Capítulo XI – Teoria da Camada Limite
1. Rotação de um fluido em um ponto
w
Uma partícula, movendo-se em um campo de escoa...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
w = wx ex + wy ey + wz ez
onde: wx é a rotação em torno do eixo...
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Rotação do elemento de fluido em tal campo de escoamento:
(rota...
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A rotação desta linha é devida a variação da componente da velo...
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A rotação da linha ob de comprimento ∆∆∆∆y resulta da component...
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A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade ...
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O termo entre colchetes é o RotacionalRotacional V =∇xV
A notaç...
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2. Função Corrente
* formas das linhas de correntes (inclusive ...
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Para o escoamento bidimensional de um fluido incompressível no
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Logo,
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Portanto, utilizando as equações (19) e 20)...
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combinando as equações (17) e (20) e derivando:
2
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3. Camada Limite
No escoamento irrotacional ∇xv = 0
todas as co...
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Considerando-se um corpo sólido no ar inicialmente escoando sem...
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Logo, nesta região fina, adjacente a parede do corpo sólido exi...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Em 19041904,, PrandtlPrandtl apresentou um trabalho onde se afi...
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4. Camada Limite numa Placa Plana
δ
V
V
V
sub-camada laminar
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À maiores valores de x, observa-se uma região de transição na q...
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O critério para se determinar o tipotipo dede camadacamada limi...
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5. Equações da Camada Limite Laminar
O fato do conceito da cama...
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Admitindo que o escoamento seja incompressível e que as forças ...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
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Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
OBS:
como δ <<<1 gradiente de pressão vertical é desprezível
Po...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Solução da camadacamada limitelimite laminarlaminar em placa pl...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
para y1 = y2
Admitindo que x1e x2 sejam tão próximos que se pos...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Sabendo que:
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dv
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dx
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x
2
x =
Então:
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1
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Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Com as seguintes condições de contorno:
c.c. I) y = 0 vx = vy =...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Para resolver esta equação, BlasiusBlasius usouusou oo MétodoMé...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
A técnica tem muito de intuitivo, mas pode ser racionalizada da...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Blasius fez este trabalho e encontrou :
η (x, y) = y
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Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Resumindo:
f'''(η ) + 1
2
f''( η) f(η) = 0
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Tabela 12.3: Função f(η) e suas derivadas (Sissom)
35
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Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
6a. Espessura da Camada Limite Laminar
Pela definição da espess...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
6b. Gradiente de Velocidade e Tensão de Cisalhamento na Superfí...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Portanto, se a tensão de cisalhamento na parede da placa plana ...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
sendo a área da placa dada por: A = B. L
onde B = comprimento n...
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7.Coeficiente de Atrito Local e Médio
Coeficiente de atrito adi...
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8.Solução Integral da Camada Limite - Laminar
(Método de Kárman...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
1) y = 0 vx (x,y) = 0 a(x) = 0
2) y =δ vx (x, y) = V
8
3) y =δ ...
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9.Camada Limite Turbulenta
Numa placa plana a espessura da cama...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Gradiente de pressão zero, a relação integral de von Kárman é:
...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
10.Escoamento com diferença de pressão
A solução de Blasisus pa...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
δ(x)
0
x
p
<
∂
∂
0
x
p
=
∂
∂
0
x
p
>
∂
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V∞
V∞
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Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Para o caso O resultado é a diminuição da quantidade de movimen...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Comentários:
Quando , mostra que esses dois gradientes são dire...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Para o caso
Gradiente de pressão favorável
A pressão atrás da p...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
A derivada segunda da velocidade será diferente de zero e será ...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
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de modo que , e considerando que
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Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Este último caso analisado é característico de um escoamento co...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
11.Coeficiente de Atrito para Escoamento na Entrada de Tubos
Qu...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
No escoamento laminar o comprimento de entrada é dado pela expr...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
Relação entre o coeficiente de atrito na região de entrada e o ...
Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous
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Capitulo xi camada l

  1. 1. Capítulo XI – Teoria da Camada Limite 1. Rotação de um fluido em um ponto w Uma partícula, movendo-se em um campo de escoamento tridimensional, geralmente, pode girar em torno dos três eixos de coordenadas. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous A rotaçãorotação, , de uma partícula é definida pela velocidadevelocidade angularangular médiamédia de duas linhas mutuamente perpendiculares, que se cortam no centro da partícula. pode girar em torno dos três eixos de coordenadas. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI 1 o b a ∆x ∆y y x tempo t tempo t +∆ t o α b a β η ∆ξ ∆ ∆∆ ∆ x
  2. 2. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous w = wx ex + wy ey + wz ez onde: wx é a rotação em torno do eixo x wy é a rotação em torno do eixo y wz é a rotação em torno do eixo z (1) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Expressão matemática da rotação nos fluidos Componentes da velocidade no campo de escoamento: vx (x,y) e vy(x,y) movimento de um elemento fluido no plano xy 2
  3. 3. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Rotação do elemento de fluido em tal campo de escoamento: (rotação em sentido anti-horário positivo) b ∆y y y y v v x x ∆ ∂ ∂ + x x v v y y ∆ ∂ ∂ + α b a β η ∆ξ ∆ ∆∆ + Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI * As linhas mutuamente perpendiculares, oa e ob giram no intervalo de tempo t Consideremos inicialmente, a rotação da linha oa de comprimento ∆∆∆∆x * Estas linhas giram perpendiculares se as velocidades nos pontos a e b forem diferentes em o. o a∆x x tempo t x∂ tempo t +∆ t o α η∆∆ ∆ x 3
  4. 4. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous A rotação desta linha é devida a variação da componente da velocidade segundo o eixo dos y. Se esta componente, no ponto o, vyo a velocidade no ponto a, segundo o eixo y, pode ser escrito (usando série de Taylor) x x v vv y yoy ∆ ∂ ∂ += (2) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI 4 A velocidade angular da linha oa: como (comprimento) x∂ t x/ lim t limw 0t0t oa ∆ ∆η∆ = ∆ α∆ = →∆→∆ tx x v y ∆∆ ∂ ∂ =η∆ (3) (4)
  5. 5. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous A rotação da linha ob de comprimento ∆∆∆∆y resulta da componente da velocidade seguindo o eixo dos x. Se a componente x da velocidade, no ponto o for designada por vxo, a componente da velocidade em b (série de Taylor): y y v vv x xox ∆ ∂ ∂ += y/ ∆ξ∆β∆ (5) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI A velocidade angular da linha ob: como (comprimento) t y/ lim t limw 0t0t ob ∆ ∆ξ∆ = ∆ β∆ = →∆→∆ ty y vx ∆∆ ∂ ∂ −=ξ∆ ( ) y v t y/tyy/v w xx ob ∂ ∂ −= ∆ ∆∆∆∂∂ −= (6) (7) (8) 5 OO sinalsinal negativonegativo éé aplicadoaplicado parapara dardar positivopositivo aa wwobob..
  6. 6. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angular média das duas linhas mutuamente perpendiculares oa e ob do elemento, no plano xy: Considerando a rotação das duas linhas perpendiculares nos planos yz e xz, podemos mostrar que:       ∂ ∂ − ∂ ∂ = y v x v 2 1 w xy z (9) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI xz, podemos mostrar que: e então:       ∂ ∂ − ∂ ∂ = z v y v 2 1 w yz x       ∂ ∂ − ∂ ∂ = x v z v 2 1 w zx y             ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ = z xy y zx x yz e y v x v e z v z v e z v z v 2 1 w rrrr (10) (11) 6
  7. 7. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous O termo entre colchetes é o RotacionalRotacional V =∇xV A notação vetorial pode ser escrita: w= 1 2 ∇ x V 1. O desenvolvimentodesenvolvimento dede rotaçãorotação em uma partícula fluida, inicialmente sem rotação, requer uma ação da tensãotensão tangencialtangencial nana superfíciesuperfície desta partícula; 2. A tensãotensão tangencialtangencial relacionada com a deformaçãodeformação angularangular, tem a presença das Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI O fator meio (1/2) pode ser eliminado na notação vetorial definindo: Vórtice, ζ ζ= 2 w=∇xV A vorticidade é a medida da rotação de um elemento fluido em um campo de escoamento. (12) 7 2. A tensãotensão tangencialtangencial relacionada com a deformaçãodeformação angularangular, tem a presença das forçasforças viscosasviscosas, significando que o escoamento é rotacional.
  8. 8. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous EmEm queque casocaso devedeve--sese esperaresperar oo escoamentoescoamento irrotacionalirrotacional?? A irrotacionalidade só é válida para aquelas regiões de escoamento nas quais as forças viscosas são desprezíveis. 8 Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Esta região existe, por exemplo, fora da camada limite do escoamento, sobre uma superfície sólida.
  9. 9. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 2. Função Corrente * formas das linhas de correntes (inclusive das de fronteira) Descrição matemática que descreva qualquer configuração típica de escoamento descrição adequada Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI * escala das velocidades nos pontos representativos do escoamento Instrumento matemático ϕ EstaEsta função é formulada pela relação entre as linhas de corrente efunção é formulada pela relação entre as linhas de corrente e oo enunciadoenunciado do princípio da conservação de massado princípio da conservação de massa Função Corrente,Função Corrente, 9
  10. 10. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Para o escoamento bidimensional de um fluido incompressível no plano xy, a equação que traduz o princípio da conservação de massa, é dada: 0 y yv x xv v = ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ • r Portanto, o Princípio da conservação de Massa indica: (13) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI ou seja, vx e vy estão relacionados entre si de algum modo Admitindo, que vx = F (x,y), tem-se: y v x v yx ∂ ∂ −= ∂ ∂ x )y,x(F x v y v xy ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ (14) (15) 10
  11. 11. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Logo, dy x )y,x(F vy ∫ ∂ ∂ −= No entanto, se for admitido que: onde funções contínuas para t=to y yx vyxF x ∂ ∂ == ),( ),( ϕ ),(),( yx e yx ∂∂ ϕϕ (16) (17) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI onde funções contínuas para t=to Para qualquer t, a função corrente ϕ( x,y,t), então: ),(),( y yx e x yx ∂ ∂ ∂ ∂ ϕϕ )y,x(ϕ ∫∫∫ ∂ ∂ =      ∂ ∂ ∂ ∂ =      ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= x y)(x, -dy y y)(x, x -dy y y)(x, x dy x y)F(x, vy ϕϕϕ (18) (19) 11
  12. 12. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous x y)(x, -vy ∂ ∂ = ϕ Portanto, utilizando as equações (19) e 20) ao invés de ter duas incógnitas vx e vy tem-se uma incógnita ϕ(x,y) a ser determinada, para descrever o escoamento. Logo, voltando ao escoamento bi-dimensional rotacional, onde : (20) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI combinando as equações (19) e (20) e derivando:       ∂ ∂ − ∂ ∂ = y v x v 2 1 w xy z 2 2 y ),(),( x v x yx x yx x ∂ ∂ −=      ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∂ ∂ ϕϕ (21) 12
  13. 13. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous combinando as equações (17) e (20) e derivando: 2 2 x ),( y v y yx ∂ ∂ = ∂ ∂ ϕ (22) de modo que: ou seja,        ∂ ∂ − ∂ ∂ −= 2 2 2 2 y)(x,y)(x, 2 1 yx wz ϕϕ         ∂ ∂ + ∂ ∂ =− 2 2 2 2 y)(x,y)(x, 2 yx wz ϕϕ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI como: então : No escoamento irrotacional: ∇2ϕ = 0 (Equação de Laplace)     ∂∂ 222 yx     ∂∂ 22 yx         ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ 2 2 2 2 2 y y)(x,y)(x, ϕϕ ϕ x ( )yx,2w 2 z ϕ∇=− (23) (24) 13
  14. 14. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 3. Camada Limite No escoamento irrotacional ∇xv = 0 todas as componentes de gradiente v sejam nulas, e isso ocorre com o termo dada viscosidadeviscosidade da equação de Navier-Stokes ( µ∇2 V ) também será nulo de modo Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI que o escoamento torna-se invíscidoinvíscido ee uniformeuniforme na seção considerada. Se o fluidofluido forfor invíscidoinvíscido nãonão haveráhaverá tensãotensão dede cisalhamentocisalhamento. Fluidos de viscosidade muito baixa (ex.: o ar) pode ser admitido que o escoamento é irrotacional, onde não foram encontradas grandes gradientes de velocidade. 14
  15. 15. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Considerando-se um corpo sólido no ar inicialmente escoando sem distúrbios, A Escoamento do ar em torno de um corpo sólido v∞ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Mesmo a viscosidade sendo baixa, pelo princípio da aderência , os fluidos reais aderem a superfície de um corpo sólido. Portanto, no ponto A a velocidade do fluido, em relação ao corpo sólido é zero, e dentro de uma distância relativamente pequena, a velocidade do ar atinge a velocidade do ar na corrente livre ( )v∞ 15
  16. 16. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Logo, nesta região fina, adjacente a parede do corpo sólido existe um gradientegradiente dede velocidadevelocidade, e apesar da viscosidade do fluido ser muito baixa, nessa região o escoamento é rotacional. Região adjacente a fronteira sólido-fluido Camada limite ForaFora dada CamadaCamada LimiteLimite,, nãonão háhá gradientegradiente dede velocidadevelocidade ee oo escoamentoescoamento éé irrotacionalirrotacional Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI No escoamentoescoamento turbulentoturbulento em um tubo, também se verifica uma região de turbulência 0vx =∇ r Escoamento irrotacional em um tubo 16
  17. 17. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Em 19041904,, PrandtlPrandtl apresentou um trabalho onde se afirmava que para um escoamento com poucopouco atritoatrito (baixas viscosidades) ou elevadoselevados númerosnúmeros dede ReynoldsReynolds há um decréscimodecréscimo nana regiãoregião dede influênciainfluência dada tensãotensão dede cisalhamentocisalhamento Precisamente, Prandtl discutiu sobre escoamentos em torno de objetos para elevados números de Re (baseados na dimensão característica do objeto e uma velocidade de escoamento do fluido). Para tal escoamento, Prandtl verificou as seguintes observações: Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI verificou as seguintes observações: 1. Os efeitos de atrito são confinados a uma camada muito fina, próxima ao contorno do objeto, chamada Camada Limite 2. O escoamento externo a essa camada pode ser considerado sem atrito, ou seja irrotacional 17
  18. 18. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 4. Camada Limite numa Placa Plana δ V V V sub-camada laminar x ∞v ∞v ∞v Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Laminar TurbulentoTransição x * espessura da camada limite está apresentada exageradamente * distância x é a distância a partir do canto esquerdo da placa 18
  19. 19. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous À maiores valores de x, observa-se uma região de transição na qual se verificam flutuações entre o regime laminar e turbulento na camada limite. Região da Camada Limite Laminar A região laminar começa no canto da placa e aumenta em espessura, a medida que se avança na placa. A região onde o escoamento próximo a parede da placa ainda é laminar, Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Finalmente, para x ainda maiores exitirá uma fina camada de fluido onde o escoamento continua sendo laminar e verificam-se elevados gradientes de velocidade. Sub-camada laminar Zona de transição 19
  20. 20. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous O critério para se determinar o tipotipo dede camadacamada limitelimite que está presente é o n° Reynolds LocalReynolds Local, definido por: Rex ≡ x v∞ ν onde: Re x = n° de Reynolds local x = distância a partir do canto da placa = velocidade da corrente livre do fluido (25) v∞ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI = velocidade da corrente livre do fluido ν = viscosidade cinemática do fluido Portanto: - camada limite laminar Re x = 2 105 - camada limite laminar ou turbulenta : 2 10 5 < Rex< 3 106 - camada limite turbulenta : Rex = 3 106 A espessura da camada limite (δ) é arbitráriarmente da superfície, onde a velocidade atinge 99% da velocidade da corrente livre, v∞ v∞ 20
  21. 21. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 5. Equações da Camada Limite Laminar O fato do conceito da camada limite envolver uma camada fina leva algumas importantes simplificações nas equações de Navier-Stokes. Considerando um escoamento bidimensional (nas direções x e y) sobre placa plana, as equações de Navier-Stokes são: Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Direção x: Direção y:         ∂ ∂ + ∂ ∂ µ+ ∂ ∂ −=       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ 2 x 2 2 x 2 x y x x x y v x v x p y v v x v v t v         ∂ ∂ + ∂ ∂ µ+ ∂ ∂ −=       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ 2 y 2 2 y 2 y y y x y y v x v y p y v v x v v t v 21 (26) (27)
  22. 22. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Admitindo que o escoamento seja incompressível e que as forças de campo possam ser desprezadas. Como a espessura da camada limite é muito pequena as variáveis na direção x tem ordem de magnitude(grandeza) maior do que na direção y. 5.1. Estudo da Ordem de Grandeza de Magnitude (ou Grandeza) Considerando as variáveis na direção x tenha ordem φ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Considerando as variáveis na direção x tenha ordem de magnitude 1 φ (1) Ordem de magnitude das variáveis na direção y, dentro da camada limite é muito menor e da ordem de δ φ( δ) sendo δδδδ <<1 O valor comparativo 1 é referente ao comprimento máximo 1 e a velocidade máxima envolvida neste problema. 22
  23. 23. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous )(~v,y )1(~v,x y x δφ φ )1( x vx φ→ ∂ ∂ Então, ) 1 ( y vx δ φ→ ∂ ∂ )1( y vy φ→ ∂ ∂ )( x vy δφ→ ∂ ∂ 2 2 v2 ∂ v2 ∂ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI )1( x v 2 x 2 φ→ ∂ ∂ ) 1 ( y v 22 x 2 δ φ→ ∂ ∂ ) 1 ( y v 2 y 2 δ φ→ ∂ ∂ )( x v 2 y 2 δφ→ ∂ ∂ De modo que a equação de Navier-Stokes na direção x:         ∂ ∂ + ∂ ∂ µ+ ∂ ∂ −=       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ 2 x 2 2 x 2 x y x x x y v x v x p y v v x v v t v 23
  24. 24. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Dividindo por “ρ” e admitindo que o escoamento seja permanente:         ∂ ∂ + ∂ ∂ ν+ ∂ ∂ ρ −=       ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 x 2 2 x 2 x y x x y v x v x p1 y v v x v v tem-se, pelo estudo de ordem de magnitude: ( )  ∂ 1p11 (28) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI ( )             δ φ+φν+ ∂ ∂ ρ −=      δ φδφ+φφ 2 1 1 x p11 )()1()1( ou seja: ( )             δ φ+φν+ ∂ ∂ ρ −=φ+φ 2 1 1 x p1 )1()1( 24
  25. 25. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous mas, como δ << 1 1 δ2 >> 1       δ φ<<φ 2 1 )1( Com base na análise acima despreza-se Equação deEquação de NavierNavier--StokesStokes na direção x torna-se: 2 x 2 x v ∂ ∂ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI 2 x 2 x y x x y v x p1 y v v x v v ∂ ∂ ν+ ∂ ∂ ρ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ Repetindo o mesmo estudo de ordem de grandeza para a direção y da equação de Navier-Stokes chega-se a conclusão que essa equação é de magnitude de modo que ela pode ser desprezada em relação a equação na direção x. φ(δ) 25 (29)
  26. 26. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous OBS: como δ <<<1 gradiente de pressão vertical é desprezível Portanto, as equações a serem usadas para determinar o perfil de velocidades na camada limite laminar sobre uma placa plana são: )φ( y p ;φ(1) x p δ= ∂ ∂ = ∂ ∂ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI 2 x 2 x y x x y v x p1 y v v x v v ∂ ∂ ν+ ∂ ∂ ρ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ Equação do movimento: 0 y v x v yx = ∂ ∂ + ∂ ∂ Equação da continuidade: 26
  27. 27. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Solução da camadacamada limitelimite laminarlaminar em placa plana Condições de Contorno adotadas: y = 0 vx = 0 vy = 0 BlasiusBlasius (1908)(1908) y = δ vx = V (constante) 8 6. Solução de Blasius para a Camada Limite Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Aplicação à equação de Bernoulli entre os pontos x1 e x2, em y = δ y = δ vx = V (constante) 8 2 2 xx 1 2 xx gy 2 v ρ p gy 2 v ρ p 2211 ++=++ 27 (30)
  28. 28. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous para y1 = y2 Admitindo que x1e x2 sejam tão próximos que se possam escrever: 2 v 2 v ρ p ρ p 2 x 2 xxx 1221 −=− ∆xxx 12 += 2 vv ρ pp 2 x 2 ∆xxxxx 1111 −+∆+− = (31) (32) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI 0∆xquandolimiteotomandoe∆x,porDividindo → x2∆ vv lim ρ∆x p lim 2 x 2 ∆xx 0x px 0x 11∆x1x1 −+ →∆ − →∆ = + Então: dx dv 2 1 dx dp ρ 1 2 x= 28 (33) (34)
  29. 29. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Sabendo que: dx dv 2v dx dv x x 2 x = Então: dx dp ρ 1 dx dv 2v 2 1 x x −= dx dp ρ 1 dx dv v x x −= Na extremidade da camada limite: y = δ v = V (constante) dvx = 0 dp = (35) (36) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI y = δ vx = V (constante) 8 0 dx dvx = 0 dx dp = As equações a serem utilizadas para descrever o perfil de velocidade na camada limite sobre uma placa plana são: e2 x 2 x y x x y v ν dy dv v dx dv v ∂ ∂ =+ 0 dy dv dx dv yx =+ 29 (37)
  30. 30. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Com as seguintes condições de contorno: c.c. I) y = 0 vx = vy = 0 ∞∞ →∞→== vvyouvvδyc.c.II) xx Blasius integrou as equações diferenciais acima para achar vx e vy, em função x e y, utilizando o conceito de função corrente: ϕ (x, y) - função corrente Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI ϕ (x, y) - função corrente x y)(x, ve y y)(x, v yx ∂ ∂ = ∂ ∂ = ϕϕ obtém-se: y y)(x, y y)(x, x y)(x, - yx y)(x, y y)(x, 3 3 2 22 ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ν ϕϕϕϕ (38) 30
  31. 31. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Para resolver esta equação, BlasiusBlasius usouusou oo MétodoMétodo dede CombinaçõesCombinações dede VariáveisVariáveis: Esse método é um truque para resolver equações derivadas parciais (EDP) As vezes a situação física do problema permite associar x e y em uma só variável adimensional geralmente chamadachamada ηη Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI equação de derivada parcial transforma-se em uma equação diferencial ordinária (EDO) 31
  32. 32. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous A técnica tem muito de intuitivo, mas pode ser racionalizada da seguinte maneira: 1) propõem-se combinar as variáveis independentes na forma:: (variável dependente)ηxKy mn = 2) substitui-se na equação (38) e procura-se um ajuste com liberdade de escolher K, n e m de maneira a transformar a EDP em EDO 32 Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI 4) resolve-se a EDO 3) verifica-se as condições de contorno
  33. 33. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Blasius fez este trabalho e encontrou : η (x, y) = y V ∞ ν x portanto n = 1/2 , m = 1 , Desta maneira a situação física fez com que ele conseguisse uma EDO (também chamado de soluçãosolução porpor similaridadesimilaridade). 1/2 ν v K       = ∞ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI A equação de Blasius é complexa, mas fica na forma simplificada, utilizando a função corrente e em termos de η . f(η) = ϕ (x, y) x νV∞ ou ϕ (x, y) = xνV∞ f(η) 33 (39) Ver solução em material complementar
  34. 34. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Resumindo: f'''(η ) + 1 2 f''( η) f(η) = 0 c.c. I) 0 0f =( )η 0f =( )η′⇒=η c.c. II) η = ∞ ⇒ f'(η ) = 1 Blasius resolveu a equação por expansão em série de Taylor, mas hoje (40) Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Blasius resolveu a equação por expansão em série de Taylor, mas hoje pode-se resolver através de métodos computacionais. Através de tabelas encontra-se valores de f"(η), f'(η) e f(η) de modo que, como η está relacionado com y e f'(η) vx / v , usando vários valores de η, tem-se os correspondentes valores de f' (η) e consequentemente os valores de vx. . ∞ (tabela 12.3, Sissom) 34
  35. 35. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Tabela 12.3: Função f(η) e suas derivadas (Sissom) 35 Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI
  36. 36. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 6a. Espessura da Camada Limite Laminar Pela definição da espessura da camada limite: pela tabela f(η) e suas derivadas - quadro 12.3 Sissom vx V∞ = 0,9915 η = 5,0 y =δ vx= 0,99 v∞ v∞ 1/2 Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI V∞ = 0,9915 η = 5,0 η= y v∞ xν 1/2 y = δ 5,0 v ∞ x ν 1/2 = δ x δ x= 5,0 Rex Re x = v ∞ x ν Espessura da camada limite laminar em qualquer ponto a partir do canto da placa 36 5,0 =δ v∞ xν 1/2
  37. 37. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 6b. Gradiente de Velocidade e Tensão de Cisalhamento na Superfície da Placa Plana Gradiente de velocidade na superfície da placa plana é dado por: (0)f xν v v y v 1/2 0y x ′′      = ∂ ∂ ∞ ∞ = Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Do quadro (12.3) η= 0 f''(0) = 0,33206 1/2 0y x xν v v33206,0 y v       = ∂ ∂ ∞ ∞ = 37
  38. 38. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Portanto, se a tensão de cisalhamento na parede da placa plana for: 0y x o y v =∂ ∂ µ=τ 2/1 0y x x v v33206,0 y v       ν = ∂ ∂ ∞ ∞ = 2/1 o x v v33206,0       ν µ=τ ∞ ∞ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI 6.c. Força de arraste na superfície da placa plana (devida a tensão de cisalhamento) A força de arraste é causada pela tensão de cisalhamento na superfície de um objeto sólido movendo-se num fluido viscoso. Sendo Fk a força de arraste sobre a placa plana dAF A oK ∫τ= 38
  39. 39. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous sendo a área da placa dada por: A = B. L onde B = comprimento na direção z (não há escoamento) L = comprimento na direção x dA = B dL de modo que: dxv 0,33206 µ,BF 1/2L     = ∞ ∫ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI de modo que: x dx xν v 0,33206 µ,BF 0 K       = ∞ ∞ ∫ ρµ= ∞∞ LvBv664,0FK 39
  40. 40. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 7.Coeficiente de Atrito Local e Médio Coeficiente de atrito adimensional: de modo que para uma placa plana: 2/v2/v A/F C 2 o 2 K f ∞∞ ρ τ = ρ = 2/1 328,1LvBv664,0  µρµ ∞∞ Coeficiente de atrito médio Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI e para qualquer ponto x sobre a placa: L 2/1 2f Re 328,1 Lv 328,1 2/vBL LvBv664,0 C =      ρ µ = ρ ρµ = ∞∞ ∞∞ Coeficiente de atrito local x 2/1 2 22/1 2f Re 664,0 xv v 664,0 x v v v332,0 C =         ρµ µ =      νρ µ = ∞ ∞∞ ∞ ∞ 40
  41. 41. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 8.Solução Integral da Camada Limite - Laminar (Método de Kárman - Pohlhausen) Partindo da Equação da Continuidade, da Quantidade de Movimento e da Lei da viscosidade de Newton, obtêm-se: ( ) ρ τ dyvvv x o δ x 2 x −=− ∂ ∂ ∫ ∞Forma integral para camada limite: Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI ( ) ρ dyvvv x 0 xx −=− ∂ ∫ ∞Forma integral para camada limite: Para resolução desta integral aproxima-se v (x,y) para um polinômio com a seguinte forma: vx (x, y) = a(x) + b(x) y + c(x) y2 + d(x) y 3 (ver resolução m folhas em anexo) 41
  42. 42. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 1) y = 0 vx (x,y) = 0 a(x) = 0 2) y =δ vx (x, y) = V 8 3) y =δ 0 y vx = ∂ ∂ v2∂ Condições de contorno: Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI 4) y = 0 0 y v 2 x 2 = ∂ ∂ Supondo perfil linear próximo a superfície δ x = 4,64 Rex 1/2 Camada Limite Laminar 42
  43. 43. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 9.Camada Limite Turbulenta Numa placa plana a espessura da camada limite turbulenta pode ser obtida pelo método integral, onde se utiliza o perfil power-law para velocidade. n=1/7 complexidade em utilizar o perfil universal 7/1 x y vv     = ∞ O perfil do escoamento turbulenta através de um tubo liso pode ser representada pela relação empírica Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI n=1/7 complexidade em utilizar o perfil universalx y vv       δ = ∞ e a relação de Blasius para a tensão de cisalhamento: (tubos) 4/1 .max.maxx 2 .maxxo yv v0225,0         ν ρ=τ Retubo<105 Resuperfície plana<107 ymax.= R (tubos) ymax.= δ (superfície plana) 43
  44. 44. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Gradiente de pressão zero, a relação integral de von Kárman é: ( ) ρ τ dyvvv x o δ 0 x 2 x −=− ∂ ∂ ∫ ∞ Aplicando estas três equações, e integrando, obtêm-se: δ 0,376 Espessura da camada limite Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI δ x=0,376 Rex( ) 1/5 Espessura da camada limite turbulenta Coeficiente de atrito local5/1 x fx Re 0576,0 C = Rex<107 Placas planas lisas 44
  45. 45. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 10.Escoamento com diferença de pressão A solução de Blasisus para escoamento laminar sobre uma placa plana admitiu que a pressão era constante, e consequentemente o gradiente de pressão era nulo. No entanto, se o gradiente de pressão não for nulo, a equação de Navier-Stokes na direção x é: Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Navier-Stokes na direção x é: 2 x 2 x y x x y v ν x p1 y v v x v v ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ na superfície, onde y = 0 e vx = vy= 0 será: 2 x 2 y v x p1 ∂ ∂ µ= ∂ ∂ ρ 45
  46. 46. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous δ(x) 0 x p < ∂ ∂ 0 x p = ∂ ∂ 0 x p > ∂ ∂ V∞ V∞ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Fluxo invertido ponto de descolamento Perfis de velocidade em escoamento com separação de fluxo 0 y v 0y x = ∂ ∂ = 46
  47. 47. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Para o caso O resultado é a diminuição da quantidade de movimento, não é sendo suficiente para levar a partícula ao repouso. 0 x p = ∂ ∂ y y y vx y vx ∂ ∂ 2 x 2 y v ∂ ∂ Saída da camada limite Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI vx - + 2 x 2 y v ∂ ∂ y vx ∂ ∂ Variação da velocidade e suas derivadas ao longo da camada limite quando0 x p = ∂ ∂ superfície 47
  48. 48. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Comentários: Quando , mostra que esses dois gradientes são diretamente proporcionais 2 x 2 y v x p1 ∂ ∂ µ= ∂ ∂ ρ 0 y v e0 x p 2 x 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ Portanto, próximo a parede o perfil de velocidades é linear Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI A medida em que se aproxima do fim da camada limite o gradiente de velocidade vai diminuindo até tornar-se nulo. A segunda derivada é nula na superfície da placa, negativa no interior da camada limite e volta a ser nula a saída da camada limite. Portanto, próximo a parede o perfil de velocidades é linear O decréscimo na 1° derivada implica que a segunda derivada seja negativa. 48
  49. 49. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Para o caso Gradiente de pressão favorável A pressão atrás da partícula (auxiliando seu movimento) é maior do que a oposta ao seu deslocamento. A partícula é "desacelerada segundo a pressão em colina", mas sem perigo de ter sua velocidade anulada. y y y 0 x p < ∂ ∂ gradiente de pressão negativa, na superfície Saída da Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI y vx y - + Variação da velocidade e suas derivadas ao longo da camada limite quando 2 x 2 y v ∂ ∂ y vx ∂ ∂ 0 x p < ∂ ∂ superfície Saída da camada limite 49
  50. 50. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous A derivada segunda da velocidade será diferente de zero e será negativa, mas a medida que : )tetancons(vvsejaou0 y v e0 y v δy x x 2 x 2 ∞→→ ∂ ∂ → ∂ ∂ ⇒→ Para o caso 0 x p > ∂ ∂ Na superfície da placa Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI O gradiente de pressão se diz adversa se a pressão cresce no sentido do escoamento. A partícula poderia ser levada ao repouso provocando em suas vizinhanças o afastamento do fluido do contorno sólido. Quando acontece, diz-se que o fluxo descola da superfície. 0 x p1 y v 0y 2 x 2 > ∂ ∂ ρ = ∂ ∂ µ = 50
  51. 51. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous . de modo que , e considerando que quando , sempre pelo 0 y v 0y 2 x 2 > ∂ ∂ µ = 0 y v 2 x 2 → ∂ ∂ µ δ→y lado negativo ter-se-á o comportamento da figura abaixo y y y Saída da camada limite Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI v x - + superfície 2 x 2 y v ∂ ∂ y vx ∂ ∂ Variação da velocidade e seus gradientes na camada limite quando 0 x p > ∂ ∂ 51
  52. 52. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Este último caso analisado é característico de um escoamento com separação de fluxo, que se verifica no escoamento em torno de corpos sólidos de geometria não plana. Nesse tipo de escoamento verificam-se perfis de velocidade onde se caracteriza um ponto de separação e uma região de separação. Para que haja uma região de separação é imprescindível que mas somente a existência de um gradiente de pressão adverso, 0 x p > ∂ ∂ Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI não é suficiente para garantir que se verifique uma região de separação. É necessário também que a geometria favoreça o aparecimento dessa região. região de vórtices (região de separação) Região de vórtices num escoamento em torno de um corpo sólido 52
  53. 53. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous 11.Coeficiente de Atrito para Escoamento na Entrada de Tubos Quando um fluido entra num tubo forma-se uma camada limite junto a superfície interna deste, e a medida em que se aumenta para o interior do mesmo, verifica-se que essa camada limite vai aumentando em espessura, até um ponto em que a camada limite preenche totalmente a área de escoamento. A partir desse ponto o perfil de velocidade não mais se altera e o escoamento é chamado plenamente desenvolvido. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI é chamado plenamente desenvolvido. A velocidade do fluido no centro do tubo é 2v (veloc. do fluido na corrente livre) LexV Variação do perfil de velocidade de entrada de um tubo (Comprimento de entrada) 53
  54. 54. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous No escoamento laminar o comprimento de entrada é dado pela expressão de Langhaar: Le D = 0,0575 Re Onde, D = diâmetro interno do tubo No escoamento turbulento não existe uma expressão para o comprimento de entrada, mas os estudos experimentais levaram a conclusão que: Le = 50D Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Le = 50D Os resultados indicaram um maior coeficiente de atrito próximo da entrada, que vai diminuindo a medida em que se caminha para o interior do tubo. Essas observações são devidas aos elevados gradientes de velocidade próximos a parede do tubo na entrada. (Langhaar)Coeficiente de atrito para escoamento laminar na região de entrada 54
  55. 55. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Relação entre o coeficiente de atrito na região de entrada e o coeficiente de atrito no escoamento plenamente desenvolvido em função da razão entre a distância a partir da entrada e o diâmetro do tubo para o escoamento laminar. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Le/D Cfent. Cf desnv. 10 0 0 escoamento laminar plenamente desenvolvido Coeficiente de atrito na região de entrada no escoamento laminar x/D 55
  56. 56. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI-Profa.KatiaTannous Cfent. Cf desnv. Unicamp/FEQ/EQ541FenômenosdeTransporteI Le/D 10 0 0 escoamento turbulento desenvolvido camada limite laminar camada limite turbulenta x/D Perfil de velocidade e variação do fator de fricção em escoamento turbulento na região próxima a entrada do tubo É importante observar que em algumas situações o escoamento nunca atinge a condição de plenamente desenvolvido. Nessas situações o coeficiente de atrito será sempre maior do que os preditos pelos gráficos como de Moody. 56

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