exercícios de Dinâmica

1. ALFA-5 85015058 38 ANGLO VESTIBULARES
CAMPO DE UMA CARGA PUNTIFORME
→
Ep = f (Q, P)
CAMPO DE VÁRIAS CARGAS PUNTIFORMES
→
Ep =
→
E1 +
→
E2 +... +
→
En
CAMPO UNIFORME (DEFINIÇÃO)
→
E tem mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido
em todos os pontos.
Exercícios
1. (FACESP) Em uma certa região do espaço em que existe vácuo
(constante eletrostática igual a 9 ⋅ 109Nm2C–2), estabele-
ceu-se um campo elétrico, cujo valor é 2 ⋅ 107N/C. A carga
que o origina tem módulo 8µC. A que distância da carga es-
sa medida de campo elétrico foi efetuada?
a) 1cm d) 8cm
b) 2,25cm e) N.D.A.
c) 6cm
Q = 8 × 10–6C
E = 2 × 107N/C
E = K ⇒ 2 × 107 = 9 × 109 ⋅
r2 = 36 × 10–4 ⇒ r = 6 × 10–2m = 6cm
2. (FUVEST) O campo elétrico de uma carga puntiforme em re-
pouso tem, nos pontos A e B, as direções e sentidos indicados
pelas flechas na figura abaixo.
O módulo do campo elétrico no ponto B vale 24V/m. O mó-
dulo do campo elétrico no ponto P da figura vale, em volt
por metro,
a) 3.
b) 4.
c)
d) 6.
e) 12.
Observando-se a figura, a carga puntiforme está na inter-
secção das retas que determinam as direções do campo
elétrico em A e B.
Eb = k Ep = k como rp = 2rB
⇒ Ep = = = 6
V
m
24
4
Eb
4
|Q|
r2
p
|Q|
r2
B
3 2.
A
B
P
8 × 10–6
r2
|Q|
r2
Aulas 39 e 40
ESTUDO DO CAMPO ELÉTRICO
setor 1202
P
Q
r
+
Q2
+
–
r2
r1
Q1
En
E1
rn
Qn
→
→
E2
→
P
Intensidade:
Direção: reta (Q, P)
Sentido: Q Ͼ 0 (afastamento)
Q Ͻ 0 (aproximação)
E K
Q
r
=
| |
2
12020508

2. 3. (FATEC) Representa-se na figura um quadrado de lado
possuindo nos seus vértices as cargas Q1, Q2,
Q3 e Q4.
Considerando-se que
o módulo do vetor campo elétrico resultante no ponto P
(centro do quadrado) é:
a) zero. d) 9 × 103N/C.
b) 27 × 103N/C. e) 18 × 103N/C.
c) 36 × 103N/C.
Q1 = Q3 = Q4 = Q
Q2 = –Q
Temos:
logo: Ep = 2E = 2K ⋅ = 2 ⋅ 9 × 109 ×
Ep = 18 × 103N/C
obs.: r = metade da diagonal do quadrado.
4. Sendo as cargas Q1 e Q2 fixas, calcule a que distância x da
carga Q1 o vetor campo elétrico é nulo.
E1 = E2 ⇒ k = k
∴ x = 8cm
5. No interior de 2 placas planas e paralelas uma carga punti-
forme (q = +2µC) realiza movimento retilíneo e uniforme
conforme figura abaixo.
Sendo g = 10N/kg e a massa da carga 10g, pede-se:
a) assinalar as forças aplicadas na carga e a resultante;
b) o vetor campo elétrico em algum ponto no interior das
placas;
c) o sinal da carga das placas.
a)
R
→
= 0
→
, pois a
carga executa MRU.
b) F = P ⇒ |q| ⋅ E = mg ∴ E = 5 ⋅ 104N/C
Sendo o sinal da carga de prova positiva e a força elé-
trica vertical e para cima, o vetor campo elétrico é ver-
tical e para cima.
c) placa I… negativa
placa II… positiva
• Leia os itens 4 a 8, cap. 2.
• Resolva os exercícios 5 e 6, série 2.
• Leia os itens 9 e 10, cap. 2.
• Resolva os exercícios 7, 13 e 14, série 2.
• Resolva os exercícios 8, 9 e 10, série 2.
• Resolva os exercícios 15, 16 e 20, série 2.
• Resolva o exercício 22, série 2.
AULA 40
AULA 39
Tarefa Complementar
AULA 40
AULA 39
Tarefa Mínima
Livro 2 — Unidade I
Caderno de Exercícios — Unidade VI
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
placa I
placa II
g+
V
|Q2|
(20 – x)2
|Q1|
x2
Q1
20 – x
Q2
x
E2
E1
Q1
20 – x
Q2
x
E2
E1
Q1
= 4µC
20 cm
Q2
= 9µC
10–6
12
Q
r2
E4
E3
E2
E1
E4
E3
E2
E1
Q Q Q C Q C e K
N m
C
1 3 4 2
9
2
2
1 1 9 10= = = = = ×
⋅
µ µ, –
Q3 Q4
Q2Q1
P
l = 2 m,
ALFA-5 85015058 39 ANGLO VESTIBULARES
123
+
F
→
P
→
+
F
→
P
→

3. I. TRABALHO NO CAMPO DE UMA CARGA
PUNTIFORME
Consideremos uma carga pontual Q fixa em um ponto do
espaço e dois pontos A e B que distam, respectivamente, rA e rB
de Q, conforme mostra a figura abaixo.
Ao deslocarmos uma carga de prova q de A para B segun-
do a trajetória indicada, a força elétrica realiza um trabalho da-
do pela equação:
(I)
Se levarmos esta mesma carga q, de A para B, por um ou-
tro caminho qualquer, a força elétrica realiza o mesmo trabalho.
De fato: Sejam AC e BD arcos de circunferência de centro Q e
raios rA e rB, respectivamente.
Mas = 0, pois o vetor força elétrica é
sempre normal a trajetória.
Assim:
Da equação (I) vem:
, como rA = rC e rB = rD, temos:
II. FORÇA CONSERVATIVA
Uma força é dita conservativa quando o trabalho por ela
realizado independe da trajetória.
Concluimos então que a força elétrica é conservativa, pois
seu trabalho independe da trajetória.
III. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA
Definimos como energia potencial elétrica associada a um
sistema de duas cargas puntiformes numa situação A, como sen-
do o trabalho realizado pela força elétrica, para levar a carga de
prova do ponto onde se encontra até um ponto de referência.
É comum adotar-se como ponto de referência, um ponto
suficientemente afastado da carga fixa, de tal sorte que as ações
do campo sejam imperceptíveis.
Dizemos então, que o ponto encontra-se no infinito.
Desta forma temos:
(εp)A logo: (εp)A =
Como rPR → ϱ ⇒ → 0 e portanto:
De modo análogo: quando q estiver em B temos:
IV. TEOREMA DA ENERGIA POTENCIAL
Definida e calculada a energia potencial do sistema formado
por duas cargas puntiformes, podemos dizer que:
Ou seja,
O TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA ELÉTRICA
QUANDO SE DESLOCA NUM CAMPO ELÉTRICO UMA
CARGA DE UM PONTO A PARA UM PONTO B, É IGUAL
A ENERGIA POTENCIAL INICIAL MENOS A ENERGIA
POTENCIAL FINAL.
τ ε ε
Fe
A B
p
A
p
B→
= –
( )εp B
B
KQq
r
=
( )εp A
A
KQq
r
=
KQq
rPR
K QQq
r
K q
rA PR
−= →
τ
Fe
A PR
τ τFe
A C D B
Fe
C D
A B
KQq
r
KQq
r
→ → → →
= = −
τFe
C D
D
KQq
r
KQq
rC
→
= −
τ τF
A C D B
Fe
C D
e
→ → → →
=
τ τFe
A C
Fe
D B→ →
=
τ τ τ τFe
A C D B
Fe
A C
Fe
C D
Fe
D B→ → → → → →
= + =
τFe
A B
A B
K
Qq
r
K
Qq
r
→
= –
A
Bq
rA
rB
Q
ALFA-5 85015058 40 ANGLO VESTIBULARES
Aula 41
TRABALHO E ENERGIA NO CAMPO ELÉTRICO
A
B
Q
rA
rB
rC
rD
C
D
→
→ →
→ →
→
→ →
→ → →
→
→

4. Exercícios
1. Os pontos A, B e C estão no campo elétrico de uma carga
puntiforme Q fixa.
Para transportar uma carga de prova de A até B pela traje-
tória AB as forças elétricas realizam o trabalho τ. O trabalho
que realizariam para transportar a mesma carga, nas mes-
mas condições anteriores, ao longo da trajetória ACB, seria:
a) τ d) 2τ
b) τ e) τ/
c) 2τ
= ,
pois, τFelét.
A → B
não depende da trajetória.
2. Uma carga puntiforme de 15µC é fixada na origem de um
sistema cartesiano ortogonal imerso no ar.
Determinar:
a) a energia potencial do sistema quando se coloca no ponto A
(30cm, 0) uma carga de 10µC.
b) a energia potencial do sistema quando se coloca no
ponto B (30cm; 40cm) uma carga 10µC.
c) o trabalho realizado pela força elétrica quando se leva a
carga de A até B.
OB = ͌ʲ302ʲʲ+ 402ʲʲ
OB = 50cm
a) εA
p = ; mas rA = 30cm
então, εA
p =
εA
p = 4,5J
b) εB
p = ; mas rB = 50cm
então, εB
p =
εB
p = 2,7J
c) τFe
A → B
= εA
p
– εB
p
τFe
A → B
= 4,5 – 2,7
τFe
A → B
= 1,8 J
• Leia os itens 1 e 2, cap. 3.
• Resolva o exercício 11, série 3.
• Resolva o exercício 12, série 3.
• Resolva o exercício 17, série 3 e leia o texto abaixo do enunciado.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
Livro 2 — Unidade I
Caderno de Exercícios — Unidade VI
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
9 × 109 × 15 × 10–6 × 10 × 10–6
(5 × 10–1)
KQq
rB
9 × 109 × 15 × 10–6 × 10 × 10–6
(3 × 10–1)
KQq
rA
y (cm)
A(30, 0)
B(30, 40)
30 x (cm)
50
cm
Q = 15µC
y (cm)
A(30, 0)
B(30, 40)
30 x (cm)
50
cm
Q = 15µC
B(30, 40)
y(cm)
A(30, 0) x(cm)
Q = 15µC



τFelét.
A → B






τFelét.
A → B



2
33
A B
C
Q+
ALFA-5 85015058 41 ANGLO VESTIBULARES

5. I. INTRODUÇÃO
Em aulas anteriores, vimos que o vetor campo elétrico descre-
ve (sob o aspecto vetorial) um campo elétrico. Agora sabemos que
além da característica vetorial (forças nas cargas de prova) surge
também associado ao campo, uma característica escalar, (Energia
Potencial) quando se coloca na região uma carga de prova.
Há então a necessidade de se descrever o campo sob o aspecto
escalar. Faremos isso, definindo Potencial Elétrico de um ponto.
II. POTENCIAL ELÉTRICO DE UM PONTO
Seja A um ponto pertencente a um campo elétrico.
Se levarmos a A sucessivamente cargas de prova q1, q2 ... q.
Ao sistema se associarão as energias potenciais εp
1
, εp
2
... εp.
Verifica-se que a relação, , é uma cons-
tante característica do ponto. Definimos potencial elétrico de um
ponto de um campo elétrico como a energia potencial por unidade
de carga de prova colocada nesse ponto. Isto é:
e
III. UNIDADE DE POTENCIAL ELÉTRICO
Em homenagem ao físico Volta, denomina-se a relação
de volts. Abreviatura (V).
Um volt é o potencial elétrico de um ponto capaz de asso-
ciar ao sistema uma energia potencial de 1J se nele chegar uma
carga de 1C.
IV. POTENCIAL ELÉTRICO NUM CAMPO
DEVIDO A UMA CARGA PUNTIFORME
então:
V. TRABALHO NO CAMPO ELÉTRICO
VI. OBSERVAÇÕES RELATIVAS AO
POTENCIAL ELÉTRICO
• Potencial elétrico é grandeza escalar.
• A unidade de potencial no SI é o volt (V).
• Quando várias cargas criam campo em um ponto, o potencial
nesse ponto é a soma algébrica dos potenciais criados indivi-
dualmente pelas cargas.
• O potencial pode ser utilizado como grandeza auxiliar para o
cálculo da energia potencial e do trabalho no campo elétrico
como segue:
com U = VA – VB.
Exercícios
1. (UNESP) Na configuração de cargas abaixo, qual é a expres-
são que representa o potencial eletrostático no ponto P?
a) d)
b) e)
c)
V p = K + K
V p = ⇒ V p = – K
q
a
2
3
Kq – 3Kq
3a
–q
a
q
3a
+K
q
a
4
3
−K
q
a
2
3
–K
q
a
4
3
−K
q
a3
+K
q
a3
τ
Fe
A B
qU→
→
=
τ
Fe
A B
Aq B→
→
= ( – )V V
(εp)B = qVB(εp)A = qVA
τFe
A B
Aq B
→
= ( – )V V
τFe
A B
A B
q
KQ
r
KQ
r
→
=





 ⇒–
τFe
A B
A B
KQq
r
KQq
r
→
= ⇒–
τ ε εFe
A B
p
A
p
B→
= ⇒–
VA
A
KQ
r
=
V VA
p A
A
Aq
KQq
q r
= ⇒ =
( )ε
1
1
J
C
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]V VA
pA
A
q
J
C
= ⇒ =
ε
VB
p B
=
( )ε
q
VA
p A
=
( )ε
q
ε ε εp p p
q q q
1 2
1 2
= = L
ALFA-5 85015058 42 ANGLO VESTIBULARES
Aulas 42 e 43
POTENCIAL ELÉTRICO DE UM PONTO
2a a
+q –q P

6. 2. Considere que, no sistema de cargas da figura, Q = 2µC e
r = 1m.
Determine:
a) o potencial elétrico do ponto P.
b) o vetor campo elétrico no ponto P.
a) V p = K + K
∴ Vp = 0
b) •p E
•p E
E = K ∴ Ep = 2E = 2k
horizontal para direita
3. (Santa Casa-SP-Modificado) Nos pontos A e B existem cargas
fixas de +5␮C e –15␮C, entre os pontos M e N, um pe-
queno corpúsculo de carga elétrica +5mC pode se deslocar
segundo uma trajetória senoidal.
a) Determine o potencial elétrico dos pontos M e N, devido
às cargas fixas de A e B.
b) Determine o trabalho das forças elétricas no desloca-
mento do pequeno corpúsculo, entre os pontos M e N.
a) V M = – K ⋅
V M = (–10 × 10–6)
VM = –3 × 104 V
V N = (5 × 10–6 –15 × 10–6)
V N = (–10 × 10–6)
VN = –18 × 103 ⇒ VN = –1,8 × 104 V
b) τFelét.
M → N
= q (VM – VN)
= 5 × 10–3 (–3 × 104 + 1,8 × 104)
= 5 × 10–3 × (–1,2 × 104)
= –60J.
• Leia os itens 3 e 5, cap. 3.
• Resolva os exercícios 1 e 3, série 3.
• Leia os itens 4, 6 e 7 cap. 3.
• Resolva os exercícios 5 e 6, série 3.
• Resolva o exercício 7, série 3.
• Resolva os exercícios 4, 8 e 9, série 3.
AULA 43
AULA 42
Tarefa Complementar
AULA 43
AULA 42
Tarefa Mínima
Livro 2 — Unidade I
Caderno de Exercícios — Unidade VI
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
9 × 109
5
9 × 109
5
9 × 109
3
15 × 10–6
3
K ⋅ 5 × 10–6
3
A B
3m M
N
MN = 4m
3m
Q
r2
Q
r2
(–Q)
r
(+Q)
r
r
r
P+Q –Q
ALFA-5 85015058 43 ANGLO VESTIBULARES

7. I. LINHAS DE FORÇA — CONCEITO
Linhas de Força (LF) são linhas desenhadas de tal forma que:
a) a tangente, em qualquer ponto da linha, caracteriza a direção
do vetor E
→
.
b) a orientação da LF define o sentido do vetor E.
c) a densidade das LF numa dada região, dá uma idéia da intensi-
dade de E
→
, na região.
II. LINHAS DE FORÇA DOS CAMPOS
ELÉTRICOS MAIS COMUNS
III. SUPERFÍCIE EQUIPOTENCIAL
Superfície equipotencial, em um campo elétrico, é toda su-
perfície, nos pontos da qual o potencial elétrico é constante.
No campo de uma carga pontual Q, as superfícies equipo-
tenciais são esféricas e concêntricas com a carga (Fig. a seguir) da
expressão do potencial elétrico Vp = , os mesmos pontos
possuem mesmo potencial elétrico Vp devem estar à mesma dis-
tância r de Q.
No campo de uma carga puntiforme,
as superfícies equipotenciais são esféricas.
Note que:
As linhas de Força são perpendiculares às Superfícies
Equipotenciais.
Esta propriedade é válida em qualquer campo elétrico.
Num campo uniforme, as superfícies equipotenciais,
por serem perpendiculares às linhas de força, são planos parale-
los entre si (Fig. a seguir).
Num campo uniforme, as superfícies
equipotenciais são planas.
linha de
força
superfície
equipotencial
VA Ͼ VB Ͼ VC Ͼ VDVA VB VC VD
superfície
equipotencial
linha de força
VA
VB
VC
K
Q
r
⋅
ALFA-5 85015058 44 ANGLO VESTIBULARES
Aula 44
PROPRIEDADES GERAIS DOS CAMPOS ELÉTRICOS
+
+Q
+ –
–Q+Q
–
–Q
+
+Q
+
+Q
CAMPO ELÉTRICO
UNIFORME

8. Exercícios
1. A figura abaixo representa as linhas de força do campo ori-
ginado por duas cargas pontuais fixas nos pontos A e B.
Pode-se afirmar que:
a) QA é positiva e QB é negativa.
b) QB é positiva e QA é negativa.
c) tanto QA como QB podem ser positivas.
d) tanto QA como QB podem ser negativas.
e) nada que se afirmou é correto.
2. No exercício anterior sendo |QA| Ͼ |QB| a intensidade de
força elétrica:
a) aplicada em QB será maior que a aplicada em QA.
b) aplicada em QB será menor que a aplicada em QA.
c) aplicada em QA será igual à aplicada em QB.
d) não dependerá da distância entre elas.
e) nenhuma das anteriores é correta.
3. (FUVEST) A figura representa algumas superfícies equipo-
tenciais de um campo eletrostático e os valores dos potenciais
correspondentes.
a) Copie a figura, representando o vetor campo elétrico nos
pontos A e B.
b) Qual o trabalho realizado pelo campo para levar uma
carga q, de 2 × 10– 6 C, do ponto A ao ponto B?
a)
b) τFelét.
A → B
= q(VA – VB)
2 × 10–6 [20 – (–10)]
6 × 10–5J
• Leia os itens 1 a 6, cap. 4.
• Resolva os exercícios 1 e 2, série 4.
• Resolva os exercícios 10 e 13, série 3.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
Livro 2 — Unidade I
Caderno de Exercícios — Unidade VI
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
A
B
–10V –20V+10V+20V
EA
→
EB
→
0
A
B
–10V –20V+10V+20V
EA
→
EB
→
0
A
B
–10V –20V+10V+20V
A
QA QB
B
ALFA-5 85015058 45 ANGLO VESTIBULARES