Mecanica dos Fluidos

1. Capítulo 4
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
Neste capítulo o livro diferencia-se bastante de todos os outros sobre o assunto. Como já foi
feito em relação à equação da continuidade no Capítulo 3, restringe-se a equação a aplicações
em regime permanente. Novamente, a ausência de variações com o tempo permite simplificar
a compreensão dos fenômenos e a solução de problemas importantes, sem restringir muito as
aplicações, já que a maioria dos problemas práticos aproxima-se dessa hipótese. No Capítulo
10, a equação é generalizada para permitir a solução de problemas mais complexos.
Inicialmente, apresentam-se as energias mecânicas associadas a um fluido, excluindo-se
efeitos térmicos. O leitor deve perceber que, sendo as energias entidades da mesma espécie,
podem-se, por meio delas, associar entidades heterogêneas como velocidades, cotas e
pressões. Graças às seis hipóteses estabelecidas inicialmente é possível deduzir a equação de
Bernoulli para um tubo de corrente, que relaciona de forma elementar essas entidades em duas
seções do escoamento. O desenvolvimento da equação de Bernoulli conduz a energias por
unidade de peso, denominadas cargas, e por coincidência, as cargas podem ser medidas em
unidade de comprimento, o que permite interpretações interessantes em certas aplicações.
Nos itens seguintes as hipóteses de Bernoulli são retiradas aos poucos, o que permite resolver
problemas sem restrições práticas, com exceção da hipótese de regime permanente.
Após a retirada de todas as hipóteses simplificadoras chega-se à equação mais geral, que nada
mais é do que a primeira lei da Termodinâmica para volume de controle, em regime
permanente.
A grande vantagem desse tratamento é a separação dos efeitos térmicos dos efeitos
mecânicos, o que possibilita uma concentração maior nos tipos de problemas que podem ser
resolvidos. Assim, o professor de Termodinâmica pode dedicar sua atenção a problemas em
que os efeitos térmicos são predominantes e o de Mecânica dos Fluidos pode se dedicar
àqueles em que os efeitos são desprezíveis. Apesar de se perder inicialmente na generalidade,
ganha-se na compreensão e na facilidade de absorver os conceitos e visualizar os fenômenos
físicos. Observa-se no fim do capítulo a interpretação da perda de carga.
Exercício 4.1
Ressaltar as hipóteses de Bernoulli:
1) R.P. Reservatório de grandes dimensões.
2) S.M. Visual. Não há bombas nem turbinas no trecho (1)-(2).
3) S.P. Dado do enunciado: fluido ideal.
4) F.I. Líquido.
5) P.U.S. Jato livre. Não vale o princípio da aderência.
6) S.T.C. Visual.
O leitor deve ser hábil na escolha dos pontos (1) e (2). Como regra, o ponto (1) deve ser
escolhido numa seção onde v, p e z sejam conhecidos, e o ponto (2), onde estiver a incógnita,
ou vice-versa.
v2
(1)
(2)
PHR
h

2. gh2v
g2
v
h
PHRnoponto0z
efetivaescalanap0p
incógnitaaév
PHRdopartiraacothz
efetivaescalanap0p
ioreservatórnofluidodonível0v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
2
2
2
2
atm2
2
1
atm1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
=→=
→=
→=
→
→=
→=
→=
+
γ
+=+
γ
+
Observa-se que o PHR é arbitrário. Ao ser mudado alteram-se z1 e z2, mas a solução da
equação permanece a mesma.
Exercício 4.2
( )
( )
( ) ( ) ( ) 2122
11
2
1
xxbaa4
g
a2bag2
g
a2
bag2
g
y2
vx
baa4ay4
g
y2ga2
g
y2
ga2
g
y2
vxAlcance
bag2v
ga2v
=⇒+=
×+
=+==
+==
×
===
+=
=
Exercício 4.3
m3,6
10
1075
20
9,4
zz
p
g2
v
zzz
p
g2
v
z
kPa7510025ppp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s/m9,42,120gz2v
g2
v
z
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)a
4
32
AS
S
2
S
ASS
s
2
S
A
atmSS
S
S
2
S
A
A
2
A
AB
2
B
A
B
B
2
B
A
A
2
A
absef
=
×−
−−=−
γ
−−=−→+
γ
+=
−=−=−=
+
γ
+=+
γ
+
=×==→=
+
γ
+=+
γ
+
Exercício 4.4

3. ( )
( )
s
m
8,7
20
6,3
45
g2
v
h
HhH
g2
v
Hhp
Hp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
==⇒
γ
+γ
=
γ
γ
+
+γ=
γ=
+
γ
+=+
γ
+
Exercício 4.5
4vv2,0
g2
vv
2,0
p
comoez
p
g2
v
z
p
g2
v
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
1
2
1
0
0
2
0
=−→=
−
=
γ
+
γ
+=+
γ
+
s
N
211,210gQQ
s
kg
1,20026,0
10
000.8
Q
g
QQ
s
L
6,2
s
m
0026,0
4
08,0
52,0Q
4
D
vQ
s/m52,0v4vv16:anteriornadoSubstituin
v4v40v80v
4
D
v
4
D
v
mG
m
322
0
0
0
2
0
2
0
01
2
1
2
0
2
1
1
2
0
0
=×==
=×=
γ
=ρ=
==
×π
×=→
π
=
=→=−
=→×=×→
π
=
π
Exercício 4.6
( )
( )
s
L
40
s
m
104AvQ
s
m
4
10
1030
8,320
p
8,3g2v
kPa3010106
000.1
2,0
20p
2,0ppp2,02,0p
8,3
p
g2
v
p
g2
vp
g2
v
3
2
14
3
1
1
44
1
O2Hm212mO2H1
1
2
1
0
2
01
2
1
=×==⇒=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ×
−×=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
γ
−=
=−×+=
γ−γ+=⇒=×γ−×γ+
=
γ
+
γ
+=
γ
+
−

4. Exercício 4.7
cm3
16,3
07,7
2
v
v
DD
4
D
v
4
D
v
s
m
16,35,020v
m5,0
10
1020
20
07,7p
g2
v
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s
N
2,22
4
02,0
07,710
4
D
vQ
s
m
07,75,2102gh2vh
g2
v
:PitotdetuboNo)a
1
2
21
2
2
2
2
1
1
1
4
32
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
4
2
2
2G
2
2
2
=×==→
π
=
π
=×=
=
×
−=
γ
−=→+
γ
+=+
γ
+
=
×π
××=
π
γ=
=××==→=
Exercício 4.8
( ) ( )
( )
( )
( )
cm7,5m107,5
43,12
1014,34
v
Q4
D
4
D
vQ
s
m
43,1246,138v
6,13816,1355,020vv
155,0g2vvzz155,0
pp
pzz55,055,0p
zz
pp
g2
v
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
0
101036,1
10187101052pzp
hpzhhp
kPa181017101052zzppz
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s
N
3141014,310QQ
s
m
1014,3
4
1,0
4
4
D
vQ
s
m
410
10
1052
1620z
p
Hg2vz
p
g2
v
H)a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
Hg2
1
2
212
Hg21
212Hg1
21
12
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
45
343
Hg
31
131Hg11
34
31133
3
2
3
1
1
2
1
24
G
3
2
22
1
1
4
3
1
1
111
1
2
1
1
=×=
×π
××
=
π
=⇒
π
=
=+=
=−××=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
γ
γ
××=−⇒−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
γ
γ
=
γ
−
=−γ−×γ−×γ+
−+
γ
−
=−
+
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+=+
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+
=
−×
×+×−×
=
γ−γ
−Δγ−
=⇒=Δγ−γ−γ+
−=×−+=−γ+=⇒+
γ
+=+
γ
+
=××=γ=⇒×=
×π
×=
π
=
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
×
−×=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
γ
−=⇒+
γ
+=
−
−
−
−−

5. Exercício 4.9
s
kg
14,8
4
072,0
2
10
000.10
4
D
v
g
Q
s
m
2v84,59vv16
anteriornadosubstituinv4v
4
D
v
4
D
v
84,59
10
920.29
20vv
p
g2vvz
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa920.2922,0000.136hp
22
1
1m
1
2
1
2
1
12
2
1
1
2
2
2
4
2
1
2
2
22
1
2
21
1
2
1
2
2
2
2
Hg2
=
×π
××=
πγ
=
=⇒=−
→=→
π
=
π
=
−
×−=−
γ
−=−→+
γ
+=+
γ
+
−=×−=γ−=
Exercício 4.10
0565,0
109,5
1033,3
Q
Q
s
kg
109,5
4
025,0
1201
4
D
vQ
s
kg
1033,3
4
00115,0
45,4720
4
D
vQ
s
m
45,401,0
7200
7200
20z
p
g2v
0z
p
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
:gasolinaNa
pPa7200
2
1201
2
v
g2
v
p
p
g2
vp
g2
v
:arNo
2
3
am
gm
2
22
a
aama
3
22
g
gggm
g2
g
g2
g2
g2
g
g2
2
g2
g2
g
g2
2
g2
g1
g
g1
2
g1
g2
22
a2
a
2
a2
aa2
a
a2
2
a2
a
a1
2
a1
=
×
×
=
×=
×π
××=
π
ρ=
×=
×π
××=
π
ρ=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
−=
=+
γ
+⇒+
γ
+=+
γ
+
=−=
×
−=ρ−=γ−=⇒
γ
+=
γ
+
−
−
−
−
Exercício 4.11
kW375,0
000.1
1
8,0
301,010QH
N
s
m
01,0101010AvQ
m342
20
10
HH
g2
v
Hz
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
)a
4
B
B
B
3
4
66
2
B6,1p
2
6
B1
6,1p2
2
2
2
B1
1
2
1
=
××
=
η
γ
=
=××==
=−+=→+=+
++
γ
+=++
γ
+
−

6. ( ) ( )
( ) N1,3810101081,1102010F
Pa1081,1pm81,1
20
5,1210
10
10p
s
m
5,12
108
01,0
A
Q
v
g2
vvpp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa10110p
HpH
p
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
AApApFFAApAp)b
4444
4
G
22
4
4
G
4
G
G
2
G
2
44G
G
G
2
G
4
4
2
4
44
4
6,4p46,4p
4
6,4p6
6
2
6
4
4
2
4
HpGp4HpGp4
=×××−−××=
×−=→−=
−
+=
γ
=
×
==
−
+
γ
=
γ
→+
γ
+=+
γ
+
=×=
γ=→=
γ
→++
γ
+=+
γ
+
−−=→+−=
−−
−
Exercício 4.12
( ) ( )
( )
kW4,410
7,0
2002,17,12QH
N
m200
7,12
7341806pp
H
Pa18062,1427,122,142pm2,142100
20
5,730p
H
g2
vvp
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa7348,577,128,57pm8,57100
20
5,730p
s
m
5,7
4,04,0
2,1
A
Q
v
s
m
2,12,02,030AvQ
H
g2
vvp
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
3
v
v
v
01
v
1
22
1
A,1p
2
1
2
A1
A,1pA
A
2
A
1
1
2
1
0
22
0
0
0
3
AA
0,Ap
2
0
2
A0
0,Ap0
0
2
0
A
A
2
A
=×
××
=
η
γ
=
=
−−
=
γ
−
=
=×=×γ=⇒=+
−
=
γ
+
−
=
γ
⇒++
γ
+=+
γ
+
−=−×=−×γ=⇒−=−
−
=
γ
=
×
==⇒=××==
−
−
=
γ
⇒++
γ
+=+
γ
+
−
Exercício 4.13
( ) ( ) Pa108,810102,18,0hpp
phhp:amanométricEquação
pp
g2vv
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)a
445
F54
5F4
542
4
2
5
5
5
2
5
4
4
2
4
×=−×=γ−γ=−
=γ−γ+
γ
−
=−
+
γ
+=+
γ
+
176
10
108,8
20vv 4
4
2
4
2
5 =
×
×=−

7. s
m
047,0101007,4AvQ
s
m
7,4
8
176
v176vv9
v3vAvA3vAvAv
3
4
44
4
2
4
2
4
4555545544
=××==
==→=−
=→=→=
−
( ) kPa49Pa109,47,368,410p
HzH
p
Hz
p
H
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
)c
m8,4
047,010
75,0103
Q
N
H
QH
N)b
44
6
6,1p6B
6
6,1p6
6
B
6,1p6
6
2
6
B1
1
2
1
4
3
BB
B
B
B
B
−=×−=−−×=
−−=
γ
→++
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=
++
γ
+=++
γ
+
=
×
××
=
γ
η
=→
η
γ
=
Exercício 4.14
( )
( ) ( )
( )
( ) kW3102,150196,010QHN)d
m2,212,156HzzHHHHH
m2,15
10
000.76
5
20
9,610
H
s
m
9,6
6
5
10
D
D
vv
pp
g2
vv
H)c
Pa000.761036,1101105hppphhp)b
s
L
6,19
s
m
0196,0
4
05,0
10
4
D
vQ
s
m
10251220v
z
p
Hg2vz
p
g2
v
H)a
34
B
B303,0p3,0p3B0
4
22
B
2
2
1
2
2
21
12
2
1
2
2
B
544
Hg212Hg1
322
2
22
2
2
222
2
2
2
2
=×××=γ=
=+=+−=⇒+=+
=
−
−+
−
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
γ
−
+
−
=
−=×−×+×=γ−γ+=⇒=γ−γ+
==
×π
×=
π
=⇒=−−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
γ
−=⇒+
γ
+=
−
Exercício 4.15
νπ
=
ν
×
π
=→
π
=
ν
=
=
×
×
==→=
−
1
1
2
1
12
1
1
11
1
3
canalcanal
D
Q4D
D
Q4
Re
D
Q4
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Dv
Re)b
s
m
5,0
4,02,0
1040
bL
Q
vbLvQ)a

8. ( ) ( )
s
m
75,0
667,0
5,0
667,0
v
v667,0v
2
h10
3
h25
h
v
v
dyy10y25
h
v
Ldyyv10yv25
bL
1
v
yv10yv25v:Logo
v10bev25a:sistemaosolvendoRe
b2,0a20bay2
dy
dv
0
dy
dv
;m2,0ypara
2,0b2,0avvv;m2,0ypara
0c0v;0ypara)d
m7,16
8000
103,0
20
4,2078,0
H
s
m
4,20
05,0
10404
D
Q4
v
s
m
78,0
255,0
10404
D
Q4
v
p
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
m255,0
200010
10404
Re
Q4
D
m
máxmáx
23
máx
m
h
0
2máxh
0 máx
2
máxm
máx
2
máx
máxmáx
2
máxmáx
622
2,1p
2
3
2
2
2
2
3
2
1
1
1
2
2
2
1
2,1p
2,1p2
2
2
2
1
1
2
1
4
3
1
1
===⇒×=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+−=+−=
+−=
=−=
+×=→+=→==
×+×=⇒==
=⇒==
=
×
+
−
=
=
×π
××
=
π
=
=
×π
××
=
π
=
γ
+
−
=
++
γ
+=+
γ
+
=
××π
××
=
πν
=
∫∫
−
−
−
−
Exercício 4.16
( )
( )
224
3
1
1
1,0p
1
011,0p1
1
2
1
0
3
34
22
23
2
3
2
33
2
3
32
2
3
2
2
3,2p
232
3
2
23,2p3
3
2
3
2
2
2
2
cm45,1m1045,1
9,4
1071,0
v
Q
A
s
m
9,48,03520H
p
zg2vHz
p
g2
v
z)b
s
L
71,0
s
m
1071,01011,7AvQ
s
m
1,7354,020v
s
m
354,0v50vv400v20
A
A
vv
50235,320vv
H
pp
g2vvHz
p
g2
v
z
p
g2
v
)a
=×=
×
==
=−−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
γ
−=⇒++
γ
+=
=×=××==
=×=⇒=⇒=−⇒==
=+−×=−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
γ
−
γ
=−⇒++
γ
+=+
γ
+
−
−
−−

9. W4,932,11071,010QHN
m32,1
20
9,41,7
g2
vv
H)c
34
B
222
1
2
2
B
=×××=γ=
=
−
=
−
=
−
Exercício 4.17
( )
m545
20
20
30
10
104,0
H
p
g2
v
H
p
H
HHHH)c
mca4525
10
102,0p
H
pp
z
p
g2
v
Hz
p
g2
v
)b
kW4
1000
1
8,025102010pQHN
m25H
m25305
10
104,0
1510
10
1025,0
H
Hz
p
HHz
p
HHHHH
)0(a)5(deEscoamentoHH
m455
10
102,0
20
20
z
p
g2
v
H
s
m
20
1010
1020
A
Q
v
m3510
10
1025,0
0z
p
g2
v
H)a
2
4
6
p
2
2
2
M
5
p
p2M5
4
6
2
M
12
1
1
2
1
M2
2
2
2
34
TTT
T
4
6
4
6
M
p0
0
MM5
5
p0MM5
01
4
62
1
1
2
1
1
4
3
1
1
4
6
0
0
2
0
0
2,5
22,5
2,52
1
1
1
0,512
0,512
=−−+
×
=
γ
−−+
γ
=
+=+
=−−
×
=
γ
→−
γ
=
γ
+
γ
+=++
γ
+
=×××××=ηγ=
=
−=−−
×
−++
×
=
++
γ
=+++
γ
+=++
→>
=+
×
+=+
γ
+=
=
×
×
==
=+
×
+=+
γ
+=
−
−
−
Exercício 4.18
m2,23
10
10200
20
8p
g2
v
H
s
m
2
108
1016
v;
s
m
8
102
1016
v)a
4
32
2
2
2
2
3
3
33
3
2
=
×
+=
γ
+=
=
×
×
==
×
×
= −
−
−
−

10. ( )
( ) ( ) MPa362,010512,4010zHHp
HHz
p
)d
kW95,1102,12101610QHN
)turbina(m2,1213,23
10
101,0
HH
p
H
HHHH)c
m173,232,40HHH)b
).1(para)4(deSentidoHHm2,40
10
10400
20
2p
g2
v
H
64
43,4p34
3,4p34
4
334
TT
4
6
1,2p2
1
M
1,2p1M2
232,3p
234
32
3
2
3
3
=×−+=−+γ=
+=+
γ
=××××=γ=
−=+−
×
=+−
γ
=
+=+
=−=−=
⇒>→=
×
+=
γ
+=
−
−−
Exercício 4.19
1,2p1
1
2
1
2
2
2
2
1,2p12
2
4
2
4
4
4
2
4
4
2
3
3
3
2
3
3
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
HHH)b
)1(para)6(deSentido
13
g2
v
49
g2
v
z
p
g2
v
H
11
g2
v
z
p
g2
v
H)a
++
γ
+=+
γ
+
+=
+=++=+
γ
+=
+=+
γ
+=
kW192,0
1000
1
8,0410610QHN
m4Hm4117
pp
H)c
s
m
10610106vAQ
s
m
6vm8,1728,17
g2
v
34
TTT
T
32
1M
3
34
2
2
2
=×××××=ηγ=
=→−=−=
γ
−
γ
=
×=××==
=→=−+=
−
−−
4,6p64
4
2
4
2M
4,6p4
4
2
4
2M6
6
2
6
4,6p42M6
Hzz
p
g2
v
H
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
HHHH)d
+−+
γ
+=
++
γ
+=++
γ
+
+=+

11. kW59,0
1000
1
8,910610QHN
)bomba(m8,9239
20
6
H
34
B2
2
2M
=××××=γ=
=+−+=
−
Exercício 4.20
m7,20HH
p
HHH)c
MPa207,0Pa107,20pm7,2047,26
10
1050
2
20
47,4p
m7,26
1062,510
105,1
Q
N
HQHN
H
p
Hz
p
g2
v
HHHH)b
s
m
1062,5
4
04,0
47,4
4
D
vQ
s
m
47,422
10
1050
20v
kPa5010050ppp
Hz
p
g2vHz
p
g2
v
0
HHH)a
0,3p0,3p
3
0,3p03
4
34
32
3
34
3
BB
3,2p
3
B1
1
2
1
3,2p3B1
3
3
22
1
14
3
1
atmabs1ef1
1,0p1
1
11,0p1
1
2
1
1,0p10
=⇒=
γ
+=
=×=⇒=−+
×
−+=
γ
=
××
×
=
γ
=⇒γ=
+
γ
=++
γ
+
+=+
×=
×π
×=
π
=⇒=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
×−
×−=
−=−=−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
γ
−=⇒++
γ
+=
+=
−
−
Exercício 4.21
( )
TB
32
2
3
2
2
2,1p
2,1p3
3
2
3
TB2
2
2
2
2,1p3TB2
3
4
3
TT
T
TTT
T
B
TTTB
4
6
21
B
HH
pp
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
HHz
p
g2
v
HHHHH)b
s
m
04,0
75,02010
106
H
N
QQHN
m20
75,02
30
2
H
HQH2QH
m30
10
1003,0pp
H)a
−+
γ
−
+
−
=
++
γ
+=−++
γ
+
+=−+
=
××
×
=
ηγ
=→ηγ=
=
×
=
η
=→ηγ=γ
=
×−
=
γ
−
=

12. ( )
4,1p4
4
2
4
1
1
2
1
4
622
2,1p
4
2
24
3
3
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
m45,02030
10
101,00
20
45
H
s
m
5
1080
04,0
A
Q
v;
s
m
4
10100
04,0
A
Q
v
++
γ
+=+
γ
+
=−+
×−
+
−
=
=
×
===
×
== −−
m55,9
10
101,0
20
54p
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)d
MPa295,0Pa1095,245,010103,0Hpp
H
pp
4
622
3
2
2
2
3
2,3p
2,3p2
2
2
2
3
3
2
3
546
4,1p14
4,1p
14
=
×
+
−
=
γ
+
−
=
++
γ
+=+
γ
+
=×=×−×=γ−=
−
γ
=
γ
Exercício 4.22
kW4,31036,11103010QHN
m36,11H15H20H56,0HHHH
m20
103010
106
Q
N
HQHN
H56,0H8,07,0HHH
QH
QHNN
334
T
TTTpT2B1B
34
3
2B
2B2B2B
T1BTBTT1B
B
1B
TTBT
=××××=γ=
=⇒=−+⇒=−+
=
××
×
=
γ
=⇒γ=
=⇒××=ηη=⇒
η
γ
=ηγ⇒=
−−
−
Exercício 4.23
( )
( )
2
24
3
16
24
3121812
16
8
R
6
R3
4
R3
2
R
R
16
drrrR3rR3rR
R
16
rdrrR
R
16
rdr2
2
v
R
r
1v
R
1
dA
v
v
A
1
8888
8
R
0
752346
8
R
0
322
8
3
R
0 máx
2
máx
2
3
A
m
=α
×=
−+−
×=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=α
−+−=α
−=π
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=α
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=α
∫
∫∫
∫

13. Exercício 4.24
( )
06,1
R
17
7
R
10
7
R
672,3
x
17
7
Rx
10
7
R
672,3
dx)xRx(
R
672,3
dxxRx
R
672,3
dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança
rdr)
R
rR
(
R
672,3
rdr2
v
60
49
R
r
1v
R
1
dA
v
v
A
1
7
17
7
17
7
17
R
0
7
17
7
10
7
17
7
10
R
0
7
3
7
17
R
0
7
3
7
17
7
3
R
02
3
R
0
máx
7
1
máx
2
3
m
=α
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=α
−=−=α
−=−=−=
−
=π
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=α
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=α
∫∫
∫∫
∫
Exercício 4.25
m5,0
20
3
11,1
g2
v
)e
W104985,1
2
1031000
11,1
2
Av
C)d
11,1
58
2
5
8,4
3
5
96,0
4
5
064,0
135
1
22
m
5
33
m
234
=×=α
×=
××
×=
ρ
α=
=α
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×+×+×+×=α
( )dy8y8,4y96,0y064,0
135
1
dy2
3
2y4,0
52
1
2y4,0v:olog
4,0C2C544v5ypara
2C2v0ypara
CyCv
dA
v
v
A
1
)c
s
m
30523bhvQ)b
s
m
3
2
24
v)a
5
0
235
0
3
11
2
21
3
A m
3
m
m
∫∫
∫
+++=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
×
=α
+=
=⇒+=⇒=→=
=⇒=→=
+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=α
=××==
=
+
=

14. Exercício 4.26
( )
73,1
7
5
5
6
30
5
5
700.2
5
4
000.27
103
1
7
h
h
6
30
h
5
700.2
h
4
000.27
103
1
dy)yy30y700.2y000.27(
103h
1
bdy)
67
yy30
(
bh
1
)e
h
kg
135.27600.325,005,067,0900bhvQ)d
s
m
67,0
3
5
515v
3
h
h15
3
h
2
h30
h
1
bdy)yy30(
bh
1
v)c
m
N
9,130063,0
m
s.N
063,0
10
107000.9
g
s
m
107
s
m
107,0St7,0cSt70;
m
N
000.9
dy
dv
30
dy
dv
)b
s26
dy
dv
y230
dy
dv
)a
6
543
5
6
543
5
654h
0
3
5
3h
0
2
mm
2
m
232
h
0
2
m
20y
2
5
2
5
2
4
3
0y0y
1
cm2y
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−×+×−×
×
=α
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−
×
=α
−+−
××
=
−
=α
=××××=ρ=
=−×=
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=
=×=τ
=
××
=
γν
=μ
×=×===ν=γ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
μ=τ⇒=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⇒−=
∫∫
∫
=
−
−−
==
−
=
Exercício 4.27
s
L
20
s
m
02,0101002AvQ
s
m
28,4
10
1040
9
1
20
v
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
HHH
NHQNHQHQ
3
4
t20
4
3
2
2,0p2
2
2
2
20
0
2
0
0
2,0p20
diss661100
==××==
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
×
−=
++
γ
+α=+
γ
+α
+=
+γ=+γ+γ
−
s
L
351520QQQ 106 =+=+=
m7H
m9H
1
0
=
=

15. kW31,1
1000
1
8,01640NN
W1640N
10006,010103510N71015109102010
m6,0
20
5,3
1H
s
m
5,3
10100
1035
A
Q
v
g2
v
H
TT
343434
2
6
4
3
t
6
6
2
6
66
=××=η=
−=
+××××=+×××+×××
=×=
=
×
×
==→α=
−−−
−
−
Exercício 4.28
m4,11234,27HHHH
m4,27HH10510310510
21010103,0105103,231051030101010
m3,0
20
5,2
g2
v
H
m3,2525
20
5,2
H
v
s
m
5,2
05,0
1054
D
Q4
vz
g2
v
H
m3010
10
102,0
z
p
H
s
L
5
2
10
2
Q
QQ
HQHQHQHQHQHQ
7,6p5,4p7,4p6,5p
7,4p7,4p
3434
34343434
22
7
7
2
3
72
3
2
3
33
2
3
3
4
6
0
0
0
0
73
7,4p73,2p31,0p0773300
=−−=−−=
=⇒×××+×××+
+×××+×××+×××=×××
===
=+=
==
×π
××
=
π
=→+=
=+
×
=+
γ
=
====
γ+γ+γ+γ+γ=γ
−−
−−−−
−
Exercício 4.29
( ) ( )
kW75,3
8,0
3N
N
kW68,05,7NN
m10H;0H;0H
HQHHQHHQHQHQNNHQ
T
T
2
BB1
760
p7pp6pp077662100 7,36,54,33,21,0
==
η
=
=×=η=
===
γ++γ++γ+γ+γ=−+γ
3
60
6
4
0
4
34
6
4
0
434
1010QQ
1050Q108Q106
21010108Q106Q101010101037506000
−
−−
×+=
=××+××
×××+××+××+×××=−
Resolvendo o sistema de equações:

16. m2,117
8,0102,310
103
Q
N
HHQN
m4,45
102,1310
8,0105,7
Q
N
H
HQ
N
s
L
2,13Q
s
L
2,3Q
34
3
T6
T
TTT6T
34
3
0
BB
B
B
B0
B
0
6
=
×××
×
=
ηγ
=→ηγ=
=
××
××
=
γ
η
=→
η
γ
=
=
=
−
−
Exercício 4.30
( )
s
L
56
s
m
056,0028,02Q2Q
s
m
028,0
210
8,0700
H
N
Q
HQ
N)b
bombam2H25,0125,2
2
H
7
4
2
Q
1
2
Q
1Q4
2
Q
5
2
Q
H
2
Q
7Q
m4zH
m5zH
m72
10
1050
z
p
H
2
Q
QQQ2QQQ
HQHQHQHQHQHQHQ)a
3
30
3
4
B
BB
3
B
B3
B
M
M
00
0
00
M
0
0
33
22
4
3
0
0
0
0
322320
3,1p32,1p21,0p03322M300
==×==
=
×
×
=
γ
η
=⇒
η
γ
=
=⇒++++=+
×γ+×γ+×γ+×γ+×γ=×γ+×γ
==
==
=+
×
=+
γ
=
==⇒=+=
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
Exercício 4.31
g2
v
5,1H;
g2
v
5H
;
g2
v
3
1
H;
g2
v
5H;
g2
v
7H;8H;0H
H2HH3H2HH3H3
HQ2HQHQ3HQ2HQHQ3HQ3
Q3QQQQ;Q2Q
HQHQHQHQHQHQHQ
2
2
2,sp
2
1
1,sp
2
e
e,0p
2
2
2
2
1
1B0
2,sp1,spe,0p21B0
2,sp11,sp1e,0p12111B101
1021012
2,sp21,sp1e,0p02211B000
==
=+=+===
++++=+
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
=→+==
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
g2
v
3
g2
v
5
g2
v
g2
v
210
g2
v
783
2
2
2
1
2
e
2
2
2
1
++++++=×

17. kW15
1000
1
48,0
80897,010HQ
N
s
m
0897,0
4
138,0
6
4
D
vQ
s
m
6v
s
m
2v140v35v9v20v6140
v2vv3v
g2
v
g2
v
5
g2
v
67
4
B
Be
B
322
e
ee
e1
2
1
2
1
2
1
2
1
121e
2
e
2
2
2
1
=×
××
=
η
γ
=
=
×π
×=
π
=
=⇒=→=→++=
==
++=
Exercício 4.32
( ) kW36,210101061015104106,11101010N
HQHQHQN)c
m10
p
H;m15
p
H
m6,114,820
pp
H)b
kPa84pm4,8
p
8,15101048,11106
p
51010
m8,15
10
1015,0
20
4p
g2
v
H
m8,11
10
101,0
20
6p
g2
v
H
c5
p
g2
v
H
HQHQHQ
s
m
6
1010
106
A
Q
v;
s
m
4
1010
104
A
Q
v;
s
m
10
1010
1010
A
Q
v
s
L
6410QQQ)a
3343434
diss
6,5p64,3p42,1p1diss
5
6,5p
3
4,3p
21
2,1p
2
23323
4
62
3
2
3
3
4
62
5
2
5
5
2
2
2
2
335522
4
3
6
54
3
4
34
3
1
2
416
=××××+×××+×××=
γ+γ+γ=
=
γ
==
γ
=
=−=
γ
−
γ
=
=⇒=
γ
⇒×××+××=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
γ
+××
=
×
+=
γ
+=
=
×
+=
γ
+=
+=
γ
+=
γ+γ=γ
=
×
×
===
×
×
===
×
×
==
=−=−=
−−−−
−−−
−
−
−
−
−
−
Exercício 4.33
1212
12
2
1
2
2
M
2M1
ppevv
pp
g2
vv
H
HHH)a
<<→
γ
−
+
−
=
=+

18. m6,13z
104404,3026,13z44204424,3096,13
m9
10
1080
20
53,4p
g2
v
H
HQHQHQHQHQHQHQ
s
m
53,4
1030
0136,0
A
Q
v
s
m
0136,00304,0046,0QQQ)d
s
m
046,0
2010
8,01011
H
N
Q
HQ
N)c
s
m
0304,087,3
4
1,0
v
4
D
Q
QQ)b
m3,2615
20
87,315
15
g2
v15
H
s
m
87,3v12
g2
v16
3
g2
v
15
g2
v15
30:)1(nadoSubstituin
15
g2
v15pp
g2
vv16pp
g2
vv
H
v4vevv
)1(H
g2
v
Hz
HHHH
turbina0H
4
32
6
2
6
6
9,8p95,4p47,6p699BB4466
4
6
6
3
CB6
3
4
3
B
BB
B
B
BB
B
32
2
2
A
AC
22
2
T
2
2
2
2
2
2
2
2
221
2
2
2
221
2
2
2
1
T
2123
3,0p
2
3
T0
3,0p3T0
M
=
×+×+×+=×+×+×
=
×
+=
γ
+=
γ+γ+γ+γ=γ+γ+γ
=
×
==
=−=−=
=
×
××
=
γ
η
=→
η
γ
=
=×
×π
=
π
=
=
=+
×
=+=
=⇒=
+=−−
+=
γ
−
+
−
=
γ
−
+
−
=
==
+=−
+=−
⇒<
−
Exercício 4.34
m1,8
20
7,12
g2
v
H
s
m
4,25v
s
m
7,12
05,0
10254
D
Q4
v
NHQNHQ2NHQNHQHQ
22
1
1
32
3
2
1
1
1
diss3311diss332211
===
=⇒=
×π
××
=
π
=
+γ=+γ⇒+γ=+γ+γ
−

19. kW6,16
75,0
49,12N
N
W490.124401,810251022,32105010N
m2,32
20
4,25
H
B
B
3434
2
3
==
η
=
=+××××−×××=
==
−−
Exercício 4.35
kg
kJ
5,7
kg
J
7500qg
massa
calor
m750
20
25125
g2
vv
q
p
g2
v
q
p
g2
v
s
m
125255v5v
5
2,0
1
p
ppp
v
v
AvAv
222
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
12
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
222111
===
=
−
=
−
=
γ
+=+
γ
+
=×==
===
ρ
ρ
→
ρ
=
ρ
ρ
ρ
=→ρ=ρ
Exercício 4.36
kW75,0
s
J
7501750Q
s
kg
111QQgqQQ
kg
J
750
2
1040
gq
s
m
40
05,0
1,0
1,0
2,0
10
A
A
p
p
v
A
A
vvAvAv
s
m
10
1,0
1
A
Q
v
g2
vv
q
11mm
22
2
1
2
1
1
2
1
2
1
12222111
1
1
1
2
1
2
2
==×=
=×=ρ=→=
=
−
=
=××==
ρ
ρ
=⇒ρ=ρ
===
−
=
&
&
Exercício 4.37
g
p
g2
v
HqTc
g
p
g2
v
2
2
2
2
M1v
1
1
2
1
ρ
+=+++
ρ
+

20. ( )
s
kg
1634
42,5
10001098,02
vv
NQ
~
2
Q
s
m
2,5
4.0
52,0
4
A
A
vv
TTeppSe
g2
v
gQ
N
gQ
Q
~
g2
v
gQ
N
HgHQN
gQ
Q
~
qqgQQ
~
pp
TT
222
1
2
2
m
2
1
12
212121
2
2
mm
2
1
m
MMm
m
m
2
2
1
1
21
=
−
×+−×
=
−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
=
=×==
ρ=ρ⇒==
=++
=→=
=→=
ρ
=
ρ
⇒=
&
&
&
&
Exercício 4.38
( )
kW5610
600.3
500.4
5,187.45gqQQ
kg
J
5,187.45800.58810760.2090.2
2
60275
gq
kg
J
800.588
3600
4500
10736
Q
N
gHgHQN
gHhh
2
vv
gqh
2
v
gqgHh
2
v
3
m
3
22
3
m
mmm
M12
2
1
2
2
2
2
2
M1
2
1
−=××−==
−=+×−+
−
=
=
×
==⇒=
+−+
−
=⇒+=+−+
−&
Exercício 4.39
diss332211 NHQHQNHQ +γ+γ=+γ
s
m
6
25,0
5,1
A
Q
v
s
m
5
5,0
5,2
A
Q
v
s
m
5,115,2QQQ
s
m
12,05AvQ
3
3
3
1
1
1
3
213
3
222
===
===
=−=−=
=×==

21. 949,0
7,14273
273
N
N
kW273W1073,2107,1425,215,2108,315,11025,31110N
m8,31
10
103,0
20
6p
g2
v
H
m25,31
10
103,0
20
5p
g2
v
H
m25,21
10
102,0
20
5p
g2
v
H
B
B
53442
4
62
3
2
3
3
4
62
2
2
2
2
4
62
1
2
1
1
=
+
==η
=×=×+××−××+××=
=
×
+=
γ
+=
=
×
+=
γ
+=
=
×
+=
γ
+=