Este documento resume uma questão matemática sobre desigualdades postada na lista da PUC-Rio. A questão prova que a desigualdade 1/15<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)<1/10 é válida através de manipulações algébricas que comparam os termos da desigualdade com frações maiores e menores.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE:
QUESTÕES PUC-RIO - DESIGUALDADE
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. No post de hoje compartilharei uma questão de desigualdade publicada na
lista PUC-RIO.
Introdução

3. QUESTÃO:
Prove a desigualdade:
1/15<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)<1/10

4. SOLUÇÃO:
Ou então,
P = (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)
Q = (2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(100/101)
Claramente, P < Q ==>
P^2 < PQ = 1/101 ==>
P < 1/raiz(101) < 1/raiz(100) = 1/10

5. Por outro lado,
R = (1/2)*(2/3)*(4/5)*...* (98/99), de modo que:
P > R ==>
P^2 > PR = (1/2)*(1/100) = 1/200 ==>
P > 1/raiz(200) > 1/raiz(225) = 1/15
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200511/msg00175.html