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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E CONVERSÃO
Material elaborado por Leandro Costa Coelho ( leandrocosta2@gmail.com ) para a disciplina de Tópicos Avançados ( TAV )
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO




Atualmente, o sistema de numeração decimal é o sistema mais importante e mais
utilizado por nós, seres humanos, para a representação de quantidades em geral,
sendo este reconhecido universalmente.

No mundo da computação, os sistemas digitais operam com mais de um sistema de
numeração ao mesmo tempo, onde o mais utilizado é o sistema binário.

Tendo em vista esta interoperabilidade de sistemas, esta aula visa apresentar os
sistemas de numeração utilizados no mundo computacional e demonstrar, através
de cálculos matemáticos, como efetuar a conversão de uma determinada base para
outra, tendo sempre como base intermediária, a base decimal.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO



Dentro do mundo computacional, os sistemas de numeração utilizados atualmente
são esses: decimal, binário, octal e o hexadecimal. Então, vamos conhecer cada um
deles...
                                                                                 Tabela de Valores
                        Decimal – Base 10
  Sistema no qual possui 10 algarismos para representá-lo, que      Decimal   Binário          Octal   Hexadecimal
  são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
                                                                      0         0                0         0

                                                                      1         1                1         1
                         Binário – Base 2                             2         10               2         2
  Sistema no qual possui 2 algarismos para representá-lo, que
                                                                      3         11               3         3
  são estes: 0 e 1.
                                                                      4        100               4         4

                                                                      5        101               5         5
                          Octal – Base 8
                                                                      6        110               6         6
  Sistema no qual possui 8 algarismos para representá-lo, que
  são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.                                  7        111               7         7

                                                                      8        1000             10         8

                      Hexadecimal – Base 16                           9        1001             11         9
  Sistema no qual possui 16 algarismos para representá-lo, que        10       1010             12         A
  são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.
                                                                      11       1011             13         B
  Equivalências: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15.
                                                                      12       1100             14         C

                                                                      13       1101             15         D
                       Observações Gerais
                                                                      14       1110             16         E
  Reparem que o maior algarismo de um sistema de numeração
  sempre será ( base – 1 ).                                           15       1111             17          F
CONVERSÃO ENTRE BASES
CONVERSÃO ENTRE BASES
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO




Agora que já conhecemos cada uma das bases e suas respectivas particularidades,
passemos a parte que aborda sobre os cálculos matemáticos utilizados para
converter uma base numérica em outra.

Cabe lembrar que será utilizado o sistema de numeração decimal ( base 10 ) como
base intermediária entre as converções numéricas, mas que existem métodos de
conversão direta como, por exemplo, de octal para binário etc., que não serão
abordados aqui, mas que seria interessante se você, aluno, se aprofundasse neles.

Então, vamos ao que interessa...
CONVERSÃO BINÁRIO >>> DECIMAL
CONVERSÃO ENTRE BASES ( BINÁRIO >>> DECIMAL )
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO



A conversão binário >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do número
binário pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando
que a base do número binário é 2.

Ex: 101102 => ______ 10


                                       24     23        22      21       20
                                        1     0         1        1        0



Em seguida, efetuamos o cálculo:

                                  1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 22

                                                   101102 => 2210
CONVERSÃO DECIMAL >>> BINÁRIO
CONVERSÃO ENTRE BASES ( DECIMAL >>> BINÁRIO )
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO



A conversão decimal >>> binário consiste em dividir o número decimal pela base 2, obtendo um resultado
e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos um
resultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo o
primeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.


Ex: 2210 => ______ 2

                                          22      2
                                          02      11     2
                                              0   1      5    2
                                                         1    2     2
                                                              0     1   Resultado da última divisão
             Sequência dos números
              Sentido: ascendente


  Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o
  resultado: 10110

                                                       2210 => 101102
CONVERSÃO OCTAL >>> DECIMAL
CONVERSÃO ENTRE BASES ( OCTAL >>> DECIMAL )
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO



A conversão octal >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do número octal
pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando que a
base do número octal é 8.

Ex: 6278 => ______ 10


                                                 82       81       80
                                                  6       2        7



Em seguida, efetuamos o cálculo:

                                              6 * 82 + 2 * 81 + 7 * 80 = 407

                                                      6278 => 40710
CONVERSÃO DECIMAL >>> OCTAL
CONVERSÃO ENTRE BASES ( DECIMAL >>> OCTAL )
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO



A conversão decimal >>> octal consiste em dividir o número decimal pela base 8, obtendo um resultado e
um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos um resultado
que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo o primeiro
dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.


Ex: 40710 => ______ 8

                                              407   8
                                              7     50    8
                                                    2     6         Resultado da última divisão
                  Sequência dos números
                   Sentido: ascendente




  Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o
  resultado: 627

                                              40710 => 6278
CONVERSÃO HEXADECIMAL >>> DECIMAL
CONVERSÃO ENTRE BASES ( HEXADECIMAL >>> DECIMAL )
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO



A conversão hexadecimal >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do
número hexadecimal pela base elevada ao expoente de sua colocação no número,
lembrando que a base do número hexadecimal é 16.

Ex: CF8016 => ______ 10
                                                                               OBS: Não esqueça de
                                                                             transformar as letras em
                                              163    162     161    160             números!
                                              12     15       8         0    A = 10 | B = 11 | C = 12
                                                                             D = 13 | E = 14 | F = 15


Em seguida, efetuamos o cálculo:

                                12 * 163 + 15 * 162 + 8 * 161 + 0 * 160 = 53120

                                                    CF8016 => 5312010
CONVERSÃO DECIMAL >>> HEXADECIMAL
CONVERSÃO ENTRE BASES ( DECIMAL >>> HEXADECIMAL )
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO



A conversão decimal >>> hexadecimal consiste em dividir o número decimal pela base 16, obtendo um
resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos
um resultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo
o primeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.


Ex: 5312010 => ______ 16                                                   OBS: Não esqueça de
                                                                        transformar os números em
                                                                                  letras!
                                      53120   16
                                         51   3320   16                   A = 10 | B = 11 | C = 12
                                                                          D = 13 | E = 14 | F = 15
                                         32   120    207    16
   Sequência dos números
                                         00    8     47     12
    Sentido: ascendente                                                 Resultado da última divisão

                                          0          15



  Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o
  resultado: CF80

                                              5312010 => CF8016
CONCLUSÃO
CONCLUSÃO
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO




Agora que você já conheceu cada uma das bases numéricas, suas
respectivas particularidades e aprendeu como é o processo de conversão
entre elas, você está pronto para seguir para os próximos slides e fazer
alguns exercícios, que abordam o conteúdo aprendido nesta aula e que lhe
ajudarão a fixar bem o mesmo.

Então, vamos ao que interessa...
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO




                                              Converta as Bases Numéricas




  5010 => ______ 2                                          7510 => ______ 2
  1100112 => ______ 10                                      10012 => ______ 10


  29610 => ______ 8                                         100010 => ______ 8
  1428 => ______ 10                                         77658 => ______ 10


  22310 => ______ 16                                        1688910 => ______ 16
  7A216 => ______ 10                                        FADA16 => ______ 10
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO




                                                               Livros




                                                              Internet
  1. André Garcia, Professor – Apostila de Técnicas Digitais -
     http://www.tecmos.com.br/APOSTILA%20%20%20DE%20T%C9CNICAS%20DIGITAIS.doc

  2. Wikipedia – Conversão entre Sistemas Numéricos -
     http://pt.wikipedia.org/wiki/Convers%C3%A3o_entre_sistemas_num%C3%A9ricos




                                                           Outros Materiais

  1. Márcio Gonçalves, Professor – Notas de Aula – Matéria Arquitetura de Computadores I – IST-RIO / 2004

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Sistemas de Numeração e Conversão de Bases

  • 1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E CONVERSÃO Material elaborado por Leandro Costa Coelho ( leandrocosta2@gmail.com ) para a disciplina de Tópicos Avançados ( TAV )
  • 3. INTRODUÇÃO Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO Atualmente, o sistema de numeração decimal é o sistema mais importante e mais utilizado por nós, seres humanos, para a representação de quantidades em geral, sendo este reconhecido universalmente. No mundo da computação, os sistemas digitais operam com mais de um sistema de numeração ao mesmo tempo, onde o mais utilizado é o sistema binário. Tendo em vista esta interoperabilidade de sistemas, esta aula visa apresentar os sistemas de numeração utilizados no mundo computacional e demonstrar, através de cálculos matemáticos, como efetuar a conversão de uma determinada base para outra, tendo sempre como base intermediária, a base decimal.
  • 5. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO Dentro do mundo computacional, os sistemas de numeração utilizados atualmente são esses: decimal, binário, octal e o hexadecimal. Então, vamos conhecer cada um deles... Tabela de Valores Decimal – Base 10 Sistema no qual possui 10 algarismos para representá-lo, que Decimal Binário Octal Hexadecimal são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 0 0 0 0 1 1 1 1 Binário – Base 2 2 10 2 2 Sistema no qual possui 2 algarismos para representá-lo, que 3 11 3 3 são estes: 0 e 1. 4 100 4 4 5 101 5 5 Octal – Base 8 6 110 6 6 Sistema no qual possui 8 algarismos para representá-lo, que são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 7 111 7 7 8 1000 10 8 Hexadecimal – Base 16 9 1001 11 9 Sistema no qual possui 16 algarismos para representá-lo, que 10 1010 12 A são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. 11 1011 13 B Equivalências: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15. 12 1100 14 C 13 1101 15 D Observações Gerais 14 1110 16 E Reparem que o maior algarismo de um sistema de numeração sempre será ( base – 1 ). 15 1111 17 F
  • 7. CONVERSÃO ENTRE BASES Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO Agora que já conhecemos cada uma das bases e suas respectivas particularidades, passemos a parte que aborda sobre os cálculos matemáticos utilizados para converter uma base numérica em outra. Cabe lembrar que será utilizado o sistema de numeração decimal ( base 10 ) como base intermediária entre as converções numéricas, mas que existem métodos de conversão direta como, por exemplo, de octal para binário etc., que não serão abordados aqui, mas que seria interessante se você, aluno, se aprofundasse neles. Então, vamos ao que interessa...
  • 9. CONVERSÃO ENTRE BASES ( BINÁRIO >>> DECIMAL ) Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO A conversão binário >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do número binário pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando que a base do número binário é 2. Ex: 101102 => ______ 10 24 23 22 21 20 1 0 1 1 0 Em seguida, efetuamos o cálculo: 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 22 101102 => 2210
  • 11. CONVERSÃO ENTRE BASES ( DECIMAL >>> BINÁRIO ) Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO A conversão decimal >>> binário consiste em dividir o número decimal pela base 2, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos um resultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente. Ex: 2210 => ______ 2 22 2 02 11 2 0 1 5 2 1 2 2 0 1 Resultado da última divisão Sequência dos números Sentido: ascendente Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o resultado: 10110 2210 => 101102
  • 13. CONVERSÃO ENTRE BASES ( OCTAL >>> DECIMAL ) Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO A conversão octal >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do número octal pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando que a base do número octal é 8. Ex: 6278 => ______ 10 82 81 80 6 2 7 Em seguida, efetuamos o cálculo: 6 * 82 + 2 * 81 + 7 * 80 = 407 6278 => 40710
  • 15. CONVERSÃO ENTRE BASES ( DECIMAL >>> OCTAL ) Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO A conversão decimal >>> octal consiste em dividir o número decimal pela base 8, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos um resultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente. Ex: 40710 => ______ 8 407 8 7 50 8 2 6 Resultado da última divisão Sequência dos números Sentido: ascendente Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o resultado: 627 40710 => 6278
  • 17. CONVERSÃO ENTRE BASES ( HEXADECIMAL >>> DECIMAL ) Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO A conversão hexadecimal >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do número hexadecimal pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando que a base do número hexadecimal é 16. Ex: CF8016 => ______ 10 OBS: Não esqueça de transformar as letras em 163 162 161 160 números! 12 15 8 0 A = 10 | B = 11 | C = 12 D = 13 | E = 14 | F = 15 Em seguida, efetuamos o cálculo: 12 * 163 + 15 * 162 + 8 * 161 + 0 * 160 = 53120 CF8016 => 5312010
  • 18. CONVERSÃO DECIMAL >>> HEXADECIMAL
  • 19. CONVERSÃO ENTRE BASES ( DECIMAL >>> HEXADECIMAL ) Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO A conversão decimal >>> hexadecimal consiste em dividir o número decimal pela base 16, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos um resultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente. Ex: 5312010 => ______ 16 OBS: Não esqueça de transformar os números em letras! 53120 16 51 3320 16 A = 10 | B = 11 | C = 12 D = 13 | E = 14 | F = 15 32 120 207 16 Sequência dos números 00 8 47 12 Sentido: ascendente Resultado da última divisão 0 15 Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o resultado: CF80 5312010 => CF8016
  • 21. CONCLUSÃO Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO Agora que você já conheceu cada uma das bases numéricas, suas respectivas particularidades e aprendeu como é o processo de conversão entre elas, você está pronto para seguir para os próximos slides e fazer alguns exercícios, que abordam o conteúdo aprendido nesta aula e que lhe ajudarão a fixar bem o mesmo. Então, vamos ao que interessa...
  • 23. EXERCÍCIOS Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO Converta as Bases Numéricas 5010 => ______ 2 7510 => ______ 2 1100112 => ______ 10 10012 => ______ 10 29610 => ______ 8 100010 => ______ 8 1428 => ______ 10 77658 => ______ 10 22310 => ______ 16 1688910 => ______ 16 7A216 => ______ 10 FADA16 => ______ 10
  • 25. BIBLIOGRAFIA Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO Livros Internet 1. André Garcia, Professor – Apostila de Técnicas Digitais - http://www.tecmos.com.br/APOSTILA%20%20%20DE%20T%C9CNICAS%20DIGITAIS.doc 2. Wikipedia – Conversão entre Sistemas Numéricos - http://pt.wikipedia.org/wiki/Convers%C3%A3o_entre_sistemas_num%C3%A9ricos Outros Materiais 1. Márcio Gonçalves, Professor – Notas de Aula – Matéria Arquitetura de Computadores I – IST-RIO / 2004