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Sum
I FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
1. CÁLCULO DIFERENCIAL
1.1. Definição de função e gráfico
1.2. Funções exponencial e logarítmica
POLITÉCNICO DO PORTO
INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DO PORTO

I FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
1. CÁLCULO DIFERENCIAL
1.1. Definição de função e gráfico
Def. Uma função é uma correspondência entre
dois conjuntos, não vazios, tal que a todo o
elemento (objeto) do primeiro conjunto faz
corresponder um e um só elemento do segundo
(imagem).

x
x
é
Exemplos:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Não é
é
Não é

Def. O 1.º conjunto diz-se domínio da função, D, e
o 2.º conjunto chama-se conjunto de chegada
Def. Ao conjunto das imagens chama-se
contradomínio da função, D’, está contido no
conjunto de chegada
Def. Uma função diz-se real de variável real (f.r.v.r.)
quando o seu domínio é um subconjunto do dos
números reais e o conjunto de chegada é 
f: D D’
x | y=f(x)
x – variável independente
y – variável dependente
f(x) – expressão designatória

Def. função injetiva
Def. função sobrejetiva quando o contradomínio
coincide com o conjunto de chegada
f: D D’
x | y=f(x)
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
  
Def. função bijetiva quando é simultaneamente
injetiva e sobrejetiva. Logo admite inversa
f : D’ D
x | y=f (x)
1

1


Exemplos:
0
( ) º
f x c n
 
Função constante
D  
x
O
y
y=3
y=-1

Exemplos:
1 0
( )
f x c x c mx b
   
Função linear ou afim
D  
x
y
O
y=x
y=2x-4

Exemplos:
2 2
2 1 0
( )
f x c x c x c ax bx c
     
Função quadrática
D  
Todas as funções apresentadas são funções
polinomiais
2
2 1 0
( ) n
n
f x c x c x c x c
    


Exemplos:
( ) exp
k
f x ressão

Função irracional
 
: D( ) 0
D x x
  

Exemplos:
Função racional
( )
( )
( )
N x
f x
D x

Se k é ímpar
Se k é par  
: exp 0
D x ressão
  

D  

Agora pode fazer o exercício 1 das “Folhas de Exercícios”
Se acha que precisa de complementar o seu estudo use o livro:
Dowling, E.T., “Cálculo para Economia, Gestão e Ciências
Sociais”, McGraw-Hill, 1994. (Colocação na Biblioteca do ISCAP:
330.4 DOWe)
Cap.3: 3.1 a 3.3 (pg91-95) Pbs Resolvidos pg100-106.

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_1314865303&featur
e=iv&index=1&list=PLklmjWbEq3izkAS89ZNYGdPGCIb8GtLko&src_vid=C6
_y5XsGCY4&v=b9qbYXBJy9E frvr aula 1 (33:54)
https://www.youtube.com/watch?v=jIkbYcm-
txA&list=PLklmjWbEq3izkAS89ZNYGdPGCIb8GtLko&index=2 frvr aula 2
(35:13)
https://www.youtube.com/watch?v=CBYWZ0BXHcY&index=3&list=PLklmjW
bEq3izkAS89ZNYGdPGCIb8GtLko frvr aula 3 (34:10)
https://www.youtube.com/watch?v=FR6LivBAWvo&index=4&list=PLklmjWbE
q3izkAS89ZNYGdPGCIb8GtLko frvr aula 4 (29:01)
https://www.youtube.com/watch?v=r-
PKXaE3QQg&list=PLklmjWbEq3izkAS89ZNYGdPGCIb8GtLko&index=5~
frvr aula 5 (17:22)
https://www.youtube.com/watch?v=7uWdS0YxDz8&list=PLklmjWbEq3izkAS8
9ZNYGdPGCIb8GtLko&index=7 frvr aula 7 (10:55)
https://www.youtube.com/watch?v=mGF89fepXMc&index=10&list=PLklmjWb
Eq3izkAS89ZNYGdPGCIb8GtLko frvr aula 10 (15:26)
https://www.youtube.com/watch?v=53tbLYxuJiE ex (3:37)
https://www.youtube.com/watch?v=KzIUO5OYgU4&list=PLklmjWbEq3iw
LmA3Gr6F1LyiRRFPitgAy&index=1 ex (5:48)
Ou assista aos vídeos:

1.2. Funções exponencial e logarítmica
: ]0, [
( ) exp( ) x
f
x f x x e
 
 


2,71 ..
828.
e 
onde e é o número de Neper dado por:
       








x
y
FUNÇÃO EXPONENCIAL
lim 0
x
x
e
 

lim x
x
e
 
 
0
1
e 

1
1
:]0, [
( ) ln( )
f
x f x x


 



FUNÇÃO LOGARÍTMICA
       








x
y
0
lim ln( )
x
x

 
lim ln( )
x
x
 
 
ln(1) 0

ln( ) 1
e 
ln( ) log( )
x x


ln( )
e 
 
ln( ) y
y x e x
  
Pode-se então escrever que
e que ln(e ) 


ln( )
x
y e y x
  

) ln( 1) 7
a x  
Exemplos: resolver as equações em ordem a x
5
) 4
x
b e 
7
1
x e
  
7
1
x e
  
5
ln( ) ln(4)
x
e
 
5 ln(4)
x
 
ln(4)
5
x
 
ln( 1) 7
x
e e

 

1.ln(xy) ln(x) ln(y)
P  
Propriedades dos logaritmos
x
2.ln ln(x) ln(y)
P
y
 
 
 
 
y
3.ln(x ) ln(x)
P y


Nome f(x) Domínio
Polinomial IR
Racional
Irracional Se k é ímpar D=IR
Se k é par
Exponencial IR
Logarítmica

Def. uma função, f, atinge um máximo relativo no
ponto de abcissa a, se
(a) ( ),
f f x x I D
  
Def. uma função, f, atinge um mínimo relativo no
ponto de abcissa a, se
(a) ( ),
f f x x I D
  

Def. uma função, f, diz-se crescente se
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
  
Def. uma função, f, diz-se decrescente se
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
  
Def. zeros de uma função, f, são os pontos onde o
gráfico da função interseta o eixo OX, ou seja,
( ) 0 ...
y f x x
   

Agora pode fazer os exercícios 2 a 8 das “Folhas de Exercícios”
Se acha que precisa de complementar o seu estudo use o livro:
Dowling, E.T., “Cálculo para Economia, Gestão e Ciências
Sociais”, McGraw-Hill, 1994. (Colocação na Biblioteca do ISCAP:
330.4 DOWe)
Cap.7:7.1 a 7.5 (pg241-245) Pbs Res. pg255 ex7.8, p256 ex7.10, pg257
ex7.14,7.15, pg258 ex7.17, 7.18
Já começou a fazer o seu formulário?

Ou assista aos vídeos:
MATEMÁTICA100 STRESS: INTRODUÇÃO DO CÁCULO
DIFERENCIALÁLCULO http://www.opened.ipp.pt/m100s
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=7C0POP3XGRK&LIST=PLKLMJW
BEQ3IZXRGBDU8IEXQGJIUHY3OTG F EXP E LOG AULA 1 (13:35)
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=4YLRUTDI-
84&LIST=PLKLMJWBEQ3IZXRGBDU8IEXQGJIUHY3OTG&INDEX=2 F EXP E
LOG AULA 2 (16:15)
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=PS189XRC028&INDEX=3&LIST=P
LKLMJWBEQ3IZXRGBDU8IEXQGJIUHY3OTG F EXP E LOG AULA 3 (10:36)
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=-
M4FUK44YR0&LIST=PLKLMJWBEQ3IZXRGBDU8IEXQGJIUHY3OTG&INDEX
=4 F EXP E LOG AULA 4 (9:08)
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=SZOCSESHTBQ&INDEX=5&LIST
=PLKLMJWBEQ3IZXRGBDU8IEXQGJIUHY3OTG F EXP E LOG AULA 5
(18:10)
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=88FSK8A-
A0E&INDEX=6&LIST=PLKLMJWBEQ3IZXRGBDU8IEXQGJIUHY3OTG F EXP
E LOG AULA 6 (21:32)

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