Cap3 cinematica

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Cap3 cinematica

  1. 1. CINEMÁTICA 38 CAPÍTULO 3 CINEMÁTICA 3.1 MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO O movimento dos corpos é estudado pela Cinemática. Esta área da Física estuda os corpos considerando-os como pontos materiais. Qualquer corpo pode ser considerado como um ponto material, desde que tenha suas dimensões desprezíveis em relação às dimensões do movimento consideradas. 3.1.1 Deslocamento A figura 3.1 mostra um carro na posição x1 no instante t1 e a posição do mesmo carro em x2 no instante t2. A modificação da posição do carro, o deslocamento, é dada pela diferença x2 – x1. A letra grega ∆ (delta maiúsculo) indica a variação de uma grandeza. Então a variação de x se escreve ∆x : ∆x = x2 – x1 3.1 Unidade no SI: metro (m) Figura 3.1: Um carro desloca-se sobre uma reta que tem um ponto como origem, O. Os outros pontos são identificados pela distância x a O. Os pontos à direita de O têm coordenadas positivas e os pontos à esquerda, negativas. Quando o carro passa do ponto x1 para o ponto x2, o seu deslocamento é ∆x = x2 – x1. 3.1.2 Velocidade Média Se define como a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t = t2 – t1. v méd = ∆x x 2 − x 1 = t 2 − t1 ∆t 3.2 Unidade no SI metro/segundo (m/s), mas é também bastante usado a unidade de quilômetro por hora (km/h). O deslocamento e a velocidade podem ser positivos ou negativos. Um valor positivo mostra que o movimento ocorre no sentido do x positivo. Na linguagem corrente, a velocidade média (velocidade escalar média) de um móvel é a razão entre a distância total percorrida pelo móvel e o intervalo de tempo entre a partida e a chegada. Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  2. 2. CINEMÁTICA velocidade escalar média = distância total tempo total → 39 (sempre positiva) 3.3 Exemplos 3-1: Numa corrida de 100m, os primeiros 50m são cobertos com a velocidade média de 10m/s e os 50m restantes com a velocidade média de 8m/s. Qual a velocidade média do corredor sobre os 100m ? Solução: ∆t 1 = ∆x ∆t ∆x 1 50 = = 5s v1 10 ∆t 2 = v méd = ∆x 2 50 = = 6,25 s v2 8 ∆t = ∆t 1 + ∆t 2 = 11,25 s v méd = ∆x = 8,89 m/s ∆t Exemplo 3-2: Imagine que você corra 100m em 12s e depois retorne ao ponto de partida caminhando 50m durante 30s. Calcule: a) A velocidade escalar média (sentido trivial); b) A velocidade média definida pelo deslocamento. Figura 3.2 Solução: ∆x (total ) 150 = = 3,57 m/s ∆t 42 ∆x 50 = = = 1,19 m/s ∆t 42 a) v méd = b) v méd 3.1.3 Velocidade Média (Interpretação Geométrica) A velocidade média é o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa pelos pontos (t1,x1) e (t2,x2), como ilustrado na figura 3.3. Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  3. 3. CINEMÁTICA 40 Figura 3.3: Gráfico de x contra t do movimento de uma partícula em uma dimensão. Cada ponto da curva corresponde à posição x num instante t. Entre as posições P1 e P2 traçamos um segmento de reta. O deslocamento ∆x = x2 – x1 e o intervalo de tempo ∆t = t2 – t1, entre os dois pontos, ficam bem identificados. O segmento de reta de P1 até P2 é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são ∆x e ∆t. A razão ∆x/∆t é o coeficiente angular (inclinação) do segmento de reta. Em termos geométricos, o coeficiente angular é a medida da inclinação da reta. ∆x = inclinação = v méd ∆t 3.4 3.1.4 Velocidade Instantânea É a velocidade da partícula num certo ponto. Se a partícula está num certo ponto, como pode ter uma velocidade? Para definir um movimento é preciso ter a posição de um corpo em dois ou mais instantes. Se considerarmos intervalos de tempo cada vez mais curtos, entre um ponto e outro, do movimento, a velocidade média em cada um desses intervalos se aproximam do coeficiente angular da tangente à curva no ponto P0. A inclinação desta tangente é a velocidade instantânea em t0. A velocidade instantânea é a derivada da posição quando ∆t tende a zero. v= dx dt 3.5 O movimento que possui velocidade constante é chamado de Movimento Uniforme. A inclinação de uma reta pode ser positiva, negativa ou nula. Por isso, a velocidade instantânea (no movimento unidimensional) pode ser positiva (x cresce com o tempo), ou negativa (x decresce com o tempo). O módulo (valor absoluto) da velocidade instantânea é a velocidade escalar instantânea. Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  4. 4. CINEMÁTICA 41 Figura 3.4: Gráfico de x contra t. Veja a seqüência de intervalos de tempo t1 t2, t3, ..., cada vez menores. A velocidade média, em cada intervalo, é a inclinação do segmento de reta correspondente ao intervalo. Quando os intervalos de tempo tendem a zero, esta inclinação tende para a inclinação da reta tangente à curva no ponto t1. A inclinação (o coeficiente angular) corresponde à velocidade instantânea no instante t1. Exemplo 3-3: A posição de uma pedra que cai de um rochedo pode ser descrita, aproximadamente, por x = 5t2, em que x, em metros, é medida para baixo, a partir da posição inicial da pedra em t = 0, e t está em segundos. Achar a velocidade em qualquer instante de tempo t. Solução: 350 300 t3 posição (m) 250 200 150 t2 100 t1 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 tempo (s) Queremos calcular a velocidade da pedra num instante qualquer t. Para isso, devemos saber como derivar a equação da posição em relação ao tempo. Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  5. 5. CINEMÁTICA 42 ( ) dx d = 5t 2 dt dt v( t ) = 5 ⋅ 2 t 2−1 v( t ) = v( t ) = 10t As derivadas, como se sabe, são calculadas facilmente mediante regras simples. Uma regra especialmente útil é Se x = C tn, então dx = C n t n −1 dt 3.6 3.1.5 Aceleração Média A aceleração média é a taxa temporal de variação da velocidade. a= ∆v ∆t 3.7 3.1.6 Aceleração Instantânea A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, quando ∆t tende a zero. a (t) = dv dt 3.8 O movimento que possui aceleração constante é chamado de Movimento Uniformemente Acelerado (ou variado). Exemplo 3-4: O carro esportivo BMW M3 pode acelerar, na terceira marcha, de 48,3 km/h até 80,5 km/h em apenas 3,7s. a) Qual a aceleração média deste carro em m/s2? b) Se o carro mantiver esta aceleração durante outro segundo, que velocidade atingirá? Solução: a) 48,3 km/h b) → 13,4 m/s 80,5 km/h → 22,4 m/s 22,4 - 13,4 am = = 2,4 m/s 3,7 v = v 0 + a ⋅ t = 22,4 + 2,4 ⋅ 1 = 24,8 m/s Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  6. 6. CINEMÁTICA 43 Exemplo 3-5: Para o gráfico abaixo responda as seguintes perguntas: a) Em que instantes as acelerações dos corpos são positivas, negativas ou nulas? b) Em que instantes as acelerações são constantes? c) Em que instantes as velocidades instantâneas são nulas? M ov im en t o A m ort ecid o 2 p osição (m ) 1 0 -1 -2 0 2 4 6 8 10 t em p o (s) Solução: a) Positiva (a>0): de 0s a 3s; de 6s a 8s Negativa (a<0): de 3s a 6s; de 8s a 9s Nula(a=0): 3s; 6s; 8s. b) A aceleração depende do tempo. c) Velocidade nula (v = 0) : 3s; 6s; 8s. Se o movimento for uniformemente acelerado, ou seja, a aceleração for constante, vale a seguinte relação para a velocidade média: v méd = 1 (v 0 + v ) 2 3.9 A velocidade em função da posição pode ser obtida através da expressão: 2 v 2 = v 0 + 2 ⋅ a ⋅ ∆x 3.10 Graficamente podemos resumir os dois tipos de movimento estudados da seguinte maneira: Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  7. 7. CINEMÁTICA 44 Movimento Uniforme: x v a x0 x = x0 + vt t v = v0 t a=0 t Movimento Uniformemente Acelerado: x v a t t 1 x = x0 + vt + at2 2 t v = v0 + a t a(t) = a Exemplo 3-6: Num tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado do repouso, com uma aceleração de 5,33 . 1012 m/s2, durante 0,15 µs (1 µs = 10-6s ). O elétron, então se desloca, com velocidade constante, durante 0,2 µs. Finalmente chega ao repouso com uma aceleração de 2,67.1013 m/s2. Que distância o elétron percorre? Solução: ∆x1 ∆x2 v0 = 0 v1 t0 = 0 t1 = 0,15µs ∆x3 v2 t2 = 0,45µs Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC v3 = 0 t3
  8. 8. CINEMÁTICA Primeiro intervalo de tempo: ∆t 1 = t 1 − t 0 = 0,15 ×10 −6 s a 1 = 5,33 × 1012 m / s 2 v0 = 0 (o elétron parte do repouso) Cálculo de v1: v1 = v 0 + a 1 ⋅ ∆t 1 ( )( v1 = 5,33 × 1012 m / s 2 ⋅ 0,15 × 10 −6 s ) v1 = 8,00 × 10 5 m / s Cálculo de ∆x1: a 2 ⋅ (∆t 1 ) 2 12 2 5,33 × 10 m / s 2 ∆x 1 = ⋅ 0,15 × 10 −6 s 2 ∆x 1 = 6,00 × 10 − 2 m ou ∆x 1 = 6,00 cm ∆x 1 = v 0 ⋅ ∆t 1 + ( ) Segundo intervalo de tempo: ∆t 2 = t 2 − t 1 = 0,2 × 10 −6 s Se a velocidade é cons tan te ⇒ a 2 = 0 v1 = 8,00 × 10 5 m / s Cálculo de ∆x2: a2 2 ⋅ (∆t 2 ) 2 ∆x 2 = 8,00 × 10 5 m / s ⋅ 0,2 × 10 −6 s ∆x 2 = v1 ⋅ t + ( )( −1 ) ∆x 2 = 1,60 × 10 m ou ∆x 2 = 16cm Terceiro intervalo de tempo: v 2 = v1 = 8,00 × 10 5 m / s v3 = 0 (elétron retorna ao repouso ) a 3 = −2,67 × 1013 m / s 2 Cálculo de ∆t3: Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 45
  9. 9. CINEMÁTICA 46 v 3 = v 2 + a 3 ⋅ ∆t 3 ∆t 3 = − v2 a3 ⇒ ∆t 3 = − 8,00 × 10 5 m / s − 2,67 × 1013 m / s 2 ∆t 3 = 0,03 × 10 −6 s Cálculo de ∆x3: ∆x 3 = v 2 ⋅ ∆t 3 + a3 2 ⋅ (∆t 3 ) 2 [( )( )] (− 2,67 × 10 2 ∆x 3 = 8,00 × 10 2 m / s ⋅ 0,03 × 10 −6 s + 13 m / s2 ) ⋅ (0,003 × 10 s) −6 2 ∆x 3m = 1,20 × 10 − 2 m ou ∆x 3 = 1,20cm Distância total percorrida pelo elétron: ∆x total = ∆x 1 + ∆x 2 + ∆x 3 ∆x total = 23,2 cm Exemplo 3-7: A posição de uma partícula é dada por x = Ct3, onde C é uma constante com as unidades de m/s3. Achar a velocidade e a aceleração em função do tempo. Solução: v= dx = 3Ct 2 dt a= d 2 x dv = = 6Ct dt dt 2 3.2 Movimento em Duas e Três Dimensões 3.2.1 Vetor Posição O vetor posição de uma partícula é um vetor com a origem na origem do sistema de coordenadas xy e a extremidade no ponto da posição xy da partícula. Então, se a posição for no ponto (x,y), o vetor posição r é r = x i + yj 3.11 A figura 3.5 mostra a trajetória da partícula. (Não confundir a trajetória com o gráfico de x contra t que vimos anteriormente). No instante t1 a partícula está em P1, com o vetor posição r1 . Em t2, a partícula chegou a P2 e o seu vetor posição é r2 . A variação de posição da partícula é o vetor deslocamento ∆ r ∆ r = r2 − r1 3.12 Do movimento em uma dimensão sabemos que x = x0 + v0xt + (1/2)axt2 e que y = y0 + v0yt + (1/2) ayt2. Logo, a equação 3.11 pode ser reescrita como Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  10. 10. CINEMÁTICA 47 1 1     r (t) =  x 0 + v 0x t + a x t 2  i +  y 0 + v 0 y t + a y t 2  j 2 2     1 r (t) = x 0 i + y 0 j + v 0x i + v 0 y j t + a x i + a y j t 2 2 ( ) ( ) ( ) onde, r0 = x 0 i + y 0 j v 0 = v 0x i + v 0y j 3.13 a = ax i + ay j e finalmente, 1 r ( t ) = r0 + v 0 t + at 2 2 3.14 Figura 3.5: O vetor deslocamento ∆ r é a diferença entre os vetores posição, ∆ r = r2 − r1 . Ou então, ∆ r é o vetor que somado a r1 leva ao vetor posição r2 . 3.2.2 Vetores Velocidade Média e Instantânea A razão entre o vetor deslocamento e o intervalo de tempo ∆t = t2 – t1é o vetor velocidade média v media = ∆r ∆t 3.15 Esse vetor tem direção coincidente com a do deslocamento. O módulo do vetor deslocamento é menor do que a distância percorrida sobre a trajetória, a menos que a partícula se desloque em linha reta. Porém, se considerarmos intervalos cada vez menores, o módulo do deslocamento se aproxima cada vez mais da distância percorrida sobre a curva e a direção de ∆ r se aproxima da direção da reta tangente à curva no ponto inicial do intervalo (figura 3.6). Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  11. 11. CINEMÁTICA 48 Figura 3.6: À medida que os intervalos de tempo ficam menores, o vetor deslocamento se aproxima da tangente à curva. O vetor velocidade instantânea é a derivada temporal do vetor posição. dr d  1  =  r0 + v 0 t + at 2  dt dt  2  v( t ) = v 0 + at v( t ) = 3.16 Exemplo 3-8: Um barco a vela tem coordenadas (x1, y1) = (110 m, 218 m) no instante t1 = 60 s. Dois minutos depois, no instante t2, as suas coordenadas são (x2, y2_ = (130 m, 205 m). (a) Achar a velocidade média sobre este intervalo de dois minutos. Dar vmed em termos das componentes cartesianas. (b) Determinar o módulo e a direção desta velocidade média. (c) Quando t ≥ 20 s, a posição do barco, em função do tempo, é x(t) = 100m + [(1/6) m/s]t e y(t) = 200 m + (1080 m .s)t-1. Determinar a velocidade instantânea num instante qualquer t além de 20 s. Solução: As posições inicial e final do barco a vela aparecem na figura acima. (a) O vetor velocidade média aponta da posição inicial para a final. (b) As componentes da velocidade instantânea se calculam pela equação 3.14. (a) As componentes x e y do vetor velocidade média respectivas definições: se calculam diretamente a partir das Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  12. 12. CINEMÁTICA v x ,med = x 2 − x 1 130m − 110m = = 0,167 m / s ∆t 120s v y ,med = 49 y 2 − y1 205m − 218m = = −0,108 m / s ∆t 120s v med = (0,167 m / s ) i − (0,108m / s ) j (b) 1. O módulo de vmed se calcula pelo teorema de Pitágoras v med = (v ) + (v 2 x , med ) 2 y , med = 0,199 m / s 2. A direção é dada por  − 0,108m / s  θ = arctg  = −33°  0,167m / s  Como o vetor velocidade encontra-se no quarto quadrante, temos θ´=360°-33° = 327° (c) Determina-se a velocidade instantânea pelo cálculo das derivadas de x e y em relação ao tempo: v= dx dy i+ j dt dt 1  v( t ) =  m / s  i − (1080m ⋅ s ) t − 2 j 6  3.2.3 O Vetor Aceleração O vetor aceleração média é a razão entre a variação do vetor velocidade instantânea ∆v e o intervalo de tempo ∆t a méd = ∆v ∆t 3.17 O vetor aceleração instantânea é o limite dessa razão quando ∆t tende a zero. Em outras palavras, é a derivada da velocidade em relação ao tempo: ∆v dv = ∆t →0 ∆t dt a = lim 3.18 Para calcular a aceleração instantânea é conveniente exprimir v em função da derivada da posição em relação ao tempo: ∆v dv d 2 x a = lim = = ∆t →0 ∆t dt dt 2 Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 3.19
  13. 13. CINEMÁTICA 50 Exemplo 3-9: A posição de uma bola arremessada é dada 2 2 r ( t ) = 1,5m i + 12m / s i + 16m / s j t − 4,9m / s j t . Determinar a velocidade e a aceleração. ( ) por Solução: As componentes x e y da velocidade são determinadas por simples derivação vx = dx d = [1,5m + (12m / s ) t ] = 12m / s dt dt [ ( ( ) ] ( )] dy d (16 m / s ) t − 4,9m / s 2 t 2 = dt dt v y = 16 m / s − 9,8m / s 2 t vy = ) Assim, na notação vetorial [ v( t ) = (12m / s ) i + 16m / s − 9,8m / s 2 t j Se derivarmos as equações acima outra vez, chegamos à aceleração dv x d = (12m / s ) = 0 dt dt dv y d ay = = 16m / s − 9,8m / s 2 t = −9,8m / s 2 dt dt ax = [ ( )] Assim, na notação vetorial a ( t ) = −9,8m / s 2 j 3.3 Leis de Newton 3.3.1 Primeira Lei de Newton “Um corpo em repouso permanece em repouso a menos que sobre ele atue uma força externa. Um corpo em movimento desloca-se com velocidade constante a menos que sobre ele atue uma força externa.” 3.3.2 Segunda Lei de Newton “A aceleração de um corpo tem a direção da força externa resultante que atua sobre ele. É proporcional ao módulo da força externa resultante e inversamente proporcional à massa do corpo.” F 3.20 a = res ⇒ Fres = ma m A força externa resultante é a soma de todas as forças que atuam sobre o corpo ∑ F = Fres , logo ∑ F = Fres = ma 3.21 3.3.3 Terceira Lei de Newton “As forças sempre atuam aos pares de forças iguais porém opostas. Se um corpo A exerce uma força sobre outro B, este exerce sobre A uma força de mesmo módulo da primeira, porém com sentido oposto.” Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  14. 14. CINEMÁTICA 51 3.3.4 A Força da Gravidade: O Peso Quando um corpo cai nas proximidades da Terra, ele é acelerado para baixo. Desprezandose a resistência do ar, todos os corpos tem a mesma aceleração de queda que é a aceleração da gravidade g (nas proximidades da Terra). A força que provoca essa aceleração é a força peso FP . Sendo m a massa do corpo, a segunda lei de Newton define a força peso como: FP = mg 3.22 Unidades de força: 1 N = (1 kg) (1m/s2) = 1 kg . m/s2 3.3.5 Diagrama de Forças O diagrama que mostra esquematicamente as forças que atuam sobre um sistema é um diagrama de forças. Exemplo 3-10: Um caminhão descarrega volumes por uma rampa de roletes (um plano inclinado sem atrito). O ângulo da rampa é de θ em relação ao plano horizontal. Determinar a aceleração de um volume de carga m, que escorrega pela rampa, e calcular a força normal da rampa sobre ele. Solução: a) Diagrama de Forças b) Soma das forças em x e y ∑ Fx ∑ Fy = FP sen θ = ma ⇒ = − FP cos θ + N = 0 ⇒ a = g sen θ N = mg cos θ Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  15. 15. CINEMÁTICA 52 Exemplo 3-11: Um quadro, pesando 8 N, está suspenso por dois fios com as tensões T1 e T2 , como mostra a figura. Calcular o valor de cada tensão. Solução: a) Diagrama de Forças 3 T1 2 1 T1y = T1 sen 30° = T1 2 T1x = T1 cos 30° = 1 T2 x = T2 cos 60° = T2 2 3 T2 y = T2 sen 60° = T2 2 b) Soma das forças em x e y ∑F x ∑F y = T1x − T2 x = 0 ⇒ T2 = 3 T1 = T1y + T2 y − mg = 0 ⇒ 1 3 T1 + T2 = 8N 2 2 Substituindo (I) em (II), temos que: T1 = 4 N (I) T2 = 6,9 N Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC (II)
  16. 16. CINEMÁTICA 53 3.4 Atrito 3.4.1 Atrito Estático Quando se aplica uma pequena força horizontal a uma grande caixa em forma de paralelepípedo que está sobre um piso, a caixa pode não se mover em virtude da ação de uma força de atrito estático, f s , exercida pelo piso, que equilibra a força aplicada A força de atrito estático, que sempre se opõe à força aplicada, pode variar entre zero até um certo valor máximo, fs,max. A força de atrito máximo independe da área de contato e é proporcional à força normal exercida por uma das superfícies sobre a outra. Em geral, f s max = µ s N 3.23 onde µs é o coeficiente de atrito estático, que depende da natureza das superfícies em contato. Se a força horizontal exercida sobre a caixa for menor que fs,max, a força de atrito equilibra esta força horizontal f s max ≤ µ s N 3.24 Seja um corpo, inicialmente em repouso, apoiado em uma superfície não lisa sob a ação de uma única força F, paralela à superfície, e do atrito entre as superfícies. Aumentando o módulo da força F o módulo da força de atrito também aumenta até um certo limite, conhecido como força de atrito estático, quando, então, o corpo inicia o movimento. Após o corpo iniciar seu movimento, passa a existir uma nova força de atrito atuante, a força de atrito dinâmico ou cinético, com intensidade menor. A razão entre a força de atrito e a reação normal da superfície de apoio é uma constante denominada coeficiente de atrito (µ). Os coeficientes de atrito estático e dinâmico dependem dos tipos de superfícies em contato. 3.4.2 Atrito Cinético Se a caixa for empurrada com bastante força, ela escorrega sobre o piso. Ligações entre as moléculas formam-se e rompem-se continuamente, e pequeninos fragmentos das superfícies são arrancados, conforme mostra a figura 3.7. Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  17. 17. CINEMÁTICA 54 Caixa Superfície Figura 3.7 Este complicado efeito decorre do atrito cinético, f c , que se opõe ao movimento. Para manter a caixa deslizando com velocidade constante, é preciso exercer sobre ela uma força de módulo igual ao da força de atrito cinético, mas de direção oposta. Por definição, fc = µc N 3.25 onde µc é o coeficiente de atrito cinético, e depende da natureza das superfícies em contato. Exemplo 3-12: Plano Horizontal Vamos considerar que o bloco 1 está em repouso sobre o plano horizontal (figura 3.8), e conseqüentemente, em equilíbrio com o bloco 2. N T Fat 1 T P1 2 P2 Figura 3.8: Forças que atuam num sistema formado por dois blocos conectados por um fio inextensível. Atrito Estático: Para que não exista movimento, a resultante das forças que atua nos blocos deve ser nula, e o atrito entre o bloco 1 e o plano deve ser máximo. Temos a seguinte distribuição de forças: Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  18. 18. CINEMÁTICA 55 Bloco 1 T − Fat = 0 ⇒ T = Fat   N − P1 = 0 ⇒ N = P1 (1) Bloco 2 T − P2 = 0 ⇒ T = P2 (2) Igualando as equações 1 e 2, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito estático Fat = µ s .N = P2 µ s ⋅ m 1g = m 2 g / / µs = m2 m1 Atrito Cinético: Aumentando-se a massa do bloco 2, o bloco 1 entrará em movimento. Consideremos então, m2´ > m2, de forma que o bloco 1 entre em MRUV. Consideremos que o movimento apresenta aceleração constante a. A força resultante que atua no sistema pode ser escrita, para cada bloco, como: Bloco 1 T − Fat = m1a ⇒ T = m1a + Fat   N − P1 = 0 ⇒ N = m1g (3) Bloco 2 ´ P2 − T = m´2 a (4) Igualando as equações 3 e 4, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético m1a + µ c m1g = m´2 g − m´2 a µc = m´2 ( g − a ) − m1a m1g Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  19. 19. CINEMÁTICA 56 Exemplo 3-13: Plano Inclinado Vamos considerar que o bloco 1 está em repouso sobre o plano inclinado (figura 3.9), e em equilíbrio com o bloco 2. T T N 2 1 Fat ′ P2 P1 θ Figura 3.9: Forças atuantes num sistema de dois blocos unidos por um fio inextensível, num plano inclinado. Atrito Estático: Quando o sistema estiver parado, mas com tendência de que o bloco 2 (com massa m2) se mova para baixo, o bloco 1 tenderá a se mover no sentido ascendente, teremos as seguintes equações de movimento: Bloco 1 T − Fat − P1 sen θ = 0 ⇒ T = µ s N + m1g sen θ   N − P1y = 0 ⇒ N = m1g cos θ (1) Bloco 2 T − P2 = 0 ⇒ T = m 2 g (2) Igualando as equações 1 e 2, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito estático µ s .m1g cos θ + m1g sen θ = m 2 g µs = m 2 g − m1g sen θ m1g cos θ O mesmo vale se o bloco 2 estiver com tendência para se mover para cima. Atrito Cinético: Se considerarmos que o plano está inclinado de um certo ângulo θ, devido a atuação da força da gravidade, o corpo é acelerado com uma aceleração gsenθ na direção do plano, onde g é a aceleração da gravidade e θ a inclinação do plano. Se não desprezarmos a ação da força de atrito entre as superfícies de contato do corpo e o plano, e usando a segunda lei de Newton, teremos as seguintes possibilidades que são apresentadas a seguir. Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  20. 20. CINEMÁTICA 57 Considerando-se o movimento do bloco 1 no sentido ascendente (figura 3.9), ao longo do plano inclinado, devemos levar em consideração que agora a massa do bloco 2 ( m´2 ) é maior do que aquela necessária para manter o equilíbrio do sistema (m2). Podemos escrever: Bloco 1 T − Fat − P1 sen θ = m1a ⇒ T = µ c N + m1g sen θ + m1a   N − P1 cos θ = 0 ⇒ N = m1g cos θ (3) Bloco 2 ´ P2 − T = m´2 a ⇒ T = m´2 g − m´2 a (4) Igualando as equações 3 e 4, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético no movimento ascendente µ c m1g cos θ + m1g sen θ + m1a = m´2 (g − a ) µc = m´2 (g − a ) − m1g sen θ − m1a m1g cos θ Ao analisarmos a situação na qual o mesmo corpo movimenta-se no sentido descendente (figura 3.9), ao longo do plano inclinado, devemos levar em consideração que agora a massa do bloco 2 ( m " ) é menor do que aquela necessária para manter o equilíbrio do sistema (m2), e que a 2 aceleração do sistema é a´. Neste caso teremos as seguintes equações: Bloco 1  P1 sen θ − T − Fat = m1a´ ⇒ T = m1g sen θ − µ c N − m1a´   N − P1 cos θ = 0 ⇒ N = m1g cos θ (5) Bloco 2 ′ T − P2′ = m′′ a ′ ⇒ T = m′′ (a ′ + g ) 2 2 (6) Igualando as equações 5 e 6, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético no movimento descendente m1g sen θ − µ c m1g cos θ − m1a´= m′′ (a ′ + g ) 2 µc = m1g sen θ − m1a ′ − m′′ (a ′ + g ) 2 m1g cos θ Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  21. 21. CINEMÁTICA 58 Exemplo 3-14: Um bloco está em repouso sobre um plano inclinado, conforme mostra a figura 3.10. O ângulo de inclinação é lentamente aumentado até atingir um valor crítico, θc, no qual o bloco principia a escorregar. Calcular o coeficiente de atrito estático µs. Figura 3.10 a) Diagrama de Forças: b) Soma das forças em x e em y: ∑F x ∑F y = mg sen θc − f s = 0 ⇒ mg sen θc = µ s N (I) = N − mg cos θ c ⇒ N = mg cos θ c (II) Substituindo (II) em (I), temos µs = sen θc = tgθc cos θc Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  22. 22. CINEMÁTICA 59 Exemplo 3-15: A massa m2 da figura 3.11 foi escolhida de tal modo que o bloco de massa m1 está prestes a escorregar. (a) Se m1 = 7 kg e m2 = 5 kg, qual o coeficiente de atrito estático entre a superfície da prateleira e o bloco? (b) Com um pequeno empurrão, os dois blocos movimentam-se com aceleração a. Calcular a aceleração a se o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície for µc = 0,54. Figura 3.11 a) Diagrama de Forças: Soma das forças em x e em y para o sistema em equilíbrio estático: Bloco 1 ∑F ∑F x = T1 − f s = 0 ⇒ T1 = µ s N y = N − m1g = 0 ⇒ N = m1g Logo, combinando as duas equações T1 = µ s m1g Bloco 2 ∑ Fx = 0 ∑F y = T2 − m 2 g = 0 ⇒ T2 = m 2 g Logo, T2 = m 2 g Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  23. 23. CINEMÁTICA 60 Como a tensão nos dois blocos é a mesma, devemos ter: T1 = T2. Dessa forma, o coeficiente de atrito estático será m 5 µ s m1g = m 2 g ⇒ µ s = 2 = = 0,71 m1 7 µ s = 0,71 b) Sistema em movimento: Bloco 1 ∑ Fx = T1 − f c = m1a ∑F y ⇒ T1 = µ s N + m1a = N − m1 g = 0 ⇒ N = m1 g Logo, combinado as duas equações T1 = µ s m1g + m1a Bloco 2 ∑ Fx = 0 ∑F y = T2 − m 2 g = − m 2 a ⇒ T2 = m 2 g − m 2 a Logo, T2 = m 2 g − m 2 a Como a tensão nos dois blocos é a mesma, devemos ter: T1 = T2. Dessa forma, a aceleração do sistema será − m 2 a + m 2 g − µ c m 1g − m 1a = 0 a (m 2 − m1 ) = m 2 g − µ c m1g a=g (m 2 − µ c m1 ) (m1 + m 2 ) a = 0,996 m / s 2 Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  24. 24. CINEMÁTICA 61 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Um carro faz uma viagem de 200 km a uma velocidade média de 40 km/h. Um segundo carro, partindo 1,0 hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual é a velocidade média do segundo carro no intervalo de tempo em que esteve em movimento? R: v = 50 km/h 2. Uma partícula se move sobre o eixo dos x de acordo com a equação x=2 + 3t - t2, onde x está em metros e t em segundos. Em t=3,0 s, achar (a) a posição da partícula, (b) a velocidade da partícula e (c) sua aceleração. R: (a) 2,0 m ; (b)-3,0 m/s ; (c) –2,0 m/s2 3. Um avião a jato aterrissa com velocidade de 100 m/s e pode desacelerar à taxa máxima de -5,0 m/s2 até ficar em repouso. (a) A partir do instante em que toca na pista, qual é o intervalo de tempo mínimo necessário para que atinja o repouso? (b) Esse jato poderia aterrissar no aeroporto de uma pequena ilha, com uma pista de 0,80 km? Justifique. R: (a) 20 s ; (b) não 4. O gráfico abaixo apresenta duas retas, às quais correspondem ao movimento de dois automóveis. O que acontece no ponto em que estas duas retas se interceptam? Calcule a velocidade dos dois automóveis. R: vA = 8,3 m/s ; vB = 16,7 m/s 7 B 6 A p osição (km ) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 t em p o (m in ) 5. Este gráfico representa o movimento de dois ciclistas. O ciclista A parte de Lages rumo a São Joaquim às 10h. No mesmo instante, o ciclista B parte de São Joaquim para Lages. Calcule a velocidade de cada um deles e o instante em que se encontram. R: vA = 13,3 km/h ; vB = 20,0 km/h ; encontro em t = 1,5 horas. M ovim en t o U n iform e 50 A 40 x (km ) 30 20 10 B 0 0 2 t (h ) Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 4
  25. 25. CINEMÁTICA 62 6. Este gráfico mostra o espaço percorrido por um objeto em função do tempo. Calcule as diferentes velocidades (em metros por minuto) que o objeto apresenta ao longo do seu movimento. Calcule também sua velocidade média. R: 0 < t < 1min: v1 = 200 m/min 1min < t < 2,5 min: v2 = 33,3 m/min 2,5 min < t < 3,3 min: v3 = 125 m/min 3,3 min < t < 4 min: v4 = 71,4 m/min vmed = 100 m/min 400 350 300 x (m ) 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 t (m in ) 7. Um trem parte do repouso e se move com aceleração constante. Em um determinado instante, ele viaja a 30 m/s, e 160 m adiante, trafega a 50 m/s. Calcule (a) a aceleração, (b) o tempo necessário para percorrer os 160 m mencionados, (c) o tempo necessário para atingir a velocidade de 30 m/s e (d) a distância percorrida desde o repouso até o instante em que sua velocidade era de 30 m/s. R: (a) 5,0 m/s2 ; (b) 4,0 s ; (c) 6,0 s ; (d) 90 m 8. Um carro se movendo com aceleração constante percorre, em 6,0 s, a distância entre dois pontos separados de 60,0 m. Quando passa pelo segundo ponto, sua velocidade é de 15,0 m/s. (a) Qual é a velocidade no primeiro ponto? (b) Qual é a aceleração? (c) A que distância do primeiro ponto o carro estava em repouso? R: (a) 5,0 m/s ; (b) 1,7 m/s2 ; (c) 7,5 m 9. Uma partícula move-se com a velocidade v = 8t – 7, com v em m/s e t em segundos. (a) Calcular a aceleração média sobre intervalos de um segundo, principiando em t = 3s e em t = 4s. (b) Traçar v contra t. (c) Qual a aceleração instantânea em qualquer instante? R: a) a = 8 m/s2; c) a = 8 m/s2 em cada instante. 10. Um avião, para aterrissar num navio aeródromo, dispõe de 70m de pista. Se a velocidade inicial for de 60 m/s. (a) Qual deve ser a aceleração na aterrissagem, admitindo-se seja constante? (b) Quanto tempo leva o avião até parar? R: a) –25,7 m/s2; b) 2,33 s 11. As coordenadas da posição de uma partícula, (x,y), são (2m, 3m) no instante t = 0s; (6m, 7m) em t = 2s; e (13m, 14m) em t = 5s. (a) Calcular a velocidade média vméd entre t = 0s e t = 2s. (b) Calcular a vméd entre t = 0s e t = 5s. R: a) vm = 2,83 m/s; b) vm = 3,11 m/s 12. Uma partícula desloca-se no plano xy com aceleração constante. No instante inicial (t = 0s) a partícula está em x = 4m, y = 3m e tem a velocidade v = (2m / s ) i − (9m / s ) j . A aceleração é dada por a = (4m / s )i + (3m / s ) j . (a) Calcular o vetor velocidade no instante t = 2s. (b) Calcular o vetor posição no instante t = 4s. (c) Dar o módulo e a direção do vetor posição. Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  26. 26. CINEMÁTICA 63 i j R: a) v ( 2s) = (10m / s ) i − (3m / s ) j ; b) r ( 4s) = (44m ) ˆ − (9m )ˆ ; c) r ≅ 44,9 m e θ = −11,56° 13. Uma partícula tem o vetor posição r = 30t i + (40t − 5t 2 ) j , com r em metros e t em segundos. Determinar, em função de t, os vetores velocidade instantânea e aceleração instantânea. R: v ( t ) = 30 i + (40 − 10t ) j e a ( t ) = −10 j ( ) 2 14. A aceleração constante de uma partícula é dada por a = 6 i + 4 j m / s . No instante t = 0, a velocidade é nula e o vetor posição é r0 = (10m )i . (a) Determinar os vetores velocidade e posição em qualquer instante t. (b) Determinar a equação da trajetória da partícula no plano xy e desenhar esta trajetória. 2 20 b) y = ⋅ x − R: a) r ( t ) = (10m ) i + 3 i + 2 j ⋅ t 2 e v ( t ) = 6 i + 4 j ⋅ t 3 3 ( ) ( ) 15. A posição r de uma partícula em movimento, num plano xy é dada por r = (2 t 3 − 5t ) i + (6 − 7 t 4 ) j . Com r em metros e t em segundos. (a) Encontre v (t ) e a (t ) . (b) Quando t = 2s, calcule r (t ) , v (t ) e a (t ) . R: a) v (t ) = (6,00 t2 – 5,00) i –28,00 t3 j ; a (t ) = 12,00 t i –84,00 t2 j ; b) r (2s ) = 6,00 i – 106,00 j ; v (2s ) = 19,00 i – 224,00 j ; a (2s ) = 24,00 i – 336,00 j . 16. Um barco à vela desliza na superfície gelada de um lago, com aceleração constante produzida pelo vento. Em um determinado instante, sua velocidade é de 6,30 i – 8,42 j , em metros por segundo. Três segundos depois, devido à mudança do vento, o barco para de imediato. Qual a sua aceleração média, durante este intervalo de 3 s? R: a (t ) = - (2,10 m/s2) i + (2,81 m/s2) j . ( ) 17. Em t = 0, uma partícula que se move no plano xy tem a velocidade v 0 = 3 i − 2 j m / s na ( ) origem. Em t = 3s, sua velocidade é v = 9 i + 7 j m / s . Achar (a) a aceleração da partícula e (b) sua coordenada em qualquer instante t. R: a) (2 i + 3 j ) m/s2; b) (3t + t2) i + (-2t + 1,5t2) j . 18. Ao aumentar a altitude em relação ao nível do mar, o valor da aceleração da gravidade diminui de 3 x 10-3 m/s2 para cada 1000m de elevação. Calcule qual é seu peso (em newtons) ao nível do mar (g = 9,806 m/s2) e sobre uma montanha de 4810m. Considere uma massa de 70 kg. R: Ao nível do mar:686,42 N Na montanha: 685,41 N 19. Em Marte, onde a aceleração da gravidade é de aproximadamente 4 m/s2, um objeto pesa 400N. Calcule seu peso na Terra. R: 980 N 20. A massa de um objeto é de 70 kg na Terra. Calcule o peso (em newtons) quando ele se encontra numa astronave situada a uma distância do centro da Terra igual ao dobro do raio terrestre. Nesse local, a aceleração da gravidade é de 2,45 m/s2. R: 171,5 N 21. Um homem empurra um trenó, carregado com massa m = 240 kg, por uma distância d = 2,3 m, sobre a superfície sem atrito de um lago gelado. Ele exerce sobre o trenó uma força horizontal constante, com módulo F = 130 N. Se o trenó parte do repouso, qual a sua velocidade final? R: 1,58 m/s Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  27. 27. CINEMÁTICA 64 22. Um caixote de massa m = 360 kg está parado sobre a carroceria de um caminhão que se move com uma velocidade v0 = 120 km/h. O motorista freia e diminui a velocidade para v = 62 km/h em 17 s. Qual a força (suposta constante) sobre o caixote, durante esse intervalo de tempo? Suponha que o caixote não deslize sobre a carroceria do caminhão. R:-342 N 23. Se um corpo de 1 kg tem uma aceleração de 2,00 m/s2, fazendo um ângulo de 20° com o semieixo positivo x, então, a) quais são as componentes x e y da força resultante sobre o corpo e b) qual a força resultante, em notação de vetores unitários? R: 1,88 N; 0,68 N; 1,9 i + 0,7 j 24. Se o corpo de 1 kg é acelerado por F1 = (3,0 N) i + (4,0 N) j e F2 = (-2,0 N) i + (-6,0 N) j , então, a) qual a força resultante, em notação de vetores unitários, e b) qual o módulo e o sentido da força resultante? R: 1,0 i - 2,0 j ; 2,2 N; - 63° 25. Suponha que o corpo de 1 kg é acelerado a 4,00 m/s2, fazendo um ângulo de 160° com o semieixo positivo x, devido a duas forças, sendo uma delas F1 = (2,50 N) i + (4,60 N) j . Qual é a outra força em a) notação de vetores unitários e b) módulo e sentido? 7,04 N; 207° R: - 6,26 i - 3,23 j ; 26. Na caixa de 2,0 kg, da figura, são aplicadas duas forças, mas somente uma é mostrada. A aceleração da caixa também é mostrada na figura. Determine a segunda força a) em notação de vetores unitários e b) em módulo e sentido. R: - 32 i - 21 j ; 38,3 N; 213° 35. Um armário de quarto com massa de 45 kg, incluindo gavetas e roupas, está em repouso sobre o assoalho.(a) Se o coeficiente de atrito estático entre o móvel e o chão for 0,45, qual a menor força horizontal que uma pessoa deverá aplicar sobre o armário para colocá-lo em movimento? (b) Se as gavetas e as roupas, que têm 17 kg de massa, forem removidas antes do armário ser empurrado, qual a nova força mínima? R: a) 198 N; b) 123 N 36. Um disco de hóquei de 110 g desliza cerca de 15 m sobre o gelo antes de parar. (a) Para uma velocidade escalar inicial de 6,0 m/s, qual é o módulo da força de atrito sobre o disco durante o deslizamento? (b) Qual o coeficiente de atrito entre o disco e o gelo? R: a) 0,13 N; b) 0,12 37. Um vagão aberto de trem está carregado com caixas que têm um coeficiente de atrito estático de 0,25 com o assoalho do vagão. Se o trem se move a 48 km/h, qual a menor distância em que pode ser parado, com uma desaceleração constante, sem provocar o deslizamento das caixas? R: 36,3 m Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  28. 28. CINEMÁTICA Polia sem massa e sem atrito 38. Dois blocos são ligados através de uma polia, conforme mostrado na figura. A massa do bloco A é de 10 kg e o coeficiente de atrito cinético é 0,20. O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante. Qual a massa de B? R: 3,27 kg 39. O bloco m1 na figura tem massa de 4,0 kg e m2 de 2,0 kg. O coeficiente de atrito entre m2 e o plano horizontal é 0,50. No plano inclinado não há atrito. Determine: (a) a tensão na corda e (b) a aceleração dos blocos. R: a) 13 N; b) 1,6 m/s2 65 A B o ) 30 Polia sem massa e sem atrito m1 m2 µ = 0,50 o ) 30 40. Um aluno deseja determinar os coeficientes de atrito estático e cinético entre uma caixa e uma prancha. Ele coloca a caixa sobre a prancha e lentamente vai levantando uma das extremidades. Quando o ângulo de inclinação faz 30° com a horizontal, ela começa a deslizar, descendo a prancha cerca de 2,5 m em 4,0 s. Quais os coeficientes de atrito que o aluno deseja determinar? R: a) 0,58; b) 0,5 41. Um bloco de 2 kg está sobre um outro de 5 kg, como mostra a figura ao lado. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de 5 kg e a superfície onde repousa é 0,2. Uma força horizontal F é aplicada ao bloco de 5 kg. (a) Traçar o diagrama de forças de cada bloco. (b) Qual a força necessária para empurrar os dois blocos para a direita, com uma aceleração de 3 m/s2. (c) Achar o coeficiente de atrito estático mínimo entre os dois blocos, a fim de que o bloco de 2 kg não escorregue com a aceleração de 3 m/s2. R: b) 34,7 N ; c) 0,306 42. Os blocos A e B da figura ao lado pesam 44 N e 22 N, respectivamente. (a) Determine o peso mínimo do bloco C para impedir que o bloco A deslize se µc entre o bloco A e a mesa for de 0,20. (b) O bloco C é removido subitamente de cima do bloco A. Qual será a aceleração do bloco A se µc entre A e a mesa for de 0,15? R: a) 66 N; b) 2,3 m/s2 Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
  29. 29. 66 CINEMÁTICA 43. Os três blocos da figura abaixo estão ligados por fios leves e flexíveis que passam por polias sem atrito, e possuem massas m1 = 10 kg, m2 = 5 kg e m3 = 3 kg. A aceleração do sistema se direciona para a esquerda em 2 m/s2 e as superfícies têm atrito. Achar (a) as tensões nos fios e (b) o coeficiente de atrito cinético entre os blocos e as superfícies (Admitir o mesmo µ para os dois blocos que escorregam.) R: a) 78,0 N e 35,9 N; b) 0,655 Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC

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