1) O documento descreve as transformadas z e de Fourier para sinais no tempo discreto. É introduzida a transformada z e discutida sua convergência. 2) São apresentadas propriedades importantes da transformada z, como como transformar convoluções em produtos e determinar a estabilidade de sistemas. 3) A transformada de Fourier é definida formalmente e mostradas suas relações com a transformada z e propriedades principais. Métodos de representação de Fourier para sequências periódicas também são discutidos.

1. 2 As transformadas z e de Fourier
2.1 Introdução
No Capı́tulo 1, estudamos sistemas lineares invariantes no tempo, usando tanto
respostas ao impulso quanto equações de diferenças para caracterizá-los. Neste
capı́tulo, estudamos outra forma extremamente útil de caracterizar sistemas no
tempo discreto. Ela está ligada ao fato de que quando uma função exponencial
é aplicada na entrada de um sistema linear invariante no tempo, sua saı́da
é uma função exponencial do mesmo tipo, mas com amplitude modificada.
Pode-se deduzir isso considerando-se que, pela equação (1.50), um sistema linear
invariante no tempo discreto com resposta ao impulso h(n) excitado por uma
exponencial x(n) = zn
produz em sua saı́da um sinal y(n) tal que
y(n) =
∞
X
k=−∞
x(n − k)h(k) =
∞
X
k=−∞
zn−k
h(k) = zn
∞
X
k=−∞
h(k)z−k
, (2.1)
isto é, o sinal na saı́da é também a exponencial zn
, porém multiplicada pelo valor
complexo
H(z) =
∞
X
k=−∞
h(k)z−k
. (2.2)
Neste capı́tulo, caracterizamos sistemas lineares invariantes no tempo usando
a quantidade H(z) da equação (2.2), conhecida comumente como a transformada
z da sequência no tempo discreto h(n). Como veremos mais tarde neste capı́tulo,
com o auxı́lio da transformada z as convoluções lineares podem ser transformadas
num simples produto de expressões algébricas. A importância disso para os
sistemas no tempo discreto é comparável à da transformada de Laplace para
os sistemas no tempo contı́nuo.
O caso em que zn
é uma senoide complexa com frequência ω, isto é, z = ejω
,
é de especial importância. Nesse caso, a equação (2.2) se torna
H(ejω
) =
∞
X
k=−∞
h(k)e−jωk
, (2.3)
a qual pode ser representada na forma polar como H(ejω
) = |H(ejω
)|ejΘ(ω)
,
produzindo, pela equação (2.1), um sinal de saı́da y(n) tal que
79

2. 80 As transformadas z e de Fourier
y(n) = H(ejω
)ejωn
= |H(ejω
)|ejΘ(ω)
ejωn
= |H(ejω
)|ejωn+jΘ(ω)
. (2.4)
Essa relação implica que o efeito de um sistema linear caracterizado por H(ejω
)
sobre uma senoide complexa é o de multiplicar sua amplitude por |H(ejω
)|
e somar Θ(ω) à sua fase. Por esse motivo, as descrições de |H(ejω
)| e Θ(ω)
como funções de ω são amplamente usadas para caracterizar sistemas lineares
invariantes no tempo, e são conhecidas como suas respostas de módulo e
fase, respectivamente. A função complexa H(ejω
) na equação (2.4) é também
conhecida como a transformada de Fourier da sequência no tempo discreto h(n).
A importância da transformada de Fourier para os sistemas no tempo discreto é
tão grande quanto para os sistemas no tempo contı́nuo.
Neste capı́tulo, estudamos as transformadas z e de Fourier para sinais no
tempo discreto. Começamos por definir a transformada z, discutindo aspectos
relacionados à sua convergência. Então, apresentamos a transformada z inversa,
bem como várias propriedades da transformada z. Em seguida, mostramos como
transformar convoluções no tempo discreto num produto de expressões algébricas
e introduzimos o conceito de função de transferência. Apresentamos, então, um
algoritmo para determinar, dada a função de transferência de um sistema no
tempo discreto, se o sistema é estável ou não, e prosseguimos discutindo como
a resposta em frequência de um sistema se relaciona com sua função de trans-
ferência. Nesse ponto, damos uma definição formal da transformada de Fourier
de sinais no tempo discreto, apontando suas relações com a transformada de
Fourier de sinais no tempo contı́nuo. Também é apresentada uma expressão para
a transformada de Fourier inversa. As principais propriedades da transformada
de Fourier são, então, mostradas como casos particulares das propriedades da
transformada z. Em seguida, discutimos brevemente a representação de Fourier
para sequências periódicas. Numa seção à parte, apresentamos as principais pro-
priedades dos sinais aleatórios no domı́nio da transformada. Fechamos o capı́tulo
apresentando algumas funções do Matlab relacionadas com as transformadas z
e de Fourier, e que auxiliam na análise de funções de transferência de sistemas
no tempo discreto.
2.2 Definição da transformada z
A transformada z de uma sequência x(n) é definida como
X(z) = Z{x(n)} =
∞
X
n=−∞
x(n)z−n
, (2.5)

3. 2.2 Definição da transformada z 81
onde z é uma variável complexa. Note que X(z) só é definida para as regiões do
plano complexo em que o somatório à direita converge.
Muito frequentemente, os sinais com que trabalhamos começam apenas em n =
0, isto é, são não-nulos apenas para n ≥ 0. Por causa disso, alguns livros-texto
definem a transformada z como
XU(z) =
∞
X
n=0
x(n)z−n
, (2.6)
que é conhecida comumente como a transformada z unilateral, enquanto que a
equação (2.5), por sua vez, é chamada de transformada z bilateral. Claramente,
se o sinal x(n) é não-nulo para n < 0, então suas transformadas z unilateral e
bilateral resultam diferentes. Neste texto, trabalhamos somente com a transfor-
mada z bilateral, que então é chamada, sem risco de ambiguidade, apenas de
transformada z.
Como já mencionado, a transformada z de uma sequência só existe para as
regiões do plano complexo em que o somatório na equação (2.5) converge. O
Exemplo 2.1 esclarece esse ponto.
EXEMPLO 2.1
Calcule a transformada z da sequência x(n) = Ku(n).
SOLUÇÃO
Por definição, a transformada z de Ku(n) é
X(z) = K
∞
X
n=0
z−n
= K
∞
X
n=0
z−1
n
. (2.7)
Portanto, X(z) é a soma de uma série de potências que converge somente se
|z−1
| 1. Nesse caso, X(z) pode ser expresso como
X(z) =
K
1 − z−1
=
Kz
z − 1
, |z| 1. (2.8)
Note que para |z| 1, o n-ésimo termo do somatório, z−n
, tende ao infinito se
n → ∞ e, portanto, X(z) não é definida. Para z = 1, o somatório também tende
ao infinito. Para z = −1, o somatório oscila entre 1 e 0. Em nenhum desses casos
a transformada z converge. △
É importante notar que a transformada z de uma sequência é uma série de
Laurent na variável complexa z (Churchill, 1975). Portanto, as propriedades da
série de Laurent se aplicam diretamente à transformada z. Como regra geral,

4. 82 As transformadas z e de Fourier
podemos aplicar um resultado da teoria das séries afirmando que, dada uma
série na variável complexa z,
S(z) =
∞
X
i=0
fi(z), (2.9)
tal que |fi(z)| ∞, i = 0, 1, . . ., e dada a quantidade
α(z) = lim
n→∞
|fn(z)|
1/n
, (2.10)
então a série converge absolutamente se α(z) 1, e diverge se α(z) 1 (Kreyszig,
1979). Note que para α(z) = 1, o teste nada diz sobre a convergência da série, que
então tem que ser investigada por outros meios. Pode-se justificar esse resultado
notando-se que se α(z) 1, os termos da série estão sob uma exponencial an
para algum a 1 e, portanto, sua soma converge se n → ∞. Claramente,
pode-se notar que se |fi(z)| = ∞ para algum i, então a série não é convergente.
A convergência requer, ainda, que limn→∞ |fn(z)| = 0.
Esse resultado pode ser estendido para o caso de séries bilaterais na forma
S(z) =
∞
X
i=−∞
fi(z), (2.11)
se expressarmos S(z) como a soma de duas séries, S1(z) e S2(z), tais que
S1(z) =
∞
X
i=0
fi(z) e S2(z) =
−1
X
i=−∞
fi(z). (2.12)
Nesse caso, S(z) converge se as duas séries S1(z) e S2(z) convergem. Portanto,
temos de calcular as duas quantidades
α1(z) = lim
n→∞
|fn(z)|
1/n
e α2(z) = lim
n→−∞
|fn(z)|
1/n
. (2.13)
Naturalmente, S(z) converge absolutamente se α1(z) 1 e α2(z) 1. A condição
α1(z) 1 é equivalente a dizer que para n → ∞, os termos da série estão sob an
para algum a 1. A condição α2(z) 1 equivale a se dizer que para n → −∞,
os termos da série estão sob bn
para algum b 1. Deve-se notar que para garantir
a convergência, também devemos ter |fi(z)| ∞, ∀i.
Aplicando esses resultados acerca da convergência à definição da transformada
z dada na equação (2.5), podemos concluir que a transformada z converge se
α1 = lim
n→∞

6. x(n)z−n

8. 1/n
=

10. z−1

12. lim
n→∞
|x(n)|
1/n
1 (2.14)
α2 = lim
n→−∞

14. x(n)z−n

16. 1/n
=

18. z−1

20. lim
n→−∞
|x(n)|
1/n
1. (2.15)

21. 2.2 Definição da transformada z 83
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
r2 r1
Im{z}
Re{z}
Figura 2.1 Região geral de convergência da transformada z.
Definindo
r1 = lim
n→∞
|x(n)|
1/n
(2.16)
r2 = lim
n→−∞
|x(n)|
1/n
, (2.17)
então as inequações (2.14) e (2.15) são equivalentes a
r1 |z| r2, (2.18)
isto é, a transformada z de uma sequência existe numa região anular do plano
complexo, definida pela inequação (2.18) e ilustrada na Figura 2.1. É importante
notar que, para algumas sequências, r1 = 0 ou r2 → ∞. Nesses casos, a região
de convergência pode vir a incluir, ainda, z = 0 ou |z| = ∞, respectivamente.
Agora, examinamos mais de perto a convergência das transformadas z de
quatro importantes classes de sequências.
• Sequências unilaterais direitas: São sequências x(n) nulas para n n0, isto é,
tais que
X(z) =
∞
X
n=n0
x(n)z−n
. (2.19)
Nesse caso, a transformada z converge para |z| r1, onde r1 é dado pela
equação (2.16). Como |x(n)z−n
| tem que ser finito, então se n0 0 a região
de convergência exclui, ainda, |z| = ∞.

22. 84 As transformadas z e de Fourier
• Sequências unilaterais esquerdas: São sequências x(n) nulas para n n0, isto
é, tais que
X(z) =
n0
X
n=−∞
x(n)z−n
. (2.20)
Nesse caso, a transformada z converge para |z| r2, onde r2 é dado pela
equação (2.17). Como |x(n)z−n
| tem que ser finita, então se n0 0 a região
de convergência exclui, ainda, z = 0.
• Sequências bilaterais: Nesse caso,
X(z) =
∞
X
n=−∞
x(n)z−n
, (2.21)
e a transformada z converge para r1 |z| r2, onde r1 e r2 são dados pelas
equações (2.16) e (2.17). Claramente, se r1 r2, então a transformada z não
existe.
• Sequências de comprimento finito: São sequências x(n) nulas para n n0 e
n n1, com n0 ≤ n1, isto é, tais que
X(z) =
n1
X
n=n0
x(n)z−n
. (2.22)
Em tais casos, a transformada z converge em qualquer lugar exceto nos pontos
em que |x(n)z−n
| = ∞. Isso implica que a região de convergência exclui o ponto
z = 0 se n1 0 e |z| = ∞ se n0 0.
EXEMPLO 2.2
Calcule as transformadas z das seguintes sequências, especificando suas regiões
de convergência:
(a) x(n) = k2n
u(n);
(b) x(n) = u(−n + 1);
(c) x(n) = −k2n
u(−n − 1);
(d) x(n) = 0,5n
u(n) + 3n
u(−n);
(e) x(n) = 4−n
u(n) + 5−n
u(n + 1).
SOLUÇÃO
(a) X(z) =
∞
X
n=0
k2n
z−n
.

23. 2.2 Definição da transformada z 85
Essa série converge se |2z−1
| 1, isto é, para |z| 2. Nesse caso, X(z) é a
soma de uma série geométrica, e portanto
X(z) =
k
1 − 2z−1
=
kz
z − 2
, para 2 |z| ≤ ∞. (2.23)
(b) X(z) =
1
X
n=−∞
z−n
.
Essa série converge se |z−1
| 1, isto é, para |z| 1. Além disso, para que
o termo z−1
seja finito, |z| 6= 0. Nesse caso, X(z) é a soma de uma série
geométrica tal que
X(z) =
z−1
1 − z
=
1
z − z2
, para 0 |z| 1. (2.24)
(c) X(z) =
−1
X
n=−∞
−k2n
z−n
.
Essa série converge se |z/2| 1, isto é, para |z| 2. Nesse caso, X(z) é a
soma de uma série geométrica tal que
X(z) =
−kz/2
1 − z/2
=
kz
z − 2
, para 0 ≤ |z| 2. (2.25)
(d) X(z) =
∞
X
n=0
0,5n
z−n
+
0
X
n=−∞
3n
z−n
.
Essa série converge se |0,5z−1
| 1 e |3z−1
| 1, isto é, para 0,5 |z| 3.
Nesse caso, X(z) é a soma de duas séries geométricas, e portanto
X(z) =
1
1 − 0,5z−1
+
1
1 − 1
3
z
=
z
z − 0,5
+
3
3 − z
, para 0,5 |z| 3.
(2.26)
(e) X(z) =
∞
X
n=0
4−n
z−n
+
∞
X
n=−1
5−n
z−n
.
Essa série converge se |1
4
z−1
| 1 e |1
5
z−1
| 1, isto é, para |z| 1
4
. Além
disso, o termo para n = −1, 1
5
z−1
−1
= 5z, só é finito para |z| ∞. Nesse
caso, X(z) é a soma de duas séries geométricas, resultando em
X(z) =
1
1 − 1
4
z−1
+
5z
1 − 1
5
z−1
=
4z
4z − 1
+
25z2
5z − 1
, para
1
4
|z| ∞.
(2.27)

24. 86 As transformadas z e de Fourier
Nesse exemplo, embora as sequências dos itens (a) e (c) sejam distintas, as
expressões para suas transformadas z são iguais, estando a diferença apenas
em suas regiões de convergência. Isso aponta o importante fato de que, para se
especificar completamente uma transformada z, sua região de convergência tem
de ser fornecida. Na Seção 2.3, quando estudarmos a transformada z inversa,
esse aspecto será examinado com mais detalhe.
△
Em muitos casos, lidamos com sistemas causais estáveis. Como para um
sistema causal a resposta ao impulso h(n) é zero para n n0 com n0 ≥ 0, então,
pela equação (1.60), temos que um sistema causal é também BIBO-estável se e
somente se
∞
X
n=n0
|h(n)| ∞. (2.28)
Aplicando o critério para convergência de séries visto anteriormente, temos que
o sistema é estável se
lim
n→∞
|h(n)|
1/n
= r 1. (2.29)
Isso equivale a dizer que H(z), a transformada z de h(n), converge para |z| r.
Como para garantir a estabilidade devemos ter r 1, então concluı́mos que a
região de convergência da transformada z da resposta ao impulso de um sistema
causal estável inclui necessariamente a região exterior ao cı́rculo unitário e a
circunferência unitária (de fato, no caso em que a resposta ao impulso é unilateral
direita porém não causal, isto é, n0 0, essa região exclui |z| = ∞).
Um caso muito importante ocorre quando X(z) pode ser expressa como a
razão de dois polinômios em z, na forma
X(z) =
N(z)
D(z)
. (2.30)
Referimo-nos às raı́zes de N(z) como os zeros de X(z) e às raı́zes de D(z) como
os polos de X(z). Mais especificamente, nesse caso X(z) pode ser expresso como
X(z) =
N(z)
K
Y
k=1
(z − pk)mk
, (2.31)
onde pk é um polo de multiplicidade mk, e K é o número total de polos distintos.
Como X(z) não é definida em seus polos, a região de convergência de X(z) não
pode incluı́-los. Portanto, dada X(z) como na equação (2.31), há um modo fácil

25. 2.2 Definição da transformada z 87
de se determinar sua região de convergência, dependendo do tipo da sequência
x(n):
• Sequências unilaterais direitas: A região de convergência de X(z) é |z| r1.
Como X(z) não converge em seus polos, então seus polos devem estar no
interior da circunferência |z| = r1 (exceto polos em |z| = ∞), com r1 =
max
1≤k≤K
{|pk|}. Isso é ilustrado na Figura 2.2a.
• Sequências unilaterais esquerdas: A região de convergência de X(z) é |z| r2.
Portanto seus polos devem estar no exterior da circunferência |z| = r2 (exceto
polos em z = 0), com r2 = min
1≤k≤K
{|pk|}. Isso é ilustrado na Figura 2.2b.
• Sequências bilaterais: A região de convergência de X(z) é r1 |z| r2, e
portanto alguns de seus polos estão no interior da circunferência |z| = r1
e alguns, no exterior da circunferência |z| = r2. Nesse caso, a região de
convergência precisa ser melhor especificada. Isso é ilustrado na Figura 2.2c.
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
1111111111111
Im{z}
Re{z}
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
Im{z}
Re{z}
(a) (b)
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
11111111111
Im{z}
Re{z}
(c)
Figura 2.2 Região de convergência de uma transformada z em relação a seus polos:
(a) sequências unilaterais direitas; (b) sequências unilaterais esquerdas; (c) sequências bilaterais.

26. 88 As transformadas z e de Fourier
2.3 Transformada z inversa
Muito frequentemente, precisamos determinar qual sequência corresponde a uma
dada tranformada z. Pode-se obter uma fórmula para a transformada z inversa
a partir do teorema dos resı́duos, que enunciamos a seguir.
TEOREMA 2.1 (TEOREMA DOS RESÍDUOS)
Seja X(z) uma função complexa analı́tica dentro de um contorno fechado C e
no próprio contorno, exceto num número finito Ki de pontos singulares pk no
interior de C. Nesse caso, vale a seguinte igualdade:
I
C
X(z)dz = 2πj
Ki
X
k=1
res
z=pk
{X(z)}, (2.32)
com a integral calculada ao longo de C, no sentido anti-horário.
Se pk é um polo de X(z) com multiplicidade mk, isto é, se X(z) pode ser
escrita como
X(z) =
Pk(z)
(z − pk)mk
, (2.33)
onde Pk(z) é analı́tica em z = pk, então o resı́duo de X(z) com respeito a pk é
dado por
res
z=pk
{X(z)} =
1
(mk − 1)!
d(mk−1)
[(z − pk)mk
X(z)]
dz(mk−1)

30. z=pk
. (2.34)
♦
Usando o Teorema, é possı́vel mostrar que, se C é um percurso fechado anti-
-horário envolvendo a origem do plano z, então
1
2πj
I
C
zn−1
dz =
(
0, para n 6= 0
1, para n = 0,
(2.35)
e assim podemos deduzir que a transformada z inversa de X(z) é dada por
x(n) =
1
2πj
I
C
X(z)zn−1
dz, (2.36)
onde C é um percurso fechado anti-horário na região de convergência de X(z).
PROVA
Como
X(z) =
∞
X
n=−∞
x(n)z−n
, (2.37)

31. 2.3 Transformada z inversa 89
expressando x(n) usando a transformada z inversa como na equação (2.36) e
trocando a ordem entre a integração e o somatório, temos que
1
2πj
I
C
X(z)zm−1
dz =
1
2πj
I
C
∞
X
n=−∞
x(n)z−n+m−1
dz
=
1
2πj
∞
X
n=−∞
x(n)
I
C
z−n+m−1
dz
= x(m). (2.38)
No restante desta seção, descrevemos técnicas para realização do cálculo da
transformada z inversa em diversos casos práticos.
2.3.1 Cálculo baseado no teorema dos resı́duos
Sempre que X(z) é uma razão de polinômios, o teorema dos resı́duos pode
ser usado eficientemente para calcular a transformada z inversa. Nesse caso,
a equação (2.36) se torna
x(n) =
1
2πj
I
C
X(z)zn−1
dz =
Ki
X
k=1
res
z=pk
X(z)zn−1
, (2.39)
onde
X(z)zn−1
=
N(z)
Kt
Y
k=1
(z − pk)mk
. (2.40)
Note que nem todos os Kt polos pk (com suas respectivas multiplicidades mk) de
X(z)zn−1
entram no somatório da equação (2.39). Este deve conter apenas os Ki
polos (com suas respectivas multiplicidades) que são envolvidos pelo contorno C.
Também é importante observar que o contorno C precisa estar contido na região
de convergência de X(z). Além disso, para calcular x(n) para n ≤ 0, temos de
considerar os resı́duos dos polos de X(z)zn−1
na origem.
EXEMPLO 2.3
Determine a transformada z inversa de
X(z) =
z2
(z − 0,2)(z + 0,8)
, (2.41)
considerando que se trata da transformada z da resposta ao impulso de um
sistema causal.

32. 90 As transformadas z e de Fourier
SOLUÇÃO
Deve-se notar que para se especificar completamente uma transformada z, sua
região de convergência precisa ser fornecida. Neste exemplo, como o sistema é
causal, podemos afirmar que sua resposta ao impulso é unilateral direita. Por-
tanto, como foi visto na Seção 2.2, a região de convergência de sua transformada
z é caracterizada por |z| r1. Isso implica que seus polos estão no interior da
circunferência |z| = r1 e, portanto, r1 = max1≤k≤K{|pk|} = 0,8.
Precisamos, então, calcular
x(n) =
1
2πj
I
C
X(z)zn−1
dz =
1
2πj
I
C
zn+1
(z − 0,2)(z + 0,8)
dz, (2.42)
onde C é qualquer contorno fechado na região de convergência de X(z), isto é,
envolvendo os polos z = 0,2 e z = −0,8, assim como os polos que ocorrem em
z = 0 para n ≤ −2.
Como queremos usar o teorema dos resı́duos, há dois casos distintos a
considerar. Para n ≥ −1, há dois polos no interior de C: z = 0,2 e z = −0,8; já
para para n ≤ −2, há três polos no interior de C: z = 0,2, z = −0,8 e z = 0.
Portanto, temos que:
• Para n ≥ −1, a equação (2.39) leva a
x(n) = res
z=0,2
zn+1
(z − 0,2)(z + 0,8)
+ res
z=−0,8
zn+1
(z − 0,2)(z + 0,8)
= res
z=0,2
P1(z)
z − 0,2
+ res
z=−0,8
P2(z)
z + 0,8
, (2.43)
onde
P1(z) =
zn+1
z + 0,8
e P2(z) =
zn+1
z − 0,2
. (2.44)
Pela equação (2.34),
res
z=0,2
zn+1
(z − 0,2)(z + 0,8)
= P1(0, 2) = (0,2)n+1
(2.45)
res
z=−0,8
zn+1
(z − 0,2)(z + 0,8)
= P2(−0, 8) = −(−0,8)n+1
(2.46)
e, então,
x(n) = (0,2)n+1
− (−0,8)n+1
, para n ≥ −1. (2.47)

33. 2.3 Transformada z inversa 91
• Para n ≤ −2, também temos um polo com multiplicidade (−n−1) em z = 0.
Portanto, temos que adicionar o resı́duo em z = 0 aos dois resı́duos da
equação (2.47), de modo que
x(n) = (0,2)n+1
− (−0,8)n+1
+ res
z=0
zn+1
(z − 0,2)(z + 0,8)
= (0,2)n+1
− (−0,8)n+1
+ res
z=0
P3(z)zn+1
, (2.48)
onde
P3(z) =
1
(z − 0,2)(z + 0,8)
. (2.49)
Pela equação (2.34), como o polo z = 0 tem multiplicidade mk = (−n − 1),
temos que
res
z=0
P3(z)zn+1
=
1
(−n − 2)!
d(−n−2)
P3(z)
dz(−n−2)

37. z=0
=
1
(−n − 2)!
d(−n−2)
dz(−n−2)
1
(z − 0,2)(z + 0,8)

41. z=0
=
(−1)−n−2
(z − 0,2)−n−1
−
(−1)−n−2
(z + 0,8)−n−1

45. z=0
= (−1)−n−2
(−0,2)n+1
− (0,8)n+1
= −(0,2)n+1
+ (−0,8)n+1
. (2.50)
Substituindo esse resultado na equação (2.48), temos que
x(n) = (0,2)n+1
− (−0,8)n+1
− (0,2)n+1
+ (−0,8)n+1
= 0, para n ≤ −2.
(2.51)
Das equações (2.47) e (2.51), temos então que
x(n) =
(0,2)n+1
− (−0,8)n+1
u(n + 1). (2.52)
△
Pelo que vimos no exemplo anterior, o cálculo de resı́duos para o caso dos
múltiplos polos em z = 0 envolve o cálculo de derivadas de ordem n, que podem,
com frequência, tornar-se bastante complicadas. Felizmente, esses casos podem
ser facilmente resolvidos por meio de um truque simples, o qual descrevemos a
seguir.
Quando a integral em
X(z) =
1
2πj
I
C
X(z)zn−1
dz (2.53)

46. 92 As transformadas z e de Fourier
envolve o cálculo de resı́duos de polos múltiplos em z = 0, fazemos a mudança
de variável z = 1/v. Se os polos de X(z) se localizam em z = pk, então os
polos de X(1/v) se localizam em v = 1/pk. Além disso, se X(z) converge para
r1 |z| r2, então X(1/v) converge para 1/r2 |v| 1/r1. A integral na
equação (2.36), então, se torna
x(n) =
1
2πj
I
C
X(z)zn−1
dz = −
1
2πj
I
C′
X
1
v
v−n−1
dv. (2.54)
Note que, se o contorno C é percorrido no sentido anti-horário em z, então o
contorno C′
é percorrido no sentido horário em v. Substituindo o percurso C′
por um percurso C′′
idêntico, porém no sentido anti-horário, o sinal da integral
se inverte, e a equação (2.54) se torna
x(n) =
1
2πj
I
C
X(z)zn−1
dz =
1
2πj
I
C′′
X
1
v
v−n−1
dv. (2.55)
Se X(z)zn−1
tem polos múltiplos na origem, então X(1/v)v−n−1
tem polos
múltiplos em |z| = ∞, os quais agora estão fora do contorno fechado C′′
.
Portanto, o cálculo da integral do lado direito da equação (2.55) evita o cálculo
de derivadas de ordem n. Esse fato é ilustrado pelo Exemplo 2.4, que recalcula
a transformada z inversa do Exemplo 2.3.
EXEMPLO 2.4
Calcule a transformada z inversa de X(z) do Exemplo 2.3 para n ≤ −2 usando
o teorema dos resı́duos com a mudança de variáveis da equação (2.55).
SOLUÇÃO
Fazendo-se a mudança de variáveis z = 1/v, a equação (2.42) se torna
x(n) =
1
2πj
I
C
zn+1
(z − 0,2)(z + 0,8)
dz
=
1
2πj
I
C′′
v−n−1
(1 − 0,2v)(1 + 0,8v)
dv. (2.56)
A região de convergência do integrando à direita é |v| 1/0,8 e, portanto,
para n ≤ −2 não há polos no interior do contorno fechado C′′
. Então, pela
equação (2.39), concluı́mos que
x(n) = 0, para n ≤ −2, (2.57)
que, naturamente, é o mesmo resultado do Exemplo 2.3, porém obtido de modo
muito mais simples. △

47. 2.3 Transformada z inversa 93
2.3.2 Cálculo baseado na expansão em frações parciais
Usando o teorema dos resı́duos, pode-se mostrar que a transformada z inversa
de
X(z) =
1
(z − z0)k
, (2.58)
se sua região de convergência é |z| |z0|, é a sequência unilateral direita
x(n) =
(n − 1)!
(n − k)!(k − 1)!
zn−k
0 u(n − k) =
!
n − 1
k − 1
zn−k
0 u(n − k). (2.59)
Se a região de convergência da transformada z na equação (2.58) é |z| |z0|,
sua transformada z inversa é a sequência unilateral esquerda
x(n) = −
(n − 1)!
(n − k)!(k − 1)!
zn−k
0 u(−n + k − 1) = −
!
n − 1
k − 1
zn−k
0 u(−n + k − 1).
(2.60)
Usando essas duas relações, o cálculo da transformada z inversa de qualquer
função X(z) que possa ser expressa como uma razão de polinômios se torna
direto, a partir do momento em que se obtenha a expansão de X(z) em frações
parciais.
Se X(z) = N(z)/D(z) tem K polos distintos pk, para k = 1, 2, . . . , K, cada
um com multiplicidade mk, então a expansão em frações parciais de X(z) se faz
como a seguir (Kreyszig, 1979):
X(z) =
M−L
X
l=0
glzl
+
K
X
k=1
mk
X
i=1
cki
(z − pk)i
, (2.61)
onde M e L são os graus do numerador e do denominador de X(z), respectiva-
mente.
Os coeficientes gl, para l = 0, 1, . . . , M − L, podem ser obtidos pelo quociente
entre os polinômios N(z) e D(z), da seguinte forma:
X(z) =
N(z)
D(z)
=
M−L
X
l=0
glzl
+
C(z)
D(z)
, (2.62)
onde o grau de C(z) é menor que o grau de D(z). Claramente, se M L, então
gl = 0, ∀l.

48. 94 As transformadas z e de Fourier
Os coeficientes cki são
cki =
1
(mk − i)!
d(mk−i)
[(z − pk)mk
X(z)]
dz(mk−i)

52. z=pk
. (2.63)
No caso de um polo simples, ck1 é dado por
ck1 = (z − pk)X(z)|z=pk
. (2.64)
Como a transformada z é linear e a transformada z inversa de cada um
dos termos cki/(z − pk)i
pode ser calculada através da equação (2.59) ou da
equação (2.60) (conforme o polo esteja dentro ou fora da região de convergência
de X(z)), então a transformada z inversa segue diretamente da equação (2.61).
EXEMPLO 2.5
Resolva o Exemplo 2.3 usando a expansão em frações parciais de X(z).
SOLUÇÃO
Formamos
X(z) =
z2
(z − 0,2)(z + 0,8)
= g0 +
c1
z − 0,2
+
c2
z + 0,8
, (2.65)
onde
g0 = lim
|z|→∞
X(z) = 1, (2.66)
e, usando a equação (2.34), encontramos
c1 =
z2
z + 0,8

56. z=0,2
= (0,2)2
(2.67)
c2 =
z2
z − 0,2

60. z=−0,8
= −(0,8)2
, (2.68)
de forma que
X(z) = 1 +
(0,2)2
z − 0,2
−
(0,8)2
z + 0,8
. (2.69)

61. 2.3 Transformada z inversa 95
Como X(z) é a transformada z da resposta ao impulso de um sistema causal,
então temos que os termos dessa equação correspondem a uma série de potências
unilateral direita. Logo, as transformadas z inversas das três parcelas são:
Z−1
{1} = δ(n) (2.70)
Z−1
(0,2)2
z − 0,2
= Z−1
(0,2)2
z−1
1 − 0,2z−1
= Z−1
(
0,2
∞
X
n=1
(0,2z−1
)n
)
= 0,2(0,2)n
u(n − 1)
= (0,2)n+1
u(n − 1) (2.71)
Z−1
−(0,8)2
z + 0,8
= Z−1
−(0,8)2
z−1
1 + 0,8z−1
= Z−1
(
0,8
∞
X
n=1
(−0,8z−1
)n
)
= 0,8(−0,8)n
u(n − 1)
= −(−0,8)n+1
u(n − 1). (2.72)
Somando os três termos anteriores (equações (2.70)–(2.72)), temos que a
transformada z inversa de X(z) é
x(n) = δ(n) + (0,2)n+1
u(n − 1) − (−0,8)n+1
u(n − 1)
= (0,2)n+1
u(n) − (−0,8)n+1
u(n). (2.73)
△
EXEMPLO 2.6
Calcule a transformada z inversa unilateral direita de
X(z) =
1
z2 − 3z + 3
. (2.74)
SOLUÇÃO
Fazendo a expansão de X(z) em frações parciais, temos que
X(z) =
1
(z −
√
3ejπ/6)(z −
√
3e−jπ/6)
=
A
z −
√
3ejπ/6
+
B
z −
√
3e−jπ/6
, (2.75)

62. 96 As transformadas z e de Fourier
onde
A =
1
z −
√
3e−jπ/6

66. z=
√
3ejπ/6
=
1
√
3ejπ/6 −
√
3e−jπ/6
=
1
2j
√
3 sen π
6
=
1
j
√
3
, (2.76)
B =
1
z −
√
3ejπ/6

70. z=
√
3e−jπ/6
=
1
√
3e−jπ/6 −
√
3ejπ/6
=
1
−2j
√
3 sen π
6
= −
1
j
√
3
;
(2.77)
logo,
X(z) =
1
j
√
3
1
z −
√
3ejπ/6
−
1
z −
√
3e−jπ/6
. (2.78)
Pela equação (2.59), temos que
x(n) =
1
j
√
3
h
(
√
3ejπ/6
)n−1
− (
√
3e−jπ/6
)n−1
i
u(n − 1)
=
1
j
√
3
h
(
√
3)n−1
ej(n−1)π/6
− (
√
3)n−1
e−j(n−1)π/6
i
u(n − 1)
=
1
j
√
3
(
√
3)n−1
2j sen
h
(n − 1)
π
6
i
u(n − 1)
= 2(
√
3)n−2
sen
h
(n − 1)
π
6
i
u(n − 1). (2.79)
△
2.3.3 Cálculo baseado na divisão polinomial
Dada X(z) = N(z)/D(z), podemos efetuar a divisão longa do polinômio N(z)
pelo polinômio D(z) e obter os valores de x(n) em n = k como os coeficientes
de z−k
. Deve-se notar que isso só é possı́vel no caso de sequências unilaterais.
Se a sequência é direita, então os polinômios devem ser funções de z. Se a
sequência é esquerda, os polinômios devem ser funções de z−1
. Isso fica claro
com os Exemplos 2.7 e 2.8.
EXEMPLO 2.7
Resolva o Exemplo 2.3 usando divisão polinomial.
SOLUÇÃO
Como X(z) é a transformada z de uma sequência unilateral direita (resposta ao
impulso causal), podemos expressá-la como uma razão de polinômios em z, isto
é,
X(z) =
z2
(z − 0,2)(z + 0,8)
=
z2
z2 + 0,6z − 0,16
. (2.80)

71. 2.3 Transformada z inversa 97
Então, a divisão se efetua como
z2
z2
+ 0,6z − 0,16
−z2
− 0,6z + 0,16 1 − 0,6z−1
+ 0,52z−2
− 0,408z−3
+ · · ·
− 0,6z + 0,16
0,6z + 0,36 − 0,096z−1
0,52 − 0,096z−1
− 0,52 − 0,312z−1
+ 0,0832z−2
− 0,408z−1
+ 0,0832z−2
.
.
.
e, portanto,
X(z) = 1 + (−0,6)z−1
+ (0,52)z−2
+ (−0,408)z−3
+ · · · . (2.81)
Isso é o mesmo que dizer que
x(n) =
(
0, para n 0
1, −0,6, 0,52, −0,408, . . . para n = 0, 1, 2, . . . .
(2.82)
A principal dificuldade com esse método é encontrar uma expressão em forma
fechada para x(n). No caso que acabamos de ver, podemos verificar que, de fato,
a sequência obtida corresponde à equação (2.52). △
EXEMPLO 2.8
Encontre a transformada z inversa de X(z) no Exemplo 2.3 usando divisão
polinomial, supondo que a sequência x(n) é unilateral esquerda.
SOLUÇÃO
Como X(z) é a transformada z de uma sequência unilateral esquerda, podemos
expressá-la como
X(z) =
z2
(z − 0,2)(z + 0,8)
=
1
−0,16z−2 + 0,6z−1 + 1
. (2.83)

72. 98 As transformadas z e de Fourier
Então, a divisão se efetua como
1 −0,16z−2
+ 0,6z−1
+ 1
−1 + 3,75z + 6,25z2
−6,25z2
− 23,4375z3
− 126,953 125z4
− · · ·
3,75z + 6,25z2
−3,75z + 14,0625z2
+ 23,4375z3
20,3125z2
+ 23,4375z3
.
.
.
e fornece
X(z) = −6,25z2
− 23,4375z3
− 126,953 125z4
− · · · , (2.84)
implicando que
x(n) =
(
. . . , −126,953 125, −23,4375, −6,25, para n = . . . , −4, −3, −2
0, para n −2.
(2.85)
△
2.3.4 Cálculo baseado na expansão em série
Quando a transformada z não é expressa por uma razão de polinômios, podemos
tentar efetuar sua inversão usando uma expansão em série em torno de z−1
= 0
ou z = 0, dependendo de se a região de convergência inclui |z| = ∞ ou z = 0.
Para sequências unilaterais direitas, realizamos a expansão de X(z) usando a
variável z−1
em torno de z−1
= 0. A expansão em série de Taylor de F(x) em
torno de x = 0 é dada por
F(x) = F(0) + x
dF
dx

76. x=0
+
x2
2!
d2
F
dx2

80. x=0
+
x3
3!
d3
F
dx3

84. x=0
+ · · ·
=
∞
X
n=0
xn
n!
dn
F
dxn

88. x=0
. (2.86)
Se fazemos x = z−1
, então essa expansão tem a forma da transformada z de
uma sequência unilateral direita.
EXEMPLO 2.9
Encontre a transformada z inversa de
X(z) = ln
1
1 − z−1
. (2.87)
Considere que a sequência é unilateral direita.

89. 2.3 Transformada z inversa 99
SOLUÇÃO
Expandindo X(z) como na equação (2.86), usando z−1
como a variável, temos
que
X(z) =
∞
X
n=1
z−n
n
. (2.88)
Pode-se constatar que esta série converge para |z| 1, uma vez que, pela
equação (2.14),
lim
n→∞

93. z−n
n

97. 1/n
= z−1
lim
n→∞

101. 1
n

105. 1/n
= z−1
. (2.89)
Portanto, a transformada z inversa de X(z) é, por inspeção,
x(n) =
1
n
u(n − 1). (2.90)
△
EXEMPLO 2.10
(a) Calcule a transformada z inversa unilateral direita correspondente à função
descrita a seguir:
H(z) = arctg z−1
(2.91)
sabendo que
dk
arctg x
dxk
(0) =
(
0, k = 2l
(−1)(k−1)/2
(k − 1)!, k = 2l + 1,
(2.92)
com l ≥ 0.
(b) A sequência resultante pode representar a resposta ao impulso de um sistema
estável? Por quê?
SOLUÇÃO
(a) Dadas a série definida na equação (2.86) e a equação (2.92), a série para a
função arctg pode ser expressa como
arctg x = x −
x3
3
+
x5
5
+ · · · +
(−1)l
x(2l+1)
2l + 1
+ · · · (2.93)
e, então,
arctg z−1
= z−1
−
z−3
3
+
z−5
5
+ · · · +
(−1)l
z−(2l+1)
2l + 1
· · · . (2.94)

106. 100 As transformadas z e de Fourier
Como resultado, a sequência temporal correspondente é dada por
h(n) =



0, n = 2l
(−1)(n−1)/2
n
, n = 2l + 1,
(2.95)
com l ≥ 0.
(b) Para que uma sequência h(n) represente a resposta ao impulso de um sistema
estável, ela deve ser absolutamente somável. Inicialmente, observamos que
∞
X
n=1
1
n
=
∞
X
l=1
1
2l − 1
+
1
2l
2
∞
X
l=1
1
2l − 1
. (2.96)
Mas como
P∞
n=1 1/n é ilimitada, então
P∞
n=0 |h(n)| =
P∞
l=1[1/(2l − 1)]
também é ilimitada, e portanto o sistema não é estável.
Se tivéssemos lançado mão do teste da condição suficiente
lim
n→∞
|h(n)|
1/n
1, (2.97)
terı́amos encontrado, pela equação (2.95):
lim
n→∞
|h(n)|
1/n
= lim
n→∞

110. (−1)(n−1)/2
n

114. 1/n
= lim
n→∞

118. 1
n

122. 1/n
= 1, (2.98)
o que nada nos permitiria concluir.
△
2.4 Propriedades da transformada z
Nesta seção, enunciamos algumas das propriedades mais importantes da trans-
formada z.
2.4.1 Linearidade
Dadas duas sequências x1(n) e x2(n) e duas constantes arbitrárias k1 e k2 tais
que x(n) = k1x1(n) + k2x2(n), então
X(z) = k1X1(z) + k2X2(z), (2.99)
com região de convergência dada, no mı́nimo, pela interseção das regiões de
convergência de X1(z) e X2(z).

123. 2.4 Propriedades da transformada z 101
PROVA
X(z) =
∞
X
n=−∞
(k1x1(n) + k2x2(n))z−n
= k1
∞
X
n=−∞
x1(n)z−n
+ k2
∞
X
n=−∞
x2(n)z−n
= k1X1(z) + k2X2(z). (2.100)
2.4.2 Reversão no tempo
x(−n) ←→ X(z−1
), (2.101)
e se a região de convergência de X(z) é r1 |z| r2, então a região de
convergência de Z{x(−n)} é 1/r2 |z| 1/r1.
PROVA
Z{x(−n)} =
∞
X
n=−∞
x(−n)z−n
=
∞
X
m=−∞
x(m)zm
=
∞
X
m=−∞
x(m)(z−1
)−m
= X(z−1
), (2.102)
implicando que a região de convergência de Z{x(−n)} é r1 |z−1
| r2, o que
é equivalente a 1/r2 |z| 1/r1.
2.4.3 Teorema do deslocamento no tempo
x(n + l) ←→ zl
X(z), (2.103)
onde l é um inteiro. A região de convergência de Z{x(n+l)} é a mesma de X(z),
exceto pela possı́vel inclusão ou exclusão de z = 0 e/ou |z| = ∞.
PROVA
Por definição,
Z{x(n + l)} =
∞
X
n=−∞
x(n + l)z−n
. (2.104)

124. 102 As transformadas z e de Fourier
Fazendo a mudança de variável m = n + l, temos que
Z{x(n + l)} =
∞
X
m=−∞
x(m)z−(m−l)
= zl
∞
X
m=−∞
x(m)z−m
= zl
X(z), (2.105)
notando que a multiplicação por zl
pode incluir ou excluir polos em z = 0 e
|z| = ∞.
2.4.4 Multiplicação por uma exponencial
α−n
x(n) ←→ X(αz), (2.106)
e se a região de convergência de X(z) é r1 |z| r2, então a região de
convergência de Z{α−n
x(n)} é r1/|α| |z| r2/|α|.
PROVA
Z{α−n
x(n)} =
∞
X
n=−∞
α−n
x(n)z−n
=
∞
X
n=−∞
x(n)(αz)−n
= X(αz); (2.107)
o somatório converge para r1 |αz| r2, o que é equivalente a r1/|α| |z|
r2/|α|.
2.4.5 Diferenciação complexa
nx(n) ←→ −z
dX(z)
dz
, (2.108)
e a região de convergência de Z{nx(n)} é a mesma de X(z), isto é, r1 |z| r2.
PROVA
Z{nx(n)} =
∞
X
n=−∞
nx(n)z−n
= z
∞
X
n=−∞
nx(n)z−n−1
= −z
∞
X
n=−∞
x(n) −nz−n−1
= −z
∞
X
n=−∞
x(n)
dz−n
dz
= −z
dX(z)
dz
. (2.109)

125. 2.4 Propriedades da transformada z 103
Pelas equações (2.16) e (2.17), temos que se a região de convergência de X(z)
é r1 |z| r2, então
r1 = lim
n→∞
|x(n)|
1/n
(2.110)
r2 = lim
n→−∞
|x(n)|
1/n
. (2.111)
Portanto, se a região de convergência de Z{nx(n)} é dada por r′
1 |z| r′
2,
então
r′
1 = lim
n→∞
|nx(n)|
1/n
= lim
n→∞
|n|1/n
lim
n→∞
|x(n)|
1/n
= lim
n→∞
|x(n)|
1/n
= r1 (2.112)
r′
2 = lim
n→−∞
|nx(n)|
1/n
= lim
n→−∞
|n|1/n
lim
n→−∞
|x(n)|
1/n
= lim
n→−∞
|x(n)|
1/n
= r2,
(2.113)
implicando que a região de convergência de Z{nx(n)} é a mesma de X(z).
2.4.6 Conjugação complexa
x∗
(n) ←→ X∗
(z∗
). (2.114)
As regiões de convergência de X(z) e Z{x∗
(n)} são iguais.
PROVA
Z{x∗
(n)} =
∞
X
n=−∞
x∗
(n)z−n
=
∞
X
n=−∞
h
x(n) (z∗
)
−n
i∗
=
# ∞
X
n=−∞
x(n) (z∗
)
−n
$∗
= X∗
(z∗
) , (2.115)
de onde segue trivialmente que a região de convergência de Z{x∗
(n)} é a mesma
de X(z).

126. 104 As transformadas z e de Fourier
2.4.7 Sequências reais e imaginárias
Re{x(n)} ←→
1
2
[X(z) + X∗
(z∗
)] (2.116)
Im{x(n)} ←→
1
2j
[X(z) − X∗
(z∗
)] , (2.117)
onde Re{x(n)} e Im{x(n)} são as partes real e imaginária da sequência x(n),
respectivamente. As regiões de convergência de Z{Re{x(n)}} e Z{Im{x(n)}}
contêm a de X(z).
PROVA
Z{Re{x(n)}} = Z
1
2
[x(n) + x∗
(n)]
=
1
2
[X(z) + X∗
(z∗
)] (2.118)
Z{Im{x(n)}} = Z
1
2j
[x(n) − x∗
(n)]
=
1
2j
[X(z) − X∗
(z∗
)] , (2.119)
com as respectivas regiões de convergência seguindo trivialmente dessas ex-
pressões: no mı́nimo iguais à de X(z) (por sua vez igual à de X∗
(z∗
)).
2.4.8 Teorema do valor inicial
Se x(n) = 0 para n 0, então
x(0) = lim
z→∞
X(z). (2.120)
PROVA
Se x(n) = 0 para n 0, então
lim
z→∞
X(z) = lim
z→∞
∞
X
n=0
x(n)z−n
=
∞
X
n=0
lim
z→∞
x(n)z−n
= x(0). (2.121)
2.4.9 Teorema da convolução
x1(n) ∗ x2(n) ←→ X1(z)X2(z). (2.122)
A região de convergência de Z{x1(n) ∗ x2(n)} é pelo menos a interseção das
regiões de convergência de X1(z) e X2(z). Isso porque se um polo de X1(z) é
cancelado por um zero de X2(z) ou vice-versa, então a região de convergência de
Z{x1(n) ∗ x2(n)} pode incorporar porções do plano z que não fazem parte das
regiões de convergência de X1(z) ou X2(z).

127. 2.4 Propriedades da transformada z 105
PROVA
Z{x1(n) ∗ x2(n)} = Z
( ∞
X
l=−∞
x1(l)x2(n − l)
)
=
∞
X
n=−∞
# ∞
X
l=−∞
x1(l)x2(n − l)
$
z−n
=
∞
X
l=−∞
x1(l)
∞
X
n=−∞
x2(n − l)z−n
=
# ∞
X
l=−∞
x1(l)z−l
$# ∞
X
n=−∞
x2(n)z−n
$
= X1(z)X2(z). (2.123)
2.4.10 Produto de duas sequências
x1(n)x2(n) ←→
1
2πj
I
C1
X1(v)X2
z
v
v−1
dv =
1
2πj
I
C2
X1
z
v
X2(v)v−1
dv,
(2.124)
onde C1 é um contorno contido na interseção das regiões de convergência de X1(v)
e X2(z/v), e C2 é um contorno contido na interseção das regiões de convergência
de X1(z/v) e X2(v). Assume-se que ambos, C1 e C2, são percursos anti-horários.
Se a região de convergência de X1(z) é r1 |z| r2 e a região de convergência
de X2(z) é r′
1 |z| r′
2, então a região de convergência de Z{x1(n)x2(n)} é
r1r′
1 |z| r2r′
2. (2.125)
PROVA
Expressando x2(n) como função de sua transformada z, X2(z) (equação (2.36)),
mudando a ordem entre a integração e o somatório e usando a definição da
transformada z, temos que
Z{x1(n)x2(n)} =
∞
X
n=−∞
x1(n)x2(n)z−n
=
∞
X
n=−∞
x1(n)
1
2πj
I
C2
X2(v)v(n−1)
dv
z−n
=
1
2πj
I
C2
∞
X
n=−∞
x1(n)z−n
v(n−1)
X2(v)dv

128. 106 As transformadas z e de Fourier
=
1
2πj
I
C2
# ∞
X
n=−∞
x1(n)
v
z
n
$
X2(v)v−1
dv
=
1
2πj
I
C2
X1
z
v
X2(v)v−1
dv. (2.126)
Se a região de convergência de X1(z) é r1 |z| r2, então a região de
convergência de X1(z/v) é
r1
|z|
|v|
r2, (2.127)
o que é equivalente a
|z|
r2
|v|
|z|
r1
. (2.128)
Além disso, se a região de convergência de X2(v) é r′
1 |v| r′
2, então
o contorno C2 tem que se situar dentro da interseção das duas regiões de
convergência, isto é, C2 tem que estar contido na região
max
|z|
r2
, r′
1
|v| min
|z|
r1
, r′
2
. (2.129)
Portanto, precisamos ter
min
|z|
r1
, r′
2
max
|z|
r2
, r′
1
, (2.130)
o que é verdade se r1r′
1 |z| r2r′
2.
A equação (2.124) também é conhecida como teorema da convolução com-
plexa (Antoniou, 1993; Oppenheim Schafer, 1975). Embora à primeira vista
ela não tenha a forma de uma convolução, se expressamos z = ρ1ejθ1
e v = ρ2ejθ2
na forma polar, então ela pode ser reescrita como
Z{x1(n)x2(n)}|z=ρ1ejθ1 =
1
2π
Z π
−π
X1
ρ1
ρ2
ej(θ1−θ2)
X2 ρ2ejθ2
dθ2, (2.131)
que tem a forma de uma convolução em θ1.
2.4.11 Teorema de Parseval
∞
X
n=−∞
x1(n)x∗
2(n) =
1
2πj
I
C
X1(v)X∗
2
1
v∗
v−1
dv, (2.132)

129. 2.4 Propriedades da transformada z 107
onde x∗
denota o complexo conjugado de x e C é um contorno contido na
interseção das regiões de convergência de X1(v) e X∗
2 (1/v∗
).
PROVA
Começamos observando que
∞
X
n=−∞
x(n) = X(z)|z=1 . (2.133)
Portanto,
∞
X
n=−∞
x1(n)x∗
2(n) = Z{x1(n)x∗
2(n)}|z=1 . (2.134)
Usando a equação (2.124) e a propriedade da conjugação complexa dada na
equação (2.114), temos que a equação (2.134) implica que
∞
X
n=−∞
x1(n)x∗
2(n) =
1
2πj
I
C
X1(v)X∗
2
1
v∗
v−1
dv. (2.135)
2.4.12 Tabela de transformadas z básicas
A Tabela 2.1 contém algumas sequências comumente usadas e suas transformadas
z correspondentes, juntamente com as regiões de convergência associadas.
Embora ela só contenha as transformadas z de sequências unilaterais direitas, os
resultados para sequências unilaterais esquerdas podem ser facilmente obtidos
fazendo-se y(n) = x(−n) e aplicando-se a propriedade da reversão no tempo,
dada na Seção 2.4.2.
EXEMPLO 2.11
Calcule a convolução linear das sequências da Figura 2.3 usando a transformada
z. Represente num gráfico a sequência resultante.
SOLUÇÃO
Pela Figura 2.3, podemos observar que as transformadas z das duas sequências
são
X1(z) = z − 1 −
1
2
z−1
e X2(z) = 1 + z−1
−
1
2
z−2
. (2.136)

130. 108 As transformadas z e de Fourier
Tabela 2.1 Transformadas z de sequências comumente usadas.
x(n) X(z) Região de convergência
δ(n) 1 z ∈ C
u(n)
z
(z − 1)
|z| 1
(−a)n
u(n)
z
(z + a)
|z| a
nu(n)
z
(z − 1)2
|z| 1
n2
u(n)
z(z + 1)
(z − 1)3
|z| 1
ean
u(n)
z
(z − ea)
|z| |ea
|
n − 1
k − 1
!
ea(n−k)
u(n − k)
1
(z − ea)k
|z| |ea
|
cos(ωn)u(n)
z[z − cos(ω)]
z2 − 2z cos(ω) + 1
|z| 1
sen(ωn)u(n)
z sen(ω)
z2 − 2z cos(ω) + 1
|z| 1
1
n
u(n − 1) ln
z
z − 1
|z| 1
sen(ωn + θ)u(n)
z2
sen(θ) + z sen(ω − θ)
z2 − 2z cos(ω) + 1
|z| 1
ean
cos(ωn)u(n)
z2
− zea
cos(ω)
z2 − 2zea cos(ω) + e2a
|z| |ea
|
ean
sen(ωn)u(n)
zea
sen(ω)
z2 − 2zea cos(ω) + e2a
|z| |ea
|
De acordo com a propriedade vista na Seção 2.4.9, a transformada z da
convolução é o produto das transformadas z, e então
Y (z) = X1(z)X2(z) =
z − 1 −
1
2
z−1
1 + z−1
−
1
2
z−2
= z + 1 −
1
2
z−1
− 1 − z−1
+
1
2
z−2
−
1
2
z−1
−
1
2
z−2
+
1
4
z−3
= z − 2z−1
+
1
4
z−3
. (2.137)

131. 2.4 Propriedades da transformada z 109
−2
−1,5
−1
−0,5
0
0,5
1
1,5
2
−2 −1 0 1 2 3 4
Sequência
1
n
−2
−1,5
−1
−0,5
0
0,5
1
1,5
2
−1 0 1 2 3 4 5
Sequência
2
n
(a) (b)
Figura 2.3 Sequências a serem convoluı́das no Exemplo 2.11 usando a transformada z.
−2
−1,5
−1
−0,5
0
0,5
1
1,5
2
−1 0 1 2 3 5
4
Sequência
3
n
Figura 2.4 Sequência resultante do Exemplo 2.11.
No domı́nio do tempo, o resultado é
y(−1) = 1, y(0) = 0, y(1) = −2, y(2) = 0, y(3) =
1
4
, y(4) = 0, . . . , (2.138)
representado na Figura 2.4. △
EXEMPLO 2.12
Se X(z) é a transformada z da sequência
x(0) = a0, x(1) = a1, x(2) = a2, . . . , x(i) = ai, . . . , (2.139)
determine a transformada z da sequência

132. 110 As transformadas z e de Fourier
y(−2) = a0, y(−3) = −a1b, y(−4) = −2a2b2
, . . . , y(−i − 2) = −iaibi
, . . .
(2.140)
como função de X(z).
SOLUÇÃO
Temos que X(z) e Y (z) são
X(z) = a0 + a1z−1
+ a2z−2
+ · · · + aiz−i
+ · · · (2.141)
Y (z) = a0z2
− a1bz3
− 2a2b2
z4
− · · · − iaibi
zi+2
− · · · . (2.142)
Começamos resolvendo esse problema usando a propriedade vista na
Seção 2.4.5 pela qual se x1(n) = nx(n), então
X1(z) = −z
dX(z)
dz
= −z −a1z−2
− 2a2z−3
− 3a3z−4
− · · · − iaiz−i−1
− · · ·
= a1z−1
+ 2a2z−2
+ 3a3z−3
+ · · · + iaiz−i
+ · · · . (2.143)
O próximo passo é criar x2(n) = bn
x1(n). Da propriedade vista na Seção 2.4.4,
X2(z) = X1
z
b
= a1bz−1
+ 2a2b2
z−2
+ 3a3b3
z−3
+ · · · + iaibi
z−i
+ · · · . (2.144)
Então, geramos X3(z) = z−2
X2(z) como a seguir:
X3(z) = a1bz−3
+ 2a2b2
z−4
+ 3a3b3
z−5
+ · · · + iaibi
z−i−2
+ · · · , (2.145)
e fazemos X4(z) = X3(z−1
), de forma que
X4(z) = a1bz3
+ 2a2b2
z4
+ 3a3b3
z5
+ · · · + iaibi
zi+2
+ · · · . (2.146)
A transformada Y (z) da sequência desejada é, então,
Y (z) = a0z2
− a1bz3
− 2a2b2
z4
− 3a3b3
z5
− · · · − iaibi
zi+2
− · · ·
= a0z2
− X4(z). (2.147)

133. 2.5 Funções de transferência 111
Usando as equações de (2.143) a (2.147), podemos expressar o resultado desejado
como
Y (z) = a0z2
− X4(z)
= a0z2
− X3(z−1
)
= a0z2
− z2
X2(z−1
)
= a0z2
− z2
X1
z−1
b
= a0z2
− z2
−z
dX(z)
dz

137. z=(z−1)/b
= a0z2
+
z
b
dX(z)
dz

141. z=(z−1)/b
. (2.148)
△
2.5 Funções de transferência
Como vimos no Capı́tulo 1, um sistema linear no tempo discreto pode ser
caracterizado por uma equação de diferenças. Nesta seção, mostramos como a
transformada z pode ser usada para resolver equações de diferenças e, portanto,
caracterizar sistemas lineares.
A forma geral de uma equação de diferenças associada a um sistema linear é
dada pela equação (1.63), que reescrevemos aqui por conveniência:
N
X
i=0
aiy(n − i) −
M
X
l=0
blx(n − l) = 0. (2.149)
Aplicando a transformada z em ambos os lados e usando a propriedade da
linearidade, encontramos que
N
X
i=0
aiZ{y(n − i)} −
M
X
l=0
blZ{x(n − l)} = 0. (2.150)
Aplicando o teorema do deslocamento no tempo, obtemos
N
X
i=0
aiz−i
Y (z) −
M
X
l=0
blz−l
X(z) = 0. (2.151)
Portanto, para um sistema linear, dados a representação X(z) da entrada pela
transformada z e os coeficientes de sua equação de diferenças, podemos usar a
equação (2.151) para encontrar Y (z), a transformada z da saı́da. Aplicando a

142. 112 As transformadas z e de Fourier
relação da transformada z inversa dada na equação (2.36), a saı́da y(n) pode ser
calculada para todo n.1
Fazendo a0 = 1, sem perda de generalidade, podemos então definir
H(z) =
Y (z)
X(z)
=
M
X
l=0
blz−l
1 +
N
X
i=1
aiz−i
(2.152)
como a função de transferência do sistema relacionando a saı́da Y (z) com a
entrada X(z).
Aplicando o teorema da convolução à equação (2.152), temos que
Y (z) = H(z)X(z) ←→ y(n) = h(n) ∗ x(n), (2.153)
isto é, a função de transferência do sistema é a transformada z de sua resposta ao
impulso. De fato, as equações (2.151) e (2.152) são as expressões no domı́nio da
transformada z equivalentes à soma de convolução quando o sistema é descrito
por uma equação de diferenças.
A equação (2.152) dá a função de transferência para o caso geral de filtros
recursivos (IIR). Para filtros não-recursivos (FIR), todos os termos ai = 0, para
i = 1, 2, . . . , N, e a função de transferência se simplifica para
H(z) =
M
X
l=0
blz−l
. (2.154)
Funções de transferência são amplamente utilizadas para caracterizar sistemas
lineares no tempo discreto. Podemos descrever uma função de transferência
através de seus polos pi e zeros zl, produzindo a forma
H(z) = H0
M
Y
l=1
(1 − z−1
zl)
N
Y
i=1
(1 − z−1
pi)
= H0zN−M
M
Y
l=1
(z − zl)
N
Y
i=1
(z − pi)
. (2.155)
Como foi discutido na Seção 2.2, para um sistema causal estável a região de
convergência da transformada z de sua resposta ao impulso tem que incluir a
1 Deve-se notar que, como a equação (2.151) usa transformadas z, que consistem em somatórios
para −∞ n ∞, então o sistema tem que ser descritı́vel por uma equação de diferenças para
−∞ n ∞. Esse é o caso somente para sistemas inicialmente relaxados, isto é, sistemas que não
produzem saı́da se sua entrada for zero para −∞ n ∞. No nosso caso, isso não restringe a
aplicabilidade da equação (2.151), porque só estamos interessados em sistemas lineares, os quais,
como foi visto no Capı́tulo 1, têm que estar inicialmente relaxados.

143. 2.6 Estabilidade no domı́nio z 113
circunferência unitária. Na verdade, esse resultado é mais geral, uma vez que para
qualquer sistema estável a região de convergência tem que incluir necessariamente
a circunferência unitária. Podemos constatar isso observando que para z0 sobre
a circunferência unitária (|z0| = 1), temos
|H(z0)| =

148. ∞
X
n=−∞
z−n
0 h(n)

153. ≤
∞
X
n=−∞
|z−n
0 h(n)| =
∞
X
n=−∞
|h(n)| ∞, (2.156)
o que implica que H(z) converge sobre a circunferência unitária. Como no caso de
um sistema causal a região de convergência da função de transferência é definida
por |z| r1, então todos os polos de um sistema causal estável têm que estar no
interior do cı́rculo unitário. Para um sistema não-causal com resposta ao impulso
unilateral esquerda, como a região de convergência é definida por |z| r2, então
todos os seus polos têm que estar fora do cı́rculo unitário, com a possı́vel exceção
de um polo em z = 0.
Na próxima seção, apresentamos um método numérico para avaliar a estabi-
lidade de um sistema linear sem determinar explicitamente as posições de seus
polos.
2.6 Estabilidade no domı́nio z
Nesta seção, apresentamos um método para determinar se as raı́zes de um
polinômio se situam no interior do cı́rculo unitário do plano complexo. Esse
método pode ser usado para avaliar a estabilidade BIBO de um sistema causal
no tempo discreto.2
Dado um polinômio de ordem N em z
D(z) = aN + aN−1z + · · · + a0zN
(2.157)
com a0 0, a condição necessária e suficiente para que seus zeros (os polos
da função de transferência que se quer avaliar) estejam no interior do cı́rculo
unitário do plano z é dada pelo seguinte algoritmo:
(i) Faça D0(z) = D(z).
(ii) Para k = 0, 1, . . . , (N − 2):
(a) Forme o polinômio Di
k(z) tal que
Di
k(z) = zN+k
Dk(z−1
). (2.158)
2 Há vários métodos para essa finalidade descritos na literatura (Jury, 1973). Optamos por apresentar
este método em particular porque ele se baseia em divisão polinomial, que consideramos uma
ferramenta muito importante na análise e no projeto de sistemas no tempo discreto.

154. 114 As transformadas z e de Fourier
(b) Calcule αk e Dk+1(z) tais que
Dk(z) = αkDi
k(z) + Dk+1(z), (2.159)
onde os termos em zj
de Dk+1(z), para j = 0, 1, . . . , k, são nulos. Em
outras palavras, Dk+1(z) é o resto da divisão de Dk(z) por Di
k(z),
quando efetuada a partir dos termos de menor grau.
(iii) Todas as raı́zes de D(z) estão no interior do cı́rculo unitário se as seguintes
condições são atendidas:
• D(1) 0;
• D(−1) 0 para N par e D(−1) 0 para N ı́mpar;
• |αk| 1, para k = 0, 1, . . . , (N − 2).
EXEMPLO 2.13
Teste a estabilidade do sistema causal cuja função de transferência possui no
denominador o polinômio D(z) = 8z4
+ 4z3
+ 2z2
− z − 1.
SOLUÇÃO
Se D(z) = 8z4
+ 4z3
+ 2z2
− z − 1, então temos:
• D(1) = 12 0
• N = 4 é par e D(−1) = 6 0
• Cálculo de α0, α1, e α2:
D0(z) = D(z) = 8z4
+ 4z3
+ 2z2
− z − 1 (2.160)
Di
0(z) = z4
(8z−4
+ 4z−3
+ 2z−2
− z−1
− 1)
= 8 + 4z + 2z2
− z3
− z4
. (2.161)
Como D0(z) = α0Di
0(z) + D1(z):
−1 − z + 2z2
+ 4z3
+ 8z4
8 + 4z + 2z2
− z3
− z4
+1 + 1
2 z + 1
4 z2
− 1
8 z3
− 1
8 z4
−1
8
−1
2 z + 9
4 z2
+ 31
8 z3
+ 63
8 z4
e portanto α0 = −1/8 e
D1(z) = −
1
2
z +
9
4
z2
+
31
8
z3
+
63
8
z4
(2.162)
Di
1(z) = z4+1
−
1
2
z−1
+
9
4
z−2
+
31
8
z−3
+
63
8
z−4
= −
1
2
z4
+
9
4
z3
+
31
8
z2
+
63
8
z. (2.163)

155. 2.6 Estabilidade no domı́nio z 115
Como D1(z) = α1Di
1(z) + D2(z):
−1
2 z + 9
4 z2
+ 31
8 z3
+ 63
8 z4 63
8 z + 31
8 z2
+ 9
4 z3
− 1
2 z4
+1
2 z + 31
126 z2
+ 1
7 z3
− 2
63 z4
− 4
63
2,496z2
+ 4,018z3
+ 7,844z4
e portanto α1 = −4/63 e
D2(z) = 2,496z2
+ 4,018z3
+ 7,844z4
(2.164)
Di
2(z) = z4+2
(2,496z−2
+ 4,018z−3
+ 7,844z−4
)
= 2,496z4
+ 4,018z3
+ 7,844z2
. (2.165)
Como D2(z) = α2Di
2(z) + D3(z), temos que α2 = 2,496/7,844 = 0,3182.
Logo:
|α0| =
1
8
1, |α1| =
4
63
1, |α2| = 0,3182 1 (2.166)
e, consequentemente, o sistema é estável.
△
EXEMPLO 2.14
Dado o polinômio D(z) = z2
+ az + b, determine as escolhas para a e b tais que
ele represente o denominador de um sistema no tempo discreto causal estável.
Represente graficamente a × b, destacando a região de estabilidade.
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
111111111
b
a
b = 1
b = −1
−a + b = −1
a + b = −1
Figura 2.5 Região de estabilidade para o Exemplo 2.14.

156. 116 As transformadas z e de Fourier
SOLUÇÃO
Uma vez que a ordem do polinômio é par:
D(1) 0 ⇒ 1 + a + b 0 ⇒ a + b −1 (2.167)
D(−1) 0 ⇒ 1 − a + b 0 ⇒ −a + b −1. (2.168)
Como N − 2 = 0, só existe α0. Então:
D0(z) = z2
+ az + b (2.169)
Di
0(z) = z2
(z−2
+ az−1
+ b) = 1 + az + bz2
(2.170)
b + az + z2
1 + az + bz2
−b − abz − b2
z2
b
(1 − b)az + (1 − b2
)z2
e, portanto, |α0| = |b| 1. Assim, as condições buscadas são
a + b −1
−a + b −1
|b| 1





, (2.171)
ilustradas na Figura 2.5. △
A derivação completa do algoritmo aqui apresentado, bem como um método
para determinar o número de raı́zes de um polinômio D(z) situadas no interior
do cı́rculo unitário, podem ser encontrados em Jury (1973).
2.7 Resposta na frequência
Como foi mencionado na Seção 2.1, quando uma exponencial zn
é aplicada à
entrada de um sistema linear com resposta ao impulso h(n), sua saı́da é uma
exponencial H(z)zn
. Uma vez que, conforme visto anteriormente, garante-se que
a transformada z da resposta ao impulso dos sistemas estáveis sempre existe
sobre a circunferência unitária, é natural tentar caracterizar esses sistemas na
circunferência unitária. Números complexos sobre a circunferência unitária são
da forma z = ejω
, para 0 ≤ ω 2π. Isso implica que a sequência exponencial
correspondente é uma senoide x(n) = ejωn
. Portanto, podemos afirmar que se
aplicamos uma senoide x(n) = ejωn
à entrada de um sistema linear, então sua
saı́da também é uma senoide com a mesma frequência, isto é,
y(n) = H ejω
ejωn
. (2.172)

157. 2.7 Resposta na frequência 117
Se H(ejω
) é um número complexo com módulo |H(ejω
)| e fase Θ(ω), então y(n)
pode ser expressa como
y(n) = H(ejω
)ejωn
= |H(ejω
)|ejΘ(ω)
ejωn
= |H(ejω
)|ejωn+jΘ(ω)
, (2.173)
indicando que a saı́da de um sistema linear para uma entrada senoidal é uma
senoide com a mesma frequência, mas com sua amplitude multiplicada por
|H(ejω
)| e sua fase acrescida de Θ(ω). Logo, quando caracterizamos um sistema
linear em termos de H(ejω
), estamos, de fato, especificando o efeito que o sistema
linear tem sobre a amplitude e a fase do sinal de entrada, para cada frequência
ω. Por esse motivo, H(ejω
) é comumente conhecida como resposta na frequência
do sistema.
É importante enfatizar que H(ejω
) é o valor da transformada z, H(z), sobre
a circunferência unitária. Isso implica que precisamos especificá-la apenas para
uma volta da circunferência unitária, isto é, para 0 ≤ ω 2π. De fato, como
para k ∈ Z
H(ej(ω+2πk)
) = H(ej2πk
ejω
) = H(ejω
), (2.174)
então H(ejω
) é periódica com perı́odo 2π.
Outra importante caracterı́stica de um sistema linear no tempo discreto é
seu atraso de grupo. Este é definido como o oposto da derivada da fase de sua
resposta na frequência, isto é,
τ(ω) = −
dΘ(ω)
dω
. (2.175)
Quando a fase Θ(ω) é uma função linear de ω, isto é,
Θ(ω) = βω, (2.176)
então, de acordo com a equação (2.173), a saı́da y(n) de um sistema linear para
uma entrada senoidal x(n) = ejωn
é:
y(n) = |H(ejω
)|ejωn+jβω
= |H(ejω
)|ejω(n+β)
. (2.177)
A equação (2.177), juntamente com a equação (2.175), implica que a senoide de
saı́da é atrasada de
−β = −
dΘ(ω)
dω
= τ(ω) (2.178)
amostras, qualquer que seja a frequência ω. Por causa desta propriedade, o atraso
de grupo é geralmente usado como uma medida de quanto um sistema linear
invariante no tempo atrasa senoides de diferentes frequências. O Exercı́cio 2.18
faz uma discussão aprofundada desse assunto.

158. 118 As transformadas z e de Fourier
−π/2 0 π/2
−π π
|H(e
jω
)|
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
ω (rad/amostra)
−π/2 0 π/2
−π π
Θ(ω)
(rad)
π/2
0
−π/2
ω (rad/amostra)
−π/4
π/4
(a) (b)
Figura 2.6 Resposta na frequência do filtro de média móvel: (a) resposta de módulo;
(b) resposta de fase.
EXEMPLO 2.15
Encontre a resposta na frequência e o atraso de grupo do filtro FIR caracterizado
pela seguinte equação de diferenças:
y(n) =
x(n) + x(n − 1)
2
. (2.179)
SOLUÇÃO
Tomando a transformada z de y(n), encontramos
Y (z) =
X(z) + z−1
X(z)
2
=
1
2
(1 + z−1
)X(z), (2.180)
e, então, a função de transferência do sistema é
H(z) =
1
2
(1 + z−1
). (2.181)
Fazendo z = ejω
, a resposta na frequência do sistema se torna
H(ejω
) =
1
2
(1 + e−jω
) =
1
2
e−j ω
2 ej ω
2 + e−j ω
2
= e−j ω
2 cos
ω
2
. (2.182)
Como Θ(ω) = −ω/2, então, pelas equações (2.177) e (2.178), conclui-se que o
sistema atrasa todas as senoides igualmente de meia amostra. Então, seu atraso
de grupo é τ(ω) = 1/2 amostra.
As respostas de módulo e fase de H(ejω
) são representadas na Figura 2.6.
Note que o gráfico da resposta na frequência é apresentado para −π ≤ ω π,
em vez de 0 ≤ ω 2π. Na prática, as duas faixas são equivalentes, já que ambas
compreendem um perı́odo de H(ejω
). △

159. 2.7 Resposta na frequência 119
EXEMPLO 2.16
Um sistema no tempo discreto com resposta ao impulso h(n) = 1
2
n
u(n) é
excitado com x(n) = sen(ω0n + θ). Encontre a saı́da y(n) usando a resposta na
frequência do sistema.
SOLUÇÃO
Como
x(n) = sen(ω0n + θ) =
ej(ω0n+θ)
− e−j(ω0n+θ)
2j
, (2.183)
então a saı́da y(n) = H{x(n)} é
y(n) = H
ej(ω0n+θ)
− e−j(ω0n+θ)
2j
=
1
2j
h
H{ej(ω0n+θ)
} − H{e−j(ω0n+θ)
}
i
=
1
2j
h
H(ejω0
)ej(ω0n+θ)
− H(e−jω0
)e−j(ω0n+θ)
i
=
1
2j
h
|H(ejω0
)|ejΘ(ω0)
ej(ω0n+θ)
− |H(e−jω0
)|ejΘ(−ω0)
e−j(ω0n+θ)
i
. (2.184)
Como h(n) é real, pela propriedade que será vista na Seção 2.9.7,
equação (2.228), tem-se H(ejω
) = H∗
(e−jω
). Isso implica que
|H(e−jω
)| = |H(ejω
)| e Θ(−ω) = −Θ(ω). (2.185)
Usando esse resultado, a equação (2.184) se torna
y(n) =
1
2j
h
|H(ejω0
)|ejΘ(ω0)
ej(ω0n+θ)
− |H(ejω0
)|e−jΘ(ω0)
e−j(ω0n+θ)
i
= |H(ejω0
)|
ej(ω0n+θ+Θ(ω0))
− e−j(ω0n+θ+Θ(ω0))
2j
= |H(ejω0
)| sen[ω0n + θ + Θ(ω0)]. (2.186)
Uma vez que a função de transferência do sistema é
H(z) =
∞
X
n=0
1
2
n
z−n
=
1
1 − 1
2
z−1
, (2.187)

160. 120 As transformadas z e de Fourier
temos que
H(ejω
) =
1
1 − 1
2
e−jω
=
1
q
5
4
− cos ω
e−j arctg[sen ω/(2−cos ω)]
(2.188)
e, então,
|H(ejω
)| =
1
q
5
4
− cos ω
(2.189)
Θ(ω) = − arctg
sen ω
2 − cos ω
. (2.190)
Substituindo esses valores de |H(ejω
)| e Θ(ω) na equação (2.186), a saı́da y(n)
se torna
y(n) =
1
q
5
4
− cos ω0
sen
ω0n + θ − arctg
sen ω0
2 − cos ω0
. (2.191)
△
Em geral, quando projetamos um sistema no tempo discreto, temos que
satisfazer caracterı́sticas predeterminadas de módulo, |H(ejω
)|, e fase, Θ(ω).
Deve-se notar que, ao processarmos um sinal definido no tempo contı́nuo usando
um sistema no tempo discreto, devemos converter a frequência analógica Ω na
frequência ω, referente ao tempo discreto, que é restrita ao intervalo [−π, π). Isso
pode ser feito notando-se que se uma senoide analógica xa(t) = ejΩt
é amostrada
como na equação (1.157) para gerar uma senoide ejωn
, isto é, se Ωs = 2π/T é a
frequência de amostragem, então
ejωn
= x(n) = xa(nT) = ejΩnT
. (2.192)
Portanto, pode-se deduzir que a relação entre a frequência digital ω e a frequência
analógica Ω é
ω = ΩT = 2π
Ω
Ωs
, (2.193)
indicando que o intervalo de frequência [−π, π) para a resposta na frequência
relativa ao tempo discreto corresponde ao intervalo de frequência [−Ωs/2, Ωs/2)
no domı́nio analógico.
EXEMPLO 2.17
O filtro passa-baixas elı́ptico de sexta ordem no domı́nio discreto cuja resposta
na frequência é mostrada na Figura 2.7 é usado para processar um sinal analógico

161. 2.7 Resposta na frequência 121
ω (rad/amostra)
−80
−40
−30
−70
−20
−60
−10
−50
0
π/2
0 π
Resposta
de
Módulo
(dB)
ω (rad/amostra)
−200
0
50
−150
100
−100
200
150
−50
π/2
0 π
Resposta
de
Fase
(graus)
(a) (b)
ω (rad/amostra)
−0,2
−0,15
−0,1
−0,05
0
0,05
0,77π
0,75π 0,79π
Resposta
de
Módulo
(dB)
ω (rad/amostra)
−200
0
50
−150
100
−100
200
150
−50
0,77π
0,75π 0,79π
Resposta
de
Fase
(graus)
(c) (d)
Figura 2.7 Resposta na frequência de um filtro elı́ptico de sexta ordem: (a) resposta de módulo;
(b) resposta de fase; (c) resposta de módulo na faixa de passagem; (d) resposta de fase na faixa
de passagem.
num esquema similar ao mostrado na Figura 1.14. Se a frequência de amostragem
usada na conversão analógico-digital é 8000 Hz, determine a faixa de passagem
do filtro analógico equivalente. Considere a faixa de passagem como a faixa de
frequência em que a resposta de módulo está dentro de 0,1 dB de seu valor
máximo.
SOLUÇÃO
Da Figura 2.7c, vemos que a largura de faixa digital em que a resposta de módulo
do sistema está dentro de 0,1 dB de seu valor máximo é aproximadamente de
ωp1
= 0,755π rad/amostra até ωp2
= 0,785π rad/amostra. Como a frequência de
amostragem é
fs =
Ωs
2π
= 8000 Hz, (2.194)

162. 122 As transformadas z e de Fourier
então a faixa de passagem analógica é tal que
Ωp1
= 0,755π
Ωs
2π
= 0,755π × 8000 = 6040π rad/s ⇒ fp1
=
Ωp1
2π
= 3020 Hz
(2.195)
Ωp2
= 0,785π
Ωs
2π
= 0,785π × 8000 = 6280π rad/s ⇒ fp2
=
Ωp2
2π
= 3140 Hz.
(2.196)
△
O conhecimento das posições dos polos e zeros de uma função de transferência
permite a determinação direta das caracterı́sticas do sistema associado. Por
exemplo, pode-se determinar a resposta na frequência H(ejω
) usando-se um
método geométrico. Expressando H(z) como função de seus polos e zeros como
na equação (2.155), temos que H(ejω
) se torna
H(ejω
) = H0ejω(N−M)
M
Y
l=1
(ejω
− zl)
N
Y
i=1
(ejω
− pi)
. (2.197)
As respostas de módulo e fase de H(ejω
) são, então,
|H(ejω
)| = |H0|
M
Y
l=1
|ejω
− zl|
N
Y
i=1
|ejω
− pi|
(2.198)
Θ(ω) = ω(N − M) +
M
X
l=1
∠(ejω
− zl) −
N
X
i=1
∠(ejω
− pi), (2.199)
onde ∠z denota o ângulo do número complexo z. Os termos da forma |ejω
− c|
representam a distância entre o ponto ejω
sobre a circunferência unitária e o
número complexo c. Os termos da forma ∠(ejω
−c) representam o ângulo, medido
no sentido anti-horário, entre o eixo real e o segmento de reta ligando ejω
a c.
Por exemplo, para H(z) com polos e zeros dispostos conforme a Figura 2.8,
temos que
|H(ejω0
)| =
D3D4
D1D2D5D6
(2.200)
Θ(ω0) = 2ω0 + θ3 + θ4 − θ1 − θ2 − θ5 − θ6. (2.201)

163. 2.8 Transformada de Fourier 123
ejω0
ω0
θ4
D4
θ3
D6
Re{z}
Im{z}
θ1
D1
D5
θ5
θ6
θ2
D2
D3
Figura 2.8 Determinação da resposta na frequência de H(z) a partir das posições de seus polos
(×) e zeros (◦).
Veja no Experimento 2.3 da Seção 2.12 uma ilustração de como um diagrama
de polos e zeros pode ajudar no projeto de filtros no tempo discreto simples.
2.8 Transformada de Fourier
Na seção anterior, caracterizamos sistemas lineares no tempo discreto usando a
resposta na frequência, que descreve o comportamento de um sistema quando
sua entrada é uma senoide complexa. Nesta seção, apresentamos a transformada
de Fourier de sinais no tempo discreto, que é uma generalização do conceito
de resposta na frequência. Ela equivale à decomposição de um sinal no tempo
discreto como uma soma infinita de senoides complexas no tempo discreto.
No Capı́tulo 1, deduzindo o teorema da amostragem, formamos, a partir do
sinal x(n) no tempo discreto, um sinal xi(t) no tempo contı́nuo consistindo num
trem de impulsos em t = nT com áreas iguais a x(n), respectivamente (veja