Notas de aula 2 cinematica mecanismos

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Notas de aula 2 cinematica mecanismos

  1. 1. Prof. MSc. Adry Lima Universidade Federal do Pará Departamento de Engenharia Mecânica Grupo de Vibrações e Acústica Notas de Aula 2 Disciplina:Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos Carga Horária: 90 horas
  2. 2. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos OBJETIVOS:  Estudar o movimento de corpos rígidos e mecanismos no plano (translação e rotação).  Estudar o movimento relativo (velocidade e aceleração relativa, centro instantâneo de velocidade nula)  Estudar o movimento relativo de sistemas articulados (referenciais em rotação).
  3. 3. TRANSLAÇÃO: Ocorre quando todo segmento de reta no corpo mantém-se paralelo à sua direção inicial, durante o movimento. TRANSLAÇÃO RETILÍNEA: Quando as trajetórias de quaisquer dois pontos do corpo ocorrem ao longo de retas eqüidistantes. TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA: Quando as trajetórias se dão ao longo de linhas curvas que são eqüidistantes. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO (Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
  4. 4. ROTAÇÃO: Ocorre Quando um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo. Assim, todos os seus pontos, exceto os situados no eixo de rotação, movem- se ao longo de trajetórias circulares. MOVIMENTO PLANO GERAL: Ocorre quando o corpo executa uma combinação de uma translação e de uma rotação. A translação ocorre num dado plano de referência e a rotação ocorre em torno de um eixo perpendicular a esse plano de referência. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO (Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
  5. 5. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO (Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc) Translação Curvilínea Movimento Plano Geral Translação Retilínea Rotação em Torno de um Eixo
  6. 6. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
  7. 7. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos TRANSLAÇÃO ABAB /rrr += ABAB /rrr  += AB vv = a) Deslocamento b) Velocidade AB aa = c) Aceleração OBSERVAÇÃO: todos os pontos de um corpo rígido em movimento de translação têm a mesma velocidade e a mesma aceleração.
  8. 8. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Os ocupantes deste brinquedo estão submetidos a uma translação curvilínea, pois o veículo se move numa trajetória circular, mantendo sempre sua posição na horizontal. Todos os ocupantes estão com a mesma velocidade e sentem a mesma aceleração.
  9. 9. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO Posição Angular de r É definida pelo ângulo θ, medido de uma linha de referência fixa até r. Deslocamento Angular É a mudança de posição angular, que pode ser medida como um vetor de infinitesimal dθ. Velocidade Angular (ω) É a taxa de variação da posição angular. (rad/s)θ θ ω == dt d
  10. 10. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Aceleração Angular (α) Mede a taxa temporal de variação da velocidade angular. dt dω =α
  11. 11. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos dt dθ ω = dt dω =α ωω=θα dd
  12. 12. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE tdtddtd dt d c t occc α+ω=ω⇒α=ω⇒α=ω⇒ ω =α ∫∫ ω ω 0 0 Velocidade angular em função do tempo: Posição angular em função do tempo: 22 )( 2 00 2 00 000 0 t t t t tdtdtddttdt dt d cc t oc t occ α+ω+θ=θ⇒α+ω=θ−θ α+ω=θ⇒α+ω=θ⇒α+ω= θ =ω ∫∫∫ θ θ Velocidade angular em função da posição angular: )(2 )()( 2 1 0 2 0 2 0 2 0 2 00 θ−θα+ω=ω θ−θα=ω−ω⇒θα=ωω⇒θα=ωω ∫∫ θ θ ω ω c ccc dddd
  13. 13. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Velocidade do Ponto P A velocidade de P tem módulo que pode ser obtido a partir de suas coordenadas polares θ== θ  rvrvr Como r é constante, a componente radial vr =0 e, portanto θ== θ rvv Pelo fato de que , entãoθ=ω  rv ω= Como mostram as figuras, a direção de v é tangente à trajetória circular.
  14. 14. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Da definição de produto vetorial, vemos que o vetor v também pode ser obtido pelo produto vetorial de ω por r rωrv ×==  O sentido de v é estabelecido pela regra da mão direita A ordem dos vetores no produto deve ser mantida. A ordem trocada fornece r×ω=-v
  15. 15. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Aceleração do Ponto P A aceleração de P pode ser expressa em termos de suas componentes normal e tangencial ra dt rd dt dv a tt α=∴ ω == )( O vetor at representa a taxa de variação temporal da velocidade escalar. Se a velocidade escalar de P está aumentando então at tem sentido de v. Se a velocidade está diminuindo at tem sentido oposto de v. Se a velocidade é constante at é zero. O vetor an representa a taxa de variação temporal da direção da velocidade. Este vetor é sempre voltado para o centro O. ra r rv a nn 2 22 )( ω=∴ ω = ρ =
  16. 16. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Usando formulação vetorial, a aceleração de P também pode ser definida diferenciando o vetor velocidade: Pode ser mostrado que a equação acima reduz-se a: r-rαaaa 2 ωnt ×=+= O módulo de a é dado por: 22 nt aaa += rrωωa rαa 2 )( ω−=××= ×= n t ( )       ×+      ×=×== dt d dt d dt d dt d r ωr ω rω v a vωrαa ×+×= ( )rωωrαa ××+×=
  17. 17. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Movimento Angular: - Estabeleça um sentido positivo ao longo do eixo de rotação - Conhecendo uma relação entre duas das quatro variáveis α, ω, θ e t, uma terceira variável pode ser determinada usando-se uma das seguintes equações cinemáticas que relacionam todas as variáveis: dt dθ =ω dt dω =α ωω=θα dd - Se a aceleração do corpo for constante, então as seguintes equações podem ser usadas: tcα+ω=ω 0 2 2 00 t t cα+ω+θ=θ )(2 0 2 0 2 θ−θα+ω=ω c
  18. 18. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Movimento de P: - Em muitos casos, a velocidade de P e os dois componentes da sua aceleração podem ser determinados pelas equações escalares: rv ω= rat α= ran 2 ω= - Se a geometria do problema for de difícil visualização, as seguintes equações vetoriais poderão ser usadas: rωv ×= rαa ×=t rrωωa 2 )( ω−=××=n O vetor r está contido no plano de movimento de P. Qualquer um desses vetores, bem como ω e α, devem ser expressos em termos de seus componentes i, j, k.
  19. 19. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Características do Movimento em alguns Elementos de Máquinas 2211 rrvP ω=ω= A velocidade escalar é dada por: A aceleração tangencial do ponto P no contato entre as engrenagens também é a mesma para as duas engrenagens: 2211 rrat α=α= Características do movimento de um ponto P localizado no contato entre as engrenagens
  20. 20. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos Polias e Correias Um comprimento s da correia deve se desenrolar tanto para a polia maior quanto para a polia menor num mesmo intervalo de tempo (desde que a correia não escorregue). Logo: 2211 2211 rrv rrs ω=ω= θ=θ= 2211 rrat α=α= A velocidade do ponto P na correia é a mesma para cada ponto na correia. A aceleração tangencial do ponto P na correia é a mesma para cada ponto na correia.
  21. 21. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos EXERCÍCIO Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente em repouso, como indica a figura. Aplica-se uma força ao cabo, que então adquire uma aceleração a=(4t)m/s2 , onde t é dado em segundos. Determine como funções do tempo: (a)a velocidade angular do disco e (b)a posição angular do segmento OP, em radianos.
  22. 22. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos SOLUÇÃO 1)Dados do Problema: 2) Pede-se: mrtae PPt 2,0;4;00 00 =∗=== ωθ ?? == PP e θω 2 /20 2,0 *4 * srd t r a ra P P P PPPP t t =∴==∴= ααα ∫ ∫∫ =∴==∴=∴= t t P t PPP P P srdtttdtdtd dt d 0 0 2 0 2 0 /10 2 20 20 ωωαω ω α ω ∫ ∫∫ =∴==∴=∴= t t P t PPP P P rdtttdtdtd dt d 0 0 3 0 3 0 33,3 3 10 10 θθωθ θ ω θ
  23. 23. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos EXERCÍCIO Usa-se o motor para girar uma roda com suas pás no interior do equipamento mostrado na foto. Os detalhes estão na figura abaixo à direita. Se a polia A conectada ao motor inicia seu movimento a partir do repouso, com uma aceleração angular αA=2 rad/s2 , determine os módulos da velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução. Suponha que a correia de transmissão não escorregue na polia e nem na
  24. 24. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos SOLUÇÃO Dados do Problema: Pede-se: 00;4,015,0 1;/2;00 00 00 2 ==== ==== BBBA AAAA emrmr revsrde C θω θαωθ ?? == PP aev rdA 28,62*1 == πθ rd r r rr B B A ABBBAA 36,2 4,0 15,0 .28,6. =∴==∴= θθθθθ Como não há deslizamento da correia: 2 /885,0 4,0 15,0 .36,2. srd r r rr CCCCC B B A ABBBAA =∴==∴= ααααα
  25. 25. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos ( )00 222 BBBBB C θθαωω −+= smvvrv PPBBP /82,04,0*044,2 ≅∴=∴= ω A velocidade do ponto P é: 222 /67,14,0*044,2 smara nn PBBP =∴== ω Sendo a aceleração angular constante, tem-se: srdBBBB C /044,236,2*885,0*22 ≅∴== ωθαω A aceleração do ponto P é obtida das duas componentes de aceleração: 2 /354,04,0*885,0 smara tCt PBBP =∴== α 22222 /71,167,1354,0 smaaaa PPPP nt ≅∴+=+=
  26. 26. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos EXERCÍCIO O mecanismo para movimentação do vidro da janela de um carro é mostrado na figura ao lado. Quando a manivela é acionada gera-se o movimento da engrenagem C, que gira a engrenagem S, fazendo com que a barra AB nela conectada eleve o vidro D. Se a manivela gira a 0,5 rd/s, determine a velocidade dos pontos A e E, nas suas trajetórias circulares e a velocidade Vw da janela quando igual a 30 graus.ϴ
  27. 27. Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos SOLUÇÃO Dados do Problema: Pede-se: mmBA mmrmmrsrd SCC 200 ;50;20;/5,0 2 = ===ω ?? === wEA vevv tt srd r r rr S S C CSSSCC /2,0 50 20 .5,0. =∴==∴= ωωωωω Como a velocidade tangencial nas engrenagens é a mesma: smvvvv AASEA /04,02,0*2,0 =∴=∴== BA*ω Como os pontos A e E têm movimento de translação circular, suas velocidades são: smvvv WAW /035,0)04,0)cos(* ≅∴== o cos(30*θ

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