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2ª Lei de Kepler - Lei das ÁreasO segmento que une o sol a um planeta descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais....
O quociente dos quadrados dos períodos e o cubo de suas distâncias médias do sol é igual a umaconstante k, igual a todos o...
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Johannes kepler

  1. 1. Johannes Kepler(1571 – 1630)Johannes Kepler nasceu em 27 de Dezembro de 1571 no Sul da Alemanha, no seio de uma família protestante.Com o auxílio de uma bolsa de estudo, ingressou em 1589 na Universidade de Tübingen, e aí aprendeu grego,hebreu, astronomia, física e matemática. Com tenra idade tornou-se professor de matemática num colégioprotestante na Áustria e em 1596 publicou o seu primeiro trabalho, “Mysterium Cosmographicum”.Entre 1617 e 1621 publicou sete volumes do “Epitome Astronomiae Copernicanae”, obra que se tornou aintrodução mais importante à astronomia heliocêntrica, contrariava a concepção aristotélica do universo, naaltura defendida pela Igreja Católica. Foi ainda autor de diversos artigos científicos sobre óptica, astronomia ematemática. É de destacar a convivência que teve com o prestigiado astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, aquem viria a suceder, por ocasião da sua morte, em Outubro de 1601, como matemático da corte. Com estasucessão, Kepler teve acesso a dados de Tycho Brahe que lhe permitiram, ao fim de várias tentativas,determinar as leis dos movimentos dos planetas e conquistar um lugar de destaque no desenvolvimento daastronomia.Os muitos cálculos que Kepler teve de efetuar foram facilitados pelo aparecimento dos logaritmos de Neper,tendo sido Kepler o primeiro a publicar uma explicação rigorosa dos mesmos. Assim, eram muito rigorosas astabelas astronômicas que veio a publicar, as “Tabulae Rudolphinae”. Ao estudar o problema da determinação dovolume de uma pipa de vinho, Kepler, utilizando métodos com raízes em Arquimedes, veio a colaborar nosprimórdios do cálculo infinitesimal.Durante a sua vida, Kepler foi diversas vezes perseguido pela Contra-Reforma Católica. Em 1626 a sua casa foiincendiada, fato que o levou a deixar a Áustria e a refugiar-se na Alemanha, onde imprimiu as “TabulaeRudolphinae”, publicadas em 1627. Faleceu em Regensburg, Alemanha no dia 15 de Novembro de 1630 com 58anos de idade. Tinha à sua frente um futuro promissor como astrônomo.Leis de KeplerQuando o ser humano iniciou a agricultura, ele necessitou de uma referência para identificar as épocas deplantio e colheita.Ao observar o céu, os nossos ancestrais perceberam que alguns astros descrevem um movimento regular, oque propiciou a eles obter uma noção de tempo e de épocas do ano.Primeiramente, foi concluído que o Sol e os demais planetas observados giravam em torno da Terra. Mas estemodelo, chamado de Modelo Geocêntrico, apresentava diversas falhas, que incentivaram o estudo destesistema por milhares de anos.Por volta do século XVI, Nicolau Copérnico (1473-1543) apresentou um modelo Heliocêntrico, em que o Solestava no centro do universo, e os planetas descreviam órbitas circulares ao seu redor.No século XVII, Johanes Kepler (1571-1630) enunciou as leis que regem o movimento planetário, utilizandoanotações do astrônomo Tycho Brahe (1546-1601).Kepler formulou três leis que ficaram conhecidas como Leis de Kepler.1ª Lei de Kepler - Lei das ÓrbitasOs planetas descrevem órbitas elipticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse.
  2. 2. 2ª Lei de Kepler - Lei das ÁreasO segmento que une o sol a um planeta descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais.3ª Lei de Kepler - Lei dos Períodos
  3. 3. O quociente dos quadrados dos períodos e o cubo de suas distâncias médias do sol é igual a umaconstante k, igual a todos os planetas.Tendo em vista que o movimento de translação de um planeta é equivalente ao tempo que este demorapara percorrer uma volta em torno do Sol, é fácil concluirmos que, quanto mais longe o planeta estiver doSol, mais longo será seu período de translação e, em consequência disso, maior será o "seu ano".Exemplos de Exercícios sobre as Leis de Kepler1 - Cite as leis de Kepler do movimento dos corpos celestes.I – Os planetas descrevem órbitas elípticas e o Sol ocupa um dos focos.II – A linha imaginária que liga o centro do Sol ao centro de um planeta percorre em tempos iguais áreasiguais.III – O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol.2 - Por que o período de translação do planeta Mercúrio em torno do Sol é menor que o da Terra ?Porque sua distância média ao Sol é menor do que a da Terra, pela terceira lei de Kepler quanto maior adistância média ao Sol maior o período de translação.3 - Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período 3.104s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos. T2 =k r3Sabemos da Terceira Lei de Kepler que: , onde T é o período de translação do planeta e r é adistância média do planeta ao Sol.Mas podemos generalizá-la para satélites que orbitam um planeta, desta forma podemos escrever: TF2 =K rF3 TF rF , onde é o período orbital de Fobos em torno de Marte e é a distância média entreMarte e Fobos. TD2 3 =K rD TD rDTambém podemos escrever: , onde é o período orbital de Deimos em torno de Marte e éa distância média entre Marte e Deimos. TF2 TD2 TF2 .rD 3 = TD = 2 rF3 rD3 rF3Igualando as duas equações podemos escrever: , portanto temos: , então: TD = (3.10 ) × (2,4.10 ) 4 2 4 3 ≈ 11,4.104 s = 1,14.105 s (10 ) 4 3 .
  4. 4. 4 - A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é A=6,98.1022 m2. Qual é a área varridapelo raio que liga a Terra ao Sol entre 0,0 h do dia 1º de abril até 24 h do dia 30 de abril do mesmoano.De acordo com a Segunda Lei de Kepler a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol é proporcional aointervalo de tempo para varrê-la. Logo se em um ano, que possui 12 meses, a área varrida é de 6,98.1022 m2 6,98.10 22 ≈ 5,82.10 21 m 2 12, em um mês será: .5 - (Direito. C.L.-97) Tendo em vista as Leis de Kepler sobre os movimento dos planetas, pode-seafirmar que: a. a velocidade de um planeta, em sua órbita, aumenta à medida que ele se afasta do sol; b. o período de revolução de um planeta é tanto maior quanto maior for sua distância do sol; c. o período de revolução de um planeta é tanto menor quanto maior for sua massa; d. o período de rotação de um planeta, em torno de seu eixo, é tanto maior quanto maior for seu o período de revolução; e. o sol se encontra situado exatamente no centro da órbita elíptica descrita por um dado planeta.Alternativa: b, pois segundo a Terceira Lei de Kepler constatá-se que quanto maior a distância média doplaneta ao Sol, maior também é o período de revolução.6 - O movimento de translação da Terra é: a. periódico; b. retilíneo uniforme; c. circular uniforme; d. retilíneo, mas não uniforme; e. circular não uniforme.Alternativa: a, pois segundo as Leis de Kepler os planetas descrevem órbitas elípticas com velocidadevariável.7 - Baseando-se nas leis de Kepler pode-se dizer que a velocidade de um planeta: a. independe de sua posição relativamente ao sol; b. aumenta quando está mais distante do sol; c. diminui quando está mais próximo do sol; d. aumenta quando está mais próximo do sol; e. diminui no periélio.Alternativa: d, pois a Segunda Lei de Kepler nos leva a concluir que no periélio a velocidade é máxima e noafélio é mínima.8 - No sistema planetário: a. cada planeta se move numa trajetória elíptica, tendo o sol como o centro; b. a linha que une o sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos iguais;
  5. 5. c. a razão do raio de órbita para seu período é uma constante universal; d. a linha que liga o Sol ao planeta descreve no mesmo tempo diferentes áreas.Alternativa: b, que descreve a Segunda Lei de Kepler.9 - Na figura que representa esquematicamente o movimento de um planeta em torno do sol, avelocidade do planeta é maior em: a. A b. B c. C d. D e. EAlternativa: a, pois se concluí de acordo com a Segunda Lei de Kepler que quanto mais próximo está oplaneta do Sol maior sua velocidade.

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