 =
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑥
Onde k é a curvatura.
O alongamento, isto é, a variação do comprimento da fibra ab, distante um valor y da
superfície neutra, sendo determinado por:
Comprimento total da fibra ab: (𝜌 + 𝑦). 𝑑𝜃
Comprimento inicial da fibra ab: dx
Alongamento: (𝜌 + 𝑦). 𝑑𝜃 − 𝑑𝑥 = (𝜌 + 𝑦).
𝑑𝑥
𝜌
− 𝑑𝑥 =
𝑦
𝜌
. 𝑑𝑥
A deformação correspondente é dada por:
𝜀 𝑥 =
𝑦
𝜌
= 𝑘. 𝑦
E as tensões normais são calculadas por:
𝜎𝑥 = 𝑘. 𝐸. 𝑦
Sendo assim, as tensão variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na viga
que está sendo estudada, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão
acima da mesma:
A força longitudinal em dA pode ser considerada como:
𝑑𝐹 = 𝜎𝑥. 𝑑𝐴 = 𝑘. 𝐸. 𝑦. 𝑑𝐴

25. Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de 𝜎𝑥. 𝑑𝐴 sobre a área
da seção é nula.
𝐹 = ∫ 𝜎𝑥
𝐴
. 𝑑𝐴 = ∫ 𝑘. 𝐸. 𝑦. 𝑑𝐴 = 0
𝐴
Onde k e E são constantes.
Logo
∫ 𝑦. 𝑑𝐴 = 0
𝐴
→ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜
Desse modo, a linha neura passa pelo centroide da seção transversal.
O momento fletor da força em relação à linha neutra é:
𝑀𝑧 = ∫ 𝜎𝑥
𝐴
. 𝑑𝐴 = ∫ 𝑘. 𝐸. 𝑦² = ∫ 𝑘. 𝐸. 𝐼𝑧
𝐴𝐴
Daí,
𝑘 =
𝑀𝑧
𝐸. 𝐼𝑧
Substituindo e analogamente temos:
𝜎𝑥 = −
𝑀 𝑦
𝐼 𝑦
. 𝑧
3.2. Tensões Cisalhantes devidas aos esforços cortantes
Consideremos uma viga com seção transversal retangular, de largura b e altura h, sujeita
à carga distribuída q:

26. Sob a ação do carregamento distribuído, originam-se esforços cortantes e momentos
fletores nas seções transversais, e com isso, tensões normais e cisalhantes.
Cortando-se um elemento mn por meio de duas seções transversais adjacentes e de dois
planos paralelos à superfície neutra, nota-se que, devido à presença do esforço cortante,
existirá a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento verticais ao longo da
largura mn do elemento.
Se o elemento estiver em equilíbrio, conclui-se que as tensões de cisalhamento verticais
são acompanhadas por tensões de cisalhamento horizontais de mesma intensidade, isto
é, na face perpendicular.
No caso da figura, vemos que são tabuas sobrepostas e submetidas à carga concentrada
P no meio do vão. Se não houver atrito entre as tábuas, a flexão de uma será diferente da
outra, ou seja, cada uma sofrerá compressão nas fibras longitudinais superiores e tração
nas inferiores. Se as tábuas estivessem coladas, umas às outras, impedindo este

27. escorregamento, surgiriam tensões tangenciais na cola, indicando que em vigas com
seção transversal inteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrerão tensões de
cisalhamento 𝜏 ao longo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir
deslizamentos.
A determinação da tensão de cisalhamento horizontal pode ser calculada pela condição
de equilíbrio de um elemento pnn, p1, cortado da viga por duas seções transversais
adjacentes, mn e m1n1, à distancia dx uma da outra.
A face da base desse elemento ´a superfície inferior da viga, e está livre de tenssões. Sua
face superior é paralela à superfície neutra e afasta-se dela a uma distancia y1. Nesta
face, atua a tensão de cisalhamento horizontal que existe nesse nível da viga.
Se os momentos fletores nas seções mn e m1n1forem iguais, as tensões normais nos
lados np e m1p1 serão iguais, colocando o elemento em equilíbrio.
Se o elemento fletor for variável, a força normal que atua na área elementar dA na face
esquerda será:
𝑑𝐹 = 𝜎𝑥. 𝑑𝐴 =
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
. 𝑑𝐴
A soma de todas essas forças distribuídas sobre a faze pn será:
𝑅𝑒 = ∫ 𝜎𝑥
𝐴
. 𝑑𝐴 = ∫ 𝜎𝑥
ℎ/2
𝑦1
. 𝑏. 𝑑𝑦 = 𝑏. ∫
𝑀𝑧
𝐼𝑧
ℎ/2
𝑦1
. 𝑦. 𝑑𝑦
De maneira análoga, a soma das forças normais que atuam na face direita p1n1 é:
𝑅𝑑 = 𝑏. ∫ (
𝑀𝑧
𝐼𝑧
ℎ/2
𝑦1
+
𝑑𝑀𝑧
𝐼𝑧. 𝑑𝑥
. 𝑑𝑥). 𝑦. 𝑑𝑦

28. A diferença entre as forças à direita e à esquerda fornece-nos:
𝑅𝑑 − 𝑅𝑒 = 𝑏. ∫(
𝑑𝑀𝑧
𝐼𝑧
ℎ
2
𝑦1
. 𝑑𝑥). 𝑦. 𝑑𝑦 =
𝑑𝑀𝑧
𝐼𝑧. 𝑑𝑥
. 𝑑𝑥. ∫ 𝑦. 𝑑𝐴
ℎ/2
𝑦1
Sabendo-se que o elemento está em equilíbrio, existirá uma força de cisalhamento
horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrário a Rd-Re, que
somada à primeira, anula a resultante de forças na direção x.
A força de cisalhamento horizontal é: 𝜏. 𝑏. 𝑑𝑥
Igualando-a à diferença entre as forças à direita e à esquerda do elemento, temos:
𝜏. 𝑏. 𝑑𝑥 =
𝑑𝑀𝑧
𝐼𝑧. 𝑑𝑥
. 𝑑𝑥. ∫ 𝑦. 𝑑𝐴
ℎ/2
𝑦1
𝜏. 𝑏 =
𝑄
𝐼𝑧
. ∫ 𝑦. 𝑑𝐴
ℎ/2
𝑦1
𝜏 =
𝑄. 𝑚 𝑧
𝐼𝑧. 𝑏
Que é a expressão da tensão de cisalhamento.
mz é o momento estático da área da seção transversal abaixo ou acima do plano em que
se deseja determinar 𝜏;
b é a largura da seção transversal na altura do plano em que se deseja determinar 𝜏;
Iz é o momento de inércia em relação ao centróide da seção;
Q é o esforço cortante na seção transversal do estudo
3.3. Tensões Normais e Cisalhantes em Seções I e T
A otimização da escolha do formato da seção das vigas, leva à utilização de seções “I” e
“T” com mesas largas e almas estreitas, e tudo isso com o objetivo de valor das tensões
normais decorrentes do momento fletor.

29. Como consequência, surgem tensões tangenciais elevadas na alma, na altura da linha
neutra, devido ao fato da largura b da alma aparecer no denominador da expressão da
tensão cisalhante.
Desse modo, nos pontos da viga onde a tensão normal é máxima, a tensão tangencial é
nula, enquanto na linha neutra, onde a tensão normal é nula, a tensão tangencial atinge
seu valor máximo.
A descontinuidade do valor da tensão de cisalhamento na transição entre a mesa e a
alma decorre da descontinuidade da largura b da seção nesses locais.
4. Flexão Composta
4.1. Flexão e carga axial
Os elementos de uma estrutura estão, algumas vezes, sujeitos à ação simultânea de
cargas de flexão e axiais.

30. As tensões resultantes em qualquer seção transversal da viga são obtidas pela
superposição das tensões axiais devidas a N e M podem ser obtidas por:
𝜎𝑥 =
𝑁
𝐴
+
𝑀𝑧
𝐼𝑧
. 𝑦 −
𝑀𝑦
𝐼𝑦
. 𝑧
E assim, o diagrama final de tensões é:
O princípio da superposição dos efeitos poderá ser aplicado, desde que se garanta a
linearidade da distribuição das deformações longitudinais e das tensões normais em
todos os pontos da seção transversal do elemento.
Quando o momento fletor for consequência de uma excentricidade e da carga N em
relação ao centroide da seção, podemos escrever 𝑀 = 𝑁. 𝑒
4.2. Flexão e Torção
Os elementos de uma estrutura podem estar solicitados simultaneamente por cargas
de flexão e de torção. Sob tais condições, a determinação das tensões em um ponto
qualquer da seção transversal será feita utilizando o principio da superposição dos
efeitos, isto é, somando-se algebricamente as tensões devidas a cada um dos
esforços, isoladamente.

31.  Propriedades do Macarrão
O macarrão tem um diâmetro médio 𝐷𝑚 = 1,8𝑥10−3
𝑚, área da seção transversal
𝐴 = 2,545𝑥10−6
𝑚², momento de inércia da seção 𝐼 = 5,153𝑥10−13
𝑚4
, peso linear
3,937𝑥10−2
𝑁/𝑚, comprimento médio de cada fio 𝐼𝑚 = 0,254𝑚.
 Projetos da Ponte (Ftool)
 Materiais
Macarrão Fortaleza
Cola Araldite
Cola Durepóxi
Cola Quente
 Desenhos e Cálculos

33. Componentes estruturais
Raio : 50 cm
20° entre os raios
Baseado nos modelo amostrados com uma carga de 1 KN, aproximadamente 101,972
Kgf, foram colocados em média 24 fios de macarrão em cada segmento do raio e do
vão, uma vez que foram calculados pela fórmula: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑜𝑠 =
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎(𝑁)
42,67𝑁
.
As partes do arco foram feitas de acordo com a mesma fórmula, diferenciado apenas
pelo fato de ter sido colocadas com duas camadas, uma vez que optamos por um arco
oco.

34. Modelos real (Arqueada em 3D)
Conclusão
Esse trabalho tem como finalidade relacionar a Resistencia dos Materiais (macarrão)
com o com o cotidiano dos alunos, que serão futuros engenheiros, permitindo que
os professores despertem um maior interesse dos alunos pela disciplina e ajudem na
fixação dos conteúdos, uma maneira de compreender melhor o comportamento de
sistemas estruturais.
 Referências
1) BEER, F.P.; JOHNSTON, E.R. (1995). Resistência dos Materiais. 3º Ed.,
Makron Books.
2) GORNSTEIN, R.; MASCIA, N. T. (2006). Análise de modelos de estruturas
com aplicação no ensino de resistência dos materiais. XIV congresso interno de
iniciação científica da UNICAMP. Faculdade de Engenharia civil, arquitetura e
urbanismo - FEC, UNICAMP. São Paulo.
3) GERE, J. M. (2003). Mecânica dos Materiais. Editora Thomson Learning
4) BUFFONI, Salete Souza de Oliveira. Modelos didáticos de sistemas estruturais
reduzidos através da construção de pontes de macarrão. 2008. Dissertação
(Graduação em Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda)
- Universidade Federal Fluminense. Volta Redonda.