Apostila topografia fasb 2010

83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2]

1. INTRODUÇÃO

O homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por questões de
sobrevivência, orientação, segurança, guerras, navegação, construção, etc. No princípio a
representação do espaço baseava-se na observação e descrição do meio. Cabe salientar que
alguns historiadores dizem que o homem já fazia mapas antes mesmo de desenvolver a
escrita. Com o tempo surgiram técnicas e equipamentos de medição que facilitaram a obtenção
de dados para posterior representação. A Topografia foi uma das ferramentas utilizadas para
realizar estas medições.
A palavra “Topografia” deriva das palavras gregas “topos” (lugar) e “graphen” (descrever), o
que significa “a descrição exata e minuciosa de um lugar” (DOMINGUES, 1979). A seguir são
apresentadas mais algumas de suas definições:

• “A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e métodos utilizados para
obter a representação gráfica de uma porção do terreno sobre uma superfície plana”
DOUBEK (1989).
• “A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de
uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante
da esfericidade terrestre” ESPARTEL (1987).

O objetivo principal é efetuar o levantamento (executar medições de ângulos, distâncias e
desníveis) que permita representar uma porção da superfície terrestre em uma escala
adequada. Às operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a
posterior representação, denomina-se de levantamento topográfico. A topografia, então,
apresenta como finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção
limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a
curvatura resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia, a locação, no
terreno, de projetos elaborados de Engenharia (DOMINGUES, 1979).
De acordo com o objetivo supracitado observa-se que a Topografia é imprescindível para
qualquer projeto ou obra realizada por engenheiros ou arquitetos. Por exemplo, sistemas de
irrigação e drenagem, implantação de culturas, reflorestamento, paisagismo, trabalhos de obras
viárias, núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos, hidrografia, usinas hidrelétricas,
telecomunicações, sistemas de água e esgoto, planejamento, urbanismo, etc., se desenvolvem
em função do terreno sobre o qual assentam (DOMINGUES, 1979). Portanto, é fundamental o
conhecimento pormenorizado deste terreno, tanto na etapa do projeto, quanto da sua
construção ou execução; e, a Topografia, fornece os métodos e os instrumentos que permitem
este conhecimento do terreno e asseguram uma correta implantação da obra ou serviço.
Na Topografia trabalha-se com medidas (lineares e angulares) realizadas sobre a
superfície da Terra e a partir destas medidas são calculados áreas, volumes, coordenadas,
etc. Além disto, estas grandezas poderão ser representadas de forma gráfica através de mapas

Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB


ou plantas. Para tanto é necessário um sólido conhecimento sobre instrumentação, técnicas de
medição, métodos de cálculo e estimativa de precisão (KAHMEN; FAIG, 1988).
A Topografia pode ser entendida como parte da Geodésia, ciência que tem por objetivo
determinar a forma e dimensões da Terra. Muitas vezes a Topografia é confundida com a
Geodésia pois se utilizam dos mesmos equipamentos e praticamente dos mesmos métodos
para o mapeamento da superfície terrestre. Porém, enquanto a Topografia tem por finalidade
mapear uma pequena porção daquela superfície (área de raio até 30 km), a Geodésia, te por
finalidade, mapear grandes porções desta mesma superfície, levando em consideração as
deformações devido à sua esfericidade. Portanto, pode-se afirmar que a Topografia, menos
complexa e restrita, é apenas um capítulo da Geodésia, ciência muito mais abrangente.

Geodésia

O termo Geodésia, em grego Geo = terra, désia = 'divisões' ou 'eu divido', foi usado,
pela primeira vez, por Aristóteles (384-322 a.C.), e pode significar tanto 'divisões (geográficas)
da terra' como também o ato de 'dividir a terra' (por exemplo entre proprietários). A Geodésia é
uma Engenharia e, ao mesmo tempo, um ramo das Geociências. Ela trata, global e
parcialmente, do levantamento e da representação da forma e da superfície da terra com as
suas feições naturais e artificiais. A Geodésia é a ciência da medição e representação da
superfície da Terra.. Helmert (1880)
Na visão de Torge (1991), a Geodésia pode ser dividida em três grupos: Geodésia
Global, Geodésia Local e levantamentos no plano topográfico.(Topografia) A Geodésia Global é
responsável pela determinação da figura da Terra e do seu campo gravitacional externo. A
Geodésia local estabelece as bases para determinação da superfície e campo gravitacional de
uma região da terra, um país, por exemplo. Neste caso implanta-se um grande número de
pontos de controle formando as redes geodésicas e gravimétricas que servirão de base para os
levantamentos no plano topográfico. Os levantamentos no plano topográfico são responsáveis
pelo detalhamento do terreno inclusive cadastro e levantamentos para engenharia.
Alguns autores classificam a Topografia como Geodésia Inferior.

De acordo com BRINKER;WOLF (1977), o trabalho prático da Topografia pode ser dividido
em cinco etapas:
1) Tomada de decisão, onde se relacionam os métodos de levantamento, equipamentos,
posições ou pontos a serem levantados, etc.
2) Trabalho de campo ou aquisição de dados: fazer as medições e gravar os dados.
3) Cálculos ou processamento: elaboração dos cálculos baseados nas medidas obtidas para a
determinação de coordenadas, volumes, etc.
4) Mapeamento ou representação: produzir o mapa ou carta a partir dos dados medidos e
calculados.
5) Locação.

1.1 Áreas de atuação

Os Técnicos em Geomensura poderão atuar em empresas públicas ou privadas e como
profissionais liberais nas mais diversas áreas, tais como: projetos e locação de estradas,
construção de obras de engenharia, levantamento topográfico, cadastramento, reflorestamento,



construção de barragens, açudes, hidrovias e irrigação, telefonia, eletrificação e abastecimento
de água, mineração e prospecção mineral, cartografia, aerolevantamentos e sensoriamento
remoto, controle, fiscalização e preservação do meio ambiente.
O Técnico em Geomensura possui habilitação para executar os seguintes serviços
técnicos:

a - Levantamentos Topográficos;
b - Levantamentos Geodésicos;
c - Foto-interpretação;
d - Projetos de Loteamentos (levantamento e locação);
e - Desmembramentos;
f - Locações de Obras;
g - Cadastro Técnico;
h – Georreferenciamento.

Em diversos trabalhos a Topografia está presente na etapa de planejamento e projeto,
fornecendo informações sobre o terreno; na execução e acompanhamento da obra, realizando
locações e fazendo verificações métricas; e finalmente no monitoramento da obra após a sua
execução, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas.



Conceitos fundamentais usados no posicionamento terrestre

Geomática

Geomática, conforme a definição nos Referenciais Curriculares Nacionais(2000) ,
consiste em um campo de atividades que, usando uma abordagem sistemática, integra todos os
meios utilizados para a aquisição e gerenciamento de dados espaciais necessários como parte
de operações científicas, administrativas, legais e técnicas envolvidas no processo de produção
e gerenciamento de informações espaciais.

Agrimensura

Agrimensura é a área que trata da medição, demarcação e divisão legal da
propriedade, usando métodos topográficos e geodésicos de acordo com as prescrições
legais,normas técnicas e administrativas em vigor.

Geomensura

Geomensura é a área da atuação que trata das questões legais das propriedades
territoriais. Possui amplos conhecimentos jurídicos e das técnicas de medições (Geodésia),
além dos conhecimentos técnicos, sociais e de informática. Possui uma ligação muito grande
com levantamento e mapeamento, integrando elementos como topografia, cartografia,
hidrografia, geodésia e agrimensura com as novas tecnologias.

Plano topográfico

Plano topográfico; é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície terrestre
considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao datum
vertical brasileiro;
a - o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de
maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não
ultrapasse 1/35000 nesta dimensão e 1/15000 nas imediações da extremidade desta dimensão;
b - a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de
projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem
coincide com a do levantamento topográfico;
c - o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das peculiaridades do
levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para
uma
direção notável do terreno, julgada importante. (NBR 13133/1994).

Ponto topográfico

Ponto Topográfico é uma posição de destaque, estrategicamente situado na superfície
terrestre. Dentro deste contexto podemos destacar:
Pontos cotados: Pontos que, nas suas representações gráficas, se apresentam acompanhados
de sua altura.
Pontos de apoio: Pontos, convenientemente distribuídos, que amarram o terreno ao
levantamento
topográfico e, por isso, devem ser materializados por estacas, piquetes, marcos de concreto,
pinos de metal, tinta, dependendo da sua importância e permanência.
Pontos de detalhe: Pontos importantes dos acidentes naturais e/ou artificiais,definidores da
forma do detalhe e/ou do relevo, indispensáveis à sua representação gráfica.(NBR 13133).

Alinhamento topográfico

É um alinhamento definido por dois pontos topográficos. Serve de origem para o
levantamento dos detalhes da superfície.

1.2 Representação



A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de
uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica.
Podemos dizer então que, não só os limites desta superfície, bem como todas as suas
particularidades naturais ou artificiais, serão projetadas sobre um plano considerado horizontal.
A esta projeção ou imagem figurada do terreno chamamos de Planta ou Plano
Topográfico. A figura abaixo (ESPARTEL, 1987) representa exatamente a relação da superfície
terrestre e de sua projeção sobre o papel.

SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA E PLANTA TOPOGRÁFICA.

1.3 Levantamento topográfico

De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução de
Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por:

“Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e
verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à
exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno,
determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de
detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua
representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com eqüidistância também pré-
determinada e/ou pontos cotados.”

Os levantamentos topográficos compreendem o conjunto de atividades dirigidas para as
medições e observações que se destinam a representação do terreno em um plano ou
desenho topográfico em escala. Podem ser executados para fins :
a - de controle; fornecem arcabouço de pontos diversos com coordenadas e altitudes,
destinadas à utilização em outros levantamentos de ordem inferior.
b - legais cadastrais; destinado ao levantamento, detalhamento e avaliação de áreas rurais ou
urbanas, enfatizando a quantificação da ocupação humana e suas intervenções.



c - para fins de engenharia; empregado na locação, instalação e construção de obras civis de
engenharia e serviço de parcelamento de imóveis etc.
d - topográficos; destinados ao levantamento da superfície topográfica, seus acidentes naturais,
culturais e a configuração do terreno.
O Levantamento Topográfico pode ser entendido como um conjunto de métodos e
processos que, através de medições de ângulos e distâncias com instrumentos adequados,
implanta e materializa pontos para o detalhamento topográfico necessário. Com os dados de
campo, depois de calculados, pode-se representar graficamente, na forma de mapas, perfis
longitudinais e transversais, diagramas entre outros. A execução de um levantamento
topográfico, além da necessidade de se conhecer os instrumentos utilizados nas medições
requer conhecimentos de geometria, trigonometria plana e esférica, física, astronomia e teoria
dos erros e sua compensação. O Levantamento topográfico pode ser dividido em:

1) Levantamento Topográfico Planimétrico
Levantamento dos limites e confrontações de uma propriedade, pela determinação do seu
perímetro, incluindo,quando houver, o alinhamento da via ou logradouro com o qual faça frente,
bem como a sua orientação e a sua amarração a pontos materializados no terreno de uma rede
de referência cadastral, ou, no caso de sua inexistência, a pontos notáveis e estáveis nas suas
imediações.
Quando este levantamento se destinar à identificação dominial do imóvel, são necessários
outros elementos complementares, tais como: perícia técnico-judicial, memorial descritivo, etc.
Compreende o conjunto deoperações necessárias para a determinação de pontos e
feições do terreno que serão projetados sobre um plano horizontal de referência através de
suas coordenadas X e Y (representação bidimensional).

2) Levantamento Topográfico Altimétrico
Levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma
superfície de referência, dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhes, pressupondo-se o
conhecimento de suas posições planimétricas, visando à representação altimétrica da
superfície levantada.
Compreende o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e
feições do terreno que, além de serem projetados sobre um plano horizontal de referência,
terão sua representação em relação a um plano de referência vertical ou de nível através de
suas coordenadas X, Y e Z (representação tridimensional).

3) Levantamento Topográfico Planialtimétrico
Levantamento topográfico planimétrico acrescido da determinação altimétrica do relevo do
terreno e da drenagem natural.
A figura seguinte ilustra o resultado de um levantamento topográfico planialtimétrico de
uma área.



DESENHO REPRESENTANDO O RESULTADO DE UM LEVANTAMENTO
PLANIALTIMÉTRICO.

Podemos então dizer que, classicamente, a Topografia é dividida em Topometria e
Topologia.
A Topometria é o conjunto de métodos abrangidos pela planimetria e pela altimetria, e é
mais conhecida como Planialtimetria.
A Topologia, por sua vez, utilizando-se dos dados obtidos através da topometria, tem por
objetivo o estudo das formas exteriores do terreno e das leis que regem o seu modelado.
É importante ressaltar que os levantamentos planimétricos e/ou altimétricos são definidos
e executados em função das especificações dos projetos. Assim, um projeto poderá exigir
somente levantamentos planimétricos, ou, somente levantamentos altimétricos, ou ainda,
ambos os levantamentos. Como exemplo podemos citar o dimensionamento de um sistema de
irrigação, que exige o Levantamento Planialtimétrico da área à ser irrigada.

1.4 Sistemas de Coordenadas

Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de
pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas.
São utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definição unívoca da posição
tridimensional de pontos: sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadas
esféricas.

1.4.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas



Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas
ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de
coordenadas. Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados em
disciplinas como geometria e trigonometria, por exemplo. Estes sistemas normalmente
representam um ponto no espaço bidimensional ou tridimensional.
No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas
retangulares ou cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de
duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si. A origem deste sistema é o cruzamento
dos eixos X e Y.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.

Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada denominada abscissa
(coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Um dos símbolos P(x,y) ou
P=(x,y) são utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y.
Na abaixo é apresentado um sistema de coordenadas, cujas coordenadas da origem são
O (0,0). Nele estão representados os pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15).

REPRESENTAÇÃO DE PONTOS NO SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.



Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é
caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados,
mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, denominado de
origem. A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é definida pelas coordenadas
cartesianas retangulares (x,y,z) de acordo com a figura abaixo.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS, DEXTRÓGIRO E LEVÓGIRO.

Conforme a posição da direção positiva dos eixos, um sistema de coordenadas
cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro (GEMAEL, 1981, não paginado). Um sistema
dextrógiro é aquele onde um observador situado no semi-eixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir
com o semi-eixo OY através de um giro de 90 no sentido anti-horário. Um sistema levógiro é
aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no
sentido horário.

1.4.2 Sistemas de coordenadas esféricas

Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de forma unívoca, conforme a
figura abaixo, pelo afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelo
ângulo β formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre o plano xy e pelo
ângulo α que a projeção do segmento OR sobre o plano xy forma com o semi-eixo OX. As
coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por (r, α, β). A próxima figura ilustra este
sistema de coordenadas.



SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS.

Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto a um sistema de coordenadas
cartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, o ponto R, determinado pelo terno cartesiano (x, y, z)
pode ser expresso pelas coordenadas esféricas (r, α, β), sendo o relacionamento entre os dois
sistemas obtido pelo vetor posicional:

1.5 Superfícies de Referência

Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua
representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real
para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais
complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os
cálculos sobre esta superfície.

1.5.1 Modelo Esférico

Este é um modelo bastante simples, onde a Terra é representada como se fosse uma
esfera. O produto desta representação, no entanto, é o mais distante da realidade, ou seja, o
terreno representado segundo este modelo apresenta-se bastante deformado no que diz
respeito à forma de suas feições e à posição relativa das mesmas. Um exemplo deste tipo de
representação são os globos encontrados em livrarias e papelarias.



GLOBO TERRESTRE.

Uma vez analisados os modelos utilizados para representação da superfície terrestre e
tendo como princípio que o Elipsóide de Revolução é o modelo que mais se assemelha à figura
da Terra, é importante conhecer os seus elementos básicos.
A próxima figura permite reconhecer os seguintes elementos:
FIGURA MOSTRANDO AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS, EQUADOR E MERIDIANO
DE ORIGEM.

- Linha dos Pólos ou Eixo da Terra: é a reta que une o pólo Norte ao pólo Sul e em torno do
qual a Terra gira (Movimento de rotação).
- Equador: é o círculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos.
- Paralelos: são os círculos cujos planos são paralelos ao plano do Equador. Os Paralelos mais
importantes são: Trópico de Capricórnio (Ф = 23o 23’ S) e Trópico de Câncer (Ф = 23o 23’ N).



- Meridianos: são as seções elípticas cujos planos contém a linha dos pólos e que são normais
aos paralelos.
- Vertical do lugar: é a linha que passa por um ponto da superfície terrestre (em direção ao
centro do planeta) e que é normal à superfície representada pelo Geóide naquele ponto. Esta
linha é materializada pelo “fio de prumo” dos equipamentos de medição (teodolito, estação,
nível, etc.), ou seja, é a direção na qual atua a força da gravidade.
- Normal ao Elipsóide: é toda linha reta perpendicular à superfície do elipsóide de referência.
Esta linha possui um desvio em relação à vertical do lugar.
- Pontos da vertical do lugar: o ponto (Z = ZÊNITE) se encontra no infinito superior, e o ponto
(Z’ = NADIR) no infinito inferior da vertical do lugar. Estes pontos são importantes na definição
de alguns equipamentos topográficos (teodolitos) que têm a medida dos ângulos verticais com
origem Z ou em Z’.
- Plano horizontal do observador: é o plano tangente à superfície terrestre ou topográfica num
ponto qualquer desta superfície.
Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude.
Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude
astronômicas.
TERRA ESFÉRICA - COORDENADAS ASTRONÔMICAS.

- Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o Equador até o ponto
considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul.
FIGURA INDICANDO A LATITUDE



- Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano de origem
(Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude varia de 0º a
+180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich.

FIGURA INDICANDO A LONGITUDE

- Coordenadas geográficas (Φ, Λ): é o nome dado aos valores de latitude e longitude que
definem a posição de um ponto na superfície terrestre. Estes valores dependem do elipsóide de
referência utilizado para a projeção do ponto em questão.

1.5.2 Modelo Elipsoidal

É o mais usual de todos os modelos que serão apresentados. Nele, a Terra é
representada por uma superfície gerada a partir de um elipsóide de revolução, com
deformações relativamente maiores que o modelo geoidal.
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução, conforme pode ser observado
na figura à seguir. O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela
rotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se
este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de
revolução são utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo.
Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a
(maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior
a e o achatamento f, expresso pela equação.

a = semi-eixo maior da elipse
b = semi-eixo menor da elipse



ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO.

As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim
definidas na figura abaixo:
- Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador,
sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.
- Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich
(origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.
A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física.

COORDENADAS ELIPSÓIDICAS.

No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência
Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference
System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são:
a = 6.378.137,000 m
f = 1/298,257222101



1.5.3 Modelo Geoidal

O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente
como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é
uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura seguinte são
representados de forma esquemática a superfície Topográfica da Terra, elipsoidal e o geoidal.

RELAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA, ELIPSOIDAL E GEOIDAL.

O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível,
sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a
vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.
As linhas de força ou linhas verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas
superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito
nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês
“direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é
chamada de vertical. A figura seguinte ilustra este conceito.



VERTICAL

1.5.4 Modelo plano

Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela
Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos
topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas
dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20
a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até
aproximadamente 80 km.
Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia
são:
a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de
projeção localizado no infinito.
b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície
terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o
referido datum vertical brasileiro.
c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração
atmosférica têm as seguintes aproximadas:
Δl (mm) = - 0,001 l3 (km)
Δh (mm) = +78,1 l2 (km)
Δh´(mm) = +67 l2 (km)
onde:
Δl = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em mm.
Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em mm.



Δh´ = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração
atmosférica, em mm.
l = distância considerada no terreno, em km.

d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de
maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não
ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta
dimensão.
e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de
projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem
coincide com a do levantamento topográfico;
f) o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do
levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para
uma direção notável do terreno, julgada como importante.
Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é
necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos
mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo);
Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira);
Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).

A seguinte figura ilustra este plano:

PLANO EM TOPOGRAFIA



Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o
alinhamento de uma rua, por exemplo, na figura abaixo:

EIXOS DEFINIDOS POR UMA DIREÇÃO NOTÁVEL.

1.5.4.1 Efeito da curvatura na distância e altimetria

A seguir é demonstrado o efeito da curvatura nas distâncias e na altimetria. Na figura à
seguir tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S´ a
projeção desta distância sobre o plano topográfico.

EFEITO DA CURVATURA PARA A DISTÂNCIA

A diferença entre S´e S será dada por:
ΔS = S´ – S (1)
Calculando S e S´e substituindo na equação (1) tem-se:



S’ = R tg θ (2)
S=Rθ (3)
ΔS = R tgθ - R θ (4)
ΔS = R (tg θ − θ) (5)

Desenvolvendo tg θ em série e utilizando somente os dois primeiros termos:

(6)

(7)
onde θ = S/R, logo:

(8)

(9)
A tabela à seguir apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de
distâncias.

EFEITO DA CURVATURA PARA DIFERENTES DISTÂNCIAS.
S (km) ∆s
1 0,008 mm
10 8,2 mm
25 12,8 cm
50 1,03 m
70 2,81 m
Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura observada
anteriormente:
EFEITO DA CURVATURA NA ALTIMETRIA.

Analisando a figura acima é possível perceber que:



Isolando Δh na equação anterior:

De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em série 1/cos θ e considerando que:

tem-se:

A tabela à seguir apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distâncias:

EFEITO DA CURVATURA NA ALTIMETRIA.
S ∆s
100 m 0,8 mm
500 m 20 mm
1 km 78 mm
10 km 7,8 m
70 km 381,6 m

Como pode ser observado através das tabelas, o efeito da curvatura é maior na altimetria
do que na planimetria. Durante os levantamentos altimétricos alguns cuidados são tomados
para minimizar este efeito, com será visto nos capítulos posteriores.

1.6 Teoria dos erros

1.6.1 Conceitos

1.6.1.1 Erro Absoluto verdadeiro: é a diferença, em valor absoluto, existente entre a medição
de uma grandeza física e o seu verdadeiro valor.
Na prática não se conhece o valor real ou verdadeiro da grandeza física; conhece-se o
valor mais provável desta grandeza.

1.6.1.2 Erro absoluto aparente (e): é a diferença, em valor absoluto, existente entre a
medição de uma grandeza física (Xi) e o seu valor mais provável ( ). Daqui para frente será
chamado apenas de erro absoluto.



1.6.1.3 Resíduo ou desvio ou erro (r): designação dada para a conceituação anterior, quando
se considera o sinal da diferença existente entre as duas medidas.

1.6.1.4 Discrepância: é a diferença existente entre os valores de duas medidas de uma
mesma grandeza física, obtidas por dois experimentadores diferentes. As vezes é designada
incorretamente pela palavra erro.

1.6.1.5 Erro relativo (er): é a relação existente entre o erro absoluto e o valor mais provável da
grandeza ( ). Este erro é mais importante para avaliar a qualidade de uma medida que o erro
absoluto.
Matematicamente, tem-se:

1.6.1.6 Valor mais provável de uma grandeza física ( ): é a média aritmética das medidas
efetuadas, desde que mereçam a mesma confiança.

1.6.1.7 Erro absoluto médio (em): é a média aritmética dos erros absolutos cometidos em um
certo número de medidas (n).

1.6.1.8 Erro médio quadrático ou desvio padrão (s): é a raiz quadrada da média aritmética
dos quadrados dos resíduos, a menos de um grau de liberdade.

1.6.1.9 Erro tolerável (et): é dado pelo triplo do erro médio quadrático.

Na prática, medidas cujos resíduos são maiores que o erro tolerável, devem ser
abandonadas.
1.6.1.10 Precisão: é a tolerância do erro de medição para um determinado medidor. Portanto,
se o erro tolerável for atendido, as medidas são consideradas precisas.



1.6.1.11 Precisão absoluta: quando expressa em percentagem de toda a faixa da escala de
medidas.
Seja, por exemplo, um medidor de vazão com escala de zero a 200m3/h, com precisão de
± 1% de fundo de escala (f.e); isto significa que a tolerância de erro é de ± 2m 3/h, em qualquer
ponto da escala.

1.6.1.12 Precisão relativa: quando expressa em percentagem do valor instantâneo da escala
de medidas.
Seja o mesmo exemplo anterior, com precisão de ± 1% do valor instantâneo (v.i); significa
que quando o ponteiro indicar uma vazão de 80m3/h, a tolerância de erro é de ± 0,80m3/h.
A precisão de ± 1% em v.i é obviamente melhor que a precisão de ± 1% em f.e.

1.6.1.13 Exatidão: aquilo que está de acordo com uma referência tomada como padrão
(referência verdadeira). Uma medida precisa não significa que seja exata. Pode-se dizer que
um grupo de medidas mostra precisão se os resultados concordam entre si; a concordância
não é, contudo, uma garantia de exatidão, visto poder haver alguma pertubação sistemática,
que faça todos os valores estarem em erro.
Suponha-se, por exemplo, que um pesquisador esteja comparando duas escalas (A e B)
com uma terceira escala considerada como padrão (C). O grupo de medidas feitas com a
escala (A) concordam entre si mas não concordam com as medidas feitas pela escala (C); já o
grupo de medidas feitas pela escala (B) além de concordarem entre si, concordam também
com a escala (C). Isto significa que a escala (A) é precisa mas não é exata e a escala (B) é
precisa e exata, devendo ser a escolhida para as medidas.

1.6.1.14 Erros grosseiros ou enganos: decorre da falta de cuidado ou falta de prática do
observador. São exemplos de erros grosseiros:
• erros de leitura: ler 28,3 no lugar de 23,8;
• erros de cálculo;
• leitura errada de uma escala;
• erros de paralaxe: para evitar este erro, a leitura deve ser feita sempre em posição
normal à escala; se a leitura for feita em posição inclinada, comete-se o erro de
paralaxe.
Os erros grosseiros podem ser evitados pela repetição cuidadosa das medições, um
resultado muito discordante dos outros deve ser abandonado. Na verdade, a vantagem de se
tomar, pelo menos, três leituras não está no uso do valor médio, mas na confiança adquirida,
quando os valores concordam, de não se ter cometido erros grosseiros.
Os erros desse tipo não estão sujeitos a tratamento matemático.



1.6.1.15 Erros sistemáticos ou constantes ou regulares: caracterizam-se por ocorrerem
sempre em um mesmo sentido e conservarem, em medições sucessivas, o mesmo valor.
Decorrem das imperfeições do observador, do instrumento e do método usado.

a) Erros sistemáticos introduzidos pelo observador.
Exemplos:
• Atraso ou adiantamento ao acionar um cronômetro;
• Erros cometidos por deficiência de visão.

b) Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento.
Exemplos:
• Utilização de uma escala em temperatura diferente daquela em que foi aferida;
• Deslocamento do zero do instrumento;
• Uso de um cronômetro que atrasa ou adianta;
• Uso de instrumentos em condições diferentes daquelas para as quais foram
calibrados.

c) Erros sistemáticos introduzidos pelo método.
Exemplos:
• Determinação do peso de um corpo no ar em lugar de fazê-lo no vácuo (o
empuxo do ar falseia o resultado);
• Utilização de um método baseado em uma equação matemática não
representativa da realidade física do fenômeno.

Os erros pessoais, sempre que possível, podem ser minimizados substituindo-se o
observador humano por um mecânico, ou elétrico etc.
Os erros instrumentais são reduzidos por meio de uma aferição ou calibração do aparelho
por comparação com um padrão de confiança; uma curva de calibração ou uma tabela de
correção podem ser elaboradas para serem corrigidos os erros.
Em muitos casos, os erros sistemáticos devio ao método podem ser calculados e os
resultados corrigidos.

1.6.1.16 Erros acidentais ou aleatórios ou residuais ou experimentais: decorrem de causas
desconhecidas sobre as quais não se tem controle. Caracterizam-se por ocorrerem ao acaso
quaisquer que sejam os observadores, os instrumentos e os métodos. Eles respondem pela
disperção das medidas.
Dentre os erros acidentais, destacam-se:
• Erro absoluto;
• Erro relativo;
• Erro absoluto médio ou erro promédio ou erro médio;



• Erro médio quadrático; e
• Erro tolerável.

1.6.2 Algarismos significativos

1.6.2.1 Conceito: algarismos significativos ou simplesmente significativos de uma medida são
seus algarismos contados a partir do primeiro diferente de zero e o seu primeiro algarismo
duvidoso.
O primeiro algarismo duvidoso é indicado pelo primeiro algarismo significativo do erro
máximo cometido na medição.
Exemplos:
a) 73,202 m ± 0,02 m
Significa que o erro máximo cometido na medição (± 0,02 m) já afeta a segunda casa
decimal da medida. Portanto, a medida tem apenas quatro algarismos significativos e a
notação correta é: 73,20 m ± 0,02 m.
b) Em muitos casos o erro máximo não é indicado explicitamente. Assim, fica implícito
que o último algarismo é duvidoso, sendo o erro máximo, de uma unidade da casa
incerta.
Quando se escreve, por exemplo, a medida de 28,5 cm, subentende-se que é o mesmo
que escrever 28,5 cm ± 0,1 cm. Nesse caso, a medida tem três algarismos significativos.
c) A notação científica simplificada, em muito, a definição dos algarismos significativos
de uma medida.
Seja, por exemplo, a medida de 0,040 m que, em notação científica fica escrita como 4,0 x
-2
10 , tendo portanto dois algarismos significativos.
d) Outros exemplos:
• 27,40 m = 2,740 x 10 m, tem quatro significativos
• 0,0028 kg = 2,8 x 10-3 kg, tem dois significativos
• 33 cv = 3,3 x 10 cv, tem dois significativos
• 3260 cm ± 10 cm, tem três significativos, porque a casa das dezenas já é duvidosa

1.6.3 Arredondamento

Em muitos casos, conhece-se uma medida com mais significativos que os necessários a
determinado fim.
Nestes casos, o último algarismo de um número obtido por arredondamento, deve ser
acrescido de uma unidade caso o primeiro algarismo posterior a ele seja igual ou superior a
cinco. Se for menor do que cinco, permanece com o mesmo valor.
Exemplo; uma medida de 85,328 cm feita com uma precisão de 0,03 cm, deverá ter
apenas quatro significativos, ou seja: 85,33 cm.



1.6.4 Operações com algarismos significativos
1.6.4.1 Adição e subtração

Para somar ou subtrair algarismos significativos deve-se usar todos os termos com o
mesmo número de casas decimais; o termo que possui menos casas decimais indica o número
de casas decimais a serem usadas.

Exemplos:
a) 32,5 + 0,02 + 17,25 = 32,5 + 17,3 = 49,8
b) 25 + 3,86 + 0,9 + 2,13 = 25 + 4 + 1 + 2 = 32
c) 35,98 – 0,4 = 36,0 – 0,4 = 35,6

Quando os algarismos significativos vem acompanhados da notação ±, as parcelas de
dúvida são consideradas aditivas tanto para a soma quanto para a diferença.

Exemplos;
a) (637 ± 0,63%) – (426 ± 0,47%) =
(637 ± 4) – (426 ± 2) = 211 ± 6 = 211 ± 2,84%

Note-se que as parcelas de dúvida são consideradas aditivas, porque a presença de uma
dúvida ± significa que uma quantidade pode estar acima (637 ± 4) e a outra abaixo (426 – 2) do
valor verdadeiro o que aumenta a faixa de dúvida em termo percentuais.

b) (427 ± 1,0%) + (392 ± 2,0%) =
(427 ± 4) + (392 ± 8) =
819 ± 12 = 819 ± 1,5%

Nota-se que a faixa de dúvida em termos percentuais se mantém aproximadamente na
mesma faixa de dúvida que as duas parcelas, no caso da soma.

1.6.4.2 Multiplicação e divisão

Para multiplicar ou dividir algarismos significativos, deve-se proceder conforme a seguir:

a) arredondar todas as medidas para o mesmo número de significativos daquela que
contiver menos significativos;
b) se, no item anterior, o primeiro significativo da medida a ser arredondado for a
unidade, arredondá-lo (e somente ele) com mais significativos;
c) o resultado final conterá o mesmo número de significativos daquela medida que
contiver menos significativos.



Exemplos:
a) 1732,83 x 0,25 =
(1,7 x 103) x (2,5 x 10-1) =
4,25 x 102

Como o menor número de significativos é dois, o resultado final é 4,3 x 102

b) 3,1416 + 0,0125 = 3,14 + 0,0125 = 251,2 = 251

c)

1.6.4.3 Logarítmo decimal

A mantissa do logarítmo decimal de um número com n significativos deve ser tomada com
n decimais.
Exemplo:
Log 158 = 2,19856 = 2,199

1.6.5 Propagação dos erros no resultado final

Tendo sido estimado o erro de cada variável medida, será então necessário combiná-los
entre si para obter-se o erro no resultado final.
Admitindo-se que uma grandeza física G seja determinada a partir de várias outras
grandezas x, y, z, ....., é válido imaginar-se entre elas uma relação do tipo:

G = G (x, y, z, .....,) (1)

A lei de propagação dos erros permite determinar o erro de G em função dos erros que
corresponde a cada um dos valores de x, y, z, .... O erro que afeta G e as demais grandezas
recai principalmente sobre o observador. Uma calibração cuidadosa dos instrumentos, medidas
feitas com atenção e o exame crítico dos dados, permite ao observador experimental reduzir o
erro nas medidas. Isto permite dizer que a ocorrência dos erros pequenos são mais prováveis
que os erros grandes.
Usualmente assume-se a distribuição dos erros como normal.
Geralmente o erro atribuído à grandeza x não guarda nenhuma relação com os erros
atribuídos a y e a z; são ditos independentes.
Assumindo as considerações anteriormente feitas, para pequenas variações ou
incrementos em x, y, z, ... em torno de seus valores médios, assinalados por dx, dy, dz, a
variação dG, resultante para G, na equação 1, é:



(2)

Elevando-se ambos os membros da equação anterior ao quadrado, tem-se:

(3)

Como x, y, z, ... representam a média aritmética de um grande número de observações e
os valores positivos de um incremento têm igual probabilidade de estarem associados a valores
positivos ou negativos de outros incrementos, é de se esperar que a soma dos termos de duplo
produto tenda para zero, ficando a equação 3 reescrita como:

(4)

As variações dG, dx, dy, dz, ... representam, na realidade, os erros absolutos eG, ex, ey,
ez, ... cometidos nas medições x, y, z, ..., o que permite finalmente reescrever a equação 4
como:

(5)

1.6.5.1 Casos especiais de propagação de erros

a) Soma de grandezas (x, y, z,...)

G = x + y + z + ...

Todas as derivadas parciais são iguais a unidade, que levada à equação 5 obtêm-se:

(6)

b) Diferença de grandezas (x, y).

G=x–y

Neste caso e , que levados à equação 5, resulta:

(7)



A equação 7 mostra que mesmo numa diferença os erros quadráticos se somam.

1.6.5.2 Outra expressão para propagação de erros.

A expressão apresentada para a propagação de erros no resultado final, pode ser obtida
de maneira bastante simples mediante a consideração de erros relativos e por meio da
diferenciação logarítmica (logarítmo neperiano) da expressão: G = G (x, y, z, ...), desde que
apresentada na forma de monômio.
Exemplo:

G = m xa y-b zc (a, b, c = constantes)

lnG = lnm + a ln x – b ln y + c ln z

,

Elevando-se ambos os membros ao quadrado, tem-se:

, (8)

Já que a soma dos termos de duplo produto tende para zero para um grande número de
observações.
Chamamos de:

= erro relativo do resultado final;

= erro relativo da grandeza x;

= erro relativo da grandeza y; e

= erro relativo da grandeza z.

A equação 8 pode ser escrita como:

(9)

Na equação anterior as constantes a, b, e c são os expoentes das variáveis x, y e z,
respectivamente.



1.6.6 Exercícios de Aplicação

1.6.6.1 Ao realizar-se uma série de 9 medições, encontrou-se os seguintes valores: 24,2 mm;
24,5 mm; 24,8 mm; 24,3 mm; 24,7 mm; 24,4 mm; 24,7 mm; 24,3 mm e 24,6 mm.
a) Alguma medida deve ser desprezada?
b) Qual o valor mais provável da grandeza?
c) Qual o erro absoluto médio?

RESPOSTA



1.6.6.2 Quantos algarismos significativos tem cada um dos seguintes números:

a) 302 d) 0,0003
b) 302,10 e) 25,8 cm ± 1cm
c) 0,00030 f) 2,508 ± 0,30
RESPOSTA

1.7 Erros em Topografia

Todas as medidas ou observações feitas,estão afetadas de erros de diferentes classes.
Assim é impossível determinar a verdadeira magnitude de uma distância ou de um ângulo
medido. O valor exato fica somente na nossa imaginação. Não se pode obter mais que o valor
provável.
Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se tome ao proceder um
levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais estarão isentas de erros.
Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como direções,
distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. As
fontes de erro poderão ser:
1) Naturais: são aqueles causados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento,
refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc. Alguns destes erros são
classificados como erros sistemáticos e dificilmente podem ser evitados. São passíveis
de correção desde que sejam tomadas as devidas precauções durante a medição.
2) Instrumentais: são aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos
instrumentos ou aparelhosutilizados nas medições. Alguns destes erros são
classificados como erros acidentais e ocorrem ocasionalmente, podendo ser evitados
e/ou corrigidos com a aferição e calibragem constante dos aparelhos.
3) Pessoais: são aqueles ocasionados pela falta e cuidado do operador. Os mais comuns
são: erro na leitura dos ângulos, erro na leitura da régua graduada, na contagem do
números de trenadas, ponto visado errado, aparelho fora do prumo, aparelho fora de
nível, etc. São classificados como erros grosseiros e não devem ocorrer jamais pois
não são passíveis de correção.
É importante ressaltar que alguns erros se anulam durante a medição ou durante o
processo de cálculo. Portanto, um levantamento que aparentemente não apresenta erros, não
significa necessariamente estar correto.



Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão ser
classificados em:
• Erros grosseiros;
• Erros sistemáticos;
• Erros aleatórios;
• Erros de arredondamento.

1.7.1 Erros grosseiros

Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de alvo,
etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no
equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou
detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros.
Alguns exemplos de erros grosseiros:
• anotar 196 ao invés de 169;
• engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena.
Este tipo de erro é descoberto repetindo-se a medição, isto é, fazendo medições de
controle.

1.7.2 Erros sistemáticos

São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, seguindo
leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser
evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a
aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho.
Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas específicas:
• efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de
distância;
• correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura.
Estes erros devem ser eliminados na medida do possível, tomando-os em conta nos
cálculos, pelo conhecimento de sua magnitude determinada anteriormente, usando métodos de
medição apropriados e aferindo cuidadosamente os instrumentos.
Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de eliminar e
ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância entre as miras
durante o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que proporciona a
minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a linha
de visada e eixo do nível tubular.

1.7.3 Erros acidentais ou aleatórios



O termo acidental não tem aqui conotação de acidente e sim imprevisibilidade. Os erros
acidentais são as imprevisões inevitáveis que afetam cada medida.
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São erros
que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se
neutralizar quando o número de observações é grande.
Somente estes erros irregulares e acidentais são considerados na compensação e no
ajustamento através de estatística. De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho
de uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuição de freqüência que
muito se aproxima da distribuição normal.

1.7.3.1 Peculiaridade dos erros acidentais

• Erros pequenos ocorrem mais freqüentemente do que os grandes, sendo mais
prováveis;
• Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual freqüência, ou
são igualmente prováveis;
• A média dos resíduos é aproximadamente nula;
• Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar
próximo ao valor real.
Exemplo de erros acidentais:
• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida;
• Erro de pontaria na leitura de direções horizontais.

1.7.4 Erros de arredondamento

São proporcionados por conseqüência da facilidade de manipulação numérica
inadequada, normalmente causados pelo uso de números com poucas casas decimais.
O arredondamento deve ser compatível com a precisão da medição e devem ser
aplicados nos resultados finais, ou seja, na apresentação dos resultados, assim minimizando o
possível erro.
A Tabela a seguir apresenta uma regra de arredondamento de valores estabelecida pelo
Sistema Internacional de Unidades (SI). Em metrologia e áreas correlatas é sugerido que o
arredondamento e compatibilização de valores sejam aplicados nos resultados finais, ou seja,
na apresentação dos resultados, assim minimizando o possível erro.

Tabela: Em conformidade com a Resolução nº 886/66 do IBGE, o arredondamento é
efetuado da seguinte maneira:
CONDIÇÕES PROCEDIMENTOS EXEMPLOS



O último algarismo a permanecer fica
<5 53,724 passa a 53,72
inalterado.
42,687 passa a 42,69
Aumenta-se de uma unidade o algarismo a
>5 25,608 passa a 25,61
permanecer.
53,299 passa a 53,30
(i) Se ao 5 seguir em qualquer casa um 2,1352 passa a 2,14
algarismo diferente de zero, aumenta-se uma 25,16501 passa a 25,17
unidade no algarismo a permanecer. 76,1250002 passa a 76,13
=5 (ii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só 24,475 passa a 24,48
seguirem zeros, o último algarismo a ser 24,465 passa a 24,46
conservado só será aumentado de uma 24,67500 passa a 24,68
unidade se for ímpar. 24,96500 passa a 24,96

1.8 Precisão e acurácia

A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições
semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios. Podemos dizer também que a
precisão de uma dada grandeza retrata o “nível de aderência ou grupamento entre os valores
observados, sua repetibilidade ou grau de dispersão”.
Ainda que por vezes empregado indistintamente para quantificar o grau de confiabilidade
de uma grandeza, o conceito de precisão não deve ser confundido com o de acurácia.
A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor
verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios (estocásticos) e sistemáticos
(determinísticos). Isso significa que a sua avaliação só pode acontecer se conhecido este “valor
verdadeiro”. A figura a seguir ilustra estes conceitos.
PRECISÃO E ACURÁCIA

O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de
futebol está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a
trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não



apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação
sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez.

1.9 Exercícios:

1) Qual a diferença entre precisão e acurácia?

2) Quais são as fontes de erro existentes numa medição? Fale sobre cada um deles.

3) Como podem ser classificados os erros existentes na topografia? Comente sobre eles.



2. REVISÃO MATEMÁTICA

Neste capítulo é realizada uma revisão de unidades e trigonometria, necessária para o
estudo dos próximos temas a serem abordados.

2.1 Unidades de medida

2.1.1 Medida de comprimento (metro)

A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Ciências de Paris o definiu
como unidade padrão de comprimento. Sua dimensão era representada por 1/10.000.000 de
um arco de meridiano da Terra.
Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definição atual do
“metro” como a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de
1/299.792.458 s.
O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de comprimento no
sistema internacional (SI).

PREFIXOS
Valor Valor
Nome Símbolo Nome Símbolo
Numérico Numérico
Deca 101 da deci 10-1 d
Hecto 102 H centi 10-2 c
Kilo 103 K mili 10-3 m
Mega 105 M micro 10-5 μ
Giga 109 G nano 10-9 n
Tera 1012 T pico 10-12 p

2.1.2 Medida angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos)

2.1.2.1 Radiano

Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento
igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos.

2πR — 360º arco = R = raio

REPRESENTAÇÃO DE UM ARCO DE ÂNGULO.



2.1.2.2 - UNIDADE SEXAGESIMAL

Grau
1 grau = 1/360 da circunferência
grau ° → 1° = (π /180) rad
minuto ’ → 1’ = 1°/60= (π/10800) rad
segundos ” → 1” = 1°/3600= (π/648000) rad

2.1.2.3 - UNIDADE DECIMAL

Grado
1 grado =1/400 da circunferência
Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”.

2.1.2.4 EXERCÍCIOS:

1) Transformação de ângulos:
Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos para graus e frações decimais
de grau.
a) 32º 28’ 59” = 32 = 32, 48305556º
b) 17º 34’ 18,3” = 17 = 17,57175º
c) 125º 59’ 57” = 125 = 125,9991667º

2) Soma e subtração de ângulos:

30º20’ + 20º 52’ = 51º12’
28º41’ + 39°39’ = 68°20’
42º30’ – 20°40’ = 21°50’

2.1) Utilizando a calculadora:

30,20 →DEG = 30,3333333
+
20,52 →DEG = 20,86666667
=
51,20000 2ndF →DEG = 51º 12’
2.2) Sem a utilização de calculadora:



OBS: é comum, utilizando a calculadora, obter resultados com várias casas decimais, neste
caso, recomenda-se o arredondamento. Por exemplo:

Já para a transformação de graus decimais para graus, minutos e segundos, é necessário
manter um mínimo de 6 casas decimais para obter o décimo do segundo com segurança.

3) Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora
Ao aplicar as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente), com uma calculadora, o
ângulo deve estar em graus e frações de graus ou radianos, sendo que neste último caso, a
calculadora deve estar configurada para radianos. Por exemplo:

Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e tangente:
1º) transformar para graus decimais ou radianos:
22º 09’ 04” = 22,1511111º = 0.386609821864rad

2º) aplicar a função trigonométrica desejada:
sen(22,1511111º) = sen(0.386609821864 rad) = 0,377050629
cos(22,1511111º) = cos(0.386609821864 rad) = 0,926192648
tg(22,1511111º) = tg(0.386609821864 rad) = 0,407097411

Ao aplicar-se a função sem a transformação do ângulo pode-se incorrer em erros nos
cálculos futuros, como é possível observar no exemplo a seguir:
Para o ângulo citado acima: α = 22º 09’ 04”
Calculando-se o valor da função seno sem converter o valor do ângulo, obtém-se:
sen 22,0904 = 0,376069016

Já transformando-o para graus decimais obtém-se:
sen 22,1511111º = 0,377050629

Considerando uma distância de 300m, entre um vértice de uma poligonal e um ponto de
detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferença no valor de Δx calculado.

Δx = 300 . sen 22,0904 = 300 . 0,376069016 → Δx = 112,821m
Δx = 300 . sen 22,15111110 = 300 . 0,377050629 → Δx = 113,115m
Logo, uma diferença de 29,4 cm.



2.2 - REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA

A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos estudos das relações métricas entre
os lados e os ângulos de um triângulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de
navegação, Agrimensura e Astronomia.

2.2.1 - RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A partir da figura 2.2
podem ser estabelecidas as seguintes relações:

TRIÂNGULO RETÂNGULO

Seno

Cosseno

Tangente

2.2.2 - TEOREMA DE PITÁGORAS

“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos
comprimentos dos catetos.”



2.3 - EXERCÍCIOS
1) No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas.

Obs.: É importante lembrar que as funções trigonométricas são adimensionais, ou seja, para
qualquer unidade que esteja sendo utilizada, elas sempre se simplificarão, como pode ser visto
no exemplo acima.

2) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um
ângulo de 56º 00’00”. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre
segundo um ângulo de 35º 00’00”. Calcule a largura do rio.

RESPOSTA



3) Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu, a partir de uma base de 20,00m
de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h.

RESPOSTAS

2.4 - RELAÇÕES MÉTRICAS COM O TRIÂNGULO RETÂNGULO



Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas
de seus elementos:

Onde:
• b, c: catetos;

• h: altura relativa à hipotenusa;

• a: hipotenusa;

• m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

As seguintes relações métricas podem ser definidas:
a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre
a hipotenusa.
b2 = a . n
c2 = a . m

b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
b.c=a.h
c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h2 = m . n
d) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
2.5 - EXERCÍCIO
A partir da primeira relação métrica, deduzir o Teorema de Pitágoras.
b2 = a . n
c2 = a . m
b2 + c2 = a . m + a . n
b2 + c2 = a . (m + n)
como: (m + n) = a , então
b2 + c2 = a . (a) ou
b2 + c2 = a2



2.6 - TRIÂNGULO QUALQUER

2.6.1 - LEI DOS SENOS

“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e
igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”.

2.6.2 - LEI DOS COSSENOS

“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados
das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo
cosseno do ângulo que eles formam”.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos A
2.7 – EXERCÍCIO

Um topógrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a medição dos ângulos
horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxílio de um teodolito. Calcule a
distância entre as balizas.

DC = ?



RESPOSTA

3. ESCALAS

Segundo ESPARTEL (1987) o desenho topográfico nada mais é do que a projeção de
todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel.
Neste desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza (VG) e as
distânicas são reduzidas segundo uma razão constante.
É comum em levantamentos topográficos a necessidade de representar no papel uma
certa porção da superfície terrestre. Para que isto seja possível, teremos que representar as
feições levantadas em uma escala adequada para os fins do projeto. De forma simples,
podemos definir escala com sendo a relação entre o valor de uma distância medida no
desenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196 (Emprego de escalas em desenho
técnico: procedimentos) define escala como sendo a relação da dimensão linear de um
elemento e/ou um objeto apresentado no desenho original para a dimensão real do mesmo
e/ou do próprio objeto.
Normalmente são empregados três tipos de notação para a representação da escala:

onde:
M = denominador da escala;
d = distância no desenho;
D = distância no terreno.



Por exemplo, se uma feição é representada no desenho com um centímetro de
comprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno é de 100 metros, então a escala de
representação utilizada é de 1:10.000. Ao utilizar a fórmula (3.2) para o cálculo da escala deve-
se ter o cuidado de transformar as distâncias para a mesma unidade. Por exemplo:

d = 5 cm

D = 0,5 km

As escalas podem ser de redução (1:n), ampliação (n:1) ou naturais (1:1). Em Topografia
as escalas empregadas normalmente são: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. Logicamente que não
é algo rígido e estes valores dependerão do objetivo do desenho.
Uma escala é dita grande quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo, 1:100,
1:200, 1:50, etc.). Já uma escala pequena possui o denominador grande (1:10.000, 1:500.000,
etc.).
O valor da escala é adimensional, ou seja, não tem dimensão (unidade). Escrever 1:200
significa que uma unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno. Assim, 1 cm no
desenho corresponde a 200 cm no terreno ou 1 milímetro do desenho corresponde a 200
milímetros no terreno. Como as medidas no desenho são realizadas com uma régua, é comum
estabelecer esta relação em centímetros:
Desenho Terreno
1 cm 200 cm
1 cm 2m
1 cm 0,002 km

É comum medir-se uma área em um desenho e calcular-se sua correspondente no
terreno. Isto pode ser feito da seguinte forma: Imagina-se um desenho na escala 1:50.
Utilizando esta escala faz-se um desenho de um quadrado de 2 x 2 unidades (u), não interessa
qual é esta unidade. A figura 3.1 apresenta este desenho.

A área do quadrado no desenho (Ad) será:

QUADRADO 2u x 2u.

Ad = 2u . 2u => Ad = 4u2 (3)
A área do quadrado no terreno (At) será então:



At = (50 . 2u) . (50 . 2u)
At = (2 . 2) . (50 . 50) u2
At = 4u2 . (50 . 50) (4)

Substituindo a equação (3) na (4) e lembrando que M=50 é o denominador da escala, a
área do terreno, em função da área medida no desenho e da escala é dada pela equação (5).

At = Ad . M2 (5)

3.1 - PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAÇÕES

A seguir encontra-se uma tabela com as principais escalas utilizadas por engenheiros e as
suas respectivas aplicações.
PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAÇÕES.
Aplicação Escala
Detalhes de terrenos urbanos 1:50
Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200
Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000
1:1000
Planta de propriedades rurais
1:2000
1:5000
Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou 1:5000
industriais 1:10 000
1:25 000
1:50 000
Cartas de municípios
1:100 000
Mapas de estados, países, continentes ,etc. 1:200 000 a 1:10 000 000

3.2 – EXERCÍCIO

1) Qual das escalas é maior 1:1. 000.000 ou 1:1000?

2) Qual das escalas é menor 1:10 ou 1:1000?

3) Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho é de 1:18000 e o rio foi
representado por uma linha com 17,5 cm de comprimento.

4) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distâncias homólogas na carta e no
terreno são, respectivamente, 225 mm e 4,5 km.



5) Com qual comprimento uma estrada de 2500 m será representada na escala 1:10000?

6) Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 m de comprimento nas escalas

abaixo.
Escala Comprimento
1:100
1:200
1:250
1:500
1:1000

7) Um lote urbano tem a forma de um retângulo, sendo que o seu comprimento é duas vezes
maior que a sua altura e sua área é de 16.722,54 m2. Calcular os comprimentos dos lados se
esta área fosse representada na escala 1:10560.

8) As dimensões de um terreno foram medidas em uma carta e os valores obtidos foram: 250
mm de comprimento por 175 mm de largura. Sabendo-se que a escala do desenho é de
1:2000, qual é a área do terreno em m2 ?

9) Se a avaliação de uma área resultou em 2575 cm 2 para uma escala de 1:500, a quantos
metros quadrados corresponderá a área no terreno?



3.3 - A ESCALA GRÁFICA

A escala gráfica é utilizada para facilitar a leitura de um mapa, consistindo-se em um
segmento de reta dividido de modo a mostrar graficamente a relação entre as dimensões de
um objeto no desenho e no terreno. Segundo JOLY (1996) é um ábaco formado por uma linha
graduada dividida em partes iguais, cada uma delas representando a unidade de comprimento
escolhida para o terreno ou um dos seus múltiplos.
Para a construção de uma escala gráfica a primeira coisa a fazer é conhecer a escala do
mapa. Por exemplo, seja um mapa na escala 1:4000. Deseja-se desenhar um retângulo no
mapa que corresponda a 100 metros no terreno. Aplicando os conhecimentos mostrados
anteriormente deve-se desenhar um retângulo com 2,5 centímetros de comprimento:

Isto já seria uma escala gráfica, embora bastante simples. É comum desenhar-se mais
que um segmento (retângulo), bem como indicar qual o comprimento no terreno que este
segmento representa, conforme mostra a figura a seguir.

No caso anterior determinou-se que a escala gráfica seria graduada de 100 em 100
metros. Também é possível definir o tamanho do retângulo no desenho, como por exemplo, 1
centímetro.



Existe também uma parte denominada de talão, que consiste em intervalos menores,
conforme mostra a figura abaixo.

Uma forma para apresentação final da escala gráfica é apresentada a seguir.

3.4 Exercícios

1) Para representar, no papel, uma linha reta que no terreno mede 45 m, utilizando-se a escala
1:450, pergunta-se: qual será o valor dessa linha em cm?

2) A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 55 cm. Para uma
escala igual a 1:250, qual será o valor real da distância?

3) Construa uma escala gráfica para a escala nominal 1:600.



4) Quantas folhas de papel tamanho A4 serão necessárias para representar uma superfície de
350 m x 280 m, na escala 1:500?

4. NORMALIZAÇÃO

4.1 – INTRODUÇÃO

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o órgão responsável pela
normalização técnica no país, tendo sido fundada em 1940 para fornecer a base necessária ao
desenvolvimento tecnológico brasileiro. A normalização é o processo de estabelecer e aplicar
regras a fim de abordar ordenadamente uma atividade específica e com a participação de
todos os interessados e, em particular, de promover a otimização da economia, levando em
consideração as condições funcionais e as exigências de segurança. Os objetivos da
normalização são (ABNT, 2003):

• Economia: proporcionar a redução da crescente variedade de produtos e
procedimentos;
• Comunicação: proporcionar meios mais eficientes para a troca de informações entre o
fabricante e o cliente, melhorando a confiabilidade das relações comerciais e serviços;
• Segurança: proteger a vida humana e a saúde;

• Proteção ao consumidor: prover a sociedade de meios eficazes para aferir a
qualidade dos produtos;
• Eliminação de barreiras técnicas e comerciais: evitar a existência de regulamentos
conflitantes sobre produtos e serviços em diferentes países, facilitando assim, o
intercâmbio comercial. Através do processo de normalização são criadas as normas.
As normas da ABNT são classificadas em sete tipos diferentes (BIBVIRT, 2003):
• Procedimento: orientam a maneira correta para a utilização de materiais e produtos,
execução de cálculos e projetos, instalação de máquinas e equipamentos e realização
do controle de produtos;
• Especificação: fixam padrões mínimos de qualidade para produtos;

• Padronização: fixam formas, dimensões e tipos de produtos;



• Terminologia: definem os termos técnicos aplicados a materiais, peças e outros
artigos;
• Simbologia: estabelecem convenções gráficas para conceitos, grandezas, sistemas,
etc;
• Classificação: ordenam, distribuem ou subdividem conceitos ou objetos, bem como
critérios a serem adotados;
• Método de ensaio: determinam a maneira de se verificar a qualidade das matérias-
primas e dos produtos manufaturados.

As normas da ABNT têm caráter nacional. Outros países têm seus próprios órgãos
responsáveis pela normalização, como a ANSI (American National Standards Institute -EUA) e
DIN (Deutsches Institut fur Normung - Alemanha). Existem também associações internacionais,
como a ISO (International Organization for Standardization), fundada em 1946. A figura abaixo
ilustra os logotipos da ABNT e ISO.

LOGOTIPO ABNT E ISO

Alguns exemplos de normas da ABNT são apresentados a seguir:

NBR 10068 – Folha de desenho – leiaute e dimensões
NBR 8196 - Desenho técnico - emprego de escalas
NBR 10647 – Desenho técnico – Norma geral
NBR 10124 – Trena de fibra – fibra natural ou sintética
NBR 14166 – Rede de referência cadastral municipal - procedimento
NBR 13133 – Execução de levantamento topográfico

Um exemplo de norma ISO é a ISO 17123-1 (Optics and optical instruments – Field
procedures for testing geodetic instruments and surveying instruments – Part 1: Theory).
Particularmente na Topografia são de interesse as normas NBR 13133 e NBR 14166.

4.2 - NBR 13133 – EXECUÇÃO DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS

Esta norma, datada de maio de 1994, fixa as condições exigíveis para a execução de
levantamentos topográficos destinados a obter (ABNT, 1994, p.1):



• conhecimento geral do terreno: relevo, limites, confrontantes, área, localização,
amarração e posicionamento;
• informações sobre o terreno destinadas a estudos preliminares de projeto;
• informações sobre o terreno destinadas a anteprojetos ou projeto básicos;
• informações sobre o terreno destinadas a projetos executivos.

Também é objetivo desta norma estabelecer condições exigíveis para a execução de um
levantamento topográfico que devem compatibilizar medidas angulares, medidas lineares,
medidas de desníveis e as respectivas tolerâncias em função dos erros, relacionando métodos,
processos e instrumentos para a obtenção de resultados compatíveis com a destinação do
levantamento, assegurando que a propagação dos erros não exceda os limites de segurança
inerentes a esta destinação (ABNT, 1994, p.1). Esta norma está dividida nos seguintes itens:

• objetivos e documentos complementares;
• definições: onde são apresentadas as definições adotadas pela norma, como por
exemplo definições de croqui, exatidão, erro de graficismo, etc;
• aparelhagem: instrumental básico e auxiliar e classificação dos instrumentos;
• condições gerais: especificações gerais para os trabalhos topográficos;
• condições específicas: referem-se apenas às fases de apoio topográfico e de
levantamento de detalhes que são as mais importantes em termos de definição de sua
exatidão;
• inspeção do levantamento topográfico;
• aceitação e rejeição: condições de aceitação ou rejeição dos produtos nas diversas
fases do levantamento topográfico.
• anexos: exemplos de cadernetas de campo e monografias, convenções topográficas e
procedimento de cálculo de desvio padrão de uma observação em duas posições da
luneta, através da DIN 18723.

4.3 - NBR 14166 – REDE DE REFERÊNCIA CADASTRAL MUNICIPAL – PROCEDIMENTO

O objetivo desta norma é fixar as condições exigíveis para a implantação e manutenção
de uma Rede Cadastral Municipal. Esta norma é válida desde setembro de 1998. De acordo
com ABNT (1998, p.2), a destinação desta Rede Cadastral Municipal é:
• apoiar e elaboração e a atualização de plantas cadastrais municipais;
• amarrar, de um modo geral, todos os serviços de Topografia, visando as incorporações
às plantas cadastrais do município;
• referenciar todos os serviços topográficos de demarcação, de anteprojeto, de projetos,
de implantação e acompanhamento de obras de engenharia em geral, de urbanização,



de levantamentos de obras como construídas e de cadastros imobiliários para registros
públicos e multifinalitários.

Esta norma está dividida nos seguintes itens:

• referências normativas: contém disposições que, ao serem citadas no texto da norma,
constituem prescrições para a mesma;
• definições: são apresentadas uma série de definições, como a de altura geométrica,
alinhamento de via ou alinhamento predial, etc.;
• estruturação e classificação da Rede de Referência Cadastral: seqüência de
operações que devem ser observadas para a estruturação e implantação da Rede de
Referência;
• requisitos gerais;

• requisitos específicos;

• inspeção: itens para inspeção dos trabalhos de implantação e manutenção da rede;

• aceitação e rejeição;

Além disto apresenta anexos tratando das fórmulas para transformação de coordenadas
geodésicas em coordenadas plano-retangulares no Sistema Topográfico Local, cálculo da
convergência meridiana a partir de coordenadas geodésicas e plano-retangulares no Sistema
Topográfico Local e modelo de instrumento legal para a oficialização da Rede de Referência
Cadastral Municipal.

4.4 EXERCÍCIO

1) Trabalho

Fazer resumo sobre a NBR 13133 – Execução de levantamento topográfico.

5. INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS



5.1 Teodolito: instrumento destinado a medir ângulos horizontais e verticais. Podem ser
mecânicos ou eletrônicos (digitais).

5.2 Fio de prumo: instrumento para detectar a vertical do lugar e elevar o ponto. Pode ser
adaptado num prisma ortogonal ou num tripé.

5.3 Trena: podem ser de fibra de vidro, aço ou ínvar. As trenas de fibra de vidro não são
recomendadas pelo fato das fibras de vidro quebrarem e não ser visível ao usuário. As de aço
devem ser utilizadas com fator de correção de temperatura.



5.4 Nível de Cantoneira: instrumento utilizado para detectar a vertical de outro instrumento.
Pode ser adaptado numa baliza ou numa mira.

5.5 Dinamômetro: é um aparelho que se destina à medição das tensões que são aplicadas
aos diastímetros para assegurar que a tensão aplicada seja igual a tensão de calibração.

5.6 Distanciômetro: instrumento destinado a medir distâncias inclinadas. Deve ser acoplado a
um teodolito para possibilitar a medição do ângulo vertical para calcular a distância horizontal e
a distância vertical.

5.7 Nível: instrumento destinado a gerar um plano horizontal de referência para calcular os
desníveis entre pontos. Podem ser automáticos ou digitais.



5.8 Bastão: instrumento que serve para elevar o ponto topográfico com o objetivo de torná-lo
visível. Possui encaixe ou rosca para adaptação de antena GPS ou prisma.

5.9 Mira: instrumento para medir a distância vertical de um ponto até o plano horizontal do
nível. Para os níveis digitais, a mira deve ser com códigos de barras.

5.10 Sapata para Nivelamento: instrumento utilizado para apoiar a mira.

5.11 Prisma: instrumento destinado à reflexão do sinal emitido por um distanciômetro ou uma
estação total.

5.12 Termômetro: instrumento usado para a medição da temperatura que se destina a
correção dos valores obtidos no levantamento.


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