O documento discute os conceitos fundamentais da análise combinatória, incluindo permutações, arranjos, combinações e contagem. Fornece exemplos de problemas e soluções usando essas técnicas.

1. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a parte da
matemática que estuda as técnicas gerais de
contagem de certos tipos de subconjuntos de um
conjunto finito, sem que seja necessário enumerar
seus elementos (contagem indireta).
Vale salientar que a análise combinatória
trata de vários outros tipos de problemas e dispõe,
além das combinações, arranjos e permutações, de
diversas técnicas para enfrentá-los. Entretanto essas
técnicas estão fora do nosso objetivo de estudo.
A solução de um problema combinatório
exige quase sempre engenhosidade e compreensão
plena da situação descrita pelo problema. Portanto,
antes de tudo, é necessário formular exemplos sobre
a situação exigida e, a partir daí, usar as técnicas de
contagem para encontrar a solução.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Considere uma ação composta em duas
etapas. Se a primeira etapa pode ser feita de m
modos e, se para cada um desses modos, a segunda
etapa pode ser feita de n modos, então o total de
modos a se realizar a ação é m.n.
obs.: Essa ação pode ser composta de mais etapas.
Vamos resolver!
01. Numa sala há 2 homens e 3 mulheres. De
quantos modos e possível selecionar um casal
homem-mulher?
02. Para fazer uma viagem Petrolina – Fortaleza –
Petrolina, posso usar como transporte o trem, o
ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher
os transportes se não desejo usar na volta o mesmo
meio de transporte usado na ida?
03. Quantos números naturais de três algarismos
existem no sistema de numeração decimal? E com
os algarismos necessariamente distintos, qual será a
resposta do problema?
04. (UFPE) Um fazendeiro dispõe de um terreno
dividido em regiões, como na figura abaixo, e
pretende cultivá-las de forma que as regiões com
uma fronteira comum tenham plantios diferentes. De
quantas formas ele pode fazer o plantio se pode
optar entre milho, feijão, soja, arroz e trigo para
cultivar?
A) 120
B) 24
C) 48
D) 64
E) 60
05. (UFAL/07) Considere o conjunto A, formado
pelos algarismos de 0 a 9, e analise as afirmações
que seguem.
0 0 - Com os elementos de A é possível escrever
32 542 números de 5 algarismos distintos
entre si.
1 1 - De todos os números de 4 algarismos distintos
entre si, que podem ser escritos com os
elementos de A, 3 120 são pares.
2 2 - De todos os números de 3 algarismos distintos
entre si, que podem ser escritos com os
elementos de A, 176 são menores do que 350.
3 3 - Com os elementos ímpares de A é possível
escrever exatamente 60 números de
3 algarismos distintos entre si.
4 4 - De todos os números de 3 algarismos distintos
entre si, que podem ser escritos com os
elementos de A, 150 são divisíveis por 5.

2. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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FATORIAL
Dado um número natural n (n ≥ 2), define-se
fatorial de n o produto dos fatores naturais,
sucessivos e decrescentes de n até 1.
Representamo-lo por n!.
Para os casos n = 0 e n = 1, temos:
Exemplos
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
8! = 8.7! = 8.5040 = 40320
Cuidado!
2! + 3! ≠ 5! 5!.2! ≠ 10! 8! ÷ 2! ≠ 4! (3²)! ≠ (3!)²
Podemos representar um produto em forma
de fatorial, veja!
06. Simplifique:
a)
10!
12!
b)
4!.10!
14!
c)
( )
( )!1n
!n!2n
+
++
ARRANJO SIMPLES
Dado um conjunto E com n elementos,
chama-se arranjo simples dos n elementos de E
tomados p a p, a todo subconjunto ordenado de E
com p elementos distintos (0 < p ≤ n; n, p ∈ Ν).
Dados n elementos distintos , o
número de modos de ordena-los p a p é:
07. (IME) Sendo e n ≥ 7, determinar
y em função de n. (n é inteiro positivo)
08. (UEFS/04) Uma senha deve ser formada,
escolhendo-se 4 algarismos de 0 a 9, sem que haja
algarismos repetidos. Portanto, o número máximo de
senhas que satisfazem a essa condição é:
A) 840
B) 1210
C) 3420
D) 5040
E) 6100
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutação simples de n elementos (n ≥ 2 e
n ∈ N) é qualquer arranjo simples de n elementos
tomados n a n.
Dados n elementos distintos ,
o número de modos de ordená-los é:

3. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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09. Quantos são os anagramas da palavra:
a) BRASIL?
b) Quantos desses anagramas começam por vogal e
terminam por consoante?
10. (UECE/06) Seja P o conjunto cujos elementos
são números inteiros positivos com cinco dígitos
obtidos com as permutações dos algarismos 2, 3, 4,
8 e 9. Se dispomos os elementos de P em ordem
crescente, o número de ordem de 43928 é:
A) 58
B) 57
C) 59
D) 60
11. (EN) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se
todos os números de 5 algarismos distintos.
Determine a soma de todos eles.
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
O número de permutações de n elementos
(n∈Ν e n ≥ 2 ) dos quais α são iguais x1, β iguais a
x2, ..., λ iguais xn, onde α + β +…λ = n, é:
12. Quantos são os anagramas da palavra:
a) CAMA
b) BATATA
13. (UNEB) Um anagrama de uma palavra é
qualquer ordenação de suas letras. O número de
anagramas da palavra BAHIA é:
01) 150
02) 60
03) 80
04) 120
05) 30
14. Um homem encontra-se no ponto A como mostra
a figura. Ela só pode dar um passo de cada vez (da
esquerda para a direita ou de baixo para cima). Por
quatro caminhos ele pode optar para chegar ao ponto
B, saindo de A?
B
A
A) 24
B) 120
C) 126
D) 9!
E) 13!

4. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Cada uma das maneiras distinta de dispor
n (n ≥ 2) elementos em torno de um círculo é
denominada permutação circular dos n elementos, e
o total desses agrupamentos é indicado por:
15. (OSEC) O número de maneiras de 4 pessoas se
sentarem ao redor de uma mesa circular é:
A) 16
B) 24
C) 8
D) 6
E) n.d.a.
16. (UFC) De quantas maneiras diferentes pode-se
colocar seis pessoas sentadas ao redor de uma
mesa de forma circular se duas delas devem ficar
sempre juntas?
COMBINAÇÃO SIMPLES
Dado um conjunto E com n elementos,
chama-se combinação simples dos n elementos de
E tomados p a p, a todo subconjunto de E com p
elementos distintos (0 ≤ p ≤ n ; n,p ∈ Ν).
Dados n elementos distintos ,
o número de combinações simples desses n
elementos tomados p a p é:
17. (UNEB/09) Sobre uma circunferência, foram
marcados 5 pontos distintos. Com base na
informação, pode-se concluir que o número de
triângulos que podem ser formados, tendo esses
pontos como vértice, é igual a
01) 8
02) 9
03) 10
04) 11
05) 12
18 Uma mini-loto consiste num jogo em que o cartão
de aposta possui dez números (00-01-02-...-09) e o
apostador deve marcar nesse cartão quatro número
distintos. Quantos cartões distintos podem ser
jogados na mini-loto?
19. (UFBA) Sobre duas retas paralelas e distintas, r
e s, são marcados cinco e três pontos distintos.
Determine quantos triângulos poderão ser formados
tendo como vértices três dos pontos considerados.
20. (UPE) Uma empresa tem doze diretores, entre os
quais Júnior, Daniela e Maria Eduarda. Quantas
comissões de seis diretores podem ser formadas,
sempre contendo Júnior, Daniela e Maria Eduarda
como membros?
A) 48
B) 84
C) 112
D) 108
E) 104
21. (UNIVASF/05) O gerente de uma empresa dispõe
de 10 funcionários, dentre eles Carlos e Paulo. O
número de comissões de 6 funcionários que poderão
ser formados a partir desses 10 funcionários e que
não terão Carlos e Paulo juntos na mesma comissão
será
A) 28
B) 84
C) 112
D) 140
E) 210

5. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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22. (ITA/06) Considere uma prova com 10 questões
de múltipla escolha, cada questão com 5
alternativas. Sabendo que cada questão admite uma
única alternativa correta, então o número de formas
possíveis para que um candidato acerte somente 7
das 10 questões é:
A) 4
4
.30
B) 4
3
.60
C) 5
3
.60
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
A combinação com repetição de n
elementos tomados p a p é dada pela expressão:
onde Cn + p -1, p é a combinação simples de n + p – 1
elementos tomados p a p.
23. Mostre, através da fórmula de combinação com
repetição, que o número de peças do jogo de
dominó é 28.
24. (UFPE) Semelhante ao dominó, mas feito de
pedras triangulares eqüiláteras, o jogo de trominó
apresenta na face triangular superior um certo
número de pontos com repetições, escolhidos de 1 a
n, dispostos ao longo de cada aresta (ver
figura). Quantas peças há no trominó, supondo n =
6?
25. (ITA) Quantas são as soluções inteiras e não
negativas da equação x + y + z + w = 5 ?
A) 36
B) 48
C) 52
D) 54
E) 56
26. (UFBA/06) Durante uma reunião, ocorreu uma
divergência quanto à formação de uma comissão
gestora, a ser escolhida entre os presentes. Um
grupo defendia uma comissão com três membros,
sendo um presidente, um vice-presidente e um
secretário. Outro grupo queria uma comissão com
três membros sem cargos definidos. A primeira
alternativa oferece 280 possibilidades de escolha
mais que a segunda. Determine o número de
pessoas presentes à reunião, sabendo-se que esse
número é maior que 5.

6. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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RESOLVA EM CASA!
27. Atualmente as placas dos veículos são formadas
por três letras seguidas de quatro algarismos.
Considerando estas informações, calcule o numero
de placas distintas que podem ser fabricadas,
iniciadas pelas letras HUW, nesta ordem, e cujo
último algarismo seja impar.
A) 3600 D) 10001
B) 5000 E) n.r.a
C) 10000
28. (UFC) Quantos são os anagramas da palavra
AMOR em que a primeira letra não é A, a segunda
não é M a terceira não é O e a quarta não é R?
29. (UNIFOR) Com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7,
podemos construir:
I. x números de 3 algarismos distintos;
II. y números de 4 algarismos;
III. z números pares de 4 algarismos distintos;
O valor de x + y + z é igual a:
A) 913 D) 2971
B) 1890 E) 3401
C) 1997
30. Com os dígitos 3, 4, 5, e 6 quantos números de 3
algarismos, divisíveis por 5, podemos formar?
A) 6 D) 24
B) 9 E) n.r.a
C) 16
31. Um botão de um cofre tem os números 00, 01,
02, ..., 97, 98, 99. O segredo dele é uma seqüência
de 4 números do botão. O número total dos possíveis
é igual a:
A) 10
4
D) 10
7
B) 10
5
E) 10
8
C) 10
6
32. Seja n o total de números naturais divisíveis por
4 e de cinco dígitos, que se pode formar com os
algarismos 1, 2, 3, ,4 ,5 e 6. O valor de n/36 é igual a:
A) 54 D) 90
B) 64 E) n.r.a
C) 84
33. Dez diretores de uma empresa são candidatos
aos cargos de presidente e vice-presidente da
mesma. Quantos são os possíveis resultados da
eleição?
A) 100 D) 70
B) 90 E) 60
C) 80
34. (UFPI) Todos os números de telefone de certa
cidade têm sete algarismos e os dois algarismos
iniciais são ou dois-zero ou três-zero. Quantos
números de telefone tem essa cidade, no máximo?
A) 100 000 D) 729 000
B) 200 000 E) 2 000 000
C) 590 490
35. Se , então A n,2 é igual a:
A) 30 D) 72
B) 42 E) 90
C) 56
36. (UFPB) Observe o código abaixo + * * + + + * * +
* .Trata-se de uma seqüência de 10 sinais que
podem ser + ou *. O número de códigos distintos que
podem ser formados com 10 sinais usando os tipos
acima (+ ou *) é:
A) 10
10
D) 1024
B) 10! E) 100
C) 4096
37. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Quantos números naturais com algarismos distintos
existem entre 500 e 1000?
A) 504 D) 120
B) 729 E) 60
C) 280
38. Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,3,4,5,6,7,8} e
f: A → B tais que f é uma função injetiva. O número
de funções injetivas f de A em B é igual a:
A) 2520 D) 120
B) 16807 E) 5040
C) 14287

7. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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39. (UCSal) Sejam dados A, B, C, D ,E e F vértices
de um hexágono regular, e o ponto x, centro da
circunferência circunscrita a esse hexágono. O
número de triângulos que podem ser formados, com
vértices nos sete pontos dados, é:
A) 210 D) 32
B) 207 E) 20
C) 35
40. (ITA) O número de anagramas da palavra
VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco
vogais juntas, é:
A) 12! D) 12! – 8!
B) (8!)(5!) E) 12! – (7!)(5!)
C) 12! – (8!)(5!)
41. Quantos números impares podemos formar
permutando os algarismos 2, 3, 4, 6, 7 e 9?
A) 120 D) 1440
B) 360 E) 2880
C) 720
42. Quantos são os anagramas da palavra
RAPADURA?
A) 3360 D) 6720
B) 40320 E) 336
C) 12
43. (UNICAMP) O mapa de uma parte de uma cidade
é mostrado logo abaixo, com os quadrados
representando os quarteirões e seus lados as ruas,
que são todas de mão dupla. A área vazia no mapa
representa uma praça que os carros não podem
atravessar. Quantas são as maneiras de um
motorista ir do cruzamento A para o cruzamento B se
ele deseja percorrer a menor distância possível?
44. (UCSal) O Clube Náutico do Preguiçosos tem
895 sócios e suas carteirinhas são numeradas assim:
000, 001, 002, ..., 894, 895. Quantas são as
carteirinhas em cujo número não há algarismo
repetido?
A) 710 D) 646
B) 694 E) 612
C) 648
45. Considere o conjunto A = {1,2,3,4,5,6}. Quantos
são os subconjuntos de A que possuem 4 elementos
distintos?
A) 30 D) 45
B) 15 E) 64
C) 60
46. (ENEM/05) A escrita Braile para cegos é um
sistema de símbolos no qual cada caráter é um
conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular,
dos quais pelo menos um se destaca em relação aos
demais. Por exemplo, a letra A é representada por
O número total de caracteres que podem ser
representados no sistema Braile é
A) 12 D) 63
B) 31 E) 720
C) 36
47. (UFC) Sobre uma reta r, marcam-se 6 pontos
distintos e sobre outra reta, paralela a primeira,
marcam-se 5 pontos distintos. Desse modo usando
esses pontos como vértices podem ser construídos n
triângulos e m quadriláteros. O valor de m – n é igual
a:
A) 15 D) 60
B) 30 E) 75
C) 45
48. (UNEB/09) A quantidade de maneiras distintas
que 4 moças e 4 rapazes podem se sentar em uma
fila de 8 assentos, de modo que nunca haja nem dois
rapazes vizinhos e nem duas moças sentadas uma
ao lado da outra, é igual a
01) 2304 04) 380
02) 1152 05) 256
03) 576
49. Em um grupo de 15 pessoas existem 5 médicos,
7 engenheiros e 3 advogados. Quantas comissões
podemos formar, cada qual constituída de 2 médicos,
2 engenheiros e 1 advogado?
A) 240 D) 630
B) 420 E) 890
C) 540
50. Com os dígitos 1,2,3,4,5,6 e 7 de quantas formas
podemos permutá-los de modo que os números
ímpares fiquem sempre em ordem crescente?
A) 840 D) 420
B) 720 E) 210
C) 600

8. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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51. (UNICAP) Qual o número de soluções inteiras e
positivas da equação x + y + z = 8 ?
52. (UNEB) A quantidade de número múltiplos de 4,
com 4 algarismos distintos, que se pode formar com
os elementos do conjunto A = {1, 2, 3 4, 6} é igual
01) 12 04) 26
02) 18 05) 36
03) 24
53. (UFPE) Seja A um conjunto com 3 elementos e B
um conjunto com 5 elementos. Quantas funções
injetoras de A em B existem?
54. (UNEB/06) Com 8 flores distintas sendo 3 alvas e
5 rubras, um artesão vai arrumar um ramalhete
contendo 6 dessas flores, em que, pelo menos, uma
seja alva. Com base nessas informações, pode-se
afirmar que o número máximo se ramalhetes distintos
que ele pode confeccionar é igual a
01) 3 04) 18
02) 10 05) 28
03)15
55. (UPE/03) Uma loja de departamentos utiliza para
identificar os cartões de seus clientes especiais um
código formado por duas vogais distintas e quatro
dígitos diferentes, sendo que o dígito das unidades é
sempre zero. Nestas condições, podemos afirmar
que o número de clientes especiais que a loja pode
cadastrar é:
A) 10800 D) 80010
B) 10080 E) 81000
C) 80100
56. (UNICAP) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4,
Pascal formou n números pares e positivos com
quatro dígitos distintos. Determine n.
57. (UFBA) Determine quantos número pares
formados por três algarismos distintos escolhidos
entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 se podem formar, de modo
que a soma dos algarismos seja par.
58. (UNICAP) Em uma reunião, todos os presentes
se cumprimentaram, perfazendo um total de 91
cumprimentos. Quantas pessoas estavam na
reunião?
59. (UFPE) Com vértices em 10 pontos escolhidos
numa circunferência constroem-se todos os
polígonos convexos possíveis. Indique a soma dos
dígitos do número de tais polígonos.
60. (UNICAP) Quantos números inteiros, maiores
que 2400 podemos escrever com os dígitos 1, 2, 3 e
4, sem repetição?
61. (UPE) Um grupo de pessoas é composto de 7
rapazes e 5 moças. Desejando-se formar equipes de
6 pessoas, de modo que cada equipe não tenha mais
rapazes do que moças, obtém-se:
I II
0 0 462 equipes.
1 1 350 equipes como o número de rapazes igual
ao número de moças.
2 2 262 equipes.
3 3 162 equipes.
4 4 112 equipes com mais moça do que rapazes.
62. (UnB) Seja u o último algarismo da soma
1! + 2! + 3! + ... + 99!.
Se P(x) = x
5
– 3x
3
– 6x
2
– 12x+ 1, então P(u) é igual
a:
A) 70 D) 73
B) 71 E) 74
C) 72
63. (UEFS) A quantidade de números inteiros x,
formados pelos algarismos 0,1,3,4,5, sem repeti-los,
tais que 100 < x < 1000 e, x é múltiplo de 5, é igual a:
A) 21 D) 120
B) 24 E) 125
C) 40
64. (UEFS) Para elaborar uma prova, pretende-se
criar uma comissão entre os 7 professores de
matemática de uma escola. O número de
possibilidades para formar essa comissão, de modo
que ela contenha, pelo menos, dois professores, é
igual a:
A) 42 D) 150
B) 120 E) 210
C) 128
65. (UNEB) A Seleção Brasileira de Basquetebol
feminino deve ser escalada a partir de um conjunto
de 8 jogadoras, entre elas Marta e Paula. O número
de maneiras que a escala pode ser feita, sabendo-se
que a seleção atua com 5 atletas e que Marta e
Paula devem sempre ser escaladas, é:

9. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
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66. (UNEB) Um empresário, visando proteger o
sistema de segurança de sua firma, deseja criar
senhas constituídas de seqüências de quatro dígitos
distintos, sendo os dois primeiros vogais e os dois
últimos algarismos. O número de senhas distintas, do
tipo descrito, que podem ser formadas é igual a:
01) 180 04) 1600
02) 200 05) 1800
03) 800
67. (UNEB) Oito pontos são marcados sobre um
círculo. O número de triângulos inscritos nesse
círculo,com vértices nesses pontos, é:
01) 24 04) 65
02) 48 05) 336
03) 56
68. (UEFS) Duas irmãs possuem 4 saias e 3 blusas.
O número de maneiras distintas que elas podem
vestir é:
01) 12 04) 144
02) 24 05) 14472
03) 72
69. (PUC-SP) O novo sistema de placas de veículos
utiliza um grupo de 3 letras (dentre as 26) e um grupo
de 4 algarismos (por exemplo: ABC - 1023). Uma
placa dessas será “palíndroma” se os dois grupos
que a constitui forem “palíndromos”. O grupo ABA é
palíndromo, pois as leituras da esquerda para a
direita e da direita para a esquerda são iguais; da
mesma forma, o grupo 1331 é “palíndromo”. Quantas
placas “palíndromas”, distintas, poderão ser
constituídas?
70. (UNEB/05) Colocando-se em ordem crescente
todos os números inteiros de cinco algarismos
distintos formados com os elementos do conjunto
{2, 4, 5, 6, 7}, a posição do número 62754 é a
01) 56ª 04) 87ª
02) 64ª 05) 91ª
03) 78ª
71. (UEFS) O número de anagramas da palavra
FEIRA, em que nem duas vogais podem estar juntas
nem duas consoantes, é igual a
A) 10 D) 24
B) 12 E) 25
C) 18
72. (UEFS/06)
A figura ilustra um bloco de um código de barras
utilizado por uma empresa para cadastrar os preços
dos produtos que comercializa. Cada bloco é
formado por 12 barras verticais separadas por 11
espaços podendo ser usadas barras de três larguras
distintas e espaços de duas larguras distintas.
Nessas condições, o número máximo de preços que
podem ser cadastrados através desse sistema é:
A) 3
12
.2
11
D) 3 + 6
11
B) 12
3
.11
2
E) 3
12
+ 6
11
C) 12
3
+ 11
2
73. (UFC/05) Considere o octaedro ABCDEF,
representado ao lado. Nele, um besouro se desloca
ao longo de suas arestas, do ponto A ao ponto F, de
modo que não passa por qualquer dos vértices mais
de uma vez. De quantos modos diferentes ele pode
fazer isso?
74. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre
análise combinatória, é verdade:
(01) Podem-se escrever 24 números pares,
compreendidos entre 99 e 1000, com os
algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los.
(02) Um grupo de turistas tem 30 maneiras diferentes
de escolher 3 roteiros de passeios distintos,
dentre os 10 oferecidos por uma agência.
(04) Uma pessoa tem 24 opções para ir da cidade A
para a cidade B, passando pelas cidades C, D, E
e F.
(08) Se Cm, 3 – Cm, 2 = 0, então m ∈ [5, 7].
(16) Se 20
x!
2)!(x
=
+
, então x é um número par.

10. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
10
75. (IME) Quantos retângulos há na figura?
76. (UFPE) De quantas formas podemos escolher,
sem considerar a ordem, dois naturais distintos no
conjunto (1, 2, 3, 4, ....., 20) de forma que sua soma
seja múltiplo de 3?
77. (UFBA) No conjunto N* existem x números
menores que 1000, com todos os algarismos
distintos. Calcule x/18.
78. (PUC RS/07) Com 8 frutas diferentes, o número
de saladas que podem ser feitas contendo
exatamente 3 dessas frutas é
A) 24 D) 112
B) 54 E) 336
C) 56
79. (EXPCEX/06) Um tabuleiro possui 16 casas
dispostas em 4 linhas e 4 colunas. De quantas
maneiras diferentes é possível colocar 4 peças iguais
nesse tabuleiro de modo que, em cada linha e em
cada coluna, seja colocada apenas uma peça?
A) 4096 D) 64
B) 576 E) 16
C) 256
80. (EXPCEX/07) A equipe de professores de uma
escola possui um banco de questões de matemática
composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre
circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras
distintas a equipe pode montar uma prova com 8
questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências
e 3 de retas?
A) 80 D) 640
B) 96 E) 1280
C) 240
81. (EXPCEX/08) Num determinado setor de um
hospital, trabalham 4 médicos e 8 enfermeiras. O
número de equipes distintas, constituídas cada uma
de 1 médico e 3 enfermeiras, que podem ser
formadas nesse setor é de
A) 60 D) 1344
B) 224 E) 11880
C) 495
82. (FUVEST/07) Em uma classe de 9 alunos, todos
se dão bem, com exceção de Andréia, que vive
brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será
constituída uma comissão de cinco alunos, com a
exigência de que cada membro se relacione bem
com todos os outros. Quantas comissões podem ser
formadas?
A) 71 D) 83
B) 75 E) 87
C) 80
83. (ENEM/08) O jogo-da-velha é um jogo popular,
originado na Inglaterra. O nome “velha” surgiu do fato
de esse jogo ser praticado, à época em que foi
criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades
de visão e não conseguiam mais bordar. Esse jogo
consiste na disputa de dois adversários que, em um
tabuleiro 3×3, devem conseguir alinhar verticalmente,
horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato
idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da
peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez,
em qualquer casa do tabuleiro, e passa a vez para o
adversário. Vence o primeiro que
alinhar 3 peças. No tabuleiro
representado ao lado, estão
registradas as jogadas de dois
adversários em um dado
momento. Observe que uma das
peças tem formato de círculo e a
outra tem a forma de um xis.
Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de
que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza
os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima
jogada, esse jogador pode posicionar a peça no
tabuleiro de
A) uma só maneira.
B) duas maneiras distintas.
C) três maneiras distintas.
D) quatro maneiras distintas.
E) cinco maneiras distintas.
84. (CEFET SP/07) Em uma classe com 20 alunos,
sendo 15 homens e 5 mulheres, um professor propôs
as seguintes regras para divisão dos alunos em
duplas:
– as mulheres não podem fazer duplas entre si;
– Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos;
– Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos.
O número de maneiras diferentes de formar as
duplas na sala, atendendo todas as regras do
professor, é igual a
A) 142. D) 284.
B) 168. E) 312.
C) 226.

11. ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR CARLOS CLEY
11
85. (UECE/08.1- 2ª fase) Assinale a alternativa na
qual se encontra a quantidade de modos distintos em
que podemos dividir 15 jogadores em 3 times de
basquetebol, denominados Vencedor, Vitória e
Confiança, com 5 jogadores cada.
A) 3003 D) 756756
B) 9009
C) 252252
86. (UESB/06) O número máximo de anagramas da
palavra UESB que não apresentam as duas vogais
juntas é
01) 6 04) 18
02) 8 05) 24
03) 12
87. (MACK/08)
Ao utilizar o caixa eletrônico de um banco, o usuário
digita sua senha numérica em uma tela como mostra
a figura. Os dez algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) são
associados aleatoriamente a cinco botões, de modo
que a cada botão correspondam dois algarismos,
indicados em ordem crescente. O número de
maneiras diferentes de apresentar os dez algarismos
na tela é
A) 5
/210! D) .5!25
B)
5
10!
E)
2
10!
C) !5.25
88. (UNIVASF/09 – 2ª fase) Em uma festa, cada um
dos participantes cumprimenta cada um dos demais,
uma vez. Se o número de cumprimentos entre dois
homens foi 21, e entre duas mulheres foi 45; quantos
foram os cumprimentos entre um homem e uma
mulher?
89. (UFC/08 – 2ª fase) Considere o conjunto de
dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) Dentre todos os números naturais com quatro
dígitos que se pode formar utilizando somente
elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4.
b) Dentre todos os números naturais com três dígitos
distintos que se pode formar utilizando somente
elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 3.
90. (UFC/09 – 2ª fase) Uma comissão de 5 membros
será formada escolhendo-se parlamentares de um
conjunto com 5 senadores e 3 deputados. Determine
o número de comissões distintas que podem ser
formadas obedecendo à regra: a presidência da
comissão deve ser ocupada por um senador, e a
vice-presidência, por um deputado (duas comissões
com as mesmas pessoas, mas que a presidência ou
a vice-presidência sejam ocupadas por pessoas
diferentes, são consideradas distintas).
91. (UESB/07) A Câmara Municipal de um pequeno
município tem exatamente 13 vereadores, sendo que
8 apóiam o prefeito e os demais são da oposição.
Uma comissão constituída de 3 vereadores da
situação e 4 da oposição será escolhida. Com base
nessas informações, pode-se afirmar que o número
de comissões distintas do tipo descrito é igual a
01) 280 05) 5
02) 140 04) 56
03) 120
92. (IME/08) De quantas maneiras n bolas idênticas
podem ser distribuidas em três cestos de cores
verde, amarelo e azul?
A) 




 +
2
2n
D) ( )!3n −
B) 





3
n
E) n
3
C) n!/3!
93. (UFRN/08) Arranjam-se os dígitos 1, 2, 3 e 4 de
todos os modos possíveis, formando-se 24 números
de 4 dígitos distintos. Listam-se, em ordem
crescente, os 24 números formados. Nessa lista, o
número 3.241 ocupa a
A) 14ª posição. D) 15ª posição.
B) 13ª posição.
C) 16ª posição.
GABARITO – RESOLVA EM CASA
27 B 41 B 55 B 69 ** 83 B
28 09 42 A 56 12 70 03 84 A
29 D 43 262 57 42 71 B 85 D
30 C 44 D 58 14 72 A 86 02
31 E 45 B 59 05 73 28 87 A
32 A 46 D 60 14 74 13 88 70
33 B 47 A 61 * 75 210 89 ***
34 D 48 02 62 73 76 64 90 300
35 C 49 D 63 21 77 41 91 01
36 D 50 E 64 B 78 C 92 A
37 C 51 21 65 05 79 B 93 C
38 A 52 05 66 05 80 C
39 D 53 60 67 03 81 B
40 C 54 05 68 03 82 A
*35 – V,V,F,F,V **43 – 676 000 ***89 – a) 324 b) 48