Sistemas não estacionarios lei de fick

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – UFPR
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
SISTEMAS NÃO-ESTACIONÁRIOS
CURITIBA
MAIO/2017

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – UFPR
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
SISTEMAS NÃO-ESTACIONÁRIOS
CURITIBA
MAIO/2017

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1. Introdução
1.1 Situações de Interesse
Os processos em regime não-estacionários são todos aqueles em que as propriedades
do sistema em análise variam com o tempo. Independentemente do período de
interesse para a operação, seja estacionário ou transiente, é fato que todos os
processos passam por período transientes.
Para todos os casos, nota-se o regime transiente em condições de partida, parada ou
distúrbios, sendo de extrema importância estudá-las a fim de efetuar um reduzir os
riscos de processo e efetuar bom controle.
Do ponto de vista de processo,há casos em que a variação da propriedade com o tempo
é também o objetivo da operação. Nesse caso se enquadram algumas das operações
de transferência de massa, as reações químicas, ou ainda as alterações programadas,
quando há necessidade de produtos com diferentes propriedades (polímeros em geral),
em unidades multipropósito.
1.2 Estudo de caso
Como estudo de caso, o presente trabalho baseou-se nos problemas envolvendo
secagem, cuja propriedade transiente de interesse é a variação de umidade ao longo
do tempo.
A secagem é o tratamento de remoção da água ‘livre’ de uma substância e abrange os
fenômenos de transferência de calor e massa. Asua importância e justificativa se dá na
simplificaçãodo manuseio (carregamento,descarregamento, transporte pneumático) de
substâncias pulverulentas; para baixar o custo de transporte de matérias-primas; para
aumentar o valor de uma commodity ou para cumprir especificações a respeito da
matéria prima ou de um produto.
O fenômeno de secagem pode ser compreendido pelo âmbito da termodinâmica de
equilíbrio, pela cinética de secagem, e pelas leis de difusão de Fick.
Geralmente os teores de umidade das substâncias vegetais são elevadas e uma
quantidade significativa de água está retida no sólido. Além disso,há diminuição na taxa
de umidade ao longo do tempo, visto que as camadas mais externas secam mais
rapidamente, criando uma espécie de impermeabilidade do centro do grau com o meio.
Essas características implicam no fato de que a secagem desses compostos tem a
maior contribuição dada pela difusão do líquido através do sólido do que outras formas
de transferência de calor e massa.
Os fatos citados geram uma dificuldade nos modelos e equações governantes e na
literatura existem poucos dados referentes a valores de difusividade mássica em grãos,
especialmente para a soja. Neste contexto, situa-se o objetivo e a motivação da tese
objetivo de estudo.

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2. Metodologia
O objetivo do trabalho foi modelar o processo de secagem visando determinar os
parâmetros difusivos na secagem de soja.
Os experimentos de secagem foram desenvolvidos em leito fixo variando e monitorando
os seguintes parâmetros:
 Temperatura do ar de secagem;
 Variação de peso da amostra.
Nos experimentos realizados foram variadas:
 A umidade residual dos grãos;
 A temperatura do ar na entrada do secador.
Os resultados obtidos experimentalmente foram utilizados em um modelo matemático
que descreve o processo de migração de umidade através do interior do grão, obtendo-
se os valores de difusividade mássica efetiva.
3. Modelagem Matemática
Para a descrição da modelagem matemática, os grãos de soja foram considerados
como esferas homogêneas de raio R com volume igual ao volume real do grão. A
equação que governa a migração de umidade no interior do sólido é escrita em
coordenadas esféricas considerando que o fluxo por difusão ocorre somente na direção
radial:
𝝏𝑪 𝑨
𝝏𝒕
+ [
𝟏
𝒓 𝟐
𝝏
𝝏𝒓
(𝒓 𝟐
𝑵 𝑨,𝒓)] = 𝟎 Eq. (1)
onde CA é a concentração mássica de água na matriz sólida (kg de água.m-3
); t é o
tempo, r é a variável radial e NA,r é o fluxo de massa de água na direção radial.
A 1ª lei de Fick da difusão foi aplicada para o problema da transferência de massa na
direção radial através de uma matriz sólida e é representada pela seguinte equação:
𝑵 𝑨,𝒓 = −𝑫 𝒆𝒇𝒇
𝒅𝑪 𝑨
𝒅𝒓
Eq. (2)
onde Def f é a difusividade mássica efetiva da água através do grão de soja.
Assumindo que a difusividade efetiva independente do teor de umidade, logo
independente da variável r, a substituição da Eq. (2) na Eq. (1) fornece:
𝑫 𝒆𝒇𝒇
𝝏
𝝏𝒓
(𝒓 𝟐 𝝏𝑪 𝑨
𝝏𝒓
)=𝒓 𝟐 𝝏𝑪 𝑨
𝝏𝒕
Eq. (3)
A condição inicial e as condições de contorno são expressas por:
em t=0 para r < R CA = CA0
em r=R para t > 0 CA = CA1
em r=0 para t > 0
𝜕𝐶 𝐴
𝜕𝑟
| 𝑟=0 = 0 Eq. (4)
onde CAO é a concentração mássica inicial no grão.

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Na superfície do sólido, assume-se o como instantâneo o estabelecimento de equilíbrio
gás-sólido, sendo CA1 esta concentração de equilíbrio.
A solução da Eq. (3) com suas condições de contorno e condição inicial, representadas
na Eq. (4), fornece a seguinte solução particular:
𝑪 𝑨−𝑪 𝑨𝟏
𝑪 𝑨𝟎−𝑪 𝑨𝟏
=
𝟐𝑹
𝝅
∑
(−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒏𝒓
∞
𝒏=𝟏 𝐬𝐢𝐧
𝒏𝝅𝒓
𝑹
𝒆𝒙𝒑 [
−𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝑫 𝒆𝒇𝒇.𝒕
𝑹 𝟐
] Eq. (5)
Integrando a Eq. (5) para o volume do grão temos a massa de água contida no grão
para um dado tempo:
𝟔
𝝅 𝟐
∑ [
𝟏
𝒏 𝟐
𝒆𝒙𝒑 (−
𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝑫 𝒆𝒇𝒇.𝒕
𝑹 𝟐
)] − 𝒀 = 𝟎∞
𝒏=𝟏 Eq. (6)
onde
𝒀 = [
𝑴 𝑨̅̅̅̅̅− 𝑽.𝑪 𝑨𝟏
( 𝑪 𝑨𝟎− 𝑪 𝑨𝟏).𝑽
] Eq. (7)
Na Eq. (7) V é o volume da esfera e 𝑀𝐴
̅̅̅̅ é a massa de água no grão. A variável Y da Eq.
(6), definida na Eq. (7), representa a razão entre a massa de água removível existente
no grão para um dado tempo t e a massa de água total removível no tempo inicial.
Todos os parâmetros que compõe a variável Y são determinadas experimentalmente.
Conforme o artigo , com a utilização de dados experimentais, a Eq. (6) foi resolvida para
a determinação da difusividade mássica efetiva para cada ponto experimental, sendo
que este cálculo numérico foi realizado utilizando o aplicativo Matlab.
3. Experimento
Sistema de secagem de soja em leito fixo.
Figura 1. Representação esquemática do sistema de secagem.
Considerou-se a distribuição dos grãos de soja em um leito de 5 cm em um tubo acrílico
de 9,61 cm de diâmetro. Na base do leito foi insuflado uma corrente de ar, proveniente
do ventilador.

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Essa corrente de ar foi aquecida por resistências elétricas (simbolizado da figura 1) e a
temperatura dessa corrente de ar (corrente de secagem) foi medida por um termopar
acoplado próximo a entrada do leito.
A vazão do ar foi ajustada por um rotâmetro (aparelho medidor de vazão), e mantida em
190 L.min -1
.
O experimento foi conduzido considerando-se diferentes faixas de temperaturas, no
intuito de se verificar a influência desta no processo de secagem.
O diâmetro médio, considerado, das amostras do grão foi de 0,7 cm.
A evolução do processo de secagem dos grãos de soja foi monitorada através da
diferença de peso do leito medida em balança digital (com precisão de 0,01 g ao longo
do tempo).
4. Resultados e Discussão
Os experimentos foram realizados para diferentes amostras (amostra A, B, C, por
exemplo) de um mesmo lote de soja.
Para cada amostra determinou-se a umidade (base úmida), Ө1, isto é, o valor percentual
da razão entre a massa de água e a massa total da amostra. Este valor foi obtido por
análise gravimétrica secando os grãos em estufa a 105 °C até massa constante.
A concentração de equilíbrio CA1 foi calculada utilizando o valor da massa da amostra
obtida a partir da extrapolação das curvas de variação de massa versus tempo até um
valor constante de massa. A tabela 1 mostra os valores de cada amostra utilizada no
processo.
Tabela 1. Valores do teor de umidade inicial, da concentração de equilíbrio esta faixa de
temperatura para as 9 amostras.
Amostra Өi (%) CA1 (kg/m3
) Faixa de
Temperatura
A 12,3 53,6 60-65 ° C
B 12,3 54,6 60-65 ° C
C 11,8 24,6 60-65 ° C
D 11,8 23,4 60-65 ° C
E 11,8 24,4 60-65 ° C
F 11,1 17,6 60-65 ° C
G 11,1 21,4 60-65 ° C
H 11,1 42,0 40-55 ° C
I 11,1 25,8 50-55 ° C

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Figura 2. Variação de massa em função do tempo
A figura 2 representa a variação da massa da amostra em função do tempo para 5
experimentos (amostras A, C, F, H e I). Optou-se por plotar os resultados de apenas 5
amostras para que não houvesse acúmulo de curvas no gráfico.
Verifica-se a influência da condição de equilíbrio na taxa de secagem, na figura 2, uma
vez que os valores de massa constante são diferentes em cada experimento. Esses
valores dependem do ar de secagem (temperatura e teor de umidade).
Para eliminar a influência do ar de secagem traçaram-se, em função do tempo, as
curvas que representam a variação de Y (razão entre a massa de água removível
existente no grão (em um dado tempo t) e a massa total removível no tempo inicial).
Figura 3. Variação da razão Y (adimensional) em função do tempo para diferentes
amostras.
Com a figura 3 é possível observar agora que, todas as curvas têm decaimento com o
tempo praticamente igual, independentemente da amostra considerada.
Isso mostra que o processode secagem,sob o ponto de vista variação adimensional da
massa em relação ao conteúdo de umidade residual, é praticamente o mesmo para
cada amostra.

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De posse desses resultados, verifica-se, então, a estimação da difusividade mássica
efetiva (ou simplesmente, difusividade), objeto do presente trabalho.
Para encontrar a difusividade determinou-se o valor da variável Y para cada uma das 9
amostras.
Com o software Matlab, aplicando a equação 6, determinou-se a difusividade para cada
ponto experimental, isto é, para cada curva na figura 3, foi obtido um conjunto de valores
de difusividade e para cada conjunto determinou-se uma difusividade mássica efetiva
média ponderada no intervalo de tempo. Esses valores médios de difusividade estão
apresentados na tabela 2.
Tabela 2. Valores de difusividade mássicaefetiva médios ponderados no tempo para as
9 amostras.
Amostra Deff x 10 11
m2
. s-1
A 5,4
B 6,2
C 5,8
D 6,0
E 6,6
F 7,1
G 7,9
H 5,9
I 6,1
Para comparar os resultados experimentais com os valores obtidos da difusividade
determinada pela estimação (a partir da curva de secagem experimental), simulou-se o
comportamento do processo de secagem utilizando os valores de Def f da tabela 2.
Os resultados dessa comparação são apresentados na figura 4 e 5, considerando as
amostras A e H, respectivamente.
Figura 4. Variação de massa de água no grão em função do tempo, experimental e
simulada, para a amostra A.

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Figura 5. Variação de massa de água no grão em função do tempo, experimental e
simulada, para a amostra H.
Analisando essas figuras, observou-se que o modelo matemático de secagem utilizado,
que considera Def f constante, não representa adequadamente o processo, pois a curva
experimental e a curva da simulação não coincidem.
Ainda, para melhor visualização dos efeitos da concentração de equilíbrio sobre a
difusividade, agruparam-se as amostras A e B, as amostras C, D e E e as amostras F e
G. Os valores estão apresentados na tabela 3 com a média aritmética da difusividade
do grupo.
Tabela 3. Valores concentração de equilíbrio e de difusividade mássica efetiva médios
para os grupamentos.
Amostra CA1 (kg/m3
) Deff x 10 11
m2
. s-1
A e B 54,2 5,8
C, D e E 24,1 6,1
F e G 19,5 7,4
Analisando a tabela 3, verifica-se que a concentração de equilíbrio diminui e a
difusividade aumenta. Confirma-se esse efeito pela variação de difusividade ao longo
da secagem, cujos valores aumentam à medida que a concentração de água no grão
diminui.
Também, para analisar o efeito da temperatura do ar de secagem sobre o processo de
secagem, os experimentos foram realizados em diferentes faixas de temperatura. Os
resultados estão apresentados na tabela 4. As amostras selecionadas foram escolhidas
por apresentarem o mesmo teor de umidade inicial.
Tabela 4. Valores da difusividade médios em função da temperatura
Amostra Temperatura Deff x 10 11
m2
. s-1
H 40-45 ° C 5,9
I 55-55 °C 6,1
F e G 60-65 °C 7,4

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A partir dos valores da Tabela 4, observa-se que a difusividade tem uma tendência a
aumentar com o aumento de temperatura, o que já era esperado.
Com relação ao efeito da umidade do grão sobre o processo de secagem, foram
realizados experimentos utilizando-se amostras umidificadas para comparação com
amostras não umidificadas. Os valores foram apresentados na tabela 5.
Tabela 5. Valores do teor de umidade inicial, da concentração de equilíbrio e da faixa
de temperatura para as 3 amostras umidificadas.
Amostra Өi (%) CA1 (kg/m3
) Temperatura Deff x 10 11
m2
. s-1
J 21,8 65,8 60-65 °C 6,1
K 20,2 32,8 60-65 °C 7,2
L 19,3 31,5 40-45 ° C 5,9
Um aspecto importante foi observado no gráfico, da figura 6, da variação da massa de
água no grão em uma das amostras umidificadas em função do tempo: as curvas
experimentais se sobrepõem quase que totalmente, fator que não ocorre com as
amostras não umidificadas.
Portanto, demonstra-se a adequação do modelo Def f constante para descrever o
comportamento do processo de secagem de grãos umidificados. Entretanto, no caso da
difusividade, esta não apresenta diferença significativa daqueles obtidos para grãos não
umidificados.
Figura 6. Variação de massa de água no grão em função do tempo para amostra L
(umidificada)

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5. Conclusões
O trabalho teve comoobjeto a determinação dos valores de difusividade mássicaefetiva
para o processo de secagem (migração de umidade) de grãos de soja. Com dados
experimentais, aplicando modelo de difusão para difusividade constante, foram obtidos
valores médios de difusividade mássica efetiva para diferentes concentrações de
equilíbrio e diferentes faixas de temperaturas do ar de secagem.
Comprovou-se que as difusividades mássicas efetivas não são constantes durante o
experimento, pois aumenta à medida que se reduz a concentração média de água no
grão e com o aumento da temperatura do ar de secagem.
Os grãos umidificados apresentaram comportamentos diferentes do comportamento
dos grãos não umidificados, pois a difusividade é praticamente constante durante o
processo de secagem, mesmo assim, os valores de difusividade não apresentaram
diferenças significativas daqueles obtidos para grãos não umidificados.

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6. Referências Bibliográficas
BRINQUES, G. B.; MARCZAK, L. D. F.; WADA, K.; TESSARO, I. C.; Estudo Teórico –
Experimental da secagem de grãos de soja em leito fixo. Congresso Brasileiro de
Engenharia e Ciências Térmicas, Caxambu - MG, v. 9, out/2002.
INCROPERA, FRANK P.; DEWITT, DAVID P.; Fundamentos de Transferência de Calor
e Massa. 4ª Edição, LTC Editora. (INCROPERA e DEWITT, 1988)