1. Análise Combinatória
Análise combinatória é o ramo da Matemática que estuda os processos de
contagem. Ela surgiu da necessidade de se calcular o número de possibilidades que
podem ocorrer numa determinada experiência, sem precisar descrever cada uma das
possibilidades.
O estudo da análise combinatória começou no século XVI com o matemático
italiano Niccolo Fontana (1500 – 1557), também conhecido como Tartaglia (que
significa “gago”). A este, seguiram-se os franceses Pierre de Fermat (1601 – 1665) e
Blaise Pascal (1623 – 1662).
A análise combinatória é também suporte da Teoria das Probabilidades,
apoiando-se no Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo.
Contagens diretas
Quando descrevemos todas as possibilidades de uma experiência ou evento,
fazemos uma contagem direta.
No dia-a-dia, estamos acostumados a fazer contagens diretas como, por
exemplo, quantos dias faltam para o nosso aniversário, de quantas maneiras diferentes
podemos combinar duas camisas com três calças etc.
Consideremos o exemplo dado acima: de quantas maneiras diferentes podemos
combinar duas camisas diferentes com três calças também diferentes?
Organizando uma tabela com todas as combinações possíveis, temos:
Número de maneiras Combinação
1 Camisa 1 com calça 1
2 Camisa 1 com calça 2
3 Camisa 1 com calça 3
4 Camisa 2 com calça 1
5 Camisa 2 com calça 2
6 Camisa 2 com calça 3
Temos, portanto, seis maneiras diferentes.
Em outro exemplo, vamos determinar quantas e quais são as quinas possíveis de
uma pessoa que apostou na Quina os seguintes números: 11, 19, 21, 58, 64 e 66.
Quinas Números
1 11, 19, 21, 58, 64
2 11, 19, 21, 58, 66
3 11, 19, 21, 64, 66
4 11, 19, 58, 64, 66
5 11, 21, 58, 64, 66
6 19, 21, 58, 64, 66
Exercícios
2. 1) De quantas maneiras diferentes podemos pintar uma bandeira de 3
listras, usando as cores amarela ou verde?
2) Lançando-se um dado duas vezes seguidas, quais as possibilidades de
que a soma obtida seja igual a 9?
3) Dado o conjunto E = {1, 3, 4}, obter todos os números de dois
algarismos distintos com os elementos de E.
4) Quantos anagramas podemos formar com a palavra RUA?
5) Quantas peças tem um jogo de dominó?
6) Lançando-se 5 moedas distintas, qual é o número de resultados
possíveis?
Diagrama de Árvore
Vimos que, utilizando o método da contagem direta, descrevemos todas as
possibilidades de uma experiência ou evento, porém, em outras situações, a contagem
direta pode ser trabalhosa ou, até mesmo, impossível.
Suponha, por exemplo, que quiséssemos saber de quantas maneiras diferentes é
possível preencher o volante da Quina, apostando cinco dezenas, mantendo o número 47
e combinando-o com os outros 79 números.
Esta seria uma tarefa para a análise combinatória, que calcularia o número de
possibilidades, sem a necessidade de escrever cada uma delas.
O diagrama de árvore, também conhecido como diagrama das possibilidades, é
um esquema utilizado para enumerar todas as possibilidades de um evento com o
objetivo de facilitar a resolução dos problemas de contagem.
Note que a árvore é construída da esquerda para a direita e que o número de
“ramos” que saem de cada ponto corresponde ao número de possibilidades em que o
evento pode ocorrer.
Por exemplo, retomemos o nosso problema de como combinar duas camisas
com três calças diferentes. Pelo diagrama de árvore, temos:
Denominando por x = camisas e y = calças:
y1 x1y1
x1 y2 x1y2
y3 x1y3
y1 x2y1
x2 y2 x2y2
y3 x2y3
3. Temos, portanto, 6 possibilidades.
Exercícios – continuação
7) Plínio e Rubens disputam entre si um torneio de tênis. O primeiro a
ganhar 2 partidas seguidas ou 3 alternadas vence o torneio. Quais os
resultados possíveis no torneio?
8) Representar no diagrama de árvores os anagramas do nome ODIN.
Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo
Nos casos em que as alternativas de escolha forem muitas, o diagrama de
árvores é pouco prático. Para essas situações, usamos o princípio multiplicativo ou
princípio da contagem, que é um método algébrico para determinar o número total de
possibilidades. Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada
etapa da experiência.
Exemplo: Um teatro tem 5 portas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa
pode entrar e sair do teatro?
Exercícios – continuação
9) Nelson tem 3 camisas, 5 calças, 2 gravatas, 4 pares de sapatos e 1
paletó. De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma
peça de cada conjunto?
10) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
