Fenômenos de Transporte

Fenômenos
de
Transporte
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Fenômenos de Transporte – 01/2008
1
Disciplina: Fenômenos de Transporte
Cursos: Engenharia de Controle e Automação
Engenharia Elétrica
Prof a
.: Mara Nilza Estanislau Reis
1º semestre 2008
Objetivos:
- Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de
Calor;
- Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso;
- Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas;
- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos;
- Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido.
Ementa:
Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e
Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies
Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade.
Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de
Massa: Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite,
Aplicações.

2
Índice
1. Introdução a Mecânica dos Fluidos.................................................................. 12
1.1. Definição............................................................................................. 12
1.2. Objetivo............................................................................................... 12
1.3. Aplicação............................................................................................. 12
2. Definição de um Fluido..................................................................................... 12
2.1. Introdução........................................................................................... 12
2.2. A Hipótese do Contínuo...................................................................... 13
2.3. Princípio da Aderência........................................................................ 13
3. Métodos de Análise........................................................................................... 14
3.1. Sistema................................................................................................ 14
3.2. Volume de Controle............................................................................ 14
4. Dimensões e Unidades...................................................................................... 14
4.1. Introdução............................................................................................ 14
4.2. Sistemas de Dimensões....................................................................... 14
4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 15
5. Propriedades Físicas dos Fluidos...................................................................... 16
5.1. Peso Específico.................................................................................... 16
5.2. Volume Específico.............................................................................. 17
5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 17
5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta........................................... 18
5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico.................................................. 19
5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................. 19
5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................ 19
5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 19
6. Campo de Velocidade....................................................................................... 20
7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 21
7.1. Regime Permanente............................................................................. 21
7.2. Regime Transiente............................................................................... 21
7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 21
8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 21
8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 21

3
8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 22
8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente............ 23
8.4. Campos de Tensão............................................................................... 26
9. Viscosidade....................................................................................................... 27
9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)............................................. 27
9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)............................................................... 29
9.3. Número de Reynolds: (Re) ................................................................. 29
9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 30
10. Pressão............................................................................................................ 32
10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 34
11. Fluidoestática.................................................................................................. 34
11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos........................................ 35
11.2. Pressão Manométrica........................................................................ 37
11.3. Pressão Absoluta............................................................................... 38
11.4. O Barômetro de Mercúrio................................................................. 38
11.5. Aplicação para a Manometria............................................................ 39
11.6. Tipos de Manômetros........................................................................ 41
11.6.1. Manômetros de líquido.......................................................... 41
11.6.2. Manômetros metálicos.......................................................... 43
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 43
12.1. Princípio de Arquimedes................................................................... 44
13. Fluidodinâmica................................................................................................ 47
13.1. Sistema.............................................................................................. 47
13.2. Volume de Controle.......................................................................... 48
13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para
Volume de Controle...................................................................................
48
13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um
Volume de Controle Arbitrário..................................................................
49
13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 50
13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica.................................... 51
13.5. 1a
Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle............. 53
13.6. Equação de Bernoulli........................................................................ 55
13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 57

4
13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli...... 57
13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli..................................... 59
13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 59
13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................... 60
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 62
13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 63
13.6.2.2.3. Placa de Orifício...................................... 65
13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação............................. 68
13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga............. 68
13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos
Reais..................................................................................................
69
13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 70
13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas..................................... 70
13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 74
13.8. Potência Fornecida por uma Bomba................................................. 81
14. Transferência de Calor.................................................................................... 86
14.1. Introdução.......................................................................................... 86
14.2. Modos de Transferência de Calor..................................................... 86
14.2.1. Condução............................................................................ 86
14.2.2. Convecção.......................................................................... 87
14.2.3. Radiação............................................................................. 87
14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor............................................. 88
14.3.1. Condução............................................................................ 89
14.3.2. Convecção.......................................................................... 92
14.3.3. Radiação............................................................................. 93
15. Condução........................................................................................................ 96
15.1. Introdução à Condução...................................................................... 96
15.2. Propriedades Térmicas da Matéria.................................................... 97
15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle....................... 98
15.4. Equação da Difusão de Calor............................................................ 101
15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 101
15.4.2. Coordenadas Cilíndricas..................................................... 104
15.4.3. Coordenadas Esféricas....................................................... 104

5
15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial........................ 105
15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente......................... 108
15.5.1. Parede Simples.................................................................. 108
15.5.2. Resistência Térmica........................................................... 109
15.5.3. Parede Composta................................................................ 113
15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo....................................... 116
15.5.5. Resistência de contato........................................................ 116
15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas
Radiais – Cilindro.......................................................................................
119
15.6.1. Distribuição de Temperatura.............................................. 119
15.6.2. Parede Cilíndrica Composta............................................... 122
15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento......................................... 125
15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente –
Sistemas Radiais – Esfera...............................................................
129
15.8. Condução com Geração de Energia Térmica........................ 130
15.8.1 Condução com Geração de Energia Térmica -
Parede Plana.......................................................................
130
15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica –
Sistemas Radiais.................................................................
133
16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas......................... 134
16.1. Introdução.......................................................................................... 134
16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 136
16.3. Balanço de Energia para uma Aleta.................................................. 137
16.4. Aletas com área da seção transversal constante................................ 138
16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 143
17. Condução Transiente....................................................................................... 146
17.1. Introdução.......................................................................................... 146
17.2. Método da Capacitância Global........................................................ 146
18. Convecção....................................................................................................... 148
18.1. Fundamentos da Convecção.............................................................. 148
18.2. As Camadas Limites da Convecção.................................................. 160
18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica......................................... 151
18.2.2. As Camadas Limites de Concentração.................................. 152

6
18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 153
18.4. A Camada Limite Térmica................................................................ 156
EXERCÍCIOS RECOMENDADOS..................................................................... 158
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................. 159
Apêndice A........................................................................................................... 160
Apêndice B............................................................................................................ 164

7
Figuras
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 12
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de
uma Força de Cisalhamento Constante.
13
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas ∞ 13
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 14
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 14
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. 20
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 22
Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 22
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 28
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 30
Figura 11 - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 31
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 33
Figura 13 – Fluida em Repouso. 34
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 35
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 37
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 38
Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. 39
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 39
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 40
Figura 20 – Manômetro de Líquido. 41
Figura 23 – Tubo de Bourdon. 43
Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 43
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 43
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 47
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 48
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 48
Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 52
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento 58

8
Unidimensional em um Duto.
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes
Delgadas.
59
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o
volume de controle usado para análise.
60
Figura 33 – Tubo de Venturi. 62
Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. 63
Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 64
Figura 36 – (a) Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão –
Placa de orifício. (b) Placa de Orifício.
66
Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. 68
Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido
Real.
69
Figura 39 - Ábaco de Moody. 72
Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. 73
Figura 41 – Valores aproximados de k. 74
Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e
Aço.
75
Figura 43- Redução de Área – Bocal. 77
Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 78
Figura 45 – Válvula de gaveta. 79
Figura 46 – Válvula Globo. 80
Figura 47 – Válvula de Retenção. 80
Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. 81
Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima. 83
Figura 50 - Transferência de calor. 86
Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da
energia provocada pela atividade molecular.
87
Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção
natural. (b) Convecção forçada.
87
Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88
Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88
Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 89

9
Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. 91
Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. 94
Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria. 97
Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 102
Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). 104
Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). 105
Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 108
Figura 63 – Circuito Térmico. 111
Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 113
Figura 65 – Circuito térmico equivalente. 114
Figura 66 – Parede Composta. 116
Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. 116
Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato. 117
Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco. 119
Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica
Composta.
121
Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 124
Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. 125
Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. 128
Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. 129
Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.
(a) Condições de contorno assimétricas. (b) Condições de contorno
assimétricas. (c) Superfície adiabática no plano intermediário.
131
Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. 134
Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de
Calor.
132
Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de
Calor.
132
Figura 79 – Trocadores de Calor com tubos aletados. 133
Figura 80 – Configurações de Aletas. 133
Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. 134
Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. 139
Figura 83 – Eficiência de aletas. 144

10
Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retang. b) Anulares. 146
Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. 147
Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a
diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por
convecção.
148
Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. 148
Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana. 149
Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. 151
Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. 152
Figura 91 – Camada Limite. 153
Figura 92 – Camada Limite Térmica. 156
Figura A1 – Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos 166
Figura A2 – Viscosidade Cinemática de Alguns Fluidos à Pressão Atm. 167

11
Tabelas
Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 15
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 16
Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 71
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 76
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. 76
Tabela 6 – Coeficiente de Perda de Carga para Redução Suave da Seção. 77
Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e
Conexões
78
Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) 92
Tabela 9 – Equações de Taxa 96
Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas 96
Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob
condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos
interfaciais
118
Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas 118
Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos 163

12
1. Introdução a Mecânica dos Fluidos
1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que
regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso
(Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica).
1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o
meio produtor de trabalho.
1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas),
aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de
residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina,
etc.
2. Definição de um Fluido
2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de
uma tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1).
Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas
quais a matéria existe.
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante.
A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu
comportamento. Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado
entre as duas placas, o bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No
regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma
original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará continuamente,
enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele (fig.2b).

13
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força
de Cisalhamento Constante.
1a
Situação:
Figura 2a
Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio
estático.
2a
Situação:
Figura 2b
Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de
equilíbrio estático.
2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem
o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se
o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito.
2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície
sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato;
não há deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3)
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas.

14
3. Métodos de análise
3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema
separam-no do ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas,
calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 .
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro.
3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário),
a fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5.
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo.
4. Dimensões e unidades
4.1. Introdução
Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias
(básicas) e secundárias (derivadas)).
Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões.
4.2. Sistemas de Dimensões
Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática,
que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”.
Exemplo:
2
00 at
2
1Vxx ++=
( ) ( ) ( ) ( )2
2 t
t
L
2
1
tt
LLL ×+
×
+=

15
4.3. Sistema de Unidades
Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento,
etc.). Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960,
instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram
definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente
elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades.
A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as
grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de
unidades. No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento,
temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária.
SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica),
quantidade de matéria e intensidade luminosa.
Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura).
Tabela 1 – Sistemas de Unidades.
SISTEMA
DE
UNIDADES
MASSA COMPRI-
MENTO
TEMPO TEMPE-
RATURA
CORRENTE
ELÉTRICA
QTE DE
MATÉRIA
INTENSI-
DADE
LUMINOSA
SI Kg m s K A mol cd
ABSOLUTO g cm s K
TÉCNICO utm m s K
INGLÊS slug ft s R
INGLÊS
TÉCNICO
lbm ft s R
Força: 2
s
m
1kg1N =
Força: 2
s
cm
1g1dina =
Massa
ft
s
1lbf1slug
2
=
No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as
diferentes grandezas.

16
A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos
pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa.
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia.
Fator
Multiplicativo
Prefixo Símbolo
109
Giga G
106
Mega M
103
Kilo k
10-1
Deci d
10-2
Centi c
10-3
Mili m
10-6
Micro µ
10-9
Nano n
10-12
Pico p
5. Propriedades físicas dos fluidos
5.1. Peso especifico: (γ)
É o peso do fluido contido em uma unidade de volume.
γ: Peso específico [F/L3
]
∀
=
W
γ W: Peso da substância [F]
][LfluidodoVolume: 3
∀
gg
mmg
ργ =
∀
=
∀
=
Unidades: (N/m3
; kgf / m3
; lbf / ft3
)
DIM: [F / L3
]

17
5.2. Volume específico: (ν)
Inverso da massa específica.
υ: Volume específico [L3
/M]
ρ
υ
1
=
∀
=
m
ρ: Massa específica ou densidade
absoluta [M/L3
]
Unidades: (m3
/ kg; cm3
/ g; ft3
/ slug; ft3
/ lbm)
DIM: [L3
/ M]
5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG)
Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma
substância de referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o
ar. Quando se trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância
de referência seja a água.
δ: Densidade relativa [adimensional]
ref
SGd
ρ
ρ
δ === ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3
]
ρref.: Massa específica ou densidade absoluta da
substância de referência [M/L3
]
δ=d = SG=
padrãofluido
fluido
ρ
ρ
=
padraãofluido
fluido
γ
γ
DIM: [1]

18
5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β )
Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida
em uma unidade de volume.
ρ: Massa específica [M/L3
]
∀
=
m
ρ m: Massa do fluido [M]
][LfluidodoVolume: 3
∀
Unidades: (kg / m3
; g / cm3
; slug / ft3
)
DIM: [M / L3
]
A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua
temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com
alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis.
Na Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns
fluidos, a 20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variação da
massa específica da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm.
5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: (β)
Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por
unidade de volume.
β: Módulo de elasticidade volumétrico
∀∀∆
∆−
=
/
P
β ∆P: Variação de pressão [F/L2
]
][LVolumedeVariação:∆ 3
∀
][LVolume: 3
∀
O sinal negativo indica que um aumento de pressão corresponde a uma redução de
volume.
Unidades: (N/m2
; kgf / m2
; lbf / ft2
)
DIM: [F / L2
]

19
Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a
medida da variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de
compressibilidade de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases,
o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compressão.
5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante
P.V. = constante P1V1 = P2V2
1
2
2
1
P
P
V
V
=
P.dV + V.dP = 0
P.dV = - V.dP
P
P
dP
V
dV
=
−
=
β
5.5.2. Condições adiabáticas:
P.Vk
= constante
k = Cp / Cv
P1.V1
k
= P2.V2
k
Vk
.dP + Vk-1
P.k.dV = 0
P.k.dV + V.dP = 0
kP
kP
dP
V
dV
=
−
=
β
5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C)
Inverso do módulo de elasticidade volumétrico.
β
1
=C C: Coeficiente de compressibilidade [L2
/F]
β: Módulo de elasticidade volumétrico
[F/L2
]
Unidades: (m2
/N; m2
/kgf; ft2
/lbf)
DIM: [L2
/F]

20
6. Campo de velocidade
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume
de fluido ∀ mostrado na Fig. 6.
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto.
A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do
volume infinitesimal ∀δ que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão.
O campo de velocidade, V
r
, é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa
representação do campo de velocidades é dada por:
( )tzyxVV ,,,
rr
=
O vetor velocidade, V
r
, pode ser expresso em termos de suas três componentes
escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e
w, o campo de velocidades pode ser escrito como:
kwjviuV ˆˆˆ ++=
r
,
onde: ( ) ( ) ( )tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu ===
Exemplo:
Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine:
(a) As dimensões de cada campo de velocidade
(b) Se está em regime permanente ou não
(1) [ ]iaeV bx ˆ−
=
r
(2) jbxiaxV ˆˆ2
+=
r

21
(3) jbxiaxV ˆˆ −=
r
(4) ( ) jbyitaxV ˆˆ 2
−+=
r
(5) ( ) ( )k
z
yxaV ˆ1 3
2
1
22
+=
r
Resolução:
(1) Unidimensional ( ( )xVV
rr
= ), regime permanente ( )tVV
rr
≠ .
(2) Unidimensional ( ( )xVV
rr
= ), regime permanente ( )tVV
rr
≠ .
(3) Bidimensional ( )yxVV ,
rr
= , regime permanente ( )tVV
rr
≠ .
(4) Bidimensional ( )yxVV ,
rr
= , regime não permanente ( )tVV
rr
= .
(5) Tridimensional ( )zyxVV ,,
rr
= , regime não permanente ( )tVV
rr
= .
7. Regime permanente e transiente
7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento,
não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é:
0=
∂
∂
t
η
, onde η representa uma propriedade qualquer do fluido.
7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo.
7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do
vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas
espaciais, através de toda a extensão do campo.
8. Escoamentos uni, bi, tridimensional.
Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o
número de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades.
8.1. Escoamento unidimensional:
Exemplo:
Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção
transversal constante mostrado na Fig. 7.

22
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional.
A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela
equação:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
max 1
R
r
uu
Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é
unidimensional.
8.2. Escoamento bidimensional:
Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o
canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será
idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de
velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é,
portanto, bidimensional.
Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional.

23
8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente:
Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter
uma representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de
linhas de tempo, de trajeto, de emissão e de corrente.
Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem
marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta
linha é chamada de linha de tempo.
Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em
movimento. Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado
instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia
de exposição prolongada do seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula
é uma trajetória.
Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e
identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam
por aquele ponto. Após um curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas
fluidas identificáveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado
por um local fixo no espaço. A linha em que une as partículas fluidas, num ponto fixo
no espaço, é definida como linha de emissão.
As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que,
num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.
Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo,
não pode haver escoamento através delas.
No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece
constante com o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um
instante a outro. Isto implica que uma partícula localizada numa determinada linha de
corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando
através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e,
subseqüentemente permanecerão nela. Então num escoamento permanente, trajetórias e
linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no campo de escoamento.
A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for
transiente. Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não
coincidem.

24
Exemplo:
Considere o campo de escoamento
∧∧→
−= jbiaxtV , onde a = 0,2 s-2
e b = 3 m/s. As
coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1)
no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s.
Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos
instantes t = 0, 1 e 3 segundos.
Resolução:
Partindo do princípio
dt
dx
u = e
dt
dy
v = , então:
dt
dx
axtu == , ∫∫ =
tx
x
dtat
x
dx
0
.
0
2
0 2
1
ln at
x
x
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
e
2
2
1,02
1
0 3 t
at
exexx =∴=
e também, b
dt
dy
v == , ∫∫ =
ty
y
bdtdy
00
, tybtyy 310 +=∴+=
ty
ex t
31
3
2
1,0
+=
=
Região a ser plotada no plano xy.
Temos que
u
v
dx
dy
s
= .
Logo:
axt
b
dx
dy
= .
Aplicando equações diferenciais temos:
x
dx
at
b
dy
x
x
y
y
∫∫ =
00
ou ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
0
0 ln
x
x
at
b
yy .
Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
3
ln
15
1
x
t
y .
Para t=1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
3
ln151
x
y
t=2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
3
ln5,71
x
y
t=3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
3
ln51
x
y

25
Exemplo:
O campo de velocidade
∧∧→
−= jbyiaxV , onde a = b = 1 s-1
, pode ser interpretado como
representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as
linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro
quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0).
Resolução:
A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por:
u
v
dx
dy
=
Para
∧∧→
−= jbyiaxV , façamos u = ax e v = -by, logo:
xa
yb
u
v
dx
dy
.
.
−==
Para resolvermos esta equação diferencial, separamos as variáveis e integramos:
∫∫ −=
x
dx
a
b
y
dy
∴+−= cx
a
b
y lnln c = constante
∴+=
−
cxy a
b
lnlnln ln c = constante

26
Portanto: a
b
cxy
−
=
Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente
são obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c.
Como a = b = 1 sec-1
, então 1=
b
a
, e a equação das linhas de corrente é dada por:
x
c
cxy == −1
ou
y
c
x =
Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y.
• A equação
x
c
y = é a equação da hipérbole.
• As curvas estão mostradas para diferentes valores de c.
8.4. Campo de Tensão
Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da
mecânica dos meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um
meio através de um contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e
distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças
gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo.
A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por dVgρ ,
onde ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da
gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é gρ por unidade de volume e
g por unidade de massa.
O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as
forças atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de

27
tensões seria a região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de
toda extensão do material.
Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de
tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo
tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um
tensor de 2ª ordem.
Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , xAδ , e tomando o
limite quando xAδ se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão
mostradas abaixo:
x
z
x
y
x
x
A
F
A
F
A
F
xxx A
xy
A
xy
A
xx
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δδδ
τττ limlimlim
000 →→→
=∴=∴=
Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica
o plano no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O
segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma
convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu
sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos.
9. Viscosidade
9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)
Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou
seja, a dificuldade do fluido em escoar.
Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior
move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx.

28
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido.
A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por:
dAy
dFx
Ay
Fx
Ay
yx ==
→ δ
δ
τ
δ 0
lim
A taxa de deformação é igual a:
dt
d
tt
α
δ
δα
δ
=
→0
lim
A distância entre os pontos M e M’é dada por:
tVl δδδ = (a)
Para pequenos ângulos, δαδδ yl = (b)
Igualando-se (a) e (b),
dy
du
dt
d
y
u
t
=⇒=
α
δ
δ
δ
δα
Para fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação, ou:
dy
du
dy
du
yxyx µττ =⇒∝ .
A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ.
DIM: [F.t / L2
= M/L.t]
Unidades: (N.s/m2
; kgf.s /m2
; lbf.s /ft2
)
Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições
normais.

29
Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo,
glicerina e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação
da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à
deformação muito maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa.
A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O
comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig.
A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura,
enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso.
9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)
Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.
ν: Viscosidade cinemática [L2
/t]
ρ
µ
υ = µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L2
]
ρ: Massa específica ou densidade absoluta
[M/L3
]
DIM: [L2
/t]
Unidades: (m2
/s; cm2
/s; ft2
/s)
Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo 1 Stokes =
1cm2
/s.
9.3. Número de Reynolds: (Re)
Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas.
Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido.
Re: Número de Reynolds [adimensional]
ρ: Massa específica ou densidade absoluta
[M/L3
]
µ
ρ **
Re
LV
= V*: Velocidade do fluido [L/t]
L*: Comprimento característico [L]

30
µ = Viscosidade dinâmica [F.t/L2
]
DIM: [1]
O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele
determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no
interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar
para turbulento é 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105
. Deve-
se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e ao
comprimento característico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a
velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para
escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o
comprimento da placa.
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds.
Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água,
para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham
comportamentos semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina
deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da água.
9.4. Tipos de escoamento:
- Escoamento laminar ( em tubulações Re 2300≤ )
- Escoamento turbulento (Re > 4000)

31
Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos.
O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro
chamado número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do
escoamento (V ) pela velocidade do som (S) do meio.
S
V
Ma =
Exemplo:
Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um
mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo
com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque
necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se
encontra na folga anular, em (Pa.s)
Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão
de cisalhamento:
dy
du
.µτ =
Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual
possamos trabalhar:
Mecânica
dos Fluidos
Fluido não
viscoso µ = 0
Fluido viscoso
µ ≠ 0
Compressível Incompressível
Ma < 0,3
Laminar
Re ≤ 2300
Turbulento
Re > 4000

32
s
m
ru
sradrrot
rrot
rpsW
13,1
/6,125..2.2020
..21
20
max ==
⎩
⎨
⎧
→→
→
=
ω
π
π
60
..
230
.
max
max
max
nd
u
dn
u
ru
ou
π
π
ω
=
=
=
Devemos calcular agora a área de contato entre o fluido e o material:
26
33
10.39,3
10.60.10.18
..
mA
A
LDA
−
−−
=
=
=
π
π
Pelo torque, podemos tirar a força:
NF
F
r
F
rF
4,0
10.9
0036,0
.
3
=
=
=
=
−
τ
τ
Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia
à força:
2
3
3
.
0208,0
13,1.10.39,3
10.2,0.4,0
m
sN
du
dy
A
F
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
−
µ
µ
µ
, onde
y
u
dy
du max
=
10. Pressão
Força exercida em uma unidade de área.
P: Pressão [F/L2
]
A
F
P = F: Força [F]
A: Área [L2
]
Unidades: (N/ m2
= Pa; atm; lbf / ft2
; m.c.a; lbf / ft2
= psi; mmHg)
DIM: [F / L2
]

33
A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um
escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a
pressão pode ser relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão:
TRnP =∀
Onde: n: quantidade de matéria [mol]
R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K
DIM: ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
Tkmol
LF
..
.
T: temperatura absoluta do gás [T]
Se, ao invés do número de moles, for considerada a massa m do gás, a equação
pode ser reescrita na forma:
mRTP =∀
Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases
através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema
Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns.
MM
R
R =
A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição
padrão ou “standard”.
A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser
calculada da maneira mostrada a seguir:
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente.

34
A pressão na superfície do fluido é igual a P0.
A força na superfície do fluido é dada por AP0
A força exercida pela coluna de fluido é devida ao seu peso:
( ) ghAgAhgmgFfluido ρρρ ==∀==
A força na base do recipiente é, então, obtida como a soma da força na superfície do
fluido e do peso da coluna de fluido:
ghAAPF
FFF fluidoerfície
ρ+=
+=
0
sup
A pressão na base do recipiente é dada pela razão entre a força e a área da base:
A
FF
A
F
P
fluidoerfície +
==
sup
ghP
A
ghAAP
P ρ
ρ
+=
+
= 0
0
Para condições pré-fixadas, P0, ρ e g são constantes.
Assim, a pressão é função apenas da altura da coluna de líquido h.
10.1. Lei de Pascal:
“No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”.
Figura 13 – Fluido em Repouso.
11. Fluidoestática
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso.
A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um
problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da
distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido.

35
11.1. A equação básica da estática dos fluidos:
Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças
de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças
desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o
caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força
de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é
a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas
fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só
poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a
substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força
de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão.
Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig.
14.
dx
dy
dz
y
x
z
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal.
A força total atuando no elemento é dada por:
SSC FdgdmFdFdFd
rrrrr
+=+= .
A força líquida de pressão é dada pela soma da força de pressão em cada uma das faces
do elemento. A força de pressão atuando na face esquerda do elemento é:
jdzdx
dy
y
P
pFd L
ˆ.
2 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
r
A força de pressão na face direita é dada por:
( )jdzdx
dy
y
P
pFd R
ˆ.
2
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
r

36
A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do
elemento,
( ) jdzdx
dy
y
P
pidzdy
dx
x
P
pidzdy
dx
x
P
pFd S
ˆ.
2
ˆ.
2
ˆ.
2 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
r
( ) ( )kdydx
dz
z
P
pkdydx
dz
z
P
pjdzdx
dy
y
P
p ˆ.
2
ˆ.
2
ˆ.
2
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
dzdydxk
z
P
j
y
P
i
x
P
Fd S ..ˆˆˆ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
r
A força total é dada, portanto, por:
dzdydxk
z
P
j
y
P
i
x
P
gdmFdgdmFd S ..ˆˆˆ.. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−+=+=
rrrr
Como
dzdydxddm .... ρρ =∀= ,
( ) ∀∇−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−+= dPgdzdydxk
z
P
j
y
P
i
x
P
gdzdydxFd
rrr
...ˆˆˆ..... ρρ
A 2ª Lei de Newton estabelece que:
admFd
rr
.=
Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas
as forças deve ser zero. Assim,
( ) 0. =∇− Pg
r
ρ
Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares,
0=+
∂
∂
− xg
x
P
ρ 0=+
∂
∂
− yg
y
P
ρ 0=+
∂
∂
− zg
z
P
ρ
Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor
gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z
apontado para cima )ˆ( kgg −=
r
, as equações podem ser reescritas como:
0=
∂
∂
x
P
0=
∂
∂
y
P
0=
∂
∂
z
P
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois
pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15).

37
Conclusões:
1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer,
situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à
mesma pressão;
2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna
fluida (Equação Fundamental da Hidrostática);
3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn =
Px, ou seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da
orientação (Lei de Pascal).
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois
pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles -
Equação Fundamental da Hidrostática (Fig.15).
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático.
Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As
maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado.
Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas.
Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são
denominadas pressões manométricas ou efetivas.
11.2. Pressão Manométrica:
Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm).
Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104
kgf/m2
= 1,0332 kgf/cm2
= 10,332 m.c.a. =
760 mmHg
ghPP CB ρ+=

38
A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos.
Se P>Patm, Pman > 0
Se P<Patm, Pman < 0
Se P=Patm, Pman = 0
11.3. Pressão Absoluta:
Pressão medida a partir do zero absoluto.
manatmabs PPP +=
ou
atmabsman PPP −=
A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras
equações de estado é a pressão absoluta.
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica.
11.4. O Barômetro de Mercúrio:
A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor
de pressão atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto
peso específico (geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório
contendo o mesmo fluido. No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando
vácuo na parte superior do tubo, como mostrado na Fig. 17.

39
Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio.
hghP
ghP
P
ghPP
PP
PP
atm
A
E
EA
AA
atmA
γρ
ρ
ρ
==∴
=
=
+=
=
=
vácuo0
repouso)emfluidomesmonoaltura(mesmaisobárospontos'
Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida
de mercúrio.
mmHgatmmmHgh 7601760 =⇒=
11.5. Aplicação para a Manometria:
( )
γρ
ρ
1212
12
1212
PP
g
PP
zz
zzgPP
−
=
−
=−
−=−
Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão.
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos.

40
1) ( )5445 zzgPP m −=− ρ
2) ( )4334 zzgPP g −=− ρ
3) ( )3223 zzgPP a −=− ρ
4) ( )2112 zzgPP o −=− ρ
Agrupando as equações acima temos:
( ) ( ) ( ) ( )5443322115 zzgzzgzzgzzgPP mgao −+−+−+−=− ρρρρ
Exemplo:
1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade
relativa dA= 0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é
água e o tanque à esquerda está aberto para a atmosfera.
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes.
Resolução:
Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão
do ponto em aberto (Patm), até chegar em ´´a´´.
Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos:
1 pol = 25,4 mm
36 pol = 0,914 m
15 pol = 0,381 m
10 pol = 0,254 m
5 pol = 0,127 m
P1
Patm
P2
P336pol
dB=1,20
dA=0,75

41
Calculamos as diferenças de pressão:
PaPa
PhgPa
hgPPa
PaP
hgSGPP
hgPP
PaP
hgSGPP
hgPP
PaP
hgSGP
hgPP
oh
oh
Apadãof
A
Bpadãof
B
atmBpadrãof
atmBatm
81,831.707,340.5.254,0.81,9.10.1
3..
..3
07,340.5127,0.81,9.75,0.10.147,274.63
...23
..32
47,274.6381,0.81,9.20,1.10.160,759.102
...12
..21
60,759.10914,0.81,9.20,1.10.11
...1
..1
3
34
34
3
32.
32
3
21.
21
3
1.
1
2
2
=+=
+=
=−
=−=
−=
=−
=−=
−=
=−
==
=
=−
−
−
−
−
−
−
−
−
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Temos então como pressão no ponto “a”´:
PaPa 81,831.7=
11.6. Tipos de Manômetros:
11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em
forma de U, que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões,
utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores
pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como água ou óleo.
Figura 20 – Manômetro de Líquido.

42
BA
BatmB
AatmA
BA
pp
ghpp
ghpp
hh
=
+=
+=
=
ρ
ρ
BbatmB
AaatmA
BA
ghpp
ghpp
pp
ρ
ρ
+=
+=
=
AaBbmanC
BbatmB
AaCA
BA
ghghp
ghpp
ghpp
pp
ρρ
ρ
ρ
−=
+=
+=
=
,

43
11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos
fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que
cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações
industriais.
Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma.
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes
Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de
uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado.
As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de
flutuação de um densímetro.
Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se
empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em
repouso.
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático.
O empuxo vertical no cilindro elementar de volume ∀d é dado por:

44
( ) ( )
( ) ∀=−=
+−+=
−=
gddAhhgdF
dAghPdAghPdF
dAPdAPdF
atmatm
ρρ
ρρ
12
12
12
O empuxo total é obtido integrando-se dF, ou seja,
∫∫ ∀=∀== ggddFF ρρ
12.1. Princípio de Arquimedes:
“Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um
empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado
pelo corpo.”
O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido.
Corpo Imerso:
E = peso do volume de fluido deslocado
gW
gE
corpocorpo
corpofluido
∀=
∀=
ρ
ρ
Corpo Flutuante:
E = peso do volume de fluido deslocado
gW
gE
corpocorpo
deslocadofluido
∀=
∀=
ρ
ρ

45
Situações Possíveis:
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:
corpofluido
WE
ρρ =
=
• Corpo Afunda
fluidocorpo
EW
ρρ >
>
• Corpo Fica Parcialmente Imerso
corpofluido
WE
ρρ >
>
O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C).
Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado.

46
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.
• Corpo Afunda
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.
• Corpo Fica Parcialmente Imerso
O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo.
Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo
for afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações:
• Corpo imerso

47
Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova
posição. Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo
está em equilíbrio indiferente.
• Corpo flutuante
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso.
Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de
fluido deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de
flutuação do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá
interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro.
Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento
restaurador, que tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste
caso, o corpo se encontra em equilíbrio estável.
Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar
o corpo ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em
equilíbrio instável.
13. Fluidodinâmica
Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de
controle, figuras 27 e 28.
13.1. Sistema:
Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou
móveis, mas não se verifica transporte de massa através deles.

48
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro.
13.2. Volume de Controle:
Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do
volume de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode
ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento.
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo.
13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de
controle:
As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre
quando há uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos
problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-
se a formulação de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite
que as leis da Mecânica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma
propriedade extensiva arbitrária qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds
estabelece que:
∫ ∫∀
∀==
)( )(sistemamassa sistema
ddmNsistema ηρη
(N) é uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa.
(η) é uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura.

49
∫∫ •+∀
∂
∂
=
∀ SCCsistema
AdVd
tdt
dN
ηρηρ
Onde:
.sist
dt
dN
: é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do
sistema.
∫∀
∀
∂
∂
C
d
t
ηρ : é a taxa de variação com o tempo, da propriedade extensiva arbitrária, (N),
dentro do volume de controle.
η: é a propriedade intensiva correspondente a N (η=N por unidade de massa).
∀dρ : é um elemento de massa contido no volume de controle.
∫∀
∀
C
dηρ : é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de
controle.
∫ •
SC
AdVηρ : é a vazão líquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela
superfície de controle.
AdV •ρ : é a vazão em massa através do elemento de área Ad .
AdV •ηρ : é a vazão em massa da propriedade extensiva, N, através da área Ad .
nV
rr
• : é o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal à área.
13.4. Equação da continuidade (de conservação da massa) para um volume de
controle arbitrário:
Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa,
MNsistema = 1==
dm
dM
η
( )∫∫ •+∀
∂
∂
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∀
SC
C
sistema
dAnVd
tdt
dM rr
ρρ
Como a massa não varia no interior do sistema,
0=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
sistemadt
dM

50
( ) 0=•+∀
∂
∂
∫∫∀
SC
C
dAnVd
t
rr
ρρ
Onde:
θcosunV =•
rr
Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área
é dado por:
θcos. AdVAdV
rrrr
= , onde θ é o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor normal à área.
Como o vetor normal à área é sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma
entrada de tubulação tem θ = 180° e uma saída de tubulação tem θ = 0°
Na entrada de uma tubulação, unV −=•
rr
, e, na saída, unV =•
rr
Para um volume de controle fixo,
( ) ∑∑∫ −=•
entradasaídaSC
uAuAdAnV ρρρ
rr
Como o volume de controle é fixo,
0=−+∀⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑∑∫∀
entradasaída
C
uAuAd
dt
d
ρρ
ρ
ou
0=−+∀⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑∑∫∀
entradasaída
C
mmd
dt
d
&&
ρ
13.4.1. Casos especiais:
Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa.
Para escoamento em regime permanente, não há variação das propriedades do
escoamento com o tempo. Assim, a equação é escrita como:
0=•∫SC
AdVρ
Ou, para um escoamento com um número finito de entradas e saídas, esta equação é
dada por:

51
0=− ∑∑ entradasaída
mm && , lembrando que o produto escalar dentro da integral é positivo para
saídas e negativo para entradas.
Para um fluido incompressível, a massa específica não varia com o tempo ou com a
posição. Assim, a equação de conservação da massa pode ser escrita como:
( ) 0=•+∀
∂
∂
∫∫∀
SC
C
dAnVd
t
rr
ρρ
saídaentrada ρρ =
A integral de ∀d em todo o volume de controle é simplesmente o volume. Como ele
não varia ao longo do tempo, a equação de conservação da massa para fluidos
incompressíveis é dada por:
0=•∫SC
AdV
Definindo-se a vazão volumétrica Q por:
∫ •=
SC
AdVQ
a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas
e saídas, como:
0=− ∑∑ entradasaída
QQ
A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da
velocidade média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica e a área
da seção, ou:
∫ •==
SC
AdV
AA
Q
V
1r
13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica:
Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por
apenas uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t).

52
Figura 29 – Escoamento Unidimensional.
Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t:
∀= ρm&
A vazão mássica, definida como sendo a taxa de variação da massa com o tempo, é dada
por:
( )
dt
d
dt
dm
m
∀
==
ρ
&
Aplicando-se a regra da cadeia,
( )
dt
d
dt
dm
m
∀
==
ρ
&
Mas:
( ) Au
dt
ds
AAs
dt
d
dt
d
===
∀
Assim:
dt
d
uAm
ρ
ρ ∀+=&
DIM: [M/t]
Para escoamento incompressível, 0=
dt
dρ
.
uAm ρ=&
A vazão volumétrica, ou a taxa de variação do volume com o tempo, é dada por:
uA
dt
d
Q =
∀
=
DIM: [L3
/t]
A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão:
Qm ρ=&

53
13.5. 1a
Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle:
A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua
formulação para sistema é:
..
..
sistsist dt
dE
WQ =−
Onde:
.
Q : é a taxa de transferência de calor trocada entre o sistema e a vizinhança. A
convenção de sinais adotada estabelece que a taxa de calor é positiva quando o calor é
adicionado ao sistema.
.
W : é a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio
sobre o sistema (negativa).
E: é a energia total do sistema, dada por:
∫∫ ∀
∀==
)()( sistemasistemaM
deedmE ρ
e = é a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cinética e a
energia potencial do sistema (por unidade de massa).
ugz
V
e
UmgzmVE
++=
++=
2
2
1
2
2
As formulações para sistema e volume de controle são relacionadas por:
∫∫ •+∀
∂
∂
=
∀ SCCsistema
AdVd
tdt
dN
ηρηρ
∫ ∫∀ ∀
∀==
C sistema
ddnNsistema
)(
ηρη
A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da
termodinâmica, estabelecemos:
N = E
N = η. M
dm
dE
=η
η=e
∫∫ •+∀
∂
∂
=−
∀ SCC
sistema
AdVede
t
WQ
r
ρρ
..
no instante t0:

54
Csist
WQWQ
∀
−=−
..
.
..
O termo
.
W tem um valor numérico positivo quando o trabalho é realizado pelo volume
de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobre o volume de
controle é de sinal oposto ao realizado pelo volume de controle.
outroscisalnormaleixo WWWWW
.....
+++=
∫ •=
SC
normal AdVpW
.
∫∫∫ •+∀
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++•+−
∀ SCC
outroscisal
SC
eixo AdVede
t
WWAdVpWQ ρρ
....
( )∫∫ •++∀
∂
∂
=−
∀ SCC
AdVpede
t
WQ
r
ρρ
..
AdVugz
V
de
t
WQ
SCC
rr
&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++∀
∂
∂
=− ∫∫∀
ρρυρ
2
2
Sendo:
ρ
υ
1
=
É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina.
Para maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos
sugeridos. Na equação, eixoW
.
é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência) realizado
sobre ou pelo volume de controle, outrosW
.
é qualquer taxa de trabalho não considerada,
como trabalho produzido por forças eletromagnéticas.
Exemplo:
Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é
descarregado a 70 psia, 500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao
compressor for 3200 hp e a vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência
de calor.
Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à
seguinte fórmula:

55
AdVugz
V
de
t
WQ
SCC
rr
&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++∀
∂
∂
=− ∫∫∀
ρρυρ
2
2
Levando agora em consideração as duas superfícies de controle e o regime
permanente:
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−=− 1222
2
2
2221111
2
1
111
22
υρυρ pugz
V
AVpugz
V
AVWQ &&
Colocando a vazão mássica em evidência
( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−+−+
−
=− 11221212
2
1
2
2
2
υυ ppuuzzg
VV
mWQ &&&
h = entalpia específica = u + pυ
( ) ).(() 1211122212 TTCpupuhhh p −=+−+=∆=− υυ
01 =V 21 ZZ =
OBS.: Cp é tabelado,
Rlbm
Btu
Cpar
⋅
⋅= 24,0 e
Rlbm
ftlbf
Rar
⋅
⋅
= 3,53
s
ftlbf
HP
⋅
⋅= 5501 e ftlbf
Btu
⋅=
778
1
T (ºR) = 460 + T (ºF)
Substituindo os parâmetros acima na equação (A) temos:
( ) WTTC
V
mQ p
&&& +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅= 12
2
2
2
( )
s
BTU
,
s
lbm
Rlbm
BTU
,
s
ft
Q 7122612053995923990
2
500
02
22
−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅
⋅
⋅+⋅=&
s
BTU
Q 6
.
10.49,2−=
13.6. Equação de Bernoulli:
Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento
em regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com
apenas uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode
ser simplificada.
AdVugz
V
de
t
WQ
SCC
rr
&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++∀
∂
∂
=− ∫∫∀
ρρυρ
2
2
(A)

56
Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de
trabalho realizadas, a equação se reduz a:
AdVugz
V
WQ
SC
rr
&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++=− ∫ ρρυ
2
2
Chamando a entrada da tubulação de (1) e a saída da tubulação de (2), e considerando
que, em uma dada seção, a energia interna (u), a pressão e a distância vertical (z) não se
alteram, a equação pode ser dada por:
( )( ) ( ) 11
2
1
22
2
2
22221111
22
22
AdV
V
AdV
V
mugzmugzWQ
AA
rrrr
&&&& •⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−•⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++−++=− ∫∫ ρρυρυρ
No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva.
( ) 11
2
1
22
2
2
111212
12
22
dAV
V
dAV
V
muugzgzWQ
AA
•⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−•⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+−+−=− ∫∫ ρρυρυρ &&&
Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que:
VdA
V
VdA
V
AA
ραρ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
22
22
Onde:
α: é o fator de correção da energia cinética
Pode-se escrever a equação da energia de uma forma mais compacta:
m
VV
ppuugzgzWQ &&&
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−+−+−=−
22
2
1
1
2
2
2121212 ααυυ
Para escoamento em regime turbulento, α é aproximadamente igual à unidade. Para
escoamento em regime laminar, α = 2.
Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−+−+−=−
22
2
1
1
2
2
2121212
VV
ppuugzgz
m
W
m
Q
ααυυ
&
&
&
&
Reescrevendo-se a equação,
( )
m
Q
uu
m
WV
pgz
V
pgz
&
&
&
&
−−+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++ 12
2
2
222
2
1
111
22
αυαυ
Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia
mecânica por unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo
.
m
W
&
representa a potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido

57
(Hs) e o termo
.
12 )(
m
Q
uu
&
−− representa a conversão irreversível de energia mecânica na
seção (1) em energia térmica não desejada e a perda de energia por transferência de
calor.
13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais:
Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos
de atrito (fluidos ideais), têm que:
.
12 )(
m
Q
uu
&
=−
A equação de Bernoulli pode ser dada então por:
sH
V
pgz
V
pgz =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
22
2
2
222
2
1
111 αυαυ
Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se
conserva. A equação é dada por:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
22
2
2
222
2
1
111
V
pgz
V
pgz αυαυ
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++ H
V
pgz
2
2
αυ constante Equação de Bernoulli para fluidos ideais
A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível
em regime permanente é constante.
13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli:
Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento
por meios gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem
dimensões de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais
são:
:
g
P
ρ
Energia de Pressão por unidade de peso do fluido ou carda devida à pressão
estática local.
z: Energia de Posição por unidade de peso do fluido ou carga de elevação.

58
g
V
2
2
α : Energia Cinética por unidade de peso do fluido ou carga devida à pressão
dinâmica local.
H: Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento.
Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva.
A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha
energética representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de
Bernoulli, a altura da linha energética permanece constante para o escoamento sem
atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica
representa a soma das alturas de carga devidas à elevação e à pressão estática. A
diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica representa a altura
de carga dinâmica (de velocidade).
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um
Duto.
Linha Energética:
g
V
g
p
z
2
2
++
ρ
Linha Piezométrica:
g
P
z
ρ
+ .

59
13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli:
13.6.2.1. Teorema de Torricelli:
Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante,
contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício
lateral.
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas.
A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a:
g
V
z
g
P
g
V
z
g
P
2
1
1
1
2
2
2
2
++=++
ρρ
Para escoamento turbulento, assume-se α1 = α2 = 1
A equação da Continuidade estabelece que a vazão volumétrica seja constante, ou seja,
2211 VAVAQ ==
No entanto, 21 AA >> . Pode-se considerar, portanto, 01 =V .
Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atmPPP == 21 .
Além disso, hzz =− 21
Portanto,
g
V
h
2
2
2
=
ghV 22 =
Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de
uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma
altura h.”.

60
13.6.2.2. Medidores de vazão:
Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem
diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em
duas classes: instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos
mecânicos medem a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os
dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma
corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genérico.
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de
controle usado para análise.
A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de
uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A
corrente principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma
vena contracta na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do
tubo. Na vena contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima.
A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da
equação de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação de massa. A
equação de Bernoulli estabelece que
g
V
z
g
P
g
V
z
g
P
22
2
1
11
1
2
2
22
2
α
ρ
α
ρ
++=++
Como z1 = z2, a equação se reduz a:
g
V
g
P
g
V
g
P
22
2
1
1
1
2
2
2
2
α
ρ
α
ρ
+=+
Assim, considerando-se escoamento turbulento, α1= α2 = 1 e:

61
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=−
2
1
2
221
2
VVPP
ρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=− 2
2
2
1
2
2
21 1
2 V
VV
PP
ρ
As velocidades 1V e 2V podem ser relacionadas através da equação de conservação de
massa,
2211 AVAV =
Ou
1
2
2
1
A
A
V
V
=
Assim,
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=−
1
2
2
2
21 1
2 A
AV
PP
ρ
A velocidade teórica (ideal) 2V é, portanto, dada por:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
2
1
2
21
2
1
2
A
A
PP
V
ρ
A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por:
22 AVQ =
( )
2
2
1
2
21
.
1
2
A
A
A
PP
Q
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
ρ
No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da
vazão através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando
a vena contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser
considerados uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes
quando os contornos medidos são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de
pressão influencia a leitura da pressão diferencial.
A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico tal
que:

62
( )
td AC
A
A
PP
Q ..
1
2
2
1
2
21
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
ρ
Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área
da garganta, e não a área do escoamento na seção 2.
São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão,
medidos com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na
entrada do medidor.
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi:
O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição da vazão ou da
velocidade em uma tubulação. Consiste em uma redução da seção do escoamento,
provocando um aumento de velocidade e uma queda na pressão. Em geral, os medidores
são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho
de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os
coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995 para altos números de Reynolds
(maiores que 2.105
). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa
com cerca de 1% de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos
fabricantes deve ser consultada.
A diferença de pressão entre um ponto no escoamento e um ponto no
estrangulamento é medida através de um líquido manométrico, como mostrado na fig.
33.
Figura 33 – Tubo de Venturi.
Aplicando-se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (fluido A),
2
2
22
1
2
11
22
z
g
V
g
P
z
g
V
g
P
AA
++=++
ρρ

63
No entanto, z1 = z2
g
V
g
P
g
V
g
P
AA 22
2
22
2
11
+=+
ρρ
Falta ainda relacionar as velocidades 1V e 2V à vazão mássica ou à vazão volumétrica.
A equação da continuidade estabelece que, para fluidos incompressíveis:
2211 AVAVQ ==
Ou:
2
1
12
2
2
1
1
A
A
VV
A
Q
V
A
Q
V
=
=
=
Igualando-se as expressões P1 e P2 e substituindo-se as expressões para as velocidades,
chega-se a:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−⋅
⋅=
1
2
2
2
1
21
1
A
A
PP
AQ
Aρ
13.6.2.2.2. Tubo de Pitot:
Assim como o tubo de Venturi, o tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para a
medição de vazão ou a velocidade de um escoamento. Podem ser utilizadas 2
configurações. Na primeira (Fig. 34), um tubo é inserido no escoamento. Ao entrar no
tubo, a velocidade do fluido é reduzida a zero, sem atrito. Aplicando-se a equação de
Bernoulli:
Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot.

64
2
2
22
1
2
11
22
z
g
V
g
P
z
g
V
g
P
++=++
ρρ
Mas: z1 = z2
2V =0
Assim,
g
P
g
V
g
P
ρρ
2
2
11
2
=+
ou:
2
2
112 VPP
=−
ρρ
As pressões podem ser relacionadas às alturas do fluido:
P1 = Patm+ 1ghρ
P2 = Patm+ 2ghρ
Substituindo-se na equação de Bernoulli,
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
g
PP
gV
ρ
12
1 2
( )121 2 hhgV −=
Na segunda configuração, é inserido um fluido manométrico, no qual será lida a
diferença de cotas (Fig. 35). Aplicando-se a equação de Bernoulli ao fluido A,
Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico.
2
2
22
1
2
11
22
z
g
V
g
P
z
g
V
g
P
AA
++=++
ρρ

65
Mas: z1 = z2
2V =0
Assim,
g
P
g
V
g
P
AA ρρ
2
2
11
2
=+
ou:
2
2
112 VPP
AA
=−
ρρ
As pressões nos pontos 1 e 2 podem ser relacionadas através das seguintes expressões:
PC = P1+ 1ghAρ
PD = P2+ 2ghAρ
Mas,
)( 21 hhgPP BDC −+= ρ
Assim,
ghhPP BA ))(( 2112 −−=− ρρ
A velocidade do escoamento é dada, então, por:
A
BA hhg
V
ρ
ρρ ))((2 21
1
−−
=
13.6.2.2.3. Placa de orifício:
A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a
sua geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais
desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga. As tomadas de
pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das tomadas
influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de
manuais. A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com
tomadas de canto (fig.36) é:
5,2
75,0
81,2
Re
71,91
184,00312,05959,0 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
Dl
D
Dl
D
Dl
D
C t
Dl
tt

66
Figura 36 (a) – Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de
orifício.
Equações de correção similares estão disponíveis para placas de orifícios com tomadas
de flange e com tomadas de pressão D e D/2.
Figura 36 (b) – Placa de Orifício.
A1 = área da seção reta do tubo.
A3 = área da seção reta à entrada do orifício (montante).
A2 = área da seção reta à saída do orifício (jusante).
Aplicando a equação de Bernoulli entre A1 e A2, temos:
2
2
22
1
2
11
22
Z
g
Vp
Z
g
Vp
++=++
γγ
(1)
Porém, a área na seção reta na “vena contracta” será multiplicada por um fator CC
chamado coeficiente de contração, então:
02 ACA C= (2)

67
Assim sendo,
0211 ACVAVQ c== (3)
Cortando Z1 e Z2 na equação (1) e substituindo (3) em (1), temos,
2
0
2
2
2
1
2
1
22 )AC(g
QP
gA
QP
c
+=+
γγ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=− 2
1
2
0
2
2
21
11
2 AACg
Q
hh
C
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=− 2
1
2
0
2
2
0
22
1
2
21
2 AAC
ACA
g
Q
hh
C
C
( )212
0
22
1
2
1
2
0
2
2 hhg
ACA
AAC
Q
C
C
−⋅
−
=
( )212
1
02
2
1
12
0
2
2
1
hhg
A
A
C
A
A
AC
Q
C
C
−⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
( )212
1
02
0
2
1
hhg
A
A
C
AC
Q
C
C
−⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
Para obtermos a vazão real, devemos considerar o coeficiente de velocidade “CV”
responsável pelas perdas por atrito e choques no orifício, então:
( )212
1
02
0
2
1
hhg
A
A
C
ACC
Q
C
CV
−⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= (4)
Definimos o coeficiente de forma do orifício “C” como sendo a relação:
2
1
02
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
A
A
C
CC
C
C
CV
(5)
A equação (4) pode ser escrita:
( )210 2 hhgCAQ −= (6)

68
13.6.2.2.4. Pressão de estagnação:
É obtida quando um fluido em movimento é desacelerado até a velocidade zero
por meio de um processo sem atrito.
Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática.
=++ z
g
VP
2
2
γ
constante
g
VPP
2
2
0
+=
γγ
onde:
P0: é a pressão de estagnação
00 =V
z0 = z
P: pressão estática (é a pressão termodinâmica, é aquela pressão que seria medida por
um instrumento movendo-se com o escoamento).
g
VPP
2
2
0
=
−
γ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
γ
PP
gV 0
2
13.7. Equação de Bernoulli para fluidos reais – perda de carga:
pH
g
V
z
g
P
g
V
z
g
P
∆+++=++
22
2
1
1
1
2
2
2
2
ρρ
Este último termo é denominado perda de carga, (∆HP) que é a energia por unidade de
peso do líquido, dissipada em forma de calor devido à viscosidade e ao desvio de massa
pelos acessórios e, quando turbulento o regime de escoamento, pela rugosidade.

69
13.7.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli para fluidos reais:
Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real.
:
g
P
ρ
Energia de Pressão por unidade de peso do fluido.
:z Energia de Posição por unidade de peso do fluido.
:
2
2
g
V
Energia Cinética por unidade de peso do fluido.
:pH∆ Perda de Carga entre os pontos 1 e 2.
A perda de carga ( )pH∆ depende da rugosidade (ε) e do comprimento (L) da tubulação
e da presença de acessórios e conexões no sistema. A perda de carga total é, portanto, a
soma da perda de carga contínua ( )pCH∆ , devida ao atrito do escoamento com as
paredes ao longo da tubulação, com a perda de carga local ( )pLH∆ , devida à perda de
pressão pelo atrito do escoamento com os acessórios e conexões, mudanças de área e
outros.
PLPCP HHH ∆+∆=∆
A perda de carga unitária é definida como sendo a razão entre a perda de carga e
o comprimento da tubulação:
L
H
J P∆
=

70
A perda de carga entre duas seções quaisquer do escoamento pode ser calculada
através de relações empíricas que dependem principalmente do regime de escoamento e
da rugosidade relativa do duto.
13.7.2. Tipos de perda de carga:
13.7.2.1. Perdas de carga contínuas: ocorre nos trechos retos.
g
V
D
L
fHPC
2
2
=∆
onde: L é a distância percorrida pelo fluido entre as 2 seções consideradas, DIM: [L].
D é o diâmetro do duto, DIM: [L].
V é a velocidade média do fluido, DIM: [L/t].
g é a aceleração da gravidade, DIM: [L/t2
].
f é o coeficiente de atrito.
O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito.
Basicamente, ele depende da rugosidade (ε) e do diâmetro da tubulação (D), da
velocidade média do escoamento ( )V e das propriedades do fluido (ρ e µ). Através da
análise dimensional, obtém-se que o fator de atrito é função de 2 adimensionais: a
rugosidade relativa (k/D ou ε/D) e o número de Reynolds.
O adimensional de Reynolds, ou Re é dado por:
υµ
ρ DVDV
==Re
O número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento:
2100Re ≤ , o escoamento é laminar.
Se 4000Re2100 << , o escoamento está na faixa de transição.
4000Re ≥ , o escoamento é turbulento.
O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares,
o fator de atrito pode ser calculado por:

71
Re
64
=f
Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais
complicada. A expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−= 5,05,0
.Re
51,2
7,3
/
log2
1
f
D
f
ξ
No entanto, a expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por
um procedimento iterativo. Miller sugere um valor inicial para o fator de atrito(f0), dado
por:
2
9,00
Re
74,5
7,3
/
log25,0
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
D
f
ξ
Substituindo-se o resultado da equação de Miller na equação de Colebrook,
pode-se determinar um valor para o fator de atrito com cerca de 1% de erro.
Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram
determinados experimentalmente para uma série de valores de Re e de (k/D ou ε/D) e
sumarizados em um ábaco (Fig.38), denominado Ábaco de Moody.
Moody apresenta também uma tabela (Tab.3) para determinação da rugosidade
absoluta (ε) em tubos, para alguns materiais comuns de engenharia.
Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia.
Material Rugosidade ε (mm)
Aço rebitado 0,9 a 9
Aço comercial 0,046
Concreto 0,3 a 3
Ferro fundido 0,26
Ferro fundido asfaltado 0,12
Ferro galvanizado 0,15
Madeira 0,2 a 0,9
Trefilado 0,0015

72
Figura 39 - Ábaco de Moody.

73
Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa.

74
13.7.2.2. Perdas de carga localizadas:
Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma
série de acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao
passar por estes obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão
diminuída. As perdas de carga locais foram determinadas experimentalmente e
modeladas segundo duas equações diferentes.
1o
método: Método direto
( ) g
V
kHPL
2
2
∑=∆
k: é o coeficiente de perda local (característica do acessório – Fig. 41)
Figura 41 – Valores aproximados de k.

75
2o
método: Método dos comprimentos equivalentes
Consiste em transformar o acessório em trecho reto com o mesmo diâmetro e
material.
g
V
D
L
fH e
PL
2
2
=∆
Le: é o comprimento equivalente da tubulação (Fig. 41)
A perda de carga total é:
PLPcP HHH ∆+∆=∆
Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço.
A entrada do escoamento em tubos pode causar uma perda de carga
considerável, se for mal projetada. Na Tab. 4, são apresentadas 3 geometrias básicas
de entradas. Para saídas, o coeficiente de perda local vale 1,0.

76
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos.
Toda energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento
descarrega de um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim,
para uma saída submersa, o coeficiente de perda é igual a α, não importando a
geometria.
Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este
caso, a Tab. 5 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de área
AR (razão entre a menor e a maior área da contração ou expansão).
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão.
Para uma expressão abrupta, o coeficiente de perda de carga pode ser modelado pela
equação:
K = (1-RA)2

77
As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pala instalação
de um bocal ou um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo
utilizado para a redução gradual da seção do escoamento (Fig.43). A Tab. 6 apresenta os
coeficientes de perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para
diferentes ângulos θ.
Figura 43 – Redução de Área – Bocal.
Tabela 6 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção
Kcontração θ
A2 / A1 10º 15º - 40º 50º - 60º 90º 120º 150º 180º
0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26
0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41
0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43
As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem
de diversas variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um
aumento da pressão estática do escoamento (redução da velocidade média), o
coeficiente de perda é comumente apresentado em termo de um coeficiente de
recuperação de pressão, CP:
2
1
12
2
1
V
PP
CP
ρ
−
=
O coeficiente de perda é dado por
PC
AR
K −−= 2
1
1
Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de
recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados.
2
1
1
AR
CPi −=
PPi CCK −=

78
A Fig. 44 apresenta os coeficientes de carga para difusores, em função do ângulo total
do difusor.
Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor.
Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de
perda por (U2
/2g). No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas
velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser
usado o maior valor de velocidade.
As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser
escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para
cada um dos acessórios, são mostrados na Tab. 7.
Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões.
Acessórios Le/D
Válvula Gaveta 8
Válvula Globo 340
Válvula Angular 150
Válvula de Esfera 3
Válvula Globo de Retenção 600
Válvula Angular de Retenção 55

79
Válvula de pé com Crivo Guiado 420
Válvula de pé com Crivo Articulado 75
Cotovelo Padrão de 90º 30
Cotovelo Padrão de 45º 16
Curva de Retorno – 180º 50
Tê Padrão: Escoamento Principal 20
Tê Padrão: Escoamento Lateral 60
Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de
fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem
desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma
grande variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a
realizar, das propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da
temperatura do escoamento e da forma de acionamento pretendida.
As válvulas de gaveta (Fig.45) são válvulas mais empregadas para escoamento de
líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do
escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o
volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção.
Figura 45 – Válvula de gaveta.
As válvulas de esfera são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito usadas
para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por meio
de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O
comando é, em geral, manual, com auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se
aplicam, a casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar
totalmente a passagem do fluido.

80
As válvulas globo (Fig. 46) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja
extremidade existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do
fluido por orifício. Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com tampão da
vedação do orifício em qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga,
mesmo com abertura máxima.
Figura 46 – Válvula Globo.
As válvulas de retenção (Fig.47) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há
a tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela
diferença de pressão provocada.
Figura 47 – Válvula de Retenção.
Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas da carga
localizadas. Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da
literatura, proposta por Fox e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como
dados representativos para algumas situações comumente encontradas. Para válvulas, o
projeto irá variar significativamente, dependendo do fabricante. Sempre que possível, os

81
valores fornecidos pelos fabricantes deverão ser utilizados para a obtenção de dados
mais precisos. Além disso, como as perdas de carga introduzidas por acessórios e
válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos cuidados tomados durante a
fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos, por exemplo, poderão
causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas.
13.8. Potência fornecida por uma bomba
Se for necessário transportar um fluido de um ponto a outro situado em uma posição
mais elevada, pode-se utilizar uma bomba. A bomba fornecerá ao fluido uma
quantidade de energia por unidade de peso do fluido Hman.
Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba.
Aplicando-se a equação de Bernoulli para fluidos reais entre os pontos 1 e 2,
pman H
g
V
g
P
zH
g
V
g
P
z ∆+++=+++
22
2
22
2
2
11
1
ρρ
A potência real da bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por:
manB QHN γ=
Onde: γ: é o peso específico do fluido ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
L
F
DIM
Q: é a vazão volumétrica através da bomba ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
t
L
DIM
3

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