Permutação Simples e Permutação com Repetição

1. 3B – Análise combinatória II
Permutação Simples
E
Permutação com Repetição

2. Permutação
• Significado: Vamos contar agora, o número de maneiras que podemos
ordenar uma certa quantidade de elementos.
Ou seja,
Permutação é o numero de misturas que podemos fazer.
Palavras-chave: Ordenar / Misturar.

3. Permutação Simples
• É quando não há repetição de nenhum elemento .
• Exemplo 1: De quantas maneiras podemos ordenar(misturar) as letras
a, b e c ?
• Exemplo 2: Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra TRIGO?
• Exemplo 3: Quantos resultados possíveis existem numa prova de
natação disputada por 8 atletas, desconsiderando empates?

4. Permutação Simples
• Definição: O número de permutações simples de n objetos distintos é
dado por
𝑃𝑛 = 𝑛!

5. Permutação com Repetição
• Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra OSSO ?

6. 1º) Vamos analisar o diagrama diferenciando as letras, teremos então:
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
Se considerarmos as letras da palavra OSSO como sendo
elementos distintos, teremos 𝑃4 = 4! = 24 ordenações.

7. 2º) Vamos analisar o diagrama sem diferenciar as letras, teremos então:
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
Veja que há um grande número de repetições, sobrariam apenas
6 tipos de ordenações distintas.

8. OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
OSSO SOOS SSOO OOSS SOSO OSOS
Como podemos eliminar essa repetição de elementos na contagem final ?

9. 1º) Pensamos no total de permutações (ordenações) diferenciando os
elementos. Logo temos 𝑃4 = 4!
2º) Pensamos nas ordenações dos elementos que se repetem.
- As duas letras O ordenam-se de 𝑃2 = 2! maneiras.
- As duas letras S ordenam-se de 𝑃2 = 2! maneiras.
3º) Para não haver diferenciação, o cálculo pode ser resumido em:
𝑃4
𝑃2. 𝑃2
=
24
2.2
= 6

10. • De modo geral, o número de permutações de n elementos, dos quais um
deles é repetido ∝ vezes, o outro é repetido β vezes, o outro é repetido γ
vezes, ..., é dado por:
𝑃𝑛
α, β, γ,…
=
𝑛!
α!. β!. γ! …

11. Exemplo 2: Qual o número de modos de uma pessoa dirigir-se do ponto P
ao ponto Q, podendo apenas andar para o norte ou para o leste ?
N
S
LO