O documento discute conceitos fundamentais da cinemática dos fluidos, incluindo: (1) a cinemática estuda o movimento dos fluidos sem considerar as forças; (2) escoamento é o movimento das moléculas de um fluido; (3) campos de velocidade descrevem como parâmetros como velocidade variam no espaço e tempo.

1. Fenômenos de Transporte I

2. Fundamentos da Cinemática dos
fluidos.
ASSUNTO

3. O que estuda a Cinemática?
• A cinemática dos fluidos estuda o movimento dos
fluidos em termos dos deslocamentos, velocidades e
acelerações, sem levar em conta às forças que o
produzem;

4. Escoamento
•Definição:
Processo de movimentação das
moléculas de um fluido, umas em
relação às outras e aos limites
impostos

5. Escoamentos
• Os escoamentos são descritos por:
–Parâmetros físicos
–Pelo comportamento destes
parâmetros ao longo do espaço e do
tempo;

6. Campo de velocidade
A representação dos parâmetro de um fluido escoando em função
das suas coordenadas espaciais é denominada representação do
campo de escoamento. Uma das variáveis mais importantes é a
velocidade de um campo de escoamento, cuja forma geral é
     ktzyxwjtzyxvitzyxuV

,,,,,,,,, 

7. Exemplo 1 - Campo de velocidade
O campo de velocidade de um escoamento é dado por
Onde x, y e z. São medidos em metros. Determine a velocidade do
fluido na origem (x = y = z = 0) e no eixo y, (x = z = 0).

8. z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
a














Em coordenadas cartesianas:













































z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
Dt
Dw
a
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
Dt
Dv
a
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
Dt
Du
a
z
y
x
aceleração
local
aceleração
convectiva
Aceleração de uma partícula fluida

9. Aceleração de uma partícula fluida
O termo é chamado de aceleração local e encerra os
efeitos da transitoriedade do escoamento.

10. Aceleração de uma partícula fluida
A aceleração convectiva está relacionada com a variação dos
parâmetros devido à convecção, ou movimento da partícula no
campo de escoamento no qual há um gradiente deste parâmetro.

11. Aceleração de uma partícula fluida

12. Considere o campo de escoamento bidimensional, e em regime
permanente, cujo campo de velocidade é dado por
Determine o campo de aceleração deste escoamento.
Exemplo 2 – Aceleração de uma partícula

13. Métodos para o estudo da cinemática
dos fluidos
• Método de Lagrange
• Método de Euler

14. Método de Lagrange
• Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-
a em sua trajetória real;
• O movimento do fluido é descrito pela especificação dos
parâmetros necessários em função do tempo:
– Pressão, p = p(t);
– Velocidade, V = V(t);
– Massa específica, ρ = ρ(t);
– Posição, P = P(x,y,z,t)
• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;
• Para a engenharia normalmente não interessa o
comportamento individual da partícula e sim o
comportamento do conjunto de partículas no processo de
escoamento.

15. Método de Euler
• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma
seção ou volume de controle no espaço e considerar
todas as partículas que passem por este local;
• O movimento do fluido é descrito pela especificação dos
parâmetros necessários em função das coordenadas
espaciais:
– Pressão, p = p(x,y,z,t);
– Velocidade, V = V(x,y,z,t);
– Massa específica, ρ = ρ(x,y,z,t).
• Informações sobre o escoamento a partir de pontos
fixos em instantes diferentes.
• Método preferencial para estudar o movimento dos
fluidos: praticidade.

16. Medições em escoamentos: Euleriano vs. Lagrangiano

17. Método de Euler
• O termômetro instalado perto da abertura indicaria a temperatura
de diversas partículas em instantes diferentes.Assim, obtém-se a
variação da temperatura,T, nesse ponto, em função de suas
coordenadas e do tempo, t.
• Vários termômetros instalados em pontos fixos do escoamento
forneceria seu campo de temperatura.
Método de Lagrange
• Um termômetro seria instalado em uma partícula fluida e, assim,
registraria sua temperatura ao longo do movimento, isto é, T =T(t).
• Um conjunto de dispositivos para medir a variação da temperatura
de várias partículas forneceria a história da temperatura do
escoamento. Isto só seria possível se a localização de cada partícula
fosse conhecida em função do tempo.
Campo de velocidade: Euleriano vs. Lagrangiano

18. Campo de velocidade: Euleriano vs. Lagrangiano
EULERIANO LAGRANGIANO

19. Definições Importantes
• Trajetória
• Linha de Corrente (Linha de fluxo)
• Tubo de corrente
• Linha de emissão (filetes)

20. Trajetória
• Linha traçada por uma dada partícula ao longo
de seu escoamento. É um conceito Lagrangeano
e pode ser visualizada a partir de uma fotografia
de longa exposição.
X
y
z
Partícula no instante t1
Partícula no instante t2
Partícula no instante t3

21. Linha de Corrente
• Linha imaginaria que tangencia os vetores velocidade
de diversas partículas, umas após as outras
• Duas linhas de corrente não podem se interceptar (o
ponto teria duas velocidades) e nenhuma massa
atravessa as linhas de corrente
X
y
z
Partícula 1
no instante t
Partícula 2
no instante t
Partícula 3
no instante t
v1
v2
v3

22. Vista Lateral aerodinâmica externa do NissanAzeal. Linhas de corrente no plano
mostrando a velocidade e o caminho da circulação do ar ao longo do automóvel.
Linha de Corrente

23. Tubo de Corrente
• No interior de um fluido
em escoamento existem
infinitas linhas de
corrente definidas por
suas partículas fluidas
• A superfície imaginaria
constituída pelas linhas
de corrente formada no
interior do fluido é
denominada de tubo de
corrente ou veia líquida

24. Linha de Emissão (filete)
• Linha definida pela
sucessão de partículas
que tenham passado
pelo mesmo ponto;
• A pluma que se
desprende de uma
chaminé permite
visualizar de forma
grosseira uma linha de
emissão;
Ponto de
Referência

25. • Classificação Geométrica;
• Classificação quanto à variação no tempo
• Classificação quanto ao movimento de rotação
• Classificação quanto à trajetória (direção e
variação)
Classificação do Escoamento

26. Em geral, um campo de velocidade de um escoamento é
tridimensional, ou seja:
• Escoamento Tridimensional:
As grandezas que regem o escoamento variam nas três
dimensões.
•Escoamento Bidimensional:
As grandezas do escoamento variam em duas dimensões ou são
tridimensionais com alguma simetria. Se u >> w e v >> w, então,
temos um escoamento bidimensional.
•Escoamento Unidimensional:
São aqueles que se verificam em função das linhas de corrente
(uma dimensão). Se u >> v e u >> w, então, temos um escoamento
unidimensional
Classificação Geométrica do
Escoamento

27. • Quanto à variação no tempo:
– Permanente:
As propriedades médias estatísticas das partículas
fluidas, contidas em um volume de controle
permanecem constantes, para um determinado
ponto.
– Não Permanente (transitório)
Quando as propriedades do fluido num
determinado ponto variam com o tempo;
Classificação do Escoamento

28. Escoamento: Permanente e Não Permanente
Dependência com o Tempo
Não Permanente Permanente
0
t


0
t




29. Para os campos de velocidades dados a seguir, determine:
a) Se o campo do escoamento é uni, bi, ou tridimensional;
b) Se o escoamento é permanente ou não;
(considere que a e b são constantes)
Exemplo 3 – Classificação de
Escoamentos

30. • Quanto ao movimento de rotação:
– Rotacional: A maioria das partículas desloca-se
animada de velocidade angular em torno de seu
centro de massa;
– Irrotacional: As partículas se movimentam sem
exibir movimento de rotação
Classificação do Escoamento*

31. • Quanto à compressibilidade:
– Compressível: as propriedades do fluido variam
conforme a posição da partícula;
– Incompressível: as propriedades não mudam
com a posição.
Escoamento nos quais as variações de massa especifica são desprezíveis
são denominados incompressíveis; quando essas variações são
consideráveis o escoamento é dito compressível. A maioria dos
escoamentos de líquidos é essencialmente incompressível. Embora a
maior parte dos escoamentos gasoso seja compressível, nos casos da
velocidade do escoamento (V) ser pequena em relação a velocidade do
som no fluido (c), ele pode ser considerado incompressível; quando o
número de Mach, M= V/c for menor que 0,3.
Classificação do Escoamento*

32. • Quanto à Direção da trajetória:
– Escoamento Laminar:
As partículas descrevem trajetórias paralelas. O
fluido flui em camadas ou lâminas. (Re < 2000)
– Escoamento turbulento:
As trajetórias são caóticas. Escoamento
tridimensional das partículas de fluido. As
componentes da velocidade apresentam
flutuações ao redor da média (Re > 4000).
Classificação do Escoamento

33. Experimento de Reynolds
• Consiste na injeção de um corante líquido na
posição central de um escoamento de água interno
a um tubo circular de vidro transparente
• O comportamento do filete do corante ao longo do
escoamento no tubo define três características
distintas

34. Experimento de Reynolds

35. Experimento de Reynolds
1. Regime Laminar:
– O corante não se mistura com o fluido, permanecendo
na forma de um filete no centro do tubo;
– O escoamento processa-se sem provocar mistura
transversal entre escoamento e o filete, observável de
forma macroscópica;
– Como “não há mistura”, o escoamento aparenta ocorrer
como se lâminas de fluido deslizassem umas sobre as
outras;

36. Experimento de Reynolds
2. Regime de transição:
– O filete apresenta alguma mistura com o fluido,
deixando de ser retilíneo sofrendo ondulações;
– Essa situação ocorre para uma pequena gama de
velocidades e liga o regime laminar a outra forma mais
caótica de escoamento;
– Foi considerado um estágio intermediário entre o regime
laminar e o turbulento;

37. Experimento de Reynolds
3. Regime turbulento:
– O filete apresenta uma mistura transversal intensa, com
dissipação rápida;
– São perceptíveis movimentos aleatórios no interior da
massa fluida que provocam o deslocamento de moléculas
entre as diferentes camadas do fluido (perceptíveis
macroscopicamente);
– Há mistura intensa e movimentação desordenada;

38. Experimento de Reynolds

39. Classificação de Escoamento
O número de Reynolds (abreviado como Re) é um
número adimensional usado em mecânica dos fluídos
para o cálculo do regime de escoamento de
determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma
superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de
tubulações industriais e asas de aviões. O seu nome
vem de Osborne Reynolds, um físico e engenheiro
irlandês. O seu significado físico é um quociente entre
as forças de inércia e as forças de viscosidade.

40. Classificação de Escoamento

 VLVL
idadevisdeforças
inerciadeforças

cos
Re
V - velocidade média do fluído
L - longitude característica do escoamento, o diâmetro
para o escoamento no tubo
μ - viscosidade cinemática do fluído
ν- viscosidade cinemática do fluído
ρ – massa específica

41. Classificação de Escoamento
Re < 2000 Escoamento Laminar
2000 < Re < 4000 (2400) Transição
Re > 4000 (2400) EscoamentoTurbulento

42. Tabelas de Viscosidade Cinemática

43. Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é
laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com
diâmetro de 4cm escoa água com uma velocidade de 0,05m/s.
Exemplo 4 – Número de Reynolds

44. Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala
reduzida sabendo-se que a velocidade de deslocamento é v = 16
m/s para um vôo realizado em condições de atmosfera padrão
ao nível do mar (ρ = 1,225 kg/m³). Considere a dimensão
característica c = 0,35 m e μ = 1,7894 x 10-5 kg/ms.
Exemplo 5 – Número de Reynolds

45. Em hidráulica ou em mecânica dos fluidos, define-se vazão como a
relação entre o volume e o tempo.
A vazão pode ser determinada a partir do escoamento de um fluido
através de determinada seção transversal de um conduto livre
(canal, rio ou tubulação aberta) ou de um conduto forçado
(tubulação com pressão positiva ou negativa). Isto significa que a
vazão representa a rapidez com a qual um volume escoa.
As unidades de medida adotadas são geralmente o m³/s, m³/h, l/h
ou o l/s.
Vazão Volumétrica

46. • A forma mais simples para se calcular a vazão volumétrica é
apresentada a seguir na equação mostrada.
• Q representa a vazão volumétrica, V é o volume e t o
intervalo de tempo para se encher o reservatório.
Vazão Volumétrica

47. Um exemplo clássico para a medição de vazão é a realização do
cálculo a partir do enchimento completo de um reservatório através
da água que escoa por uma torneira aberta como mostra a figura.
Considere que ao mesmo tempo em que a torneira é aberta um
cronômetro é acionado. Supondo que o cronômetro foi desligado
assim que o balde ficou completamente
cheio marcando um tempo t, uma vez
conhecido o volume V do balde e
o tempo t para seu completo
enchimento, a equação é facilmente
aplicável resultando na vazão
volumétrica desejada.
Vazão Volumétrica*

48. Relação entre Área e Velocidade
Uma outra forma matemática de se determinar a vazão volumétrica é através
do produto entre a área da seção transversal do conduto e a velocidade do
escoamento neste conduto como pode ser observado na figura a seguir.
Pela análise da figura, é possível observar
que o volume do cilindro tracejado é dado
por: V = d · A
Substituindo essa equação na equação de
vazão volumétrica, pode-se escrever que:
A partir dos conceitos básicos de cinemática aplicados em Física, sabe-se que a
relação d/t é a velocidade do escoamento, portanto, pode-se escrever a vazão
volumétrica da seguinte forma: Q = v ·A
Q representa a vazão volumétrica, v é a velocidade média do escoamento e A é a
área da seção transversal da tubulação.

49. Vazão em massa é a quantidade em massa do fluido que
atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de
tempo.
Lembrando a relação entre a massa e o volume : m = ρ ·V
Substituindo na equação anterior teremos que: Qm = ρ·Qv
E por tanto: Qm = ρ·v·A
Vazão em Massa

50. É uma velocidade hipotética, constante ao longo de
toda a seção transversal do tubo de corrente, que nos
permite calcular a vazão num dado instante de tempo.
Velocidade média

51. Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214
litros, sabendo-se que a velocidade de escoamento do líquido é
de 0,3m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é igual a
30mm.
Exemplo 6 – Vazão

52. Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela
mesma, escoa água a uma velocidade de 6m/s. A tubulação está
conectada a um tanque com volume de 12000 litros e leva 1
hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente
Exemplo 7 – Vazão

53. • A equação da continuidade relaciona a vazão em massa na
entrada e na saída de um sistema.
Qm1=Qm2 ρ1 · v1 · A1 = ρ2 · v2 · A2
• Para o caso de fluido incompressível, a massa específica é a
mesma tanto na entrada quanto na saída, portanto:
v1 · A1 = v2 · A2
• A equação apresentada mostra que as velocidades são
inversamente proporcionais as áreas, ou seja, uma redução
de área corresponde a um aumento de velocidade e vice-
versa.
Equação da Continuidade

54. Para a tubulação mostrada na figura, calcule a vazão em massa,
em peso e em volume e determine a velocidade na seção (2)
sabendo-se que A1 = 10cm² e A2 = 5cm².
Dados: r = 1000kg/m³ e v1 = 1m/s.
Exemplo 10– Equação da Continuidade

55. Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão de 20 l/s e
um outro tubo despeja um líquido de massa específica igual a
800kg/m³ com uma vazão de 10 l/s. A mistura formada é descarregada
por um tubo da área igual a 30cm². Determinar a massa específica da
mistura no tubo de descarga e calcule também qual é a velocidade de
saída.
Exemplo 11 – Equação da Continuidade