Anota¸c˜oes sobre Topologia de espa¸cos m´etricos.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Sum´ario
1 Topologia de espa¸cos m´etricos 3
1.1 Espa¸co m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
SUM ´ARIO 3
1.10.2 Conjunto de n´umeros arbitrariamente grandes . . . . . . . . . . . . 52
1.10.3 Unicidade de limite . . ...
Cap´ıtulo 1
Topologia de espa¸cos m´etricos
1.1 Espa¸co m´etrico
Defini¸c˜ao 1 (M´etrica). Seja M um conjunto, dizemos que ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 5
Observa¸c˜ao 1. A propriedade d2) simetria n˜ao ´e necess´aria como axioma,...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 6
Exemplo 3. Seja L
1
2 (R) o conjunto das fun¸c˜oes reais cont´ınuas tais qu...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 7
logo podemos aplicar
∫ ∞
−∞
de onde segue
d(f, g) ≤ d(g, h) + d(f, h).
Prop...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 8
por isso temos
≤
d(x, y)
1 + d(x, y)
+
d(z, y)
1 + d(z, y)
,
por isso concl...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 9
Um pouco de hist´oria
Maurice Fr´echet (2 de Setembro de 1878- 4 de Junho d...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 10
vale para m´odulo, implicando que
d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).
Ent˜ao (R, ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 11
Defini¸c˜ao 5. Dada uma pseudo m´etrica d em um espa¸co X, definimos a class...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 12
1.1.1 Desigualdades provenientes da desigualdade triangular
Propriedade 6....
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 13
Seja o conjunto Rn
= {(xk)n
1 , xk ∈ R} dados os pontos x = (xk)n
1 , y = ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 14
|xv − zv|
como |xv − zv| = max{|xk − zk|, k ∈ In} segue
dM (x, y) + d1(y, ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 15
logo
dS(x, y) + dS(y, z) ≥ dS(x, z).
Al´em disso temos que
dS(x, y) = dS(x...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 16
Propriedade 11. Sejam (dk)n
1 , m´etricas em M e (ck)n
1 uma sequˆencia de...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 17
1.
Positividade ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0.
2.
Produto por constante ∥av∥ = |a|∥v∥.
3...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 18
Propriedade 13. Todo espa¸co vetorial normado (V, ∥ ∥) ´e um espa¸co m´etr...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 19
Defini¸c˜ao 7 (M´etrica proveniente da norma). A m´etrica d(x, y) = ∥x−y∥ n...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 20
Demonstra¸c˜ao. Vale d1 pois
d(x, y) =
n∑
k=1
(xk − yk)2
≥0
como soma de n...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 21
Demonstra¸c˜ao. Primeiro vamos mostrar que dM (x, y) ≤ d(x, y). Como o con...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 22
1.2.1 Produto cartesiano de espa¸cos m´etricos
Propriedade 20. Dados n esp...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 23
Defini¸c˜ao 12 (Esfera). Definimos a esfera de centro a e raio r no subespa¸...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 24
Propriedade 23.
B[a, r] = S(a, r) ∪ B(a, r)
com uni˜ao disjunta.
Demonstra...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 25
Defini¸c˜ao 17 (Espa¸co limitado). Seja M um espa¸co m´etrico e A ⊂ M, ent˜...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 26
Defini¸c˜ao 20 (Diˆametro de um conjunto limitado). Seja A ⊂ M um conjunto
...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 27
Propriedade 31. Em Rn
vale que diamB(a, r) = 2r.
Demonstra¸c˜ao.
J´a sabem...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 28
da mesma forma existem v e w em A tais que
||v − w| − |x − y|| <
ε
2
da´ı ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 29
Defini¸c˜ao 23 (Disco fechado). Definimos o disco fechado de centro z0 e rai...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 30
1.5 Conjuntos abertos
Sejam A um subconjunto de M e a ∈ A.
Defini¸c˜ao 28 (...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 31
Demonstra¸c˜ao. As defini¸c˜oes de a ∈ ∂A e a ∈ ∂(CA) s˜ao idˆenticas, pois...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 32
Propriedade 40. Se B(a, r) ⊂ A ent˜ao B(a, r) ⊂ intA.
Demonstra¸c˜ao. Temo...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 33
Propriedade 47. A uni˜ao arbitr´aria de conjuntos abertos ´e um conjunto a...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 34
Propriedade 53. O produto cartesiano
n∏
k=1
Ak de conjuntos abertos AK ∈ M...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 35
1.6.1 (A)c
= int(Ac
).
Corol´ario 12. (A)c
= int(Ac
). Pois a /∈ A ⇔ a ∈ (...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 36
Sendo x ∈ M  E, temos que existe sequˆencia em M  E que converge para x, p...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 37
Corol´ario 14. Se vale A ⊂ B e B ´e fechado ent˜ao A ⊂ A ⊂ B pois A ⊂ B = ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 38
Demonstra¸c˜ao. J´a mostramos que M A = int(M A) como o interior ´e aberto...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 39
1.6.2 A = ∂A ∪ int(A).
Propriedade 68. Vale que
A = ∂A ∪ int(A).
Demonstra...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 40
Propriedade 72. A intersec¸c˜ao arbitr´aria de conjuntos fechados ´e um co...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 41
Propriedade 74. Seja P ⊂ Rn
um conjunto perfeito, ent˜ao P ´e n˜ao enumer´...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 42
Demonstra¸c˜ao. Seja (xn) em E′
com lim xn = x. Vamos mostrar que x ∈ E′
....
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 43
Exemplo 15. Construa um conjunto de R com exatamente 3 pontos limite. O
co...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 44
1.7 Espa¸cos topol´ogicos
Defini¸c˜ao 42 (Topologia). Uma topologia num con...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 45
1.8 Conjuntos conexos
Defini¸c˜ao 48 (Conjuntos separados). Dois conjuntos ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 46
Propriedade 85. A e B s˜ao abertos e fechados em M.
Demonstra¸c˜ao. Vale q...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 47
Demonstra¸c˜ao. Dado um ponto isolado a do espa¸co M existe r > 0 tal que
...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 48
Demonstra¸c˜ao. Seja A ⊂ M conexo tal que A = M, vamos provar que M ´e
con...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 49
Demonstra¸c˜ao.
⇒).
A proje¸c˜ao Pk : M → Mk ´e continua e sobrejetiva, en...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 50
Propriedade 96. Seja (Xk)k∈I fam´ılia arbitr´aria de conexos em M. Se a ∈ ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 51
1.10 Sequˆencias em espa¸cos m´etricos
Denotaremos sempre M como espa¸co m...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 52
Corol´ario 31. Se lim xn = a ent˜ao ∀ε > 0, B(a, ε) cont´em todos xn , poi...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 53
Demonstra¸c˜ao. definimos xn = a se n par e xn = b se n ´e ´ımpar, se tal s...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 54
Propriedade 105. Se lim xn = x e lim yn = y ent˜ao lim d(xn, yn) = d(x, y)...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 55
1.10.4 Sequˆencias e pseudo-m´etrica
Propriedade 107. Seja d uma pseudo-m´...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 56
Demonstra¸c˜ao. Seja (xn) uma sequˆencia de Cauchy, ent˜ao dado ε = 1, exi...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 57
Propriedade 112. Sejam (xn), (yn) sequˆencias de Cauchy em um espa¸co m´et...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 58
Propriedade 117. Seja E o conjunto dos limites subsequenciais ent˜ao E ´e ...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 59
de lim cn
= 0 conclu´ımos que (xn) ´e de Cauchy, logo convergente.
A passa...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 60
lim
kn→∞
(Fm
)k
(x) = p ∀x ∈ X
tem-se tamb´em que Frn
(x) ∈ X
lim
kn→∞
(Fm...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 61
Propriedade 121. Seja S um conjunto e f : S → S tal que ∀ x0 ∈ S a sequˆen...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 62
||Ew(x)−z|| = ||w−f(x)−z|| ≤ ||w−f(z)−z||+||f(z)−f(x)|| = ||w−ψ(z)||+λ||z−...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 63
os termos a partir de certo´ındice s˜ao constantes, logo a sequˆencia ´e c...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 64
1.12.1 Crit´erio de Cauchy para convergˆencia uniforme
Propriedade 129 (Cr...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 65
1.13.1 Espa¸co de Hilbert
Defini¸c˜ao 74 (Espa¸co de Hilbert). Um espa¸co v...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 66
por´em o limite ´e ´unico.
Exemplo 30. Nem toda fun¸c˜ao pode ser extendid...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 67
Propriedade 137. Sejam f : A → N uniformemente cont´ınua, A = M e N comple...
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 68
1.13.4 Completamento de um espa¸co m´etrico
Defini¸c˜ao 77 (Completamento)....
CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 69
Defini¸c˜ao 80 (Conjunto Gδ absoluto ). M ´e um Gδ absoluto quando todo A ⊂...
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  1. 1. Anota¸c˜oes sobre Topologia de espa¸cos m´etricos. Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡
  2. 2. 1
  3. 3. Sum´ario 1 Topologia de espa¸cos m´etricos 3 1.1 Espa¸co m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Desigualdades provenientes da desigualdade triangular . . . . . . . 11 1.2 Normas e produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Produto cartesiano de espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Bolas e esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Bolas no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.1 Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.2 M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.3 Abertos e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6.1 (A)c = int(Ac ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.2 A = ∂A ∪ int(A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.6.3 Ponto de acumula¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.7 Espa¸cos topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.8.1 A reta ´e um espa¸co conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.8.2 Produto cartesiano de conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.8.3 Conexidade por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.9 M´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.10 Sequˆencias em espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.10.1 Sequˆencia eventualmente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2
  4. 4. SUM ´ARIO 3 1.10.2 Conjunto de n´umeros arbitrariamente grandes . . . . . . . . . . . . 52 1.10.3 Unicidade de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.10.4 Sequˆencias e pseudo-m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.10.5 Sequˆencias de Cauchy em espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . 54 1.11 Sequˆencias e propriedades topol´ogicas de espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . 56 1.11.1 Sequˆencias e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.11.2 Teorema do ponto fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.12 Espa¸cos m´etricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.12.1 Crit´erio de Cauchy para convergˆencia uniforme . . . . . . . . . . . 63 1.13 Espa¸co de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.13.1 Espa¸co de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.13.2 Extens˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.13.3 Crit´erio de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.13.4 Completamento de um espa¸co m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.13.5 Espa¸cos m´etricos topologicamente completos . . . . . . . . . . . . . 67
  5. 5. Cap´ıtulo 1 Topologia de espa¸cos m´etricos 1.1 Espa¸co m´etrico Defini¸c˜ao 1 (M´etrica). Seja M um conjunto, dizemos que uma m´etrica1 d ´e uma fun¸c˜ao de M × M em [0, ∞) que a cada par de elementos x, y ∈ M associa um n´umero real denotado por d(x, y) chamado de distˆancia de x at´e y (ou de y at´e x), tais que sejam v´alidas as seguintes propriedades para quaisquer x, y, z ∈ M d1) Positividade d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇔ x = y. d2) Simetria d(x, y) = d(y, x) d3) Desigualdade Triangular d(x, y) + d(y, z) ≥ d(z, x). Propriedade 1. Para quaisquer pontos a, b, c ∈ M vale |d(a, b) − d(b, c)| ≤ d(a, c). Demonstra¸c˜ao. Vale d(a, b) − d(b, c) ≤ d(a, c) e −d(a, b) + d(b, c) ≤ d(a, c), de onde segue a desigualdade. Perceba que usamos apenas a desigualdade triangular para provar tal propriedade. 1 O matem´atico Maurice Fr´echet introduziu o conceito de espa¸co m´etrico em seu trabalho:Sur quelques points du calcul fonctionnel 4
  6. 6. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 5 Observa¸c˜ao 1. A propriedade d2) simetria n˜ao ´e necess´aria como axioma, ela decorre de d1) e de d3) pois de |d(a, b)−d(b, c)| ≤ d(a, c), tomando c = a tem-se |d(a, b)−d(b, a)| ≤ 0 como n˜ao pode ser menor que zero segue que |d(a, b) − d(b, a)| = 0 e d(a, b) = d(b, a). Al´em disso a positividade segue da desigualdade triangular e de que d(x, x) = 0, pois d(x, y) + d(z, y) ≥ d(x, z) implica que, tomando z = x 2d(x, y) ≥ 0 ⇒ d(x, y) ≥ 0. Ou d(a, c) ≥ |d(a, b) − d(b, c)| ≥ 0. Ent˜ao para ser uma m´etrica ´e necess´ario apenas verificar X d(x, y) = 0 ⇔ x = y X d(x, y) + d(z, y) ≥ d(x, z) Corol´ario 1. Em R com a m´etrica d(a, b) = |a − b|, vale ||a − b| − |b − c|| ≤ |a − c|. Exemplo 1. Se f ´e injetora ent˜ao d(a, b) = |f(a) − f(b)| ´e uma m´etrica em R. Basta provar que vale a positividade, que realmente vale pois d(a, b) = 0 ⇔ f(a) = f(b) mas como a fun¸c˜ao ´e injetiva isso implica a = b. Exemplo 2. d(x, y) = √ |x − y| ´e uma m´etrica em R, pois para ser nula ´e necess´ario que x, y, sendo tamb´em sempre positiva e valendo a simetria. Vale tamb´em a desigualdade triangular pois por desigualdade triangular |z −y| ≤ |x−y|+|x−z| ≤ |x−y|+|x−z|+2 √ |x − y| √ |z − x| = ( √ |x − y|+ √ |x − z|)2 tomando a raiz segue que √ |z − y| ≤ √ |x − y| + √ |x − z|.
  7. 7. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 6 Exemplo 3. Seja L 1 2 (R) o conjunto das fun¸c˜oes reais cont´ınuas tais que ∫ ∞ −∞ |f(x)| 1 2 dx < ∞. Seja d(f, g) = ∫ ∞ −∞ |f(x) − g(x)| 1 2 dx ent˜ao (L 1 2 (R), d) ´e um espa¸co m´etrico. Primeiro vamos mostrar que d est´a bem definida. Vale que |f(x) − g(x)| ≤ |f(x)| + 2|f(x)| 1 2 |g(x)| 1 2 + |g(x)| = (|f(x)| 1 2 + |g(x)| 1 2 )2 tomando raiz segue que |f(x) − g(x)| 1 2 ≤ |f(x)| 1 2 + |g(x)| 1 2 logo por compara¸c˜ao d(f, g) ´e finito, al´em disso ´e sempre n˜ao negativo por ser integral de termos n˜ao negativos. Em geral se a ≤ b + c ent˜ao a 1 2 ≤ b 1 2 + c 1 2 com a, b, c n˜ao negativos, a demonstra¸c˜ao ´e a mesma que a anterior, usaremos tal propriedade a seguir . X Se d(f, g) = 0, por continuidade ent˜ao a fun¸c˜ao integrada (cont´ınua e n˜ao negativa) deve ser nula |f(x) − g(x)| 1 2 = 0 o que implica f(x) = g(x)∀x ∈ R logo s˜ao iguais, ´e claro que d(f, f) = 0 pois o integrando se anula. X Vale a simetria pois d(f, g) = ∫ ∞ −∞ |f(x) − g(x)| 1 2 dx = ∫ ∞ −∞ |g(x) − f(x)| 1 2 dx = d(g, f). X Vale a desigualdade triangular pois |f(x) − g(x)| ≤ |g(x) − h(x)| + |f(x) − h(x)| ∀x pelo observa¸c˜ao anterior temos |f(x) − g(x)| 1 2 ≤ |g(x) − h(x)| 1 2 + |f(x) − h(x)| 1 2 ∀x
  8. 8. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 7 logo podemos aplicar ∫ ∞ −∞ de onde segue d(f, g) ≤ d(g, h) + d(f, h). Propriedade 2. Dada uma m´etrica d, ent˜ao f definida por f(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) tamb´em ´e uma m´etrica. Demonstra¸c˜ao. X Vale que f(x, y) ≥ 0 pois ´e raz˜ao de termos n˜ao negativos e o denominador n˜ao se anula. d(x, y) 1 + d(x, y) = 0 ⇔ d(x, y) = 0 ⇔ x = y. X A simetria vale pois f(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) = d(y, x) 1 + d(y, x) = f(y, x). X Desigualdade triangular2 . Como d ´e uma m´etrica, temos que d(x, y) 1 + d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, y) 1 + d(x, y) , pois o denominador na primeira fra¸c˜ao ´e maior, d(x, y) + d(y, z) + 1 ≥ d(x, y), da mesma forma d(z, y) 1 + d(x, y) + d(z, y) ≤ d(z, y) 1 + d(z, y) , agora a fun¸c˜ao de lei f(t) = t 1 + t ´e crescente, pois t 1 + t = t + 1 − 1 t + 1 = 1 − 1 t + 1 , ent˜ao se t cresce o valor 1 t + 1 ´e menor e por isso 1 − 1 t + 1 = f(t) ´e maior, disso segue usando a desigualdade triangular que d(x, z) 1 + d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) 1 + d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) 1 + d(x, y) + d(y, z) + d(y, z) 1 + d(x, y) + d(y, z) ≤ usando agora em cada parcela desigualdades que obtemos acima, segue que d(x, y) 1 + d(x, y) + d(z, y) 1 + d(z, y) , 2 Agrade¸co a Ivo Terek, Vinicius Rodrigues e Frank Wan por essa solu¸c˜ao .
  9. 9. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 8 por isso temos ≤ d(x, y) 1 + d(x, y) + d(z, y) 1 + d(z, y) , por isso conclu´ımos que d(x, z) 1 + d(x, z) ≤ d(x, y) 1 + d(x, y) + d(z, y) 1 + d(z, y) . X Vamos mostrar de outra maneira a desigualdade triangular. Sejam p = d(x, y), q = d(x, z), r = d(z, y). Como d ´e m´etrica temos, p, q, r ≥ 0 e p ≤ q + r implica que p ≤ q + r + 2qr + pqr ≥0 , somando pq + pr + pqr em ambos lados e colocando termos em evidˆencia segue p + pq + pr + pqr p(1+q+r+qr) ≤ (q + pq + qr + pqr) q(1+p+q+pq) + (r + pr + qr + pqr) r(1+p+q+pq) , que implica por fatora¸c˜ao p(1 + q)(1 + r) ≤ q(1 + r)(1 + p) + r(1 + p)(1 + q), dividindo ambos lados por (1 + p)(1 + q)(1 + r) conclu´ımos que p 1 + p ≤ q 1 + q + r 1 + r que garante a desigualdade triangular d′ (x, y) ≤ d′ (x, z) + d′ (z, y). Defini¸c˜ao 2 (Espa¸co m´etrico). Um espa¸co m´etrico ´e um par (M, d), onde M ´e um conjunto e d uma m´etrica. Chamaremos os elementos do espa¸co m´etrico de pontos e simplificaremos a nota¸c˜ao (M, d) para M quando estiver subentendida a m´etrica usada. Chamaremos sempre os elementos de um espa¸co m´etrico como pontos de M, isto ´e, se x ∈ M ent˜ao x ´e um ponto de M. Corol´ario 2. Todo subconjunto X de um espa¸co m´etrico M ´e um espa¸co m´etrico com a mesma m´etrica.
  10. 10. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 9 Um pouco de hist´oria Maurice Fr´echet (2 de Setembro de 1878- 4 de Junho de 1973) foi um matem´atico Francˆes. Fez contribui¸c˜oes importantes a topologia, introduziu o conceito de espa¸cos m´etricos, fez tamb´em importantes contribui¸c˜oes `a probabilidade , estat´ıstica e c´alculo. Considere em geral M um espa¸co m´etrico arbitr´ario, caso n˜ao sejam dadas informa¸c˜oes adicionais. Figura 1.1: Maurice Fr´echet Corol´ario 3. Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico e S ⊂ M, considerado a restri¸c˜ao dS em S × S ent˜ao (S, d) ´e um espa¸co m´etrico, pois a positividade, simetria e desigualdade triangular valem para todos elementos de M logo valem para todos elementos de S pois para cada x ∈ S tem-se x ∈ M , logo as propriedades de S s˜ao herdadas de M. Defini¸c˜ao 3 (M´etrica induzida-subespa¸co ). O espa¸co m´etrico S na condi¸c˜ao do exemplo anterior ´e chamado de subespa¸co e a m´etrica ds de m´etrica induzida. Propriedade 3 (M´etrica usual da reta.). (R, ||) onde d(x, y) = |x − y| ´e um espa¸co m´etrico. Demonstra¸c˜ao. O m´odulo ´e sempre positivo e ser´a zero quando x−y = 0, x = y, logo vale a propriedade d1. Vale que d(x, y) = |x − y| = |y − x| = d(y, x) logo vale a simetria. E a desigualdade triangular |x − y| + |y − z| ≥ |x − z|
  11. 11. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 10 vale para m´odulo, implicando que d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z). Ent˜ao (R, ||) ´e um espa¸co m´etrico. Defini¸c˜ao 4 (Pseudo m´etrica). Uma pseudo m´etrica ´e uma fun¸c˜ao de M × M → [0, ∞) que satisfaz a desigualdade triangular, a simetria , vale sempre d(x, y) ≥ 0, por´em pode valer d(x, y) = 0 com x ̸= y. Exemplo 4. d(x, y) = |x2 − y2 | define uma pseudo m´etrica em R. A distˆancia associa sempre valor n˜ao negativo pela presen¸ca do m´odulo. Por´em d(x, y) = 0 ⇒ |x2 − y2 | = |x − y||x + y| podendo ser que x = −y, logo n˜ao temos m´etrica, temos pseudo m´etrica pois as outras propriedades s˜ao satisfeitas, simetria |x2 − y2 | = |y2 − x2 | e desigualdade triangular, proveniente da propriedade para m´odulos |z2 − y2 | ≤ |x2 − y2 | + |x2 − z2 |. Propriedade 4. Seja d uma pseudo m´etrica em X. Dados p, q ∈ X, dizemos que p ∼ q ⇔ d(p, q) = 0. ∼ define uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Demonstra¸c˜ao. X Reflexividade. Vale que p ∼ p, pois d(p, p) = 0. X Simetria. Se p ∼ q ent˜ao q ∼ p pois d(p, q) = d(q, p) = 0 por defini¸c˜ao de m´etrica. X Transitividade. Suponha p ∼ q e q ∼ s ent˜ao p ∼ s, pois por desigualdade triangular e n˜ao negatividade temos d(p, q) 0 + d(q, s) 0 ≥ d(p, s) ≥ 0 d(p, s) = 0.
  12. 12. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 11 Defini¸c˜ao 5. Dada uma pseudo m´etrica d em um espa¸co X, definimos a classe de de um elemento x ∈ X como x = {y ∈ x tal qued(y, x) = 0}. Seja Y = X/ ∼= {x | x ∈ X}, definimos uma m´etrica em Y como d(x, y) = d(x, y) onde x e y s˜ao representantes quaisquer das classes x e y. Propriedade 5. A distˆancia na defini¸c˜ao anterior ´e uma m´etrica em Y . X Positividade. d(x, y) = d(x, y) ≥ 0 sendo nulo apenas quando x est´a na mesma classe de y, logo vale zero apenas quando x = y. X Vale a simetria pois d(x, y) = d(x, y) = d(y, x) = d(y, x) X Vale tamb´em a desigualdade triangular pois, reca´ımos na m´etrica em X. Falta mostrar apenas que a m´etrica ´e bem definida, sejam x, x′ , y, y′ representantes de classes x e y , vamos mostrar que d(x, y) = d(x′ , y′ ), isto ´e , a distˆancia n˜ao depende dos elementos da classe. Usamos que d(x′ , y′ ) ≤ d(x, y) + d(x′ , x) + d(y′ , y) 0 de mesma maneira d(x, y) ≤ d(x′ , y′ ) + d(x′ , x) + d(y′ , y) 0 logo d(x′ , y′ ) = d(x, y). Demonstra¸c˜ao.
  13. 13. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 12 1.1.1 Desigualdades provenientes da desigualdade triangular Propriedade 6. Vale a desigualdade d(xn, xm) ≤ m−1∑ k=n d(xk, xk+1) Demonstra¸c˜ao. Dados os pontos xk, xk+1 e xm, vale por desigualdade triangular d(xn, xk+1) ≤ d(xn, xk) + d(xk, xk+1) da´ı ∆d(xn, xk) ≤ d(xk, xk+1) aplicando m−1∑ k=n+1 segue d(xn, xm) − d(xn, xn+1) ≤ m−1∑ k=n+1 d(xk, xk+1) d(xn, xm) ≤ m−1∑ k=n d(xk, xk+1). Propriedade 7 (M´etrica zero um- M´etrica discreta). Seja A um conjunto n˜ao vazio e x, y elementos arbitr´arios de A, ent˜ao d : A → R dada por d(x, y) = 0 se x = y e d(x, y) = 1 se x ̸= y ´e uma m´etrica em A. Demonstra¸c˜ao. Vale d1 pois d(x, y) ≥ 0, pois assume valores 0 ou 1 e vale tamb´em d(x, y) = 0 se e somente se x = y pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao. Vale d2 pois se x ̸= y ent˜ao d(x, y) = 1 = d(y, x) se x = y ent˜ao d(x, y) = 0 = d(y, x) ent˜ao em todo caso vale a propriedade. Vale d3 d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) se x = z ent˜ao d(x, z) = 0 e a soma do lado esquerdo ser´a maior ou igual a zero, por ser soma de n´umero n˜ao negativos. Se x ̸= z ent˜ao d(x, z) = 1, se ainda x = y n˜ao podemos ter y = z pois implicaria x = z mas por hip´otese temos que x ̸= z, ent˜ao se x = y implica y ̸= z e temos igualdade, se x ̸= y ent˜ao d(x, y) = 1 e a soma no lado esquerdo ´e maior ou igual a 1.
  14. 14. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 13 Seja o conjunto Rn = {(xk)n 1 , xk ∈ R} dados os pontos x = (xk)n 1 , y = (yk)n 1 e z = (zk)n 1 ent˜ao Propriedade 8 (M´etrica do m´aximo em Rn .). dM (x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In} ´e uma m´etrica em Rn . Nesta m´etrica tomamos o m´aximo do m´odulo da diferen¸ca das coordenadas. Demonstra¸c˜ao. 1. dM (x, y) = 0 ⇔ x = y. Os termos est˜ao em m´odulo logo n˜ao h´a n´umeros negativos e se houver algum s ∈ In tal que xs ̸= ys ent˜ao xs − ys ̸= 0 e |xs − ys| ser´a positivo, logo o m´aximo do conjunto n˜ao ser´a 0, portanto para que o m´aximo seja zero ´e necess´ario que xk = yk para todo k ∈ In da´ı segue que x = y. 2. Simetria, vale que dM (x, y) = dM (y, x). dM (x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In} = max{| − 1||yk − xk|, k ∈ In} = = max{|yk − xk|, k ∈ In} = dM (y, x), logo vale a simetria. 3. Agora a desigualdade triangular, dM (x, y) + dM (y, z) ≥ dM (x, z), isto ´e max{|xk − yk|, k ∈ In} + max{|yk − zk|, k ∈ In} ≥ max{|xk − zk|, k ∈ In}. Temos para desigualdade triangular para m´odulo que |xv − yv| + |yv − zv| ≥ |xv − zv|, onde v ∈ In ´e o ´ındice tal que |xv − zv| = max{|xk − zk|, k ∈ In}, s ∈ In o ´ındice tal que |xs − ys| = max{|xk − yk|, k ∈ In}. Vale |xs − ys| ≥ |xv − yv| pelo primeiro ser m´aximo. Seja tamb´em t ∈ In o ´ındice tal que |yt − zt| = max{|yk − zt|, k ∈ In}, mais uma vez vale |yt − zt| ≥ |yv − zv| pelo primeiro termo ser o m´aximo, logo max{|xk−yk|, k ∈ In}+max{|yk−zk|, k ∈ In} = |xs−ys|+|yt−zt| ≥ |xv−yv|+|yv−zv| ≥
  15. 15. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 14 |xv − zv| como |xv − zv| = max{|xk − zk|, k ∈ In} segue dM (x, y) + d1(y, z) ≥ d1(x, z) max{|xk − yk|, k ∈ In} + max{|yk − zk|, k ∈ In} ≥ max{|xk − zk|, k ∈ In}. Al´em disso, temos que dM (x, y) = dM (x − y, 0) = max{|xk − yk − 0|, k ∈ In}, dS(cx, 0) = max{|cxk|, k ∈ In} = |cxs| = |c||xs| = |c|dM (x, 0). Ent˜ao, dM (x, 0) = max{|xk|, k ∈ In} ´e uma norma. Propriedade 9 (M´etrica da soma em Rn .). dS(x, y) = n∑ k=1 |xk − yk| ´e uma m´etrica em Rn . Demonstra¸c˜ao. Vale a positividade pois n∑ k=1 |xk − yk| ´e soma de elementos n˜ao negativos logo ´e n˜ao negativo, se houver algum s ∈ In tal que xs ̸= ys ent˜ao |xs − ys| ̸= 0 ent˜ao a soma ser´a maior que zero, para que seja zero ´e necess´ario que xk = yk para todo k ∈ In isso implica x = y. Vale a simetria dS(x, y) = n∑ k=1 |xk − yk| = n∑ k=1 | − 1||yk − xk| = n∑ k=1 |yk − xk| = dS(y, x). Agora a desigualdade triangular vale para todo ´ındice k ∈ In |xk − yk| + |yk − zk| ≥ |xk − zk| aplicando a soma n∑ k=1 segue n∑ k=1 |xk − yk| + n∑ k=1 |yk − zk| ≥ n∑ k=1 |xk − zk|
  16. 16. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 15 logo dS(x, y) + dS(y, z) ≥ dS(x, z). Al´em disso temos que dS(x, y) = dS(x − y, 0) = n∑ k=1 |xk − yk − 0| dS(cx, 0) = n∑ k=1 |cxk| = |c| n∑ k=1 |xk| = |c|dS(x, 0) ent˜ao dS(x, 0) = n∑ k=1 |xk| ´e uma norma . Propriedade 10. B(A, R) = {f : A → R | f limitada em A} com d(f, g) = sup{|f(x) − g(x)|, x ∈ A} ´e m´etrica em B(A, R). Demonstra¸c˜ao. Tal m´etrica ´e proveniente da norma do sup ||f|| = sup x∈A |f(x)|. 1. Vale a positividade pois |f(x) − g(x)| ≥ 0 para todo x se existe x1 ∈ A tal que f(x1) ̸= g(x1) ent˜ao |f(x1) − g(x1)| := b > 0 e o supremo n˜ao ser´a zero pois 0 n˜ao ´e cota superior do elemento b, logo para que o supremo seja zero ´e necess´ario que f(x) = g(x), ∀x ∈ A, assim as fun¸c˜oes s˜ao iguais. 2. A simetria mais uma vez se d´a pela presen¸ca do m´odulo d(f, g) = sup{|f(x) − g(x)|, x ∈ A} = sup{| − 1||g(x) − f(x)|, x ∈ A} = = sup{|g(x) − f(x)|, x ∈ A} = d(g, f). 3. Provamos para a norma, pois temos sup x∈A |f(x) + g(x)| ≤ sup x∈A |f(x)| + sup x∈A |g(x)| por propriedade de supremo.
  17. 17. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 16 Propriedade 11. Sejam (dk)n 1 , m´etricas em M e (ck)n 1 uma sequˆencia de termos n˜ao negativos com pelo menos um termo n˜ao nulo ent˜ao d(x, y) = n∑ k=1 ckdk(x, y) define uma m´etrica em M. Demonstra¸c˜ao. X Como dk(x, y) ≥ 0, ck ≥ 0 ent˜ao ckdk(x, y) ≥ 0 somando d(x, y) = n∑ k=1 ckdk(x, y) ≥ 0. Substituindo y por x o resultado ´e n˜ao nulo, pois temos pelo menos um ´ındice j tal que cj > 0 e da´ı cjdj(x, x) > 0 e todos outros termos s˜ao n˜ao negativos. X Simetria d(x, y) = n∑ k=1 ckdk(x, y) = n∑ k=1 ckdk(y, x) = d(y, x). X Desigualdade triangular, para cada k vale dk(x, y) + dk(y, z) ≥ dk(x, z) multiplicando por ck e tomando a soma temos n∑ k=1 ckdk(x, y) + n∑ k=1 ckdk(y, z) ≥ n∑ k=1 ckdk(x, z) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z). Em especial se d ´e m´etrica ent˜ao td ´e m´etrica, t > 0 real. 1.2 Normas e produto interno Defini¸c˜ao 6 (Espa¸co vetorial normado). Um espa¸co vetorial V (sobre um corpo K, real ou complexo) ´e dito ser normado se para cada elemento v de V ´e associado um n´umero real ∥v∥ tal que valem as propriedades
  18. 18. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 17 1. Positividade ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0. 2. Produto por constante ∥av∥ = |a|∥v∥. 3. Desigualdade triangular ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥. sendo u ∈ V e a um escalar. Nesse caso dizemos que (V, ∥ ∥) ´e um espa¸co vetorial normado. A norma de um vetor pode ser pensada como o comprimento ou magnitude de um vetor. Propriedade 12. Seja V um espa¸co vetorial complexo ou real. Se temos uma m´etrica d em V , que satisfaz d(x, y) = d(x − y, 0) d(cx, 0) = |c|d(x, 0) ent˜ao ||x|| = d(x, 0) define uma norma em V . Demonstra¸c˜ao. X Vale a positividade, pois ||x|| = d(x, 0) ≥ 0 e se anula apenas se x = 0. X Produto por constante ||cx|| = d(cx, 0) = |c|d(x, 0) = |c|||x||. X Desigualdade triangular, primeiro notamos que d(−y, 0) = | − 1|d(y, 0) = d(y, 0), por desigualdade triangular de m´etrica temos d(x, 0) + d(−y, 0) ≥ d(x, −y) = d(x + y, 0) d(x, 0) + d(y, 0) ≥ d(x + y, 0) logo ||x|| + ||y|| ≥ ||x + y||.
  19. 19. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 18 Propriedade 13. Todo espa¸co vetorial normado (V, ∥ ∥) ´e um espa¸co m´etrico com a m´etrica d(x, y) = ∥x − y∥ com x, y ∈ V. Demonstra¸c˜ao. 1. Vale a positividade, pois d(x, y) = ∥x − y∥ = 0 ⇔ x − y = 0, x = y e vale tamb´em d(x, y) = ∥x − y∥ ≥ 0. 2. Vale a simetria, pois d(x, y) = ∥x − y∥ e d(y, x) = ∥y − x∥ = | − 1|∥x − y∥ = d(x, y). 3. Vale a desigualdade triangular d(x, y) + d(x, z) = ∥x − y∥ + ∥ − x + z∥ ≥ ∥z − y∥ = d(z, y). Corol´ario 4. Com um produto interno podemos definir uma norma e do espa¸co vetorial normado podemos definir um espa¸co m´etrico. Corol´ario 5. O produto interno usual do Rn ´e definido como < u, u >= n∑ k=1 x2 k e a norma proveniente desse produto interno ´e ∥u∥ = √ < u, u > = n∑ k=1 x2 k a m´etrica fica d(u, v) = ∥u − v∥ = n∑ k=1 (xk − yk)2 vale a desigualdade triangular ∥x − y∥ + ∥x − z∥ ≥ ∥z − y∥ logo d(x, y) + d(x, z) = n∑ k=1 (xk − yk)2 + n∑ k=1 (xk − zk)2 ≥ n∑ k=1 (zk − yk)2 = d(z, y)
  20. 20. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 19 Defini¸c˜ao 7 (M´etrica proveniente da norma). A m´etrica d(x, y) = ∥x−y∥ no espa¸co vetorial normado (V, ∥ ∥) ´e chamada de m´etrica proveniente da norma. Propriedade 14. Se uma m´etrica d prov´em de uma norma, ent˜ao d(x + t, y + t) = d(x, y) ∀ t, x, y ∈ V. Demonstra¸c˜ao. Temos que d(x + t, y + t) = ||x + t − y − t|| = ||x − y|| = d(x, y). A distˆancia ´e invariante por deslocamento por um vetor t. Propriedade 15. Em V espa¸co vetorial normado vale que ||x − y|| ≥ | ||y|| − ||x|| |. Demonstra¸c˜ao. Por desigualdade triangular sabemos que ||x − y|| ≥ ||y|| − ||x|| pois ||x − y|| + ||x|| ≥ ||y|| da mesma maneira ||x − y|| ≥ ||x|| − ||y|| pois ||x − y|| + ||y|| ≥ ||x|| portanto ||x − y|| ≥ | ||y|| − ||x|| |. Propriedade 16. A fun¸c˜ao norma fN : V → R com fN (v) = ||v||, V espa¸co vetorial normado, ´e cont´ınua. Propriedade 17. Seja o conjunto Rn = {(xk)n k=1, xk ∈ R} , dados os pontos x = (xk)n 1 e y = (yk)n 1 ent˜ao d(x, y) = n∑ k=1 (xk − yk)2 ´e uma m´etrica em Rn .
  21. 21. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 20 Demonstra¸c˜ao. Vale d1 pois d(x, y) = n∑ k=1 (xk − yk)2 ≥0 como soma de n´umeros positivos ´e um n´umero positivo e para que a soma da direita seja zero ´e necess´ario que todas parcelas sejam zero pois caso contr´ario, se existir uma parcela positiva a soma tamb´em ser´a positiva, da´ı conclu´ımos que (xk = yk)n 1 implicando que x = y. Vale a propriedade de simetria pois d(x, y) = n∑ k=1 (xk − yk)2 = n∑ k=1 (−1)2(yk − xk)2 = n∑ k=1 (yk − xk)2 = d(y, x). A desigualdade triangular provamos pela propriedade da norma e produto interno. Corol´ario 6. (Rn , d) ´e um espa¸co m´etrico. Defini¸c˜ao 8 (Espa¸co Euclidiano). O conjunto Rn com a m´etrica d(x, y) = n∑ k=1 (xk − yk)2 ´e chamado de espa¸co Euclidiano. Defini¸c˜ao 9 (Normas equivalentes). Duas normas ||; ∥|1 e ||; ∥|2 s˜ao equivalentes em A se existem constantes c1 e c2 tais que vale c1||x∥|1 ≤ ||x∥|2 ≤ c2||x∥|1 ∀x ∈ A. Propriedade 18 (Desigualdade de m´etricas em Rn .). Para quaisquer elementos x, y ∈ Rn vale dM (x, y) ≤ d(x, y) ≤ dS(x, y) ≤ ndM (x, y) onde dM (x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In|} dS(x, y) = n∑ k=1 |xk − yk| e d(x, y) = n∑ k=1 (xk − yk)2.
  22. 22. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 21 Demonstra¸c˜ao. Primeiro vamos mostrar que dM (x, y) ≤ d(x, y). Como o con- junto {|xk − yk|, k ∈ In|} ´e finito, existe s ∈ In tal que dM (x, y) = |xs − ys| e na outra m´etrica d(x, y) = s−1∑ k=1 (xk − yk)2 + (xs − ys)2 + n∑ k=s+1 (xk − yk)2 ≥ √ (xs − ys)2 = |xs−ys| = dM (x, y). Agora a desigualdade dS(x, y) ≤ ndM (x, y), temos que |xk − yk| ≤ |xs − ys| para todo k ∈ In, tomando a soma n∑ k=1 segue n∑ k=1 |xk − yk| dS(x,y) ≤ n∑ k=1 |xs − ys| = n|xs − ys| = ndM (x, y). Provamos d(x, y) ≤ ds(x, y), que ´e equivalente a mostrar n∑ k=1 (xk − yk)2 ≤ n∑ k=1 |xk − yk| temos ( n∑ k=1 |xk−yk|)2 = n∑ k=1 |xk−yk| n∑ k=1 |xk−yk| = n∑ k=1 |xk−yk| n∑ l=1 |xl−yl| = n∑ k=1 n∑ l=1 |xl−yl||xk−yk| = ∑ (k,l)∈In×In |xk − yk||xl − yl| = n∑ k=1 (xk − yk)2 + ∑ (k,l)∈In×In,k̸=l |xk − yk||xl − yl| logo n∑ k=1 (xk − yk)2 < ( n∑ k=1 |xk − yk|)2 ⇒ n∑ k=1 (xk − yk)2 ≤ n∑ k=1 |xk − yk|. Propriedade 19. Seja ||x||∞ = max k∈In |xk|, vale que lim p→∞ ||x||p = ||x||∞ onde ||x||p = ( n∑ k=1 |xk|p ) 1 p . Demonstra¸c˜ao. Vale que (||x||p ∞) 1 p ≤ ||x||p ≤ (n||x||p ∞) 1 p tomando p → ∞ por sandu´ıche segue o resultado.
  23. 23. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 22 1.2.1 Produto cartesiano de espa¸cos m´etricos Propriedade 20. Dados n espa¸cos m´etricos (Mk)n 1 com m´etricas (dk)n 1 respecti- vamente, ent˜ao as fun¸c˜oes abaixo s˜ao m´etricas no produto cartesiano n∏ k=1, C Mk, onde x = (xk)n 1 e y = (yk)n 1 M´etrica do m´aximo d1(x, y) = max{dk(xk, yk) |k ∈ In} M´etrica da soma d2(x, y) = n∑ k=1 dk(xk, yk) M´etrica Euclidiana d(x, y) = n∑ k=1 [dk(xk, yk)]2. Demonstra¸c˜ao. Cada dk(xk, yk) ´e um n´umero real, como j´a demonstramos que tais propriedades valem para n´umeros reais ent˜ao essa propriedade ´e verdadeira. 1.3 Bolas e esferas Sejam a um ponto de um espa¸co m´etrico M e r um n´umero real e X um subespa¸co de M. Defini¸c˜ao 10 (Bola aberta). Definimos bola aberta de centro a e raio r no subespa¸co X de M como o conjunto BX(a, r) := {x ∈ X | d(x, a) < r}. Defini¸c˜ao 11 (Bola fechada). Definimos a bola fechada de centro a e raio r no subespa¸co X de M como o conjunto BX[a, r] := {x ∈ X | d(x, a) ≤ r}. A Bola fechada tamb´em pode ser denotada por BX(a, r) ou Br[a].
  24. 24. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 23 Defini¸c˜ao 12 (Esfera). Definimos a esfera de centro a e raio r no subespa¸co X de M como como o conjunto SX(a, r) := {x ∈ X | d(x, a) = r}. Caso X = M, omitimos o ´ındice M e escrevemos B(a, r), B[a, r], S(a, r). Exemplo 5. Em Rn ,as bolas e esferas s˜ao os conjuntos B(a, r) := {x ∈ Rn | ∥x − a∥ < r} B[a, r] := {x ∈ Rn | ∥x − a∥ ≤ r} que ´e chamada tamb´em de disco n-dimensional de centro a e raio r S(a, r) := {x ∈ Rn | ∥x − a∥ = r}. O disco B[0, 1] := {x ∈ Rn | ∥x − a∥ ≤ r} de centro 0 e raio 1 ´e chamado o disco unit´ario de Rn . Defini¸c˜ao 13. Denotamos especialmente Sn−1 = S(0, 1) = {x ∈ Rn | ∥x∥ = 1}. Propriedade 21. Vale que B′ M ⊂ Bs ⊂ B ⊂ BM em Rn onde as bolas s˜ao de mesmo centro a e raio r, excluindo B′ M que ´e de raio r n e centro a. Demonstra¸c˜ao. x ∈ B′ m ent˜ao |x − a|M < r n ⇒ n|x − a|M < r, usamos as desigualdades das m´etricas |x − a|M ≤ |x − a| ≤ |x − a|S ≤ |x − a|M < r. Propriedade 22. Valem as identidades SX(a, r) = S(a, r) ∩ X BX[a, r] = B[a, r] ∩ X BX(a, r) = B(a, r) ∩ X.
  25. 25. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 24 Propriedade 23. B[a, r] = S(a, r) ∪ B(a, r) com uni˜ao disjunta. Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que S(a, r) e B(a, r) s˜ao disjuntos. Seja x ∈ S(a, r) ent˜ao d(x, a) = r e x /∈ B(a, r), pois teria que ser d(x, a) < r. Agora seja x ∈ B[a, r] ent˜ao d(x, a) < r ou d(x, a) = r, se d(x, a) = r ent˜ao x ∈ S(a, r) logo pertence a uni˜ao, caso d(x, a) < r ent˜ao x ∈ B(a, r) que pertence a uni˜ao, em todo caso vale x na uni˜ao ent˜ao B[a, r] ⊂ S(a, r)∪B(a, r) . Agora seja x ∈ S(a, r)∪B(a, r) se d(x, a) < r ent˜ao x ∈ B[a, r] se d(x, a) = r tamb´em, ent˜ao S(a, r) ∪ B(a, r) ⊂ B[a, r] valeB[a, r] = S(a, r) ∪ B(a, r). Corol´ario 7. B(a, r) ⊂ B[a, r] e S(a, r) ⊂ B[a, r]. Corol´ario 8. a ∈ B(a, r), pois como r > 0 segue que d(a, a) = 0 < r da´ı pela defini¸c˜ao de bola aberta a ∈ B(a, r). Corol´ario 9. a ∈ B[a, r]. Defini¸c˜ao 14 (Ponto isolado). Um ponto a ∈ M ´e dito um ponto isolado se existe r > 0 real tal que B(a, r) = {a}. Propriedade 24. Seja E espa¸co vetorial normado, E ̸= {0}, ent˜ao E n˜ao possui pontos isolados na m´etrica associada a norma. Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que para todo r > 0 real, existe um elemento x ̸= a na bola B(a, r), tomando z = ry 2||y|| com y vetor n˜ao nulo, tem-se |z| = r||y|| 2||y|| = r 2 tomando x = a + z temos que x ̸= a pois z n˜ao ´e nulo e temos x ∈ B(a, r) pois d(x, a) = ||x − a|| = ||z|| = r 2 < r. Defini¸c˜ao 15 (Espa¸co discreto). M ´e dito discreto se todo ponto de M ´e ponto isolado. Defini¸c˜ao 16 (Conjunto discreto). Um conjunto X ´e discreto quando o espa¸co X com a m´etrica induzida ´e um espa¸co discreto.
  26. 26. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 25 Defini¸c˜ao 17 (Espa¸co limitado). Seja M um espa¸co m´etrico e A ⊂ M, ent˜ao A ´e dito limitado se existe c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ A. Exemplo 6. X ⊂ Rn ´e limitado quando est´a contido em alguma bola B[a, r]. Propriedade 25. Toda bola B[a, r] est´a contida em uma bola do tipo B[0, n], o mesmo valendo para bolas abertas. Demonstra¸c˜ao. Tomamos n = r + |a|. Sendo x ∈ B[a, r] vale |x − a| ≤ r ⇒ |x| ≤ |x − a| + |a| ≤ r + |a|, logo x ∈ B[a, r] ⇒ x ∈ B[0, n]. Defini¸c˜ao 18 (Aplica¸c˜ao limitada). f : A → Rn ´e limitada, A ⊂ Rn quando f(A) ⊂ Rn ´e limitado. Propriedade 26. Toda bola aberta ou fechada ´e um conjunto convexo em um espa¸co normado. Demonstra¸c˜ao. Dados a, b ∈ B[x0, r] temos |a−x0| ≤ r e |b−x0| ≤ r, vale ainda x0 = tx0 + (1 − t)x0, da´ı |(1 − t)a + tb − x0| = |(1 − t)a + tb − tx0 − (1 − t)x0| = |(1 − t)(a − x0) + t(b − x0)| ≤ (1 − t)|a − x0| + t|b − x0| ≤ (1 − t)r + tr = r. logo o conjunto ´e convexo. Defini¸c˜ao 19 (Distˆancia de um ponto a um conjunto). Seja E um subconjunto n˜ao vazio de um espa¸co m´etrico M. Definimos a distˆancia de x ∈ M at´e E, como inf z∈E d(x, z) = d(x, E). Propriedade 27. Vale que d(x, E) = 0 ⇔ x ∈ E. Demonstra¸c˜ao. ⇐) Se x ∈ E, existe uma sequˆencia (xn) ∈ E com xn → x, logo para n suficientemente grande vale d(xn, x) < ε por isso d(x, E) = 0, pois se fosse um n´umero maior que zero, poder´ıamos tomar xn com d(xn, x) menor que esse n´umero, ent˜ao o ´ınfimo n˜ao seria uma cota inferior. ⇒) Suponha que x /∈ E, ent˜ao temos r > 0 tal que Br(x) ∩ E = ∅ logo para qualquer z ∈ E temos d(z, x) ≥ r por isso n˜ao podemos ter d(x, E) = 0.
  27. 27. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 26 Defini¸c˜ao 20 (Diˆametro de um conjunto limitado). Seja A ⊂ M um conjunto limitado, definimos seu diˆametro por diam(A) = sup{d(x, y) |x, y ∈ A}. Como A ´e limitado, o conjunto de n´umeros reais {d(x, y) |x, y ∈ A} ´e limitado superior- mente por isso possui supremo, ent˜ao a defini¸c˜ao faz sentido. Defini¸c˜ao 21 (Diˆametro de um conjunto ilimitado). Quando A n˜ao ´e limitado escrevemos diam A = ∞. Propriedade 28. Seja E um espa¸co vetorial normado real ou complexo com E ̸= {0}, com a m´etrica proveniente da norma, ent˜ao E n˜ao ´e limitado. Demonstra¸c˜ao. Suponha que E seja limitado, ent˜ao existe uma constante k > 0 tal que d(w, v) ≤ k para todos w e v em E, isto ´e, ∥w − v∥ ≤ k. Sejam dois elementos x ̸= y ∈ E com ∥x − y∥ = u, temos que u > 0, podemos tomar λ real, tal que λu > k, λx, λy s˜ao ainda vetores de E e ∥λx − λy∥ = |λ|∥x − y∥ = λu > k o que contradiz a suposi¸c˜ao de ser limitado. Propriedade 29. Se X e Y s˜ao limitados em M, ent˜ao X ∪ Y ´e limitado em M. Demonstra¸c˜ao. Fixamos x1, y1 ∈ X, Y , por M ser limitado existe M1 > 0 tal que d(x, x1) < M∀x ∈ X da mesma forma existe M2 > 0 tal que d(y, y1) < M∀y ∈ Y. Ent˜ao dados x ∈ X, y ∈ Y arbitr´arios temos que d(x, y) ≤ d(x, x1) + d(x1, y1) C +d(y1, y) ≤ M1 + C + M2. Logo a uni˜ao ´e limitada. Propriedade 30. Toda bola aberta B(a, r) ´e um conjunto limitado e seu diˆametro n˜ao excede 2r. Demonstra¸c˜ao. Tomando x, y ∈ B(a, r) temos pela desigualdade triangular d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r.
  28. 28. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 27 Propriedade 31. Em Rn vale que diamB(a, r) = 2r. Demonstra¸c˜ao. J´a sabemos que 2r ´e uma cota superior para distˆancia entre dois elementos da bola, agora vamos provar que ´e a menor cota superior, suponha uma outra cota s < 2r, podemos tomar ε 2 > 0 suficientemente pequeno tal que s < 2(r − ε 2 ) = 2r − ε < 2r e os pontos a − r + ε 2 e a + r − ε 2 que pertencem a bola, por´em a distˆancia entre os dois pontos ´e √ (2)2( ε 2 − r)2 = 2(r − ε 2 ) = 2r − ε que ´e maior que a cota superior suposta, logo temos um absurdo e 2r ´e realmente o supremo e portanto o diˆametro do conjunto. Exemplo 7. O diˆametro do retˆangulo P = [a, b] × [c, d] ´e diam(P) = √ (b − a)2 + (d − c)2 := v pois podemos tomar uma bola com centro no ponto de encontro das diagonais do retˆangulo e de raio com medida igual a metade do comprimento da diagonal, o retˆangulo est´a contido propriamente na bola que possui diˆametro v, por´em tamb´em temos pontos no retˆangulo cuja distˆancia ´e v, que s˜ao, por exemplo, (a, d) e (b, c). Propriedade 32. Se A ⊂ B ent˜ao diam(A) ≤ diam(B). Demonstra¸c˜ao. A propriedade vale pois temos {d(x, y) | x, y ∈ A} ⊂ {d(x, y) | x, y ∈ B} pois A ⊂ B, logo por propriedade de supremo temos sup{d(x, y) | x, y ∈ A} ⊂ sup{d(x, y) | x, y ∈ B}, isto ´e, diam(A) ≤ diam(B). Propriedade 33. Vale que diam(A) = diam(A) ∀A ∈ Rn . Demonstra¸c˜ao.[1] Seja c = diam(A). Existem x, y ∈ A tais que ||x − y| − c| < ε 2
  29. 29. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 28 da mesma forma existem v e w em A tais que ||v − w| − |x − y|| < ε 2 da´ı por desigualdade triangular temos ||v − w| − c| ≤ ||v − w| − |x − y|| + ||x − y| − c| < ε 2 + ε 2 = ε logo vale diam(A) = diam(A) . Demonstra¸c˜ao.[2] Prova no caso de espa¸cos m´etrico E. Como vale E ⊂ E, segue que diamE ≤ diamE. Por outro lado, sejam x, y ∈ E ent˜ao existem x′ , y′ em E, tais que d(x, x′ ) ≤ ε 2 , d(y, y′ ) ≤ ε 2 da´ı d(x, y) ≤ d(x, x′ ) + d(x′ , y′ ) + d(y′ , y) ≤ d(x′ , y′ ) + ε 2 + ε 2 d(x, y) ≤ d(x′ , y′ ) + ε ≤ ε + diam(E) logo por propriedade de supremo diam(E) ≤ diam(E) + ε como vale para todo ε temos diam(E) ≤ diam(E) e da´ı com a outra desigualdade segue que s˜ao iguais. Propriedade 34. Se K ⊂ Rn ´e compacto ent˜ao existem x0, y0 ∈ K tais que diam(K) = |x0 − y0|. Demonstra¸c˜ao. Seja f : K → K → R com f(x, y) = |x − y|, a fun¸c˜ao ´e cont´ınua, como K × K ´e subconjunto compacto de Rn × Rn = R2n existe um ponto (x0, y0) ∈ K × K tal que f(x0, y0) = sup{|x − y| ∈ K × K} = diam(K). 1.4 Bolas no plano complexo Defini¸c˜ao 22 (Disco aberto). Definimos o disco aberto de centro z0 e raio r por ∆(z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| < r}. O disco aberto ´e a bola aberta de centro z0 e raio r.
  30. 30. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 29 Defini¸c˜ao 23 (Disco fechado). Definimos o disco fechado de centro z0 e raio r por ∆(z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| ≤ r}. O disco fechado ´e a bola fechada de centro z0 e raio r. Defini¸c˜ao 24 (Disco aberto deletado). Definimos o disco aberto deletado de centro z0 e raio r por ∆∗ (z0, r) = {z ∈ C | 0 < |z − z0| < r}. Defini¸c˜ao 25 (C´ırculo). Definimos o C´ırculo de centro z0 e raio r por ∆∗ (z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| = r}. 1.4.1 Isometria Defini¸c˜ao 26 (Imers˜ao isom´etrica). Sejam M, N espa¸cos m´etricos uma fun¸c˜ao f : M → N ´e uma imers˜ao isom´etrica sse dM (x, y) = dN (f(x), f(y)) onde a primeira m´etrica ´e em M e a segunda em N, para todos x, y ∈ M. A imers˜ao isom´etrica preserva distˆancias. Corol´ario 10. Toda imers˜ao isom´etrica ´e injetiva, pois se f(x) = f(y) ent˜ao d(f(x), f(y)) = 0 e d(f(x), f(y)) = d(x, y) = 0 logo x = y. Defini¸c˜ao 27 (Isometria). Isometria ´e uma imers˜ao isom´etrica sobrejetiva. Ent˜ao isometria ´e uma fun¸c˜ao bijetora que preserva distˆancias.
  31. 31. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 30 1.5 Conjuntos abertos Sejam A um subconjunto de M e a ∈ A. Defini¸c˜ao 28 (Ponto interior). O ponto a ´e dito ser ponto interior de A, quando existir r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Exemplo 8. Em C um ponto z ∈ A ´e interior de A quando existe r > 0 tal que ∆(z, r) ⊂ A. Defini¸c˜ao 29 (Interior). Chamamos de interior de A o conjunto dos pontos interiores de A e denotamos por int(A). int(A) tamb´em pode ser denotado por A◦ . Propriedade 35. Se A ⊂ B ent˜ao int(A) ⊂ int(B). Demonstra¸c˜ao. Pois x ∈ int(A) ent˜ao existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ A ⊂ B ent˜ao x ∈ int(B). 1.5.1 Fronteira Defini¸c˜ao 30 (Ponto fronteira). Seja A ⊂ M. a ∈ M ´e chamado ponto de fronteira de A se ∀r > 0, a B(a, r) ∩ A ̸= ∅, B(a, r) ∩ CA MA ̸= ∅. Defini¸c˜ao 31 (Fronteira). Fronteira de A ´e o conjunto de todos os pontos fronteira de A, denotamos esse conjunto pelo s´ımbolo ∂A. Defini¸c˜ao 32 (Aberto). O conjunto A ´e dito aberto quando todos seus pontos s˜ao pontos interiores, intA = A. Vale sempre que intA ⊂ A, ent˜ao para mostrar que A ´e aberto, basta mostrar que A ⊂ intA. Propriedade 36. Dado A ⊂ M ent˜ao ∂A = ∂(CA).
  32. 32. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 31 Demonstra¸c˜ao. As defini¸c˜oes de a ∈ ∂A e a ∈ ∂(CA) s˜ao idˆenticas, pois a segunda ´e ∀r > 0, a B(a, r) ∩ CA ̸= ∅, B(a, r) ∩ C(CA) =A ̸= ∅. 1.5.2 M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA) Propriedade 37. Sendo A um subconjunto de M, vale M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA) onde a uni˜ao ´e disjunta. Demonstra¸c˜ao. Dado A ⊂ M e a ∈ M, uma das possibilidades ocorre exclusi- vamente existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A (nesse caso a ∈ intA), ou existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ CA (nesse caso a ∈ intCA), ou ainda para todo r > 0 vale B(a, r) ∩ A ̸= ∅ e B(a, r) ∩ CA ̸= ∅ (neste caso a ∈ ∂A). Propriedade 38. A ⊂ M ´e aberto sse A ∩ ∂A = ∅. Demonstra¸c˜ao. Se A ´e aberto ent˜ao vale A ∩ ∂A = ∅, pois para todo a ∈ A existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A logo n˜ao pode ocorrer B(a, r) ∩ CA ̸= ∅. Agora se vale A ∩ ∂A = ∅, significa que se a ∈ A ent˜ao a /∈ ∂A, ent˜ao existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Propriedade 39. Em qualquer espa¸co m´etrico M, uma bola aberta B(a, r) ´e um conjunto aberto. Demonstra¸c˜ao. Dado x ∈ Br(a) vamos mostrar que existe s > 0 tal que Bs(x) ⊂ Br(a). Para isso ´e necess´ario mostrar que se y ∈ Bs(x) implica y ∈ Br(a), isto ´e, d(y, x) < s implica d(y, a) < r, mas pela desigualdade triangular tem-se d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) podemos tomar s de tal maneira que d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < r da´ı d(y, x) < r − d(x, a), tomamos ent˜ao s = r − d(x, a) > 0.
  33. 33. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 32 Propriedade 40. Se B(a, r) ⊂ A ent˜ao B(a, r) ⊂ intA. Demonstra¸c˜ao. Temos que mostrar que todo ponto x ∈ B(a, r) ⊂ A ´e ponto interior, mas mostramos na propriedade anterior que dado x ∈ B(a, r) existe s > 0 tal que B(x, s) ⊂ B(a, r) ⊂ A, logo todo ponto x nessas condi¸c˜oes ´e interior e vale B(a, r) ⊂ intA. Propriedade 41. Dado A ⊂ M. intA ´e aberto em M. Demonstra¸c˜ao. Dado x ∈ intA, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A logo B(x, r) ⊂ intA. Vale ent˜ao int(intA) = intA, propriedade de idempotˆencia . Propriedade 42. M ´e aberto em M. Demonstra¸c˜ao. Para todo x ∈ M vale que B(a, r) ⊂ M, pois B(a, r) = {x ∈ M | d(x, a) < r} ´e por defini¸c˜ao um subconjunto de M. Propriedade 43. Se G ⊂ E, G aberto ent˜ao G ⊂ Int(E), isto ´e, ∫ (E) ´e o menor subconjunto aberto de E. Demonstra¸c˜ao. De G ⊂ E segue que int(G) G ⊂ int(E), portanto G ⊂ Int(E) . Propriedade 44. O vazio ´e aberto em M. Demonstra¸c˜ao. Se o vazio n˜ao fosse aberto em M, haveria algum ponto nele que n˜ao ´e ponto interior, o que ´e absurdo pois o vazio n˜ao possui pontos. Propriedade 45. MB[a, r] ´e aberto em M. Propriedade 46. A intersec¸c˜ao de um n´umero finito de conjuntos abertos ´e um conjunto aberto. Demonstra¸c˜ao. Sejam (Ak)n 1 conjuntos abertos, ent˜ao n∪ k=1 Ak ´e aberto. Seja x ∈ n∪ k=1 Ak, ent˜ao existem (rk > 0)n 1 tais que Brk (a) ⊂ Ak e tomando r < rk ∀k segue que Br(a) ⊂ Brk (a) ∀k logo Br(a) ⊂ n∪ k=1 Ak, ent˜ao o conjunto ´e aberto.
  34. 34. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 33 Propriedade 47. A uni˜ao arbitr´aria de conjuntos abertos ´e um conjunto aberto. Demonstra¸c˜ao. Sejam (Ak)k∈B abertos para todo k ∈ B ent˜ao ∪ k∈B Ak ´e aberto. Dado x ∈ ∪ k∈B Ak ent˜ao x ∈ Ak para algum k ent˜ao existe rk > 0 tal que Brk (a) ⊂ Ak, implicando que Brk (a) ⊂ ∪ k∈B Ak, logo a uni˜ao ´e aberta. Propriedade 48. Um subconjunto A ⊂ M ´e um conjunto aberto ⇔ ´e uni˜ao de bolas abertas. Demonstra¸c˜ao. Um subconjunto A ⊂ M aberto ´e uni˜ao de bolas abertas, pois dado x ∈ A podemos escrever A = ∪ x∈A {x} mas cada x ∈ A est´a contido numa bola aberta B(x, rx) ⊂ A, por A ser aberto, logo vale tamb´em A = ∪ x∈A {x} ⊂ ∪ x∈A B(x, rx) ⊂ A ,logo A = ∪ x∈A B(x, rx). Se A ´e reuni˜ao de bolas abertas ent˜ao A ´e aberto , pela propriedade anterior. Propriedade 49. Dado um conjunto finito A ⊂ M ent˜ao MA ´e aberto. Defini¸c˜ao 33 (Vizinhan¸ca). Um conjunto V ´e uma vizinhan¸ca do ponto a quando a ∈ intV. Propriedade 50. A interse¸c˜ao de um n´umero finito de vizinhan¸cas de a ´e uma vizinhan¸ca de a. 1.5.3 Abertos e continuidade Propriedade 51. Sejam f : M → N cont´ınua e A ⊂ N um aberto ent˜ao f−1 (A) ´e aberto. Demonstra¸c˜ao. Propriedade 52. Sejam M, N espa¸cos m´etricos. f : M → N ´e cont´ınua ⇔ para todo aberto A ∈ N, f−1 (A) ´e um subconjunto aberto de M.
  35. 35. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 34 Propriedade 53. O produto cartesiano n∏ k=1 Ak de conjuntos abertos AK ∈ Mk ´e um subconjunto aberto de M = n∏ k=1 Mk. Defini¸c˜ao 34 (Fun¸c˜ao aberta). Uma fun¸c˜ao f : M → N ´e dita aberta quando para todo A ⊂ M aberto f(A) ´e aberto. 1.6 Conjuntos fechados Defini¸c˜ao 35 (Ponto Aderente). Um ponto a ∈ M ´e dito aderente ao conjunto A ⊂ M quando ∀ε > 0, ∃ x ∈ A | d(a, x) < ε. Um ponto a ´e aderente a um conjunto A se existe em A elementos arbitrariamente pr´oximos de a. Corol´ario 11. Todo ponto a ∈ A ´e aderente ao conjunto A, pois d(a, a) = 0. Defini¸c˜ao 36 (Fecho). O fecho de A ⊂ M ´e o conjunto A dos pontos de M aderentes ao conjunto A. Propriedade 54. a ∈ A ⇔ ∀r > 0, Br(a) ∩ A ̸= ∅. Demonstra¸c˜ao. ⇒). Seja a ∈ A, logo vale que para todo r > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < r, da´ı existe x ∈ A tal que x ∈ Br(a), logo a interse¸c˜ao ´e sempre n˜ao vazia. ⇐). Se vale ∀r > 0, Br(a) ∩ A ̸= ∅, ent˜ao ∀r > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < r, da´ı a ∈ A. Propriedade 55. a /∈ A ⇔ a ∈ int(Ac ). Demonstra¸c˜ao. ⇒). Se a /∈ A vale que existe r > 0 tal que Br(a) ∩ A = ∅, da´ı todo x ∈ Br(a) n˜ao pertence a A logo pertence a Ac , da´ı a ∈ int(Ac ). ⇐). Se a ∈ int(Ac ) ent˜ao existe r > 0 tal que Br(a) ⊂ Ac , logo existe r > 0 tal que Br(a) ∩ A = ∅ ent˜ao a /∈ A.
  36. 36. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 35 1.6.1 (A)c = int(Ac ). Corol´ario 12. (A)c = int(Ac ). Pois a /∈ A ⇔ a ∈ (A)c ⇔ a ∈ int(Ac ) . Conclu´ımos ent˜ao que (A)c ´e um conjunto aberto. Exemplo 9. N˜ao vale em geral que int(A) = int(A), pois podemos tomar A = Q, temos int(Q) = ∅ e Q = R , logo int(Q) = R n˜ao valendo ent˜ao a igualdade. Exemplo 10. A e int(A) podem ter fechos diferentes, como ´e o caso de A = {a}. int(A) = ∅ com fecho vazio e fecho de A ´e A. Propriedade 56. Dado E ⊂ M espa¸co m´etrico ent˜ao vale M int(E) = M E. Ou seja int(E)c = (Ec). Demonstra¸c˜ao. x ∈ (Ec) ⇔ ∀ε > 0 | B(x, ε) ∩ Ec ̸= ∅ ⇔ ∼ (∃ε > 0 | B(x, ε) ∩ Ec = ∅) ⇔∼ (∃ε > 0 | B(x, ε) ⊂ E) ⇔ ∼ (x ∈ int(E)) ⇔ x ∈ int(E)c . Como quer´ıamos mostrar. Demonstra¸c˜ao.[2] Vamos provar as duas inclus˜oes de conjuntos. M int(E) ⊂ M E). Seja x ∈ M int(E) ent˜ao x /∈ int(E), isto ´e, para qualquer r > 0 n˜ao vale Br(x) ⊂ E que equivale a dizer Ar := Br(x) ∩ (M E) ̸= ∅ ∀r > 0 supondo que x ∈ Ar ent˜ao x /∈ E da´ı x ∈ M E e por isso x ∈ M E. Caso x n˜ao perten¸ca a nenhum Ar, ent˜ao podemos tomar pontos em A1 n , formando uma sequˆencia de pontos em M E que converge para x e por isso x ∈ M E o que termina a demonstra¸c˜ao. M E ⊂ M int(E)).
  37. 37. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 36 Sendo x ∈ M E, temos que existe sequˆencia em M E que converge para x, por isso para qualquer r > 0 temos Ar := Br(x) ∩ (M E) ̸= ∅ ∀r > 0 o que vimos na demonstra¸c˜ao anterior ser equivalente a x ∈ M int(E)). Propriedade 57. ∂A ⊂ A . Demonstra¸c˜ao. Para todo ponto a ∈ ∂A vale ∀r > 0 B(a, r) ∩ A ̸= ∅. Corol´ario 13. Da identidade M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA) e de CA = int(CA), tem- se que A ⊂ M, mas A n˜ao possui elementos em int(CA), al´em disso ∂A ⊂ A, ent˜ao A = intA ∪ ∂A. Propriedade 58. ∅ = ∅. Demonstra¸c˜ao. Caso contr´ario ∅ teria algum ponto n˜ao aderente, o que ´e absurdo. Propriedade 59. M = M. Demonstra¸c˜ao. Pois para cada a ∈ M, tem-se d(a, a) = 0 < r. Propriedade 60. A ⊂ A. Demonstra¸c˜ao. Pois d(a, a) = 0 , logo todo a ∈ A satisfaz a ∈ A. Propriedade 61. A ⊂ B ⇒ A ⊂ B. Demonstra¸c˜ao. Seja a ∈ A ent˜ao ∀r > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < r, mas x ∈ A implica x ∈ B logo a ∈ B.
  38. 38. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 37 Corol´ario 14. Se vale A ⊂ B e B ´e fechado ent˜ao A ⊂ A ⊂ B pois A ⊂ B = B e da´ı segue o resultado. Isso significa que A ´e o menor conjunto fechado que cont´em A. Propriedade 62. Se Bn = n∪ k=1 Ak ent˜ao Bn = n∪ k=1 Ak, se B = ∞∪ k=1 Ak ent˜ao ∞∪ k=1 Ak ⊂ B e nem sempre vale a igualdade. Demonstra¸c˜ao. Vale que ∞∪ k=1 Ak ⊂ B e n∪ k=1 Ak ⊂ Bn. Dado um ponto x ∈ Ak existe uma sequˆencia de pontos (xn) em Ak com lim xn = x ela tem elementos em Bn ( ou B) da´ı seu limite pertence a Bn (ou B). Mostramos agora que Bn ⊂ n∪ k=1 Ak, seja x ∈ Bn, ent˜ao existe um sequˆencia (xn) em Bn com lim xn = x, existe algum Ak que deve conter uma infinidade de elementos de (xn) logo tal Ak possui uma subsequˆencia de (xn), que converge, pois subsequˆencia de sequˆencia convergente ´e convergente e portanto x ∈ Ak, como x tomado em Bn ´e arbitr´ario segue a inclus˜ao Bn ⊂ n∪ k=1 Ak como j´a mostramos que Bn ⊃ n∪ k=1 Ak ent˜ao temos a igualdade de conjuntos Bn = n∪ k=1 Ak. Se tomamos Ak = { 1 k } ent˜ao ∞∪ k=1 Ak = ∞∪ k=1 Ak e B possui um elemento que n˜ao est´a em tal reuni˜ao, que ´e o elemento nulo 0, pois 1 n → 0. Defini¸c˜ao 37 (Conjunto denso). A ⊂ M ´e denso em M quando A = M. Defini¸c˜ao 38 (Conjunto fechado). F ⊂ M ´e fechado em M quando M F ´e aberto em M. Corol´ario 15. M ´e fechado em M, pois M M = ∅ que ´e aberto em M. Corol´ario 16. ∅ ´e fechado em M, pois M ∅ = M ´e aberto em M. Propriedade 63. Dado qualquer conjunto A, A ´e fechado em M.
  39. 39. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 38 Demonstra¸c˜ao. J´a mostramos que M A = int(M A) como o interior ´e aberto, segue que A ´e fechado. Corol´ario 17. Se A = A ent˜ao A ´e fechado. Propriedade 64. Se A ´e fechado ent˜ao A = A. Demonstra¸c˜ao. Se A ´e fechado, vale que M A ´e aberto, da´ı M A = int(M A) mas vale que M A = int(M A) da´ı M A = M A o que implica A = A. Corol´ario 18. A ´e fechado sse A = A. Corol´ario 19 (Idempotˆencia). A ´e fechado, ent˜ao A = A. Propriedade 65. B[a, r] ´e fechado. Propriedade 66. ∂A ´e fechado. Demonstra¸c˜ao. Vale a identidade M = intA ∪ ∂A ∪ intCA, logo M ∂A = intA ∪ intCA que ´e aberto, logo ∂A ´e fechado. Propriedade 67. Um subespa¸co A de Rn ´e sempre fechado (topologicamente). Demonstra¸c˜ao. Se A ´e Rn nada precisamos mostrar, tomaremos ent˜ao A ̸= Rn n˜ao vazio. Seja A o espa¸co, tome uma base dele (vk)m 1 , complete para uma base de Rn , (vk)n 1 . Seja y ∈ Ac , vamos mostrar que y ´e ponto interior de Ac . y se escreve como y = n∑ k=1 ckvk, tomamos sua proje¸c˜ao x sobre A, x = m∑ k=1 ckvk, dado qualquer outro ponto x′ ̸= x de A a distˆancia dele at´e y ´e maior que a distˆancia de x at´e y pois tomando x′ = m∑ k=1 c′ kvk d(x′ , y) = m∑ k=1 (c′ k − ck)2 + n∑ k=m+1 c2 k > n∑ k=m+1 c2 k = d(x, y) pois nem todo c′ k = ck por tomarmos x ̸= x′ ent˜ao se tomamos Bε(y) com ε < d(x, y) ent˜ao Bε(y) ⊂ Ac por isso tal conjunto ´e aberto o que implica A ser fechado. (ajeitar solu¸c˜ao)
  40. 40. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 39 1.6.2 A = ∂A ∪ int(A). Propriedade 68. Vale que A = ∂A ∪ int(A). Demonstra¸c˜ao. Temos que M = intA ∪ ∂A ∪ int(M A) e M A = int(M A), da´ı segue A = ∂A ∪ int(A). Propriedade 69. A ⊂ M finito ´e fechado. Demonstra¸c˜ao. Seja A = {ak | k ∈ In}, sabemos que A ⊂ A, suponha que exista a ∈ A tal que a /∈ A, ent˜ao tem que valer: ∀ε > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < ε, por´em n˜ao existe x ∈ A tal que d(x, a) < min{d(a, ak) k ∈ In}, ent˜ao se a /∈ A tem-se que a /∈ A. Da´ı A = A, logo todo conjunto finito ´e fechado. Propriedade 70. Seja Ek, k ∈ I uma fam´ılia de conjuntos, ent˜ao vale ( ∪ k∈I Ek)c A = ∩ k∈I (Ec k) B . Demonstra¸c˜ao. A ⊂ B). Seja x ∈ A ent˜ao x /∈ ∪ k∈I Ek ⇔ ∀k x /∈ Ek ⇔ ∀k x ∈ Ec k ⇔ x ∈ B. B ⊂ A). Se x ∈ B ent˜ao ∀ k, x ∈ Ec k ⇔ ∀k x /∈ Ek ⇔ x /∈ A. Propriedade 71. A uni˜ao finita de conjuntos fechados ´e um conjunto fechado. Demonstra¸c˜ao. Seja n∪ k=1 Fk uni˜ao de fechados, ent˜ao tomando seu complementar temos n∩ k=1 (Fc k ) que ´e aberto, portanto a uni˜ao ´e um fechado.
  41. 41. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 40 Propriedade 72. A intersec¸c˜ao arbitr´aria de conjuntos fechados ´e um conjunto fe- chado. Demonstra¸c˜ao. Seja ∩ k∈I Fk interse¸c˜ao arbitr´aria de fechados, ent˜ao tomando seu complementar ∪ k∈I (Fk)c ´e uma uni˜ao arbitr´aria de abertos, logo ´e um aberto, por isso a interse¸c˜ao ´e fechada. Exemplo 11. Um conjunto com apenas um ponto ´e fechado, pois M {y} = A ´e aberto. Pois se for vazio j´a segue o resultado, se n˜ao existe x ∈ A, tomamos r tal que d(x, y) > r logo a bola Br(x) ⊂ A. Logo a uni˜ao de um n´umero finito de elementos ´e fechada. Exemplo 12. Uni˜ao arbitr´aria de fechados pode n˜ao ser fechado, como ´e o caso de ∪ x∈(0,1) {x} = (0, 1) n˜ao ´e fechado em R. Propriedade 73 (Conjuntos fechados e fun¸c˜ao cont´ınua). f : M → N ´e cont´ınua ⇔ f−1 (F) ´e um conjunto fechado para qualquer F ∈ N fechado. 1.6.3 Ponto de acumula¸c˜ao Defini¸c˜ao 39 (Ponto de acumula¸c˜ao). Dado um conjunto A ⊂ M, um ponto a ∈ M ´e dito ponto de acumula¸c˜ao de A ∀r > 0, B(a, r) ∩ (A {a}) ̸= ∅. Pontos de acumula¸c˜ao tamb´em s˜ao chamados de pontos limite. Pontos que n˜ao s˜ao de acumula¸c˜ao s˜ao pontos isolados. Defini¸c˜ao 40 (Conjunto perfeito). Um conjunto ´e dito perfeito se ´e fechado e sem pontos isolados.
  42. 42. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 41 Propriedade 74. Seja P ⊂ Rn um conjunto perfeito, ent˜ao P ´e n˜ao enumer´avel. Demonstra¸c˜ao. Suponho por absurdo que P seja enumer´avel. Seja (xk) uma enumera¸c˜ao dos elementos de P. Seja V1 uma bola tal que V1 ∩ P ̸= ∅, constru´ımos uma sequˆencia de bolas (Vk) tais que Vk ∩ P ̸= ∅, 1. Vk+1 ⊂ Vk 2. xn /∈ Vn+1 Seja Kn = Vn ∩ P, Kn ´e compacto por ser fechado e limitado, Kn ´e n˜ao vazio, Kn+1 ⊂ Kn pois Vn+1 ⊂ Vn ⊂ Vn e ∞∩ k=1 Kk = K compacto, K ̸= ∅, pois os Kn satisfazem propriedade da interse¸c˜ao finita, temos que xn /∈ Kn+1 logo ∞∩ k=1 Kk n˜ao possui pontos de P, o que ´e absurdo, portanto P n˜ao pode ser enumer´avel. Propriedade 75. Seja x ∈ M um ponto limite de E ⊂ M, ent˜ao toda vizinhan¸ca aberta de x possui infinitos pontos de E. Demonstra¸c˜ao. Suponha que Br(x){x} tenha uma quantidade finita de pontos de E, ent˜ao existe um deles z cuja distˆancia d(x, z) ´e m´ınima, definindo s = d(z, x) 2 > 0 temos um absurdo pois x ´e ponto limite e a bola Bs(x) deve possui ponto de E diferente de x, absurdo. Corol´ario 20. Conjuntos finitos n˜ao possuem ponto limite. Pois conjunto que pos- suem pontos limite s˜ao infinitos. Defini¸c˜ao 41 (Conjunto derivado). O conjunto dos pontos limite de E ⊂ M ´e chamado de conjunto derivado e denotado por E′ . Propriedade 76. E′ ´e fechado.
  43. 43. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 42 Demonstra¸c˜ao. Seja (xn) em E′ com lim xn = x. Vamos mostrar que x ∈ E′ . Suponha que x /∈ E′ ent˜ao x ´e ponto isolado de E, existindo r > 0 tal que Br(x)∩E = {x}. Como lim xn = x existe xn ∈ E′ tal que d(xn, x) < r 2 e como xn ∈ E′ existe y ∈ E tal que d(y, xn) < r 2 , y ̸= x, por desigualdade triangular temos que d(y, x) ≤ d(y, xn) + d(xn, x) < r 2 + r 2 = r logo temos y ̸= x em Br(x) ∩ E o que ´e absurdo. Portanto x ∈ E′ , o conjunto ´e fechado. Propriedade 77. F ´e fechado ⇔ F = F ∪ F′ . Demonstra¸c˜ao. F ´e fechado ⇔ cont´em todos os seus pontos aderentes, logo deve conter tamb´em seus pontos de acumula¸c˜ao. Propriedade 78. Vale que E ´e E tem os mesmos pontos limite, isto ´e ,E′ = (E)′ . Demonstra¸c˜ao. Temos que E′ ⊂ E ′ pois E ⊂ E logo todo ponto limite de E tamb´em ´e de E. Mostramos agora a outra inclus˜ao. Seja x ∈ E ′ vamos mostrar que x ∈ E′ . Existe (xn) em E {x} tal que lim xn = x, como xn ∈ E {x} existe yn ∈ E com d(xn, yn) < ε 2 e d(xn, y) < d(xn, x) (logo yn ̸= x), logo para n grande podemos tomar d(xn, x) < ε 2 e da´ı d(yn, x) ≤ d(xn, yn) + d(xn, x) < ε 2 + ε 2 = ε lim yn = x e yn ∈ E {x}, portanto x ´e ponto de E′ . Exemplo 13. N˜ao ´e verdade que E e E′ tem os mesmos pontos limite, isto ´e, n˜ao vale sempre que E′ = (E′ )′ . Seja por exemplo E = { 1 n , n ∈ N}, temos E′ = {0} e (E′ )′ = ∅. Exemplo 14. Construa um conjunto compacto cujo conjunto de pontos limite seja enumer´avel. Podemos tomar trivialmente o conjunto {1}, que ´e compacto por ser limitado e fechado, que n˜ao possui ponto limite, logo seu conjunto de pontos limite ´e o vazio, que ´e enumer´avel. Para um exemplo n˜ao trivial podemos considerar { 1 n n ∈ N}∪{0} o conjunto ´e fechado e limitado, logo ´e compacto (em R essa ´e uma caracteriza¸c˜ao de compacto), seu conjunto de pontos limite ´e {0} que ´e enumer´avel .
  44. 44. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 43 Exemplo 15. Construa um conjunto de R com exatamente 3 pontos limite. O conjunto { 1 n + 2 , 1 n + 2 + 1, 1 n + 2 + 2, n ∈ N} possui trˆes pontos de acumula¸c˜ao que s˜ao os n´umeros 1, 2 e 3. Os elementos do conjunto s˜ao pontos isolados. Propriedade 79. Se A ´e aberto em Rn ent˜ao A ⊂ A′ . Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ A, vamos mostrar que x ∈ A′ . Como x ∈ A e A ´e aberto, temos Br(x) ⊂ A para algum r > 0 real, Br(x) possui infinitos pontos. Existe n0 ∈ N tal que para n > n0 temos B1 n (x) ⊂ Br(x). Podemos construir uma sequˆencia (yk) de pontos nas bolas B1 n (x) com yk ̸= x ∀k ∈ N, vale que lim yn = x logo x ∈ A′ . Exemplo 16. Caso A seja fechado podemos n˜ao ter A ⊂ A′ , como ´e o caso de A = {x} ⊂ Rn . Pois A′ = ∅ e n˜ao vale {x} ⊂ ∅. Exemplo 17. Abertos e fechados s˜ao relativos ao espa¸co em que est˜ao contidos. Por exemplo (1, 2) ´e aberto em R, por´em n˜ao ´e aberto em R2 . (0, 1] ´e fechado em (0, ∞). [0, 1) ´e aberto em [0, ∞). Propriedade 80. Seja X ⊂ M . E ⊂ X ´e aberto em X ⇔ ∃G ⊂ M aberto tal que E = X ∩ G. Demonstra¸c˜ao. ⇒). Se E ⊂ X for aberto em X, ent˜ao faz ∈ E, existe rz tal que Bx rz (z) ⊂ E. Definimos G = ∪ z∈E Br(z), G ´e aberto em M, por outro lado E = ∪ z∈E Bx r (z) = ∪ z∈E (Br(z) ∩ X) = X ∩ ∪ z∈E Br(z) = X ∩ G. ⇐). Se E = G ∩ X , se z ∈ E ent˜ao z ∈ G por isso existe r > 0 tal que Br(z) ⊂ G, da´ı Br(z) ∩ X ⊂ G ∩ X e Bx r (z) ⊂ E, logo E ´e aberto.
  45. 45. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 44 1.7 Espa¸cos topol´ogicos Defini¸c˜ao 42 (Topologia). Uma topologia num conjunto X ´e uma cole¸c˜ao P de partes de X chamados de abertos da topologia que satisfazem as seguintes propriedades X ∅ e X pertencem a P. X Se (Ak ∈ P)n 1 ent˜ao n∩ k=1 Ak ∈ P. X Dada uma fam´ılia arbitr´aria de conjuntos Ak ∈ P para k ∈ L ent˜ao ∪ k∈L Ak ∈ P. Defini¸c˜ao 43 (Espa¸co topol´ogico). Um espa¸co topol´ogico ´e um par (X, P) onde X ´e um conjunto e P ´e uma topologia de X. Quando fica subentendida a topologia P, podemos escrever apenas X para simbolizar o espa¸co topol´ogico. Defini¸c˜ao 44 (Espa¸co de Hausdorff). Um espa¸co topol´ogico X ´e chamado de espa¸co de Hausdorff quando para cada par x e y distintos em X existem abertos Ux e Uy tais que x ∈ Ux , y ∈ Uy e Ux ∩ Uy = ∅. Defini¸c˜ao 45 (Topologia indiscreta). Dado um conjunto X a topologia {∅, X} = P ´e chamada de topologia indiscreta. Tamb´em chamada de topologia ca´otica ou antidiscreta. Defini¸c˜ao 46 (Topologia discreta). Dado um conjunto X a topologia P(X) = P do conjunto das partes de X ´e chamada de topologia discreta. Defini¸c˜ao 47 (Espa¸co topol´ogico metriz´avel). Um espa¸co topol´ogico P ´e metriz´avel, se ´e poss´ıvel definir uma m´etrica em P, que gera a mesma topologia. Propriedade 81. A topologia indiscreta n˜ao ´e metriz´avel, por exemplo considerando X = {1, · · · , n}. Dever´ıamos ter que X {1} fosse aberto, por´em n˜ao ´e na topologia. Demonstra¸c˜ao. Exemplo 18 (Topologia discreta). Sendo X qualquer podemos definir P(x) = P, chamada de topologia indiscreta, todos subconjunto ´e aberto. Caso X = {1, · · · , n}, por exemplo, com a m´etrica zero-um todo subconjunto ´e aberto, ent˜ao ´e compat´ıvel com a topologia, e a topologia ´e metriz´avel.
  46. 46. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 45 1.8 Conjuntos conexos Defini¸c˜ao 48 (Conjuntos separados). Dois conjuntos A e B s˜ao ditos separados num espa¸co m´etrico M, se A ∩ B = ∅ = B ∩ A. Corol´ario 21. Conjuntos separados s˜ao disjuntos, pois B ⊂ B e o mesmo com A logo A ∩ B = ∅. Por´em a rec´ıproca n˜ao vale, por exemplo Q e R Q s˜ao disjuntos e n˜ao s˜ao separados assim como [0, 1] e (1, 2). Ent˜ao temos uma condi¸c˜ao necess´aria por´em n˜ao suficiente. Exemplo 19. (0, 1) e (1, 2) s˜ao separados . Propriedade 82. Dois conjuntos fechados disjuntos s˜ao separados. Demonstra¸c˜ao. Vale A ∩ B = ∅ e como s˜ao fechados A ∩ B = ∅ , A ∩ B = ∅. Propriedade 83. Dois conjuntos abertos disjuntos s˜ao separados. Demonstra¸c˜ao. Suponha sem perda de generalidade que exista a ∈ A∩B, ent˜ao a ∈ B, por´em a /∈ A, pois A e B s˜ao disjuntos. Como B ´e aberto existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ B. Como a ∈ A existe (xn) em A tal que lim xn = a, da´ı para n > n0 temos d(xn, a) < r e isso implica xn ∈ Br(x) ⊂ B, da´ı xn ∈ A e B o que ´e absurdo pois s˜ao disjuntos. Ent˜ao A ∩ B = ∅ e o mesmo para A ∩ B. Propriedade 84. Seja f : M → N uma fun¸c˜ao cont´ınua e A, B separados abertos na imagem de f ent˜ao f−1 (A) = A0 e f−1 (B) = B0 s˜ao separados. Demonstra¸c˜ao. A0 e B0 s˜ao abertos, pois f ´e cont´ınua e s˜ao disjuntos, pois se x ∈ A0 ∩ B0 ent˜ao f(x) ∈ A ∩ B = ∅ o que ´e absurdo, ent˜ao os conjuntos s˜ao separados, pois abertos disjuntos Defini¸c˜ao 49 (Cis˜ao de um espa¸co m´etrico). Uma cis˜ao de M ´e a decomposi¸c˜ao M = A ∪ B onde A ∩ B = ∅ e A e B s˜ao conjuntos abertos.
  47. 47. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 46 Propriedade 85. A e B s˜ao abertos e fechados em M. Demonstra¸c˜ao. Vale que M A = B como B ´e aberto, segue que A ´e fechado, da mesma maneira M B = A da´ı B ´e fechado pois A ´e aberto. Defini¸c˜ao 50 (Cis˜ao trivial). Cis˜ao trivial de M ´e a cis˜ao M = A ∩ B onde A ou B ´e o conjunto vazio. Logo o outro conjunto deve ser o pr´oprio espa¸co M. Corol´ario 22. Todo espa¸co m´etrico admite a cis˜ao trivial. Defini¸c˜ao 51 (Espa¸cos m´etricos conexos). Um espa¸co M ´e dito conexo quando ele admite apenas a cis˜ao trivial. Defini¸c˜ao 52 (Espa¸cos m´etricos desconexos). Um espa¸co M ´e dito desconexo quando ele admite pelo menos uma outra cis˜ao al´em da trivial. Propriedade 86. Se M for um espa¸co m´etrico conexo, com pelo menos dois pontos ent˜ao M ´e n˜ao enumer´avel. Demonstra¸c˜ao. Sejam x, y ∈ M e r = d(x, y). Tome 0 < r′ < r. Se n˜ao existir z ∈ M tal que d(z, x) = r ent˜ao A = Br′ (x) e B = M Br′ (x) s˜ao abertos n˜ao-vazios, separados e A ∪ B = M. A e B s˜ao abertos e fechados ent˜ao A ∩ B = A ∩ B = A ∩ B = ∅ e da´ı temos cis˜ao n˜ao trivial para o espa¸co. Por isso existe z tal que d(x, z) = r. podemos repetir o argumento para todo t em (0, r), disso conclu´ımos que M ´e n˜ao enumer´avel, pois possui um subconjunto em bije¸c˜ao com um conjunto n˜ao enumer´avel. Corol´ario 23. Todo conjunto unit´ario A = {a} ´e conexo, pois podemos escrever apenas A = A ∪ ∅. Exemplo 20. Propriedade 87. Todo espa¸co M n˜ao unit´ario que possui pelo menos um ponto isolado ´e desconexo.
  48. 48. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 47 Demonstra¸c˜ao. Dado um ponto isolado a do espa¸co M existe r > 0 tal que B(a, r) = {a}, temos nesse caso que B(a, r) ´e aberto e fechado, da´ı vale que M B(a, r) ´e aberto e n˜ao vazio , temos ent˜ao a cis˜ao n˜ao trivial M = (M B(a, r)) ∪ B(a, r). Propriedade 88. Se M ´e conexo e A ⊂ M tem fronteira vazia ent˜ao A = M ou A = ∅. Demonstra¸c˜ao. Valem as identidades M = intA ∪ ∂A ∪ int(M A) A = ∂A ∪ int(A) como ∂A ´e vazia, segue que M = intA ∪ int(M A), como a uni˜ao ´e disjunta e M ´e conexo, temos ent˜ao uma parti¸c˜ao que dever´a ser a trivial, da´ı intA ´e vazio ou int(M A) ´e vazio. Se a primeira ocorre implica que A = int(A) ´e vazio, logo A ´e vazio, ou ent˜ao pelo mesmo argumento M A ´e vazio, que implica M = A. Propriedade 89. f : M → N ´e cont´ınua e sobrejetiva, ent˜ao, M conexo implica N conexo. Demonstra¸c˜ao. Suponha uma cis˜ao para N = A∪B, ent˜ao M = f−1 (A)∪f−1 (B), como A e B s˜ao abertos f−1 (A) e f−1 (B) s˜ao abertos, pois f ´e cont´ınua, logo temos uma cis˜ao de M, como M ´e conexo ele admite apenas a cis˜ao trivial, da´ı f−1 (A) ou f−1 (B) s˜ao vazios, o que implica A ou B vazios, logo N ´e conexo, por admitir apenas a cis˜ao trivial. Corol´ario 24. f : M → N ´e cont´ınua e A conexo em M ent˜ao f(A) ´e conexo em N. Corol´ario 25. f : M → N homeomorfismo ent˜ao M conexo sse N conexo. Corol´ario 26. (a, b) ´e conexo pois ´e homeomorfo a R. Propriedade 90. O fecho de um conjunto conexo ´e um conjunto conexo, isto ´e, se A ´e conexo em M ent˜ao A ´e conexo em M.
  49. 49. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 48 Demonstra¸c˜ao. Seja A ⊂ M conexo tal que A = M, vamos provar que M ´e conexo. Escrevemos M = B ∪ C, da´ı A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A) (as partes s˜ao conjuntos abertos e disjuntos), como A ´e conexo, ent˜ao (B ∩ A) = ∅ ou (C ∩ A) = ∅, mas como A ´e denso em M, segue C = ∅ ou B = ∅, logo M admite apenas a cis˜ao trivial, logo M ´e conexo. A ´e denso em A, sendo A conexo, implica A conexo. Corol´ario 27. [a, b], [a, ∞) e (−∞, a] s˜ao conexos em R. Corol´ario 28. Se A ´e conexo e denso em M ent˜ao M ´e conexo. Propriedade 91. Sejam A, B tais que A ⊂ B ⊂ A. Se A ´e conexo ent˜ao B tamb´em ´e conexo. Demonstra¸c˜ao. Seja V o fecho de A em B, da´ı V = A ∩ B = B, isto ´e , A ´e denso em B. V ´e conexo e portanto B ´e conexo. 1.8.1 A reta ´e um espa¸co conexo Propriedade 92. A reta ´e um espa¸co conexo. Demonstra¸c˜ao. Suponha uma cis˜ao n˜ao trivial R = A∪B. Sejam a ∈ A e b ∈ B, tais que a < b , definimos o conjunto F = {x ∈ A |x < b}, tal conjunto ´e n˜ao vazio, pois a ∈ A, tamb´em ´e limitado superiormente pois b ´e uma cota superior, ent˜ao ele possui um supremo, que chamaremos de c. Pela defini¸c˜ao de sup temos que para todo ε > 0 existe x ∈ F (logo x ∈ A) tal que c − ε < x ≤ c, da´ı c ∈ A = A, pois A ´e fechado, n˜ao podemos ter c = b pois os conjuntos s˜ao disjuntos, logo temos c < b, ent˜ao c ∈ F, mas como A ´e aberto, segue que existe ε > 0, tal que (c − ε, c + ε) ⊂ A e c + ε < b, da´ı os pontos de (c, c + ε) pertencem a F o que contradiz o fato de c ser o supremo. 1.8.2 Produto cartesiano de conexos Propriedade 93. O produto cartesiano M = n∏ k=1 Mk ´e conexo ⇔ cada Mk ´e conexo.
  50. 50. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 49 Demonstra¸c˜ao. ⇒). A proje¸c˜ao Pk : M → Mk ´e continua e sobrejetiva, ent˜ao M conexo implica Mk conexo. Corol´ario 29. Rn ´e conexo, pois R ´e conexo. 1.8.3 Conexidade por caminhos Defini¸c˜ao 53 (Caminho em espa¸co m´etrico). Um caminho em M, espa¸co m´etrico, ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [0, 1] → M. Defini¸c˜ao 54 (Extremos do caminho). Os pontos f(0) = a e f(1) = b em M s˜ao ditos extremos do caminho. a ´e chamado de ponto inicial ou origem e b o ponto final ou fim do caminho f. Dizemos nesse caso que o caminho a liga a e b. Defini¸c˜ao 55 (Caminho fechado). f ´e um caminho fechado quando f(0) = f(1). Defini¸c˜ao 56 (Conexidade por caminhos). M ´e conexo por caminhos quando quais- quer dois pontos de M podem ser ligados por um caminho contido em M. Propriedade 94. Se M ´e conexo por caminhos ent˜ao ´e conexo. Demonstra¸c˜ao. Suponha que M n˜ao fosse conexo, ent˜ao M = A ∪ B. Dados a ∈ A, b ∈ B existe caminho f : [0, 1] → M tal que f(0) = a, f(1) = b ent˜ao f−1 (M) = f−1 (A) ∪ f−1 (B) seria uma cis˜ao de [0, 1] o que ´e absurdo. Propriedade 95. Seja A ⊂ E. E conexo, A n˜ao vazio, aberto e fechado em E, ent˜ao A = E. Demonstra¸c˜ao. Temos que Ac ´e aberto e fechado em E e A ∪ Ac = E ´e uni˜ao disjunta, logo cis˜ao do conjunto, portanto Ac = ∅ pois A n˜ao pode ser vazio, da´ı A = E.
  51. 51. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 50 Propriedade 96. Seja (Xk)k∈I fam´ılia arbitr´aria de conexos em M. Se a ∈ xk ∀k ent˜ao X = ∪ k∈I Xk ´e conexo. Demonstra¸c˜ao. Seja X = A ∪ B uma cis˜ao, a ∈ A, A ∩ Xk e B ∩ Xk s˜ao abertos em Xk, logo Xk = (Xk ∩ A) ∪ (Xk ∩ B) ´e uma cis˜ao de Xk. Como Xk ´e conexo e a ∈ A ∩ Xk ent˜ao Xk ∩ B = ∅ ∀k B = ( ∪ xk) ∩ B = ∪ xk ∩ B) = ∅ X ´e conexo. 1.9 M´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas Defini¸c˜ao 57 (Ponto fixo). Um ponto fixo de f : M → N, ´e um ponto x ∈ M tal que f(x) = x. Defini¸c˜ao 58 (Contra¸c˜ao). Uma fun¸c˜ao f : M → N ´e uma contra¸c˜ao quando existe c, tal que 0 ≤ c < 1, tal que vale d(f(y), f(x)) ≤ cd(x, y) ∀x, y ∈ M. Corol´ario 30. Toda contra¸c˜ao ´e uniformemente cont´ınua. Propriedade 97. Se uma contra¸c˜ao f possui ponto fixo, ent˜ao ele ´e ´unico. Demonstra¸c˜ao. f n˜ao admite dois pontos fixos distintos, pois se a = f(a) , b = f(b) e vale d(f(y), f(x)) ≤ cd(x, y) ∀x, y ∈ M com 0 ≤ c < 1, ent˜ao d(a, b) ≤ d(f(a), f(b)) ≤ cd(a, b) da´ı d(a, b) ≤ cd(a, b), d(a, b)(1 − c) ≤ 0, como 1 − c > 0, conclu´ımos que d(a, b) = 0, logo a = b.
  52. 52. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 51 1.10 Sequˆencias em espa¸cos m´etricos Denotaremos sempre M como espa¸co m´etrico. Defini¸c˜ao 59 (Sequˆencia). Dado um conjunto M , uma sequˆencia em M ´e uma fun¸c˜ao de N em M, xn : N → M. Que ser´a denotada pelos mesmo s´ımbolos da sequˆencia em R. Uma sequˆencia em Rn ´e definida dando-se n sequˆencias de n´umeros reais. Defini¸c˜ao 60 (Subsequˆencia). Uma subsequˆencia, ´e a restri¸c˜ao de uma sequˆencia a um subconjunto infinito de N. Defini¸c˜ao 61 (Sequˆencia Limitada). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada quando existe v > 0 tal que d(xn, xm) ≤ v para todo n, m ∈ N. Em Rn uma sequˆencia ´e limitada se existe uma bola que cont´em todos os termos da sequˆencia, que ´e equivalente a dizer que |xk| < c ∀k ∈ N. Defini¸c˜ao 62 (Sequˆencia constante). Dado um espa¸co conjunto n˜ao vazio M e a ∈ M, podemos definir a sequˆencia constante de termo xn = a, para todo n natural. Exemplo 21. A sequˆencia constante ´e limitada, pois d(xn, xm) = d(a, a) = 0 ≤ v. Propriedade 98. Toda subsequˆencia de uma sequˆencia limitada ´e limitada. Defini¸c˜ao 63 (Limite de sequˆencia). Dado a ∈ M dizemos que lim xn = a quando ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε. Podemos no caso usar a mesma nota¸c˜ao de limites de sequˆencias de n´umeros reais. Se tal elemento a existe em M, diz-se que a sequˆencia ´e convergente, se n˜ao existe a sequˆencia ´e dita divergente. Exemplo 22 (Limite de sequˆencia nos complexos).
  53. 53. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 52 Corol´ario 31. Se lim xn = a ent˜ao ∀ε > 0, B(a, ε) cont´em todos xn , pois ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε da´ı xn ∈ B(a, ε). Corol´ario 32. A sequˆencia constante de termo xn = a ´e convergente e tem-se lim xn = a, pois d(xn, a) = d(a, a) = 0 < ε. 1.10.1 Sequˆencia eventualmente constante Defini¸c˜ao 64 (Sequˆencia eventualmente constante). Uma sequˆencia (xn) ´e eventu- almente constante quando existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica xn = xn0 . Propriedade 99. Se a ´e ponto isolado e lim xn = a, ent˜ao (xn) ´e eventualmente constante. Demonstra¸c˜ao. Se a ´e ponto isolado ent˜ao existe ε > 0 tal que d(xn, a) < ε implica xn = a, tomando tal ε na sequˆencia, implica que existe n∈N tal que n > n0 d(xn, a) < ε) logo xn = a. Exemplo 23. Se uma sequˆencia de n´umeros inteiros converge ent˜ao ela ´e constante a partir de certo ponto, pois os inteiros s˜ao pontos isolados em R. Isso implica tamb´em que se uma sequˆencia de inteiros converge, ela converge para um n´umero inteiro. Corol´ario 33. Toda sequˆencia (xn) eventualmente constante ´e convergente, pois existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn = a da´ı d(xn, a) = 0 < ε, da´ı lim xn = a. Propriedade 100. Num espa¸co m´etrico M discreto uma sequˆencia ´e convergente sse ´e eventualmente constante. Demonstra¸c˜ao. Dada uma sequˆencia convergente em M, ela deve convergir para um ponto isolado, logo ´e eventualmente constante, agora dada uma sequˆencia eventual- mente constante ela ´e convergente. Propriedade 101. Se um espa¸co m´etrico possui pelo menos dois pontos a e b distintos, ent˜ao existe nele sequˆencias divergentes.
  54. 54. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 53 Demonstra¸c˜ao. definimos xn = a se n par e xn = b se n ´e ´ımpar, se tal sequˆencia fosse convergente em M ela iria convergir para a ou b, se ela convergisse para a, por exemplo, ter´ıamos que ter que para n grande d(xn, a) < d(a, b) o que implicaria xn = a para n grande, o que n˜ao ocorre, se fosse para b poder´ıamos usar o mesmo argumento. 1.10.2 Conjunto de n´umeros arbitrariamente grandes Defini¸c˜ao 65 (Conjunto de n´umeros arbitrariamente grandes). Um conjunto A ⊂ N ´e dito ter n´umeros arbitrariamente grandes, quando para todo n0 natural, for poss´ıvel encontrar n ∈ A tal que n > n0. Defini¸c˜ao 66 (Conjunto de todos n´umeros arbitrariamente grandes). Um conjunto A ⊂ N ´e dito ter todos n´umeros arbitrariamente grandes, quando existe n0 natural, tal que n > n0 implica n ∈ A. 1.10.3 Unicidade de limite Propriedade 102 (Unicidade de limite). O limite quando existe ´e ´unico. Demonstra¸c˜ao. Sejam lim xn = a e lim xn = b, ent˜ao existe x ∈ N tal que n > x implica d(xn, a) < ε 2 e existe y ∈ N tal que n > y implica d(xn, b) < ε 2 , somando ambas e usando desigualdade triangular temos d(a, b) ≤ d(xn, b) + d(xn, a) < ε da´ı d(a, b) = 0, de onde segue a = b. Propriedade 103. Se lim xn = a ent˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a. Corol´ario 34. Se lim xn = a ent˜ao ∀p ∈ N, lim xn+p = a. Corol´ario 35. Se uma sequˆencia possui duas subsequˆencias que convergem para limites distintos ent˜ao a sequˆencia ´e divergente. Propriedade 104. Seja o conjunto M = n∏ k=1 Mk, uma sequˆencia (xn) em M converge sse as sequˆencias coordenadas convergem.
  55. 55. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 54 Propriedade 105. Se lim xn = x e lim yn = y ent˜ao lim d(xn, yn) = d(x, y). Demonstra¸c˜ao. Valem as desigualdades d(xn, yn) ≤ d(x, yn) + d(x, xn) d(x, yn) ≤ d(y, yn) + d(x, y) usando as duas desigualdades tem-se d(xn, yn) ≤ d(x, xn) + d(y, yn) + d(x, y) como xn → x e yn → y existe n0 tal que n > n0 implica d(x, xn) + d(y, yn) ≤ ε, logo d(xn, yn) ≤ ε + d(x, y) d(xn, yn) − d(x, y) ≤ ε logo a sequˆencia converge. Propriedade 106. Seja f : M → M uma isometria e x0 ∈ M, definindo uma sequˆencia como x1 = f(x0), xn+1 = f(xn), ent˜ao se a sequˆencia (xn) converge vale f(x0) = x0. Demonstra¸c˜ao. Supondo lim xn = a. Vale d(xk+1, xk+2) = d(f(xk), f(xk+1)) = d(xk, xk+1) ∀ k ∈ N , tomando f(k) = d(xk, xk+1), vale ent˜ao f(k + 1) = f(k) ∆f(k) = 0 ⇒ n−1∑ k=0 ∆f(k) = f(n) − f(0) = 0 ⇒ f(n) = f(0) logo d(xn, xn+1) = d(x0, x1) ∀n ∈ N, pela continuidade da fun¸c˜ao distˆancia segue lim d(xn, xn+1) = d(lim xn, lim xn+1) = d(a, a) = 0 = d(x0, x1) da´ı segue que xn = x0 para todo n ∈ N, em particular x1 = f(x0) = x0. Vamos provar por indu¸c˜ao que vale xn = x0 para todo n natural. Para n = 0 est´a provado, suponha que vale xn = x0, vamos provar que xn+1 = x0, vale d(xn, xn+1) = d(x0, x1) = 0 , logo xn = xn+1 = x0.
  56. 56. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 55 1.10.4 Sequˆencias e pseudo-m´etrica Propriedade 107. Seja d uma pseudo-m´etrica em M . d ´e uma m´etrica em M sse ∀(xn)convergente com d possui um ´unico limite. Demonstra¸c˜ao. Se d ´e m´etrica temos a unicidade de limite como j´a foi demons- trado. Temos que provar agora que se ∀(xn) convergente possui limite ´unico ent˜ao d ´e m´etrica. Usaremos a contrapositiva, que ´e d n˜ao ´e m´etrica implica que existe (xn) con- vergente que n˜ao possui limite ´unico. Se d ´e pseudo-m´etrica n˜ao sendo m´etrica, existem a e b ∈ M, a ̸= b tais que d(a, b) = 0 , se n˜ao, ela seria m´etrica. Definimos a sequˆencia (xn) com xn = a com n par e xn = b se n ´ımpar, vale d(xn, a) = 0 e d(xn, b) = 0, pois para qualquer valor xn = a ou xn = b as distˆancias s˜ao nulas. Logo vale lim xn = a e lim xn = b, pois para qualquer ε > 0 e n ∈ N tem-se d(xn, a) = 0 < ε e d(xn, b) = 0 < ε. 1.10.5 Sequˆencias de Cauchy em espa¸cos m´etricos Defini¸c˜ao 67 (Sequˆencia de Cauchy). Uma sequˆencia (xn) num espa¸co m´etrico M ´e uma sequˆencia da Cauchy quando ∀ε > 0, ∃n0 > 0 | m, n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ε. Propriedade 108 (Toda sequˆencia convergente ´e de Cauchy). Toda sequˆencia con- vergente ´e de Cauchy. Demonstra¸c˜ao. Como a sequˆencia (xn) converge, seja a o seu limite, ent˜ao ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N|n, m > n0 ⇒ d(xm, a) < ε 2 , d(xn, a) < ε 2 por desigualdade triangular segue que d(xm, xn) ≤ d(xm, a) + d(xn, a) < ε 2 + ε 2 = ε logo (xn) ´e de Cauchy. Exemplo 24. Nem toda sequˆencia de Cauchy ´e convergente. Propriedade 109. Toda sequˆencia de Cauchy ´e limitada.
  57. 57. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 56 Demonstra¸c˜ao. Seja (xn) uma sequˆencia de Cauchy, ent˜ao dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 implica d(xm, xn) < 1, da´ı o conjunto {xn|n > n0} ´e limitado e como o conjunto {xn|n ≤ n0} ´e limitado, segue que sua uni˜ao, que ´e o conjunto dos termos da sequˆencia ´e um conjunto limitado. Corol´ario 36. Se a sequˆencia n˜ao ´e limitada, ent˜ao n˜ao ´e de Cauchy. Exemplo 25. Nem toda sequˆencia limitada ´e de Cauchy. Por exemplo a sequˆencia de termos dados por xn = 0 se n par e xn = 2 se n ´ımpar na reta, ´e uma sequˆencia limitada, por´em vale que d(xn, xn+1) = |xn+1 − xn| = 2. Ent˜ao ela n˜ao ´e uma sequˆencia de Cauchy. Propriedade 110. Se uma sequˆencia de Cauchy possui uma subsequˆencia conver- gente, ent˜ao ela ´e convergente e converge para o mesmo limite da subsequˆencia. Demonstra¸c˜ao. Sejam (xn) uma sequˆencia de Cauchy em (xnk )k uma subsequˆencia com lim k xnk = a. Vale lim xn = a pois ∀ε > 0∃p ∈ N | nk > p ⇒ d(xnk , a) < ε 2 por (xn) ser de Cauchy ∃q ∈ N | m, n > q ⇒ d(xm, xn) < ε 2 tomando n0 = max p, q vale que ∀n > n0 existe nk > n0 d(xnk , a) < ε 2 e d(xn, xnk ) < ε 2 e por desigualdade triangular d(xn, a) ≤ d(xn, xnk ) + d(xn, a) < ε 2 + ε 2 = ε logo lim xn = a. Propriedade 111. Toda fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua, transforma sequˆencias de Cauchy em sequˆencias de Cauchy. Demonstra¸c˜ao. Como a fun¸c˜ao ´e uniformemente cont´ınua temos que ∀ε > 0, ∃δ > 0 | d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε e pela sequˆencia ser de Cauchy, tem-se que existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica d(xn, xm) < δ, da´ı d(f(xn), f(yn)) < ε, logo ela transforma sequˆencias de Cauchy em sequˆencias de De Cauchy.
  58. 58. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 57 Propriedade 112. Sejam (xn), (yn) sequˆencias de Cauchy em um espa¸co m´etrico ent˜ao zn = d(xn, yn) ´e de Cauchy, logo convergente. Demonstra¸c˜ao. Dado ε 2 > 0 existe n0 tal que m ≥ n ≥ n0 temos d(xm, xn) < ε 2 , existe n1 ∈ N tal que m ≥ n > n1 temos d(yn, ym) < ε 2 , tomando n2 > n0 + n1 temos as duas desigualdades. Temos que |d(xm, ym) − d(xn, yn)| ≤ d(xm, xn) + d(ym, yn) ≤ ε 2 + ε 2 = ε logo (zn) ´e de cauchy. 1.11 Sequˆencias e propriedades topol´ogicas de espa¸cos m´etricos 1.11.1 Sequˆencias e continuidade Propriedade 113 (Sequˆencias e continuidade). f : M → N ´e cont´ınua em a sse ∀(xn) com lim xn = a implique lim f(xn) = f(a), isto ´e, fun¸c˜oes cont´ınuas comutam limite de sequˆencias lim f(xn) = f(lim xn). Propriedade 114 (Sequˆencias e fecho). Seja A ⊂ M. a ∈ A sse existe (xn) ∈ A tal que lim xn = a. Propriedade 115 (Sequˆencias e conjuntos densos). A ⊂ M ´e denso M, sse todo ponto ∀a ∈ M ∃(xn) em A tal que lim xn = a. Propriedade 116 (Sequˆencias e pontos de acumula¸c˜ao). a ´e ponto de acumula¸c˜ao de A sse existe (xn) em A de pontos distintos, tais que lim xn = a. Defini¸c˜ao 68. Dizemos que (xn) converge subsequentemente para x se possui sub- sequˆencia (xnk ) que converge para x.
  59. 59. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 58 Propriedade 117. Seja E o conjunto dos limites subsequenciais ent˜ao E ´e fechado. Demonstra¸c˜ao. Seja y ponto limite de E, escolhemos n1 tal que xn1 ̸= y, se esse ponto n˜ao existir, E consiste de apenas um ponto e o conjunto ´e fechado. Seja delta = d(y, xn1 ). Suponha que j´a escolhemos n1, n2, · · · , nk−1 como y ´e ponto limite de E, existe z ∈ E tal que d(z, y) < δ 2k , como z ∈ E, existe nk tal que d(nk, z) < δ 2k , da´ı d(y, xnk ) ≤ d(y, z) + d(z, xnk ) = δ 2k−1 mas isso quer dizer que lim k→∞ xnk = y ⇒ y ∈ E. 1.11.2 Teorema do ponto fixo de Banach ⋆ Teorema 1 (Teorema do ponto fixo de Banach, sobre pontos fixos de contra¸c˜oes). Se M ´e completo ent˜ao toda contra¸c˜ao f : M → M possui um ´unico ponto fixo a ∈ M. Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que existe um ponto fixo, pois a unicidade segue do fato de ser contra¸c˜ao . Tomamos x0 ∈ M e definimos x1 = f(x0), xn+1 = f(xn) ∀n ∈ N. Suponha que lim xn = a, como f ´e cont´ınua temos lim xn+1 = a = lim f(xn) = f(a) da´ı f(a) = a, logo a ´e ponto fixo de f. (xn) ´e de Cauchy, pois vale d(xk+1, xk+2) = d(f(xk), f(xk+1)) ≤ c d(xk, xk+1) g(k) da´ı Qg(k) ≤ c aplicando n−1∏ k=0 segue g(n) ≤ cn g(0); d(xn, xn+1) ≤ cn d(x0, x1) logo ( por uma desigualdade v´alida para m´etricas) d(xn, xm) ≤ m−1∑ k=n d(xk, xk+1) ≤ m−1∑ k=n ck d(x0, x1) ≤ cn 1 − c d(x0, x1)
  60. 60. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 59 de lim cn = 0 conclu´ımos que (xn) ´e de Cauchy, logo convergente. A passagem m−1∑ k=n ck ≤ cn 1 − c vale pois m−1∑ k=n ck = cn m−1−n∑ k=0 ck ≤ cn ∞∑ k=0 ck = cn 1 − c . Propriedade 118. Sejam M espa¸co m´etrico completo e T : M → M. Se existe m ∈ N tal que Tm ´e uma contra¸c˜ao, ent˜ao T admite um ´unico ponto fixo. Demonstra¸c˜ao. Como Tm : M → M ´e contra¸c˜ao e M ´e completo, ent˜ao Tm possui um ´unico ponto fixo pelo teorema anterior, digamos a, Tm (a) = a, vale tamb´em que Tm (Tm (a)) = Tm (a) = a e Tm (Tm+1 (a)) = T(a), logo por propriedade de contra¸c˜ao temos d(a, T(a)) = d( Tm (Tm (a)), Tm (Tm+1 (a)) ) ≤ c d( (Tm (a), Tm+1 (a) ) = c d(a, T(a)) logo vale d(a, T(a)) ≤ c d(a, T(a)) ⇒ d(a, T(a)) ≥0 (1 − c) >0 ≤ 0 da´ı d(a, T(a)) = 0, logo a = T(a), assim T possui o mesmo ponto fixo de Tm . Supondo por absurdo que T possua 2 pontos fixos a ̸= b, ent˜ao Tm (a) = a e Tm (b) = b o que implicaria que Tm possui dois pontos fixos, o que ´e absurdo pois Tm ´e contra¸c˜ao . Propriedade 119. Seja F : X → X cont´ınua, X completo, tal que Fm ´e uma contra¸c˜ao para algum m ∈ N ent˜ao existe um ´unico p ∈ X ponto fixo de F, al´em disso ele ´e atrator. Demonstra¸c˜ao. Pelo resultado anterior j´a sabemos que F possui um ´unico ponto fixo, por´em iremos dar outra demonstra¸c˜ao. Como Fm ´e contra¸c˜ao ent˜ao ∃p ∈ X ponto fixo atrator, Dado n ∈ N existem kn e rn com 0 ≤ rn < m tais que n = mkn + rn por divis˜ao euclidiana, como rn ´e limitada temos que se n → ∞ ent˜ao kn → ∞, temos
  61. 61. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 60 lim kn→∞ (Fm )k (x) = p ∀x ∈ X tem-se tamb´em que Frn (x) ∈ X lim kn→∞ (Fm )kn (Frn (x)) = p pois todas subsequˆencias com 0 ≤ rn < m convergem para o mesmo ponto, disso segue que lim n→∞ Fn (x) = p p ´e atrator para F, por outro lado p = lim Fn (F(x)) = lim F(Fn (x)) = F(lim Fn (x)) = F(p) logo p ´e ponto fixo. Defini¸c˜ao 69 (ε- ponto fixo.). x ´e ε-ponto fixo de f : X → X se d(f(x), x) < ε. Propriedade 120. Se f : X → X for cont´ınua, X compacto e f tem ε-ponto fixo ∀ε > 0 ent˜ao existe x ∈ X tal que f(x) = x, isto ´e, f possui ponto fixo. Demonstra¸c˜ao. Tome εk > 0 para cada εk existe xk com d(xk, f(xk)) < εk. Como X ´e compacto, podemos supor que xk → x, pois (xk) possui subsequˆencia convergente em X. Dado ε > 0 temos que para k suficientemente grande vale que ambos os termos d(x, xk), d(xk, f(xk)), d(f(xk), f(x)) podem ser tomados menores que ε 3 , o primeiro pois xk → x o segundo pois f possui ε-ponto fixo e o terceiro por continuidade de f, ent˜ao temos por desigualdade triangular d(x, f(x)) ≤ d(x, xk) + d(xk, f(xk)) + d(f(xk), f(x)) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε como ε ´e arbitr´ario ent˜ao d(x, f(x)) = 0 e da´ı x = f(x).
  62. 62. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 61 Propriedade 121. Seja S um conjunto e f : S → S tal que ∀ x0 ∈ S a sequˆencia f(xn) = xn+1 tem um ponto fixo. Ent˜ao existe uma m´etrica para X tal que 1. X ´e compacto. 2. f ´e uma contra¸c˜ao . Propriedade 122 (Perturba¸c˜ao da identidade). Seja f : U ⊂ Rn → Rn uma con- tra¸c˜ao, ent˜ao ψ(x) = x + f(x) ´e um homeomorfismo de U em um aberto de Rn . Demonstra¸c˜ao. Primeiro observamos que ψ ´e uniformemente cont´ınua, por ser soma de fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas. Dados a, b ∈ U vale que ||ψ(a) − ψ(b)|| = ||a − b + f(a) − f(b)|| ≥ ||a − b|| − ||f(a) − f(b)|| ≥ (1 − λ)||a − b|| ⇒ ||ψ(a) − ψ(b)|| ≥ (1 − λ)||a − b||, ||a − b|| ≤ ||ψ(a) − ψ(b)|| (1 − λ) . onde λ ´e a constante de continuidade uniforme de f. A desigualdade acima implica que se ψ(a) = ψ(b) ent˜ao a = b, portanto ψ ´e injetora, sendo bijetora sobre sua imagem. Agora iremos mostrar que a inversa ψ−1 ´e uniformemente cont´ınua, na desigualdade ||a − b|| ≤ ||ψ(a) − ψ(b)|| (1 − λ) , tomamos a = ψ−1 (x), b = ψ−1 (y), ent˜ao ||ψ−1 (x) − ψ−1 (y)|| ≤ ||x − y|| (1 − λ) . Agora queremos demonstrar que ψ(U) ´e um aberto de Rn . Seja w ∈ ψ(U), queremos mostrar que existe Bε(w) ⊂ ψ(U). Definimos Ew(x) = w − f(x). Temos que Ew(x) = x ⇔ x = w − f(x) ⇔ x + f(x) = w ⇔ ψ(x) = w. Seja δ > 0 tal que Bδ[z] ⊂ U, ent˜ao
  63. 63. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 62 ||Ew(x)−z|| = ||w−f(x)−z|| ≤ ||w−f(z)−z||+||f(z)−f(x)|| = ||w−ψ(z)||+λ||z−x|| ≤ ||w − ψ(z)|| <(1−λ)δ +λδ = δ se x ∈ Bδ[z] e ||w − ψ(z)|| ≤ (1 − λ)δ . Ent˜ao temos que ||Ew(x) − z|| ≤ δ. Ent˜ao temos Ew : Bδ[z] → Bδ[z], mas ||Ew(x) − Ew(y)|| = ||f(y) − f(x)|| ≤ λ||x − y|| pelo teorema do ponto fixo de Banach (pode ser aplica, pois a bola fechada ´e completa) Ew tem um ´unico ponto fixo, existe um ´unico x ∈ Bλ[z] tal que Ew(x) = x, portanto existe um ´unico x ∈ Bδ[z] tal que ψ(x) = w. Como o argumento vale para qualquer w ∈ B(1−δ)(ψ(z)) = B ent˜ao B ⊂ ψ(U) e ψ(U) ´e aberto. 1.12 Espa¸cos m´etricos completos Defini¸c˜ao 70 (Espa¸co m´etrico completo). Um espa¸co m´etrico M ´e completo quando toda sequˆencia de Cauchy em M ´e convergente. Exemplo 26. O espa¸co dos n´umeros racionais com a m´etrica usual, n˜ao ´e um espa¸co completo, pois dentro dos racionais existe sequˆencias que convergem para n´umero irracionais. Exemplo 27. Nem todo espa¸co m´etrico discreto ´e completo, pois por exemplo o conjunto A = { 1 n |n ∈ N}, temos a sequˆencia de termo xn = 1 n que ´e uma sequˆencia de Cauchy em A mas seu limite, zero, ´e um valor n˜ao contido em A. Defini¸c˜ao 71 (M´etrica uniformemente discreta). Uma m´etrica d num espa¸co m´etrico M ´e dita uniformemente discreta quando, existir ε > 0 tal que se x, y ∈ M e d(x, y) < ε ent˜ao x = y. Corol´ario 37. Se d no espa¸co m´etrico (M, d) ´e uniformemente discreta, ent˜ao toda sequˆencia de Cauchy em M ´e convergente, pois d(xm, xn) < ε implica xm = xn logo todos
  64. 64. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 63 os termos a partir de certo´ındice s˜ao constantes, logo a sequˆencia ´e convergente e o espa¸co ´e completo. Corol´ario 38. Sejam M e N espa¸cos m´etricos e f um Homeomorfismo uniforme, ent˜ao M ´e completo sse N ´e completo. Pois um Homeomorfismo uniforme ´e uma fun¸c˜ao bijetora, tal que f e sua inversa s˜ao uniformemente cont´ınuas, ent˜ao pela proposi¸c˜ao j´a demonstrada, se por exemplo M ´e completo a fun¸c˜ao f leva sequˆencias de Cauchy em M em sequˆencias de Cauchy em N. Propriedade 123. A reta ´e um espa¸co m´etrico completo. Demonstra¸c˜ao. Propriedade 124. Um subespa¸co fechado F de um espa¸co m´etrico completo M ´e completo. Demonstra¸c˜ao. Dada uma sequˆencia de Cauchy (xn) em F, existe lim xn = a ∈ M, como F ´e fechado em M, segue que a ∈ F. Logo F ´e completo. Propriedade 125. Um subespa¸co completo de qualquer espa¸co m´etrico ´e fechado. Demonstra¸c˜ao. Sejam A o subespa¸co e M o espa¸co m´etrico. Dado uma sequˆencia (xn) em A , tal que lim xn = a ∈ M ent˜ao (xn) ´e de Cauchy e vale lim xn = b ∈ A, da´ı a = b pela unicidade de limite , logo A ´e fechado. Propriedade 126. M × N ´e completo ⇔ M e N s˜ao completos. Corol´ario 39. n∏ k=1 Mk ´e completo ⇔ cada Mk ´e completo. Corol´ario 40. Rn ´e completo, pois R ´e completo e vale Rn = n∏ k=1 R. Propriedade 127. ∞∏ k=1 Mk ´e completo ⇔ cada Mk ´e completo. Defini¸c˜ao 72. Sejam A um conjunto e g : A → M uma fun¸c˜ao. Definimos Bg(A, M) = {f : A → M | d(f, g) = sup x∈A d(f(x), g(x)) < ∞}. Propriedade 128. Se M ´e completo ent˜ao Bg(A, M) ´e completo.
  65. 65. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 64 1.12.1 Crit´erio de Cauchy para convergˆencia uniforme Propriedade 129 (Crit´erio de Cauchy para convergˆencia uniforme). Seja M com- pleto. fn : A → M converge uniformemente em A ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | m, n > n0 ⇒ d(fm(x), fn(x)) < ε, ∀x ∈ A. 1.13 Espa¸co de Banach Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados. Usaremos a nota¸c˜ao L(E, F) para designar o conjunto das fun¸c˜oes lineares cont´ınuas de E em F. Propriedade 130. L(E, F) ´e um espa¸co vetorial com a norma ∥f∥ = sup{∥f(x)∥ ; x ∈ E, |x| = 1}. Propriedade 131. Se F ´e completo ent˜ao L(E, F) ´e completo Propriedade 132. Se M ´e completo ent˜ao Bg(A, M) ´e completo. Demonstra¸c˜ao. Defini¸c˜ao 73 (Espa¸co de Banach). Um espa¸co de Banach ´e um espa¸co vetorial normado completo . Exemplo 28. Rn ´e um espa¸co de Banach. ⋆ Teorema 2. Todo espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita ´e de Banach. Exemplo 29. O conjunto P[0, 1] das fun¸c˜oes polinomiais p : [0, 1] → R ´e um espa¸co vetorial. Tomando a norma ∥p∥ = sup t∈[0,1] |p(t)|. Com essa norma o espa¸co P[0, 1] n˜ao ´e completo pois a sequˆencia de polinˆomios pn = n∑ k=0 xk k! converge para a fun¸c˜ao cont´ınua ex que n˜ao ´e um polinˆomio.
  66. 66. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 65 1.13.1 Espa¸co de Hilbert Defini¸c˜ao 74 (Espa¸co de Hilbert). Um espa¸co vetorial H, munido de um produto interno e completo em rela¸c˜ao a norma definida por esse produto interno ´e chamado de espa¸co de Hilbert. 1.13.2 Extens˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas Defini¸c˜ao 75 (Extens˜ao de fun¸c˜ao). Dados A, B tal que A ⊂ B, uma fun¸c˜ao F : B → C ´e dita uma extens˜ao de f : A → C, quando F(x) = f(x) para todo x ∈ A, nesse caso escrevemos F|A = f. Defini¸c˜ao 76 (Extens˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas). Dizemos que f cont´ınua se estende continuamente a M, quando f possui uma extens˜ao F : M → N cont´ınua. Se f ´e uniformemente cont´ınua e F uniformemente cont´ınua, ent˜ao a extens˜ao ´e dita extens˜ao uniformemente cont´ınua. Propriedade 133. Seja f : A → N cont´ınua tal que A = M. Se f admite extens˜ao cont´ınua F : M → N ent˜ao para cada a ∈ M existe o limite lim x→a f(x). Demonstra¸c˜ao. Para todo a ∈ M faz sentido falar em lim x→a f(x) pois A ´e denso em M. Se f admite extens˜ao cont´ınua F : M → N, ent˜ao existe o limite lim x→a F(x) = F(a), dada uma sequˆencia de pontos (xn) em A com lim xn = a e por continuidade vale F(xn) = f(xn) , lim F(xn) = F(a) = lim f(xn), logo lim x→a f(x) = F(a) (o limite existe) pelo crit´erio de sequˆencias para limite e continuidade. Propriedade 134. Nas condi¸c˜oes da propriedade anterior, se para cada a ∈ M existe o limite lim x→a f(x) ent˜ao f admite extens˜ao cont´ınua F : M → N. Demonstra¸c˜ao. Para cada a ∈ M definimos lim x→a f(x) = F(a), nesse caso F ´e cont´ınua. Corol´ario 41. Uma extens˜ao cont´ınua F : M → N de uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : X → N, X denso em M ´e ´unica, pois para todo a ∈ M deve valer lim x→a f(x) = F(a)
  67. 67. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 66 por´em o limite ´e ´unico. Exemplo 30. Nem toda fun¸c˜ao pode ser extendida continuamente. Por exemplo f : (2, 3) → R dada por f(x) = 1 (x − 2)(x − 3) n˜ao pode ser estendida em qualquer conjunto que contenha [2, 3], pois n˜ao existem os limites quando x → 2 e x → 3, se fosse cont´ınua teria que valer por exemplo lim x→2 f(x) = f(2) . Propriedade 135. Seja f : E ⊂ R → R cont´ınua, com E fechado. Existe g : R → Rn cont´ınua tal que g|E = f. Demonstra¸c˜ao. Se E for fechado, Ec ´e aberto ent˜ao Ec = ∪ n∈A In onde In = (an, bn), s˜ao intervalos disjuntos, por propriedade de abertos da reta e A ´e um conjunto enumer´avel. Agora definimos a extens˜ao. g(x) =    f(x) se x ∈ E f(an) + f(bn) − f(an) bn − an (x − an) se x ∈ In com essa defini¸c˜ao g ´e cont´ınua, sendo extens˜ao de f. 1.13.3 Crit´erio de Cauchy Propriedade 136. Sejam f : A → N, N completo, a ∈ A, ent˜ao lim x→a f(x) existe sse ∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, d(x, a) < δ, d(y, a) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε. Demonstra¸c˜ao. Se lim x→a f(x) = L ent˜ao ∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, d(x, a) < δ, d(y, a) < δ ⇒ d(f(x), b) < ε 2 , d(f(y), b) < ε 2 tomando a desigualdade triangular segue d(f(x), f(y)) ≤ d(f(y), b) + d(f(x), b) < ε 2 + ε 2 = ε logo nessas condi¸c˜oes d(f(x), f(y)) < ε. Para toda sequˆencia de pontos (xn) em A com lim xn = a, com as condi¸c˜oes dadas a sequˆencia (f(xn)) ´e de Cauchy em N, e como N ´e completo ela converge o que implica que existe o limite lim x→a f(x).
  68. 68. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 67 Propriedade 137. Sejam f : A → N uniformemente cont´ınua, A = M e N completo, ent˜ao f possui uma extens˜ao uniformemente cont´ınua F : M → N. Demonstra¸c˜ao. Como f ´e uniformemente cont´ınua, vale ∀ε > 0∃δ > 0 | d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε logo se dado a ∈ M fixo arbitr´ario e vale d(x, a) < δ 2 , d(y, a) < δ 2 , segue por desigualdade triangular que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(y, a) < δ 2 + δ 2 = δ da´ı d(f(x), f(y)) < ε e pelo crit´erio de Cauchy existe lim x→a f(x) = F(a), logo ∀a ∈ M, F : M → N ´e cont´ınua. Vamos provar agora que F : M → N ´e uniformemente cont´ınua. Sejam u, v ∈ M tal que d(u, v) < δ, como A ´e denso em M, existem sequˆencias (xn) e (yn) em A tal que lim xn = u e lim yn = v. Pela continuidade da fun¸c˜ao distˆancia vale que para n grande d(yn, xn) < δ de onde segue que d(f(xn), f(yn)) < ε 2 pela continuidade uniforme da f. Assim para u, v ∈ M d(u, v) < δ ⇒ lim d(f(xn), f(yn)) ≤ ε 2 = d(lim f(xn), lim f(yn)) = d(F(u), f(V )) ≤ ε 2 < ε. Logo F ´e uniformemente cont´ınua. Corol´ario 42. Seja f : A → B um homeomorfismo uniforme, com A = M, B = N, M e N completos. Ent˜ao f admite extens˜ao F : M → N, onde F ´e um homeomorfismo uniforme. Propriedade 138. Seja f : A → B uma isometria tal que A = M e B = N, ambos M e N completos. Ent˜ao f se extende a uma isometria F : M → N. Demonstra¸c˜ao. Isometrias s˜ao fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas, logo existe um ´unico homeomorfismo uniforme F : M → N que estende f. Dados x ∈ M e y ∈ N, como A e B s˜ao densos em M e N respectivamente, ent˜ao existem sequˆencias (xn) em A e (yn) ∈ B tais que lim xn = x, lim yn = y. Da´ı lim d(xn, yn) = d(x, y) = lim d(f(xn), f(yn)) = d(f(x), f(y)) logo F ´e uma isometria.
  69. 69. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 68 1.13.4 Completamento de um espa¸co m´etrico Defini¸c˜ao 77 (Completamento). Um completamento de M ´e um par (M, f) onde M ´e completo e f : M → M ´e uma imers˜ao isom´etrica(preserva distˆancias, mas n˜ao ´e necessariamente sobrejetiva) com f(M) = M. Exemplo 31. R ´e um completamento de Q. Propriedade 139. Se M ´e completo, ent˜ao para todo A ⊂ M seu fecho A ´e um completamento de A. Exemplo 32. [0, 1] ´e um completamento de (0, 1). Propriedade 140 (Existˆencia de completamento). Todo espa¸co m´etrico possui um completamento. Propriedade 141. O completamento do produto cartesiano M × N ´e M × N. 1.13.5 Espa¸cos m´etricos topologicamente completos Exemplo 33. O conjunto (−1, 1) com a m´etrica induzida da reta, n˜ao ´e completo, mas a fun¸c˜ao definida nele na reta dada por f(x) = x 1 − |x| ´e um homeomorfismo sobre R que ´e completo. Propriedade 142. Todo subconjunto aberto de um espa¸co m´etrico completo ´e ho- meomorfo a um espa¸co m´etrico completo. Propriedade 143. Seja B = ∞∩ k=1 Ak, onde cada Ak ⊂ M ´e aberto e M ´e completo. B ´e homeomorfo a um espa¸co m´etrico completo. Defini¸c˜ao 78 (Espa¸co m´etrico topologicamente completo). Um espa¸co m´etrico (M, d) ´e dito topologicamente completo quando ´e homeomorfo a um espa¸co m´etrico completo. Defini¸c˜ao 79 (Conjunto Gδ). A ⊂ M ´e um Gδ quando A = ∞∩ k=1 Ak onde cada Ak ´e aberto.
  70. 70. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 69 Defini¸c˜ao 80 (Conjunto Gδ absoluto ). M ´e um Gδ absoluto quando todo A ⊂ N isom´etrico a M ´e um Gδ em N. Propriedade 144. Um espa¸co m´etrico ´e topologicamente completo ⇔ ´e um Gδ absoluto. Propriedade 145. (fn) n˜ao converge uniformemente em A para f ⇔ dado ε > 0 existem subsequˆencia (fnk ) de (fn) e (xk) em A tais que d(fnk (xk), f(xk)) ≥ ε0 ∀ k ∈ N. Demonstra¸c˜ao.

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