Veff+Binclusion

1. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Potencial Efetivo de uma Teoria Qu^antica de Campos Escalares a Temperatura Finita na Presenca de um Campo Magnetico Externo Dyana C. Duarte e Ricardo L. S. Farias Grupo de Estudos em Teoria de Campos e Partculas - GETEP Universidade Federal de S~ao Jo~ao del Rei - UFSJ May 13, 2011 Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 1/ 50

2. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Roteiro 1 Introduc~ao 2 Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo 3 Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Ex-terno Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente 4 Conclus~oes 5 Refer^encias Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 2/ 50

3. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Introduc~ao A restaurac~ao da simetria em TQC a temperatura

4. nita tem sido um assunto de interesse ha bastante tempo, em particular quando aplicada a descric~ao das transic~oes de fase no universo primordial. Neste trabalho investigamos a restaurac~ao da sime-tria a temperatura

5. nita na teoria de um campo escalar intera-gindo com um campo magnetico externo constante. Atraves de uma abordagem perturbativa, podemos descrever os efeitos da aplicac~ao de um campo magnetico externo na transic~ao de fase de uma teoria de campos escalares carregados com um acopla-mento simples e com quebra de simetria. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 3/ 50

6. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Referências Introduc~ao Neste contexto, as transic~oes de fase s~ao fenômenos tipicamente n~ao-perturbativos, ou seja, uma teoria de perturbac~ao comum na constante de acoplamento n~ao pode ser empregada. Os proble-mas aparecem em fenômenos que ocorrem proximos aos pontos crticos porque podem surgir grandes utuac~oes devido as di-verg^ encias infravermelhas nos sistemas. Neste trabalho utilizamos o metodo conhecido como teoria de perturbac~ao otimizada - (OPT) para contornar o problema da quebra da teoria de perturbac~ao. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 4/ 50

7. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Introduc~ao Nosso modelo e descrito pela densidade Lagrangeana: L = (D)D m20 4 ()2 1 4FF (1) em que m0 e a massa do sistema, e a constante de acoplamento e (D) = @ ieA e F = @A @A (2) Esta teoria e invariante frente a transformac~ao ! ; e se m0 0 a temperatura nula, a simetria quebra espontaneamente. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 5/ 50

8. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Introduc~ao Essa Lagrangeana representa a interac~ao de um campo escalar carregado com um campo magnetico e e comumente conhecida como modelo Higgs-Abeliano. O campo magnetico neste mod-elo pode ser introduzido via acoplamento mnimo, no termo A e como estamos interessados somente nas transic~oes e fase, pode-mos

9. xar um calibre espec

10. co e trabalhar somente com o setor escalar da teoria. Os efeitos de temperatura s~ao includos no problema atraves do formalismo de tempo imaginario, em que a energia assume valores discretos e a integral temporal se torna uma soma sobre as frequ^encias de Matsubara. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 6/ 50

11. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Introduc~ao Na OPT, e feita uma interpolac~ao linear na Lagrangeana original em termos de um par^ametro de expans~ao , que e usado como artifcio, e ao

12. nal dos calculos escolhemos = 1. A aplicac~ao deste metodo comeca com a interpolac~ao de

13. nida por L ! L = L0 () + [L L0 ()] (3) em que L0 e a densidade da Lagrangeana modi

14. cada por um par^ametro (ou par^ametros) de massa arbitrario. E importante notar que se = 1 obtemos a Lagrangeana original. Os gra

15. cos de Feynman agora ser~ao modi

16. cados, pois aparecem multiplica-dos por e dependem de . Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 7/ 50

17. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Referências Introduc~ao Inicialmente foi feito o calculo do potencial efetivo da teoria, sabendo que o mesmo e dado pelo termo de potencial da La-grangeana, mais as correc~oes quânticas dadas pelos diagramas de Feynmann obtidos calculando-se a ac~ao efetiva. O fato de que a selec~ao e o calculo de diagramas de Feynman s~ao feitos exatamente como na teoria de perturbac~ao usual, incluindo o procedimento de renormalizac~ao, faz com que a teoria de per-turba c~ao otimizada seja adequada para estudar as transic~oes de fase em TQC. Vale lembrar, tambem, que a OPT e livre de divergências infravermelhas proximas e nos pontos crticos. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 8/ 50

18. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens O setor escalar da lagrangeana para uma teoria de campos es-calares carregados tem a forma Lo = @@ + m20 j2j 4 j4j (4) em que m0 e o termo de massa quadratica e e a constante de acoplamento. Os campos escalares e podem ser escritos em termos de dois campos 1 and 2, fazendo: = 1 p 2 (1 + i2) e = 1 p 2 (1 i2) : (5) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 9/ 50

19. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Fazendo-se um deslocamento no campo 1, de forma que 1 ! 1 + , a Lagrangeana podera ser escrita como: L = 1 2 [@1@1 + @2@2] 21 2 m20 + 3 42 22 2 m20 + 4 2 + m20 2 2 16 21 + 22 2 4 1 21 + 22 1 m20 + 4 2 164 (6) O deslocamento corresponde ao valor mnimo dos campos 1 e 2. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 10/ 50

20. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Utilizando a prescric~ao dada por (3), encontramos L = 1 2 [@1@1 + @1@1] 1 221 21 1 222 22 16 21 + 22 2 4 1 21 + 22 1 m20 + 4 2 + 1 22m20 16 4 22 + 21 + 22 (7) sendo 21 = m20 42 e 22 + 2 + 3 = m20 + 2 + 1 42. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 11/ 50

21. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Utilizando o formalismo de integrais de trajetoria, podemos es-crever o gerador funcional das func~oes de Green em termos das fontes externas J1 e J2, correspondentes aos campos 1 e 2 respectivamente, da seguinte forma Z [J1; J2] = e i ~W(J1;J2) (8) = Z [D1] [D2] e( i ~ [S+ R d4xJ11+J22]) (9) E sendo R 1 e 2 campos qu^anticos e S a ac~ao classica, dada por S = d4x [L] . importante ressaltar que em todo o desen-volvimento desse trabalho foi feito ~6= 1; c = 1 e posteriormente kB(constante de Boltzmann) = 1: Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 12/ 50

22. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Escrevendo Z [J1; J2] = e i ~W[J1;J2] e utilizando uma transformac~ao de Legendre, podemos de

23. nir outro gerador funcional, ['1; '2] = W (J1; J2) Z d4x (J1'1 + J2'2) (10) A quantidade ['1; '2], conhecida como ac~ao efetiva, e o ge-rador das func~oes de Green da teoria. Os campos '1 e '2 s~ao c-numbers, ou seja, s~ao campos classicos que carregam correc~oes qu^anticas e representam os valores esperados dos campos 1 e 2 no vacuo. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 13/ 50

24. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens De (8) e (9), e i ~W(J1;J2) = Z [D1] [D2] e( i ~ [S+ R d4xJ11+J22]) (11) Derivando ambos os lados com relac~ao a J1(x) temos: W [J1; J2] J1 (x) = R [D1] [D2] 1e i ~ [S+ R d4x(J11+J22)] e i ~W(J1;J2) = h0 j1 (x)j 0i (12) Ou seja, esta derivada corresponde ao valor esperado do campo 1 no vacuo. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 14/ 50

25. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Repetindo o mesmo procedimento para J2, podemos de

26. nir: '1 = W [J1; J2] J1 = h0 j1j 0i (13) '2 = W [J1; J2] J2 = h0 j2j 0i (14) Derivando (10) com respeito a '1 e '2 obtemos ['1; '2] '1 (x) = J1 (x) e ['1; '2] '2 (x) = J2 (x) : (15) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 15/ 50

27. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ent~ao, e[ i R d4x(J1'1+J2'2)g] = ~ f['1;'2] Z [D1] [D2] exp [S (1; 2) i ~ Z d4x (J11 + J22) (16) Fazendo os seguintes deslocamento nos campos, 1 ! 1 (x) + '1 (x) D[1] = D[1] (17) 2 ! 2 (x) + '2 (x) D[2] = D[2] (18) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 16/ 50

28. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Substituindo na equac~ao (16) encontramos: e( i ~ ['1;'2]) = Z [D1] [D2] exp i ~ S (1 + '1; 2 + '2) + i ~ Z d4x (J11 + J22) (19) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 17/ 50

29. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Em seguida expandimos funcionalmente a ac~ao em serie de Tay-lor, em torno de i = 'i = 0: Obtemos: S ('1; '2) = S(0) ('1; '2) + S(1) ('1; '2) + S(2) ('1; '2) + S(n) ('1; '2) (20) em que S(0) = Sb e a ac~ao bare; obtida a partir da lagrangeana, S(1) e o primeiro termo e S(n) s~ao os termos de ordens superiores. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 18/ 50

30. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens O termo S(n) pode ser escrito como Sn = nS 'i (x1) :::'j (xn)

34. '1;'2=0 (21) em que i e j podem assumir os valores 1 e 2, correspondentes aos campos '1 e '2: Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 19/ 50

35. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Finalmente, substituindo em (19), temos a ac~ao efetiva em todas as ordens, dada por e( i ['1;'2]) ~ = Z [D1] [D2] exp i ~ h Sb + S11 + S12 + 1 2 Z d4x1d4x2Miji (x1) j (x2) + X4 n=3 1 n! # Z d4x1d4x2Sni (x1) :::j (x2) i ~ Z d4x (J11 + J22) (22) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 20/ 50

36. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Lembrando das relac~oes (15), podemos de

37. nir J1 = '1 (1) 1 ('1; '2) e J2 = '2 (1) 2 ('1; '2) (23) Substituindo J1 e J2 na equac~ao (22)

38. camos com e( i ['1;'2]) = i e Sb ~ ~Z [D1] [D2] exp i ~ S(2) + S(n) + i ~ Z d4x S1 (1) 2 1 + S1 (1) 2 2 (24) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 21/ 50

39. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Reescalando os campos i ! ~1 2 i, e possvel observar que essa expans~ao em ~ e correspondente a uma expans~ao em loops da ac~ao efetiva. Obtemos: e( i ~ [['1;'2]Sb]) = Z [D1] [D2] exp i 2 Z d4x1d4x2Miji (x1) j (x2) + X4 n=3 i~(n2 1) 1 n! Z d4x1d4x2Sni (x1) :::j (x2) i~ 1 2 Z d4x1 '1 [1 S1] + 2 '2 [2 S1] (25) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 22/ 50

40. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Se de

41. nirmos i ('1; '2) Sb i ('1; '2) : (26) E possvel ver que i e uma serie de potências em ~: i ('1; '2) = 1X m=1 ~m(m) ('1; '2) (27) i ('1; '2) representa todas as correc~oes quânticas a ac~ao classica S. Podemos dizer ent~ao que a ac~ao efetiva e dada pela ac~ao classica mais as correc~oes quânticas. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 23/ 50

42. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Escrevemos ent~ao, a aquac~ao (25) como exp i 1X m=1 ~m1 ! (m) ('1c; '2c) = Z [D1] [D2] exp i 2 Z d4x1d4x2 (Miji (x1) j (x2)) + X4 n=3 i~(n2 1) 1 n! Z d4x1d4x2 (Sni (x1) :::j (x2)) 1X m=1 ~ 1 2+m Z d4x 1 (m) 1 + 2 (m) 2 i (28) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 24/ 50

43. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva a 1-Loop Expandindo ambos os lados de (28) para m = 1 e considerando somente os termos de ordem ~0 encontramos a ac~ao efetiva a 1-loop: (1) ('1c; '2c) = i ln Z [D1] [D2] e[ i2 R d4x1d4x2Mij1(x1)1(x2)] (29) O termo Mij e a matrix 2 2 das derivadas segundas de S: M11 (x1 x2) x1 + 21 2 4 (x1 x2) (30) M22 (x1 x2) x1 + 22 2 4 (x1 x2) (31) M12 (x1 x2) 0 (32) M21 (x1 x2) 0 (33) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 25/ 50

44. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva a 1-Loop De

45. nindo Mij = ^M ij4 (x1 x2) (34) Fazemos 1 2S2 ('1; '2) ij = 1 2 Z d4x1i (x1) ^M ijj (x1) (35) Retornando a ac~ao efetiva a ~0, (1) ('1c; '2c) = i ln Z [D1] [D2] e[ i 2 R d4x1i(x1) ^M ijj (x1)] o ; (36) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 26/ 50

46. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva a 1-Loop A integral em (36) e gaussiana, e podemos determina-la fazendo Z [D1] [D2] exp i 2 Z d4x1i (x1) ^M ijj (x1) = Z [D1] [D2] exp i 2 Z d4x1i (x1) h ^M i j (x1) ij i = N h det i ^M ij i1 2 = N0 h det ^M ij i12 (37) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 27/ 50

47. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva a 1-Loop A ac~ao efetiva sera ent~ao (1) ('1c; '2c) = i ln N0 h det ^M ij i1 2 = i 2 ln h det ^M ij i = i 2 ln 2 4det 0 @ ^M 11 ^M 22 ^M 12 ^M | {z 2}1 0 1 A 3 5(38) em que N0 pode ser absorvida mediante normalizac~ao no gerador funcional. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 28/ 50

48. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Ac~ao Efetiva a 1-Loop Usando a seguinte identidade, detA = exp (Tr lnA) (39) obtemos (1) ('1c; '2c) = i 2 Tr h ln ^M 11 ^M 22 i : (40) Finalmente, a express~ao para a ac~ao efetiva a 1-loop e (1) ('1c; '2c) = Sb + i 2Tr h ln ^M 11 ^M 22 i : (41) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 29/ 50

49. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Diagramas Analisando o termo ln ^M 11 ^M 22 : ln ^M 11 ^M 22 = ln h x1 + m(1) eff x1 + m(2) eff i = ln x1 + m(1) eff + ln x1 + m(2) eff (42) ent~ao i 2Tr ln ^M 11 ^M 22 = i 2Tr ln x1 + m(1) eff + i 2Tr ln x1 + m(2) eff (43) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 30/ 50

50. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Diagramas 2Tr ln Analisando o termo i x1 + m(1) eff , podemos escrev^e-lo como i 2 Tr ln x1 + m(1) eff = i 2 Tr ln x1 2 + i 2 Tr ln 1 + 4 32 42 1 x1 2 em que 2 = m20 + 2. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 31/ 50

51. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Diagramas Expandindo o ultimo termo da equac~ao anterior em e es-crevendo o operador traco como uma integral no espaco de con-

52. gurac~oes, i 2Tr ln x1 + m(1) eff = i 2 Z d4x1 ln x1 2 + 3i 8 2 Z d4x1 1 x1 2 i 22 Z d4x1 1 x1 2 (44) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 32/ 50

53. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Diagramas 2Tr ln Procedendo da mesma forma com o termo i x1 + m(1) eff , e em seguida fazendo uma transformada de Fourier, passando para o espaco de momentos, em que x1 2 ! k2 2 , (1) ('1c; '2c) = Sb + Z d4k (2)4 ln k2 + 2 + 2 2 Z d4k (2)4 1 k2 + 2 2 Z d4k (2)4 1 k2 + 2 (45) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 33/ 50

54. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Diagramas Nas express~oes anterior foi feita tambem uma rotac~ao de Wick k0 ! ik0, passando do espaco de Minkowski para o Euclideano, uma vez que que nossos calculos utilizam o formalismo de tempo imaginario. A express~ao da unica contribuic~ao de 2-loops deste trabalho sera (ja no espaco Euclideano dos momentos) 2 Z d4k (2)4 1 k2 + 2 2 (46) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 34/ 50

55. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Potencial Efetivo O potencial efetivo para esta teoria pode ser encontrado tomando-se campo constante na ac~ao efetiva, e e dado pelo termo de potencial da Lagrangeana mais as correc~oes qu^anticas [1]: Veff = V0 + Z d4k (2)4 ln k2 + 2 + 2 2 Z d4k (2)4 1 k2 + 2 2 Z d4k (2)4 1 k2 + 2 + 2 Z d4k (2)4 1 k2 + 2 2 (47) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 35/ 50

56. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Diagramas Ou, na forma de diagramas, o potencial efetivo pose ser escrito como Veff () = V0 () + + @ + t + Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 36/ 50

57. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Utilizando o formalismo de tempo proprio de Schwinger, e possvel obter a express~ao para o propagador de vacuo de um boson es-calar carregado com carga e, na presenca de um campo magnetico externo, DB(x0; x00), que e dado por DB(x0; x00) = '(x0; x00) Z d4k (2)4 eik(x0x00)DB(k) (49) em que iDB(k) = Z 1 0 ds isfk2 cos(eBs)e kk2? h tan(eBs) eBs i m2+ig (50) e o fator de fase '(x0; x00) n~ao depende do caminho de inte-gra c~ao, e neste trabalho pode ser feito igual a 1. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 37/ 50

58. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Utilizando as notac~oes (a:b)k = a0b0 a3b3 e (a:b)? = a1b1 + a2b2 (51) podemos escrever a express~ao

59. nal para o propagador na pre-sen ca de um campo magnetico externo iDB(k) no espaco eu-clideano como iDB = 2i 1X l=0 (1)l Ll 2k2? eB exp k2? eB k2 k + (2l + 1) eB + 2 (52) em que Ll 2k2? eB corresponde a uma func~ao escrita na forma de polin^omios de Laguerre. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 38/ 50

60. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Calculo dos efeitos termicos para o diagrama tadpole Fora os fatores de simetria, o diagrama tadpole pode ser calcu-lado fazendo-se T = 2 Z d4kE (2)4 1X l=0 (1)l Ll 2k2? eB exp h k2? eB i 3 + (2l + 1) eB + k2 0 + k2 2 (53) Neste formalismo, a energia assume valores discretos, ou seja, k0 = !n = 2n

61. sendo n um numero inteiro correspondente as frequ^encias de Matsubara para bosons, e tambem Z d4kE (2)4 ! 1

62. X n Z d3k (2)3 (54) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 39/ 50

63. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Calculo dos efeitos termicos para o diagrama tadpole Ficamos com: T = 2 1

64. X n Z d3k (2)3 1X l=0 (1)l Ll 2k2? eB exp k2? eB !2n + k2 3 + m2l (55) em que m2l = (2l + 1) eB + 3 + m2l 2. Fazendo k2 = !2 e invertendo a soma e a integral podemos reescrever (55) como: T = 2 1X l=0 (1)l Z d3k (2)3 Ll 2k2? eB ! exp k2? eB # 1

65. X n 1 !2n + !2 =

66. 22 1X l=0 (1)l Z d3k (2)3 Ll 2k2? eB ! exp k2? eB # X n 1 n2 +

67. ! 2 2 (56) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 40/ 50

68. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Calculo dos efeitos termicos para o diagrama tadpole Apos algumas manipulac~oes algebricas, a express~ao(56)

69. ca T = 1X l=0 (1)l Z d3k (2)3Ll 2k2? eB exp k2? eB 1 ! + 2 1X l=0 (1)l Z d3k (2)3Ll 2k2? eB exp k2? eB 1 ! 1 exp (

70. !) 1 (57) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 41/ 50

71. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Calculo dos efeitos termicos para o diagrama tadpole Reescrevendo a integral anterior em coordenadas cilndricas e combinando a parte de k? com o polin^omio de Laguerre pode-mos resolver a integral k? e

72. car somente com a integral em k3: T = eB 42 1X l=0 Z 1 0 dk3 1 ! + eB 22 1X l=0 Z 1 0 dk3 1 ! 1 exp (

73. !) 1 (58) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 42/ 50

74. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Calculo dos efeitos termicos para o diagrama tadpole 3 +(2l+1)eB+ Substituindo ! = (k2 2) 1 2 obtemos,

75. nalmente: T = eB 42 1X l=0 Z 1 0 dk3 1 k2 3 + (2l + 1) eB + 2 1 2 (59) + eB 22 1X l=0 Z 1 0 dk3 1 k2 3 + (2l + 1) eB + 2 1 2 1 exp h

76. k2 3 + (2l + 1) eB + 2 1 2 i 1 (60) O termo de T = 0 (59) e divergente, e deve ser regularizado. Ja a segunda integral juntamente com a soma sobre os nveis de Landau converge, e e calculada numericamente. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 43/ 50

77. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Regularizac~ao do Termo Divergente O termo de T = 0 da equac~ao (59) e divergente, e utilizamos o precedimento de regularizac~ao dimensional para regulariza-lo. Para isso, escrevemos a integral em ddimens~oes: TT=0 = eB 4 1d 1X l=0 Z +1 1 ddk3 (2)d 1 k2 1 2 (61) 3 + (2l + 1)eB + 2 em que a escala de massa aparece para manter adimensional a constante de acoplamento: O resultado desta integral e [2]: Z ddp (2)d p2 +M2A = A d 2 2 (A) (M2)Ad (4) d 2 ; Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 44/ 50

78. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Regularizac~ao do Termo Divergente A func~ao Gama possui polos em numeros inteiros negativos. Tomando d ! 1 em (61) e apos algumas manipulac~oes algebricas

79. camos com TT=0 = eB 4 2 (4) 1 2 1 2 (2eB) 2 1X l=0 l + eB + 2 2eB 2 (62) A soma em l na equac~ao acima pode ser escrita como uma func~ao zeta, a partir de sua de

80. nic~ao (z; q) = 1X n=0 (q + n)z com Re (z) 1; q 0 (63) Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 45/ 50

81. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Regularizac~ao do Termo Divergente Obtemos ent~ao TT=0 = eB 4 2 (4) 1 2 1 2 2; 2 + eB 2eB (64) Expandindo a express~ao acima e rearranjando os termos obtemos

82. nalmente o resultado da integral: TT=0 = 1 2 82 + 2 162 ln 2 + eB 42 + 1 eB 2 (65) O primeiro termo da equac~ao acima e divergente, e e absorvido mediante a renormalizac~ao do potencial efetivo. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 46/ 50

83. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Conclus~oes Em nosso trabalho estudamos os efeitos da presenca de um campo magnetico externo sobre o potencial efetivo para uma teoria de campos escalares carregados a temperatura

84. nita, via teoria de perturbac~ao otimizada. Uma das mais importantes conclus~oes obtidas foi a con-

85. rmac~ao de que, da mesma forma que a inclus~ao de efeitos termicos, a aplicac~ao de um campo magnetico externo con-stante n~ao gera novas diverg^encias a teoria; a diverg^encia encontrada corresponde a parte de temperatura zero ja en-contrada em problemas que n~ao incluem temperatura e campo magnetico. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 47/ 50

86. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Conclus~oes A simplicidade de implementac~ao, os recentes e importantes resultados obtidos na literatura e a simplicidade no procedi-mento de renormalizac~ao foram motivac~oes para utilizarmos a OPT como processo de ressoma. Diferentes metodos de ressoma, como por exemplo os estudos no contexto dos metodos 2PI, geralmente enfrentam bastante di

87. culdade no processo de renormalizac~ao. Notamos que a renormali-za c~ao n~ao e afetada pela introduc~ao dos efeitos de campo magnetico, ja que os contratermos utilizados para renor-malizar a teoria s~ao os mesmos usados no caso de tempe-ratura nula. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 48/ 50

88. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Conclus~oes Sem levar em conta os termos independentes da tempe-ratura, temos como resultado preliminar que o campo magne-tico antecipa a transic~ao de fase, ou seja, diminui a tem-peratura crtica do sistema. Vimos tambem que a transic~ao de fase continua suave e contnua, caracterstica das transic~oes de segunda ordem. Ou seja, a inclus~ao de um campo magnetico na teoria n~ao modi

89. ca a natureza da transic~ao neste problema. Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 49/ 50

90. Introduc~ao Determinac~ao da Ac~ao Efetiva Ac~ao Efetiva em Todas as Ordens Ac~ao Efetiva a 1-Loop Diagramas Potencial Efetivo Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Externo Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama Tadpole Regularizac~ao do Termo Divergente Conclus~oes Refer^encias Refer^encias M. Le Bellac, Thermal Field Theory Cambridge University Press, 1996. P. Ramond. Field Theory: a Modern Primer. Westview Press, 2001 J. A. Kapusta, C. Gale. Finite Temperature Field Theory - Principles and Applications. Cambridge University Press, 2006 A. Ayala, A. Sanchez, G. Piccinelli and S.Sahu, Phys. Rev. D 71, 023004 (2005). Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 50/ 50

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