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  1. 1. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/APlanos de Amortizações de Empréstimos e Financiamentos (6.1) Reembolso de Empréstimos sem Atualização Monetária O processo de reembolso de um empréstimo consiste nospagamentos das prestações em épocas determinadas. Estas prestaçõesconsistem em duas parcelas: a) as amortizações (devolução do principalemprestado). B -Os juros que corresponde ao saldo do empréstimo nãoreembolsado, ou seja: P= A+J (prestação será igual às amortizações mais osjuros). O termo carência designa o período que vai desde a data deconcessão do empréstimo até a data que será paga a primeira prestação. Emgeral, este período é negociado entre o credor e o mutuário, ou devedor.Qualquer sistema de amortização pode ou não ter carência. Alguns dos principais e mais utilizados sistemas de amortizaçãoou reembolso de empréstimo são: A) Sistema Francês de Amortização. B)Tabela Price. C) Sistema de Amortização Constante.(SAC). D) Sistema deAmortização Crescente. (SACRE) (6.2) Sistema Francês de Amortização.(Exemplo 01) Um empréstimo de $200.000,00 será pago pelo sistema francêsde amortização em 4 prestações mensais postecipadas, sem período decarência. Se a taxa de juros é de 10% ao mês, Construir a planilha.Solução:Considerando que o principal será devolvido em 4 prestações iguais temos quecalcular ema série uniforme que por nosso modelo básico de rendas uniformespode der assim calculada: U=P(P/U, i%,n)=$63.094,00.O procedimento seguido na elaboração do quadro de pagamentos é o seguinte:·(1) Cálculo da prestação:Rt = $63.094,002) Calculam-se os juros sobre o saldo devedor do período anterior:J t = i ⋅ SDt −1 = 0,10 ⋅ $156.906,00 = $15.690,603) A amortização de cada período é calculada pela diferença entre o valor daprestação e o juros do período:At = Rt − J t = $63.094,00 −$15.690,60 = $47.403,40 -1- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  2. 2. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A4) O saldo devedor de cada período será igual ao saldo devedor do períodoanterior menos a amortização do período:SDt = SDt −1 − At = $156.906,00 − $47.403,40 Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SDt = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $200.000,00 - - - 1 $156.906,00 $43.094,00 20.000,00 $63.094,00 2 $109.502,60 $47.403,40 $15.690,60 $63.094,00 3 $57.358,86 $52.143,74 $10.950,26 $63.094,00 4 0 $57.358,86 $5.735,89 $63.094,00_______________________________________________________________(Exercício 02): No exemplo anterior, se considerarmos um período decarência de 3 meses em que serão pagos unicamente os juros devidos,construir a planilha de amortização pelo método francês Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SD t = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $200.000,00 - - - 1 $200.000,00 - $20.000,00 $20.000,00 2 $200.000,00 - $20.000,00 $20.000,00 3 $156.906,00 $43.093,00 $20.000,00 $63.094,00 4 $109.906,60 $47.358,86 $15.690,00 $63.094,00 5 $57.358,86 52.143,74 $10.950,26 $63.094,00 6 0 57.358,86 $5.735,89 $63.094,00O procedimento é igual ao exercício anterior. A única diferença é que, nosmeses do período de carência, são pagos os juros devidos sobre o saldodevedor, ou seja: 0,10.$200.000,00=$20.000,00 -2- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  3. 3. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A(Exercício 03) - No exemplo anterior, se o período de carência os juros foremcapitalizados e incorporados nas prestações, construir a planilha deamortização.Resolução: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SD t = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $200.000,00 - - - 1 $220.000,00 - - - 2 $242.000,00 - - - 3 $189.856,18 $52.143,82 $24.200,00 $76.343,82 4 $132.497,98 $57.358,98 $18.985,62 $76.343,82 5 $69.403,96 $63.094,02 $13.249,80 $76.343,82 6 0 $69.403,96 $6.940,40 $76.343,82O empréstimo começará a ser amortizado no final do 3 º mês de carência, logoo saldo devedor do empréstimo deverá ser capitalizado à taxa de 10% ao mêsdurante 2 períodos, ou 3 períodos a partir da data zero. Através da fórmula abaixo poderemos calcular o valor das prestações  (1 + i ) n ⋅ i   (1 + 0,10 ) 3 ⋅ 0,10  U = P⋅ = 242.000,00 ⋅   = 76.343,82  (1 + i ) − 1   (1 + 0,10) −1  n 3O saldo devedor no final do segundo período será calculado da seguinteforma: SD2=200.000,00(1+0,10)3=242.000,00 -3- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  4. 4. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A O Método Price de Financiamentos Este é um caso particular do Sistema Francês de Amortização, em que ataxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais)e as prestações tem período menor que aquele que se refere as taxas de juros(em geral as prestações são mensais). Neste caso, o cálculo das prestações éfeito usando as taxas proporcionais ao período a que se refere a prestação,calculada a partir da taxa nominal.(Exemplo 01) – Um empréstimo de $200.000,00 será pago em 3 prestaçõesmensais iguais sem período de carência. Se a taxa de juros for de 180% aoano, construir a tabela de amortização. Resolução: Sendo os juros proporcionais, temos que: 180/12=15% ao mês. Portanto o cálculo das prestações fica:  (1 + 0,15) n ⋅ 0,15  P = $200.000,00 ⋅  = $87.595,21(Valor das Prestações).  (1 + 0,15) −1  n Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SDt = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $200.000,00 - - - 1 $142.404,79 $57.595,00 30.000,00 $87.595,21 2 $76.170,30 $66.234,49 $21.360,72 $87.595,21 3 zero $76.170,30 $11.425,55 $87.595,21 -4- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  5. 5. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A(Exemplo 02) – Um empréstimo de $1.000,00 será pago em 3 prestaçõestrimestrais iguais com período de carência.de 3 trimestres. Se a taxa de jurosnominais for de 28% ao ano, construir a tabela de amortização. Os juros serãocapitalizados e incorporados ao principal durante o período de carência. Resolução: Considerando que os juros são capitalizados durante a carência, a capitalização do principal será feita no 2º trimestre. Os juros serão igual a (i/k) = 28%ao ano/4 trimestres= 7 % ao trimestre, assim o cálculo da prestação fica da seguinte forma: (1 + 0,07 ) 5 ⋅ 0,07  P = $1.000.000,00 ⋅   = $279.230,28 (Valor das Prestações).  (1 + 0,07 ) 5 −1    Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SDt = SD t −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt 0 $1.000.000,00 - - - 1 $1.070.000,00 - - - 2 $1.144.900,00 - - - 3 $945.812,72 $199.087,28 $80.143,00 $279.230,28 4 $732.789,33 $213.023,39 $66.206,89 $$279.230,28 5 $504.854,30 $227.935,03 $51.295,25 $$279.230,28 6 $260.963,82 $243.890,48 $35.339,80 $$279.230,28 7 0 $260.963,82 $18.267,47 $$279.230,28Obs: Podemos observar na tabela acima que, as prestações são fixas e que as amortizações são crescentes bem com o saldo devedor, podemos salientar também que nesta tabela pode-se inserir algumas colunas que serão somadas nas prestações tais como: IOF e indexador aplicado ao saldo devedor com IGP-M, INPC, variação do dólar e outros. O Método SAC (Sistema de Amortização Constante) -5- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  6. 6. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A Neste sistema, as amortizações são constantes e iguais ao valor do empréstimo dividido pelo número de períodos de pagamentos, ou seja, as prestações possuem um decréscimo constante em um certo nível. Esse nível é calculado da seguinte forma: pega-se o valor do empréstimo e divide pelo número de prestações a amortizar e somam-se os juros.(Exemplo 01) – Considere os seguintes dados: • Valor do empréstimo: $200.000,00 • Prazo do reembolso: n=4 meses sem período de carência • Taxa de juros cobrados: i=10 % ao mês Resolução: Cálculo das amortizações At=$200.000,00/4=$50.000,00 assim a tabela ficará da seguinte forma: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SDt = SDt −1 − At At J t = i ⋅ SDt −1 Pt = At + J t 0 $200.000,00 - - - 1 $150.000,00 $50.000,00 $20.000,00 $70.000,00 2 $100.000,00 $50.000,00 $15.000,00 65.000,00 3 $50.000,00 $50.000,00 $10.000,00 $60.000,00 5 Zero $50.000,00 $5.000,00 55.000,00 -6- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  7. 7. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A (Exemplo 02) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SAC. • Valor do empréstimo: $9.000,00 • Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência • Taxa de juros cobrados: i=2 % ao mês • IOF: 2% sobre o valor das amortizações • IGP-M: 1% sobre o saldo devedor nos 6 meses. $9.000,00 Resolução: Cálculo das amortizações: At = = $1.500,00 6 A Tabela SAC com IOF e IGP-M Saldo IGP-período Amortização Juros IOF Prestação Devedor M It I gt n SDt = SDt −1 − At At J t = i ⋅ SDt −1 P = At + J t + I t + I gt t 0 $9.000,00 - - - - - $30,0 $90,0 1 $7.500,00 $1.500,00 $180,00 $1.800,00 0 0 $30,0 $75,0 2 $6.000,00 $1.500,00 $150,00 $1.755,00 0 0 $30,0 $60,0 3 $4.500,00 $1.500,00 $120,00 $1.710,00 0 0 $30,0 $45,0 4 $3.000,00 $1.500,00 $90,00 $1.665,00 0 0 $30,0 30,00 5 $1.500,00 $1.500,00 $60,00 $1.420,00 0 $30,0 $15,0 6 zero $1.500,00 $30,00 $1.575,00 0 0 Obs: A determinação do custo efetivo deste financiamento será calculada da seguinte forma: Determine a taxa interna de retorno do fluxo de caixa que representa a equação abaixo: -7- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  8. 8. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A  .800,00 1.755,00 1.710,00 1.665,00 1.420,00 1.575,00  1 P = 9.000,00 − + + + + + =0  (1 +i )1 6   (1 +i ) 2 (1 +i ) 3 (1 +i ) 4 (1 +i ) 5 (1 +i )  O custo efetivo será o valor da TIR: i = 2,97% -8- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  9. 9. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A O Método SACRE (Sistema de Amortização Crescente) Alguns financiamentos do Sistema Financeiros de Habitação adotam osistema SACRE, em que correspondem as médias aritméticas das prestações dosistema Francês e SAC. Estes sistemas mistos são basicamente Sistemas deAmortização com Prestações em Progressão Aritmética Crescente (SAPPA). Osreembolsos podem ser calculados pelas seguintes fórmulas: P ⋅ (1 − q ) 1  R1 = + q ⋅ + i ⋅ P 1. Valor da Prestação:  (1 + i ) − 1 n n     (1 + i ) n ⋅ i    2. Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das i⋅P prestações: r = q⋅ n 3. Valor das prestações no período t, (t>1): Rt +1 = Rt − r 4. Onde: P = Valor do empréstimo no inicio do período Rt = Valor da primeira das n prestações decrescentes O valor de q = coeficiente variável por tipo de plano. O valor de r = razão da progressão que corresponde ao decréscimo do valor das prestações sucessivas Obs: Neste esquema, dependendo do valor de q, o sistema adotado pode resultar nosistema Francês (q=0) ou no sistema SAC no caso q=1, o valor de q deve ser especificadocontratualmente. Um caso particular muito utilizado é denominado Sistema de Amortização Misto noqual, q = ½. Neste sistema, as prestações corresponder a média aritmética devido aponderação ½ das prestações calculadas para o sistema Francês e SAC nas mesmascondições de financiamentos. -9- Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  10. 10. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A(Exemplo 01) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SACRE • Valor do empréstimo: $12.000,00 • Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência • Taxa de juros cobrados: i=2 % ao mês • Considere q = ½. (previsto no contrato)Resolução: Antes de construir a tabela de amortizações devemos primeiro calcular os seguintes valores: Valor da Prestação: 12.000,00 ⋅ (1 − 0,50) 1  R1 = +1 / 2 ⋅  + 0,02  ⋅12.000,00 = 2.191,15  (1 + 0,02) −1  6 6     (1 + 0,02 ) 6 ⋅ 0,02    Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das 0,02 ⋅12.000,00 prestações: r =1 / 2 ⋅ = 20 6 Valor das prestações no período t, (t>1): Rt +1 = Rt −r Agora temos condições de montar a tabela SACRE. Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação n SD t = SDt −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 Pt +1 = Pt − r 0 $12.000,00 - - - 1 $10.048,85 $1.951,15 $240,00 $2.191,15 2 $8.078,68 $1.970,17 $200,98 $2.171,15 3 $6.098,10 1.989,58$ $161,57 $2.151,15 4 $4.079,73 $2.009,37 $121,78 $2.131,15 5 $2.050,17 $2.029,56 $81,59 $2.111,15 6 zero $2.050,15 $41,00 $2.091,15 - 10 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  11. 11. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A (Exemplo 02) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SACRE • Valor do empréstimo: $10.000,00 • Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência • Taxa de juros cobrados: i=2,50 % ao mês • IOF: 1,50% ao ano (taxa proporcional ao mês: 0,1250%), sobre o saldo devedor no mês anterior em cada período. • TR: 0,25% ao mês em média sobre o saldo devedor no mês anterior em cada período. • Considere q = ½. (Sistema Misto) Resolução: Antes de construir a tabela de amortizações devemos primeiro calcular os seguintes valores: Valor da Prestação: 10.000,00 ⋅ (1 − 0,50 ) 1  R1 = +1 / 2 ⋅  + 0,025  ⋅10.000,00 = 1.866,08  (1 + 0,025) −1  6 6     (1 + 0,025) 6 ⋅ 0,02    Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das 0,025 ⋅10.000,00 prestações: r =1 / 2 ⋅ = 20,83 6 Valor das prestações no período t, (t>1): Rt +1 = Rt − r Saldo Amortizaçã Prestação c/Período Juros IOF TR Prestação Devedor o Imposto n SDt = SD t −1 − At At = Pt − J t J t = i ⋅ SDt −1 It I tr Pt = Pt −1 − r Ptotal = Pt + I total 0 $10.000,00 - - - - - $12,5 $25,0 1 $8.383,92 $1.616,08 $250,00 $1.866,08 $1.903,58 0 0 $10,4 $20,9 2 $6.748,27 $1.635,65 $209,60 $1.845,25 $1.876,69 8 6 $16,8 3 $5.092,56 $1.655,71 $168,71 $8,44 $1.824,42 $1.849,73 7 $12,7 4 $3.416,28 $1.676,28 $127,31 $6,37 $1.803,59 $1.822,69 3 5 $1.718,93 $1.697,35 $85,41 $4,27 $8,54 $1.782,76 $1.795,57 6 0,03 $1.718,96 $42,97 $2,15 $4,30 $1.761,93 $1.768,38 - 11 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  12. 12. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/AObs: As amortizações foram feitas em relação à prestação sem incorporar o indexador (TR). Se a TR forincorporada nas amortizações, ocorrerá em saldo devedor no 5º período menor que a amortização noúltimo período. Custo Efetivo de Financiamentos Normalmente sobre os financiamentos incide uma série de custosadicionais, como o imposto sobre operações financeiras, comissão, taxa deadministração, referencial etc. Estes encargos aumentam o custo dofinanciamento, tornando indispensável o cálculo do custo efetivo de formaa permitir comparações entre as diversas fontes de financiamento, assim natabela do exercício anterior poderemos calcular o custo efetivo do referidofinanciamento. Para efetuar este cálculo, determina-se a taxa interna de retorno dofinanciamento, usando uma calculadora financeira ou lançando mão demétodos numéricos, ou seja, interpolação linear. Assim determina-se umataxa que faz com que o valor presente da equação financeira seja igual azero, da seguinte forma:  .903,58 1.876,69 1.849,73 1.822,69 1.795,57 1.768,38  1 P =10.000,00 − + + + + + =0  (1 +i ) 6   1 (1 +i ) 2 (1 +i ) 3 (1 +i ) 4 (1 +i ) 5 (1 +i )  Esta equação representa o fluxo de caixa dos pagamentos nofinanciamento na tabela do exercício anterior. Com o uso da HP-12Ccalcula-se o valor do custo efetivo deste financiamento que será igual a2,88% ao mês.Bibliografia:(1): Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos/ CarlosPatrício Samanez – São Paulo: Makron Books, 1994.(2): Hazzan, Samuel – Matemática Financeira / Samuel Hazzan, José Nicolau Pompeo. 5 a.Edição, SãoPaulo – Saraiva: 2001.(3): Puccini, Abelardo de Lima – Matemática Financeira / Abelardo de Lima Puccini. 5 a. Ed., Rio deJaneiro – JC Editora, 1995.(4): Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos/ CarlosPatrício Samanez. 2a. Edição – São Paulo: Makron Books, 1999. - 12 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  13. 13. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A - 13 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  14. 14. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A - 13 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  15. 15. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A - 13 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.
  16. 16. Curso de Matemática Financeira com HP-12C para Banco do Brasil S/A - 13 - Prof. Ricardo Geraldi Silveira.

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