Introdução ao Cálculo Atuarial e Seguros

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO ATUARIAL
Prof. Cássio Marques
INTRODUÇÃO AO
CÁLCULO ATUARIAL
2018

INTRODUÇÃO AO
CÁLCULO ATUARIAL
Seguros
2018

Seguros: História do Seguro
• Seus princípios gerais existem no mundo há muitos séculos.
– Pré-história: vida em sociedade para aumentar as chances
de sobrevivência;
– 2500 a.C.: diminuição do risco da operação, dividindo as
cargas em várias embarcações ou em vários camelos de
diversas caravanas na Mesopotâmia;
– 1700 a.C.: Código de Hamurabi na Babilônia. Criação de
uma associação que dava um barco novo ao associado que
perdesse o seu em uma tempestade ou um novo burro a
quem tivesse perdido o seu;
– 900 a.C.: criação das Leis de Rodes na Grécia, que foi a
base do direto marítimo por séculos-->“divisão dos prejuízos
entre o dono da embarcação e da carga no caso de
necessidade de varação do navio ou alijamento da carga”.

– 753 a 510 a.C.: no Império Romano inicia-se a organização
de sociedades funerárias (pagamento despesas do enterro)
e de pensões (feridos em guerra ou que atingissem limite de
idade militar) por meio da criação de um fundo pago em
vida (1º atuário  Domitius Ulpiames);
– 1484: Ordenação dos Magistrados de Barcelona. Início da
regulamentação do setor na Europa (seguros marítimos).
Estabelecimento do valor do capital máximo a ser
contratado, prazo para pagamento das indenizações, prazo
para declaração de perda total, etc.;
– 1728: criada a primeira seguradora na Inglaterra (incêndios)
– 1755: publicado os cálculos de James Dodson (inventor da
atuária) sobre preço dos seguros de vida inteira com a
introdução do conceito de “provisão matemática”;

– 1755 a 1800: surgem as primeiras seguradoras do ramo vida
já com grande crescimento principalmente no século XIX;
– 1804: novo impulso com a criação do código civil de
Napoleão Bonaparte. Art 1383 “cada um é responsável pelos
danos que causar, não apenas por sua ação, mas também
por sua imprudência ou sua negligência”;
– 1808: vinda da família real para o Brasil e abertura da “Boa-
Fé”, primeira seguradora do Brasil (seguro marítimo);
– 1845: abertura da Argos Fluminense, primeira seguradora
que operava seguros terrestres (regulamentados em 1916);
– 1855: abertura da Companhia de Seguros Tranquilidade,
primeira a comercializar seguros de pessoas no Brasil;
– 1964: regulamentada a profissão de corretor de seguros;
– 1966: criada a SUSEP (órgão normativo e fiscalizador).

Seguros: Definições
• Quais são os elementos que compõem um contrato de seguro?
– Apólice: é o próprio instrumento de contrato de seguro.
Estabelece todas as regras de funcionamento do mesmo
para as partes envolvidas.
– Risco: evento incerto, futuro, para o qual é feito o seguro.
– Segurado: pessoa física ou jurídica que, tendo interesse
segurável, contrata o seguro em seu benefício pessoal ou de
terceiros (estipulante x beneficiário). O segurado transfere
para outro o risco de determinado evento.

– Segurador ou Seguradora: é uma instituição que tem o
objetivo de indenizar prejuízos involuntários verificados no
patrimônio de outra pessoa. É a pessoa jurídica que assume
a responsabilidade pelos riscos contratados. No Brasil são
obrigatoriamente constituídas como S.A. (Sociedades
Anônimas) autorizadas pelo Ministério da Fazenda,
regulamentadas e fiscalizadas principalmente pela SUSEP.
– Sinistro: ocorrência do acontecimento previsto na apólice
de seguro e que, legalmente, obriga a seguradora a
indenizar.

– Indenização: é a contraprestação do segurador ao
segurado que, com a efetivação do risco (ocorrência de
evento previsto no contrato), venha a sofrer prejuízos de
natureza econômica, fazendo jus à indenização pactuada, ou
seja, é o pagamento feito pela seguradora ao segurado
previsto na apólice, na ocorrência do sinistro. A indenização
não pode ser superior à importância segurada, pois o seguro
não é investimento, não cabendo ao segurado obter lucro
com o seguro.

– Prêmio: é a quantia paga pelo segurado à seguradora,
prevista no contrato de seguro, em troca da transferência do
risco a que ele está exposto. Elemento essencial da apólice
de seguro cujo o não pagamento implica na dispensa por
parte da seguradora em indenizar. Os prêmios estão
divididos em parcelas denominadas:
• Prêmio Puro;
• Prêmio Comercial, Tarifário ou Líquido;
• Prêmio Total ou Bruto;

• Prêmio Puro: é a parcela do prêmio suficiente para pagar os
sinistros. Pode ser calculado de duas formas:
– 1) divisão dos prejuízos pelas unidades em exposição ao
risco;
– 2) multiplicação dos prejuízos pela probabilidade de
ocorrência do sinistro (esperança).
• Prêmio Comercial, Tarifário ou Líquido: corresponde ao
Prêmio Puro adicionado de carregamento para fazer face às
despesas de corretagem, administração, lucro da seguradora,
etc.
• Prêmio Total ou Bruto: é o Prêmio Comercial acrescido de
encargos e IOF sendo esse o prêmio efetivamente pago pelo
segurado. (Observação: custo da apólice não pode mais ser
cobrado desde 2013 por determinação da SUSEP).

• Importante conceituar também outros três elementos que
serão utilizados posteriormente que são:
– Franquia: é o valor em dinheiro que o segurado é
responsável em casos de sinistro em que não aconteça a
indenização integral. Esse item existe nas apólices para
garantir que o segurado não entre em riscos desnecessários;
– Valor Matemático do Risco (VMR): é a razão entre a
quantidade de sinistros ocorridos e a quantidade de objetos
segurados (probabilidade de ocorrência do sinistro);
– Custo Médio dos Sinistros (CMS): é determinado pela
razão entre o total indenizado e o número de sinistros.

• Após todas as conceituações e considerando-se que cada autor
define segundo à sua maneira, pode-se citar como uma
definição mais abrangente e atual do termo seguro como:
“uma operação que toma forma jurídica por meio de um
contrato (apólice), em que uma das partes (segurador) se
obriga com a outra (segurado), mediante o recebimento de
uma importância estipulada (prêmio), a compensá-la
(indenização) por um prejuízo (sinistro), resultante de um
evento futuro, possível e incerto (risco), indicado no contrato”

• Exemplo 1: A seguradora ABC possui 2.000 veículos
segurados. Se os prejuízos com sinistros foram de 6 milhões de
reais, qual será o valor do Prêmio Puro?
Resposta: PP = 6.000.000 / 2.000 = R$ 3.000,00
• Exemplo 2: Considerando que a seguradora ABC tenha
carregamento de despesas administrativa de 15%, comissão de
corretagem de 10% e margem de lucro de 5% qual será o
valor do Prêmio Comercial?
Resposta:
PC = PP / (1 – c)  3.000 / (1 – 0,15 – 0,10 – 0,05) 
PC = R$ 4.285,71

• Exemplo 3: Ainda em relação à seguradora ABC, considerando
a incidência de 7,38% de IOF qual o valor do Prêmio Bruto?
Resposta: PB = 4.285,71 + (4.285,71 * 0,0738)  4.285,71
+ 316,29 = R$ 4.602,00
• Exemplo 4: Considerando que a seguradora oferece a
possibilidade de parcelar o prêmio total sendo uma parcela no
ato da contratação e mais 3 parcelas (30, 60 e 90) a uma taxa
de 1,25% a.m. qual o valor das parcelas a serem pagas?
Resposta:
g BEG  4.602 CHS PV  1,25 i  4 n  PMT ? 
R$ 1.172,03

Seguro de Riscos Diversos
• Ramo constituído por várias modalidades com diversas
coberturas cuja grande característica é cobrir perdas e dano
materiais contra quaisquer acidentes decorrentes de causas
externas. É o seguro que se faz quando não há nada específico
no mercado não é automóvel, nem vida enfim trata-se de algo
muito específico.
• Exemplos:
– Equipamentos como móveis, anúncios luminosos,
instrumentos musicais, equipamentos de sons;
– Seguros de conteúdos contra alagamentos,
desmoronamentos, etc;
– Seguros de joias;
– Obras de artes, etc.

• A forma mais comum desde tipo de seguro é a risco total que
prevê que quando a Importância Segurada (IS) for menor que
o Valor do Risco Apurado (VRA) no momento do sinistro (IS <
VRA) dever-se-á aplicar uma cláusula de rateio dada pela
razão de IS/VRA. Por outro lado se IS for maior que VRA (IS
> VRA) a seguradora arcará somente com o valor do total
sinistrado (prejuízo).

• Exemplo 5: Uma empresa perdeu R$ 40.000,00 de seu
estoque em uma enchente. Sabendo que meses atrás a
empresa fez um seguro no qual a importância segurada era de
R$ 60.000,00 e que a perícia constatou, no momento do
sinistro, um estoque de R$ 80.000,00 de quanto será a
indenização da empresa?
Resposta: IS < VR  IS / VR  60.000 / 80.000  0,75 ou
75% (% de responsabilidade da seguradora sobre o sinistro)
 R$ 40.000,00 * 0,75 = R$ 30.000,00
A seguradora indenizaria o valor de R$ 30.000,00 ao segurado
e este arcaria com a diferença de R$ 10.000,00.
Observação: se houver franquia essa deve ser descontada do
valor sinistrado para depois se proceder os cálculos

• Exemplo 6: Ainda em relação à situação anterior, se houvesse
uma franquia de R$ 2.000,00 qual seria o valor a ser suportado
pela seguradora e pelo segurado?
Resposta: IS < VR  IS / VR  60.000 / 80.000  0,75 ou
75% (% de responsabilidade da seguradora sobre o sinistro)
 R$ 40.000 – R$ 2.000 = 38.000 * 0,75 = R$ 28.500,00

• Exemplo 7: Ainda em relação à situação anterior, se houvesse
a franquia de R$ 2.000,00 porém a perda fosse total (R$
80.000,00) qual seria o valor a ser suportado pela seguradora e
pelo segurado?
Resposta: VR > IS  logo:
Observação: não se fala de franquia quando há perda total.

Seguro Dotal
• Consiste no pagamento de um dote, caso o segurado sobreviva
“n” anos. Financeira e atuarialmente, significa que lx pessoas
fornecem fundo, pagando um Prêmio Único Puro (PUP), para
que daqui a “n” anos as lx+n pessoas recebam uma importância
segurada (IS). A fórmula para cálculo do PUP utiliza coluna Dx
das tábuas de comutação que representa o total descontado do
número de sobreviventes em cada idade.
Fórmula: PUP = (Dx+n / Dx) * IS

Seguro Dotal
• Exemplo 8:
– Qual o valor do Prêmio Único Puro (PUP) a ser pago por
uma pessoa de 40 anos que faça um seguro dotal no valor
de R$ 50.000,00 para ser recebido ao completar 70 anos?
Resposta:
x = 40
n = 30 (70 – 40 = 30)
PUP = ?
PUP = (Dx+n / Dx) * IS --> (D70 / D40) * 50000 
(947 / 8984) * 50000  R$ 5.270,48

Seguro Dotal Misto
• Neste caso, consideraremos tanto a possibilidade de
sobrevivência quanto a de morte, ou seja, a pessoa ao fazer o
seguro dessa modalidade, permitirá que a família receba a
importância segurada em caso de falecimento, como também,
caso sobreviva ao período segurado (normalmente entre 5 e 30
anos) a pessoa receberá a importância segurada. A fórmula
para cálculo do PUP utiliza coluna Mx das tábuas de comutação
que representa a soma descontada da quantidade de
falecimentos de x a w (ômega).
Fórmula: PUP = (Mx - Mx+n + Dx+n ) / Dx * IS

Seguro Dotal Misto
• Exemplo 9:
– Qual o valor do Prêmio Único Puro (PUP) a ser pago por
uma pessoa de 40 anos que faça um seguro dotal misto com
cobertura até os 70 anos de importância segurada de R$
50.000,00?
Resposta:
x = 40
n = 30 (70 – 40 = 30)
PUP = ?
PUP = (Mx - Mx+n + Dx+n ) / Dx * IS -->
(M40 – M70 + D70 ) / D40 * 50000 
(1741 – 545 + 947 ) / 8984 * 50000  R$ 11.926,75

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