Esse trabalho mostra como medir alturas inacessíveis, nesse caso o morro do pão de acúcar

1. Vamos considerar nesse trabalho uma
trigonometria perfeitamente acessível a
alunos do ensino médio, numa abordagem
simples e utilizável.

2. Um dos grandes desafios para o homem ao
longo dos tempos é a medida de distâncias
inacessíveis, por isso faremos uma abordagem
desse assunto de modo simples e interessante.
Nosso objetivo aqui, é mostrar que é possível
determinarmos a altura do Pão de Açúcar no
Rio de Janeiro, com uma margem de erro
bastante pequena e aceitável.

3. Utilizaremos as razões trigonométricas para
um ângulo agudo, definidas no triângulo
retângulo, mais especificamente a
tangente.
sen α = b
a
cos α = c
a
tg α = b
a

4. Precisaremos também de um teodolito, o qual
vamos construir, para a execução desse
trabalho.

5. Teodolito
Teodolito é um instrumento que tem uma espécie de
luneta e duas escalas angulares, uma horizontal para
medir ângulos no plano horizontal e outra vertical para os
ângulos de elevação.
Este é um modelo antigo
mas muito bom. Durante
muito tempo o mundo foi
medido, utilizando-se um
instrumento como esse.

6. Teodolito
Aqui mostramos um modelo moderno, totalmente digital,
que tem uma precisão incrível.

8. O Pão de Açúcar, vista do
Aterro do Flamengo

9. Vamos a construção do nosso teodolito
Material necessário
Um pedaço de madeira de formato retangular
com aproximadamente 15 x 20 cm.
Um transferidor.
Um tubo fino, como por exemplo uma capa
de caneta ou canudo de refrigerante.
Um prego 12x12 com cabeça.
Fita adesiva.

10. Modo de fazer
Com a fita adesiva fixamos o tubo ao
transferidor.
Em seguida devemos utilizar o prego para
prender o transferidor à madeira, como se
fosse um eixo.
Deve-se fazer uma reta paralela a face
superior da madeira, na altura do eixo do
transferidor.

11. O teodolito deverá ficar assim:

12. Algumas considerações:
Para realizarmos a medida da altura do pão
de açúcar ou de outra montanha qualquer,
precisamos de um plano horizontal,
relativamente grande, de onde podemos
avistar a nossa montanha.
Por isso escolhemos o aterro do flamengo,
por atender às nossas, necessidades nesse
caso.

13. Vamos ao trabalho:
Primeiro fixamos nosso teodolito em um ponto de
modo que fique em nível com plano horizontal,
digamos sobre uma mesa, no nosso caso no Aterro
do Flamengo;
Em seguida miramos o topo da montanha através do
tubo do nosso teodolito, e marcamos o ângulo “α”;
Precisamos agora caminhar em direção ao objetivo,
uma distância “d” considerável, então miramos
novamente o topo e marcamos o novo ângulo “β”.

14. As medidas
Alguns professores fizeram essas medidas e
encontraram os seguintes dados:
O ângulo α = 10°
O ângulo β = 14°
Distância d = 650 m

15. O diagrama
Podemos visualizarmos essa situação através
de um diagrama como mostrado a seguir:
No DACD, temos:
tg α = h (1)
d + x
No DBCD, temos
tg β = h (2)
x
Onde: h é a altura da
montanha, α=10° ,
β=14° e d = 650.

16. Vamos aos cálculos
Pela equação (1) podemos encontrar o valor de h em
função de x e tg β, isto é, h = tg β . x.
Substituindo o valor de h na equação (2), temos:
tg α = tg β . x
d + x
Daí temos: tg β . x – tg α . x = tg α . d
Colocando x em evidência e passando tg β – tg α para o
segundo membro da equação temos:
x = tg α . d
tg β – tg α

17. Continuando os Cálculos
Utilizando os dados do problema,uma calculadora
científica e considerando quatro casas decimais para as
tangentes, temos que:
tg α = tg 10° ≈ 0,1763
tg β = tg 14° ≈ 0,2493
d = 650
Então temos: x ≈ 114,595
0,073
Ou seja x ≈ 1570 m

18. Continuando os Cálculos
Utilizando agora a equação (2) temos que:
h = tg β . X
Ou seja: h ≈ 0,2493 . 1570
h ≈ 391,4 m
Como nós consideramos que o teodolito foi fixado em
uma mesa, cerca de 60 cm de altura, e considerando que
o Aterro do Flamengo está há aproximadamente 3 m
acima do nível do mar, podemos considerar que o morro
do Pão de Açúcar mede cerca de 395 m de altitude.
Este número é bem próximo da realidade que é de 396
m.