Questa simulada de matematica para a prova da ANPEC

1. Série Preparação ANPEC 2021
Prof. Marcos Paizante Número 11
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Nesta nova questão simulada na preparação para a prova de matemática da
ANPEC 2021 vamos abordar limites e o teorema fundamental do cálculo, para
funções reais de variável real.
O gabarito desta questão estará disponı́vel na sexta-feira 06-03-2020.
Questão
Classifique as afirmações abaixo como falso ou verdadeiro.
0. O valor do limite
lim
x→0
1 − ex
x
= 1.
1. Seja a função
F(x) =
Z x2
1
(1 + e2x
)dx.
Então F0
(2) = 1 + e8
.
2. O valor do limite
lim
x→0+
(1 + x)
1
x = e.
3. Sendo f(x) uma função derivável com derivada contı́nua, e, com f0
(1) = f0
(2),
temos
lim
h→0
f(1 + h) − f(1 − h)
f(2 + h) − f(2 − 3h)
=
1
2
.
4. A função
F(x) =
Z x
1
ln x dx, x > 1
é crescente em todo seu domı́nio.
R. F, F, V, V, V
1

2. Solução
0. Como a função a qual queremos calcular o limite é contı́nua (exceto no zero),
é natural substituir x por 0 afim de calcular o limite, então:
lim
x→0
1 − ex
x
=
1 − e01
0
=
0
0
indeterminação,
portanto vamos usar a regra de L’Hospital, ou seja,
lim
x→0
1 − ex
x
= lim
x→0
−ex
1
=
−e01
1
= −1,
portanto a afirmação é falsa.
1. Sabemos do cálculo esta integral que se F(x) =
Z h(x)
g(x)
f(x) dx , então sua
derivada é
F0
(x) = f(h(x)) · h0
(x) − f(g(x)) · g0
(x).
Usando o fato acima neste item temos que:
F0
(x) = (1 + e2x2
) · 2x − (1 + e2.0
· 0 ⇒ F0
(x) = 2x(1 + e2x2
),
portanto F0
(2) = 2 × 2(1 + e2.22
) = 4(1 + e8
) e a afirmação é falsa.
2. Fazendo a substituição direta temos:
lim
x→0+
(1 + x)
1
x = (1 + 0)
1
0 = 1∞
, indeterminação.
Mas sabemos um dos limites fundamentais que é:
lim
x→+∞
1 +
1
x
x
= e,
então fazendo a substituição u =
1
x
temos x → 0+
⇒ u → +∞, e note também
que x =
1
u
, então
lim
x→0+
(1 + x)
1
x = lim
u→+∞
1 +
1
u
u
= e.
Portanto a afirmação é verdadeira.
2

3. Solução
3. Sendo f derivável, ela também é contı́nua, portanto é natual usar a substituição
direta para calcular o limite abaixo. Substituindo h por 0 temos:
lim
h→0
f(1) − f(1)
f(2) − f(2)
=
0
0
indeterminação,
portanto vamos usar a regra de L’Hospital, ou seja,
lim
h→0
f(1 + h) − f(1 − h)
f(2 + h) − f(2 − 3h)
= lim
h→0
f0
(1 + h) − f0
(1 − h)(−1)
f0(2 + h) − f0(2 − 3h)(−3)
=
(Note que, como o limite é na variável h, então a derivada de f deve ser em
relação a esta variável, ou seja, f0
=
df
dh
. Note também que no cálculo desta
derivada usou-se a regra da cadeia.)
lim
h→0
f0
(1 + h) + f0
(1 − h)
f0(2 + h) + 3f0(2 − 3h)
=
f0
(1 + 0) + f0
(1 − 0)
f0(2 + 0) + 3f0(2 − 3.0)
=
2f0
(1)
4f0(2)
,
e como estamos sob a condição f0
(1) = f0
(2), então
lim
h→0
f(1 + h) − f(1 − h)
f(2 + h) − f(2 − 3h)
= lim
h→0
f0
(1 + h) + f0
(1 − h)
f0(2 + h) + 3f0(2 − 3h)
=
2f0
(1)
4f0(1)
=
1
2
,
e a afirmativa é verdadeira.
4. Sabemos do cáculo integral a
que se F(x) =
Z x
a
f(x)dx então F0
(x) = f(x).
Sabemos também que uma função é crescente nos intervalos onde sua derivada é
maior que zero. Usando estes fatos temos que neste item
F0
(x) = ln x, x 1.
Como a função ln x é positiva para x 1, temos que F(x) é crescente para
x 1 e a afirmativa é verdadeira.
aconsulte a Nota de Integrais, Marcos Paizante
Considerações:
• Os limites nos itens 0 e 2 são limites fundamentais, portanto o leitor deve ter isso
em mente ao fazer a prova.
• O item 3 foi parecido com uma questão aberta na prova de matemática do exame
da ANPEC de 2015, a diferença foi o fato de que na quetão de 2015 tı́nhamos que
calcular a derivada de uma função inversa e por isso eu creio que foi uma questão
aberta, senão seria bem mais fácil e poderia ser um item apenas.
3