Gravitação+mhs

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Gravitação+mhs

  1. 1. FÍSICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  2. 2. © 2006-2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor] Disciplinas Autores Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Literatura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Matemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Física Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Química Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Biologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes História Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Geografia Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico 732 p. ISBN: 978-85-387-0576-5 1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  3. 3. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  4. 4. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  5. 5. Gravitação e movimento harmônico O estudo físico e histórico é o objetivo deste módulo; apresentam-se as antigas teorias sobre o universo e as leis que regem os movimentos dos astros celestes. Teorias históricas sobre o movimento dos astros Desde a Antiguidade, uma das grandes preo-cupações do homem era a construção de um modelo do universo em que vivia. O astrônomo grego Cláudio Ptolomeu, de Ale-xandria, construiu um modelo que perdurou quase 14 séculos: era um sistema geocêntrico, isto é, admitia a Terra como centro imóvel do universo, enquanto que os demais corpos celestes descreviam órbitas circu-lares no espaço. A diferença do sistema cosmológico de Aristóteles era a Terra como o centro de todas as trajetórias circulares dos corpos celestes; o sistema de Ptolomeu admitia para os planetas trajetórias circulares cujos centros não eram o nosso planeta. Copérnico (Mikolaj Kopernik, polonês), em 1543, publicou um livro que mudaria todo o pano-rama cultural do mundo. Admitindo a relatividade do movimento, propôs um sistema cosmológico no qual o centro dos movimentos planetários era o Sol, mas continuava a supor circulares as trajetórias dos corpos celestes. De acordo com Copérnico, os planetas do siste-ma solar descreviam trajetórias circulares das quais 010 o Sol ocupava o centro, ou então que descreviam FIS_trajetórias circulares em torno de pontos que por V_EM_1 sua vez descreviam circunferências das quais o Sol ocupava o centro. Tycho Brahe, diretor do Observatório de Praga, montou tabelas com observações minuciosas dos movimentos planetários, que foram usadas por Kepler para produzir mais um avanço nesse estudo. Leis de Kepler a) 1.ª Lei de Kepler: lei das órbitas Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um dos seus focos. planeta Sol b) 2.ª Lei de Kepler: lei das áreas Um raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais, entendendo-se raio vetor como um vetor cuja origem é o centro do Sol e a extremidade é um planeta qualquer. Sol A1 A2  t1  t2 Se Dt1 = Dt2, obrigatoriamente A1 = A2 A consequência mais importante dessa lei é determinar em que ponto da órbita a velocidade do planeta é maior ou menor. Realmente, se supusermos quatro posições, 1, 2, 3 e 4 para um planeta, para a mesma velocidade areolar, o Dt1 2 será igual ao Dt3 4, Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  6. 6. 2 EM_V_FIS_010 ou seja, como a distância entre 1 e 2 é menor do que a distância entre 3 e 4, significa que, se são gastos intervalos de tempo iguais, a velocidade média entre 3 e 4 é maior do que entre 1 e 2. 2 Sol 1 3 4 V V’ c) 3.ª Lei de Kepler: lei dos períodos Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas em torno do Sol são diretamente propor-cionais aos cubos dos raios médios das órbitas. Entende-se raio médio da órbita o semieixo maior da elipse. planeta Sol R T R 2 1 3 = 1 T R 2 2 3 = ... = 2 T R 2 n 3 = constante n Na resolução de exercícios, para facilidade dos cálculos, podemos considerar as órbitas aproximada-mente circulares, já que, para os planetas e satélites, as elipses são de pequena excentricidade. Lei de Newton para gravitação A Lei da Gavitação foi estabelecida por Newton a partir das Leis de Kepler. Newton descobriu que a força de interação entre dois corpos era proporcio-nal às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Podemos então escrever: entendendo-se que a distância d é a distância entre os centros de massa. Matematicamente, teremos: F = G onde G é a constante de gravitação universal, constante esta medida por Cavendish com cujo valor, 6,67 . 10–11 unidades SI, trabalharemos hoje. Aceleração da gravidade Se supusermos um corpo na superfície da Terra, poderemos dizer que a força gravitacional exercida pela Terra é a força peso e escrever P = F grav. ou m.g = GM m R T 2 em que m é a massa do corpo, MT é a massa da Terra, R é o raio da Terra e, eliminando a massa do corpo, g = GM R T 2 . Obviamente, se estivermos a uma altura h do solo, a nossa expressão será: gh = indicando que a gravidade diminui com a altitude. Como podemos notar pela expressão acima, só sentiremos variação sensível de g para grandes alti-tudes, já que o raio da Terra é de, aproximadamente, 6 370km. Também podemos notar que devido ao acha-tamento polar, nos polos o valor da aceleração da gravi-dade é ligeiramente maior, ou seja, g varia com altitude e latitude, além de outras variações anômalas. Cuidado! Mesmo que a Terra fosse perfeitamen-te esférica, o peso de um corpo seria maior nos polos que no equador, em função da rotação da Terra. É por isso que as bases lançadoras de foguetes espaciais ficam localizadas perto do equador. Energia potencial de órbita Vimos em módulos anteriores que, quando um campo realiza trabalho, ocorre diminuição da energia potencial desse corpo. Se admitirmos que a energia potencial de um corpo no infinito é nula, ao ser atraído por qualquer outro corpo, ele ficará com uma energia potencial menor do que zero, e essa energia potencial é expressa por: E GMm d p = − onde M é a massa geradora de campo e m é a massa do corpo que sofre ação do campo. Velocidade de escape Consideremos um satétilte em órbita de raio d em torno da Terra; a força gravitacional exerce ação centrípeta, ou F grav = F c p. Como a força centrípeta Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  7. 7. é dada por: Fc p = igualando teremos: ou, simplificando, que é a sua velocidade orbital. Se quisermos saber o período desse satélite, substituiríamos v por e teríamos: T = Se quisermos lançar uma nave da superfície da Terra, com uma velocidade inicial v0, para que ela escape do campo gravitacional, teremos, dentro do princípio de conservação da energia: ou , onde: Simplificando, que é chamada velocidade de escape. Substituin-do os valores G = 6,67 . 10-11, M = 5,98 . 1024 e R = 6,37 . 106, descobrimos que, para sair da órbita da Terra, uma nave deve ter uma velocidade mínima de 11,2km/s. Para mantê-la em órbita rasante na superfície da Terra usamos: e temos o valor v = 7,9km/s, isto é, se a velocidade é inferior a 7,9km/s, a nave volta para a Terra; se está entre 7,9 e 11,2km/s, permanece em órbita; e se es-tiver a mais de 11,2km/s, ela foge da Terra. Pêndulo 010 FIS_V_Define-se pêndulo como todo corpo pesado, EM_móvel em torno de um eixo fixo, chamado eixo de 3 suspensão, que não passa por seu centro de gravi-dade e que lhe permite tomar a posição de equilíbrio estável. Tem-se o pêndulo simples ou matemático – um pêndulo teórico cuja massa oscilante se supõe conden-sada em um ponto material, ligado ao centro de sus-pensão por um fio inextensível e sem peso, oscilando sem atrito ou resistências que perturbem o movimento, imaginando-se, portanto, que este se efetua no vácuo. Esse conjunto ideal, irrealizável na prática, pode ser substituído por uma pequena esfera de metal, suspen-sa por um fio de seda a um ponto fixo, aproximando-se, dessa forma, das condições teóricas. Movimento pendular O movimento do pêndulo é oscilatório, ou seja, periódico e alternativo. Periódico porque, ao fim do mesmo intervalo de tempo, retoma a mesma posição com velocidade igual em módulo, direção e sentido; alternativo porque o sentido do movimento troca de sinal, sucessivamente. Afastando-se o pêndulo de sua posição de equilíbrio M para a esquerda em M1 e largando-se, pode-se observar que o peso se decompõe em duas componentes: rF 1 na direção do fio e que é anulada pela resistência deste e rF 2, que solicita o pêndulo a descer por um arco de círculo. Na descida, a partir de M1, a velocidade do pêndulo vai aumentando, de modo que, ao chegar à posição M, ele se encontra possuído de energia ciné-tica que o fará chegar até M2, posição simétrica de M1. Em M2 o fenômeno se repete em sentido contrário. No pêndulo simples, em que não há resistências ao movimento, isso permanece indefinidamente. No pêndulo composto em que a resistência do meio se opõe ao movimento, este diminui regularmente e, ao fim de certo tempo, o pêndulo para (movimento pendular amortecido). Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  8. 8. 4 EM_V_FIS_010 Pode-se então apreciar as seguintes situações: •• aceleração normal (centrípeta): máxima em M (nula em M1 e M2). •• aceleração tangencial: máxima em M1 e M2 (nula em M). •• energia cinética: máxima em M (nula em M1 e M2) •• energia potencial: máxima em M1 e M2 (nula em M – nível) Elementos do movimento pendular Os principais elementos são: a) elongação (e): é a distância da massa pendu-lar, em um instante dado, à posição de equilíbrio ou centro da trajetória.Essa distância pode ser medida sobre o arco de círculo ou então pelo ângulo entre as direções do fio, no instante considerado, e na posição central; b) amplitude ( ): é a elongação ou deslocamen-to máximo; c) oscilação simples: é o percurso entre uma posição extrema e a outra; d) oscilação completa ou dupla ou ciclo: é um percurso de ida e volta, compreendendo, portanto, duas oscilações simples sucessivas; e) frequência (f): é o número de oscilações com-pletas executadas em uma unidade de tempo; f) período (T): é o tempo gasto para se efetuar uma oscilação completa. Para pêndulos simples, exe-cutando pequenas oscilações (a ≤ 5°), tem-se: onde é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração de gravidade local, para oscilações pequenas, mas não na faixa mencionada acima. Tem-se: Leis do pêndulo simples Considera-se quatro leis para os pêndulos simples: a) Lei do Isocronismo: as oscilações de peque-na amplitude são isócronas. b) Lei da Independência da Substância: a dura-ção da oscilação não depende da substância, da massa ou da forma do pêndulo. c) Lei do Comprimento: a duração da oscilação é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento. d) Lei da Aceleração da Gravidade: o período de oscilação é inversamente proporcional à raiz quadrada da aceleração da gravidade no local. A Lei do Isocronismo foi descoberta por Galileu, mas Mersenne demonstrou que ela era verdadeira apenas para as pequenas oscilações. Pêndulo composto Para um pêndulo composto, o período é dado por: onde I é momento de inércia, m é a massa pendular, g é a aceleração da gravidade e L é a distância do centro de massa até o ponto de suspensão. Movimento periódico Já se viu que um fenômeno é periódico quando se repete identicamente em iguais intervalos de tempo. Matematicamente obedece à relação f(t)= f (t+T), onde t é tempo e T o período (menor intervalo de tempo de repetição do fenômeno). A frequência (f), cuja unidade no SI é o hertz (Hz)= s– 1, é conceituada como o número de repetições do fenômeno na unidade de tempo. Um ponto em MCU executa um movimento periódico. Se o ponto dá 60 voltas completas em 30 segundos, sua frequência é f= 60/30 s – 1 = 2,0Hz (ou seja, duas voltas por segundo). Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  9. 9. Isso equivale a dizermos que o corpo gasta 0,5s para executar uma volta completa; ou seja, seu período é T= 0,5s = (1/2)s = 1/f. Sua velocidade angular é = 2 /T = 4 rad/s. Movimento oscilatório ou vibratório É todo movimento constituído de vaivém si-métrico em torno de uma posição de equilíbrio. A figura abaixo mostra dois exemplos de movimento vibratório. Pêndulo simples É um dispositivo formado por uma partí-cula pesada, suspensa por um fio ideal e que pode oscilar periodi-camente em torno de uma posição de equi-líbrio, como mostrado na figura por um fio. v = nula a = máxima O ângulo é a amplitude do pêndulo. O compri-mento do fio é . Componentes da força peso: peso normal (PN); e peso tangencial (Pt), tais que: Pt = P sen e PN = P cos . É importante notar que, nas posições extremas, a velocidade é nula, o afastamento da posição de equilíbrio é máximo e, em consequência, a tendência de fazer o corpo retornar (aceleração) é máxima. Na posição de equilíbrio a velocidade da massa pendular é máxima e a aceleração é nula. Posteriormente, o pêndulo simples será analisado quanto aos aspectos dinâmicos de seu movimento. No exercício resolvido 1 demonstra-se que o pe-ríodo de oscilação do pêndulo simples é dado por: T = 2 010 g FIS_V_EM_5 v = máxima a = nula v = nula a = máxima onde T é o período, o comprimento do fio e g a ace-leração da gravidade local. Movimento harmônico simples (MHS) Diz-se que um ponto material efetua um movi-mento harmônico simples quando ele oscila periodi-camente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força FR (chamada força restauradora), tal que FR=– kr, onde k é uma constante de propor-cionalidade e r é a distância do ponto à posição de equilíbrio, justificando-se o sinal negativo pelo fato de FR, que sempre está voltada para a posição de equilíbrio, sempre ser contrária ao sentido do movi-mento. Na figura do pêndulo simples, mostrada no item anterior, a força restauradora tem módulo igual ao do componente tangencial da força peso: FR = – Pt = – P sen = – mg sen = – mgk1 r = – kr, em que k1 é a constante de proporcionalidade entre sen e r, sendo mgk1 = k. Relação entre o MCU e o MHS (Equações do MHS) Já se disse que, estando um ponto material em MCU, sua projeção sobre o eixo central executa um MHS. Enquanto o ponto móvel desloca-se de P0 a P1 em MCU, sua projeção E desloca-se no sentido de A para B em MHS. A abscissa x cor-respondente ao ponto e chama-se elongação. A elongação máxima é a amplitude A do MHS, que iguala o raio R da trajetória. Na figura, usando as equações do MCU, tem-se: aN= 2R, aN=aceleração normal, =velocidade angular, = 0+ t, =espaço angular no instante t, 0=espaço angular em t=0 (fase inicial). Função horária do MHS Na figura, o triângulo P1OE, retângulo em E, nos dá: x=R cos . Sendo R=A e = 0+ t, tem-se x=Acos( 0+ t) que é a função horária do MHS. 0 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  10. 10. 6 EM_V_FIS_010 A velocidade angular do MCU é dita ser a pulsação ou frequência angular do MHS. Velocidade escalar do MHS No triângulo P1MT da figura, o ângulo em P1 é igual ao ângulo em P1 do triângulo P1OE, pois são agudos e de lados mutuamente perpendiculares; como este é o complementar de , aquele também o é. Voltando ao triângulo P1MT, a projeção do vetor v na horizontal é o vetor P1M, de sentido negativo e de módulo igual a v.cos(90° – ) ou v sen . Pode-se então escrever que: vMHS= – v sen = – .a.sen ( 0 + t) que é a equação da velocidade escalar no MHS. O sinal negativo indica que, nesse caso, o sentido da velocidade é oposto ao sentido positivo do eixo horizontal. Na posição de equilíbrio (ponto O), tem-se: 0 + t = 90° e, por ser sen90° = 1, vem: vMHS = – A = – R, que é o máximo valor de velocidade escalar do MHS. Aceleração escalar do MHS Já se viu que, no triângulo P1OE da figura, o ân-gulo do vértice P1 é 90°– . Se projetarmos o vetor aN na direção horizontal, obteremos um vetor de sentido contrário ao sentido positivo de x e de módulo aN sen(90° – )=aNcos que é o módulo da aceleração escalar do MHS. Como: aN= 2R= 2A, vem que: =– 2 A cos ( 0 + t) Resumo das funções do MHS: •• Posição: x = A cos( 0 + t) •• Velocidade escalar: vMHS= – A sen( 0+ t) •• Aceleração escalar: = – 2A cos( 0+ t)= – 2x É importante não esquecer os sinais de seno e cosseno de = 0+ t: Seno Cosseno 1. (UFGO) Um satélite descreve uma órbita circular no plano do Equador. Sendo R o raio da Terra, a acelera-ção centrípeta do satélite, numa órbita de raio igual a 3R, é: g∃x 9 a) g∃ 3 b) c) 3 g d) g e) 9 g `` Solução: Sendo aC P = agrav. teremos aC P = g3 R ou aC P = GM T ( 3R ) 2 = GM 9R = 1 9 GM R T 2 T 2 ; e como g = GM R T 2 aC P = g 9 (opção A). 2. (Mogi) Um satélite artificial está descrevendo uma órbita elíptica em torno da Terra e esta ocupa um dos focos. Assinale a alternativa correta, levando em consideração a figura abaixo. A A1 B 1 B O Terra a) A velocidade linear do satélite em B é menor do que em A. b) As áreas varridas em OBB1 e OAA2 são iguais, quaisquer que sejam os intervalos de tempo gastos em varrê-las. c) A velocidade linear do satélite na posição B1 é maior do que em A1. d) A razão entre o quadrado do período de revolução do satélite em torno da Terra e o cubo do segmento de reta OB é constante. e) Nenhuma das anteriores é correta. `` Solução: C a) Errada: na posição mais perto da Terra a velocidade é maior. b) Errada: as áreas só serão iguais se for o mesmo Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  11. 11. intervalo de tempo. c) Correta: como OB1 é menor do que AO1 a veloci-dade em B1 é maior do que em A1 (2.ª Lei de Ke-pler). d) Errada: o segmento OB não é o raio médio. e) Errada: porque (C) está correta. 3. (Aman) Designado por R o raio médio da órbita de um planeta e por T o período de sua revolução em torno do Sol, a expressão R T = k traduz, matematicamente, a 3.ª 2 3 Lei de Kepler, em que k é uma constante comum a todos os planetas. Determinar o número de anos necessários para Marte completar uma revolução completa ao redor do Sol, sabendo que a distância média de Marte ao Sol é 1,5 vezes a da Terra ao Sol. a) 3,2 anos. b) 1,5 anos. c) 1,84 anos. d) 10 anos. e) 5,2 anos. `` Solução: C Aplicando-se a 3.ª Lei para a Terra: R T 3 = k T 2 e para T Marte: R T 3 = k M 2 ; igualando teremos M R T 3 = T 2 T R T 3 M 2 , e como M RM = 1,5R T e T T = 1 ano, vem: 3 R 1 = T (1,5R ) T T 3 2 ou M 2 T = 3 1,5 . R R M 3 T 3 ⇒ TM = 1,84 anos. T 4. (PUC) Medidas astronômicas revelam que a massa de Marte é, aproximadamente, um décimo da massa da Terra e que o raio da Terra é cerca de duas vezes maior que o raio de Marte. Pode-se então concluir que a razão entre as intensidades do campo gravitacional (isto é, as acelerações da gravidade) nas superfícies de Marte (gM) e da Terra (gT) vale: gM gT a) = 0,05 gM gT b) = 0,1 gM gT c) = 0,2 2 e g = 2 , portanto, M 2 , isto é, g T = 2,5 gM ⇒ 1 3 = T 3 ou T 2 2 3 010 FIS_gV_d) M = 0,4 EM_gT 7 gM gT e) = 0,8 `` Solução: D g = GM R M M M GM R T T T g = G .10M ( 2R ) = 2,5G M R T M 2 M M g g = 0,4 m T . 5. (Cesgranrio) O raio médio da órbita de Marte em torno do Sol é aproximadamente quatro vezes maior do que o raio médio da órbita de Mercúrio em torno do Sol. Assim, a razão entre os períodos de revolução, T1 e T2, de Marte e de Mercúrio, respectivamente, vale: T1 T2 a) = 1 4 T1 T2 b) = 1 2 T1 T2 c) = 2 T1 T2 d) = 4 T1 T2 e) = 8 `` Solução: E Aplicando a 3.ª Lei de Kepler para Marte (1) e para Mercúrio (2), vem: T R 2 1 R 2 2 T = ( 4R ) R 1 2 2 2 3 2 ⇒ T T = 64 = 8 1 2 . 6. (PUC) Dois pêndulos simples têm comprimentos iguais a 100cm e 36cm, respectivamente. Para pequenas os-cilações (5.º aproximadamente), a razão entre os seus períodos é: 5 4 a) 5 3 b) c) 25 6 15 16 d) 25 9 e) `` Solução: B Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  12. 12. 8 EM_V_FIS_010 Aplicando a equação do período para pequenas osci-lações ; para os dois pêndulos e . Dividindo-se membro a membro as expressões, teremos: . Substituindo os valores e eliminando-se os termos possíveis, temos: . 7. (UFF) Para pêndulos simples com oscilações de peque-na amplitude, o período é dado por: Nessa expressão, representa o comprimento do pêndulo e g representa a intensidade do campo gravitacional. Se quadruplicarmos o comprimento desse pêndulo e reduzirmos sua massa à metade, o novo período T1 passará a ser de: a) 4T b) 2T c) T d) T 4 T 2 e) `` Solução: B Como e , dividindo-se mem-bro a membro, temos: ou T 1 = 2T. (Unificado) As questões 8 e 9 referem-se ao seguinte enunciado: Uma esfera de massa m, suspensa por um fio a um ponto 0, é solta, a partir do repouso, de um ponto A, descrevendo um arco de circunferência e passando a oscilar entre as posições extremas A e E. A figura abaixo ilustra esse movimento. 8. Tendo em vista os esforços a que o fio fica submetido, a posição em que ele terá mais probabilidade de se romper será: a) A b) B c) C d) D e) E `` Solução: C Como no ponto C a velocidade é máxima, e sabendo-se que a força centrípeta vale , nesse ponto tem-se a força centrípeta máxima, pois m e R são constantes. Nesse ponto C, a força centrípeta tem módulo Fcp = T – P, e o peso também é constante se Fcp máxima ⇒ T máxima . 9. Com base nas opções apresentadas na figura abaixo, o vetor que representa a aceleração da esfera, ao passar pelo ponto D, é: a) I b) II c) III d) IV e) V `` Solução: C No ponto D, a massa pendular estará submetida à força peso ( I ) e à força de tração do fio (IV). 10. (EN) Um pêndulo simples é constituído por uma esfera de metal, de diâmetro desprezível, suspensa por um fio cujo coeficiente de dilatação linear é 2,0 . 10–5 °C–1. Um relógio desse pêndulo é correto a 20ºC e seu período é de 2s. Quando a temperatura for mantida a 30ºC, o atraso do relógio em uma hora é, aproximadamente, de: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  13. 13. Considere: p = 3,14 1,0002 @ 1,0001 1,0004 @ 1,0002 1,0008 @ 1,0004 a) 30s b) 18s c) 8,0s d) 1,0s e) 0,36s `` Solução: E Aplicando-se a equação do período para as duas tem-peraturas dadas: Simplificando e substituindo pelos valores dados, temos: ⇒ ou: 2 T30 = 1 1,0001 T30 = 2,0002s Então T30 atrasa 0,0002s ou 0,01 % em relação a T20 . Podemos montar uma regra de três, para uma hora: 1h ≡  3,600s 0,01%h ≡  y ; portanto y = 0,36s. 11. Em uma das missões científicas do Programa Apolo, os astronautas determinaram o período de oscilação de um pêndulo simples na superfície da lua. As figuras das opções a seguir reproduzem a oscilação desse pêndulo desde um dos pontos mais altos de sua trajetória (M) até um outro ponto (N). Em qual dessas opções está corretamente representada a resultante r R de todas as forças que atuam sobre a massa do pêndulo simples quando esta passa pelo ponto N? a) b) 010 FIS_c) V_EM_9 d) e) `` Solução: B As forças que atuam na massa pendular em N são o peso e a tração. R T N P M A velocidade no ponto N é diferente de zero, pois o ponto N se encontra abaixo do ponto M. Desse modo, no movimento resultante haverá componentes centrípe-ta e tangencial da aceleração. A soma vetorial dessas componentes dá resultado a um vetor que só pode ser representado pela alternativa B. 12. (UFC - Adap.) Um carrinho desloca-se com velocidade constante V0, sobre uma superfície horizontal sem atrito (veja figura a seguir). O carrinho choca-se com uma mola de massa desprezível, ficando preso à mesma. O sistema mola+carrinho começa, então, a oscilar em movimento harmônico simples, com amplitude de valor A. Pede-se: a) Determine o período de oscilação do sistema. b) Institua analogamente uma fórmula para o período de oscilação de um pêndulo simples. `` Solução: Antes devemos instituir alguns conceitos que serão vistos em Dinâmica: 1) Todo corpo em movimento tem a si associada uma Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  14. 14. 10 EM_V_FIS_010 energia chamada energia cinética e que obedece à seguinte relação: Ec = mv2/2. 2) Quando a mola passa a executar o MHS solidária ao carrinho, percorrendo a amplitude A, o carrinho perde energia cinética e a mola ganha energia po-tencial elástica (aumenta a potencialidade de frear o carrinho, enquanto ela se comprime). Assim, o que o carrinho perde em energia cinética, a mola ganha em energia potencial elástica. A fórmula da energia potencial elástica é EM = kx2/2, onde K é a constante elástica da mola e x a sua deformação. Passemos, então, à solução: a) A força restauradora da mola é dada por F = – kx. Pela 2.a Lei de Newton, no entanto, F = mα , onde m é a massa do conjunto corpo oscilante-mola e é a aceleração desse conjunto (aceleração es-calar do MHS). Daí, = – kx/m. Tal aceleração, no entanto, como se trata de MHS, vale = – 2x. Dessas duas igualdades, vem 2 = k m e = k m . Como = 2 T , tem-se finalmente que o período do conjunto massa-mola em MHS, chamado oscilador harmônico, é dado por T= 2 m k . No exercício considerado, como já se disse, a va-riação de energia cinética do carrinho representa a variação da energia potencial elástica da mola. Daí: 1 2 kA2 = 1 2 mV0 2 ou m k = A2 V0 2. Substituindo na fórmula do período do oscilador harmônico, vem T = 2 . A V0 b) No caso do pêndulo simples, a força restauradora é – mg sen , onde é o ângulo formado pelo fio com a vertical, e, portanto, pela 2.a Lei de Newton, tira-se que = – g sen . Para pequenas oscilações, no entanto, sen , donde = – g . Por tratar-se de MHS, tem-se também = - 2x = - 2 . Igualando as duas expressões de , tem-se: g = 2 ou = g ou 2 T = g T = 2 g . 13. (UFES) Um projétil de massa m = 50g colide frontal-mente com um bloco de madeira de massa M = 3,95kg, ficando alojado em seu interior. O bloco está preso a uma mola de constante elástica k = 1,0N/m, como mostra a figura. Antes da colisão, o bloco estava na posição de equilíbrio da mola. Após a colisão, o sistema realiza um movimento harmônico simples de amplitude A = 30cm. A resistência do ar e o atrito entre a superfície e o bloco são desprezíveis. O módulo da velocidade do projétil, pouco antes de atingir o bloco, e a frequência das oscilações valem, respectivamente, a) 10m/s e (2 )-1Hz b) 10m/s e (4 )-1Hz c) 12m/s e (2 )-1Hz d) 12m/s e (4 )-1Hz e) 16m/s e (3 )-1Hz `` Solução: D O período T do conjunto bala-bloco-mola vale T = 2 m k = 2 3,95 + 0,05 1,0 = 4 . Como a frequên-cia f é o inverso do período, vem f = (4 )-1Hz e, assim, a resposta correta ou é a da letra B ou a da letra D. Antes de a bala atingir o bloco, a quantidade de movi-mento do conjunto era devida somente ao movimento da bala e valia Qantes = mb . vb = 0,05vb. Imediatamente após o choque, todo o conjunto inicia MHS a partir da posição de equilíbrio, onde a veloci-dade escalar tem módulo máximo e igual a VA = 2 T A = 2 4 . 0,30 = 0,15m/s. A quantidade de movimento do conjunto logo após o impacto da bala vale, pois, Qdepois= mc . vc = 4,0 . 0,15 = 0,60kg . m/s. Durante um choque, as forças internas desenvolvidas no sistema são muito maiores que as externas; assim, o sistema pode ser considerado isolado da ação de forças externas, que são as que têm potencialidade para alterar-lhe o estado de repouso ou de movimento. Isso impõe a condição de ser Q antes = Qdepois, donde 0,05vb = 0,60 e, portanto, vb = 12m/s. A resposta correta, portanto, é a da letra D. 14. (Mackenzie) Um corpo de 50g, preso à extremidade de uma mola ideal (constante elástica = 3,2N/m) comprimida de 30cm, é abandonado do repouso da posição A da figura. A partir desse instante, o corpo inicia um movimento harmônico simples. Despreze os atritos e adote o eixo x com origem no ponto de equilíbrio do corpo (ponto O) e sentido para a direita. A função que mostra a velocidade desse corpo em função do tempo, no sistema internacional, é: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  15. 15. v = –2,4 sen (8.t + ) a) v = –0,3 sen (3,2.t + /2) b) v = –7,2 sen (4. .t + ) c) v = –2,7 sen (4.t + ) d) v = –1,2 sen (2.t + /4) `` Solução: A Dados: m = 50g = 0,050kg; k = 3,2N/m; A = 30cm = 0,30m. Deseja-se: equação da velocidade escalar do MHS. No MHS: vMHS = – A sen (φ 0+ t). O período T é dado pela expressão T = 2 m k . Sendo = 2/ T , substituindo nessa expressão a do período, tem-se = m k = 3,2 0,050 = 8,0rad/s Substituindo na equação da velocidade escalar do MHS os valores disponíveis, vem: vMHS= – A sen (φ 0+ t) = – 8 . 0,30 sen ( + 8t) ou vMHS= – 2,4sen ( + 8t), o que nos conduz à alternativa da letra A. 15. (Unicamp-Adap.) Durante muito tempo, desde que surgiram, os relógios eram construídos baseados nas leis do pêndulo simples: o ajuste fino era dado por meio de uma rosca na extremidade livre da haste do pêndulo, que permitia alterar o seu comprimento e, por conseguinte, o período de oscilação, facultando adiantar ou atrasar o relógio. Com as grandes navegações dos séculos XV e XVI, no entanto, surgiu a necessidade de um relógio mais aperfeiçoado que permitisse a determinação da longitu-de com mais precisão, pois o balançar das embarcações equivalia a variações no campo gravitacional terrestre, alterando significativamente o período de oscilação e, por conseguinte, a precisão do relógio, gerando erros grosseiros na determinação das posições durante as navegações e nas demarcações de territórios. Surgiu en-tão, em decorrência disso, o relógio náutico a balancim, baseado no sistema massa-mola que, independendo da gravidade terrestre, não era afetado pelo jogo dos navios, permitindo uma navegação mais precisa. Foram os precursores dos relógios de pulso que, por sua vez, evoluíram para os relógios a cristal de quartzo, usados até os dias de hoje. A figura mostra um antigo relógio de pêndulo: Sabendo que esse relógio foi calibrado no frio inverno gaúcho, responda e justifique: a) Ele atrasará ou adiantará se for transpor-tado 010 FIS_para o quente verão nordestino? V_EM_11 b) Se o relógio for transportado do nordeste para a Lua, nas mesmas condições de temperatura, ele atrasará ou adiantará? `` Solução: Como já se viu, o período T de oscilação de um pêndulo simples é determinado pela fórmula T = 2 g : comprimento de onda g: aceleração da gravidade. a) No verão do nordeste brasileiro, bem mais quente que o frio inverno gaúcho em que o relógio foi ca-librado, o comprimento do pêndulo aumentará por dilatação térmica. Isso fará aumentar o período de oscilação e, portanto, diminuir a frequência, o que fará que o relógio atrase, em virtude de os movi-mentos dos ponteiros serem em função da quan-tidade inteira de ciclos realizados (podemos dizer que tais movimentos são discretos ou quantizados, e não contínuos). b) A aceleração da gravidade na Lua é menor que o valor da gravidade na Terra. Tal diminuição de g fará aumentar o período e o relógio igualmente atrasa-rá, pelos motivos expostos no item a acima. 1. (PUC-Rio) Um certo cometa se desloca ao redor do Sol. Levando-se em conta as Leis de Kepler, pode-se com certeza afirmar que: a) a trajetória do cometa é uma circunferência, cujo centro o Sol ocupa. b) num mesmo intervalo de tempo ∆t, o cometa des-creve a maior área entre duas posições e o Sol, quando está mais próximo do Sol. c) a razão entre o cubo de seu período e o cubo do raio médio da sua trajetória é uma constante. d) o cometa, por ter uma massa bem maior do que a do Sol, não é atraído por ele. e) o raio vetor que liga o cometa ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. 2. (UERJ) A figura ilustra o movimento de um planeta em torno do Sol. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  16. 16. 12 EM_V_FIS_010 Se os tempos gastos para o planeta se deslocar de A para B, de C para D e de E para F são iguais, então as áreas A1, A2 e A3 apresentam a seguinte relação: a) A1 = A2 = A3 b) A1 > A2 = A3 c) A1 < A2 < A3 d) A1 > A2 > A3 3. (Fuvest) Considere um planeta em órbita elíptica em torno do Sol. O ponto A é o ponto da órbita mais próximo do Sol e o ponto B é o mais distante. Com base nessas informações, no ponto A temos: a) a velocidade de rotação do planeta é máxima. b) a velocidade de translação se anula. c) a velocidade de translação do planeta é máxima. d) a força gravitacional sobre o planeta se anula. e) a velocidade de rotação do planeta é mínima. 4. (Mackenzie) Dois satélites de um planeta tem períodos de revolução de 32 dias e 256 dias, respectivamente. Se o raio da órbita do primeiro satélite vale 1 unidade, então o raio do segundo terá: a) 4 unidades. b) 8 unidades. c) 16 unidades. d) 64 unidades. e) 128 unidades. 5. (PUC-SP) Sabe-se que um planeta gira em torno do Sol com raio de órbita 4 vezes maior que a distância da terra ao Sol. Quantos anos terrestres leva esse planeta para dar uma volta completa em torno do Sol? (Considere as órbitas circulares). a) 64 anos. b) 8 anos. c) 4 anos. d) 2 anos. e) 1 ano. 6. (AFA-SP) De acordo com Johannes Kepler (1571-1630), “o quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior de sua órbita”. Com respeito à órbita da Terra em relação ao Sol, sabe-se que o período é de um ano e o semieixo maior é de 15 . 1010metros. A partir dessas informações, pode-se afirmar que a ordem de grandeza da constante de proporcionalidade, em s2/m3, é: a) 10-12 b) 10-15 c) 10-19 d) 10-23 7. (UERJ) Se um corpo fosse levado para a superfície de um astro de forma esférica, cuja a massa fosse oito vezes maior que a da Terra e cujo o raio fosse quatro vezes maior que o raio terrestre, qual seria a relação entre o seu peso naquele astro e o seu peso na Terra. a) 0,5 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 8. (Cesgranrio) Qual é, aproximadamente, o valor do módulo da aceleração de um satélite em órbita circular em torno da Terra, à uma altitude igual a cinco vezes o raio da Terra? a) 25m/s2 b) 5m/s2 c) 6m/s2 d) 2m/s2 e) 0,3m/s2 9. (FEI-SP) No sistema solar, um planeta em órbita circular de raio R demora 2 anos terrestres para completar uma revolução. Qual o período de revolução de outro planeta em órbita de raio 2R? 10. (Fuvest) Um satélite artificial move-se em órbita circular ao redor da Terra, ficando permanentemente sobre a cidade de Macapá. a) Qual o período do satélite? b) Porque o satélite não cai sobre a cidade? 11. (Unitau) Indique a alternativa que preenche corretamen-te as lacunas da questão a seguir. a) Um pêndulo simples está animado de um movi-mento harmônico simples. Nos pontos extremos da trajetória, a velocidade da bolinha do pêndulo é ________, a aceleração é ________, e a ener-gia potencial é ________. À medida que a bolinha se aproxima do centro da trajetória, a velocidade Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  17. 17. ________, a aceleração ________ e a energia po-tencial _______. b) nula, máxima, máxima, diminui, aumenta, diminui. c) máxima, nula, máxima, diminui, aumenta, diminui. d) máxima, máxima, nula, diminui, aumenta, diminui. e) nula, máxima, máxima, aumenta, diminui, diminui. f) nula, mínima, mínima, diminui, diminui, diminui. 12. (Unesp) Período de um pêndulo é o intervalo de tempo gasto numa oscilação completa. Um pêndulo executa 10 oscilações completas em 9,0s. Seu período é: a) 0,9s b) 1,1s c) 9,0s d) 10,0s e) 90,0s 13. (Fatec–SP) O período de oscilação de um pêndulo simples pode ser calculado por T= 2π L g , onde L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade (ou campo gravitacional) do local onde o pêndulo se encontra. Um relógio de pêndulo marca, na Terra, a hora exata. É correto afirmar que, se esse relógio for levado para a Lua: a) atrasará, pois o campo gravitacional lunar é diferen-te do terrestre. b) não haverá alteração no período de seu pêndulo, pois o tempo na Lua passa da mesma maneira que na Terra. c) seu comportamento é imprevisível sem o conheci-mento de sua massa. d) adiantará, pois o campo gravitacional lunar é dife-rente do terrestre. e) não haverá alteração no seu período, pois o campo gravitacional lunar é igual ao campo gravitacional terrestre. 14. (UECE) Um pêndulo simples oscila com pequena am-plitude na vizinhança da posição de equilíbrio. Podemos afirmar que a grandeza, referente à partícula oscilante, que permanece invariável durante o movimento pen-dular, é a: a) velocidade linear. b) frequência de oscilação. c) aceleração centrípeta. d) energia cinética. 15. (Mackenzie) Um pêndulo simples tem comprimento L e massa m. Quando este pêndulo oscila num local onde a aceleração gravitacional é rg , o período do movimento é T. Se quadruplicarmos seu comprimento e reduzirmos sua massa 1/4 da inicial, o novo período do movimento será: T 4 a) T 2 b) c) T d) 2T e) 4T 16. (Mackenzie) Comenta-se que o célebre físico e matemá-tico Galileu Galilei, ao observar a oscilação do lampadário da catedral de Pisa, na Itália, concluiu tratar-se de um movimento periódico, semelhante ao que hoje chamaría-mos de pêndulo simples. Para tal conclusão, teria medido o período do movimento, utilizando, como unidade de medida para o tempo, seu próprio batimento cardíaco. Se considerarmos um grande pêndulo simples, de compri-mento 10m, oscilando num local onde g=10m/s2, e que a frequência dos batimentos cardíacos é de 86 batidas por minuto, o período do movimento desse pêndulo será de aproximadamente: a) 3 batidas. b) 6 batidas. c) 9 batidas. d) 12 batidas. e) 15 batidas. 17. (PUCRS) Um pêndulo simples está oscilando, e os atritos com o ar e no ponto de fixação reduzem gradualmente a amplitude de seu movimento. Afirma-se que: I. A velocidade escalar média do pêndulo está dimi-nuindo. II. A aceleração escalar média do pêndulo está au-mentando. III. O período de oscilação e a amplitude diminuem na mesma proporção. Analisando as afirmativas acima, deve-se concluir que: a) somente I é correta. b) somente II é correta. c) somente III é correta. d) I e II são corretas. e) I e III são corretas. 13 EM_V_FIS_010 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  18. 18. 14 EM_V_FIS_010 (Unesp) O período de oscilação de 18. um pêndulo simples, que oscila com amplitude muito pequena, é dado por T = 2π L g , onde L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade. Se esse comprimento fosse quadruplicado: a) O que ocorreria com seu período? b) O que ocorreria com sua frequência? 19. (Cesgranrio) Dois pêndulos apresentam comprimentos diferentes. Sendo L1 o comprimento do primeiro e L2 o do segundo, pode-se afirmar que sendo L1 > L2 a relação entre os períodos T1 e T2 é: a) T1 = T2 b) T1 = 2 T2 c) T1 < T2 d) T1 > T2 e) T1 = 2T2 20. Regulamos, num dia frio e ao nível do mar, um relógio de pêndulo de cobre. Esse mesmo relógio, e no mesmo local, num dia quente, deverá: a) não sofrer alteração no seu funcionamento. b) adiantar. c) atrasar. d) aumentar a frequência de suas oscilações. 21. (Fuvest) Considere três pêndulos, conforme indica a figura. As massas de A e B são iguais a 1kg e a massa de C é igual a 2kg. Quando os mesmos são postos a oscilar, com pequenas amplitudes, podemos afirmar que: a) os três pêndulos possuem a mesma frequência. b) a frequência do pêndulo B é maior que as dos pên-dulos A e C. c) os pêndulos B e C possuem a mesma frequência. d) os pêndulos A e C possuem a mesma frequência. e) o pêndulo C possui a maior frequência. 22. (Mackenzie) O pêndulo a seguir é constituído de um fio ideal e a massa suspensa m oscila periodicamente, gas-tando um tempo mínimo de 2,0s para ir da extremidade A à extremidade C. Supondo g = 10m/s2, então o com-primento do fio em metros é de, aproximadamente: a) 8,0 b) 4,0 c) 3,0 d) 2,0 e) 1,0 23. (Fuvest) Um trapezista abre as mãos e larga a barra de um trapézio ao passar pelo ponto mais baixo da oscilação. Desprezando-se o atrito, podemos afirmar que o trapézio: a) para de oscilar. b) aumenta a amplitude de oscilação. c) tem seu período de oscilação aumentado. d) não sofre alteração na sua frequência. e) aumenta sua energia mecânica. 24. (Mackenzie) Uma partícula descreve um movimento harmônico simples segundo a equação X= 0,3cos( π 3 +2t), no S.I. O módulo da máxima velocidade atingida por essa partícula é: a) 0,3m/s b) 0,1m/s c) 0,6m/s d) 0,2m/s e) π /3m/s 25. (Cesgranrio) Uma partícula descreve um movimento harmônico simples, com equação horária, escrita em unidades do Sistema Internacional, x(t)= 4sen (2t). A frequência, em Hz, desse movimento é igual a: a) 2π b) π c) 1 1 π d) 1 2 e) π 26. Um móvel executa um Movimento Harmônico Simples π + π , no Sistema de função horária: x = 4 cos ( 3 t) 5 Internacional. Determine: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  19. 19. a) a fase inicial. b) a pulsação. c) a velocidade máxima. 27. (UFRGS) Um corpo em Movimento Harmônico Simples desloca-se entre as posições –50cm e 50cm de sua trajetória, gastando 10s para ir de uma a outra.Conside-rando que, no instante inicial, o móvel estava na posição de equilíbrio, determine: a) a amplitude do movimento. b) o período. c) a frequência. d) a pulsação. e) a equação horária do movimento. 28. (UFGO) Seja uma partícula em Movimento Harmônico Simples regida pela função: x = 0,1cos (2πt), para x em metros e t em segundos. Responda: a) O que representa as constantes 0,1 e 2π. b) Qual a frequência em Hz, do movimento. c) Em que posição se encontra a partícula em t = 0s? Qual a velocidade nesse instante. d) Em que posição a energia cinética é máxima? Em que instantes isso acontece. 1. (UFRGS) O módulo da força de atração gravitacional entre duas pequenas esferas de massa m iguais, cujos centros estão separados por uma distância d é F. Substituindo-se uma das esferas por outra de massa 2m e reduzindo-se a distância entre os centros das esferas para d/2, resulta uma força gravitacional de módulo: a) F b) 2F c) 4F d) 8F e) 16F 2. (Fuvest) No Sistema Solar, o planeta Saturno tem massa cerca de 100 vezes maior do que a da Terra e descreve uma órbita, em torno do Sol, a uma distância média 10 vezes maior do que a distância média da Terra ao Sol (valores aproximados). A razão (Fsat/FT) entre a força gravitacional com que o Sol atrai Saturno e a força gravitacional com que o Sol atrai a Terra é de aproxi-madamente: a) 1 000 b) 10 c) 1 d) 0,1 e) 0,001 3. (UFF) O tempo (T) necessário para que um planeta qualquer complete uma volta em torno do Sol, conside-rando sua órbita como sendo circular, pode ser relacio-nado com raio (r) de sua órbita pela expressão: Onde G é uma constante e M, a massa do Sol. Para obter-se tal expressão, é suficiente a aplicação conjunta das seguintes leis da física: a) Lei dos Períodos de Kepler e Primeira Lei de Newton. b) Lei da Conservação de Energia e Lei da Ação e Reação. c) Lei da Gravitação Universal e Segunda Lei de Newton. d) Lei da Ação e Reação e Lei da Gravitação Universal. e) Lei da Conservação do Momento Linear e Lei dos Períodos de Kepler. 4. (UFOP) A figura seguinte mostra a órbita de um planeta em seu movimento em torno do Sol. Afirma-se que: I. Se o tempo que o planeta gasta para se deslocar de A até B é igual ao tempo que ele gasta para se deslocar de C até D, então as áreas hachuradas da figura são iguais. II. A velocidade do planeta no ponto A é maior do que no ponto D. III. A energia mecânica do planeta no ponto A é maior do que no ponto D. Assinale a opção correta. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas I e II são verdadeiras. 15 EM_V_FIS_010 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  20. 20. 16 EM_V_FIS_010 c) Apenas II e III são verdadeiras. d) Apenas I e III são verdadeiras. e) I, II e III são verdadeiras. 5. (Unirio) Um satélite de telecomunicações está em sua órbita ao redor da Terra com período T. Uma viagem do ônibus espacial fará a instalação de novos equipamentos nesse satélite, o que duplicará sua massa em relação ao valor original. Considerando que permaneça com a mesma órbita, seu novo período T’ será: a) T’ = 9T b) T’ = 3T c) T’ = T d) T’ = 1/3T e) T’ = 1/9T 6. (UFRJ) A tabela abaixo ilustra uma das leis do movi-mento dos planetas: a razão entre o cubo da distância D de um planeta ao Sol e o quadrado do seu período de revolução T em torno do Sol é constante. O período é medido em anos e a distância em unidades astronômicas (UA). A unidade astronômica é igual à distância média entre o Sol e a Terra. Suponha que o Sol esteja no centro comum das órbitas circulares dos planetas. Plane-ta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpi-ter Satur-no T2 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868 D3 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868 Um astrônomo amador supõe ter descoberto um novo planeta no sistema solar e o batiza como planeta X. O período estimado do planeta X é de 125 anos. Calcule: a) a distância do planeta X ao Sol em Unidades As-tronômicas. b) a razão entre a velocidade orbital do planeta X e a velocidade orbital da Terra. 7. (UFMG) Um satélite brasileiro é lançado ao espaço de tal forma que entra em órbita circular em torno da linha do Equador terrestre. a) Considerando que a única força que age no satéli-te é a força gravitacional terrestre, devido a Lei da Gravitação Universal, determine a relação entre a velocidade angular do satélite ω e a sua distância R ao centro da Terra. b) Satélites de telecomunicação são, na maioria, geo-estacionários, ou seja, uma antena parabólica fixa na Terra o “veria” parado no céu. Considerando que o período de rotação deste tipo de satélite é 24 ho-ras, calcule o valor aproximado de sua distância em relação ao centro da Terra. (Sugestão: use a res-posta do item anterior) 8. (UFSCar) Suponha que uma das Luas de Júpiter, de massa m, descreva uma órbita circular durante um período T. Determine o raio R da órbita dessa Lua se a massa de Júpiter é M. 9. (UFF) Em certo sistema planetário alinham-se em um dado momento, um planeta, um asteroide e um satélite, como representa a figura. Sabendo-se que: — a massa do satélite é 1 000 vezes menor que a mas-sa do planeta; — o raio do satélite é muito menor que o raio R do planeta. Determine a razão entre as forças gravitacionais exercidas pelo planeta e pelo satélite sobre o aste-roide. 10. (Fuvest) Se fosse possível colocar um satélite em órbita rasante em torno da Terra, o seu período seria T. Sendo G a constante de gravitação universal, expresse a massa específica média da Terra em função de T e G. 11. (UFRJ) Considere a órbita da Terra em torno do Sol circular, de raio igual a 1,5 × 1011m. Sendo a constante de gravitação universal aproximadamente 6,7 × 10-11 N.m2/kg2 e um ano aproximadamente π × 107s, estime a ordem de grandeza em kg, da massa do Sol. 12. (UFRRJ) Dois pêndulos simples, A e B, estão oscilando num mesmo local. Enquanto A faz uma oscilação em um segundo, B faz duas. Pode-se afirmar, sobre cada um dos pêndulos, que: a) o comprimento de B é quatro vezes mais curto que o de A. b) o comprimento de A é quatro vezes mais curto que o de B. c) os comprimentos de A e de B são iguais, só suas velocidades é que são diferentes. d) a massa de A é menor que a massa de B. e) a massa de B é menor que a massa de A. 13. (UFRRJ) Em 1581, na Catedral de Pisa, Galileu teve sua atenção despertada para um candelabro que oscilava sob a ação do vento, descrevendo arcos de diferentes tamanhos. Reproduzindo esse movimento com um pêndulo simples de comprimento L e massa m, como o representado na Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  21. 21. figura a seguir, Galileu constatou que o tempo de uma oscilação pequena (para a qual senθ≅θ) era função: A frequência de oscilação do pêndulo depende: a) do comprimento do pêndulo, de sua massa e da aceleração da gravidade. b) apenas do comprimento do pêndulo. c) do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade. d) apenas da aceleração da gravidade. e) apenas da massa do pêndulo. 14. (UERJ) O tempo de oscilação de um pêndulo não depen-de do peso do corpo suspenso na extre-midade do fio. Galileu Com base nesse conhecimento, Galileu, antes mesmo de realizar seu famoso experimento da torre de Pisa, afirmou que uma pedra leve e outra pesada, quando abandonadas livremente de uma mesma altura, deveriam levar o mesmo tempo para chegar ao solo. Tal afirmação é um exemplo de: a) lei. b) teoria. c) modelo. d) hipótese. 15. (UFSM) Um corpo de massa m é preso a um fio de comprimento L, constituindo um pêndulo que passa a oscilar em movimento harmônico simples com amplitude A. Em meio período, o corpo percorre uma distância de, aproximadamente: a) A b) 2A c) 2A d) 3A e) 4A 16. (ITA) Dois pêndulos de comprimento L1 e L2, conforme a figura, oscilam de tal modo que os dois bulbos se en-contram sempre que decorrem seis períodos do pêndulo menor e quatro períodos do pêndulo maior. A relação L2/L1 deve ser: a) 9/4 b) 3/2 c) 2 d) 4/9 e) 2/3 17. (UFMA) Dois relógios (A e B) de pêndulo estão no mesmo local e foram acertados às 17h. Os pêndulos têm comprimentos iguais a 30cm, porém suas massas são: mA = 60g e mB = 90g. Após 12h, podemos afirmar que: a) o relógio A estará atrasado em relação ao relógio B. b) o relógio B estará atrasado em relação ao relógio A. c) o relógio A marcará a mesma hora do relógio B. d) o relógio A estará adiantado 30min em relação ao relógio B. e) o relógio B estará adiantado 30min em relação ao relógio A. 18. (ITA) Dois pêndulos simples são abandonados a partir de uma posição P em que eles se tocam, como ilustra a figura. Sabendo-se que os comprimentos dos pêndulos estão na razão L2/L1 = 4/9 e que os períodos são T1 e T2, depois de quanto tempo t eles se tocarão novamente? a) t = 3T1 b) t = 2T1 c) t = 4T2 d) t = 9T1 e) Eles nunca se tocarão outra vez. 17 EM_V_FIS_010 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  22. 22. 18 EM_V_FIS_010 19. (ITA) Um pêndulo simples oscila com um período de 2,0s. Se cravarmos um pino a uma distância 3 L do 4 ponto de suspensão e na vertical que passa por aquele ponto, como mostrado na figura, qual será o novo pe-ríodo do pêndulo? Despreze os atritos. Considere ângulos pequenos tanto antes quanto depois de atingir o pino: a) 1,5s b) 2,7s c) 3,0s d) 4,0s e) o período de oscilação não se altera 20. (Fuvest) O pêndulo de Foucault – polarizado pela famosa obra de Umberto Eco – consistia de uma esfera de 28kg, pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um fio de 67m de comprimento. Sabe-se que o período T de oscilação de um pêndulo simples é relacionado com o seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g pela seguinte expressão: T = 2π L g a) Qual o período de oscilação do pêndulo de Fou-cault? Despreze as frações de segundos. b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se dobrássemos a sua massa? (Adote g = 10m/s2 e 10 = ) 21. (EN) A frequência de um pêndulo simples de 1 milímetro de comprimento, ao nível do mar, é 16Hz. A frequência, em Hz, de um outro pêndulo simples de 4 milímetros de comprimento, num local em que a extremidade fixa do mesmo encontra-se a uma distância, do centro da Terra, de 4 vezes o raio terrestre é: a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 22. (AMAN) Um pêndulo simples de comprimento 100cm efetua em 2,00 segundos uma oscilação completa. Cal-cular o valor da aceleração local da gravidade em m/s2. a) 9,10 b) 8,99 c) 9,80 d) 9,86 e) 9,14 23. O período de um pêndulo simples é de 12s. No mesmo local, determinar o período de um segundo pêndulo, cujo comprimento é a quarta parte do comprimento do primeiro. 24. (ITA) Uma técnica muito empregada para medir o valor da aceleração da gravidade local é aquela que utiliza um pêndulo simples. Para se obter a maior precisão no valor de g deve-se: a) usar uma massa maior. b) usar um comprimento menor para o fio. c) medir um número maior de períodos. d) aumentar a amplitude das oscilações. e) fazer várias medidas com massas diferentes. 25. (Fuvest) Uma peça, com a forma indicada, gira em um eixo horizontal P, com velocidade angular constante e igual a πrad/s. Uma mola mantém uma haste sobre a peça, podendo a haste mover-se na vertical. A forma da peça é tal que, enquanto a extremidade da haste sobe e desce, descreve, com passar do tempo, um movimento harmônico simples como indicado no gráfico. Assim, a frequência do movimento da extremidade da haste será de: a) 3,0Hz b) 1,5Hz c) 1,0Hz d) 0,75Hz e) 0,5Hz 26. (UFSC) A equação de um movimento harmônico simples π ), onde x está expresso em é: x = 10 cos (100πt+ 3 centímetro e t em segundos. Determine o valor numé-rico da razão entre a frequência e a amplitude deste movimento em Hz/cm. 27. (Faap) Um móvel com movimento harmônico simples obedece à função horária x = 7 cos (0,5πt), onde x é medido em cm e t em s. Determine o tempo necessário para que esse móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  23. 23. 28. (Acafe) O gráfico abaixo mostra a elongação em função do tempo para um movimento harmônico simples. Determinar a função horária do movimento. 29. O gráfico abaixo mostra a posição em função do tempo de uma partícula em Movimento Harmônico Simples no intervalo de tempo entre 0 e 10s. Determinar: a) a frequência. b) a pulsação. c) a velocidade máxima. 30. (Fuvest) Um ponto P percorre uma circunferência de raio R com velocidade angular constante ω. No instante t = 0, o ponto se encontra na posição A, indicada na figura. a) Qual a equação horária do movimento do ponto Q, projeção de P sobre o eixo x? b) Para que valor de x a velocidade de Q é máxima? 31. (Unesp) A distância entre as posições extremas ocu-padas por um pistão, no decorrer de seu movimento de vaivém, é igual a 0,5m e a velocidade média do pistão, quando se desloca de uma posição extrema para a outra, é 0,4m/s. A partir destes dados, determine: a) o período. b) a frequência desse movimento. 32. (Unicamp) Enquanto o ponto P se move sobre uma circunferência, em movimento circular uniforme com velocidade angular = 2 rad/s, o ponto M (projeção de P sobre o eixo x) executa um movimento harmônico simples entre os pontos A e A’. a) Qual é a frequência do MHS executado por M? b) Determine o tempo necessário para o ponto M deslocar-se do ponto B ao ponto C. Nota: B e C são os pontos médios de AD e A’D, respectivamente. 33. (ITA) Uma partícula em movimento harmônico simples oscila com frequência de 10Hz entre os pontos L e – L de uma reta. No instante ta partícula está no ponto 1 L 3 caminhando em direção a valores inferiores, e 2 atinge o ponto L 2 2 − no instante t2. O tempo gasto nesse deslocamento é: a) 0,021s b) 0,029s c) 0,15s d) 0,21s e) 0,29s 19 EM_V_FIS_010 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  24. 24. 20 EM_V_FIS_010 1. E 2. A 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. E 9. Aplicando T1 2 R1 3 = T2 2 R2 3 ⇒ 22 R3 = T2 2 (2R)3 ∴4 . 8 = T2 2 e T2 = 32 = 4 2 anos. 10. a) Como a órbita é estacionária, 24h. b) A força de atração é igual a força centrípeta. 11. D 12. A 13. A 14. B 15. D 16. C 17. A 18. a) o período é proporcional: ∴ 4 = 2 . O período dobra. b) Temos que a frequência é inversamente proporcio-nal ao período ⇒ a frequência cai pela metade. 19. D 20. C 21. D 22. B 23. D 24. C 25. D Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  25. 25. 26. a) θ0 = 5 rad b) ω = 3π rad/s c) v = ωA = 3π . 4 = 12πm/s 27. a) A = 50cm b) T = 20s c) f = 0,05Hz d) ω = 10 rad/s e) x = 50 cos 2 + 10 t ou x = 50 cos 3 2 + 10 t 28. a) A amplitude e a pulsação b) ƒ = 1Hz c) v = 0 d) t = 2k + 1 4 s, k ∈ N 1. D 2. C 3. C 4. B 5. C 6. a) Tx 3 ⇒ (53)2 = Dx 2 = Dx 3 ⇒ Dx = 25UA b) Vx= 2 . . 25UA 125 = 2 5 e VT= 2 1 1 ⇒ Vx VT = 2 5 . 1 2 e Vx VT = 1 5 = 0,2 7. a) FC = F­ ATRAÇÃO ⇒ mω2r = GMm r2 ∴ ω2 = GM r3 ⇒ ω = GM r3 b) Da questão anterior: ω2 = GM ⇒ r3 = GM r 3 ω2 ⇒ ω = 2 T S . A 3 ( )2 1 2 π R ∴v 2 = GM 3 2 2 R 3 GT 4 R . M = π GT π R T G π t) 010 FIS_GMT2 6,7 . 10-11 . 6 . 1024 . (8,64 . 104)2 ∴ r3 = = V_4 2 4 . 10 EM_21 r3 = 3 000 . 1021 40 = 75.1021m r = 3 75 . 1021 = 4,2 . 107m 8. FC = FA ⇒ v2 = GM R ∴ 2 T P 2 = GM R R3 = GMT2 4 2 ∴ R = GMT2 4 2 3 9. Temos F = G Mm d 2 F1 = G e F2 = Gm m R ∴ F F = 90 r r 10. FC = FA v = 2 T R , mas 4 2 2 π R 2 T GM R = ⇒ M= 4π2 π 3 2 11. ∴ 2 R T 2 = GM R ∴ M = 4 2 2 2 . Substituindo OG[M] = 1030kg 12. A 13. C 14. D 15. C 16. A 17. C 18. B 19. A 20. a) T = 2π = 2 10. 67 10 =2 67 ≅ 16,4s b) Permanece constante. 21. A 22. D 23. T1= 6s 24. C 25. B 26. A razão é igual a 5Hz/cm 27. t =1s 28. x = 2 cos (π + 2 29. a) f = 0,1Hz Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  26. 26. 22 EM_V_FIS_010 b) ω = 5 rad/s c) v = 4pcm/s 30. a) = Rcos ( π + ωt) 4 b) x = 0 31. a) T = 2,5s b) f = 0,4Hz 32. a) f = 1Hz b) = 1 6 s 33. B Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  27. 27. 23 EM_V_FIS_010 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  28. 28. 24 EM_V_FIS_010 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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