Resolução de Simulado de Matemática Financeira

Sérgio Carvalho – Matemática Financeira

Resolução do Simulado 01

SIMULADO 01 – MATEMÁTICA FINANCEIRA

01. (ESAF) Um negociante, para efetuar o pagamento de encomendas, deve dispor de R$ 1
000,00 daqui a 4 meses e R$ 2 530,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje
uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando
sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 2,5% ao mês, o valor
de X deve ser:
(A) R$ 3 000,00
(B) R$ 3 050,00
(C) R$ 3 100,00
(D) R$ 3 150,00
(E) R$ 3 200,00

Sol.: Identifiquemos o assunto da questão: alguém precisa dispor de uma quantia em dinheiro
numa data futura. Para isso, terá que depositar um valor no dia de hoje! É esta a situação?
Sim! Então, não há duvidas: estamos diante de uma questão de juros!
Só se pode começar a resolver uma questão de juros quando se tiver certeza a respeito
do regime, se é o simples ou o composto! Neste enunciado, a informação foi expressa: “juros
simples”.

O que há de diferenciado neste problema é que haverá, na verdade, duas operações de
juros simples:

1) Na primeira, o capital é desconhecido. E o montante também. Só se sabe que, deste
montante, será retirado uma quantia de R$ 1.000, e o restante – o que sobrar – servirá de
capital para a segunda aplicação.
2) Na segunda, o capital é aquele valor que restou do primeiro montante, já após a
retirada dos R$ 1000. Mas este capital, atentemos para isso, é um valor desconhecido. Só se
sabe que o montante será de R$ 2.530,00 (uma vez que foi dito que não haverá nenhum saldo
após esta última operação!).
Então vamos pensar juntos! Na primeira operação, não conhecemos nem capital e nem
montante. Ora, com dois elementos desconhecidos, não é possível trabalhar os juros simples.
Já na segunda operação, o único desconhecido é o capital. Sabemos quem é o montante.
Assim, concluímos: vamos ter que começar pelo fim!
Trabalharemos a segunda operação de juros simples, a fim de descobrirmos o valor
deste segundo capital. Vamos fazer isso?
Dados da operação:

 C2=?  M2=2.530  n=4 meses (*)  i=2,5% ao mês (Juros Simples)
(*) Reparem que o tempo que durou essa operação é 4 meses, uma vez que ela começa na
data 4 meses e se encerra na data 8 meses.
Assim, teremos:

1 http://www.euvoupassar.com.br Repita com fé: Eu Vou Passar

C2 M C2 2530
 =  =  C2=2.300,00
100 100 + i.n 100 100 + 2,5 x 4

Agora é que vem o bom! Vejam que para gerar um montante de R$ 2.530, tivemos que
aplicar, quatro meses atrás, um capital de R$ 2.300,00 (acabamos de calcular).
Porém, esta quantia R$ 2.300 não será o montante total da primeira aplicação.
Lembrem-se de que deste montante fizemos uma retirada de R$ 1000, e depois disso é que
restaram os R$ 2.300 que calculamos!

Assim, concluímos: o montante da primeira operação será 2.300+1000.
Ou seja: M1=3.300,00.

Os dados da primeira operação serão, pois, os seguintes:
 C1=?  M1=3300  n=4 meses  i= 2,5% ao mês (Juros Simples)

Assim, teremos:

C1 M1 C1 3300
 =  =  C1=3.000,00  Resposta!
100 100 + i.n 100 100 + 2,5 x 4

02. (ESAF) Um fogão é vendido por $600.000,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais
um pagamento de $542.880,00 após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na
operação?
a) 5% c) 15% e) 20 %
b) 12% e) 16%

Sol.: Esta questão é um clássico! Desde 1985 que a Esaf a explora. Até os dias de hoje,
costumam cair em prova questões semelhantes a esta, com idêntico raciocínio de resolução.
Bom para nós, pois é facílima!

Quanto custava à vista aquele fogão? $ 600.000,00. Só que foi paga uma entrada. Ora,
“entrada” – bem entendido – é um pagamento realizado no dia da compra! E de quanto foi
essa entrada mesmo? Foi de 22% do valor à vista. Façamos esse cálculo:

22
 x600.000 = 132.000,00
100
Pois bem! Se custava $600.000 o tal fogão, e foi paga uma entrada de $132.000, então
fica muito fácil concluir que só ficará restando pagar a diferença. Teremos:
 600.000 – 132.000 = 468.000,00.

Ou seja, imediatamente após o pagamento da entrada, naquele mesmo dia da compra,
na hora em que o comprador saiu da loja, saiu devendo apenas a diferença de $468.000.

Mas a questão diz que este pagamento adicional só será feito 32 dias após a compra!
Além disso, pasmem!, terá que ser pago um valor maior que $ 468.000. Quanto vai ser pago?
$ 542.880,00. E por que houve este acréscimo? Ora, ora: porque estamos diante de uma
operação de juros! O dinheiro ficou emprestado durante algum tempo. Transformou-se, com
isso, numa quantia maior!


Dito isso, os dados desta operação de juros são os seguintes:
 C= 468.000,00  M=542.880,00  n=32 dias  i=?

Percebam que conhecemos, ao mesmo tempo, o valor do capital e do montante. Daí, há
um terceiro elemento revelado nas entrelinhas: os Juros! Claro! Faremos:

 J=M-C  J=542.880 – 468.000  J=74.880,00
E a respeito do regime? Qual é o regime desta nossa operação? Ora, uma vez que o
enunciado não disse nada, se era simples ou se era composto, então adotaremos o regime
simples. Trata-se de uma convenção!

Enfim, o tempo da operação está na unidade diária. Deixando o tempo em “dias”,
descobriremos uma taxa também diária. Teremos:

C J 468.000 74.880 74.880 x100
 =  =  i=
100 100 100 32.i 468.000 x32

7.488
Cortando os zeros dessa divisão, teremos: i =
468 x32

Daí, você que é meio desconfiado, pensou: será que 7488 corta com 468? E foi
experimentar. E descobriu que corta, sim! Dá 16. (16x468=7488).

Assim, chegamos ao seguinte:

16  1 
 i= =   % ao dia
32  2 
Atentem para a unidade da taxa! Uma vez que trabalhamos com o tempo em dias,
evidentemente a taxa também estará na mesma unidade!
Só que o enunciado não quer taxa diária, e sim mensal.

E qual é o conceito que se utiliza sempre que se quer alterar a unidade de uma taxa no
regime simples? É o conceito de taxas proporcionais, e não há outro! Assim, faremos:

1
   % ao dia x 30 = 15% ao mês  Resposta!
2

03. (ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial
simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou
a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto,
considerando a mesma taxa de desconto mensal.
a) R$ 890,00 d) R$ 981,00
b) R$ 900,00 e) R$ 1.090,00
c) R$ 924,96

Sol.: Uma questão interessante, porém fácil. O que se tem que ter em mente, de início, é que
um título pode sofrer um desconto simples por dentro, ou simples por fora, ou composto por
dentro, ou composto por fora, qual seja, e isso não irá modificar o seu valor nominal.


E isso é lógico! O valor nominal de um título é exatamente aquele valor que está escrito
no papel, que consta em sua face. Daí também ser chamado de valor de face. Não interessa o
que será feito com esse título. Seja o que for, não irá se alterar a quantia que está escrita em
si.

Sabendo disso, vamos começar os trabalhos com a primeira operação de desconto, a
qual seria submetido aquele título. Os dados são os seguintes:

 N=10.900,00  Df=981,00  n=3 meses  i=?
Vejam que o elemento desconhecido é a taxa! É por ela que procuraremos.

Percebam ainda que se trata, esta primeira operação, de um desconto simples por fora,
conforme dito expressamente pelo enunciado. Assim, teremos:

N Df 10900 981 981
 =  =  i=  i=3% ao mês
100 i.n 100 3.i 3 x109
Agora vamos à segunda parte da resolução. O que nos propõe o enunciado? Que
procedamos a uma troca na modalidade do desconto simples: o que seria simples por fora
agora será simples por dentro! (Também poderia ser o contrário!).
Quando isso ocorrer, usaremos o desenho abaixo para matar a questão:

Df
Dd

100 100+i.n

Assim, olhando para o desenho acima, formaremos a seguinte equação, a qual expressa
a relação entre os dois tipos de desconto simples:

Dd Df
 =
100 100 + i.n

Uma vez que taxa e tempo já estão na mesma unidade, substituiremos os valores, e
teremos:

Dd Df Dd 981
 =  =  Dd=900,00  Resposta!
100 100 + i.n 100 100 + 3x3

4. (ESAF) Receber juros compostos de 525% ao ano é equivalente a receber juros semestrais
de:
a) 175,0% b) 206,25% c) 218,5%
d) 262,5% e) 150,0%

Sol.: O único dado fornecido por este enunciado foi uma taxa de juros compostos anual: 525%
a.a.! E o que nos pede a questão? Que a transformemos numa taxa semestral.


Ora, essa taxa é, obviamente, uma taxa efetiva. Pois bem! Qual é o conceito que se
utiliza quando se deseja alterar a unidade de uma taxa efetiva de juros composto? Resposta:
utiliza-se o conceito de taxas equivalentes!
As taxas equivalentes se traduzem pela seguinte fórmula:

 1 + I = (1 + i)K
Onde:

 I é a taxa de unidade maior;
 i é a taxa de unidade menor;

 K é o número de vezes que a unidade menor cabe na maior!
Por exemplo, se eu desejasse transformar uma taxa efetiva mensal numa taxa anual,
como seria? O raciocínio seria o seguinte: taxa ao mês para taxa ao ano. Mês para ano. Mês é
menor do que ano. Logo:

 i = taxa ao mês.
Ano é maior do que mês. Logo:

 I = taxa ao ano.
Quantos meses cabem em um ano? 12. Logo:

 K=12.
De resto, é só aplicar a fórmula e fazer as contas.

Outro exemplo: se eu quisesse transformar uma taxa efetiva semestral numa taxa
efetiva bimestral, como faria? Seguiria o seguinte raciocínio: semestre para bimestre. Qual é o
menor? Bimestre! Logo:
 i = taxa ao bimestre;

Quem é o maior? Semestre! Logo:
 I = taxa ao semestre.
 Quantos bimestres cabem em um semestre? 3. Logo:
 K=3.

E concluiríamos aplicando a fórmula e fazendo as contas!
Ok?

Voltemos ao nosso enunciado. Queremos transformar uma taxa efetiva anual numa
taxa efetiva semestral. Ano para semestre. Ano é maior que semestre. Assim: I= taxa ao ano.
Semestre é menor que ano. Assim: i=taxa ao semestre. Finalmente, cabem 2 semestres em
um ano. Daí, para aplicar a equação das taxas equivalentes, teremos:

 I=5,25
 i = ? (taxa semestral procurada!)

 K=2.
Aplicando a fórmula, teremos:

 1+I=(1+i)k  1+5,25=(1+i)2
Trocando de lado:

 (1+i)2=6,25
Normalmente, neste ponto da resolução, o próximo passo consiste em se fazer uma
rápida consulta à tabela financeira do parêntese famoso (1+i)n, para, assim, descobrirmos
quem é essa taxa “i” que estamos procurando!

Porém, no caso desta questão, a consulta à tabela não nos seria útil, uma vez que este
valor “6,25” não aparece no miolo da tabela, na linha de n=2. Vejam:

TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n
i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%
n
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,120000 1,150000 1,180000
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,254400 1,322500 1,392400
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,404928 1,520875 1,643032
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966 12,375453 19,673251

Como não dá pra concluir nada mediante a consulta à tabela, o jeito mesmo é fazer as
contas. Dando seqüência à resolução, faremos:

 (1+i)2=6,25  (1+i)= 6,25

Ora, a raiz de 6,25 ninguém tem obrigação de saber. Mas a de 625, sim! E quanto é? É
25. Vejam que 252=625.

Logo, se a raiz de 625 é 25, então a raiz de 6,25 é 2,5. Só isso!
Continuando, teremos:

 (1+i)=2,5
 i = 2,5 – 1  i=1,5 (em termos unitários!)  i=150% a.s. (em termos percentuais!)

Daí:
 i = 150% a.s.  Resposta!

Nesta mesma linha de raciocínio, temos obrigação de conhecer os quadrados perfeitos,
do 11 até o 20. (E o 25 também, pelo menos!). São os seguintes:

 112 = 121  162 = 256
 122 = 144  172 = 289

 132 = 169  182 = 324
 142 = 196  192 = 361

 152 = 225  202 = 400

E: 252=625. Foi desta informação que precisamos para resolver a questão acima!
Tenham certeza de uma coisa: esses quadrados perfeitos não servem só para a
matemática financeira! Servem também para a prova de Estatística! No concurso do Fiscal da
Receita de 2003 (AFRF/2003), alguém só resolvia uma questão de estatística se soubesse
quanto é a raiz quadrada de 2,56.


Ora, se a pessoa lembrasse que 162=256, então saberia imediatamente que 2,56
=1,6. Está claro? Ótimo! Vamos adiante!

5. (ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de
60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de
juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das
taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:
a) 69 % e 60 %
b) 60 % e 60 %
c) 69 % e 79 %
d) 60 % e 69 %
e) 120 % e 60 %

Sol.: Uma questão facílima e muito interessante! Temos um atalho para matar essa questão
muito rapidamente! Vamos lá!

O que nos forneceu o enunciado? Duas taxas nominais. As seguintes:
 60% ao ano, com capitalização semestral; e

 30% ao semestre, com capitalização mensal.
Ora, já sabemos como reconhecer uma taxa nominal. Certo? Sabemos mesmo? Claro! É
aquela em que está presente a palavra capitalização e, além disso, a unidade da taxa é
diferente da unidade da capitalização. Vejamos as taxas acima:

 60% ao ano, com capitalização semestral
A palavra capitalização está presente. A taxa é de unidade anual, e a capitalização
semestral. Pronto! Está caracterizada uma taxa nominal.
 30% ao semestre, com capitalização mensal.

Taxa semestral e capitalização mensal. Novamente, uma taxa nominal.
Estas duas taxas, só a título de informação, poderiam ser chamadas pelo enunciado da
seguinte forma:
 60% ao ano, capitalizados semestralmente; e

 30% ao semestre, capitalizados mensalmente.
Dava na mesma! Ok?

Pois bem! O que fazer diante de uma taxa nominal? Teremos, sempre, que transformá-
la em taxa efetiva. E faremos isso, usando o conceito de taxas proporcionais, e lembrando que
a unidade da taxa efetiva será a mesma unidade da capitalização!
Assim:

 60% ao ano, com capitalização semestral = (60/2) = 30% ao semestre; e
 30% ao semestre, com capitalização mensal = (30/6) = 5% ao mês.

Vejam que aplicamos acima o conceito de taxas proporcionais. A taxa 60% foi dividida
por 2 porque existem 2 semestres em um ano. E a taxa de 30% ao semestre foi dividida por 6
porque existem 6 meses em um semestre! Tudo certo?
Agora é que vem o pulo do gato!


Estamos diante, neste momento, de duas taxas efetivas de juros compostos: 30%a.s. e
5%a.m.! E o objetivo da questão é que as transformemos em taxas efetivas anuais!

Já vimos que esta transformação se fará, a rigor, mediante o conceito de taxas
equivalentes! (Vimos isso na questão passada!). Teríamos, pois, que aplicar duas vezes o
conceito: 1+I=(1+i)k. E por que eu digo teríamos? Porque de fato não teremos que fazer isso!
Como não, professor? Come, sim! E rapidinho!

Vejamos: se aquelas duas taxas fossem de juros simples, usaríamos o conceito de
taxas proporcionais para alterar suas unidades. E teríamos o seguinte:

 30% ao semestre = (30x2) = 60% ao ano.
 5% ao mês = (5x12) = 60% ao ano.

Reparem no seguinte: estamos transformando as taxas de unidades menores (taxa
semestral e mensal) para unidades maiores (taxa anual). Quando se faz isso, é possível extrair
esta conclusão:
 o resultado encontrado utilizando-se o conceito de taxas equivalentes (juros
compostos) será necessariamente maior que o resultado encontrado pelo uso das taxas
proporcionais (juros simples)!

Assim, sem perder mais um segundo sequer, uma certeza prévia nós já temos: se
fôssemos usar o conceito de taxas equivalentes nestas duas transformações, teríamos que
chegar, necessariamente, a duas taxas maiores que 60% ao ano.
Olhemos as opções de resposta! Que maravilha! Só existe uma alternativa que
contempla esta nossa conclusão! Qual? Letra C  Resposta!
Na prova, bastava isso! Mas já que não estamos na prova, e sim na chuva, o jeito é se
molhar mesmo! Vamos mostrar como seria a aplicação do conceito de taxas equivalentes.
Teremos:

 30% ao semestre = ? % ao ano.
Ano é maior que semestre. Logo: I=taxa ao ano. Semestre é menor que ano. Logo:
i=30%a.s. Cabem 2 semestres no ano. Logo: K=2.

 1+I=(1+i)k  1+I=(1+0,30)2
Daí:

 1+I=1,69  I=1,69-1  I=0,69 (notação unitária) = 69%a.a. (notação percentual)

Agora a segunda taxa:
 5% ao mês = ? ao ano.

Mês é menor que ano. Logo: i=5% a.m. Ano é maior que mês. Logo: I=taxa ao ano.
Cabem 12 meses em um ano. Logo: K=12. Aplicando a fórmula, teremos:

 1+I=(1+i)k  1+I=(1+0,05)12
Daí, consultando o valor do parêntese na tabela financeira, teremos:



i 1% 2% 3% 4% 5% 6% ... 18%
n
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 ... 1,180000
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 ... 1,392400
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 ... 1,643032
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 ... 1,938777
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 ... 2,287758
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 ... 2,699554
7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 ... 3,185474
8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 ... 3,758859
9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 ... 4,435454
10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 ... 5,233835
11 1,115668 1,243374 1,384233 1,539454 1,710339 1,898298 ... 6,175926
12 1,126825 1,268242 1,425760 1,601032 1,795856 2,012196 ... 7,287592

Dando seqüência aos cálculos:   1+I=1,795856  I=0,7958  I≈79% a.a.

06. (ESAF) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto,
caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de
resgate) é de R$200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é
igual a:
a) R$ 230.000,00 d) R$ 320.000,00
b) R$ 250.000,00 e) R$ 310.000,00
c) R$ 330.000,00

Sol.: Esta questão caiu no último Fiscal da Receita. A famigerada prova de 2005. E foi, sem
dúvida, a mais fácil delas! Para acertá-la, o candidato só precisava conhecer a equação
curinga do Desconto!

Eu a chamo deste jeito porque ela é sempre verdadeira e sempre aplicável, para toda e
qualquer operação de desconto, seja no regime simples, seja no regime composto, seja na
modalidade de desconto por dentro, seja na modalidade de desconto por fora!
Em qualquer caso, é sempre verdade que: D=N-A.

Ou seja: Desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
Daí, também se deduz que A=N-D. Ok?

Vamos lá! Qual foi a informação do enunciado? Foi que: N=5D.
Substituindo N por 5D, e aplicando A=N-D, teremos:

 A=5D-D  A=4D
Daí, também concluímos que: D=A/4.

E o valor atual da dívida é um dado fornecido pela questão: A=200.000.
Assim:


 D=A/4  D=200.000/4  D=50.000
Finalmente, conhecedores do valor atual (A) e do valor do desconto (D), saberemos
também o valor nominal da dívida (N). Faremos:
 D=N-A  N=D+A  N=50.000+200.000  N=250.000  Resposta!

E não fazia diferença nenhuma se o regime ou a modalidade do desconto nesta
resolução! Adiante!

7. (ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos
e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era
de:
a) $ 16.590 d) $ 16.705
b) $ 16.602 e) $ 16.730
c) $ 16.698

Sol.: Eis aqui uma questão extremamente usual em provas de matemática financeira! Trata da
convenção linear! Para quem está meio esquecido, a convenção linear nada mais é que um
método alternativo para trabalharmos operações de juros compostos!
Na verdade, só é preciso conhecer a fórmula dos juros compostos pelo método da
convenção linear! É a seguinte:
 M = C.(1+i)INT.(1+i.q)

Onde:
 M é o montante (valor resultante ao final da operação);

 C é o capital (valor aplicado no início da operação);
 INT é a parte inteira do tempo; e

 q é a parte quebrada do tempo!
Então vocês vêem que o tempo estará apresentado com duas partes: uma inteira e
uma quebrada. Por exemplo: 6 meses e 10 dias; 2 anos e 4 meses; etc.
A única exigência da fórmula é que as duas partes do tempo (a inteira e a quebrada)
estejam na mesma unidade da taxa! Só isso!
Neste enunciado, a taxa é anual (15% a.a.) e o tempo foi fornecido assim: 3 anos e 8
meses. Cumprindo a exigência da fórmula, vemos que a parte inteira do tempo já está na
mesma unidade da taxa. O que nos falta fazer é transformar 8 meses em uma fração de ano.

E isso é fácil. Basta dividir por 12. Teremos, então, que:

8
 3 anos e 8 meses = 3 anos e anos.
12
8 2
Ainda dá para simplificar um pouco mais, e dizer que: =
12 3
Assim, finalmente, o tempo, nesta operação de juros compostos, será definido como:

 parte inteira: 3 anos;  parte quebrada: (2/3) de ano.
Aplicando a fórmula da convenção linear, teremos:

2
 M = 10000.(1+0,15)3.(1+0,15x )
3

O primeiro parêntese é o famoso, cujo valor se encontra na tabela financeira! Teremos:

i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15%
n
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,120000 1,150000
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,254400 1,322500
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,404928 1,520875

Assim:
 M = 10000 x (1,520875) x(1,10)  M=16.729,63 ≈ 16.730  Resposta!

8. (ESAF) Um consumidor compra um bem de consumo durável no valor de R$ 15.000,00
financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$ 1.184,90, vencendo a primeira
prestação ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação o
consumidor acerta com o financiador o refinanciamento do saldo devedor em doze
prestações mensais à mesma taxa de juros, vencendo a primeira prestação ao fim do
primeiro mês seguinte. Calcule o valor mais próximo da nova prestação mensal.
a) R$ 504,00 d) R$ 662,00
b) R$ 561,00 e) R$ 796,00
c) R$ 625,00

Sol.: Uma questão típica! Muitas semelhantes a esta já foram cobradas em prova! Qual é a
situação? É aquela em que existe um financiamento (esta palavra é, para a Esaf, sinal
indicativo de regime composto, não esqueça disso!), em tantas prestações. E antes que elas
sejam todas pagas, haverá alguma mudança nas regras do jogo! Essa mudança pode dizer
respeito à taxa da operação ou pode dizer respeito ao número de parcelas restantes. Ou,
finalmente, a ambas: taxa e número de parcelas restantes.
No caso deste enunciado, a taxa se manterá. O que vai mudar é apenas o número de
parcelas vincendas.
Em qualquer caso, teremos que descobrir, como primeira providência, qual é o saldo
devedor existente na data em que as novas regras serão implementadas!
E por que isso? Justamente porque estas novas regras só irão valer para as parcelas
vincendas. Ou seja, o que já foi pago, por assim dizer, já morreu! Concordam?
Pois bem! Ocorre, todavia, que pela leitura da questão, a taxa desta operação ainda
não é nossa conhecida. Usaremos os dados do contrato original para descobri-la. Ok?
Teremos:

 T=15.000,00 (valor que será financiado)
 P=1.184,90 (valor das parcelas)

 n=18 (número de parcelas)
Assim, usando uma operação de amortização, teremos:


 T = P. An,i
 An,i = (T/P)  A18,i = (15.000/1.184,90)

Daí:
 A18,i = 12,659296

Neste momento, faremos uma rápida consulta à tabela financeira do fator de
amortização, e nela encontramos que a taxa procurada é 4% ao mês. Confiram a consulta:

TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS
(1 + i) n − 1
a n ¬i =
i.(1 + i) n
i
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% ... 18%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 ... 0,847457
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 ... 1,565642
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 ... 2,174273
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 ... 5,273164

Pois bem! E agora? Agora, que a taxa já é conhecida, vamos descobrir quanto era o
valor do saldo devedor, ou seja, o quanto restava pagar, ainda se considerando a situação
original. No desenho abaixo, riscaremos com um traço vermelho as parcelas que já foram
pagas. Vejamos:

Assim, na data do pagamento da décima segunda parcela, quanto seria o valor ainda
devido para pagamento? Ou seja, qual era o saldo devedor naquela data? Teremos:

SD

1.184,90 1.184,90
Os dados desta operação são os seguintes:

 T=SD (saldo devedor)
 P=1.184,90


 i = 4%a.m.
Nova operação de amortização, e teremos:

 T=P.An,i  T = 1.184,90 . A6,4%
Consultando a tabela financeira, encontramos que o fator A6,4% será:

(1 + i) n − 1
a n ¬i =
i.(1 + i) n
i
n 1% 2% 3% 4%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137

Daí, encontramos que:
 T=1.184,90 x 5,242137  T=6.211,41

Este é o saldo devedor! É sobre este valor que vigorarão as novas regras do
financiamento! E quais são elas? Na verdade, é uma só: o aumento das parcelas restantes, de
apenas 6 para 12.
O novo desenho da questão agora é o seguinte:

6.211,41

P P P PP P PP P P PP

Faremos – finalmente – a última operação de amortização deste problema!

E os dados são os seguintes:
 T=6.211,41

 n=12
 i = 4% a.m.

 P=?

 T=P.An,i  P=T/An,i  P=6.211,41/A12,4%
A última consulta à tabela financeira que faremos é a seguinte:


(1 + i) n − 1
a n ¬i =
i.(1 + i) n
i
n 1% 2% 3% 4%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137
7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896
11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477
12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074

E assim:
 P=6.211,41/9,385074  P=661,84 ≈ 662,00  Reposta!

Uma longa questão para valer só um ponto... mas, fazer o quê? Na hora da prova,
temos que ter rapidez de raciocínio, para gastar só o tempo estritamente necessário numa
resolução como essa!

Toda a atenção do mundo se faz necessária na hora de consultar a tabela financeira
(são 3 consultas, ao todo!), e na hora de fazer as contas. Sigamos adiante!

9. (ESAF) Um financiamento no valor de R$ 3.000,00 foi contraído no início de um
determinado mês, para ser pago em dezoito prestações iguais e mensais de R$ 200,00,
com a primeira prestação vencendo no fim daquele mês, a segunda no fim do mês seguinte
e assim por diante. Imediatamente após o pagamento da oitava prestação, determine o
valor mais próximo da dívida restante do tomador do financiamento, considerando a
mesma taxa de juros do financiamento e desprezando os centavos.
a) R$ 2.000,00 d) R$ 1.522,00
b) R$ 1.796,00 e) R$ 1.400,00
c) R$ 1.700,00

Sol.: Uma questão um pouco parecida com a anterior. Com os dados do financiamento
(regime composto!) original, descobriremos qual é a taxa desta operação. Teremos:
 T=3.000,00

 n=18
 P=200,

 i=?


Aplicando a fórmula da amortização, teremos:
 T = P . An,i  An,i = T / P  A18,i = (3000/200)  A18,i=15

Neste momento, consultamos a tabela financeira do fator de amortização, para
descobrir que i=2% a.m.! Vejamos:

(1 + i) n − 1
a n ¬i =
i.(1 + i) n
i
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% ... 18%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 ... 0,847457
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 ... 1,565642
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 ... 2,174273
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 ... 5,273164

O resto desta questão é mais simples: não vem nos falar em mudanças nas regras
originais do financiamento. Quer saber apenas o saldo devedor, imediatamente após o
pagamento da oitava prestação. Teremos:
 T=SD=?

 P=200,00
 n=10

 i=2% a.m.
Com mais essa aplicação de amortização, mataremos o problema. Teremos:

 T = P . An,i  T = 200 . A10,2%
Na tabela financeira, encontramos que A10,2% é igual a 8,982585. Confira:

(1 + i) n − 1
a n ¬i =
i.(1 + i) n
i
n 1% 2%
1 0,990099 0,980392
2 1,970395 1,941561
3 2,940985 2,883883
4 3,091965 3,807728
5 4,853431 4,713459
6 5,795476 5,601431
7 6,728194 6,471991
8 7,651678 7,325481
9 8,566017 8,162237
10 9,471304 8,982585
Daí, o saldo devedor procurado será:

 T = 200 . 8,982585  T=1.796,00  Resposta!


10.(ESAF) Um bônus é colocado no mercado internacional com as seguintes características:
US$ 1,000.00 de valor de face, dez cupons semestrais de US$ 80.00 vencendo o primeiro
ao fim de seis meses após a colocação do bônus e resgate ao fim de cinco anos pelo valor
de face mais o pagamento do último bônus. Indique o valor mais próximo do retorno
esperado para o comprador considerando que ele pagou US$ 935.82 por cada bônus.
a) 6% ao semestre d) 9% ao semestre
b) 7% ao semestre e) 10% ao semestre
c) 8% ao semestre

Sol.: Muitas (e longas!) aulas já escrevi sobre o assunto desta questão! Qualquer dia colocarei
uma delas aqui no Site, para quem ainda não leu sobre este tema. Eu chamo esse tipo de
enunciado de país, bônus e cupons! Obviamente que não é um nome técnico. É só mesmo
para reconhecimento! Ok?

Vou tentar sintetizar a teoria neste momento. Não escreverei uma nova aula aqui! Mas
vou fazer com que entendam o espírito da coisa. Certo?

Trata-se de uma situação de empréstimo!
O país vai pegar um dinheiro emprestado hoje, e vai devolvê-lo, no futuro, por meio de
várias parcelas. Vejamos o desenho:

935,82 1000,00

80, 80, 80, 80, 80, 80,

Em vermelho, o valor que o país pegou emprestado, e em azul todas as parcelas de
devolução!
Operações de empréstimo se resolvem mediante equivalência de capitais! E
equivalência composta, no entendimento da Esaf (a não ser que seja expresso de forma
contrária pelo próprio enunciado!). Assim, podemos escolher a data focal que nos aprouver, já
que é livre esta escolha na equivalência composta.
Que tal usarmos a data zero? Pode ser? Claro que sim!

Partimos direto para a equação de equivalência. Teremos:
 Σ(parcela do empréstimo)DF = Σ(parcelas de devolução)DF

Traduzindo: a soma da parcela do empréstimo, após projetada para a data focal, é igual
à soma das parcelas de devolução, também depois de projetadas para a data focal.

Ora, a primeira parte da equação será o próprio valor do empréstimo, que já está
localizado na data focal. Concordam?

E as parcelas de US$ 80,00? Como serão levadas para a data zero? Uma por uma, ou
todas de uma vez só? Ora, todas de uma vez só, obviamente! Mediante uma operação de
amortização. Teremos:
 Parcelas de US$ 80,00: T=80.A10,i

Mas não sabemos quanto é a taxa! Não tem problema! Fica desse jeito mesmo!
E quanto àquela parcela de US$1000 que está lá no final do desenho? Como fazer para
projetá-la para a data zero? Ora, aqui podemos usar um truque de concurseiro esperto!
Faremos da seguinte forma:

 Parcela de US$ 1000: 1000.{A10,i – A9,i}
Será que todo mundo conhece esse truque? Trata-se de uma maneira alternativa de se
projetar uma parcela qualquer, no regime composto, para uma data anterior.
Novamente, o elemento desconhecido é a taxa!

Finalmente, a equação de equivalência será a seguinte:
 Σ(parcela do empréstimo)DF = Σ(parcelas de devolução)DF

 935,82 = 80.A10,i + 1000.{A10,i – A9,i}
Ora, só há uma taxa capaz de confirmar esta igualdade! E ela está entre as alternativas
de resposta! O que faremos? Tentativas! Mas, assim, no escuro? Não! Aí é que entra a
necessidade daquela aula completa...! Com um pouquinho mais de conhecimento, você
saberá, de antemão, que a taxa desta operação terá que ser, necessariamente, maior que
8%. Façamos assim, eu me comprometo com vocês a colocar no ar esta aula completa. Ok?

Sabendo disso, que a taxa tem que ser maior que 8%, ficam apenas duas opções no
páreo: 9% e 10%. E quantas tentativas faremos? Apenas uma! Claro! Vamos testar 9%. Se
não der certo, é porque a resposta é 10%. Só isso! Ok?
 Teste da taxa i=9%:

 935,82 ??=?? 80.A10, 9% + 1000.{A10, 9% – A9, 9%}
Fazendo as devidas consultas à tabela financeira da amortização, teremos:

 A10,9%=6,417657 e A9,9%=5,995247
Assim:

 935,82 ??=?? 80.(6,417657) + 1000.{ 6,417657– 5,995247}
 935,82 ??=?? 513,41 + 422,41

 935,82 = 935,82
A taxa de 9%, portanto, confirmou a igualdade!

Assim: 9% ao semestre  Resposta!

É isso, meus amigos! Concluímos as resoluções do nosso primeiro simulado de
matemática financeira! Espero que tenham todos se saído muito bem! E que tenham ao menos
feito uma revisão da matéria!
Um forte abraço a todos! Até o próximo simulado! E fiquem com Deus!

Sérgio


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