1. CINEMÁTICA
• Estudo das leis dos movimentos independentemente das causas
que os produzem.
• O repouso e o movimento de um corpo são conceitos relativos:
• corpo está em movimento se a sua posição relativa a outro
objecto varia com o tempo;
• corpo está em repouso se a sua posição relativa a outro
objecto não varia com o tempo.
• Exemplos:
B
(A)
O observador A verifica que o carro se afasta dele.
O observador B verifica que o observador A se afasta dele.
• Para descrever o movimento torna-se assim necessário
definir um sistema de referência ou um referencial:
3 eixos ortogonais e uma origem
• A trajectória do movimento depende também do referencial
adoptado para o estudar:
Y´
Terra
O´
Lua
X´
Z´
Y
O
Z
Sol
Trajectória da lua
relativamente à
Terra
X
Trajectória da lua
relativamente ao
Sol
O movimento relativo dos dois
referenciais OXYZ e O´X´Y´Z´ permite
conciliar as diferentes trajectórias da lua
observadas na Terra e no Sol

2. Paradoxo de Zeno e Elea (495-435 aC)
L
L/2
L/4
L/8
•
A corredora vai percorrendo metade do percurso que falta para chegar à árvore.
•
A corredora nunca mais chega até à árvore pois falta sempre percorrer uma
fracção do percurso. O intervalo de tempo total necessário é infinito !!
•
Para os gregos antigos a descrição matemática do movimento era problemática.
•
O paradoxo surge porque se parte do princípio de que a soma de um número
infinito de termos é infinito.
•
Como resolver o paradoxo?
O percurso é efectuado com uma velocidade constante, v.
Logo, para cada uma dos percursos tem-se
Como (∆x )1 =
v=
(∆x )i
(∆x )i
⇒ (∆t )i =
(∆t )i
v
L
L
L
L
L
; (∆x )2 =
; (∆x )3 =
; (∆x )4 =
; ...... ; (∆x )n =
2
4
8
24
2n
Somando todos os intervalos de tempo
∆t = (∆t )1 + (∆t )2 + (∆t )3 + ..... + (∆t )n =
tomando o limite n→∞ conclui-se que ∆t =
L1 1 1
1  L
1
 + + + ... +
 = 1 −


v2 4 8

2n  v  2n
L
resolvendo-se o paradoxo.
v





3. Movimento Curvilíneo
• Partícula descreve uma trajectória curvilínea no espaço
Z
tA
A
s
∆s
tB
B
∆r
Os
rA
rB
^
k
^
i
O ^
j
Y
X
s - deslocamento ao longo da trajectória curvilínea relativamente a
um ponto arbitrário Os
sA=OsA
sB=OsB
r
- vector-posição: define a posição da partícula na trajectória
através de um sistema referencial XYZ com origem no ponto O
^
^
r = OA= x ^ + y j + z k
i
A
A
A
A
^
^
^
rB = OB= xB i + yB j + zB k
∆s - deslocamento ao longo da curva
∆r - deslocamento
∆s= AB
∆r = rB - rA = AB
^
^
^
=(xB - xA )i + (yB - yA ) j + (zB - zA ) k
^
^
^
= ∆x i + ∆y j + ∆z k
• Velocidade média
r −r
∆r ∆x ^ ∆y ^ ∆z ^
v med = B A =
=
i+
j+
k
∆t ∆t
∆t
∆t
tB − t A
( v med
∆r )

4. • Velocidade instantânea ( v )
t2
v
^
uT
v med3 =
B2
t1
B1
∆r1
∆r2
t3
B3
∆r3
t0 A
v med2 =
t3 − t0
∆r 2
t2 − t 0
vmed1
vmed3
∆r1
=
∆r 3
∆t3
=
∆r 2
∆t 2
∆r1
t 1 − t 0 ∆t1
∆t1 < ∆t 2 < ∆t1
v med1 =
vmed2
∆r 3
=
ûT é o versor da tangente à
trajectória no ponto considerado
∆r dr
v = lim v med = lim
=
∆t → 0
∆t → 0 ∆t dt
^
Conclui-se que v
u T ou seja a velocidade instantânea, v , num
dado ponto é um vector tangente à trajectória nesse ponto.
v =
dr
dx ^ dy ^ dz ^
=
i+
j+ k
dt
dt
dt
dt
^
^
^
= vx i + vy j + vz k
v= v =
2
2
v 2 + vy + vz
x
dx

vx =

dt

dy

com v y =
dt

dz

v z = dt


5. Por outro lado e usando o deslocamento ao longo da trajectória (∆s):
 ∆r ∆s  
∆r
 =  lim ∆r
v = lim
= lim 
∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆s ∆t   ∆t → 0 ∆s

 

 lim ∆s
 ∆t → 0 ∆t





ds
=v
dt
pois ∆s
0
quando
∆t
0
∆r dr
=
lim
∆s → 0 ∆s ds




Velocidade
escalar
pois à medida que ∆s se aproxima de zero
^
∆s ≈ dr e dr é
uT
Logo
^
a uT
^
v = vuT
• Aceleração média (a velocidade pode variar em módulo e em
direcção)
Z
tA
A
vA
∆v = vB - vA
vB
amed
^
k
^
i
X
O ^
j
Y
tB
B
vB

6. a med =
∆v ∆v x ^ ∆v y ^ ∆v z ^
=
i +
k
j +
∆t
∆t
∆t
∆t
• Aceleração instantânea ( a )
a = lim a med
∆t →0
∆v d v d 2 r
= lim
=
=
dt
∆t →0 ∆t
dt 2
a aceleração é sempre dirigida para a concavidade da curva
pois a velocidade varia na direcção de curvatura da trajectória

dv x d 2 x
=
a x =
dt

dt 2
dv y ^ dv z ^
dv
dv ^

a =
= x i+
j+
k
dv y d 2 y

dt
dt
dt
dt
com a y =
=
dt
dt 2

^
^
^
= ax i + ay j + az k

2
a = dv z = d z
 z
dt
dt 2

2
2
a = a = a 2 + a y + az
x
• Conhecendo a aceleração a(t) podem-se determinar
integração a velocidade e a posição em qualquer instante t :
v
t
t
dv
a =
⇔ d v = a dt ⇔ ∫ d v = ∫ a dt ⇔ v = v o + ∫ a dt
dt
t
t
vo
o
o
r

t
t 
t
dr
 v o + ∫ a dt  dt
v =
⇔ d r = v dt ⇔ ∫ d r = ∫ v dt ⇔ r = ro + ∫
dt

to
to 
to
ro


por

7. t
v x = v ox + ∫ a x dt
to
t
v y = v oy + ∫ a y dt
to
t
v z = v oz + ∫ a z dt
to
t

x = x o + ∫ v ox + ∫ a x dt  dt

to 
to


t

t
t
y = y o + ∫ v oy + ∫ a y dt  dt

to 
to



t
t
z = z o + ∫ v oz + ∫ a z dt  dt

to 
to


• Movimento com aceleração constante
t
v = v o + ∫ a dt = v o + a (t − t o )
to
v
está sempre no plano
definido por vo e a
t
r − ro = ∫ v dt = v o (t − t o ) + a (t − t o )2
to
r - ro
encontra-se no
plano definido por vo e a
Conclui-se que
O movimento com aceleração constante ocorre sempre num
plano

8. • Tipos de movimento (independentemente em cada uma das
coordenadas x, y ou z):
i)
ii)
a=0 => v=constante => movimento uniforme
a=constante => movimento uniformemente variado
a v > 0 => movimento uniformente acelerado
(a velocidade aumenta ao longo do tempo)
a v < 0 => movimento uniformente retardado
(a velocidade diminui ao longo do tempo)
• Se se conhecer a dependência da aceleração no tempo,
a = f(t), é possível calcular a velocidade da partícula:
Exemplos de aplicação:
• Movimento uniforme : v=constante=v
t
to
=> a = 0
t
to
x = x o + ∫ v dt = x o + v ∫ dt = x o + v (t-t o )
• Movimento uniformemente acelerado ou retardado:
a = constante=a
t
t
to
to
v = v o + ∫ a dt = v o + a ∫ dt = v o + a (t-t o )
t
t
to
to
x = x o + ∫ v dt = x o + ∫ [v o + a ( t − t o )] dt = x o + v o (t-t o ) +
a
( t − t o )2
2

9. • Exemplo: Movimento de um Projéctil
(movimento curvilíneo de um corpo sujeito à aceleração
constante da gravidade)
1)
2)
3)
4)
Y
Escolher sistema de eixos
Definir a posição inicial ro
Definir a velocidade inicial vo
Definir a aceleração a
vA
A
vx
P
vo
g
vy
y
α
v
g
B
X
x
g
ro = 0
t o = 0s
v o = v ox i + v oy j = v o cos (α ) i + v o sen (α ) j
^
^
^
^
^
a = g = −g j
v = v o + a (t − t o ) = v ox i + v oy j − g t j
^
^
^
= v o cos(α ) i + (v o sen(α ) − g t ) j
^
vx
^
vy




t
t
 x + v dt  ^ +  y + v dt  ^
r = x i +y j = o ∫ x
i
j


 o ∫ y 
to
to




^
^
t

t

 ∫ [v o cos (α )]dt  ^ +  ∫ [v o sen (α ) − g t ]dt  ^
=
i
j




0

0


10.  x = v o cos(α )t


1 2
 y = v o sen (α )t − 2 gt

Equação da trajectória de um projéctil:
t=
g
x
⇒ y = x tg(α ) − x 2
2
v o cos(α )
2v o cos 2 (α )
Trajectória do projéctil
é uma parábola
No ponto mais alto (ponto A) tem-se vy=0 (velocidade horizontal) :
v sen(α )
v o sen(α ) − g t A = 0 ⇒ t A = o
g
a altura máxima que o projéctil atinge é então
v sen(α ) 1  v o sen(α ) 

h max = y(t = t A ) = v o sen (α ) o
− g

g
2 
g


2
2
v o sen 2 (α )
h max =
2g
O tempo necessário para o projéctil atingir o solo (tempo total de
trânsito) é calculado considerando y=0 :
0 = v o sen(α )t B −
2 v o sen(α )
1 2
g tB ⇒ tB =
= 2t A
2
g
corresponde a duas vezes o tempo para atingir a altura máxima (tA)

11. O alcance do projéctil correponde ao valor de xB :
x( t = t B ) = v o cos(α )t B = v o cos(α )
2v o sen (α )
g
⇓
x max =
2
v 0 sen(2α )
g
Qual a orientação da velocidade inicial para a qual o alcançe é
máximo?
2
2v 0 cos(2α max )
d x max
=0⇒
= 0 ⇒ 2α max = 90 º ⇒ α max = 45 º
dα
g
Os resultados anteriores para o movimento do projéctil são
válidos se:
1) O alcance é suficientemente pequeno para se poder
desprezar a curvatura da superfície terrestre;
2) A altitude é suficientemente pequena para que a variação
da aceleração da gravidade com a altura seja insignificante;
3) A velocidade inicial é suficientemente pequena para que a
resistência não seja importante.