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  1. 1. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES Denominamos de Sistemas de Amortização às diferentes formas de devolução de um empréstimo. Existem vários tipos Sistemas de Amortização: • Sistema de Amortização Constante (SAC); • Sistema de Amortização Francês (tabela Price). II. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (tabela Price). O sistema de amortização francês possui como principal característica o fato das prestações serem constantes e serem calculadas segunda uma renda certa (anuidade): EXEMPLO: Considere um empréstimo de R$ 100.000,00 que será devolvido pelo Sistema de Amortização Francês em 4 prestações mensais e postecipadas à taxa de juros composta de 10% ao mês. Construa a planilha de pagamentos. No caso do Sistema Francês o primeiro passo é determinar a prestação: Cálculo da prestação: 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 ∙ 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 ⇒ 𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑎 𝑛¬𝑖 ⇒ 100.000 = 𝑃 ∙ 𝑎4¬10% Na tabela II encontra-se o fator: 𝑎4¬10% = 3,169865 RESOLUÇÃO: Substituindo: 𝑃 = 100.000 𝑎4¬10% = 100.000 3,169865 ⇒ 𝑃 = 31.547,08 Características do Sistema Francês:  As prestações são constantes;  Os juros são decrescentes (já que o saldo devedor diminui);  A maior amortização do Sistema Francês (Price) é a última;  As amortizações são crescente e obedecem uma progressão geométrica. A amortização de um período pode ser calculada através da seguinte fórmula: 𝐴 𝑘 = 𝐴1 ∙ (1 + 𝑖) 𝑘−1  A última cota de amortização é igual ao penúltimo saldo devedor;  O saldo devedor, após o pagamento de determinada prestação, será calculado através do valor atual das prestações a vencer utilizando a noção da amortização postecipada. EXERCÍCIOS EM AULA 01. (APOFP ESAF) Um financiamento no valor de R$ 76.060,80 deve ser pago em 15 prestações semestrais iguais de R$ 10.000,00, vencendo as prestações ao fim de cada semestre. Qual o valor mais próximo da parcela que corresponde à amortização do saldo devedor, na segunda prestação?
  2. 2. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 2 (A) R$ 2.394,00 (B) R$ 7.606,00 (C) R$ 2.897,00 (D) R$ 7.103,00 (E) R$ 2.633,00 RESOLUÇÃO: 02. (SEFAZ ESAF CE) Um financiamento deve ser pago em dezoito prestações mensais de R$ 1 000,00, vencendo a primeira prestação ao fim de trinta dias e assim sucessivamente. Dado que a taxa de juros do financiamento é de 1% ao mês, calcule o valor mais próximo dos juros pagos na primeira prestação. (A) R$ 164,00 (B) R$ 214,00 (C) R$ 260,00 (D) R$ 300,00 (E) R$ 328,00 RESOLUÇÃO: 03. (ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E LOGÍSTICA JÚNIOR PETROBRÁS BIOCOMBUSTÍVEL CESGRANRIO 2010) Um empréstimo de R$ 3.500,00 será pago em prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 270,00, vencendo a primeira um mês após o empréstimo. O financiamento foi realizado a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. O valor da amortização, em reais, incluído na segunda prestação, é: (A) 200,00 (B) 201,00 (C) 202,00 (D) 203,00 (E) 204,00 RESOLUÇÃO: 04. (ANALISTA JUDICIÁRIO CONTABILIDADE TSE CESPE) Um imóvel no valor de R$ 120.000,00 foi totalmente financiado em 60 prestações iguais, utilizando-se o sistema francês de amortização. O valor de cada prestação é igual a R$ 6.340,00 e a taxa de juros utilizada foi de 5% ao mês. Nessa situação, a parcela de pagamento de juros e a parcela de amortização da dívida incluídas na 2.ª prestação a ser paga são iguais, respectivamente, a: (A) R$ 5.646,00 e R$ 694,00. (B) R$ 5.733,00 e R$ 607,00. (C) R$ 5.892,00 e R$ 448,00. (D) R$ 5.983,00 e R$ 357,00. RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 05. (TÉCNICO DE SUPRIMENTO DE BENS E SERVIÇOS ADMINISTRAÇÃO PETROBRÁS CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados sobre o
  3. 3. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 3 saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de amortização utilizado na transação descrita foi: (A) Amortização Constante. (B) Amortização Francês (Tabela Price). (C) Amortização Americano. (D) Amortização Misto. (E) Amortizações Variáveis. RESOLUÇÃO: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS FLUXO DE CAIXA É a representação esquemática de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo. Consta de eixo horizontal onde é marcado o tempo a partir da origem. As entradas de dinheiro são indicadas por setas orientadas para cima e as saídas por setas para baixo. Daí: 𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 = 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎𝑠 – 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑎𝑠 Onde:  Receitas = entradas = recebimentos = depósitos; são representados por seta para cima ou sinal positivo.  Despesas = saídas = pagamentos = desembolsos = dispêndios; são representados por setas para baixo ou sinal negativo. EXERCÍCIOS EM AULA 01. (AFRF ESAF) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. (A) R$ 2.511,00 (B) R$ 0,00 (C) R$ 2.646,00 (D) R$ 3.617,00 (E) R$ 2.873,00 RESOLUÇÃO: VALOR PRESENTE LIQUÍDO (VPL) É o método que determina a diferença entre os valores atuais (presentes) das entradas do fluxo de caixa e os valores atuais (presentes) das saídas do fluxo de caixa. Dai, pode – se escrever que: 𝑉𝑃𝐿 = 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 − 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑠 Importante: 1. O Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa pode ser indicado pela seguinte expressão: Valor Atual do Fluxo de Caixa. 2. Existam três possibilidades para o VPL: a) VPL ˃ 0 – lucro; b) VPL = 0 – nem lucro, nem prejuízo; c) VPL ˂ 0 – prejuízo. 3. Dois fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo Valor Presente Líquido (VPL).
  4. 4. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 4 EXERCÍCIOS EM AULA 01. (TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE PETROBRÁS CESGRANRIO) Considere o fluxo de caixa representado a seguir: O valor presente líquido desse fluxo de caixa, na data da zero, à taxa de 10% ao ano, a juros compostos, em reais, é: a) 6.000,00 b) 7.000,00 c) 11.800,00 d) 12.000,00 e) 15.705,00 RESOLUÇÃO: 02. (ANALISTA SERPRO) Considerando o fluxo de caixa a seguir, com a duração de dez períodos, calcule o seu valor atual em zero, a uma taxa de juros de 10% ao período. (A) 222,44 (B) 228,91 (C) 231,18 (D) 243,33 (E) 250,25 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) É a taxa de juros compostos que torna o Valor Presente Líquido (VPL) nulo. Ou seja, é a taxa que iguala o valor presente das entradas ao valor presente das saídas. 𝑇𝐼𝑅 ⇒ 𝑉𝑃𝐿 = 0 ⇒ 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 − 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑠 = 0 ⇒ 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 = 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑠 EXERCÍCIOS EM AULA 01. (AUDITOR PREFEITURA DE NATAL ESAF) Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a opção correta para as seguintes sentenças: I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos numa sequência histórica (de datas). II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo). 02. (TÉCNICO BANCARIO CEF CESGRANRIO CEF 2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser: (A) 216,5 (B) 217,5 (C) 218,5
  5. 5. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 5 (D) 219,5 (E) 220,5 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: CUSTO REAL DE UM INVESTIMENTO – TAXA REAL, TAXA APARENTE (NOMINAL) E TAXA DE INFLAÇÃO Ao se fazer um investimento a uma determinada taxa, caso durante o período do investimento ocorra inflação, o valor resgatado foi teve seu valor real diminuído (imagine o valor de compra, foi reduzido, corroído) pela inflação. Dessa forma, tem-se três taxas nessa situação:  Taxa do investimento - taxa aparente: 𝐴  Taxa de inflação: 𝐼  Taxa real: 𝑅 A fórmula que relaciona as três taxas é a seguinte: 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑅𝑒𝑎𝑙 = 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜 ⇒ (1 + 𝑅) = (1 + 𝐴) (1 + 𝐼) Importante: quando substituir na fórmula as taxas, colocar na fórmula decimal. EXERCÍCIOS EM AULA 01. (PETROBRAS CESGRANRIO 2011) Uma aplicação financeira é realizada em um período com inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no período foi de: (A) 3,02% (B) 3,10% (C) 8,10% (D) 8,24% (E) 8,32% RESOLUÇÃO: 02. (CONTADOR DNOCS FCC 2010) Uma aplicação no valor de R$ 20.000,00 resultou, depois de um ano, em um montante igual a R$ 22.260,00. Se a taxa de inflação deste período foi de 5% significa que a taxa anual real referente à aplicação foi de: (A) 5,6%. (B) 5,8%. (C) 6,0%. (D) 6,3%. (E) 6,5%. RESOLUÇÃO:

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