dizimas

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1 - Dízimas periódicas
Há frações que não possuem representações decimais exata. Por exemplo:
...8333,0
6
5
=
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos,
dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente,
constituem o período dessa dízima.
As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.
Dízimas periódicas simples são aquelas que o período apresenta-se logo após a vírgula.
Exemplos:
a) 0,8888.... período = 8
b) 1,232323... período = 23
c) -4,08508508... período = 085
Dízimas periódicas compostas são aquelas que entre o período e a vírgula existe uma
parte não periódica.
Exemplos:
a) 0,3424242... Não período = 3
período = 42
b) 1,789999... Não período = 78
período = 9
c) – 45,0933... Não período = 09
período = 3
Observações:
1) Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o
período. Excluímos, portanto da parte não periódica o inteiro.
2) Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
* 0,555... ou 5,0
* 0,1232323... ou 231,0
Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

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Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem:
* numerador = o período;
* denominador = tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
a)
9
4
...444,0 =
b)
11
6
99
54
...54545,0 ==
c)
99
142
99
43
1...43434,1 ==
d)
33
95
33
29
2
99
87
2...8787,2 −=−=−=−
Dízima Composta:
A geratriz de uma dízima composta é uma fração com as seguintes características:
a) numerador = parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica;
b) denominador = tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos
zeros quanto forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
495
62
990
124
990
1125
...1252525,0 ==
−
=
900
43
900
04047
...0477777,0 =
−
=
b) 1,64444...
<>
c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)
<>

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d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)
Por que dá certo?
Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na
escola:
Chama-se a fração geratriz de x:
x= 1,6444....
Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte
decimal
<>
E subtraem-se as duas igualdades
Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos,
achando-se a fração geratriz.
Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação:
164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.
No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a
mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:
<
>
<>

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