Astrofísica

1. LEIS DE KEPLER
NOVEMBRO/2023 PROF. ANDERSON AZEVEDO
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Muito Além do Ensino

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Leis de Kepler
Leis de Kepler sobre o movimento planetário foram desenvolvidas entre 1609 e 1619
pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler. As três leis de Kepler, usadas
para descrever as órbitas dos planetas do Sistema Solar, foram construídas com base
em medidas astronômicas precisas, obtidas pelo astrônomo dinamarquês Tycho
Brahe.

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Introdução às leis de Kepler
As contribuições deixadas por Nicolau Copérnico na área da astronomia romperam
com a visão geocentrista do Universo, derivada do modelo planetário de Claudio
Ptolomeu. O modelo sugerido por Copérnico, embora complexo, permitiu a previsão e
a explicação das órbitas de diversos planetas, entretanto, apresentava algumas falhas,
sendo a mais dramática delas uma explicação satisfatória para a órbita retrógrada de
Marte durante alguns períodos do ano.

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A resolução dos problemas inexplicáveis pelo modelo planetário de Copérnico veio
somente no século XVII, pelas mãos de Johannes Kepler. Para tanto, Kepler admitiu que
as órbitas planetárias não eram perfeitamente circulares, mas sim elípticas. Em posse
de dados astronômicos extremamente precisos, realizados por Brahe, Kepler
estabeleceu duas leis que regem o movimento dos planetas, 10 anos depois, publicou
uma terceira lei, que permite estimar o período orbital ou até mesmo o raio da órbita
dos planetas que giram em torno do Sol.

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Leis de Kepler
As leis do movimento planetário de Kepler são conhecidas como: lei das
órbitas elípticas, lei das áreas e lei dos períodos. Juntas estas explicam
como funciona o movimento de qualquer corpo orbitando algum astro
massivo, como planetas ou estrelas. Vamos conferir o que se afirma nas leis
de Kepler:

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1ª lei de Kepler: lei das órbitas
A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas que giram em torno
do Sol não é circular, mas sim elíptica. Além disso, o Sol sempre ocupa um
dos focos dessa elipse. Apesar de elípticas, algumas órbitas, como a da Terra,
são muito próximas de um circulo, pois são elipses que apresentam
uma excentricidade muito pequena. A excentricidade, por sua vez, é a
medida que mostra o quanto uma figura geométrica difere-se de
um círculo e pode ser calculada pela relação entre os semieixos da elipse.
“A órbita dos planetas é uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos.”

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A figura (fora de escala) mostra que a órbita da Terra é elíptica e que o Sol está em um
dos focos.

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2ª lei de Kepler: lei das áreas
A segunda lei de Kepler afirma que a linha imaginária que liga o Sol aos planetas que o
orbitam varre áreas em intervalos de tempo iguais. Em outras palavras, essa lei afirma
que a velocidade com que as áreas são varridas é igual, isto é, a velocidade aureolar
das órbitas é constante.
“A linha imaginária que liga o Sol aos planetas que o orbitam varre áreas iguais em
intervalos de tempos iguais.”

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De acordo com a lei das áreas, para o mesmo intervalo de tempo, as áreas A1 e A2 são
iguais.

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3ª lei de Kepler: lei dos períodos ou lei da harmonia
A terceira lei de Kepler afirma que o quadrado do período orbital (T²) de um planeta é
diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol (R³). Além disso, a
razão entre T² e R³ tem exatamente a mesma magnitude para todos os astros que
orbitam essa estrela.
“A razão entre o quadrado do período e o cubo do raio médio da órbita de um planeta é
constante.”
A expressão usada para o cálculo da terceira lei de Kepler é mostrada a seguir, confira:

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Observe a próxima figura, nela mostramos os semieixos maior e menor de uma órbita
planetária em torno do Sol:

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O raio médio da órbita, utilizado no cálculo da terceira lei de Kepler, é dado pela média
entre os raios máximo e mínimo. As posições mostradas na figura, que caracterizam a
maior e a menor distância da Terra em relação ao Sol, são chamadas de afélio e
periélio, respectivamente.

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Quando a Terra aproxima-se do periélio, sua velocidade orbital aumenta, uma vez
que a aceleração gravitacional do Sol intensifica-se. Dessa maneira, a Terra tem
máxima energia cinética quando nas proximidades do periélio. Aproximando-se do
afélio, ela perde energia cinética, tendo assim a sua velocidade orbital reduzida à
sua menor medida.

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18. FAÇA OS EXERCÍCIOS
SETEMBRO/2020 PROF. ANDERSON AZEVEDO
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Questão
1) Com base nos seus conhecimentos acerca da Primeira Lei de Kepler, assinale a
alternativa correta.
a) A velocidade de translação de um planeta que orbita o Sol é sempre constante ao
longo da órbita.
b) A razão entre o quadrado do período orbital dos planetas que orbitam a mesma
estrela e o cubo do raio médio de suas órbitas é constante.
c) A órbita dos planetas em torno do Sol é elíptica e tem o Sol em um de seus focos.
d) A linha imaginária que liga a Terra até o Sol varre áreas iguais em períodos iguais.
e) A velocidade de translação dos planetas depende da distância em que o planeta
se encontra do Sol.

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Questão
2) Com relação à energia cinética de um planeta que orbita o Sol em uma órbita
elíptica, assinale a alternativa correta.
a) Quanto mais distante o planeta estiver do Sol, maior deverá ser a sua energia
cinética.
b) A energia cinética torna-se máxima nas proximidades do periélio e mínima nas
proximidades afélio.
c) A energia cinética do planeta em órbita do Sol permanece sempre constante.
d) A energia cinética torna-se mínima nas proximidades do periélio e máxima nas
proximidades afélio.
e) A cada orbita, parte da energia cinética do planeta se perde, devido ao atrito com ar.

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Questão
3) De acordo com a Terceira Lei de Kepler, conhecida como lei dos
períodos, é falso afirmar que:
a) o cubo do raio médio das órbitas é proporcional ao quadrado do
período orbital.
b) a razão entre o quadrado do período orbital e o cubo do raio médio da
órbita terrestre é inversamente proporcional à massa do Sol.
c) o quadrado do raio médio das órbitas é proporcional ao cubo do
período orbital.
d) a razão entre o quadrado do período orbital e o cubo do raio médio da
órbita terrestre é inversamente proporcional à constante da gravitação
universal.
e) todas são falsas.

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Questão
4) Certo planeta A, que orbita em torno do Sol, tem período orbital de 1 ano. Se um
planeta B, tem raio orbital 3 vezes maior, qual será o tempo necessário para que esse
planeta complete uma volta em torno do Sol.
a) 1,5 anos
b) 2,5 anos
c) 8,0 anos
d) 3,5 anos
e) 5,2 anos

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Questão
5) O modelo de universo proposto por Kepler, apesar de Heliocêntrico, tinha disparidades
com o modelo de Copérnico. Marque a alternativa que contém tais disparidades.
a) No modelo de Copérnico as trajetórias dos planetas eram circulares, enquanto no de
Kepler as trajetórias eram elípticas. Como sabemos hoje, as trajetórias dos planetas ao
redor do sol são elípticas.
b) No modelo de Copérnico as trajetórias dos planetas eram elípticas, enquanto no de
Kepler as trajetórias eram circulares. Como sabemos hoje, as trajetórias dos planetas ao
redor do sol são elípticas.
c) Copérnico acreditava que o movimento no céu era circular e uniforme. A 3ª lei de
Kepler nos mostra que o movimento dos planetas ao redor do Sol é variado.
d) Copérnico acreditava também, de forma errada, que o movimento no céu era circular
e uniforme. A 2ª lei de Kepler nos mostra que o movimento dos planetas ao redor do
centro da galáxia é variado.
e) N.D.A

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(UNIFESP-SP) A Massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua e a
distância entre os centros de massa desses astros é aproximadamente 60 vezes o raio
da Terra. A respeito do sistema Terra-Lua pode-se afirmar que:
a) a Lua gira em torno da Terra com órbita elíptica e em um dos focos dessa órbita
está o centro de massa da Terra.
b) a Lua gira em torno da Terra com órbita circular e o centro de massa da Terra está
no centro dessa órbita.
c) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema
Terra-Lua, localizado no interior da Terra.
d) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema
Terra-Lua, localizado no meio da distância entre os centros de massa da Terra e da
Lua.
e) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema
Terra-Lua, localizado no interior da Lua.

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(UEPB) O astrônomo alemão J. Kepler (1571-1630), adepto do sistema heliocêntrico,
desenvolveu um trabalho de grande vulto, aperfeiçoando as ideias de Copérnico. Em
consequência, ele conseguiu estabelecer três leis sobre o movimento dos planetas, que
permitiram um grande avanço no estudo da astronomia. Um estudante ao ter tomado
conhecimento das leis de Kepler concluiu, segundo as proposições a seguir, que:
I. Para a primeira lei de Kepler (lei das órbitas), o verão ocorre quando a Terra está mais
próxima do Sol, e o inverno, quando ela está mais afastada.
II. Para a segunda lei de Kepler (lei das áreas), a velocidade de um planeta X, em sua órbita,
diminui à medida que ele se afasta do Sol.
III. Para a terceira lei de Kepler (lei dos períodos), o período de rotação de um planeta em torno
de seu eixo, é tanto maior quanto maior for seu período de revolução.
Com base na análise feita, assinale a alternativa correta:
a) apenas as proposições II e III são verdadeiras
b) apenas as proposições I e II são verdadeiras
c) apenas a proposição II é verdadeira
d) apenas a proposição I é verdadeira
e) todas as proposições são verdadeiras

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PRÓXIMA AULA
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

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