Este documento apresenta duas atividades desenvolvidas no ambiente TI-Nspire para explorar conceitos matemáticos. A primeira atividade investiga a relação entre o alcance e a velocidade inicial de um projétil através de uma regressão linear. A segunda representa graficamente a refração da luz ao atravessar meios com índices de refração diferentes, permitindo variar parâmetros interativos.

1. Matemática em ambiente TI-
Nspire
ESCOLA SECUNDÁRIA DE CAMÕES
2011
Josefina Calapez - Isabel Baldé - Célia Martins - António Borges

2. 1
|MatemáticaemambienteTI-Nspire
Questão – Problema 1
“Qual a relação entre o alcance e a velocidade inicial de um projéctil lançado horizontalmente?”
0 0 0
0
2 2 2
0
( ) . . .
1 1 1
( ) . . . . . . 2
2 2 2
q
q
alc
tx t v t alc v t alc v t v
y t y g t h g t h g t h
t
g

     
   
    
          

O b jectivo 1
Considerando os resultados experimentais (tabela I) obtidos no lançamento horizontal de uma
bola, pretende-se encontrar a relação entre a velocidade inicial da bola e o seu alcance.
O b jectivo 2
Extrapolar (aplicando a relação obtida) velocidades iniciais a partir do alcance e vice-versa
Exemplo: “Determinar a velocidade inicial da bola para que o alcance seja de 6,00m”
Dados
Alcance (m) 1,87 2,32 2,66 3,27 3,68 4,09
Intervalode tempo marcadono contador
digital quando a esfera bloqueia a célula (ms) 3,26 2,42 1,97 1,66 1,50 1,36
tabela I
Diâmetro da bola = 1,90 cm
Res olução do pr ob lema

3. 2
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1. Abrir uma folha de cálculo e inserir os valores experimentais ( colunas Ae C ) representando
respectivamente o alcance (alc) e o tempo marcado no contador digital (tem).
2. Definir a variável vel na coluna B como sendo o quociente entre 0,019 e a variável tem
(diâmetro da bola a dividir pelo tempo) e multiplicar por 1000 (conversão para segundos).
3. Executar a regressão linear
menu + Estatística + Cálculos estatísticos + Regressão linear (mx+b)…
Definindo na regressão linear:
Lista X: a1:a6
Lista Y: b1:b6
Guardar a equação (por exemplo f2)
Guardar os resultados numa coluna não preenchida da tabela (por exemplo g[ ])
Os parâmetros da regressão linear efectuada ficarão registados na tabela

4. 3
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4. Abrir uma página de gráfico e representar o gráfico da função f2 ( por selecção) e
representar os pontos da dispersão.
menu + Tipo de gráfico + Gráfico de dispersão
escolher a variável vel para abcissa (x) e a variável alc para ordenada (y)
5. Ajustar a janela de visualização
menu + janela + zoom-ajustar
Nesta fase são já visíveis os valores experimentais assim como a recta de regressão e sua
equação.
Extrapolação

5. 4
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6. Seleccionar um ponto sobre a recta de regressão, representar as coordenadas desse ponto
e depois alterar a ordenada para o valor pretendido.
menu + Pontos e Rectas + Ponto sobre um objecto
(escolher um ponto sobre a recta de regressão)
Sobre o ponto premir ctrl + menu + Coordenadas e equações
Sobre a ordenada do ponto premir duas vezes sobre a ordenada e alterar o valor para 6.
A velocidade correspondente a esse alcance será a abcissa desse ponto.
Novas extrapolações, ou interpolações poderão ser efectuadas, alterando ou a abcissa ou a
ordenada do ponto.
Questão – Problema 2

6. 5
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“Determinar o valor do ângulo de refracção de um feixe que atravessa dois meios
com índices de refracção distintos”
1 2sin sinincidência reflexão inc refrn n      
O b jectivos
Utilizando as capacidades gráficas da TI-nspire:
 Representar graficamente o feixe incidente e o seu valor.
 Representar graficamente o feixe reflectido e o seu valor.
 Representar graficamente o feixe refractado e o seu valor.
 Apresentar o valor do ângulo crítico na possibilidade de reflexão total
 Possibilitar ao utilizador a selecção do valor do ângulo de incidência e dos índices de
refracção de cada um dos meios.
1. Abrir uma página de gráficos

7. 6
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doc + Ficheiro + Novo documento + Adicionar Gráficos
2. Representar a superfície de separação dos dois meios.
(segmento horizontal largo de cor cinzenta)
menu + Pontos e Rectas + Segmento
Seleccionar o primeiro ponto na extremidade esquerda do eixo das abcissas e o segundo
ponto na extremidade direita do eixo das abcissas.
Colocar o cursor sobre o segmento e premir sequencialmente
Ctrl + menu + Atributos (alterar a Espessura da linha para  grossa)
Colocar novamente o cursor sobre o segmento e premir sequencialmente
Ctrl + menu + Cor + Cor da recta (alterar a cor para  cinzento)

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Colocar o cursor sobre os dois pontos que limitam o segmento e premir sequencialmente
Ctrl + menu + Ocultar (fazer para ambos os pontos)
3. Representar a direcção normal à superfície de separação dos dois meios.
(segmento vertical com largura média, descontínuo e de cor cinzenta)
menu + Pontos e Rectas + Segmento
seleccionar o primeiro ponto na extremidade de cima do eixo das ordenadas e o segundo
ponto na extremidade de baixo do eixo das ordenadas.
Colocar o cursor sobre o segmento e premir sequencialmente
Ctrl + menu + Atributos (alterar a espessura da linha para grossa)

9. 8
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(alterar a estilo da linha para quebrada)
Colocar novamente o cursor sobre o segmento e premir sequencialmente
Ctrl + menu + Cor + Cor da recta (alterar a cor para  cinzento)
Colocar o cursor sobre os dois pontos que limitam o segmento e premir sequencialmente
Ctrl + menu + Ocultar (fazer para ambos os pontos)
4. Definir o ângulo de incidência (θinc) e configurar selector
menu + Acções + Inserir selector
Definir como variável θinc

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Com o cursor sobre o selector premir sequencialmente
ctrl + menu + Definições
Definir como limites de θinc os valores 0 (mínimo) e 90 (máximo).
Seleccionar a opção Minimizado colocando um visto.
5. Definir os índices de refracção dos dois meios (n1 e n2)
menu + Acções + Texto
Premir sobre o 1º Quadrante e escrever o valor do índice do meio 1 ( 1.7 por exemplo)
Premir sobre o 4º Quadrante e escrever o valor do índice do meio 2 ( 1.3 por exemplo)
Relacionar cada um dos valores inseridos com n1 e n2
Com o cursor sobre o primeiro valor inserido premir em

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Var + Guardar Var e definir a variável como n1
Com o cursor sobre o segundo valor inserido premir em
Var + Guardar Var e definir a variável como n2
6. Representar as rectas que definem a direcção dos feixes incidente, reflectido e refractado
Incidente: (segmento obliquo no 2º quadrante com inclinação θinc relativamente ao eixo vertical)
Reflectido: (segmento obliquo no 1º quadrante com inclinação θrefl relativamente ao eixo vertical)
Refractado: (segmento obliquo do 4º quadrante com inclinação θrefr relativamente ao eixo vertical)
Definir a função f1  1( ) cot( )f x inc x  
Definir a função f2  2 ( ) cot( )incf x x 
Definir a função f3   1
3
1
( ) cot sin sin
2
inc
n
f x x
n
  
     
  
Nesta fase poder-se-á ocultar as expressões das funções f1, f2 e f3, bastando para isso
colocar o cursor sobre cada uma das expressões e premir ctrl + menu + Ocultar

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7. Definir os pontos que possibilitam a representação dos diferentes feixes.
Para melhor visualização, estes pontos serão equidistantes à origem do referencial.
menu + Formas + Circunferência
Selecciona-se como centro da circunferência a origem do referencial e deslizando o cursor
escolhe-se uma circunferência de forma a aproveitar a amplitude vertical do ecrã.
Menu + Pontos e Rectas + Ponto(s) de intersecção
Marcam-se sucessivamente, os pontos de intersecção entre cada uma das rectas e a
circunferência.
Nesta fase poder-se-á ocultar o traçado dos eixos, o traçado das rectas, o traçado da
circunferência, três dos pontos de intersecção e as etiquetas associadas aos limites dos eixos

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menu + Acções + Ocultar
8. Definir os segmentos representativos dos feixes.
menu + Pontos e Rectas + Segmento
“Raio incidente”  segmento definido entre o ponto do 3º Quadrante e a origem do referencial)
“Raio reflectido”  segmento definido entre o ponto do 3º Quadrante e a origem do referencial)
“Raio refractado”  segmento definido entre o ponto do 3º Quadrante e a origem do referencial)
Configurar o traçado dos “segmentos”
ctrl + menu + Atributos (alterar a estilo da linha para quebrada)
9. Apresentar legenda e outras informações.
Com o cursor sobre cada um dos pontos terminais premir sequencialmente

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ctrl + menu + Etiqueta (definir a legenda associada aos três raios)
Identificar os meios de separação menu + Acções + Texto
Inserir o texto “Meio 1” e posicionar a caixa de texto no 2º Quadrante junto ao eixo das abcissas.
Inserir o texto “Meio 2” e posicionar a caixa de texto no 3º Quadrante junto ao eixo das abcissas.
Apresentar o valor do ângulo de reflexão menu + Medição + Ângulo
Seleccionar como primeiro ponto um que se situe no semi-eixo positivo das ordenadas, o segundo
como sendo a origem do referencial e o terceiro sobre o segmento que representa a reflexão.
Apresentar o valor do ângulo de refracção menu + Medição + Ângulo
Seleccionar como primeiro ponto um que se situe no semi-eixo negativo das ordenadas, o segundo
como sendo a origem do referencial e o terceiro sobre o segmento que representa a refracção.
Seleccionar o valor ângulo referente à reflexão e premir var + Guardar Var
Identificar a variável como θrefl e posicionar a caixa no canto superior direito.

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Seleccionar o valor ângulo referente à refracção e premir var + Guardar Var
Identificar a variável como θrefr e posicionar a caixa no canto inferior direito.
Apresentar o valor do ângulo crítico menu + Acções + Texto
Com o cursor na caixa de texto premir em trig e seleccionar sin-1 e escrever n2/n1 entre parêntesis
Seleccione a caixa de texto e prima sequencialmente ctrl + menu + Calcular
Oculte a expressão sin-1(n2/n1) ctrl + menu + Ocultar
Seleccione o valor do ângulo crítico e prima sequencialmente var + Guardar Var
Identificar a variável como θcr e posicionar a caixa no canto inferior esquerdo.
10. Apresentação gráfica a partir de três vectores do sentido dos diferentes raios.
menu + Pontos e Rectas + Vector

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(Para o raio incidente)
Seleccionar o ponto inicial do raio incidente e o ponto médio desse mesmo segmento.
(Para o raio reflectido)
Seleccionar a origem do referencial e o ponto médio desse mesmo segmento.
(Para o raio refractado)
Seleccionar a origem do referencial e o ponto médio desse mesmo segmento.
Configurar o traçado dos “vectores”
Seleccionar cada um dos vectores e premir sequencialmente
ctrl + menu + Atributos (alterar a estilo da linha para quebrada)
Ocultar os pontos adjacentes às setas dos vectores e os que se apresentam no eixo vertical
assim como os arcos de circunferência ainda visíveis.
menu + Acções + Ocultar

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Alterar os atributos dos pontos ainda visíveis (não se podem ocultar devido às etiquetas
associadas que desempenham o papel de legenda)
Seleccionar os pontos e premir sequencialmente
ctrl + menu + Atributos (alterar para  Ponto)
Depois de concluída, esta aplicação “dinâmica” permite alterar quer o valor do ângulo de
incidência, quer os índices de refracção dos dois meios.
No caso de se verificar reflexão total, o raio refractado obviamente não existe, e no caso de não
ser possível a reflexão total não há ângulo (θcr = indef)
Alguns exemplos