Asep1 2016.1

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SANTARÉM - Celpa - Subestação Muiraquitã.
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS
DE POTÊNCIA
NOTAS DE AULA - 9º PERÍODO
Autor: Professor Paulo Rogério Pinheiro Nazareth
Aluno(a): ............................................................................................................................

2
2
TÓPICOS
I- CONSIDERAÇÕES GERAIS EM SEP ........................................................................................ 03
II-CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................................................... 08
III-GRANDEZAS EM “PU”............................................................................................................... 29
IV-REPRESENTAÇÃO DE SEP’s .................................................................................................... 33
V-ESTUDOS DE CURTO-CIRUITOD EM SEP’s ........................................................................... 38
VI-IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIA DOS COMPONENTES DO SEP ........................................ 51
VII-FALTAS ASSIMÉTRICAS EM SEP ........................................................................................... 54
VIII-COMPARAÇÃO DOS NÍVEIS DE CURTO-CIRCUITO ASSIMÉTRICOS EM FUNÇÃO DO
CURTO-CICUITO TRIFÁSICO ....................................................................................................... 58
IX-CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO ATRAVEZ DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA ZBUS ....... 60

3
3
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ( SEP )
I- CONSIDERAÇÕES GERAIS EM SEP.
I.1- Introdução.
Engenharia de SEP é o ramo da engenharia que lida com a tecnologia de geração, transmissão e
distribuição de energia elétrica.
O engenheiro de um SEP deverá saber planejar, projetar e operar com um SEP. Esta tecnologia
compreende o estudo de vários tópicos tais como: Análise, Planejamento, Dinâmica de Geração,
Proteção, Estabilidade, Confiabilidade, Sobretensões, Operação Econômica, Distribuição de SEP, etc.
I.2- Objetivo.
Gerar energia elétrica suficiente nos locais mais adequados, transmitir essa energia em grosso até o centro
de carga e então distribuí-la aos consumidores individuais de forma e qualidade adequadas e ao mais
baixo preço econômico e ecológico.
Os SEP são projetados para atender certas exigências, tais como:
a)Confiabilidade de suprimento; b) Economia ( técnica e ecológica );
c)Qualidade de suprimento ( V = cte e f = cte ).
I.3- Classificação das Tensões.
NÍVEL TENSÕES NOMINAIS DISPONÍVEIS CLASSE DE TENSÃO
Baixa Tensão
110 ...... 127 V
220 ...... 230 V
380 V
415 ...... 480 V
660 V
1 kV
Média Tensão
2,4 kV; 3,3 kV; 4,16 kV; 6,6 kV; 7,2 kV
11 kV; 13,2 kV; 13,8 kV
20 kV; 23,2 kV; 24,2 kV
36,2 kV
7,2 kV
15 kV
24 kV
36 kV
Alta Tensão
66 kV; 69 kV
138 kV
230 kV
69 kV
138 kV
230 kV
Extra Alta
Tensão
345 kV
450 kV ..... 550 kV
550 kV ..... 750 kV
345 kV
550 kV
750 kV
I.4- Estrutura do SEP.
O SEP opera em diversos níveis de tensão separados por transformadores.
a) Nível de distribuição





V220/V380;V127/V220Secundária
kV5,34;kV8,13imáriaPr
b) Nível de subtransmissão - 22 kV a 69 kV ou 138 kV
c) Nível de transmissão - 138 kV; 230 kV

4
4
- EAT: 345 kV; 450 kV; 550kV; 750 kV
I.5- Estado de um SEP.
Basicamente um SEP pode operar em dois estados:
- SEP em regime permanente;
- SEP fora do regime permanente (regime transitório).
I.5.1- SEP em regime permanente.
Neste caso são comuns os seguintes tipos de estudos:
1- Fluxo de Potência (Load Flow).
Os estudos de fluxo de potência são realizados, principalmente para fins de planejamento e operação. O
estudo do fluxo de potência nos fornece a condição de tensão em todas as barras em módulo e ângulo de
fase, bem como o fluxo de potência ativa (P) e reativa (Q) em todas as linhas do sistema.
Com as informações obtidas do estudo de fluxo de potência, pode-se pesquisar:
→ Modificação da configuração do sistema, ou seja, Novas LT’s? Rearranjo das existentes?
→ Modificações das características do sistema, ou seja, Mudar o condutor? Mudar a V do sistema?
→ Emergências no sistema, tais como Perdas de LT’s, e Geradores.
→ Otimização da operação do sistema quanto à distribuição de cargas do sistema, minimização de
perdas, utilização de Trafo com e sem taps variáveis em carga (LTC).
2- Operação Econômica do Sistema.
Uma determinada carga pode ser alimentada por diferentes alternativas, dependendo dos despachos de
geração das usinas, do perfil de tensão V do sistema e da configuração de linhas de transmissão (LT’s) do
sistema.
Portanto, é necessário decidir a estratégia operacional ótima do sistema levando-se em conta:
→Despacho de geração mais econômico.
→Critérios de custos (operacionais de combustíveis).
→Critério de perdas nas linhas de transmissão, para diferentes configurações e diferentes despachos
de geração.
3- Controle do Sistema.
Controle f x P (Carga x Frequência)
Controle V x Q (Tensão x Reativos)
I.5.2- SEP fora do regime permanente ( regime transitório ).
Durante o funcionamento de um SEP poderão ocorrer diversos fenômenos transitórios devido a:

5
5
1- Variações momentâneas ou permanentes do sistema, provocado por:
→ descargas atmosféricas; → manobras do circuito; → desligamento de geradores;
→ desligamento de cargas; → ocorrência de curtos-circuitos.
2- Variação de alguma grandeza eletromecânica do sistema.
Consequentemente vão surgir oscilações de potência, tensão e corrente do sistema.
As OSCILAÇÕES DE POTÊNCIA poderão tirar o sistema de sincronismo.
As ELEVADAS TENSÕES E CORRENTES poderão danificar os equipamentos.
Os transitórios são classificados de acordo com a sua velocidade e duração em:
 Transitórios Ultrarrápidos ou classe A, que constitui o chamado ESTUDO DE
SOBRETENSÕES.
São caracterizados por fenômenos de pontos de tensão, causados por:
Descarga atmosférica nas LT’s Operações de manobra (switching operations)
São de natureza elétrica provocando ondas eletromagnéticas que se propagam pela linha à velocidade da
luz. O elemento que controla ou elimina estes transitórios são os para-raios do sistema. A duração deste
transitório pode chegar até 5 ms após a ocorrência, provocando perigosas sobretensões. A finalidade do
Estudo de Sobretensões é de fornecer elementos para estabelecer um esquema e proteção contra
sobretensões e determinar o nível básico de isolamento (NBI) dos equipamentos do SEP.
 Transitórios Medianamente Rápidos ou classe B, que constitui o chamado ESTUDO DE
CURTOS-CIRCUITOS.
São caracterizados por fenômenos de curto-circuito, causados por falhas de isolamento de LT ou
equipamentos após surtos de tensão ou contatos acidentais entre fases, fase e terra, ou causas mecânicas
diversas.
São também de natureza elétrica e são determinadas basicamente pelo acoplamento magnético entre os
enrolamentos dos geradores. Quanto à duração, nos primeiros 10 ciclos do curto-circuito, na prática são
de importância maior, porém os estudos se prolongam até 100 ms após a ocorrência do curto-circuito.
1,2 50 μseg
100%
50%
Tensão - V
70 a 250 300 μseg
100%
50%
Tensão - V

6
6
Os curtos-circuitos acarretam um colapso total ou parcial da tensão do sistema e as correntes podem
alcançar valores maiores que as limitações técnicas dos equipamentos e LT’s.
Os elementos responsáveis por controlar ou eliminar tais transitórios são os relés e disjuntores,
religamento automático.
A finalidade do Estudo de Curto-circuito é de determinar presumidamente as correntes e tensões de
falta para selecionar os disjuntores do sistema e escolher o sistema de proteção por relés que deverão
sentir o defeito e iniciar o chaveamento seletivo para minimizar os problemas técnicos dos
equipamentos e as oscilações mecânicas dos motores.
 Transitórios Lentos ou classe C, que constitui o chamado ESTUDO DE ESTABILIDADE.
São fenômenos de estabilidade transitória e dinâmica, causados por curto-circuito que ocorre num ponto
vital do sistema não eliminado com sucesso e/ou a tempo. São de natureza eletromecânica, envolvendo as
oscilações mecânicas dos rotores das máquinas síncronas. Sua duração vai de fração de segundo a um
minuto ou mais. As oscilações do rotor podem tirar máquinas de sincronismo e provocar o colapso total
ou parcial do sistema.
Estes transitórios podem ser controlados ou eliminados pela eficiência do sistema de proteção que deve
eliminar o defeito.
A finalidade do estudo de estabilidade é estabelecer estratégias de operação que minimizem os efeitos das
ocorrências usando outros tipos de proteção ou outros tipos de relés, chaveamento no sistema de LT’s
e/ou Geradores, e rejeição de cargas.
QUADRO RESUMO DE ESTUDO E ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
REGIME PERMANENTE
SENOIDAL (60 Hz)
REGIME DINÂMICO
(0,1 Hz a 100 Hz)
REGIME TRANSITÓRIO
(1 Hz a 100 MHz)
Análise no domínio
da
FREQUÊNCIA
Análise no domínio do
TEMPO e
APROXIMAÇÕES
Análise no domínio do TEMPO
e/ou da
FREQUÊNCIA
 Curto-circuito;
 Fluxo de Carga;
 Estabilidade Estática.
 ⇒ Estabilidade
Transitória.
 Transitórios
Eletromecânicos
Faltas
1 Hz
a
10 kHz
Manobras
100 Hz
a
100 kHz
Sobretensões
Atmosféricas
100 kHz
a
1 MHz
Corona
1 MHz
a
100 MHz

7
7
II-CONCEITOS BÁSICOS.
II.1-Representação de Tensão e Corrente.
A forma de onda de tensão nos barramentos de um SEP pode ser assumida como sendo puramente
senoidal e de frequência constante.
- As correntes e tensões senoidais são representadas na forma fasorial e com letras maiúsculas, como
por exemplo, V; I.
- IeV → Módulos de V e I respectivamente.
- Os valores instantâneos de corrente e tensão serão designados por letras minúsculas. Ex.: v(t) ou v;
i(t) ou i
- Quando uma tensão gerada (força eletromotriz) está especificada, usa-se a letra E em vez de V para
enfatizar o fato de uma genérica diferença de potencial entre dois pontos está sendo considerada.
- Se uma tensão ou corrente são expressas em função do tempo, tais como:
v(t) = 141,4cos (wt + 30º) e i(t) = 7,07coswt, teremos:
Vmáx=141,4 V; Imax=7,07 A
Vrms = Vef = )CAsvoltímetronoslido(V100=
2
4,141
=V=
2
Vmáx
)CAosamperímetrnoslido(A5=
2
07,7
=I=
2
I
=I=I máx
efrms
-Expressando como fasores, fica:
)A(0j+5=IouAº05=I
);V(50j+6,86=VouVº30100=V
∠
∠
-A potência média dissipada em um resistor é .
2
RI
II.2-Notação com subscrito único.
Considere o circuito CA a seguir com fem Eg e impedância de carga ZL.
II.3-Notação com subscrito duplo.
Observando o mesmo circuito anterior, podemos destacar:
IL = Iab → sentido positivo da corrente de a → b.
Iab = - Iba = 180baI
 180babaab VVV
Aabab ZIV 
-
ZL
Eg
Zg
ZA
IL
Vt
VL
b
o n
a
LbLbtata
Lggt
A
Lt
L
VVevvVVevv
setemreferênciadeneonósosSendo
IZEV
Z
VV
I





;
:,
;

8
8
Da 2ª Lei de Kirchhoff (LKT), temos que:
A
bnao
abbnaoAab
bnAabao
bnaboa
Z
VV
IVVZI
VZIV
VVV




0
0
II.4- Sistema de Transmissão de Energia Elétrica
Os sistemas de transmissão de energia elétrica são projetados para atender a certos critérios mínimos, tais
como:
a)Capacidade de transmissão de energia;
b)Qualidade de transmissão;
c)Confiabilidade;
d)Economia.
II.4.1- Características básicas da energia elétrica
Inicialmente, devemos ressaltar que, por várias razões, é conveniente na maior parte das ocasiões dar
atenção, não à energia w em si, mas a sua taxa de variação com o tempo, ou a potência p, onde:
dt
dw
p

 (Watts)
Nota: Usaremos letras minúsculas para indicar funções do tempo ou valores instantâneos.
Explicitando a energia w da equação anterior, fica:

t
t0
pdtw (Ws ou J)
Observe que w dependerá do instante inicial t0, arbitrariamente escolhido, o que não ocorre com a
potência.
No SI, a unidade de energia elétrica é o wattsegundo (Ws) e a de potência elétrica o watt (W). Essas
unidades são muito pequenas, sendo preferível usar o quilowatt (kW), o megawatt (MW) e o gigawatt
(GW) para potência elétrica e o kWh para a energia elétrica.
II.4.2- Fórmula fundamental da potência – Energia eletromagnética
Toda tecnologia aplicada na ESEE se baseia no fato de que é possível transformar as formas primitivas de
energia disponíveis na natureza, em energia elétrica, transmiti-la ao consumidor em potencial e então,
finalmente, novamente transformá-la em outras e variadas formas para sua utilização.
Essas transformações não são simples.
Por exemplo, consideremos a energia química armazenada no carvão. O carvão pulverizado é misturado
com o ar na câmara de combustão da caldeira, onde a energia química é liberada sob a forma de energia
térmica, ou calor. Numa sequência de trocadores de calor, a energia térmica é transmitida para outro

9
9
meio, a água, que absorve e muda de fase, transformando-se em vapor. Este, passando por uma turbina,
perde parte de sua energia térmica, sob a forma de energia mecânica. Por fim, no gerador elétrico, a
energia mecânica se transforma em energia elétrica.
Praticamente, quase toda energia elétrica produzida atualmente é a partir de geradores rotativos
(máquinas girantes), nos quais a transformação de energia é de mecânica para elétrica. Grandes esforços
estão sendo empreendidos na pesquisa de métodos de conversão direta de energia (CDE). A principal
característica de todas as técnicas de CDE é que se tenta eliminar a etapa mecânica intermediária,
procurando obter energia elétrica diretamente, ou de energia térmica, ou da solar, ou da energia química.
Iremos tratar as características da energia já na forma elétrica, não nos importando como ela chegou a
essa forma. Supomos inicialmente de que dispomos de um equipamento, designado por gerador, que
possui no mínimo dois terminais de saída, dos quais podemos retirar uma corrente i, estável, num
potencial v, estável, entre esses terminais. Faremos a suposição inicial de que v e i sejam quase estáticos,
isto é, que suas variações sejam relativamente lentas.
A expressão fundamental da potência agora informa que o gerador fornece energia numa taxa:
p = vi (Watts)
Considerem nas figuras os protótipos mais simples de um sistema de transmissão, sendo um elétrico e o
outro mecânico para efeito de comparação:
No caso elétrico, o processo mostrado é realizado por um mecanismo de “bombeamento de carga”. A
corrente representa o fluxo de carga por unidade de tempo e o gerador “bombeia” essa carga, sendo capaz
de manter um fluxo i contra a pressão, ou potencial v.
Fazendo uma analogia com o sistema de transmissão de potência hidráulica, temos:
Aos condutores elétricos correspondem linhas de pressão hidráulica conduzindo um fluido
incompressível; a bomba hidráulica, que corresponde ao gerador, faz com que o fluido circule com uma
vazão i m³/s e mantem uma diferença de pressão de ν N/m². Se a área de secção das linhas for de A m², a
velocidade do fluido será i/A m/s, e a força total sentida pelo pistão do motor será Aν N.
Gerador
Fluxo de energia
Carga
Corrente i
Diferença de potencial v Elétrico
Bomba Motor
Vazão i
Diferença de pressão v Hidráulico

10
10
Como, Potência mecânica = força x velocidade, podemos utilizá-la para obtermos a seguinte expressão
para a potência mecânica transmitida por esse sistema, ou seja:
Pmec = Aν.i/A = νi, ou seja,
Pmec = νi (Watts)
Cuja equação é idêntica a p = vi (Watts)
Na realidade, existem diferenças entre os dois sistemas mostrados anteriormente.
Por exemplo, não há dúvida de que, no sistema hidráulico, a transferência de energia entre a bomba e o
motor ocorre no interior das linhas de pressão. Não temos essa garantia no sistema de transmissão
elétrico. Embora a equação de p enfatize a corrente, que sem dúvida localiza-se no interior dos
condutores, o enfoque dado pela Física situa o fluxo de energia fora dos condutores, no campo
eletromagnético que os circunda. Portanto, deveremos designar a energia transmitida por energia
eletromagnética wem.
Não devemos, é claro, esperar que a energia esteja uniformemente distribuída no espaço externo aos
condutores, e sim que apresente uma densidade volumétrica que aumentará na mesma proporção que a
intensidade dos vetores de campo. O fenômeno dessa transmissão de energia é descrito de maneira
compacta pelo vetor de Poynting P, dado pela expressão:
P = E x H (W/m²)
Onde na expressão temos para os vetores:
E = intensidade de campo elétrico, V/m;
H = intensidade de campo magnético, A/m.
O vetor P definido na equação anterior, é obtido pelo produto vetorial entre E e H, e sua direção é
perpendicular ao plano que contem E e H.
O valor de P é dado por:
 senHEP , onde α é o ângulo entre E e H.
A interpretação da equação do vetor de Poynting é que a energia eletromagnética movimenta-se ou
irradia-se numa direção e num sentido coincidentes com os de P. A quantidade de energia que penetra na
unidade de área (perpendicular à direção da radiação), por unidade de tempo, é dado pelo módulo |P|.
Na figura a seguir temos os dois condutores do sistema simples de transmissão elétrica, com seus campos
elétricos e magnéticos:

11
11
II.4.3- Formas Adicionais de Energia Elétrica
Além da energia eletromagnética, na ESEE nos interessam três outras formas de energia:
1-Energia de campo elétrico, we;
2-Energia de campo magnético, wm;
3-Energia ôhmica, ou dissipada, wΩ.
- Energia de campo elétrico (we)
Esta forma de energia existe em todos os lugares do espaço onde esteja presente um campo elétrico. Por
exemplo, entre as placas de um capacitor ou em torno dos condutores de uma linha de transmissão. Ela é
encontrada em densidades de volume, que podem ser calculadas por:
³m/WsD.E
2
1
)vol(d
dw
ou³m/WsE
2
1
)vol(d
dw e2
0
e

Sendo:
- E = intensidade de campo elétrico, V/m;
- 

 9
0 10
36
1
constante dielétrica para o vácuo,
-  = constante dielétrica relativa para o meio em questão;
- D = εε0E = densidade de fluxo elétrico, Vs/m².
Exemplo 1.
Considere o capacitor simples de placas representado na figura:
d
Campo
elétrico E
Área A
H
E
P
Obs.:
- As linhas de campo magnético são círculos não
concêntricos.
- As linhas de campo elétrico são segmentos de
círculo e ortogonais às de campo magnético.
- Estando E e H ambos localizados num plano
perpendicular aos condutores, P será paralelo aos
condutores e dirigido para a carga.

12
12
O capacitor está carregado com uma tensão v volts. Desprezar o efeito de espraiamento, e assim
considera-se que o campo elétrico é constante entre as placas. Assuma um dielétrico linear com uma
constante dielétrica ε e obtenha a energia de campo elétrico do capacitor (we).
Sendo
d
v
E  =>
2
0
e
d
v
2
1
)vol(d
dw







O volume compreendido entre as placas será o produto Ad.
Trabalhando apenas com meios isotrópicos e lineares, temos:
2
0
2
0
2
0e v
d
A
2
1
Ad
d
v
2
1
volume
d
v
2
1
w 


















2
0e v
d
A
2
1
w 





 ; Sabe-se que a capacitância
d
A
C 0 , então,
JoulesouWsCv
2
1
w 2
e 
- Energia de campo magnético (wm)
Em qualquer lugar do espaço onde esteja presente um campo magnético, a energia de campo magnético é
encontrada. Sua densidade de volume é dada por:
³m/WsH.B
2
1
)vol(d
dw
ou³m/WsH
2
1
)vol(d
dw m2
0
m

Sendo:
- H = intensidade de campo magnético, A/m;
-  7
0 10.4 permeabilidade magnética no vácuo;
-  = permeabilidade magnética relativa para o meio em questão;
- B = μμ0H = densidade de fluxo magnético em Wb/m².
Exemplo 2.
Para um elemento de circuito (bobina) que tenha um comprimento a, uma área A, uma indutância L e
conduza uma corrente i, obter a expressão da energia de campo magnético Wm.
³m/WsH
2
1
)vol(d
dw 2
0
m

Em meios isotrópicos e lineares temos:
volumeH
2
1
W
2
0m 
Sabe-se que Φ = L.i, ou Φ = B.A

13
13
Logo, B.A = L.i =>
A
Li
B 
Sendo
a
i
H  A/m, vem;
22
0
2
0m Li
2
1
A.a
a
i
A
Li
2
1
A.a.H.B
2
1
A.aH
2
1
volumeH
2
1
W 
JoulesouWsLi
2
1
W 2
m 
Obs.: A fórmula da energia de campo magnético para um sistema de bobinas magneticamente acopladas
conterá termos adicionais devidos à mútua indutância M. Por exemplo, para um sistema de duas bobinas
com correntes i1 e i2, teremos:
21
2
22
2
11m iMiiL
2
1
iL
2
1
W 
- Energia ôhmica ou dissipada (wΩ)
Essa forma de energia é dissipada sob a forma de calor sempre que uma corrente elétrica flui num meio
resistivo. A taxa de variação com o tempo, dessa dissipação de energia será, por unidade de volume,
definido:
)m/W(E.I
)vol(d
dw
ou³)m/W(I
)vol(d
dw
)vol(d
dp 32
 
, onde:
- ρ = resistividade específica do meio em questão (Ω.m);
- I = vetor densidade de corrente (A/m²);
- E = ρI = vetor tensão (V/m).
Exemplo 3.
Num condutor de comprimento a m e área de seção de A m² conduzindo uma corrente total de i A (de
densidade uniforme de corrente I), obter a dissipação total de energia no volume.
2
2
2
i
A
a
aA
A
i
volIp 





 ; sendo ,
A
a
R  tem-se que:
Watts²Rip 
Nota: Em muitos casos essa dissipação de calor representa uma forma útil de energia, como, por
exemplo, no forno elétrico, nos aquecedores elétricos, etc. No entanto, na maioria dos casos, a energia
ôhmica deve ser considerada uma perda de energia, como no caso de um sistema de transmissão.

14
14
Exemplo 4.
Considere o sistema de transmissão na figura a seguir:
Deseja-se transmitir certa quantidade de potência (ptr). Devido à resistência da linha R, essa transmissão
está associada a uma inevitável perda de potência (pperda). Obter a relação entre a perda de potência e a
potência transmitida. Interprete o resultado.
pperda = Ri², ptr = vi, onde i = ptr/v
2
tr
tr
perda
2
2
tr
2
tr
perda
v
p
R
p
p
ou,
v
p
R
v
p
Rp 






Da relação obtida, podemos concluir que para diminuir as perdas pela resistência, devemos transmitir
potência ou energia em alta tensão.
II.5-Potência em circuitos monofásicos CA.
A teoria fundamental da transmissão de energia descreve o deslocamento de energia em termos da
iteração de campos elétricos e magnéticos. Porém, o engenheiro de sistemas de potência está, na maioria
das vezes, preocupado com a descrição da taxa de variação da energia com respeito ao tempo (a qual é
a definição de potência) em termos de tensão e corrente. A unidade de potência é o Watt. A potência em
Watt absorvida pela carga a qualquer instante é o produto da queda de tensão através da carga em volts e
a corrente instantânea na carga em ampères. Se os terminais da carga estão indicados por a e n, e se a
tensão e a corrente são expressas por,
),wtcos(IiewtcosVv maxanmaxan 
a potência instantânea é:
)wtcos(wtcosIVivp maxmaxanan 
O ângulo θ na equação da potência é positivo para corrente atrasada da tensão e negativo para corrente
adiantada da tensão. Um valor positivo de p expressa a taxa pela qual a energia está sendo absorvida pela
parte do sistema, entre os pontos a e n. A potência instantânea é obviamente positiva quando ambas, van e
ian, são positivas, mas tornar-se-ão negativas quando van e ian estiverem opostas em sinal.
Gerador
Fluxo de energia
Carga
Corrente i
Diferença de potencial v

15
15
A figura a seguir mostra a corrente, a tensão e a potência em função do tempo.
A potência positiva calculada por vanian resulta quando a corrente está fluindo na direção da queda de
tensão e é a taxa de transferência de energia para a carga. Inversamente, potência negativa calculada por
vanian resulta quando a corrente está fluindo na direção de um crescimento da tensão e significa que uma
energia está sendo transferida da carga para o sistema no qual a carga está ligada.
Se van e ian estão em fase, como no caso de carga puramente resistiva, a potência instantânea nunca ficará
negativa. Se a corrente e a tensão estão defasadas de 90°, como num elemento ideal de circuito puramente
indutivo ou capacitivo, a potência instantânea terá semiciclos positivos e negativos iguais e seu valor
médio será zero.
Usando identidades trigonométricas na equação de p, ela fica reduzida a:
wtsensen
IV
)wtcos(cos
IV
p maxmaxmaxmax
2
2
21
2
 
Interpretando a expressão de p acima, destaca-se:
a) O termo
2
maxmaxIV
pode ser substituído pelo produto do valor rms da tensão e corrente, ou seja:
.I.V
IVIV maxmaxmaxmax

222
Logo, wtsensenI.V)wtcos(cosI.Vp 221   , sendo;


cosI.VP é a potência ativa ou real,


senI.VQ é a potência reativa.
Onde p pode ser reescrita, como:
wt2Qsen)wt2cos1(Pp 
b) O primeiro termo que contem cosθ é sempre positivo e tem um valor médio de
2
maxmaxIV
P  , ou
em valores rms tem-se .cosI.VP 
P significa fisicamente a potência média ou potência útil, dada em Watts, que está sendo transmitida. Seu
valor depende muito do fator de potência.
p=vanian
ian
van
0
P

16
16
c) O cosseno do ângulo de fase θ entre a tensão e a corrente é chamado fator de potência. Um circuito
indutivo tem um fator de potência em atraso e um circuito capacitivo tem um fator de potência adiantado.
d) O termo wtcosI.V 2 ou wt2cosP , sendo senoidal possui valor nulo em um período.
e) O termo wtsen.senI.V 2 ou wt2Qsen , é alternadamente positivo e negativo e tem um valor
médio igual a zero e incapaz de realizar um trabalho útil. Esta componente da potência instantânea p é
chamada potência reativa instantânea e expressa o fluxo de energia alternativamente na direção da carga
e para fora da carga. O valor máximo desta potência pulsante, designada por Q, é chamado potência
reativa ou volt-ampère reativo.
Logo, ,sen
IV
Q maxmax

2
 ou valores rms  senI.VQ .
A tabela abaixo mostra resumidamente as potências ativas e reativas para as cargas mais comumente
encontradas.
V
I
R
VI
P > 0ϴ = 0º Q = 0
LV
I
V
I
ϴ = 90º P = 0 Q > 0
CV
I
V
I
ϴ = - 90º P = 0 Q < 0
V
I
R
C
CV
I
R
ou
V
I
-90 < ϴ < 0º P > 0 Q < 0
0º < ϴ < 90º P > 0 Q > 0
V
I
R
L
LV
I
R
ou
V
I
Tipo de carga Relação fasorial Fase Potência absorvida pela carga
P Q

17
17
Exemplo 1.
Considere o circuito RL série como tipo de carga na tabela anterior. A tensão vale senwtV2v 
volts. Adote ϴ o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão.
Determine:
a) A corrente i; b) cosϴ e senϴ; c) As potências, ativa e reativa;
d) A energia de campo magnético armazenada na bobina;
e) Relacionar a potência reativa à energia de campo magnético armazenada na bobina.
a) Z = R +jWL =
22
)WL(R  ;
R
WL
tg 1







 I2
)WL(R
0V2
Z
0V2
I
22

.Amp)wt(senI2i 
b)
2222
)WL(R
WL
sen;
)WL(R
R
cos;
R
WL
tg




c) Watts
)WL(R
RV
P
)WL(R
R
)WL(R
V
VPcosIVP 22
2
2222 



VAr
)WL(R
WLV
Q
)WL(R
WL
)WL(R
V
VQsenIVQ 22
2
2222 



d)
2
22
2
m )wt(sen
)WL(R
V
2L
2
1
Li
2
1
w











e)





















2
22
m
)wt(sen
)WL(R
V
2L
2
1
dt
d
dt
dw
)wtcos()wt(sen
)WL(R
V
WL2
dt
dw
22
2
m



)]wt(2[sen
2
1
)WL(R
V
WL2
dt
dw
22
2
m



)]wt(2[Qsen
dt
dwm

Nota: A taxa de variação com o tempo da energia de campo magnético varia harmonicamente com a
frequência de 2W, possui valor médio nulo e um valor máximo exatamente igual a Q.

18
18
Exemplo 2.
Determine as potências pL, pc absorvidas pela bobina e pelo capacitor respectivamente, na associação em
paralelo, no circuito da figura. Calcule também a potência p.
Da equação, wtsensenI.V)wtcos(cosI.Vp 221   , temos:
wt2senIVwt2sensenI.Vp ccc 
wt2senIVwt2sensenI.Vp LLL 
Essas potências estão defasadas de 180º.
 cLLcLc IIwt2senVwt2senIVwt2senIVppp 
Note que as três potências Lc pep,p , são puramente reativas.
Obs.: Se o circuito for posto em ressonância as correntes, Ic e IL serão iguais, e assim a potência de linha
p, será igual a zero. Fisicamente isso significa que a energia oscila entre a bobina e o capacitor. Num
dado instante a bobina está com o máximo de energia de campo magnético armazenada e o capacitor
totalmente descarregado. Meio ciclo de tensão depois, o capacitor está totalmente carregado e a bobina
sem nenhuma energia armazenada.
II.6- Tensão e Corrente em Circuitos Trifásicos Equilibrados.
Sistemas elétricos de potência são alimentados por geradores trifásicos. Usualmente, os geradores
alimentam cargas trifásicas equilibradas, o que significa cargas com impedâncias idênticas nas três fases.
Cargas com iluminação e pequenos motores são, obviamente, monofásicas, mas sistemas de distribuição
são projetados tal que todas as fases sejam essencialmente equilibradas.
A figura a seguir indica um gerador em conexão Y com o neutro marcado o e alimentando uma carga
equilibrada Y com o neutro marcado n.
Egc
Zgc
ZL
In
b
o
a
n
c
Egb
Ega
Zgb
Zga
ZL
ZL
Ian
Icn
Ibn
LCV
pLpc
IC IL
p
I

19
19
No gerador as fems Ega, Egb e Egc são iguais em módulo e deslocado uma da outra de 120°, ou seja, no
sistema trifásico, a diferença de fase entre as tensões induzidas nas três bobinas igualmente espaçadas é
de 120°.
Considere a figura a seguir:
Na sequência ABC, a tensão na bobina A atinge um máximo em primeiro lugar, seguida pela bobina B, e
depois pela bobina C.
Esta sequência pode ser vista pelo diagrama de fasores, considerada positiva o sentido anti-horário, e o
traçado das tensões instantâneas, como mostram as seguintes figuras:
A inversão nas bobinas B e C resulta na sequência CBA ou sequência negativa, como segue:
A ligação dos terminais A’, B’ e C’, resulta num alternador ligado em Y (estrela), ao passo que a ligação
de A em B’, de B em C’ e de C em A’, resulta num alternador ligado em  (delta ou triângulo),
representadas a seguir:
N S
B
B’
A’
A C’
C
BA
t
C
120
240
C’
C
B’
A
B
A’
BA
t
C
120
240
A
A’
B
B’
C’
C

20
20
1ª) Na ligação em estrela, as correntes de linha e de fase são iguais e a tensão de linha é 3 a tensão de
fase. FASELINHAFASELINHA V.3VeII 
2ª) Na ligação triângulo, as tensões de linha e de fase são iguais, e a corrente de linha é 3 a corrente de
fase, ou seja; FLFL I.3IeVV 
OBS.: Seja qual for a ligação, as três linhas A, B e C constituem um sistema trifásico de tensão. O ponto
neutro da ligação em estrela fornece o quarto condutor do sistema trifásico a quatro condutores.
- TENSÕES DO SISTEMA TRIFÁSICO -
BC’
AB’
A
CA’
B
C
A
A
C
A’B’C’=N
B B
C
VLINHA
VFASE






150)3/V(V
30)3/V(V
90)3/V(V
120VV
0VV
240VV
LCN
LBN
LAN
LCA
LBC
LAB












150)3/V(V
30)3/V(V
90)3/V(V
240VV
0VV
120VV
LCN
LBN
LAN
LCA
LBC
LAB






A
C B
N
Seqüência ABC
C
A
B
N
Seqüência CBA

21
21
- CARGAS TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS -
EXEMPLOS:
1º) Um sistema ABC trifásico a três condutores, 110 volts, alimenta uma carga em triângulo, constituída
por três impedâncias iguais de  
455 . Determinar as correntes de linha IA, IB e IC e traçar o diagrama
de fasores.
2°) Um sistema CBA trifásico a quatro condutores, 208 volts, alimenta uma carga em estrela, constituída
por impedâncias de .3020  
Calcular as correntes de linha e traçar o diagrama de fasores.
- ESTRUTURA PASSIVA EM DELTA (Δ) OU ESTRELA (Y)
1 - TRANSFORMAÇÃO Δ Y:
2 - TRANSFORMAÇÃO Y Δ :
OBS.: No caso de ZA = ZB = ZC = ZΔ , e Z1 = Z2 = Z3 = ZY, temos:
Δ → Y:
3
Z
Z,sejaou
3
Z
Z3
Z
ZZZ
Z.Z
Z Y
2
Y








Y→Δ: YY
Y
2
Y
Y
YYYYYY
Z3Z,sejaouZ3
Z
Z3
Z
Z.ZZ.ZZ.Z
Z 

 
CBA
CA
3
CBA
CB
2
CBA
BA
1
ZZZ
Z.Z
Z
ZZZ
Z.Z
Z
ZZZ
Z.Z
Z






ZA
ZB
ZC
Z3
Z1 Z2
1
323121
C
3
323121
B
2
323121
A
Z
Z.ZZ.ZZ.Z
Z
Z
Z.ZZ.ZZ.Z
Z
Z
Z.ZZ.ZZ.Z
Z






ZA
ZB
ZC
Z3
Z1 Z2

22
22
II.7- Potência em Circuitos Trifásicos Equilibrados.
Sendo a corrente a mesma nas impedâncias de fase das cargas equilibradas em estrela ou em triângulo, a
potência de fase é igual a um terço da potência total.
II.7.1- Potência em cargas equilibradas ligadas em triângulo.
II.7.2- Potência em cargas equilibradas ligadas em estrela.
OBS.: Como as equações para potência ativa PT são idênticas para as duas cargas equilibradas (Y ou Δ), a
potência em qualquer carga trifásica equilibrada é dada por cosIV3 LL , onde θ é o ângulo da
impedância de carga ou ângulo da impedância equivalente, na hipótese de serem várias cargas
equilibradas, alimentadas pelo mesmo sistema.
O volt ampères totais ST (potência aparente total) e a potência reativa total QT são relacionados a seguir:
LLT IV3S  ;  senIV3Q LLT
Assim, para uma carga trifásica equilibrada, a potência aparente, a potência ativa e a potência reativa são
dadas por:
LLT IV3S  ;  cosIV3P LLT ;  senIV3Q LLT
A tensão na impedância ZΔ é a tensão de linha e a corrente é
a corrente de fase IF. O ângulo entre a tensão e a corrente é o
ângulo da impedância. Logo, a potência na fase é:
PF = VL.IF.cosθ
E a potência total é:
PT =3 VL.IF.cosθ
Nas cargas equilibradas em triângulo, FL I3I  , vem:
 cosIV3P LLT
A tensão na impedância ZY é a tensão de fase e a corrente é
a corrente de linha IL. O ângulo entre a tensão e a corrente é
o ângulo da impedância. Logo, a potência na fase é:
PF = VF.IL.cosθ
E a potência total é:
PT =3 VF.IL.cosθ
Nas cargas equilibradas em estrela, FL V3V  , vem:
 cosIV3P LLT
ZΔ
PF
VL
ZY PF
VF

23
23
II.8- Potência Complexa (S)
Sejam os triângulos de potências a seguir:
Os três lados ‘S’, ‘P’ e ‘Q’ do triângulo de potências podem ser obtidos do produto VI*, cujo resultado é
um número complexo, chamado potência complexa ‘S’. A sua parte real é igual a potência média ‘P’ e a
sua parte imaginária é igual a potência reativa ‘Q’.
Seja ,IIeVV  então,
 IV*VIS = VI
Logo,  senjVIcosVIS , ou jQPS 
O módulo de S é a potência aparente, ou seja:
22
QPS  , Unidade Volt-Ampere (VA)
Resumindo, temos:
Potência média ou ativa  
 VIRe
R
V
cosVIP R
2
 , (Watts)
Potência reativa  
 VIIm
X
V
XIVIsenQ X
2
2
 , (Var)
Potência aparente

 VIdeabsolutoValor
Z
V
ZIVIS
2
2
, (VA)
 ângulo de deslocamento entre a corrente e a tensão.
Podemos ainda expressar a potência complexa por duas formas, usando as relações:
YVIeZIV 
Então,
2
IZZIIVIS  
Ou,
2
VYVVYVIS 

A importância prática da potência aparente é na designação de valores nominais de geradores e
transformadores.
S
Q
P
S
P
Q
θ
θ
Circuito capacitivo Circuito indutivo

24
24
III–GRANDEZAS “ POR UNIDADE (pu) “
III.1- Introdução.
Na análise de redes de potência é necessário representar-se as grandezas elétricas envolvidas (tensões,
correntes, impedâncias, etc.) em “por unidade“. Uma grandeza em “pu“ é dada pela relação entre o seu
valor atual (em V, A, , etc.) e um valor como base (também em V, A, , etc.).
Logo,
Base
ElétricaGrandeza
)pu(Valor 
III.2- Principais vantagens da utilização de valores em pu:
a) Facilidade de comparação de valores;
b) Eliminação no diagrama de níveis de tensão diferentes;
c) Menor erro de aproximação (trabalha-se com números próximos à unidade);
d) Menor chance de confusão entre valores de “fase” e de “linha”;
e) Valores típicos de impedâncias para equipamentos.
III.3- Tabela das grandezas envolvidas na análise de redes de potência
GRANDEZA ELÉTRICA SÍMBOLO DIMENSÃO UNIDADE
Corrente I [ I ] Ampères
Tensão V [ V ] Volt
Potência Complexa S = P + jQ [ VI ] Volt-ampère
Impedância Z [ V/I ] Ohm
Ângulo de fase  ,  ,  - Radiano
Tempo t [ T ] Segundo
Nos estudos em regime permanente o parâmetro tempo não é considerado. Nesta tabela verificamos que o
ângulo de fase não tem dimensão e as quatro grandezas restantes são relacionadas como segue:






I
V
Z
*I.VS
Assim uma escolha arbitrária de duas bases (em geral S e V) automaticamente fixará as outras duas (I e
Z).
III.4- Formulário para circuitos monofásicos.
Normalmente são escolhidas ou fornecidas a Potência Base e a Tensão Base. Desta forma tem-se:

25
25
Potência Base: Sb [VA]; Sb [MVA]; MVAb
Tensão Base: Vb [V]; Vb [KV]; KVb
A determinação das outras bases se processa da seguinte forma:
 Corrente Base:








b
b
b
b
b
b
b
b
b
KV
MVA
KI
]KV[V
]MVA[S
]KA[I;
]V[V
]VA[S
]A[I
 Impedância Base:









b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
MVA
KV
Z
MVAS
KVV
Z
VAS
VV
AI
VV
Z
2
22
][
][
][
][;
][
][
][
][
][
III.5- Formulário para circuitos trifásicos.
Para circuitos trifásicos são válidas as seguintes equações em módulo:






3
2
1
2
13 333
3
S
V
S
V
I
V
Z
IVIVSS
VV
NN
N
N



Usualmente é fornecida a Potência Base Trifásica (Sb3) e a Tensão Base de Linha (Vb).
 Potência Base Trifásica: Sb3 [VA]; Sb3 [MVA]; MVAb3 .
 Tensão Base de Linha: Vb [V]; Vb [KV]; KVb .
No entanto pode-se utilizar a Potência Base por Fase (1) e a Tensão Base de Fase (N). Portanto,
 Potência base por Fase: Sb1 [VA]; Sb1 [MVA]; MVAb1
 Tensão Base de Fase: VbN; VbN [KV]; KVbN
Os valores base por fase se relacionam com os valores base trifásicos por:












3
V
V
3
S
S
b
Nb
3b
1b
A determinação dos outros valores de base é dada como segue:

26
26
 Corrente Base

















b
3b
b
b
3b
b
Nb
1b
b
Nb
1b
b
KV3
MVA
KI
]KV[V3
]MVA[S
]KA[I
KV
MVA
KI
]KV[V
]MVA[S
]KA[I
 Impedância Base

















3b
2
b
b
3b
2
b
b
1b
2
Nb
b
1b
2
Nb
b
MVA
KV
][Z
]MVA[S
]KV[V
][Z
MVA
KV
][Z
]MVA[S
]KV[V
][Z
III.6- Mudança de Base.
2







bN
bA
bA
bN
)pu(A)pu(N
V
V
S
S
ZZ
III.7- Aplicações.
1ª- No estudo de um dado sistema elétrico, definimos os seguintes valores-base: Vb=20kV e Sb=2MVA.
Exprimir em por unidade as seguintes tensões, correntes, potências e impedâncias:
a) V = 12 kV b) V = (13,3 + j6,0) kV c) I = (513 + j203) A d) S = 9,3 MVA
e) S = (200 + j300) (kW; kVAr) f) Z = (80 + j40) Ω
2ª- A impedância percentual de um transformador de força de 1000 kVA – 13.800/13.200/12.600 –
380/220 V é de 4,5% referida ao tape de 13.200 V. Calcular esta impedância em pu no tape de tensão
mais elevada. Os valores nominais do trafo são 1000 kVA e 13.800 volts.
3ª) A reatância de um gerador, designada por X, é dada como sendo 0,25 pu baseado nos dados de placa
do gerador de 18 kV, 500 MVA. A base para cálculo é 20 kV, 100 MVA. Encontre X na nova base.
4ª) Um gerador (que pode ser representado por uma F.E.M. em série com uma reatância indutiva) é
especificado nominalmente 500 MVA, 22 kV. Seus enrolamentos conectados em Y têm uma reatância de
1,1 pu. Obtenha o valor ôhmico da reatância dos enrolamentos.

27
27
IV- REPRESENTAÇÃO DE SEP’s
IV.1- Diagrama Unifilar
É usado para representar os elementos associados de um sistema elétrico de potência (SEP).
Símbolos utilizados:
Exemplo. Considere o diagrama a seguir:
No diagrama, estão representados, dois geradores, um aterrado através de um reator e o outro através de
um resistor, onde são interligados a uma barra e, através de um transformador elevador (T1), a uma linha
de transmissão (LT). Um terceiro gerador, aterrado através de um reator, é ligado a uma barra e, através
de um transformador elevador (T2), à extremidade oposta da linha de transmissão (LT). Uma carga é
1
2
3
T1 T2
2
Carga A
Carga B
LT
Armadura de máquina girante.
Transformador de potência de dois enrolamentos.
Fusível.
Transformador de corrente.
ou Transformador de potencial.
Disjuntor de potência.
Disjuntor a ar ou em caixa moldada.
Conexão em delta, trifásica a três fios.
Conexão em estrela, trifásica com neutro não aterrado.
Conexão em estrela, trifásica com neutro aterrado.
A Amperímetro.
V Voltímetro.
Transformador de potência de três enrolamentos.

28
28
ligada a cada barra. No diagrama, às vezes, são fornecidas informações sobre as cargas, as potências e
tensões nominais dos geradores e transformadores, e reatâncias dos diferentes componentes do circuito.
IV.2- Diagrama de Impedância e Reatância
O diagrama unifilar mostrado no exemplo anterior pode ser representado por uma única fase em relação à
terra e cada dispositivo pelo seu circuito equivalente constituído por impedâncias:
 Considerações a respeito do diagrama de impedâncias:
1ª) Como a corrente de magnetização é desprezível comparada com a corrente de plena carga, o
ramo paralelo é omitido.
2ª) No cálculo de faltas (curtos-circuitos) a resistência é geralmente omitida.
3ª) Para as linhas de transmissão o modelo vai depender do comprimento da linha. Como vamos
trabalhar com linhas curtas (até 80 km), usaremos somente o ramo série.
Baseado nas considerações anteriores obtém-se o diagrama de reatância do exemplo considerado
anteriormente, como segue:
Exemplo: Dado o diagrama unifilar abaixo, representá-lo num diagrama de reatâncias em “pu”.
1
2
3
T1
T3
LT
T2
G1
G2
G3
13,8 kV 138KV
138kV
E2 E3E1
XT2XLTXT1
XG3
XG2
XG1
A Trafo 1 Linha de
transmissão
Trafo 2 B
E1 E2
Geradores
1 e 2
Gerador
3
E3

29
29
Dados: G1: 100 MVA, j0,2 pu ; G2: 50 MVA , j0,2 pu ; G3: 50 MVA , j1,0 pu ; 6,6KV
T1=T2: 75 MVA, j0,1 pu ; T3: 50 MVA , j0,1 pu ; XLT = 0,8 Ω/mi , L = 50 mi.
IV.3- Aplicações
1- O diagrama unifilar de um sistema sem carga está representado abaixo. São mostradas no diagrama as
reatâncias das duas seções da linha de transmissão. Os geradores e transformadores apresentam as
seguintes características:
- Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, X’’= 0,2 pu;
- Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, X’’= 0,2 pu;
- Gerador 3: 30 MVA, 20 kV, X’’= 0,2 pu;
- Transformador T1: 25 MVA, 220Y/13,8 kV, X = 10 %;
- Transformador T2: Unidades monofásicas, sendo cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, X=10% ;
- Transformador T3: 35 MVA, 220Y/20Y kV, X = 10%.
Esquematize o diagrama de reatâncias em pu.
2- Considere o diagrama a seguir:
Dados:
G1: 50 MVA; X=j1,00 pu G2: 100 MVA; X=j1,5 pu G3: 75 MVA; X=j1,25 pu
T1: 150 MVA; XT1=10% T2: 100 MVA; XT2=10% T3: 25 MVA; XT3=10%
LT’s: Duas linhas de Transmissão em paralelo de reatância de 0,12 ohms/fase.km;
Comprimento das LT’s: 200 km.
Desenhar o diagrama de reatâncias em “pu“;
T3
3
2
T2
21
T1
j80 

j100 
1
2
T1
Carga A
3T2
2
Carga B
LT’s
T3
234,5 kV
345 kV
69 kV
13,8 kV
G1
G2
G3

30
30
3- Dado o diagrama abaixo, desenhar o diagrama de reatâncias em “pu“.
Dados: G2=G1: 6,6 kV; 100 MVA; j0,15 pu G3: 13,8 kV; 150 MVA; j0,20 pu
T1=150 MVA; 6,6kV/138kV; X=10% T2=200 MVA; 13,8kV/138kV; X=12%
T3=75 MVA; 138kV/34,5kV; X=10% T4=75MVA; 6,6kV/69kV; X=10%
T5= 50MVA; 69kV/34,5kV; X=10%
LT’s de 138kV: X=0,0325 ohms/km ; 80 km;
LT de 69kV: X=0,0435 ohms/km ; 30 km.
1
2
Carga A
Carga B
T1
3
T2
2
LT’s
T3
2T5T4
LT

31
31
V– ESTUDOS DE CURTO-CIRCUITOS EM SEP’s
V.1- Introdução.
Um sistema elétrico de potência, quando projetado, é dimensionado para proporcionar um grau de
confiabilidade compatível com a importância das cargas que alimenta. Assim, é natural que os critérios de
projeto de um sistema de transmissão em EHV, que alimenta grandes blocos de carga, sejam bem
diferentes dos critérios de um ramal de distribuição primária. De qualquer forma, independentemente do
fato de a confiabilidade ser variável com a classe de tensão e de concessionária para concessionária, na
maior parte do tempo o sistema opera em condições normais, com todos os componentes em serviço.
Aleatoriamente, no entanto, os sistemas são submetidos a esforços provenientes de elevadas correntes de
defeito (curtos-circuitos), cujo cálculo é o nosso principal objetivo.
A queda de raios, a poluição nas áreas industriais e orla marítima, queimadas em regiões rurais, falha
mecânica nas cadeias de isoladores são algumas das causas da deterioração da isolação. Após a primeira
descarga, que provoca a ionização do meio, podemos ter o início do chamado “arco de potência“, e o
estabelecimento de uma elevada corrente de defeito, alimentado pela própria tensão de frequência
industrial.
Os resultados de um estudo de curto-circuito, que são as correntes e tensões de falta, fornecem os
subsídios para estudos que definam as características e os ajustes da proteção, bem como as
características que devam possuir os equipamentos para suportar os esforços dinâmicos das correntes de
curtos-circuitos.
V.2- Curtos-circuitos Simétricos
V.2.1- Introdução
Considere a parte um sistema de transmissão mostrado na figura a seguir, e admita que ocorra um curto-
circuito simétrico na barra de carga 3.
Ao resto do
sistema Ao resto do
sistema
O curto
ocorre aqui
CB
1
CB
2
3
2
1
L1
L2
I’sc
c I’’sc
c

32
32
A tensão na barra V3 anterior à falta, medindo cerca de 100% , ou seja, 1,0 pu cairá instantaneamente a
zero. As partes do sistema à esquerda e à direita, que supomos conter fontes ativas, irão imediatamente
começar a alimentar a falta com as correntes de falta I’sc e I’’sc por meio das barras 1 e 2. O valor dessas
correntes será determinado pela força dessas barras e pela impedância das linhas L1 e L2. Em geral tais
correntes atingirão valores muitas vezes superiores às correntes normais das linhas, e os disjuntores CB1
e CB2 serão comandados para abrir, por intermédio dos sensores (relés de proteção), a fim de isolar a
barra com falta.
V.2.2- Conceito de Capacidade de Curto-circuito (SCC)
As tensões nas barras 1 e 2 e em todas as outras barras do sistema cairão durante a ocorrência do curto-
circuito. O valor dessa queda de tensão é uma indicação da força do sistema. Necessitamos medir essa
força, bem como a severidade da influência dos curtos. Ambos os objetivos são conseguidos por uma
grandeza designada por capacidade de curto-circuito (algumas vezes chamada de nível de falta) para
barra em questão.
A capacidade de curto-circuito (SCC), de uma barra do sistema é definida como o produto da tensão
anterior à falta (tensão de pré-falta) pela corrente após a falta (corrente pós-falta). Assim a SCC virá em
pu volt-ampères, se a tensão e a corrente forem dadas em pu.
MVApuIVSCC faltapósfaltapré  
Se a tensão for medida em KV entre linhas e a corrente em KA por fase, a SCC será dada em MVA
trifásicos.
Logo;
MVAIV3SCC faltapósfaltapré  
Nota: Sendo a tensão de pré-falta cerca de 1,0 pu, então podemos escrever a seguinte relação
aproximada: MVApuISCC faltapós .
Exemplo: Considere o circuito a seguir:
Ao resto do
sistema Ao resto do
sistema
O curto
ocorre aqui
CB
1
CB
2
3
2
1
L1
L2
I’sc
c I’’sc
c

33
33
Com os disjuntores CB1 e CB2 abertos, o sistema divide-se em duas partes. Nessa configuração, as barras
1 e 2 têm os seguintes MVA de curto-circuito: MVApu0,8SCC1  e MVApu0,5SCC2  . As
impedâncias das linhas L1 e L2 são 0,3 pu cada uma. Se agora fecharmos os dois disjuntores, como isso
afetará as capacidades de curto-circuito das barras 1 e 2, e qual será a força da barra 3? Admitimos que
todas as impedâncias sejam puramente reativas.
Circuito equivalente do sistema com o curto-circuito na barra 3.
V.3- Componentes Simétricas
V.3.1- Introdução.
A resolução de redes trifásicas equilibradas (isto é, com impedâncias iguais nas três fases) submetidas a
excitações balanceadas simétricas (isto é, com tensões de fase iguais em módulo, defasada de 120° uma
das outras) é bastante facilitada pela simetria existente. Assim, é suficiente considerar apenas uma das
fases dos circuitos componentes, proceder ao cálculo das grandezas correspondentes a esta fase, e a seguir
as demais grandezas poderão ser imediatamente obtidas bastando realizar rotações de fase convenientes.
Em se perdendo a simetria (seja por desequilíbrio na rede ou assimetria na excitação), o cálculo já teria
que envolver as três fases do sistema simultaneamente, aumentando em muito o trabalho necessário. Em
1918, em um artigo clássico da teoria de circuitos e sistemas, o Dr. C. L. Fortescue desenvolveu a
ferramenta necessária para simplificar o problema de cálculo de sistemas desequilibrados. O método
baseia-se na decomposição de um conjunto de grandezas trifásicas em três outros conjuntos convenientes
(denominados sequências), de forma a se recair no problema de análise de circuitos equilibrados.
V.3.2- Teorema De Fortescue
Um conjunto de n fasores não balanceados pode ser representado por um conjunto de n fasores de
sequência zero mais n-1 conjuntos de fasores balanceados da seguinte forma:
Sejam:
Va , Vb , Vc , ....... , Vn => conjunto de n fasores não balanceados, que podemos representá-los por:
Barra 3 Barra 2Barra 1
E1 = 1,0 pu E2 = 1,0 pu
L1 L2

34
34
Va0 , Vb0 , Vc0 , ....... , Vn0 => conjunto de n fasores de sequência zero (defasados de 0.θc em fase)
Va1 , Vb1 , Vc1 , ....... , Vn1 => conjunto de n fasores de sequência 1 ou positiva (defasados de 1.θc)
Va2 , Vb2 , Vc2 , ....... , Vn2 => conjunto de n fasores de sequência 2 (defasados de 2.θc)
Va3 , Vb3 , Vc3 , ....... , Vn3 => conjunto de n fasores de sequência 3 (defasados de 3.θc)
. . . . .
. . . . .
Va(n-1), Vb(n-1), Vc(n-1), ... , Vn(n-1) => conjunto de n fasores de sequência (n-1) ou negativa (defasados
de (n-1).θc)
Onde θc é o ângulo característico do sistema, sendo dado por 2π/n, ou seja;
n
2
C

 ,
Então,
Va = Va0 + Va1 + Va2 + Va3 + .... + Va(n-1)
Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + Vb3 + .... + Vb(n-1)
Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + Vc3 + .... + Vc(n-1)
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + Vn3 + .... + Vn(n-1)
Exemplo: Representação de um sistema tetrafásico desequilibrado em componentes simétricos.
Teremos para θC = 
90
24
22
ourad
n


WVA
VB
VD
VC
Conjunto de quatro
fasores desbalanceados
0.θC
VB0 VC0VA0 VD0
Conjunto de quatro
fasores de seqüência zero
1.C
W
VD1
VC1
VB1
VA1
Conjunto de quatro fasores
de seqüência 1 ou positiva
Fasoresnão
balanceados
Sequênciazero
Squênciapositiva
Sequêncianegativa
n fasores n2
fasores

35
35
Escrevendo os fasores VA, VB, VC e VD em função das componentes simétricas, vem:
VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3
VB = VB0 + VB1 + VB2 + VB3
VC = VC0 + VC1 + VC2 + VC3
VD = VD0 + VD1 + VD2 + VD3
Nota-se que são 16 variáveis a serem determinadas. Porém, podemos escrever os fasores VB, VC e VD em
função das componentes simétricas de VA, reduzindo-se o número de variáveis a calcular de 16 para 04,
utilizando-se um operador a = 1 θC , que causa uma rotação de θC ou seja de 90°, no sentido positivo ou
anti-horário para o nosso exemplo, como segue:
VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3
VB = VA0 + a3
.VA1 + a2
.VA2 + a .VA3 ou
VC = VA0 + a2
.VA1 + VA2 + a2
.VA3
VD = VA0 + a .VA1 + a2
.VA2 + a3
.VA3
Obs.: O sinal – (negativo) gira o fasor no sentido horário.
Escrevendo as equações acima na forma matricial, fica:








































3A
2A
1A
0A
123
22
321
D
C
B
A
V
V
V
V
.
aaa1
a1a1
aaa1
1111
V
V
V
V
, onde
E explicitando as componentes simétricas, teremos:
, onde
VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3
VB = VA0 + a-1
.VA1 + a-2
.VA2 + a-3
.VA3
VC = VA0 + a-2
.VA1 + VA2 + a-2
.VA3
VD = VA0 + a-3
.VA1 + a-2
.VA2 + a-1
.VA3
3.C
VD3
VC3
VB3
VA3
W
Conjunto de quatro fasores
de seqüência 3 ou negativa
Conjunto de quatro
fasores de seqüência 2
VD2
VC2
VB2
VA2
2.C
W





































D
C
B
A
23
22
32
3A
2A
1A
0A
V
V
V
V
.
aaa1
a1a1
aaa1
1111
4
1
V
V
V
V















123
22
321
aaa1
a1a1
aaa1
1111
É a Matriz de Transformação de
Fortescue.












aaa1
a1a1
aaa1
1111
4
1
23
22
32
É a Matriz Inversa de
Transformação de Fortescue.

36
36
V.3.3- Estudo das componentes simétricas para sistemas trifásicos (n = 3)
Sejam VA, VB e VC as três tensões desbalanceadas de um sistema elétrico trifásico, representados a seguir:
Que pode ser decomposto em três sistemas equilibrados de sequências zero, positiva e negativa,
mostrados a seguir, sendo o ângulo característico, portanto 

 120ourad
3
2
C .
Logo,
VA = VA0 + VA1 + VA2
VB = VB0 + VB1 + VB2
VC = VC0 + VC1 + VC2
Aplicando o Operador a = 1 120° e escrevendo as componentes simétricas das fases B e C em função
da fase A, tem-se:
VA = VA0 + VA1 + VA2
VB = VA0 + a-1
.VA1 + a-2
.VA2 , sendo
VC = VA0 + a-2
.VA1 + a-1
.VA2
Que na forma matricial vem:

































2A
1A
0A
12
21
C
B
A
V
V
V
.
aa1
aa1
111
V
V
V
ou































2A
1A
0A
2
2
C
B
A
V
V
V
.
aa1
aa1
111
V
V
V
Chamando de
























2
2
12
21
aa1
aa1
111
Tou
aa1
aa1
111
T , a Matriz de Transformação de Fortescue,
Pode-se mostrar que esta admite inversa, mostrada a seguir:











aa1
aa1
111
3
1
T
2
21
, que nos permite calcular as componentes simétricas em função dos fasores
desbalanceados conhecidos, como segue:
VA
VC
VB
W
VA0 VB0 VC0
W
VC1
VB1
VA1
W
VC2
VB2
VA2
W
VA
VC
VB
W
VB1 = a-1
.VA1 ou a2
.VA1
VB2 = a-2
.VA2 ou a . VA2
VC1 = a-2
.VA1 ou a . VA1
VC2 = a-1
.VA2 ou a2
.VA2

37
37































C
B
A
2
2
2A
1A
0A
V
V
V
.
aa1
aa1
111
3
1
V
V
V
, ou
Aplicações:
1-Dada as tensões  90380Ve90380V,0120V CBA , decompô-la em componentes
simétricas.
2-Dadas as componentes simétricas  60100Ie0220I,30100I 210 , determine a sequência
real.
3-Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que circula para uma carga conectada em
triângulo por meio da linha A é de 10 A. Tomando a corrente da linha A como referência e considerando
que a linha C está aberta, achar os componentes simétricos das correntes de linha.
V.4- Estudo dos curtos-circuitos assimétricos
V.4.1- Sistemas trifásicos assimétricos.
Um sistema trifásico é chamado assimétrico por natureza, quando um ou mais de seus componentes,
excetuado as cargas, apresentam assimetria permanente. Tal assimetria pode ser originada por:
a) Impedâncias desiguais nos enrolamentos dos geradores;
b) Falta de transposição dos condutores;
c) Indução mútua entre condutores em paralelo;
d) Ligações assimétricas de transformadores (delta aberto, Scott, etc.)
Um sistema simétrico pode ser assimétrico acidentalmente e temporariamente quando, na operação do
mesmo, a simetria é alterada devido a:
a) Cargas desequilibradas;
b) Defeitos que introduzem assimetria no sistema (por exemplo, um curto-circuito entre uma fase
e terra ou entre duas fases, interrupção de uma fase, etc.)
V.4.2- Redes de sequência de geradores em vazio
Considere um gerador em vazio, aterrado através de um reator, representado na figura a seguir:
VA0 = 1/3 ( VA + VB + VC )
VA1 = 1/3 ( VA + a .VB + a2
.VC )
VA2 = 1/3 ( VA + a2
.VB + a .VC )
a
c
b
Ic
Ib
Ia
Ec
Eb
Ea
ZnIn
Zgb
Zga
Zgc

38
38
Quando ocorre uma falta (não indicado na figura) nos terminais do gerador, as correntes Ia, Ib e Ic
circulam nas linhas. Se a falta envolve a terra, a corrente que circula pelo neutro do gerador é designada
por In. Uma ou duas correntes de linha podem ser nulas, porém as correntes podem ser decompostas em
seus componentes simétricos independentemente do quanto estejam desequilibradas.
Rede de sequência positiva para a fase ‘a’
Rede de sequência negativa para a fase ‘a’
Rede de sequência zero para a fase ‘a’
Ic1
Ib1
Ia1
c
a
Z1
Ec
b
Ea
Z1Z1
Eb
Va1 = Ea – Ia1.Z1
Ia1
Va1
Ea
Z1
Barra de referência
a
bZ2
a
Z2
c Z2
Ic2
Ib2
Ia2
Va2 = – Ia2.Z2
Ia2
Va2
Z2
a
Ia0 →
Ib0 = Ia0 →
Ic0 = Ia0 →
b
a
Zg0
c
Zn
Zg0Zg0
Ic0
Ib0
Ia0
Va0 = – Ia0(3Zn + Zg0)
Va0 = – Ia0.Z0
Ia0
Va0
Zg0
a
3Zn
Z0

39
39
Obs.: Qualquer que seja o tipo de falta assimétrica que ocorra nos terminais de um gerador pode-se
escrever e aplicar as seguintes equações para as redes de sequência:
, que na forma matricial, fica =>










































2a
1a
0a
2
1
0
a
2a
1a
0a
I
I
I
.
Z00
0Z0
00Z
0
E
0
V
V
V
.
V.5- Falta entre fase e terra em um gerador em vazio.
Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta fase-terra simples na fase a, sendo
o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância:
Condições de falta => Va = 0 , Ib = 0 e Ic = 0
Nestas condições, as componentes simétricas das correntes são dadas por:































0
0
I
.
aa1
aa1
111
3
1
I
I
I a
2
2
2a
1a
0a
, o que implica em Ia0 = Ia1 = Ia2 = Ia/3
Substituindo nas equações das redes de sequência as componentes das correntes de sequência zero e
negativas em função de Ia1, vem:










































1a
1a
1a
2
1
0
a
2a
1a
0a
I
I
I
.
Z00
0Z0
00Z
0
E
0
V
V
V
Onde, Va0 = - Ia1.Z0 ; Va1 = Ea – Ia1.Z1 ; Va2 = - Ia1.Z2
Somando membro a membro, fica:
Va0 + Va1 + Va2 = - Ia1.Z0 + Ea – Ia1.Z1 – Ia1. Z2
Ic
Ib
Ia
a
Zga
Ec
c b
Eb
Ea
ZnIa = In
ZgbZgc
Va0= - Ia0.Z0
Va1= Ea – Ia1.Z1
Va2= - Ia2.Z2

40
40
0 = Ea – Ia1(Z1 + Z2 + Z0) =>
021
a
1a
ZZZ
E
I

 , onde 1aa I3I 
Exemplo1 : Um gerador de polos salientes sem amortecedores tem os valores nominais de placa de 20
MVA, 13,8 KV e uma reatância subtransitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de sequência
negativa e zero são, respectivamente, de 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado.
Determine a corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitória quando
ocorre uma falta fase-terra simples nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com
tensão nominal. Despreze as resistências.
V.6- Falta linha-linha em um gerador em vazio.
Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta linha-linha ou entre fases (b e c)
sem aterramento, sendo o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância:
Condições de falta => Vb = Vc , Ia = 0 e Ib = - Ic
Nestas condições, as componentes simétricas das tensões são dadas por:































b
b
a
2
2
2a
1a
0a
V
V
V
.
aa1
aa1
111
3
1
V
V
V
, o que implica em Va1 = Va2 .
Com Ib = - Ic e Ia = 0 , as componentes simétricas de corrente são dadas por:
































c
c
a
2
2
2a
1a
0a
I
I
I
.
aa1
aa1
111
3
1
I
I
I
, o que resulta Ia0 = 0 e Ia2 = - Ia1
Ic
Ib
Ia
a
Zga
c
Ec
b
Eb
Ea
ZnIn = 0
ZgbZgc

41
41
Nota: Com uma conexão entre o neutro do gerador e a terra, Z0 será finito e assim Va0 = 0 desde
que Ia0 = 0.
Substituindo nas equações das redes de sequência as condições das componentes de corrente e de tensão,
anteriormente estabelecidas, vem:










































1a
1a
2
1
0
a
1a
1a
I
I
0
.
Z00
0Z0
00Z
0
E
0
V
V
0
Onde, Va0 = 0; Va1 = Ea – Ia1.Z1 ; Va1 = Ia1.Z2
Como Va1 = Va2 => Ea – Ia1.Z1 = Ia1.Z2 , que explicitando Ia1, fica:
21
1
ZZ
E
I a
a


ocorre uma falta linha-linha nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com tensão
nominal. Despreze as resistências.
V.7- Falta entre duas fases e terra em um gerador em vazio.
Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta entre duas fases e terra (b e c),
sendo o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância:
Condições de falta => Vb = 0 ; Vc = 0 ; Ia = 0
Ic
Ib
Ia
a
c
Ec
b
Eb
Ea
Zgb
Zga
Zgc
ZnIn
Ib + Ic = In

42
42
Com Vb = 0 e Vc = 0, as componentes simétricas da tensão são dadas por :































0
0
V
.
aa1
aa1
111
3
1
V
V
V a
2
2
2a
1a
0a
, onde Va0 = Va1 = Va2 = Va/3.
Sabe-se que Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 = 0
E que Va0 = Va1 =>
0
11
0
0
Z
ZI
Z
E
I aa
a  , e Va2 = Va1 =>
2
11
2
2
Z
ZI
Z
E
I aa
a  ,
0
11
0 Z
ZI
Z
E aa  + 1aI
2
11
2 Z
ZI
Z
E aa  = 0 =>









02
02
1
1
1
ZZ
ZZ
Z
Ia
ocorre uma falta linha-linha-terra nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com
tensão nominal. Despreze as resistências.

43
43
VI- IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIA DOS COMPONENTES DO SEP
VI.1-Transformadores de dois enrolamentos.
São obtidas através dos ensaios de curto-circuito e circuito a vazio.
- Sequência positiva e negativa:
Logo, X1 = X2 = Xdisp (Núcleo envolvido )
Sequência zero
Caso A: Permissão de fluxo de I0 => X0 = X1 = X2
Caso B: Não permissão do fluxo de I0.
No caso A, a ligação de X0 no diagrama (sistema) depende da ligação dos enrolamentos do
transformador. Vejamos como efetuar a ligação de X0 no diagrama de sequência zero.
1º-Colocar uma chave h e uma chave V em cada enrolamento do transformador em questão, conforme a
seguir:
2º-Se I0 puder circular entre as fases e um neutro (ou terra) fecha-se a chave h, ou seja, se o enrolamento
for,
3º-Se I0 circular dentro do enrolamento fecha-se a chave V, ou seja, se o enrolamento for .
Exemplo: Montar o diagrama de sequência Zero para os transformadores a seguir:
a) b) c) d)
Xmagnetização
Xdispersão
h
V
h
V
Ref.
Xmagnetização  200 Xdispersão
Normalmente, a Xmagnetização é
desprezível, pois circula pouca
corrente.
Xmagnetização
Xdispersão
Xdispersão = X1 = X2
OBS.: Para núcleo envolvente
considera-se a Xmagnetização

44
44
VI.2- Reatâncias de sequência para máquinas síncronas
O gerador síncrono é o único componente do sistema elétrico que apresentam três reatâncias distintas,
cujos valores obedecem à inequação:
SX'X"X  , onde, X’’ é a reatância subtransitória, X’ é a reatância transitória e XS é a
reatância síncrona ou reatância de eixo direto.
Considere a figura abaixo que representa a parte superior da envoltória das correntes de curto-circuito:
Trecho “bc” => período subtransitório;
Trecho “cd” => período transitório;
Trecho “de” => período de regime permanente.
VI.2.1- Reatância Subtransitória (X”)
É definida supondo o período subtransitório em regime permanente, tendo como corrente o valor inicial
I”MAX, onde:
"I
E
"X  , sendo
2
"I
"I MAX

VI.2.2- Reatância Transitória (X’)
É definida supondo o período transitório em regime permanente, tendo como corrente o valor inicial
(I’MAX ) da envoltória, caso o gerador não tenha o enrolamento amortecedor:
'I
E
'X  , sendo
2
'I
'I MAX

VI.2.3- Reatância Síncrona ( XS )
Define-se esta reatância como a de regime permanente.
I
E
XS  , sendo
2
I
I MAX

'I → valor eficaz da corrente de curto-circuito do período transitório
em regime permanente.
I → valor eficaz da corrente de curto-circuito em regime permanente.
E → valor eficaz da tensão de fase a neutro nos terminais do gerador,
antes do curto-circuito.
"I → valor eficaz da corrente de curto-circuito do período
subtransitório em regime permanente.
t
i(t)
I”MAX b
IMAXRP f
I’MAX a
ed
c
Amplitude da corrente
em regime permanente
Extrapolação da envoltória
da corrente transitória
Envoltória da corrente

45
45
Notas: 1ª-A duração do período subtransitório d"T é de 0,02 a 0,05s )s,"T( med 030 .
2ª-A duração do período transitório d'T é de 0,5 a 1,8s (Turbo geradores) com
s,'T med 31 , e de 0,7 a 2,5s (Geradores de polos salientes) com s,'T med 61 .
VI.3-Linhas de transmissão
Para as linhas de transmissão, existem técnicas para calcular as impedâncias de sequência.
X1 = X2; X0  X1 => X0 > X1, sendo [X0  (2 a 4 vezes)X1]

46
46
VII- FALTAS ASSIMÉTRICAS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA (SEP)
VII.1- Introdução
Para a dedução das equações para as componentes simétricas de correntes e tensões em um ponto do SEP
durante uma falta, designaremos por Ia, Ib e Ic as correntes que saem do sistema originalmente
equilibrado para a falta, respectivamente, das fases a, b e c.
Veja a figura:
As tensões de falta no local da falta serão designadas por Va, Vb e Vc. A tensão de fase da fase A antes da
ocorrência da falta, no local de falta, será chamada Vpf, que é uma tensão de pré-falta.
Considere o diagrama unifilar de um sistema de potência equilibrado com três máquinas síncronas:
Este sistema é suficientemente geral para que as equações deduzidas a partir dele sejam aplicáveis a
qualquer sistema equilibrado, independentemente de sua complexidade. O ponto P no diagrama indica o
local de ocorrência da falta.
Uma vez identificado o tipo de falta, devemos traçar as redes de sequência positiva, negativa e zero, e
representar os circuitos equivalentes de Thévenin visto do ponto de falta e a barra de referência, como
segue:
Ib
Ic
A
B
C
Ia
1
2
3
LTP
T
1
T2
Ia1
Vpf
E3E1 E2
P
Rede de seqüência positiva
P
Vpf
Va1
Z1
Ia1
Equivalente de Thévenin da
rede de seqüência positiva

47
47
As equações matriciais para as componentes simétricas das tensões na falta são as mesmas escritas para o
gerador em vazio, porém com Vpf no lugar de Ea, ou seja:










































2a
1a
0a
2
1
0
fp
2a
1a
0a
I
I
I
.
Z00
0Z0
00Z
0
V
0
V
V
V
Como exemplo, considere os seguintes dados para o sistema elétrico anterior dado:
G1 = G2: 30 MVA, 18 kV, X” = 20% ; G3: 50 MVA, 13,8 kV, X” = 20% ;
T1: 70 MVA, 18/138 kV, X = 10%; T2: 50 MVA, 13,8/138 kV, X = 10% ;
XLT = j100 .
Calcule a corrente de curto-circuito trifásica e de fase-terra no ponto P.
VII.2- Falta fase-terra em um sistema de potência
Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-terra na fase
A:
Rede de seqüência negativa.
Ia2
P
rede de sequência negativa.
P
Va2
Ia2
Z2
Rede de sequência zero.
Ia0
P
rede de seqüência zero.
P
Va0
Z0
Ia0
A
Ia
Ib
B
Ic
C

48
48
As relações existentes na falta são Ib = 0, Ic = 0 e Va = 0. Nota-se que estas relações são as mesmas
aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para o gerador em
vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja:
Ia1 = Ia2 = Ia0 =
3
Ia , onde
021
1
ZZZ
V
I
pf
a


Estas equações ratificam que as três redes de sequência devam ser conectadas em série através do ponto
de falta, de modo a simular uma falta fase-terra simples.
VII.3- Falta linha-linha em um sistema de potência
Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-fase, nas
fases B e C:
As relações existentes na falta, são Vb = Vc, Ia = 0 e Ib = - Ic. Nota-se que estas relações são as mesmas
aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para a falta entre
fases de um gerador em vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja:
Va1 = Va2, onde
21
1
ZZ
V
I
pf
a


Estas equações ratificam que as redes de sequência positiva e negativa devam ser conectadas em paralelo
no ponto de falta, de modo a simular uma falta fase-fase.
VII.4- Falta entre duas fases e terra em um sistema de potência
Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-fase-terra,
nas fases B e C:
Ic
C
Ib
B
A
Ia
Ic
C
Ib
B
A
Ia
In

49
49
As relações existentes na falta são Vb = Vc = 0 e Ia = 0. Nota-se que estas relações são as mesmas
aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para a falta entre
fases e terra em um gerador a vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja:
Va1 = Va2 = Va0, onde
 02021
1
ZZ/ZZZ
V
I
pf
a


Estas equações ratificam que a rede de sequência positiva deva ser conectada em série com o paralelo das
redes de sequência negativa e zero no ponto de falta, de modo a simular uma falta fase-fase-terra.

50
50
VIII- COMPARAÇÃO DOS NÍVEIS DE CURTO-CIRCUITO ASSIMÉTRICOS EM FUNÇÃO
DO CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO.
Consideremos as seguintes relações:
1ª) Curto-circuito simétrico (Trifásico) => )I(
C,B,A
3sc 
1
C,B,A
3sc
Z
E
I 
2ª) Curto-circuito assimétrico (Fase-Terra) => )I(
A
T1sc 
021
A
T1sc
ZZZ
E3
I



3ª) Curto-circuito assimétrico (Dupla fase) => )I(
B
2sc 
21
2B
2sc
ZZ
E
)aa(I


4ª) Curto-circuito assimétrico (Dupla Fase-Terra) => )I(
B
T2sc 










 aKa
Z
Z
K
K1
I
I 2
0
1
B
3scB
T2sc ; onde
01
0
ZZ
Z
K


VIII.1- Comparação entre o curto fase-terra e o trifásico
Fazendo 21 ZZ  , vem:
























1
0
A
3sc
1
0
1
01
A
T1sc
Z
Z
2
I3
Z
Z
2
Z
E3
ZZ2
E3
I
Onde,












1
0
A
3scA
T1sc
Z
Z
2
I.3
I
1º Caso : Para 01 ZZ  =>
A
3sc
A
T1sc II  
2º Caso : Para 10 ZZ  =>
A
3sc
A
T1sc II   ; que é o caso mais comum devido a presença de
transformadores delta – estrela aterrado.

51
51
VIII.2- Comparação entre o curto dupla fase e o trifásico
Fazendo 21 ZZ  , vem:   2
I
.903
Z2
E
.aaI
B
3sc
1
2B
2sc

  ,
Onde,
1
I
.866,0jI
B
3scB
2sc

  =>
B
3sc
B
2sc II  
VIII.3- Comparação entre o curto dupla fase-terra e o trifásico
Fazendo 21 ZZ  e considerando os diagramas de sequências a seguir, tem-se:
Do qual podemos escrever as seguintes equações:









 
01
011
T2sc
ZZ
Z.Z
IV => 13sc Z.I
K1
K
V 


1
2
T2sc
Z
V
I  => 

 3sc
2
T2sc I
K1
K
I
0
0
T2sc
Z
V
I  =>
0
1
3sc
0
T2sc
Z
Z
I
K1
K
I 


K1
I
I
3sc1
T2sc




Sabendo que
2
T2sc
1
T2sc
20
T2sc
B
T2sc IaIaII   , e substituindo cada componente de
sequência da corrente, anteriormente explicitadas em função da corrente de curto-circuito trifásica, temos:










 aKa
Z
Z
K
K1
I
I 2
0
1
B
3scB
T2sc ; onde
01
0
ZZ
Z
K


1Z
E
1
T2scI 
1Z
V
2
T2scI 
0Z
0
T2scI 

52
52
1º Caso : Para 01 ZZ  =>   3sc
B
T2sc II
2º Caso : Para 0Z0  =>   3sc
B
T2sc I3I
Conclusão: Quanto menor a impedância de sequência zero, maior a tendência de o defeito Dupla Fase-
Terra drenar a maior corrente, e ser o defeito mais severo no caso.

53
53
IX- CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO ATRAVÉS DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA - BUSZ
IX.1- Obtenção da Matriz BUSZ
A matriz BUSZ contém as impedâncias no ponto de cada nó com relação a um nó de referência escolhido
arbitrariamente. A impedância no ponto de um nó é a impedância equivalente entre ele e a referência. A
matriz BUSZ contém também a impedância de transferência entre cada barra do sistema e cada outra
barra, com relação ao nó de referência. As impedâncias de transferência são determinadas calculando-se
as tensões que existiriam em cada uma das outras barras do sistema, com relação a referência, quando
uma barra em particular recebe uma injeção de corrente de uma unidade ( 1,0 pu ). Só existirá BUSZ se o
sistema estiver ligado para a terra.
Considere o sistema caracterizado pela seguinte equação:
     
BUSI
1Nx
BUSZ
NxN
BUSV
1Nx
.
ou























































N
2
1
NN2N1N
N22221
N11211
N
2
1
I
.
.
.
I
I
Z..ZZ
.....
.....
.....
Z..ZZ
Z..ZZ
V
.
.
.
V
V
Supondo conhecido ,e BUSBUS IV

temos:
BUSBUS IV .ZBUS


Suponhamos, agora, uma variação de corrente na barra “q”, representada por ,Iq ou;

















0
.
I
.
0
I qBUS
.iaçõesvarassóEstudoIZV
IZV0
IZVZ
IZZV
)I(ZV
,Logo
BUSBUSBUS
BUSBUSBUS
BUSBUSBUSBUSBUSBUS
BUSBUSBUSBUSBUSBUS
BUSBUSBUSBUSBUS
IV
IV
IV









54
54
Escalarmente vem:






























































0
.
I
.
0
0
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
Z.Z.ZZ
V
.
V
.
V
V
q
NNNq2N1N
qNqq2q1q
N2q22221
N1q11211
N
q
2
1















qNqN
qqqq
qq22
qq11
I.ZV
.
I.ZV
.
I.ZV
I.ZV
Os elementos da matriz traduzem o conceito de impedância de transferência.





j
i
ij
jiji
I
V
Z
N,...,i;I.ZV 21
Exemplo:
Dada a configuração abaixo, determinar ZBUS.
a) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 1, temos:
pu0,1I1 
∆V1 = Z11.∆I1 = j1.1 = j1 => Z11 = j1 pu
∆V2 = Z21.∆I1 = j1.0 + j1.1 = j1 => Z21 = j1 pu
∆V3 = Z31.∆I1 = j1.0 + j1.1 = j1 => Z31 = j1 pu
Expressa a variação de tensão entre a barra i e a barra de referência
(terra), por unidade de corrente na barra j.
j1
j1
j1
3
21
j1
j1
j1
j1
3
21
j1
1,0 pu
∆V3
∆V2
∆V1
I3-2=0
I3-1=0
I2-1=0
I1=1,0

55
55
b) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 2, temos:
pu0,1I2 
∆V1 = Z12.∆I2 = j1.1 = j1 => Z12 = j1 pu
∆V2 = Z22.∆I2 = j1.2/3 + j1.1 = j5/3 => Z22 = j5/3 pu
∆V3 = Z32.∆I2 = j1.1/3 + j1.1 = j4/3 => Z32 = j4/3 pu
c) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 3, temos:
pu0,1I3 
∆V1 = Z13.∆I3 = j1.1 = j1 => Z13 = j1 pu
∆V2 = Z23.∆I3 = j1.1/3 + j1.1 = j4/3 => Z23 = j4/3 pu
∆V3 = Z33.∆I3 = j1.2/3 + j1.1 = j5/3 => Z33 = j5/3 pu
Portanto,











3/53/41
3/43/51
111
jZBUS
IX.2- Cálculo de curto-circuito utilizando BUSZ
Considere um curto-circuito em uma barra genérica “q” do sistema representado pela corrente – Iq
entrando no sistema. Esta corrente provoca variação de tensão em todas as outras barras.
j1
j1
j1
3
21
j1
∆V3
∆V2
I3-2= 1/3
I3-1= 1/3
I2-1= 2/3
I1=1,0
1,0 pu∆V1
1,0 pu
3
j1
j1
j1
21
j1
∆V3
∆V2
I3-2= 1/3
I3-1= 2/3
I2-1= 1/3
I1=1,0
∆V1

56
56






























































0
.
I
.
0
0
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
Z.Z.ZZ
V
.
V
.
V
V
q
NNNq2N1N
qNqq2q1q
N2q22221
N1q11211
N
q
2
1
Temos então que:
ANTES
qq
ANTES
i
PÓS
ii
V0V
VVV


Supondo que antes do curto, Vi = VNOMINAL = 1 pu, temos:
































































0
.
I
.
0
0
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
Z.Z.ZZ
1V
.
10
.
1V
1V
q
NNNq2N1N
qNqq2q1q
N2q22221
N1q11211
PÓS
N
PÓS
2
PÓS
1
  qqq IZ1 
qq
q
Z
1
I 
Temos ainda que:












qKq
PÓS
K
qq2
PÓS
2
qq1
PÓS
1
I.Z1V
.
.
I.Z1V
I.Z1V
Seja a configuração a seguir:
;
qqlm
lqmq
lm
qq
mqqq
qq
lqqq
lm
PÓS
m
PÓS
l
lm
Z.z
ZZ
z
Z
ZZ
Z
ZZ
z
VV
i







 
qqlm
lqmq
lm
Z.z
ZZ
i


qq
KqqKq
PÓS
K
Z
1
.Z1I.Z1V 
Logo:
qq
KqqqPÓS
K
Z
ZZ
V


ml
zlm
PÓS
mVilm
PÓS
lV
zlm é o z da linha e não o da matriz ZBUS
Onde, i = 1, 2, 3, ..... , N, sendo i ≠ q

57
57
Exemplos:
1º-Considerando a matriz impedância nodal abaixo, pede-se:













600,0450,0400,0300,0
450,0450,0400,0300,0
400,0400,0355,0245,0
300,0300,0245,0355,0
jZBUS
Determinar:
a) A corrente de curto-circuito trifásica na barra 3;
b) A corrente de curto-circuito fase-fase na barra 1;
c) Para um curto-circuito trifásico na barra 4, a corrente na linha 1 – 2 (sabe-se que a linha 1 – 2 apresenta
impedância de j1 pu);
d) Para um curto-circuito trifásico na barra 4, a corrente na linha 1 – 3 (sabe-se que a linha 1 – 3 apresenta
impedância de j1 pu);
e) Para um curto-circuito trifásico na barra 1, a tensão nas barras 3 e 4.
2º-Considerando o circuito de sequência zero abaixo, obter a matriz BUS,0Z .
Os dados estão em pu. Trabalhe o resultado com quatro casas decimais.
Resultado:











1180,00140,00220,0
0140,00220,00060,0
0220,00060,00380,0
jZ BUS,0
1 2 3 4
J 0,050
21
3
J 0,050
J 0,025
J 0,025
J 0,20J 0,20
J 0,20

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