1. O documento discute topologia de espaços métricos, incluindo definições de espaço métrico, métricas, bolas, conjuntos abertos e fechados, sequências em espaços métricos e propriedades topológicas.
2. As seções abordam espaços métricos, normas, produtos internos, bolas no plano complexo, isometrias, pontos de acumulação e sequências.
3. O documento fornece definições e propriedades fundamentais relacionadas a espaços métricos e topologia.
5. Cap´ıtulo 1
Topologia de espa¸cos m´etricos
1.1 Espa¸co m´etrico
Defini¸c˜ao 1 (M´etrica). Seja M um conjunto, dizemos que uma m´etrica1
d ´e uma
fun¸c˜ao de M × M em [0, ∞) que a cada par de elementos x, y ∈ M associa um n´umero
real denotado por d(x, y) chamado de distˆancia de x at´e y (ou de y at´e x), tais que sejam
v´alidas as seguintes propriedades para quaisquer x, y, z ∈ M
d1) Positividade d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
d2) Simetria d(x, y) = d(y, x)
d3) Desigualdade Triangular d(x, y) + d(y, z) ≥ d(z, x).
Propriedade 1. Para quaisquer pontos a, b, c ∈ M vale
|d(a, b) − d(b, c)| ≤ d(a, c).
Demonstra¸c˜ao. Vale d(a, b) − d(b, c) ≤ d(a, c) e −d(a, b) + d(b, c) ≤ d(a, c), de
onde segue a desigualdade. Perceba que usamos apenas a desigualdade triangular para
provar tal propriedade.
1
O matem´atico Maurice Fr´echet introduziu o conceito de espa¸co m´etrico em seu trabalho:Sur quelques
points du calcul fonctionnel
4
6. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 5
Observa¸c˜ao 1. A propriedade d2) simetria n˜ao ´e necess´aria como axioma, ela decorre
de d1) e de d3) pois de |d(a, b)−d(b, c)| ≤ d(a, c), tomando c = a tem-se |d(a, b)−d(b, a)| ≤
0 como n˜ao pode ser menor que zero segue que |d(a, b) − d(b, a)| = 0 e d(a, b) = d(b, a).
Al´em disso a positividade segue da desigualdade triangular e de que d(x, x) = 0, pois
d(x, y) + d(z, y) ≥ d(x, z)
implica que, tomando z = x
2d(x, y) ≥ 0 ⇒ d(x, y) ≥ 0.
Ou d(a, c) ≥ |d(a, b) − d(b, c)| ≥ 0.
Ent˜ao para ser uma m´etrica ´e necess´ario apenas verificar
X d(x, y) = 0 ⇔ x = y
X d(x, y) + d(z, y) ≥ d(x, z)
Corol´ario 1. Em R com a m´etrica d(a, b) = |a − b|, vale
||a − b| − |b − c|| ≤ |a − c|.
Exemplo 1. Se f ´e injetora ent˜ao d(a, b) = |f(a) − f(b)| ´e uma m´etrica em R.
Basta provar que vale a positividade, que realmente vale pois d(a, b) = 0 ⇔ f(a) = f(b)
mas como a fun¸c˜ao ´e injetiva isso implica a = b.
Exemplo 2. d(x, y) =
√
|x − y| ´e uma m´etrica em R, pois para ser nula ´e necess´ario
que x, y, sendo tamb´em sempre positiva e valendo a simetria. Vale tamb´em a desigualdade
triangular pois por desigualdade triangular
|z −y| ≤ |x−y|+|x−z| ≤ |x−y|+|x−z|+2
√
|x − y|
√
|z − x| = (
√
|x − y|+
√
|x − z|)2
tomando a raiz segue que
√
|z − y| ≤
√
|x − y| +
√
|x − z|.
7. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 6
Exemplo 3. Seja L
1
2 (R) o conjunto das fun¸c˜oes reais cont´ınuas tais que
∫ ∞
−∞
|f(x)|
1
2 dx < ∞.
Seja
d(f, g) =
∫ ∞
−∞
|f(x) − g(x)|
1
2 dx
ent˜ao (L
1
2 (R), d) ´e um espa¸co m´etrico.
Primeiro vamos mostrar que d est´a bem definida. Vale que
|f(x) − g(x)| ≤ |f(x)| + 2|f(x)|
1
2 |g(x)|
1
2 + |g(x)| = (|f(x)|
1
2 + |g(x)|
1
2 )2
tomando raiz segue que
|f(x) − g(x)|
1
2 ≤ |f(x)|
1
2 + |g(x)|
1
2
logo por compara¸c˜ao d(f, g) ´e finito, al´em disso ´e sempre n˜ao negativo por ser integral de
termos n˜ao negativos. Em geral se a ≤ b + c ent˜ao a
1
2 ≤ b
1
2 + c
1
2 com a, b, c n˜ao negativos,
a demonstra¸c˜ao ´e a mesma que a anterior, usaremos tal propriedade a seguir .
X Se d(f, g) = 0, por continuidade ent˜ao a fun¸c˜ao integrada (cont´ınua e n˜ao negativa)
deve ser nula |f(x) − g(x)|
1
2 = 0 o que implica f(x) = g(x)∀x ∈ R logo s˜ao iguais,
´e claro que d(f, f) = 0 pois o integrando se anula.
X Vale a simetria pois
d(f, g) =
∫ ∞
−∞
|f(x) − g(x)|
1
2 dx =
∫ ∞
−∞
|g(x) − f(x)|
1
2 dx = d(g, f).
X Vale a desigualdade triangular pois
|f(x) − g(x)| ≤ |g(x) − h(x)| + |f(x) − h(x)| ∀x
pelo observa¸c˜ao anterior temos
|f(x) − g(x)|
1
2 ≤ |g(x) − h(x)|
1
2 + |f(x) − h(x)|
1
2 ∀x
8. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 7
logo podemos aplicar
∫ ∞
−∞
de onde segue
d(f, g) ≤ d(g, h) + d(f, h).
Propriedade 2. Dada uma m´etrica d, ent˜ao f definida por f(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
tamb´em ´e uma m´etrica.
Demonstra¸c˜ao.
X Vale que f(x, y) ≥ 0 pois ´e raz˜ao de termos n˜ao negativos e o denominador n˜ao se
anula.
d(x, y)
1 + d(x, y)
= 0 ⇔ d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
X A simetria vale pois
f(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
=
d(y, x)
1 + d(y, x)
= f(y, x).
X Desigualdade triangular2
. Como d ´e uma m´etrica, temos que
d(x, y)
1 + d(x, y) + d(y, z)
≤
d(x, y)
1 + d(x, y)
,
pois o denominador na primeira fra¸c˜ao ´e maior, d(x, y) + d(y, z) + 1 ≥ d(x, y), da
mesma forma
d(z, y)
1 + d(x, y) + d(z, y)
≤
d(z, y)
1 + d(z, y)
,
agora a fun¸c˜ao de lei f(t) =
t
1 + t
´e crescente, pois
t
1 + t
=
t + 1 − 1
t + 1
= 1 −
1
t + 1
,
ent˜ao se t cresce o valor
1
t + 1
´e menor e por isso 1 −
1
t + 1
= f(t) ´e maior, disso
segue usando a desigualdade triangular que
d(x, z)
1 + d(x, z)
≤
d(x, y) + d(y, z)
1 + d(x, y) + d(y, z)
=
d(x, y)
1 + d(x, y) + d(y, z)
+
d(y, z)
1 + d(x, y) + d(y, z)
≤
usando agora em cada parcela desigualdades que obtemos acima, segue que
d(x, y)
1 + d(x, y)
+
d(z, y)
1 + d(z, y)
,
2
Agrade¸co a Ivo Terek, Vinicius Rodrigues e Frank Wan por essa solu¸c˜ao .
9. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 8
por isso temos
≤
d(x, y)
1 + d(x, y)
+
d(z, y)
1 + d(z, y)
,
por isso conclu´ımos que
d(x, z)
1 + d(x, z)
≤
d(x, y)
1 + d(x, y)
+
d(z, y)
1 + d(z, y)
.
X Vamos mostrar de outra maneira a desigualdade triangular. Sejam p = d(x, y), q =
d(x, z), r = d(z, y). Como d ´e m´etrica temos, p, q, r ≥ 0 e p ≤ q + r implica que
p ≤ q + r + 2qr + pqr
≥0
,
somando pq + pr + pqr em ambos lados e colocando termos em evidˆencia segue
p + pq + pr + pqr
p(1+q+r+qr)
≤ (q + pq + qr + pqr)
q(1+p+q+pq)
+ (r + pr + qr + pqr)
r(1+p+q+pq)
,
que implica por fatora¸c˜ao
p(1 + q)(1 + r) ≤ q(1 + r)(1 + p) + r(1 + p)(1 + q),
dividindo ambos lados por (1 + p)(1 + q)(1 + r) conclu´ımos que
p
1 + p
≤
q
1 + q
+
r
1 + r
que garante a desigualdade triangular d′
(x, y) ≤ d′
(x, z) + d′
(z, y).
Defini¸c˜ao 2 (Espa¸co m´etrico). Um espa¸co m´etrico ´e um par (M, d), onde M ´e um
conjunto e d uma m´etrica. Chamaremos os elementos do espa¸co m´etrico de pontos e
simplificaremos a nota¸c˜ao (M, d) para M quando estiver subentendida a m´etrica usada.
Chamaremos sempre os elementos de um espa¸co m´etrico como pontos de M, isto ´e, se
x ∈ M ent˜ao x ´e um ponto de M.
Corol´ario 2. Todo subconjunto X de um espa¸co m´etrico M ´e um espa¸co m´etrico com
a mesma m´etrica.
10. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 9
Um pouco de hist´oria
Maurice Fr´echet (2 de Setembro de 1878- 4 de Junho de 1973) foi um matem´atico
Francˆes. Fez contribui¸c˜oes importantes a topologia, introduziu o conceito de espa¸cos
m´etricos, fez tamb´em importantes contribui¸c˜oes `a probabilidade , estat´ıstica e c´alculo.
Considere em geral M um espa¸co m´etrico arbitr´ario, caso n˜ao sejam dadas informa¸c˜oes
adicionais.
Figura 1.1: Maurice Fr´echet
Corol´ario 3. Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico e S ⊂ M, considerado a restri¸c˜ao dS
em S × S ent˜ao (S, d) ´e um espa¸co m´etrico, pois a positividade, simetria e desigualdade
triangular valem para todos elementos de M logo valem para todos elementos de S pois
para cada x ∈ S tem-se x ∈ M , logo as propriedades de S s˜ao herdadas de M.
Defini¸c˜ao 3 (M´etrica induzida-subespa¸co ). O espa¸co m´etrico S na condi¸c˜ao do
exemplo anterior ´e chamado de subespa¸co e a m´etrica ds de m´etrica induzida.
Propriedade 3 (M´etrica usual da reta.). (R, ||) onde d(x, y) = |x − y| ´e um espa¸co
m´etrico.
Demonstra¸c˜ao. O m´odulo ´e sempre positivo e ser´a zero quando x−y = 0, x = y,
logo vale a propriedade d1. Vale que d(x, y) = |x − y| = |y − x| = d(y, x) logo vale a
simetria. E a desigualdade triangular
|x − y| + |y − z| ≥ |x − z|
11. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 10
vale para m´odulo, implicando que
d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).
Ent˜ao (R, ||) ´e um espa¸co m´etrico.
Defini¸c˜ao 4 (Pseudo m´etrica). Uma pseudo m´etrica ´e uma fun¸c˜ao de M × M →
[0, ∞) que satisfaz a desigualdade triangular, a simetria , vale sempre d(x, y) ≥ 0, por´em
pode valer d(x, y) = 0 com x ̸= y.
Exemplo 4. d(x, y) = |x2
− y2
| define uma pseudo m´etrica em R. A distˆancia
associa sempre valor n˜ao negativo pela presen¸ca do m´odulo. Por´em
d(x, y) = 0 ⇒ |x2
− y2
| = |x − y||x + y|
podendo ser que x = −y, logo n˜ao temos m´etrica, temos pseudo m´etrica pois as outras
propriedades s˜ao satisfeitas, simetria
|x2
− y2
| = |y2
− x2
|
e desigualdade triangular, proveniente da propriedade para m´odulos
|z2
− y2
| ≤ |x2
− y2
| + |x2
− z2
|.
Propriedade 4. Seja d uma pseudo m´etrica em X. Dados p, q ∈ X, dizemos que
p ∼ q ⇔ d(p, q) = 0. ∼ define uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.
Demonstra¸c˜ao.
X Reflexividade. Vale que p ∼ p, pois d(p, p) = 0.
X Simetria. Se p ∼ q ent˜ao q ∼ p pois d(p, q) = d(q, p) = 0 por defini¸c˜ao de m´etrica.
X Transitividade. Suponha p ∼ q e q ∼ s ent˜ao p ∼ s, pois por desigualdade triangular
e n˜ao negatividade temos
d(p, q)
0
+ d(q, s)
0
≥ d(p, s) ≥ 0
d(p, s) = 0.
12. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 11
Defini¸c˜ao 5. Dada uma pseudo m´etrica d em um espa¸co X, definimos a classe de
de um elemento x ∈ X como
x = {y ∈ x tal qued(y, x) = 0}.
Seja Y = X/ ∼= {x | x ∈ X}, definimos uma m´etrica em Y como
d(x, y) = d(x, y)
onde x e y s˜ao representantes quaisquer das classes x e y.
Propriedade 5. A distˆancia na defini¸c˜ao anterior ´e uma m´etrica em Y .
X Positividade. d(x, y) = d(x, y) ≥ 0 sendo nulo apenas quando x est´a na mesma
classe de y, logo vale zero apenas quando x = y.
X Vale a simetria pois
d(x, y) = d(x, y) = d(y, x) = d(y, x)
X Vale tamb´em a desigualdade triangular pois, reca´ımos na m´etrica em X.
Falta mostrar apenas que a m´etrica ´e bem definida, sejam x, x′
, y, y′
representantes de
classes x e y , vamos mostrar que
d(x, y) = d(x′
, y′
),
isto ´e , a distˆancia n˜ao depende dos elementos da classe.
Usamos que
d(x′
, y′
) ≤ d(x, y) + d(x′
, x) + d(y′
, y)
0
de mesma maneira
d(x, y) ≤ d(x′
, y′
) + d(x′
, x) + d(y′
, y)
0
logo d(x′
, y′
) = d(x, y).
Demonstra¸c˜ao.
13. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 12
1.1.1 Desigualdades provenientes da desigualdade triangular
Propriedade 6. Vale a desigualdade
d(xn, xm) ≤
m−1∑
k=n
d(xk, xk+1)
Demonstra¸c˜ao. Dados os pontos xk, xk+1 e xm, vale por desigualdade triangular
d(xn, xk+1) ≤ d(xn, xk) + d(xk, xk+1)
da´ı
∆d(xn, xk) ≤ d(xk, xk+1)
aplicando
m−1∑
k=n+1
segue
d(xn, xm) − d(xn, xn+1) ≤
m−1∑
k=n+1
d(xk, xk+1)
d(xn, xm) ≤
m−1∑
k=n
d(xk, xk+1).
Propriedade 7 (M´etrica zero um- M´etrica discreta). Seja A um conjunto n˜ao vazio
e x, y elementos arbitr´arios de A, ent˜ao d : A → R dada por d(x, y) = 0 se x = y e
d(x, y) = 1 se x ̸= y ´e uma m´etrica em A.
Demonstra¸c˜ao. Vale d1 pois d(x, y) ≥ 0, pois assume valores 0 ou 1 e vale
tamb´em d(x, y) = 0 se e somente se x = y pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao.
Vale d2 pois se x ̸= y ent˜ao d(x, y) = 1 = d(y, x) se x = y ent˜ao d(x, y) = 0 = d(y, x)
ent˜ao em todo caso vale a propriedade.
Vale d3
d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)
se x = z ent˜ao d(x, z) = 0 e a soma do lado esquerdo ser´a maior ou igual a zero, por ser
soma de n´umero n˜ao negativos. Se x ̸= z ent˜ao d(x, z) = 1, se ainda x = y n˜ao podemos
ter y = z pois implicaria x = z mas por hip´otese temos que x ̸= z, ent˜ao se x = y implica
y ̸= z e temos igualdade, se x ̸= y ent˜ao d(x, y) = 1 e a soma no lado esquerdo ´e maior
ou igual a 1.
14. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 13
Seja o conjunto Rn
= {(xk)n
1 , xk ∈ R} dados os pontos x = (xk)n
1 , y = (yk)n
1 e
z = (zk)n
1 ent˜ao
Propriedade 8 (M´etrica do m´aximo em Rn
.).
dM (x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In}
´e uma m´etrica em Rn
. Nesta m´etrica tomamos o m´aximo do m´odulo da diferen¸ca das
coordenadas.
Demonstra¸c˜ao.
1. dM (x, y) = 0 ⇔ x = y. Os termos est˜ao em m´odulo logo n˜ao h´a n´umeros negativos
e se houver algum s ∈ In tal que xs ̸= ys ent˜ao xs − ys ̸= 0 e |xs − ys| ser´a positivo,
logo o m´aximo do conjunto n˜ao ser´a 0, portanto para que o m´aximo seja zero ´e
necess´ario que xk = yk para todo k ∈ In da´ı segue que x = y.
2. Simetria, vale que dM (x, y) = dM (y, x).
dM (x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In} = max{| − 1||yk − xk|, k ∈ In} =
= max{|yk − xk|, k ∈ In} = dM (y, x),
logo vale a simetria.
3. Agora a desigualdade triangular,
dM (x, y) + dM (y, z) ≥ dM (x, z), isto ´e
max{|xk − yk|, k ∈ In} + max{|yk − zk|, k ∈ In} ≥ max{|xk − zk|, k ∈ In}.
Temos para desigualdade triangular para m´odulo que
|xv − yv| + |yv − zv| ≥ |xv − zv|,
onde v ∈ In ´e o ´ındice tal que |xv − zv| = max{|xk − zk|, k ∈ In}, s ∈ In o ´ındice
tal que |xs − ys| = max{|xk − yk|, k ∈ In}. Vale |xs − ys| ≥ |xv − yv| pelo primeiro
ser m´aximo. Seja tamb´em t ∈ In o ´ındice tal que |yt − zt| = max{|yk − zt|, k ∈ In},
mais uma vez vale |yt − zt| ≥ |yv − zv| pelo primeiro termo ser o m´aximo, logo
max{|xk−yk|, k ∈ In}+max{|yk−zk|, k ∈ In} = |xs−ys|+|yt−zt| ≥ |xv−yv|+|yv−zv| ≥
15. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 14
|xv − zv|
como |xv − zv| = max{|xk − zk|, k ∈ In} segue
dM (x, y) + d1(y, z) ≥ d1(x, z)
max{|xk − yk|, k ∈ In} + max{|yk − zk|, k ∈ In} ≥ max{|xk − zk|, k ∈ In}.
Al´em disso, temos que
dM (x, y) = dM (x − y, 0) = max{|xk − yk − 0|, k ∈ In},
dS(cx, 0) = max{|cxk|, k ∈ In} = |cxs| = |c||xs| = |c|dM (x, 0).
Ent˜ao,
dM (x, 0) = max{|xk|, k ∈ In}
´e uma norma.
Propriedade 9 (M´etrica da soma em Rn
.).
dS(x, y) =
n∑
k=1
|xk − yk|
´e uma m´etrica em Rn
.
Demonstra¸c˜ao. Vale a positividade pois
n∑
k=1
|xk − yk| ´e soma de elementos n˜ao
negativos logo ´e n˜ao negativo, se houver algum s ∈ In tal que xs ̸= ys ent˜ao |xs − ys| ̸= 0
ent˜ao a soma ser´a maior que zero, para que seja zero ´e necess´ario que xk = yk para todo
k ∈ In isso implica x = y.
Vale a simetria
dS(x, y) =
n∑
k=1
|xk − yk| =
n∑
k=1
| − 1||yk − xk| =
n∑
k=1
|yk − xk| = dS(y, x).
Agora a desigualdade triangular vale para todo ´ındice k ∈ In
|xk − yk| + |yk − zk| ≥ |xk − zk|
aplicando a soma
n∑
k=1
segue
n∑
k=1
|xk − yk| +
n∑
k=1
|yk − zk| ≥
n∑
k=1
|xk − zk|
16. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 15
logo
dS(x, y) + dS(y, z) ≥ dS(x, z).
Al´em disso temos que
dS(x, y) = dS(x − y, 0) =
n∑
k=1
|xk − yk − 0|
dS(cx, 0) =
n∑
k=1
|cxk| = |c|
n∑
k=1
|xk| = |c|dS(x, 0)
ent˜ao
dS(x, 0) =
n∑
k=1
|xk|
´e uma norma .
Propriedade 10. B(A, R) = {f : A → R | f limitada em A} com
d(f, g) = sup{|f(x) − g(x)|, x ∈ A}
´e m´etrica em B(A, R).
Demonstra¸c˜ao. Tal m´etrica ´e proveniente da norma do sup ||f|| = sup
x∈A
|f(x)|.
1. Vale a positividade pois |f(x) − g(x)| ≥ 0 para todo x se existe x1 ∈ A tal que
f(x1) ̸= g(x1) ent˜ao |f(x1) − g(x1)| := b > 0 e o supremo n˜ao ser´a zero pois 0 n˜ao
´e cota superior do elemento b, logo para que o supremo seja zero ´e necess´ario que
f(x) = g(x), ∀x ∈ A, assim as fun¸c˜oes s˜ao iguais.
2. A simetria mais uma vez se d´a pela presen¸ca do m´odulo
d(f, g) = sup{|f(x) − g(x)|, x ∈ A} = sup{| − 1||g(x) − f(x)|, x ∈ A} =
= sup{|g(x) − f(x)|, x ∈ A} = d(g, f).
3. Provamos para a norma, pois temos
sup
x∈A
|f(x) + g(x)| ≤ sup
x∈A
|f(x)| + sup
x∈A
|g(x)|
por propriedade de supremo.
17. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 16
Propriedade 11. Sejam (dk)n
1 , m´etricas em M e (ck)n
1 uma sequˆencia de termos n˜ao
negativos com pelo menos um termo n˜ao nulo ent˜ao
d(x, y) =
n∑
k=1
ckdk(x, y)
define uma m´etrica em M.
Demonstra¸c˜ao.
X Como dk(x, y) ≥ 0, ck ≥ 0 ent˜ao ckdk(x, y) ≥ 0 somando
d(x, y) =
n∑
k=1
ckdk(x, y) ≥ 0.
Substituindo y por x o resultado ´e n˜ao nulo, pois temos pelo menos um ´ındice j tal
que cj > 0 e da´ı cjdj(x, x) > 0 e todos outros termos s˜ao n˜ao negativos.
X Simetria
d(x, y) =
n∑
k=1
ckdk(x, y) =
n∑
k=1
ckdk(y, x) = d(y, x).
X Desigualdade triangular, para cada k vale
dk(x, y) + dk(y, z) ≥ dk(x, z)
multiplicando por ck e tomando a soma temos
n∑
k=1
ckdk(x, y) +
n∑
k=1
ckdk(y, z) ≥
n∑
k=1
ckdk(x, z)
d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).
Em especial se d ´e m´etrica ent˜ao td ´e m´etrica, t > 0 real.
1.2 Normas e produto interno
Defini¸c˜ao 6 (Espa¸co vetorial normado). Um espa¸co vetorial V (sobre um corpo
K, real ou complexo) ´e dito ser normado se para cada elemento v de V ´e associado um
n´umero real ∥v∥ tal que valem as propriedades
18. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 17
1.
Positividade ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0.
2.
Produto por constante ∥av∥ = |a|∥v∥.
3.
Desigualdade triangular ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.
sendo u ∈ V e a um escalar. Nesse caso dizemos que (V, ∥ ∥) ´e um espa¸co vetorial
normado. A norma de um vetor pode ser pensada como o comprimento ou magnitude de
um vetor.
Propriedade 12. Seja V um espa¸co vetorial complexo ou real. Se temos uma m´etrica
d em V , que satisfaz
d(x, y) = d(x − y, 0)
d(cx, 0) = |c|d(x, 0)
ent˜ao
||x|| = d(x, 0)
define uma norma em V .
Demonstra¸c˜ao.
X Vale a positividade, pois ||x|| = d(x, 0) ≥ 0 e se anula apenas se x = 0.
X Produto por constante ||cx|| = d(cx, 0) = |c|d(x, 0) = |c|||x||.
X Desigualdade triangular, primeiro notamos que d(−y, 0) = | − 1|d(y, 0) = d(y, 0),
por desigualdade triangular de m´etrica temos
d(x, 0) + d(−y, 0) ≥ d(x, −y) = d(x + y, 0)
d(x, 0) + d(y, 0) ≥ d(x + y, 0)
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||x|| + ||y|| ≥ ||x + y||.
19. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 18
Propriedade 13. Todo espa¸co vetorial normado (V, ∥ ∥) ´e um espa¸co m´etrico com a
m´etrica d(x, y) = ∥x − y∥ com x, y ∈ V.
Demonstra¸c˜ao.
1. Vale a positividade, pois d(x, y) = ∥x − y∥ = 0 ⇔ x − y = 0, x = y e vale tamb´em
d(x, y) = ∥x − y∥ ≥ 0.
2. Vale a simetria, pois d(x, y) = ∥x − y∥ e d(y, x) = ∥y − x∥ = | − 1|∥x − y∥ = d(x, y).
3. Vale a desigualdade triangular
d(x, y) + d(x, z) = ∥x − y∥ + ∥ − x + z∥ ≥ ∥z − y∥ = d(z, y).
Corol´ario 4. Com um produto interno podemos definir uma norma e do espa¸co
vetorial normado podemos definir um espa¸co m´etrico.
Corol´ario 5. O produto interno usual do Rn
´e definido como
< u, u >=
n∑
k=1
x2
k
e a norma proveniente desse produto interno ´e
∥u∥ =
√
< u, u > =
n∑
k=1
x2
k
a m´etrica fica
d(u, v) = ∥u − v∥ =
n∑
k=1
(xk − yk)2
vale a desigualdade triangular
∥x − y∥ + ∥x − z∥ ≥ ∥z − y∥
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d(x, y) + d(x, z) =
n∑
k=1
(xk − yk)2 +
n∑
k=1
(xk − zk)2 ≥
n∑
k=1
(zk − yk)2 = d(z, y)
20. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 19
Defini¸c˜ao 7 (M´etrica proveniente da norma). A m´etrica d(x, y) = ∥x−y∥ no espa¸co
vetorial normado (V, ∥ ∥) ´e chamada de m´etrica proveniente da norma.
Propriedade 14. Se uma m´etrica d prov´em de uma norma, ent˜ao d(x + t, y + t) =
d(x, y) ∀ t, x, y ∈ V.
Demonstra¸c˜ao. Temos que
d(x + t, y + t) = ||x + t − y − t|| = ||x − y|| = d(x, y).
A distˆancia ´e invariante por deslocamento por um vetor t.
Propriedade 15. Em V espa¸co vetorial normado vale que
||x − y|| ≥ | ||y|| − ||x|| |.
Demonstra¸c˜ao. Por desigualdade triangular sabemos que
||x − y|| ≥ ||y|| − ||x|| pois ||x − y|| + ||x|| ≥ ||y||
da mesma maneira
||x − y|| ≥ ||x|| − ||y|| pois ||x − y|| + ||y|| ≥ ||x||
portanto
||x − y|| ≥ | ||y|| − ||x|| |.
Propriedade 16. A fun¸c˜ao norma fN : V → R com fN (v) = ||v||, V espa¸co vetorial
normado, ´e cont´ınua.
Propriedade 17. Seja o conjunto Rn
= {(xk)n
k=1, xk ∈ R} , dados os pontos x = (xk)n
1
e y = (yk)n
1 ent˜ao
d(x, y) =
n∑
k=1
(xk − yk)2
´e uma m´etrica em Rn
.
21. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 20
Demonstra¸c˜ao. Vale d1 pois
d(x, y) =
n∑
k=1
(xk − yk)2
≥0
como soma de n´umeros positivos ´e um n´umero positivo e para que a soma da direita seja
zero ´e necess´ario que todas parcelas sejam zero pois caso contr´ario, se existir uma parcela
positiva a soma tamb´em ser´a positiva, da´ı conclu´ımos que (xk = yk)n
1 implicando que
x = y. Vale a propriedade de simetria pois
d(x, y) =
n∑
k=1
(xk − yk)2 =
n∑
k=1
(−1)2(yk − xk)2 =
n∑
k=1
(yk − xk)2 = d(y, x).
A desigualdade triangular provamos pela propriedade da norma e produto interno.
Corol´ario 6. (Rn
, d) ´e um espa¸co m´etrico.
Defini¸c˜ao 8 (Espa¸co Euclidiano). O conjunto Rn
com a m´etrica
d(x, y) =
n∑
k=1
(xk − yk)2
´e chamado de espa¸co Euclidiano.
Defini¸c˜ao 9 (Normas equivalentes). Duas normas ||; ∥|1 e ||; ∥|2 s˜ao equivalentes em
A se existem constantes c1 e c2 tais que vale
c1||x∥|1 ≤ ||x∥|2 ≤ c2||x∥|1 ∀x ∈ A.
Propriedade 18 (Desigualdade de m´etricas em Rn
.). Para quaisquer elementos x, y ∈
Rn
vale
dM (x, y) ≤ d(x, y) ≤ dS(x, y) ≤ ndM (x, y)
onde
dM (x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In|}
dS(x, y) =
n∑
k=1
|xk − yk|
e
d(x, y) =
n∑
k=1
(xk − yk)2.
22. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 21
Demonstra¸c˜ao. Primeiro vamos mostrar que dM (x, y) ≤ d(x, y). Como o con-
junto {|xk − yk|, k ∈ In|} ´e finito, existe s ∈ In tal que dM (x, y) = |xs − ys| e na outra
m´etrica
d(x, y) =
s−1∑
k=1
(xk − yk)2 + (xs − ys)2 +
n∑
k=s+1
(xk − yk)2 ≥
√
(xs − ys)2 = |xs−ys| = dM (x, y).
Agora a desigualdade dS(x, y) ≤ ndM (x, y), temos que |xk − yk| ≤ |xs − ys| para todo
k ∈ In, tomando a soma
n∑
k=1
segue
n∑
k=1
|xk − yk|
dS(x,y)
≤
n∑
k=1
|xs − ys| = n|xs − ys| = ndM (x, y).
Provamos d(x, y) ≤ ds(x, y), que ´e equivalente a mostrar
n∑
k=1
(xk − yk)2 ≤
n∑
k=1
|xk − yk|
temos
(
n∑
k=1
|xk−yk|)2
=
n∑
k=1
|xk−yk|
n∑
k=1
|xk−yk| =
n∑
k=1
|xk−yk|
n∑
l=1
|xl−yl| =
n∑
k=1
n∑
l=1
|xl−yl||xk−yk|
=
∑
(k,l)∈In×In
|xk − yk||xl − yl| =
n∑
k=1
(xk − yk)2
+
∑
(k,l)∈In×In,k̸=l
|xk − yk||xl − yl|
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n∑
k=1
(xk − yk)2
< (
n∑
k=1
|xk − yk|)2
⇒
n∑
k=1
(xk − yk)2 ≤
n∑
k=1
|xk − yk|.
Propriedade 19. Seja ||x||∞ = max
k∈In
|xk|, vale que
lim
p→∞
||x||p = ||x||∞
onde
||x||p = (
n∑
k=1
|xk|p
)
1
p .
Demonstra¸c˜ao. Vale que
(||x||p
∞)
1
p ≤ ||x||p ≤ (n||x||p
∞)
1
p
tomando p → ∞ por sandu´ıche segue o resultado.
23. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 22
1.2.1 Produto cartesiano de espa¸cos m´etricos
Propriedade 20. Dados n espa¸cos m´etricos (Mk)n
1 com m´etricas (dk)n
1 respecti-
vamente, ent˜ao as fun¸c˜oes abaixo s˜ao m´etricas no produto cartesiano
n∏
k=1, C
Mk, onde
x = (xk)n
1 e y = (yk)n
1
M´etrica do m´aximo
d1(x, y) = max{dk(xk, yk) |k ∈ In}
M´etrica da soma
d2(x, y) =
n∑
k=1
dk(xk, yk)
M´etrica Euclidiana
d(x, y) =
n∑
k=1
[dk(xk, yk)]2.
Demonstra¸c˜ao. Cada dk(xk, yk) ´e um n´umero real, como j´a demonstramos que
tais propriedades valem para n´umeros reais ent˜ao essa propriedade ´e verdadeira.
1.3 Bolas e esferas
Sejam a um ponto de um espa¸co m´etrico M e r um n´umero real e X um subespa¸co
de M.
Defini¸c˜ao 10 (Bola aberta). Definimos bola aberta de centro a e raio r no subespa¸co
X de M como o conjunto
BX(a, r) := {x ∈ X | d(x, a) < r}.
Defini¸c˜ao 11 (Bola fechada). Definimos a bola fechada de centro a e raio r no
subespa¸co X de M como o conjunto
BX[a, r] := {x ∈ X | d(x, a) ≤ r}.
A Bola fechada tamb´em pode ser denotada por BX(a, r) ou Br[a].
24. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 23
Defini¸c˜ao 12 (Esfera). Definimos a esfera de centro a e raio r no subespa¸co X de
M como como o conjunto
SX(a, r) := {x ∈ X | d(x, a) = r}.
Caso X = M, omitimos o ´ındice M e escrevemos B(a, r), B[a, r], S(a, r).
Exemplo 5. Em Rn
,as bolas e esferas s˜ao os conjuntos
B(a, r) := {x ∈ Rn
| ∥x − a∥ < r}
B[a, r] := {x ∈ Rn
| ∥x − a∥ ≤ r}
que ´e chamada tamb´em de disco n-dimensional de centro a e raio r
S(a, r) := {x ∈ Rn
| ∥x − a∥ = r}.
O disco B[0, 1] := {x ∈ Rn
| ∥x − a∥ ≤ r} de centro 0 e raio 1 ´e chamado o disco
unit´ario de Rn
.
Defini¸c˜ao 13. Denotamos especialmente
Sn−1
= S(0, 1) = {x ∈ Rn
| ∥x∥ = 1}.
Propriedade 21. Vale que B′
M ⊂ Bs ⊂ B ⊂ BM em Rn
onde as bolas s˜ao de mesmo
centro a e raio r, excluindo B′
M que ´e de raio
r
n
e centro a.
Demonstra¸c˜ao. x ∈ B′
m ent˜ao |x − a|M <
r
n
⇒ n|x − a|M < r, usamos as
desigualdades das m´etricas
|x − a|M ≤ |x − a| ≤ |x − a|S ≤ |x − a|M < r.
Propriedade 22. Valem as identidades
SX(a, r) = S(a, r) ∩ X
BX[a, r] = B[a, r] ∩ X
BX(a, r) = B(a, r) ∩ X.
25. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 24
Propriedade 23.
B[a, r] = S(a, r) ∪ B(a, r)
com uni˜ao disjunta.
Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que S(a, r) e B(a, r) s˜ao disjuntos. Seja x ∈
S(a, r) ent˜ao d(x, a) = r e x /∈ B(a, r), pois teria que ser d(x, a) < r. Agora seja x ∈ B[a, r]
ent˜ao d(x, a) < r ou d(x, a) = r, se d(x, a) = r ent˜ao x ∈ S(a, r) logo pertence a uni˜ao,
caso d(x, a) < r ent˜ao x ∈ B(a, r) que pertence a uni˜ao, em todo caso vale x na uni˜ao ent˜ao
B[a, r] ⊂ S(a, r)∪B(a, r) . Agora seja x ∈ S(a, r)∪B(a, r) se d(x, a) < r ent˜ao x ∈ B[a, r]
se d(x, a) = r tamb´em, ent˜ao S(a, r) ∪ B(a, r) ⊂ B[a, r] valeB[a, r] = S(a, r) ∪ B(a, r).
Corol´ario 7. B(a, r) ⊂ B[a, r] e S(a, r) ⊂ B[a, r].
Corol´ario 8. a ∈ B(a, r), pois como r > 0 segue que d(a, a) = 0 < r da´ı pela defini¸c˜ao
de bola aberta a ∈ B(a, r).
Corol´ario 9. a ∈ B[a, r].
Defini¸c˜ao 14 (Ponto isolado). Um ponto a ∈ M ´e dito um ponto isolado se existe
r > 0 real tal que B(a, r) = {a}.
Propriedade 24. Seja E espa¸co vetorial normado, E ̸= {0}, ent˜ao E n˜ao possui
pontos isolados na m´etrica associada a norma.
Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que para todo r > 0 real, existe um elemento
x ̸= a na bola B(a, r), tomando z =
ry
2||y||
com y vetor n˜ao nulo, tem-se
|z| =
r||y||
2||y||
=
r
2
tomando x = a + z temos que x ̸= a pois z n˜ao ´e nulo e temos x ∈ B(a, r) pois d(x, a) =
||x − a|| = ||z|| =
r
2
< r.
Defini¸c˜ao 15 (Espa¸co discreto). M ´e dito discreto se todo ponto de M ´e ponto
isolado.
Defini¸c˜ao 16 (Conjunto discreto). Um conjunto X ´e discreto quando o espa¸co X
com a m´etrica induzida ´e um espa¸co discreto.
26. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 25
Defini¸c˜ao 17 (Espa¸co limitado). Seja M um espa¸co m´etrico e A ⊂ M, ent˜ao A ´e
dito limitado se existe c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ A.
Exemplo 6. X ⊂ Rn
´e limitado quando est´a contido em alguma bola B[a, r].
Propriedade 25. Toda bola B[a, r] est´a contida em uma bola do tipo B[0, n], o
mesmo valendo para bolas abertas.
Demonstra¸c˜ao. Tomamos n = r + |a|. Sendo x ∈ B[a, r] vale |x − a| ≤ r ⇒
|x| ≤ |x − a| + |a| ≤ r + |a|, logo x ∈ B[a, r] ⇒ x ∈ B[0, n].
Defini¸c˜ao 18 (Aplica¸c˜ao limitada). f : A → Rn
´e limitada, A ⊂ Rn
quando
f(A) ⊂ Rn
´e limitado.
Propriedade 26. Toda bola aberta ou fechada ´e um conjunto convexo em um espa¸co
normado.
Demonstra¸c˜ao. Dados a, b ∈ B[x0, r] temos |a−x0| ≤ r e |b−x0| ≤ r, vale ainda
x0 = tx0 + (1 − t)x0, da´ı
|(1 − t)a + tb − x0| = |(1 − t)a + tb − tx0 − (1 − t)x0| = |(1 − t)(a − x0) + t(b − x0)| ≤
(1 − t)|a − x0| + t|b − x0| ≤ (1 − t)r + tr = r.
logo o conjunto ´e convexo.
Defini¸c˜ao 19 (Distˆancia de um ponto a um conjunto). Seja E um subconjunto n˜ao
vazio de um espa¸co m´etrico M. Definimos a distˆancia de x ∈ M at´e E, como
inf
z∈E
d(x, z) = d(x, E).
Propriedade 27. Vale que d(x, E) = 0 ⇔ x ∈ E.
Demonstra¸c˜ao.
⇐) Se x ∈ E, existe uma sequˆencia (xn) ∈ E com xn → x, logo para n suficientemente
grande vale d(xn, x) < ε por isso d(x, E) = 0, pois se fosse um n´umero maior que zero,
poder´ıamos tomar xn com d(xn, x) menor que esse n´umero, ent˜ao o ´ınfimo n˜ao seria uma
cota inferior.
⇒) Suponha que x /∈ E, ent˜ao temos r > 0 tal que Br(x) ∩ E = ∅ logo para qualquer
z ∈ E temos d(z, x) ≥ r por isso n˜ao podemos ter d(x, E) = 0.
27. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 26
Defini¸c˜ao 20 (Diˆametro de um conjunto limitado). Seja A ⊂ M um conjunto
limitado, definimos seu diˆametro por
diam(A) = sup{d(x, y) |x, y ∈ A}.
Como A ´e limitado, o conjunto de n´umeros reais {d(x, y) |x, y ∈ A} ´e limitado superior-
mente por isso possui supremo, ent˜ao a defini¸c˜ao faz sentido.
Defini¸c˜ao 21 (Diˆametro de um conjunto ilimitado). Quando A n˜ao ´e limitado
escrevemos diam A = ∞.
Propriedade 28. Seja E um espa¸co vetorial normado real ou complexo com E ̸= {0},
com a m´etrica proveniente da norma, ent˜ao E n˜ao ´e limitado.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que E seja limitado, ent˜ao existe uma constante k > 0
tal que d(w, v) ≤ k para todos w e v em E, isto ´e, ∥w − v∥ ≤ k. Sejam dois elementos
x ̸= y ∈ E com ∥x − y∥ = u, temos que u > 0, podemos tomar λ real, tal que λu > k,
λx, λy s˜ao ainda vetores de E e
∥λx − λy∥ = |λ|∥x − y∥ = λu > k
o que contradiz a suposi¸c˜ao de ser limitado.
Propriedade 29. Se X e Y s˜ao limitados em M, ent˜ao X ∪ Y ´e limitado em M.
Demonstra¸c˜ao. Fixamos x1, y1 ∈ X, Y , por M ser limitado existe M1 > 0 tal
que d(x, x1) < M∀x ∈ X da mesma forma existe M2 > 0 tal que d(y, y1) < M∀y ∈ Y.
Ent˜ao dados x ∈ X, y ∈ Y arbitr´arios temos que
d(x, y) ≤ d(x, x1) + d(x1, y1)
C
+d(y1, y) ≤ M1 + C + M2.
Logo a uni˜ao ´e limitada.
Propriedade 30. Toda bola aberta B(a, r) ´e um conjunto limitado e seu diˆametro
n˜ao excede 2r.
Demonstra¸c˜ao. Tomando x, y ∈ B(a, r) temos pela desigualdade triangular
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r.
28. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 27
Propriedade 31. Em Rn
vale que diamB(a, r) = 2r.
Demonstra¸c˜ao.
J´a sabemos que 2r ´e uma cota superior para distˆancia entre dois elementos da bola,
agora vamos provar que ´e a menor cota superior, suponha uma outra cota s < 2r, podemos
tomar
ε
2
> 0 suficientemente pequeno tal que s < 2(r −
ε
2
) = 2r − ε < 2r e os pontos
a − r +
ε
2
e a + r −
ε
2
que pertencem a bola, por´em a distˆancia entre os dois pontos ´e
√
(2)2(
ε
2
− r)2 = 2(r −
ε
2
) = 2r − ε
que ´e maior que a cota superior suposta, logo temos um absurdo e 2r ´e realmente o
supremo e portanto o diˆametro do conjunto.
Exemplo 7. O diˆametro do retˆangulo P = [a, b] × [c, d] ´e
diam(P) =
√
(b − a)2 + (d − c)2 := v
pois podemos tomar uma bola com centro no ponto de encontro das diagonais do retˆangulo
e de raio com medida igual a metade do comprimento da diagonal, o retˆangulo est´a contido
propriamente na bola que possui diˆametro v, por´em tamb´em temos pontos no retˆangulo
cuja distˆancia ´e v, que s˜ao, por exemplo, (a, d) e (b, c).
Propriedade 32. Se A ⊂ B ent˜ao diam(A) ≤ diam(B).
Demonstra¸c˜ao. A propriedade vale pois temos
{d(x, y) | x, y ∈ A} ⊂ {d(x, y) | x, y ∈ B}
pois A ⊂ B, logo por propriedade de supremo temos
sup{d(x, y) | x, y ∈ A} ⊂ sup{d(x, y) | x, y ∈ B},
isto ´e, diam(A) ≤ diam(B).
Propriedade 33. Vale que diam(A) = diam(A) ∀A ∈ Rn
.
Demonstra¸c˜ao.[1] Seja c = diam(A). Existem x, y ∈ A tais que
||x − y| − c| <
ε
2
29. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 28
da mesma forma existem v e w em A tais que
||v − w| − |x − y|| <
ε
2
da´ı por desigualdade triangular temos
||v − w| − c| ≤ ||v − w| − |x − y|| + ||x − y| − c| <
ε
2
+
ε
2
= ε
logo vale diam(A) = diam(A) .
Demonstra¸c˜ao.[2] Prova no caso de espa¸cos m´etrico E. Como vale E ⊂ E, segue
que diamE ≤ diamE. Por outro lado, sejam x, y ∈ E ent˜ao existem x′
, y′
em E, tais que
d(x, x′
) ≤
ε
2
, d(y, y′
) ≤
ε
2
da´ı
d(x, y) ≤ d(x, x′
) + d(x′
, y′
) + d(y′
, y) ≤ d(x′
, y′
) +
ε
2
+
ε
2
d(x, y) ≤ d(x′
, y′
) + ε ≤ ε + diam(E)
logo por propriedade de supremo diam(E) ≤ diam(E) + ε como vale para todo ε temos
diam(E) ≤ diam(E) e da´ı com a outra desigualdade segue que s˜ao iguais.
Propriedade 34. Se K ⊂ Rn
´e compacto ent˜ao existem x0, y0 ∈ K tais que
diam(K) = |x0 − y0|.
Demonstra¸c˜ao.
Seja f : K → K → R com f(x, y) = |x − y|, a fun¸c˜ao ´e cont´ınua, como K × K
´e subconjunto compacto de Rn
× Rn
= R2n
existe um ponto (x0, y0) ∈ K × K tal que
f(x0, y0) = sup{|x − y| ∈ K × K} = diam(K).
1.4 Bolas no plano complexo
Defini¸c˜ao 22 (Disco aberto). Definimos o disco aberto de centro z0 e raio r por
∆(z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| < r}.
O disco aberto ´e a bola aberta de centro z0 e raio r.
30. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 29
Defini¸c˜ao 23 (Disco fechado). Definimos o disco fechado de centro z0 e raio r por
∆(z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| ≤ r}.
O disco fechado ´e a bola fechada de centro z0 e raio r.
Defini¸c˜ao 24 (Disco aberto deletado). Definimos o disco aberto deletado de centro
z0 e raio r por
∆∗
(z0, r) = {z ∈ C | 0 < |z − z0| < r}.
Defini¸c˜ao 25 (C´ırculo). Definimos o C´ırculo de centro z0 e raio r por
∆∗
(z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| = r}.
1.4.1 Isometria
Defini¸c˜ao 26 (Imers˜ao isom´etrica). Sejam M, N espa¸cos m´etricos uma fun¸c˜ao
f : M → N
´e uma imers˜ao isom´etrica sse
dM (x, y) = dN (f(x), f(y))
onde a primeira m´etrica ´e em M e a segunda em N, para todos x, y ∈ M. A imers˜ao
isom´etrica preserva distˆancias.
Corol´ario 10. Toda imers˜ao isom´etrica ´e injetiva, pois se f(x) = f(y) ent˜ao d(f(x), f(y)) =
0 e d(f(x), f(y)) = d(x, y) = 0 logo x = y.
Defini¸c˜ao 27 (Isometria). Isometria ´e uma imers˜ao isom´etrica sobrejetiva. Ent˜ao
isometria ´e uma fun¸c˜ao bijetora que preserva distˆancias.
31. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 30
1.5 Conjuntos abertos
Sejam A um subconjunto de M e a ∈ A.
Defini¸c˜ao 28 (Ponto interior). O ponto a ´e dito ser ponto interior de A, quando
existir r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.
Exemplo 8. Em C um ponto z ∈ A ´e interior de A quando existe r > 0 tal que
∆(z, r) ⊂ A.
Defini¸c˜ao 29 (Interior). Chamamos de interior de A o conjunto dos pontos interiores
de A e denotamos por int(A). int(A) tamb´em pode ser denotado por A◦
.
Propriedade 35. Se A ⊂ B ent˜ao int(A) ⊂ int(B).
Demonstra¸c˜ao. Pois x ∈ int(A) ent˜ao existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ A ⊂ B ent˜ao
x ∈ int(B).
1.5.1 Fronteira
Defini¸c˜ao 30 (Ponto fronteira). Seja A ⊂ M. a ∈ M ´e chamado ponto de fronteira
de A se
∀r > 0, a B(a, r) ∩ A ̸= ∅, B(a, r) ∩ CA
MA
̸= ∅.
Defini¸c˜ao 31 (Fronteira). Fronteira de A ´e o conjunto de todos os pontos fronteira
de A, denotamos esse conjunto pelo s´ımbolo ∂A.
Defini¸c˜ao 32 (Aberto). O conjunto A ´e dito aberto quando todos seus pontos s˜ao
pontos interiores, intA = A. Vale sempre que intA ⊂ A, ent˜ao para mostrar que A ´e
aberto, basta mostrar que A ⊂ intA.
Propriedade 36. Dado A ⊂ M ent˜ao
∂A = ∂(CA).
32. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 31
Demonstra¸c˜ao. As defini¸c˜oes de a ∈ ∂A e a ∈ ∂(CA) s˜ao idˆenticas, pois a
segunda ´e
∀r > 0, a B(a, r) ∩ CA ̸= ∅, B(a, r) ∩ C(CA)
=A
̸= ∅.
1.5.2 M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA)
Propriedade 37. Sendo A um subconjunto de M, vale
M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA)
onde a uni˜ao ´e disjunta.
Demonstra¸c˜ao. Dado A ⊂ M e a ∈ M, uma das possibilidades ocorre exclusi-
vamente existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A (nesse caso a ∈ intA), ou existe r > 0 tal que
B(a, r) ⊂ CA (nesse caso a ∈ intCA), ou ainda para todo r > 0 vale B(a, r) ∩ A ̸= ∅ e
B(a, r) ∩ CA ̸= ∅ (neste caso a ∈ ∂A).
Propriedade 38. A ⊂ M ´e aberto sse A ∩ ∂A = ∅.
Demonstra¸c˜ao. Se A ´e aberto ent˜ao vale A ∩ ∂A = ∅, pois para todo a ∈ A
existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A logo n˜ao pode ocorrer B(a, r) ∩ CA ̸= ∅. Agora se vale
A ∩ ∂A = ∅, significa que se a ∈ A ent˜ao a /∈ ∂A, ent˜ao existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.
Propriedade 39. Em qualquer espa¸co m´etrico M, uma bola aberta B(a, r) ´e um
conjunto aberto.
Demonstra¸c˜ao. Dado x ∈ Br(a) vamos mostrar que existe s > 0 tal que
Bs(x) ⊂ Br(a). Para isso ´e necess´ario mostrar que se y ∈ Bs(x) implica y ∈ Br(a), isto ´e,
d(y, x) < s implica d(y, a) < r, mas pela desigualdade triangular tem-se
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a)
podemos tomar s de tal maneira que
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < r
da´ı d(y, x) < r − d(x, a), tomamos ent˜ao s = r − d(x, a) > 0.
33. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 32
Propriedade 40. Se B(a, r) ⊂ A ent˜ao B(a, r) ⊂ intA.
Demonstra¸c˜ao. Temos que mostrar que todo ponto x ∈ B(a, r) ⊂ A ´e ponto
interior, mas mostramos na propriedade anterior que dado x ∈ B(a, r) existe s > 0 tal que
B(x, s) ⊂ B(a, r) ⊂ A, logo todo ponto x nessas condi¸c˜oes ´e interior e vale B(a, r) ⊂ intA.
Propriedade 41. Dado A ⊂ M. intA ´e aberto em M.
Demonstra¸c˜ao. Dado x ∈ intA, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A logo B(x, r) ⊂
intA. Vale ent˜ao int(intA) = intA, propriedade de idempotˆencia .
Propriedade 42. M ´e aberto em M.
Demonstra¸c˜ao. Para todo x ∈ M vale que B(a, r) ⊂ M, pois
B(a, r) = {x ∈ M | d(x, a) < r}
´e por defini¸c˜ao um subconjunto de M.
Propriedade 43. Se G ⊂ E, G aberto ent˜ao G ⊂ Int(E), isto ´e,
∫
(E) ´e o menor
subconjunto aberto de E.
Demonstra¸c˜ao. De G ⊂ E segue que int(G)
G
⊂ int(E), portanto G ⊂ Int(E) .
Propriedade 44. O vazio ´e aberto em M.
Demonstra¸c˜ao. Se o vazio n˜ao fosse aberto em M, haveria algum ponto nele que
n˜ao ´e ponto interior, o que ´e absurdo pois o vazio n˜ao possui pontos.
Propriedade 45. MB[a, r] ´e aberto em M.
Propriedade 46. A intersec¸c˜ao de um n´umero finito de conjuntos abertos ´e um
conjunto aberto.
Demonstra¸c˜ao.
Sejam (Ak)n
1 conjuntos abertos, ent˜ao
n∪
k=1
Ak ´e aberto. Seja x ∈
n∪
k=1
Ak, ent˜ao existem
(rk > 0)n
1 tais que Brk
(a) ⊂ Ak e tomando r < rk ∀k segue que Br(a) ⊂ Brk
(a) ∀k logo
Br(a) ⊂
n∪
k=1
Ak, ent˜ao o conjunto ´e aberto.
34. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 33
Propriedade 47. A uni˜ao arbitr´aria de conjuntos abertos ´e um conjunto aberto.
Demonstra¸c˜ao. Sejam (Ak)k∈B abertos para todo k ∈ B ent˜ao
∪
k∈B
Ak
´e aberto. Dado x ∈
∪
k∈B
Ak ent˜ao x ∈ Ak para algum k ent˜ao existe rk > 0 tal que
Brk
(a) ⊂ Ak, implicando que Brk
(a) ⊂
∪
k∈B
Ak, logo a uni˜ao ´e aberta.
Propriedade 48. Um subconjunto A ⊂ M ´e um conjunto aberto ⇔ ´e uni˜ao de bolas
abertas.
Demonstra¸c˜ao. Um subconjunto A ⊂ M aberto ´e uni˜ao de bolas abertas, pois
dado x ∈ A podemos escrever
A =
∪
x∈A
{x}
mas cada x ∈ A est´a contido numa bola aberta B(x, rx) ⊂ A, por A ser aberto, logo vale
tamb´em A =
∪
x∈A
{x} ⊂
∪
x∈A
B(x, rx) ⊂ A ,logo A =
∪
x∈A
B(x, rx).
Se A ´e reuni˜ao de bolas abertas ent˜ao A ´e aberto , pela propriedade anterior.
Propriedade 49. Dado um conjunto finito A ⊂ M ent˜ao MA ´e aberto.
Defini¸c˜ao 33 (Vizinhan¸ca). Um conjunto V ´e uma vizinhan¸ca do ponto a quando
a ∈ intV.
Propriedade 50. A interse¸c˜ao de um n´umero finito de vizinhan¸cas de a ´e uma
vizinhan¸ca de a.
1.5.3 Abertos e continuidade
Propriedade 51. Sejam f : M → N cont´ınua e A ⊂ N um aberto ent˜ao f−1
(A) ´e
aberto.
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 52. Sejam M, N espa¸cos m´etricos. f : M → N ´e cont´ınua ⇔ para
todo aberto A ∈ N, f−1
(A) ´e um subconjunto aberto de M.
35. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 34
Propriedade 53. O produto cartesiano
n∏
k=1
Ak de conjuntos abertos AK ∈ Mk ´e um
subconjunto aberto de M =
n∏
k=1
Mk.
Defini¸c˜ao 34 (Fun¸c˜ao aberta). Uma fun¸c˜ao f : M → N ´e dita aberta quando para
todo A ⊂ M aberto f(A) ´e aberto.
1.6 Conjuntos fechados
Defini¸c˜ao 35 (Ponto Aderente). Um ponto a ∈ M ´e dito aderente ao conjunto
A ⊂ M quando
∀ε > 0, ∃ x ∈ A | d(a, x) < ε.
Um ponto a ´e aderente a um conjunto A se existe em A elementos arbitrariamente
pr´oximos de a.
Corol´ario 11. Todo ponto a ∈ A ´e aderente ao conjunto A, pois d(a, a) = 0.
Defini¸c˜ao 36 (Fecho). O fecho de A ⊂ M ´e o conjunto A dos pontos de M aderentes
ao conjunto A.
Propriedade 54.
a ∈ A ⇔ ∀r > 0, Br(a) ∩ A ̸= ∅.
Demonstra¸c˜ao. ⇒). Seja a ∈ A, logo vale que para todo r > 0 existe x ∈ A tal
que d(x, a) < r, da´ı existe x ∈ A tal que x ∈ Br(a), logo a interse¸c˜ao ´e sempre n˜ao vazia.
⇐). Se vale ∀r > 0, Br(a) ∩ A ̸= ∅, ent˜ao ∀r > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < r,
da´ı a ∈ A.
Propriedade 55. a /∈ A ⇔ a ∈ int(Ac
).
Demonstra¸c˜ao. ⇒). Se a /∈ A vale que existe r > 0 tal que Br(a) ∩ A = ∅, da´ı
todo x ∈ Br(a) n˜ao pertence a A logo pertence a Ac
, da´ı a ∈ int(Ac
).
⇐). Se a ∈ int(Ac
) ent˜ao existe r > 0 tal que Br(a) ⊂ Ac
, logo existe r > 0 tal que
Br(a) ∩ A = ∅ ent˜ao a /∈ A.
36. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 35
1.6.1 (A)c
= int(Ac
).
Corol´ario 12. (A)c
= int(Ac
). Pois a /∈ A ⇔ a ∈ (A)c
⇔ a ∈ int(Ac
) .
Conclu´ımos ent˜ao que (A)c
´e um conjunto aberto.
Exemplo 9. N˜ao vale em geral que int(A) = int(A), pois podemos tomar A = Q,
temos int(Q) = ∅ e Q = R , logo int(Q) = R n˜ao valendo ent˜ao a igualdade.
Exemplo 10. A e int(A) podem ter fechos diferentes, como ´e o caso de A = {a}.
int(A) = ∅ com fecho vazio e fecho de A ´e A.
Propriedade 56. Dado E ⊂ M espa¸co m´etrico ent˜ao vale
M int(E) = M E.
Ou seja
int(E)c
= (Ec).
Demonstra¸c˜ao.
x ∈ (Ec) ⇔ ∀ε > 0 | B(x, ε) ∩ Ec
̸= ∅ ⇔
∼ (∃ε > 0 | B(x, ε) ∩ Ec
= ∅) ⇔∼ (∃ε > 0 | B(x, ε) ⊂ E) ⇔
∼ (x ∈ int(E)) ⇔ x ∈ int(E)c
.
Como quer´ıamos mostrar.
Demonstra¸c˜ao.[2]
Vamos provar as duas inclus˜oes de conjuntos.
M int(E) ⊂ M E). Seja x ∈ M int(E) ent˜ao x /∈ int(E), isto ´e, para qualquer
r > 0 n˜ao vale Br(x) ⊂ E que equivale a dizer
Ar := Br(x) ∩ (M E) ̸= ∅ ∀r > 0
supondo que x ∈ Ar ent˜ao x /∈ E da´ı x ∈ M E e por isso x ∈ M E. Caso x n˜ao perten¸ca
a nenhum Ar, ent˜ao podemos tomar pontos em A1
n
, formando uma sequˆencia de pontos
em M E que converge para x e por isso x ∈ M E o que termina a demonstra¸c˜ao.
M E ⊂ M int(E)).
37. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 36
Sendo x ∈ M E, temos que existe sequˆencia em M E que converge para x, por isso
para qualquer r > 0 temos
Ar := Br(x) ∩ (M E) ̸= ∅ ∀r > 0
o que vimos na demonstra¸c˜ao anterior ser equivalente a x ∈ M int(E)).
Propriedade 57. ∂A ⊂ A .
Demonstra¸c˜ao. Para todo ponto a ∈ ∂A vale
∀r > 0 B(a, r) ∩ A ̸= ∅.
Corol´ario 13. Da identidade M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA) e de CA = int(CA), tem-
se que A ⊂ M, mas A n˜ao possui elementos em int(CA), al´em disso ∂A ⊂ A, ent˜ao
A = intA ∪ ∂A.
Propriedade 58.
∅ = ∅.
Demonstra¸c˜ao. Caso contr´ario ∅ teria algum ponto n˜ao aderente, o que ´e absurdo.
Propriedade 59.
M = M.
Demonstra¸c˜ao. Pois para cada a ∈ M, tem-se d(a, a) = 0 < r.
Propriedade 60.
A ⊂ A.
Demonstra¸c˜ao. Pois d(a, a) = 0 , logo todo a ∈ A satisfaz a ∈ A.
Propriedade 61.
A ⊂ B ⇒ A ⊂ B.
Demonstra¸c˜ao. Seja a ∈ A ent˜ao ∀r > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < r, mas
x ∈ A implica x ∈ B logo a ∈ B.
38. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 37
Corol´ario 14. Se vale A ⊂ B e B ´e fechado ent˜ao A ⊂ A ⊂ B pois A ⊂ B = B e da´ı
segue o resultado. Isso significa que A ´e o menor conjunto fechado que cont´em A.
Propriedade 62. Se Bn =
n∪
k=1
Ak ent˜ao Bn =
n∪
k=1
Ak, se B =
∞∪
k=1
Ak ent˜ao
∞∪
k=1
Ak ⊂ B
e nem sempre vale a igualdade.
Demonstra¸c˜ao. Vale que
∞∪
k=1
Ak ⊂ B e
n∪
k=1
Ak ⊂ Bn. Dado um ponto x ∈ Ak
existe uma sequˆencia de pontos (xn) em Ak com lim xn = x ela tem elementos em Bn (
ou B) da´ı seu limite pertence a Bn (ou B).
Mostramos agora que Bn ⊂
n∪
k=1
Ak, seja x ∈ Bn, ent˜ao existe um sequˆencia (xn) em Bn
com lim xn = x, existe algum Ak que deve conter uma infinidade de elementos de (xn) logo
tal Ak possui uma subsequˆencia de (xn), que converge, pois subsequˆencia de sequˆencia
convergente ´e convergente e portanto x ∈ Ak, como x tomado em Bn ´e arbitr´ario segue
a inclus˜ao Bn ⊂
n∪
k=1
Ak como j´a mostramos que Bn ⊃
n∪
k=1
Ak ent˜ao temos a igualdade de
conjuntos
Bn =
n∪
k=1
Ak.
Se tomamos Ak = {
1
k
} ent˜ao
∞∪
k=1
Ak =
∞∪
k=1
Ak
e B possui um elemento que n˜ao est´a em tal reuni˜ao, que ´e o elemento nulo 0, pois
1
n
→ 0.
Defini¸c˜ao 37 (Conjunto denso). A ⊂ M ´e denso em M quando A = M.
Defini¸c˜ao 38 (Conjunto fechado). F ⊂ M ´e fechado em M quando M F ´e aberto
em M.
Corol´ario 15. M ´e fechado em M, pois M M = ∅ que ´e aberto em M.
Corol´ario 16. ∅ ´e fechado em M, pois M ∅ = M ´e aberto em M.
Propriedade 63. Dado qualquer conjunto A, A ´e fechado em M.
39. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 38
Demonstra¸c˜ao. J´a mostramos que M A = int(M A) como o interior ´e aberto,
segue que A ´e fechado.
Corol´ario 17. Se A = A ent˜ao A ´e fechado.
Propriedade 64. Se A ´e fechado ent˜ao A = A.
Demonstra¸c˜ao. Se A ´e fechado, vale que M A ´e aberto, da´ı M A = int(M A)
mas vale que M A = int(M A) da´ı M A = M A o que implica A = A.
Corol´ario 18. A ´e fechado sse A = A.
Corol´ario 19 (Idempotˆencia). A ´e fechado, ent˜ao A = A.
Propriedade 65. B[a, r] ´e fechado.
Propriedade 66. ∂A ´e fechado.
Demonstra¸c˜ao. Vale a identidade M = intA ∪ ∂A ∪ intCA, logo M ∂A =
intA ∪ intCA que ´e aberto, logo ∂A ´e fechado.
Propriedade 67. Um subespa¸co A de Rn
´e sempre fechado (topologicamente).
Demonstra¸c˜ao. Se A ´e Rn
nada precisamos mostrar, tomaremos ent˜ao A ̸= Rn
n˜ao vazio.
Seja A o espa¸co, tome uma base dele (vk)m
1 , complete para uma base de Rn
, (vk)n
1 .
Seja y ∈ Ac
, vamos mostrar que y ´e ponto interior de Ac
. y se escreve como y =
n∑
k=1
ckvk,
tomamos sua proje¸c˜ao x sobre A, x =
m∑
k=1
ckvk, dado qualquer outro ponto x′
̸= x de A a
distˆancia dele at´e y ´e maior que a distˆancia de x at´e y pois tomando x′
=
m∑
k=1
c′
kvk
d(x′
, y) =
m∑
k=1
(c′
k − ck)2 +
n∑
k=m+1
c2
k >
n∑
k=m+1
c2
k = d(x, y)
pois nem todo c′
k = ck por tomarmos x ̸= x′
ent˜ao se tomamos Bε(y) com ε < d(x, y)
ent˜ao Bε(y) ⊂ Ac
por isso tal conjunto ´e aberto o que implica A ser fechado. (ajeitar
solu¸c˜ao)
40. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 39
1.6.2 A = ∂A ∪ int(A).
Propriedade 68. Vale que
A = ∂A ∪ int(A).
Demonstra¸c˜ao. Temos que M = intA ∪ ∂A ∪ int(M A) e M A = int(M A),
da´ı segue
A = ∂A ∪ int(A).
Propriedade 69. A ⊂ M finito ´e fechado.
Demonstra¸c˜ao. Seja A = {ak | k ∈ In}, sabemos que A ⊂ A, suponha que exista
a ∈ A tal que a /∈ A, ent˜ao tem que valer: ∀ε > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < ε, por´em
n˜ao existe x ∈ A tal que d(x, a) < min{d(a, ak) k ∈ In}, ent˜ao se a /∈ A tem-se que a /∈ A.
Da´ı A = A, logo todo conjunto finito ´e fechado.
Propriedade 70. Seja Ek, k ∈ I uma fam´ılia de conjuntos, ent˜ao vale
(
∪
k∈I
Ek)c
A
=
∩
k∈I
(Ec
k)
B
.
Demonstra¸c˜ao. A ⊂ B).
Seja x ∈ A ent˜ao
x /∈
∪
k∈I
Ek ⇔ ∀k x /∈ Ek ⇔ ∀k x ∈ Ec
k ⇔ x ∈ B.
B ⊂ A).
Se x ∈ B ent˜ao
∀ k, x ∈ Ec
k ⇔ ∀k x /∈ Ek ⇔ x /∈ A.
Propriedade 71. A uni˜ao finita de conjuntos fechados ´e um conjunto fechado.
Demonstra¸c˜ao. Seja
n∪
k=1
Fk uni˜ao de fechados, ent˜ao tomando seu complementar
temos n∩
k=1
(Fc
k )
que ´e aberto, portanto a uni˜ao ´e um fechado.
41. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 40
Propriedade 72. A intersec¸c˜ao arbitr´aria de conjuntos fechados ´e um conjunto fe-
chado.
Demonstra¸c˜ao. Seja
∩
k∈I
Fk interse¸c˜ao arbitr´aria de fechados, ent˜ao tomando seu
complementar
∪
k∈I
(Fk)c
´e uma uni˜ao arbitr´aria de abertos, logo ´e um aberto, por isso a interse¸c˜ao ´e fechada.
Exemplo 11. Um conjunto com apenas um ponto ´e fechado, pois M {y} = A ´e
aberto. Pois se for vazio j´a segue o resultado, se n˜ao existe x ∈ A, tomamos r tal que
d(x, y) > r logo a bola Br(x) ⊂ A. Logo a uni˜ao de um n´umero finito de elementos ´e
fechada.
Exemplo 12. Uni˜ao arbitr´aria de fechados pode n˜ao ser fechado, como ´e o caso de
∪
x∈(0,1)
{x} = (0, 1)
n˜ao ´e fechado em R.
Propriedade 73 (Conjuntos fechados e fun¸c˜ao cont´ınua). f : M → N ´e cont´ınua ⇔
f−1
(F) ´e um conjunto fechado para qualquer F ∈ N fechado.
1.6.3 Ponto de acumula¸c˜ao
Defini¸c˜ao 39 (Ponto de acumula¸c˜ao). Dado um conjunto A ⊂ M, um ponto a ∈ M
´e dito ponto de acumula¸c˜ao de A
∀r > 0, B(a, r) ∩ (A {a}) ̸= ∅.
Pontos de acumula¸c˜ao tamb´em s˜ao chamados de pontos limite. Pontos que n˜ao s˜ao
de acumula¸c˜ao s˜ao pontos isolados.
Defini¸c˜ao 40 (Conjunto perfeito). Um conjunto ´e dito perfeito se ´e fechado e sem
pontos isolados.
42. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 41
Propriedade 74. Seja P ⊂ Rn
um conjunto perfeito, ent˜ao P ´e n˜ao enumer´avel.
Demonstra¸c˜ao. Suponho por absurdo que P seja enumer´avel. Seja (xk) uma
enumera¸c˜ao dos elementos de P. Seja V1 uma bola tal que V1 ∩ P ̸= ∅, constru´ımos uma
sequˆencia de bolas (Vk) tais que Vk ∩ P ̸= ∅,
1. Vk+1 ⊂ Vk
2. xn /∈ Vn+1
Seja Kn = Vn ∩ P, Kn ´e compacto por ser fechado e limitado, Kn ´e n˜ao vazio, Kn+1 ⊂
Kn pois
Vn+1 ⊂ Vn ⊂ Vn
e
∞∩
k=1
Kk = K compacto, K ̸= ∅, pois os Kn satisfazem propriedade da interse¸c˜ao finita,
temos que xn /∈ Kn+1 logo
∞∩
k=1
Kk
n˜ao possui pontos de P, o que ´e absurdo, portanto P n˜ao pode ser enumer´avel.
Propriedade 75. Seja x ∈ M um ponto limite de E ⊂ M, ent˜ao toda vizinhan¸ca
aberta de x possui infinitos pontos de E.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que Br(x){x} tenha uma quantidade finita de pontos
de E, ent˜ao existe um deles z cuja distˆancia d(x, z) ´e m´ınima, definindo s =
d(z, x)
2
> 0
temos um absurdo pois x ´e ponto limite e a bola
Bs(x)
deve possui ponto de E diferente de x, absurdo.
Corol´ario 20. Conjuntos finitos n˜ao possuem ponto limite. Pois conjunto que pos-
suem pontos limite s˜ao infinitos.
Defini¸c˜ao 41 (Conjunto derivado). O conjunto dos pontos limite de E ⊂ M ´e
chamado de conjunto derivado e denotado por E′
.
Propriedade 76. E′
´e fechado.
43. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 42
Demonstra¸c˜ao. Seja (xn) em E′
com lim xn = x. Vamos mostrar que x ∈ E′
.
Suponha que x /∈ E′
ent˜ao x ´e ponto isolado de E, existindo r > 0 tal que Br(x)∩E = {x}.
Como lim xn = x existe xn ∈ E′
tal que d(xn, x) <
r
2
e como xn ∈ E′
existe y ∈ E tal que
d(y, xn) <
r
2
, y ̸= x, por desigualdade triangular temos que
d(y, x) ≤ d(y, xn) + d(xn, x) <
r
2
+
r
2
= r
logo temos y ̸= x em Br(x) ∩ E o que ´e absurdo. Portanto x ∈ E′
, o conjunto ´e fechado.
Propriedade 77. F ´e fechado ⇔ F = F ∪ F′
.
Demonstra¸c˜ao. F ´e fechado ⇔ cont´em todos os seus pontos aderentes, logo deve
conter tamb´em seus pontos de acumula¸c˜ao.
Propriedade 78. Vale que E ´e E tem os mesmos pontos limite, isto ´e ,E′
= (E)′
.
Demonstra¸c˜ao. Temos que E′
⊂ E
′
pois E ⊂ E logo todo ponto limite de E
tamb´em ´e de E. Mostramos agora a outra inclus˜ao.
Seja x ∈ E
′
vamos mostrar que x ∈ E′
. Existe (xn) em E {x} tal que lim xn = x,
como xn ∈ E {x} existe yn ∈ E com d(xn, yn) <
ε
2
e d(xn, y) < d(xn, x) (logo yn ̸= x),
logo para n grande podemos tomar d(xn, x) <
ε
2
e da´ı
d(yn, x) ≤ d(xn, yn) + d(xn, x) <
ε
2
+
ε
2
= ε
lim yn = x e yn ∈ E {x}, portanto x ´e ponto de E′
.
Exemplo 13. N˜ao ´e verdade que E e E′
tem os mesmos pontos limite, isto ´e,
n˜ao vale sempre que E′
= (E′
)′
. Seja por exemplo E = {
1
n
, n ∈ N}, temos E′
= {0} e
(E′
)′
= ∅.
Exemplo 14. Construa um conjunto compacto cujo conjunto de pontos limite seja
enumer´avel. Podemos tomar trivialmente o conjunto {1}, que ´e compacto por ser limitado
e fechado, que n˜ao possui ponto limite, logo seu conjunto de pontos limite ´e o vazio, que ´e
enumer´avel. Para um exemplo n˜ao trivial podemos considerar {
1
n
n ∈ N}∪{0} o conjunto
´e fechado e limitado, logo ´e compacto (em R essa ´e uma caracteriza¸c˜ao de compacto), seu
conjunto de pontos limite ´e {0} que ´e enumer´avel .
44. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 43
Exemplo 15. Construa um conjunto de R com exatamente 3 pontos limite. O
conjunto {
1
n + 2
,
1
n + 2
+ 1,
1
n + 2
+ 2, n ∈ N} possui trˆes pontos de acumula¸c˜ao que s˜ao
os n´umeros 1, 2 e 3. Os elementos do conjunto s˜ao pontos isolados.
Propriedade 79. Se A ´e aberto em Rn
ent˜ao A ⊂ A′
.
Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ A, vamos mostrar que x ∈ A′
. Como x ∈ A e A ´e
aberto, temos Br(x) ⊂ A para algum r > 0 real, Br(x) possui infinitos pontos. Existe
n0 ∈ N tal que para n > n0 temos B1
n
(x) ⊂ Br(x). Podemos construir uma sequˆencia
(yk) de pontos nas bolas B1
n
(x) com yk ̸= x ∀k ∈ N, vale que lim yn = x logo x ∈ A′
.
Exemplo 16. Caso A seja fechado podemos n˜ao ter A ⊂ A′
, como ´e o caso de
A = {x} ⊂ Rn
. Pois A′
= ∅ e n˜ao vale {x} ⊂ ∅.
Exemplo 17. Abertos e fechados s˜ao relativos ao espa¸co em que est˜ao contidos.
Por exemplo (1, 2) ´e aberto em R, por´em n˜ao ´e aberto em R2
. (0, 1] ´e fechado em (0, ∞).
[0, 1) ´e aberto em [0, ∞).
Propriedade 80. Seja X ⊂ M . E ⊂ X ´e aberto em X ⇔ ∃G ⊂ M aberto tal que
E = X ∩ G.
Demonstra¸c˜ao.
⇒). Se E ⊂ X for aberto em X, ent˜ao faz ∈ E, existe rz tal que
Bx
rz
(z) ⊂ E.
Definimos G =
∪
z∈E
Br(z), G ´e aberto em M, por outro lado
E =
∪
z∈E
Bx
r (z) =
∪
z∈E
(Br(z) ∩ X) = X ∩
∪
z∈E
Br(z) = X ∩ G.
⇐).
Se E = G ∩ X , se z ∈ E ent˜ao z ∈ G por isso existe r > 0 tal que Br(z) ⊂ G, da´ı
Br(z) ∩ X ⊂ G ∩ X e Bx
r (z) ⊂ E, logo E ´e aberto.
45. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 44
1.7 Espa¸cos topol´ogicos
Defini¸c˜ao 42 (Topologia). Uma topologia num conjunto X ´e uma cole¸c˜ao P de
partes de X chamados de abertos da topologia que satisfazem as seguintes propriedades
X ∅ e X pertencem a P.
X Se (Ak ∈ P)n
1 ent˜ao
n∩
k=1
Ak ∈ P.
X Dada uma fam´ılia arbitr´aria de conjuntos Ak ∈ P para k ∈ L ent˜ao
∪
k∈L
Ak ∈ P.
Defini¸c˜ao 43 (Espa¸co topol´ogico). Um espa¸co topol´ogico ´e um par (X, P) onde
X ´e um conjunto e P ´e uma topologia de X. Quando fica subentendida a topologia P,
podemos escrever apenas X para simbolizar o espa¸co topol´ogico.
Defini¸c˜ao 44 (Espa¸co de Hausdorff). Um espa¸co topol´ogico X ´e chamado de espa¸co
de Hausdorff quando para cada par x e y distintos em X existem abertos Ux e Uy tais que
x ∈ Ux , y ∈ Uy e Ux ∩ Uy = ∅.
Defini¸c˜ao 45 (Topologia indiscreta). Dado um conjunto X a topologia {∅, X} = P ´e
chamada de topologia indiscreta. Tamb´em chamada de topologia ca´otica ou antidiscreta.
Defini¸c˜ao 46 (Topologia discreta). Dado um conjunto X a topologia P(X) = P do
conjunto das partes de X ´e chamada de topologia discreta.
Defini¸c˜ao 47 (Espa¸co topol´ogico metriz´avel). Um espa¸co topol´ogico P ´e metriz´avel,
se ´e poss´ıvel definir uma m´etrica em P, que gera a mesma topologia.
Propriedade 81. A topologia indiscreta n˜ao ´e metriz´avel, por exemplo considerando
X = {1, · · · , n}. Dever´ıamos ter que X {1} fosse aberto, por´em n˜ao ´e na topologia.
Demonstra¸c˜ao.
Exemplo 18 (Topologia discreta). Sendo X qualquer podemos definir P(x) = P,
chamada de topologia indiscreta, todos subconjunto ´e aberto. Caso X = {1, · · · , n}, por
exemplo, com a m´etrica zero-um todo subconjunto ´e aberto, ent˜ao ´e compat´ıvel com a
topologia, e a topologia ´e metriz´avel.
46. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 45
1.8 Conjuntos conexos
Defini¸c˜ao 48 (Conjuntos separados). Dois conjuntos A e B s˜ao ditos separados num
espa¸co m´etrico M, se
A ∩ B = ∅ = B ∩ A.
Corol´ario 21. Conjuntos separados s˜ao disjuntos, pois B ⊂ B e o mesmo com A
logo A ∩ B = ∅. Por´em a rec´ıproca n˜ao vale, por exemplo Q e R Q s˜ao disjuntos e n˜ao
s˜ao separados assim como [0, 1] e (1, 2). Ent˜ao temos uma condi¸c˜ao necess´aria por´em n˜ao
suficiente.
Exemplo 19. (0, 1) e (1, 2) s˜ao separados .
Propriedade 82. Dois conjuntos fechados disjuntos s˜ao separados.
Demonstra¸c˜ao. Vale A ∩ B = ∅ e como s˜ao fechados A ∩ B = ∅ , A ∩ B = ∅.
Propriedade 83. Dois conjuntos abertos disjuntos s˜ao separados.
Demonstra¸c˜ao. Suponha sem perda de generalidade que exista a ∈ A∩B, ent˜ao
a ∈ B, por´em a /∈ A, pois A e B s˜ao disjuntos. Como B ´e aberto existe r > 0 tal que
Br(x) ⊂ B. Como a ∈ A existe (xn) em A tal que lim xn = a, da´ı para n > n0 temos
d(xn, a) < r e isso implica xn ∈ Br(x) ⊂ B, da´ı xn ∈ A e B o que ´e absurdo pois s˜ao
disjuntos. Ent˜ao A ∩ B = ∅ e o mesmo para A ∩ B.
Propriedade 84. Seja f : M → N uma fun¸c˜ao cont´ınua e A, B separados abertos
na imagem de f ent˜ao f−1
(A) = A0 e f−1
(B) = B0 s˜ao separados.
Demonstra¸c˜ao. A0 e B0 s˜ao abertos, pois f ´e cont´ınua e s˜ao disjuntos, pois se
x ∈ A0 ∩ B0 ent˜ao f(x) ∈ A ∩ B = ∅ o que ´e absurdo, ent˜ao os conjuntos s˜ao separados,
pois abertos disjuntos
Defini¸c˜ao 49 (Cis˜ao de um espa¸co m´etrico). Uma cis˜ao de M ´e a decomposi¸c˜ao
M = A ∪ B
onde A ∩ B = ∅ e A e B s˜ao conjuntos abertos.
47. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 46
Propriedade 85. A e B s˜ao abertos e fechados em M.
Demonstra¸c˜ao. Vale que M A = B como B ´e aberto, segue que A ´e fechado,
da mesma maneira M B = A da´ı B ´e fechado pois A ´e aberto.
Defini¸c˜ao 50 (Cis˜ao trivial). Cis˜ao trivial de M ´e a cis˜ao M = A ∩ B onde A ou B
´e o conjunto vazio. Logo o outro conjunto deve ser o pr´oprio espa¸co M.
Corol´ario 22. Todo espa¸co m´etrico admite a cis˜ao trivial.
Defini¸c˜ao 51 (Espa¸cos m´etricos conexos). Um espa¸co M ´e dito conexo quando ele
admite apenas a cis˜ao trivial.
Defini¸c˜ao 52 (Espa¸cos m´etricos desconexos). Um espa¸co M ´e dito desconexo quando
ele admite pelo menos uma outra cis˜ao al´em da trivial.
Propriedade 86. Se M for um espa¸co m´etrico conexo, com pelo menos dois pontos
ent˜ao M ´e n˜ao enumer´avel.
Demonstra¸c˜ao. Sejam x, y ∈ M e r = d(x, y).
Tome 0 < r′
< r. Se n˜ao existir z ∈ M tal que d(z, x) = r ent˜ao A = Br′ (x) e
B = M Br′ (x) s˜ao abertos n˜ao-vazios, separados e A ∪ B = M. A e B s˜ao abertos e
fechados ent˜ao A ∩ B = A ∩ B = A ∩ B = ∅ e da´ı temos cis˜ao n˜ao trivial para o espa¸co.
Por isso existe z tal que d(x, z) = r. podemos repetir o argumento para todo t em (0, r),
disso conclu´ımos que M ´e n˜ao enumer´avel, pois possui um subconjunto em bije¸c˜ao com
um conjunto n˜ao enumer´avel.
Corol´ario 23. Todo conjunto unit´ario A = {a} ´e conexo, pois podemos escrever
apenas A = A ∪ ∅.
Exemplo 20.
Propriedade 87. Todo espa¸co M n˜ao unit´ario que possui pelo menos um ponto
isolado ´e desconexo.
48. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 47
Demonstra¸c˜ao. Dado um ponto isolado a do espa¸co M existe r > 0 tal que
B(a, r) = {a}, temos nesse caso que B(a, r) ´e aberto e fechado, da´ı vale que M B(a, r)
´e aberto e n˜ao vazio , temos ent˜ao a cis˜ao n˜ao trivial
M = (M B(a, r)) ∪ B(a, r).
Propriedade 88. Se M ´e conexo e A ⊂ M tem fronteira vazia ent˜ao A = M ou
A = ∅.
Demonstra¸c˜ao. Valem as identidades
M = intA ∪ ∂A ∪ int(M A)
A = ∂A ∪ int(A)
como ∂A ´e vazia, segue que M = intA ∪ int(M A), como a uni˜ao ´e disjunta e M ´e
conexo, temos ent˜ao uma parti¸c˜ao que dever´a ser a trivial, da´ı intA ´e vazio ou int(M A)
´e vazio. Se a primeira ocorre implica que A = int(A) ´e vazio, logo A ´e vazio, ou ent˜ao
pelo mesmo argumento M A ´e vazio, que implica M = A.
Propriedade 89. f : M → N ´e cont´ınua e sobrejetiva, ent˜ao, M conexo implica N
conexo.
Demonstra¸c˜ao. Suponha uma cis˜ao para N = A∪B, ent˜ao M = f−1
(A)∪f−1
(B),
como A e B s˜ao abertos f−1
(A) e f−1
(B) s˜ao abertos, pois f ´e cont´ınua, logo temos uma
cis˜ao de M, como M ´e conexo ele admite apenas a cis˜ao trivial, da´ı f−1
(A) ou f−1
(B) s˜ao
vazios, o que implica A ou B vazios, logo N ´e conexo, por admitir apenas a cis˜ao trivial.
Corol´ario 24. f : M → N ´e cont´ınua e A conexo em M ent˜ao f(A) ´e conexo em N.
Corol´ario 25. f : M → N homeomorfismo ent˜ao M conexo sse N conexo.
Corol´ario 26. (a, b) ´e conexo pois ´e homeomorfo a R.
Propriedade 90. O fecho de um conjunto conexo ´e um conjunto conexo, isto ´e, se
A ´e conexo em M ent˜ao A ´e conexo em M.
49. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 48
Demonstra¸c˜ao. Seja A ⊂ M conexo tal que A = M, vamos provar que M ´e
conexo. Escrevemos M = B ∪ C, da´ı A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A) (as partes s˜ao conjuntos
abertos e disjuntos), como A ´e conexo, ent˜ao (B ∩ A) = ∅ ou (C ∩ A) = ∅, mas como A
´e denso em M, segue C = ∅ ou B = ∅, logo M admite apenas a cis˜ao trivial, logo M ´e
conexo. A ´e denso em A, sendo A conexo, implica A conexo.
Corol´ario 27. [a, b], [a, ∞) e (−∞, a] s˜ao conexos em R.
Corol´ario 28. Se A ´e conexo e denso em M ent˜ao M ´e conexo.
Propriedade 91. Sejam A, B tais que A ⊂ B ⊂ A. Se A ´e conexo ent˜ao B tamb´em
´e conexo.
Demonstra¸c˜ao. Seja V o fecho de A em B, da´ı V = A ∩ B = B, isto ´e , A ´e
denso em B. V ´e conexo e portanto B ´e conexo.
1.8.1 A reta ´e um espa¸co conexo
Propriedade 92. A reta ´e um espa¸co conexo.
Demonstra¸c˜ao. Suponha uma cis˜ao n˜ao trivial R = A∪B. Sejam a ∈ A e b ∈ B,
tais que a < b , definimos o conjunto F = {x ∈ A |x < b}, tal conjunto ´e n˜ao vazio, pois
a ∈ A, tamb´em ´e limitado superiormente pois b ´e uma cota superior, ent˜ao ele possui um
supremo, que chamaremos de c. Pela defini¸c˜ao de sup temos que para todo ε > 0 existe
x ∈ F (logo x ∈ A) tal que c − ε < x ≤ c, da´ı c ∈ A = A, pois A ´e fechado, n˜ao podemos
ter c = b pois os conjuntos s˜ao disjuntos, logo temos c < b, ent˜ao c ∈ F, mas como A ´e
aberto, segue que existe ε > 0, tal que (c − ε, c + ε) ⊂ A e c + ε < b, da´ı os pontos de
(c, c + ε) pertencem a F o que contradiz o fato de c ser o supremo.
1.8.2 Produto cartesiano de conexos
Propriedade 93. O produto cartesiano
M =
n∏
k=1
Mk
´e conexo ⇔ cada Mk ´e conexo.
50. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 49
Demonstra¸c˜ao.
⇒).
A proje¸c˜ao Pk : M → Mk ´e continua e sobrejetiva, ent˜ao M conexo implica Mk conexo.
Corol´ario 29. Rn
´e conexo, pois R ´e conexo.
1.8.3 Conexidade por caminhos
Defini¸c˜ao 53 (Caminho em espa¸co m´etrico). Um caminho em M, espa¸co m´etrico, ´e
uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [0, 1] → M.
Defini¸c˜ao 54 (Extremos do caminho). Os pontos f(0) = a e f(1) = b em M s˜ao
ditos extremos do caminho. a ´e chamado de ponto inicial ou origem e b o ponto final ou
fim do caminho f. Dizemos nesse caso que o caminho a liga a e b.
Defini¸c˜ao 55 (Caminho fechado). f ´e um caminho fechado quando f(0) = f(1).
Defini¸c˜ao 56 (Conexidade por caminhos). M ´e conexo por caminhos quando quais-
quer dois pontos de M podem ser ligados por um caminho contido em M.
Propriedade 94. Se M ´e conexo por caminhos ent˜ao ´e conexo.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que M n˜ao fosse conexo, ent˜ao M = A ∪ B. Dados
a ∈ A, b ∈ B existe caminho f : [0, 1] → M tal que f(0) = a, f(1) = b ent˜ao
f−1
(M) = f−1
(A) ∪ f−1
(B)
seria uma cis˜ao de [0, 1] o que ´e absurdo.
Propriedade 95. Seja A ⊂ E. E conexo, A n˜ao vazio, aberto e fechado em E, ent˜ao
A = E.
Demonstra¸c˜ao. Temos que Ac
´e aberto e fechado em E e
A ∪ Ac
= E
´e uni˜ao disjunta, logo cis˜ao do conjunto, portanto Ac
= ∅ pois A n˜ao pode ser vazio, da´ı
A = E.
51. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 50
Propriedade 96. Seja (Xk)k∈I fam´ılia arbitr´aria de conexos em M. Se a ∈ xk ∀k
ent˜ao X =
∪
k∈I
Xk ´e conexo.
Demonstra¸c˜ao. Seja X = A ∪ B uma cis˜ao, a ∈ A, A ∩ Xk e B ∩ Xk s˜ao abertos
em Xk, logo
Xk = (Xk ∩ A) ∪ (Xk ∩ B)
´e uma cis˜ao de Xk. Como Xk ´e conexo e a ∈ A ∩ Xk ent˜ao Xk ∩ B = ∅ ∀k
B = (
∪
xk) ∩ B =
∪
xk ∩ B) = ∅
X ´e conexo.
1.9 M´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas
Defini¸c˜ao 57 (Ponto fixo). Um ponto fixo de f : M → N, ´e um ponto x ∈ M tal
que f(x) = x.
Defini¸c˜ao 58 (Contra¸c˜ao). Uma fun¸c˜ao f : M → N ´e uma contra¸c˜ao quando existe
c, tal que 0 ≤ c < 1, tal que vale
d(f(y), f(x)) ≤ cd(x, y) ∀x, y ∈ M.
Corol´ario 30. Toda contra¸c˜ao ´e uniformemente cont´ınua.
Propriedade 97. Se uma contra¸c˜ao f possui ponto fixo, ent˜ao ele ´e ´unico.
Demonstra¸c˜ao. f n˜ao admite dois pontos fixos distintos, pois se a = f(a) ,
b = f(b) e vale
d(f(y), f(x)) ≤ cd(x, y) ∀x, y ∈ M
com 0 ≤ c < 1, ent˜ao
d(a, b) ≤ d(f(a), f(b)) ≤ cd(a, b)
da´ı d(a, b) ≤ cd(a, b), d(a, b)(1 − c) ≤ 0, como 1 − c > 0, conclu´ımos que d(a, b) = 0, logo
a = b.
52. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 51
1.10 Sequˆencias em espa¸cos m´etricos
Denotaremos sempre M como espa¸co m´etrico.
Defini¸c˜ao 59 (Sequˆencia). Dado um conjunto M , uma sequˆencia em M ´e uma
fun¸c˜ao de N em M, xn : N → M. Que ser´a denotada pelos mesmo s´ımbolos da sequˆencia
em R.
Uma sequˆencia em Rn
´e definida dando-se n sequˆencias de n´umeros reais.
Defini¸c˜ao 60 (Subsequˆencia). Uma subsequˆencia, ´e a restri¸c˜ao de uma sequˆencia a
um subconjunto infinito de N.
Defini¸c˜ao 61 (Sequˆencia Limitada). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada quando existe
v > 0 tal que
d(xn, xm) ≤ v
para todo n, m ∈ N.
Em Rn
uma sequˆencia ´e limitada se existe uma bola que cont´em todos os termos da
sequˆencia, que ´e equivalente a dizer que |xk| < c ∀k ∈ N.
Defini¸c˜ao 62 (Sequˆencia constante). Dado um espa¸co conjunto n˜ao vazio M e
a ∈ M, podemos definir a sequˆencia constante de termo xn = a, para todo n natural.
Exemplo 21. A sequˆencia constante ´e limitada, pois d(xn, xm) = d(a, a) = 0 ≤ v.
Propriedade 98. Toda subsequˆencia de uma sequˆencia limitada ´e limitada.
Defini¸c˜ao 63 (Limite de sequˆencia). Dado a ∈ M dizemos que lim xn = a quando
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε.
Podemos no caso usar a mesma nota¸c˜ao de limites de sequˆencias de n´umeros reais.
Se tal elemento a existe em M, diz-se que a sequˆencia ´e convergente, se n˜ao existe a
sequˆencia ´e dita divergente.
Exemplo 22 (Limite de sequˆencia nos complexos).
53. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 52
Corol´ario 31. Se lim xn = a ent˜ao ∀ε > 0, B(a, ε) cont´em todos xn , pois
∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε
da´ı xn ∈ B(a, ε).
Corol´ario 32. A sequˆencia constante de termo xn = a ´e convergente e tem-se lim xn =
a, pois d(xn, a) = d(a, a) = 0 < ε.
1.10.1 Sequˆencia eventualmente constante
Defini¸c˜ao 64 (Sequˆencia eventualmente constante). Uma sequˆencia (xn) ´e eventu-
almente constante quando existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica xn = xn0 .
Propriedade 99. Se a ´e ponto isolado e lim xn = a, ent˜ao (xn) ´e eventualmente
constante.
Demonstra¸c˜ao. Se a ´e ponto isolado ent˜ao existe ε > 0 tal que d(xn, a) <
ε implica xn = a, tomando tal ε na sequˆencia, implica que existe n∈N tal que n >
n0 d(xn, a) < ε) logo xn = a.
Exemplo 23. Se uma sequˆencia de n´umeros inteiros converge ent˜ao ela ´e constante
a partir de certo ponto, pois os inteiros s˜ao pontos isolados em R. Isso implica tamb´em
que se uma sequˆencia de inteiros converge, ela converge para um n´umero inteiro.
Corol´ario 33. Toda sequˆencia (xn) eventualmente constante ´e convergente, pois existe
n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn = a da´ı d(xn, a) = 0 < ε, da´ı lim xn = a.
Propriedade 100. Num espa¸co m´etrico M discreto uma sequˆencia ´e convergente sse
´e eventualmente constante.
Demonstra¸c˜ao. Dada uma sequˆencia convergente em M, ela deve convergir para
um ponto isolado, logo ´e eventualmente constante, agora dada uma sequˆencia eventual-
mente constante ela ´e convergente.
Propriedade 101. Se um espa¸co m´etrico possui pelo menos dois pontos a e b distintos,
ent˜ao existe nele sequˆencias divergentes.
54. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 53
Demonstra¸c˜ao. definimos xn = a se n par e xn = b se n ´e ´ımpar, se tal sequˆencia
fosse convergente em M ela iria convergir para a ou b, se ela convergisse para a, por
exemplo, ter´ıamos que ter que para n grande d(xn, a) < d(a, b) o que implicaria xn = a
para n grande, o que n˜ao ocorre, se fosse para b poder´ıamos usar o mesmo argumento.
1.10.2 Conjunto de n´umeros arbitrariamente grandes
Defini¸c˜ao 65 (Conjunto de n´umeros arbitrariamente grandes). Um conjunto A ⊂ N
´e dito ter n´umeros arbitrariamente grandes, quando para todo n0 natural, for poss´ıvel
encontrar n ∈ A tal que n > n0.
Defini¸c˜ao 66 (Conjunto de todos n´umeros arbitrariamente grandes). Um conjunto
A ⊂ N ´e dito ter todos n´umeros arbitrariamente grandes, quando existe n0 natural, tal
que n > n0 implica n ∈ A.
1.10.3 Unicidade de limite
Propriedade 102 (Unicidade de limite). O limite quando existe ´e ´unico.
Demonstra¸c˜ao. Sejam lim xn = a e lim xn = b, ent˜ao existe x ∈ N tal que n > x
implica d(xn, a) <
ε
2
e existe y ∈ N tal que n > y implica d(xn, b) <
ε
2
, somando ambas
e usando desigualdade triangular temos
d(a, b) ≤ d(xn, b) + d(xn, a) < ε
da´ı d(a, b) = 0, de onde segue a = b.
Propriedade 103. Se lim xn = a ent˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.
Corol´ario 34. Se lim xn = a ent˜ao ∀p ∈ N, lim xn+p = a.
Corol´ario 35. Se uma sequˆencia possui duas subsequˆencias que convergem para
limites distintos ent˜ao a sequˆencia ´e divergente.
Propriedade 104. Seja o conjunto M =
n∏
k=1
Mk, uma sequˆencia (xn) em M converge
sse as sequˆencias coordenadas convergem.
55. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 54
Propriedade 105. Se lim xn = x e lim yn = y ent˜ao lim d(xn, yn) = d(x, y).
Demonstra¸c˜ao. Valem as desigualdades
d(xn, yn) ≤ d(x, yn) + d(x, xn)
d(x, yn) ≤ d(y, yn) + d(x, y)
usando as duas desigualdades tem-se
d(xn, yn) ≤ d(x, xn) + d(y, yn) + d(x, y)
como xn → x e yn → y existe n0 tal que n > n0 implica d(x, xn) + d(y, yn) ≤ ε, logo
d(xn, yn) ≤ ε + d(x, y)
d(xn, yn) − d(x, y) ≤ ε
logo a sequˆencia converge.
Propriedade 106. Seja f : M → M uma isometria e x0 ∈ M, definindo uma
sequˆencia como x1 = f(x0), xn+1 = f(xn), ent˜ao se a sequˆencia (xn) converge vale f(x0) =
x0.
Demonstra¸c˜ao. Supondo lim xn = a. Vale
d(xk+1, xk+2) = d(f(xk), f(xk+1)) = d(xk, xk+1)
∀ k ∈ N , tomando f(k) = d(xk, xk+1), vale ent˜ao f(k + 1) = f(k)
∆f(k) = 0 ⇒
n−1∑
k=0
∆f(k) = f(n) − f(0) = 0 ⇒ f(n) = f(0)
logo
d(xn, xn+1) = d(x0, x1)
∀n ∈ N, pela continuidade da fun¸c˜ao distˆancia segue
lim d(xn, xn+1) = d(lim xn, lim xn+1) = d(a, a) = 0 = d(x0, x1)
da´ı segue que xn = x0 para todo n ∈ N, em particular x1 = f(x0) = x0.
Vamos provar por indu¸c˜ao que vale xn = x0 para todo n natural. Para n = 0 est´a
provado, suponha que vale xn = x0, vamos provar que xn+1 = x0, vale
d(xn, xn+1) = d(x0, x1) = 0
, logo xn = xn+1 = x0.
56. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 55
1.10.4 Sequˆencias e pseudo-m´etrica
Propriedade 107. Seja d uma pseudo-m´etrica em M . d ´e uma m´etrica em M sse
∀(xn)convergente com d possui um ´unico limite.
Demonstra¸c˜ao. Se d ´e m´etrica temos a unicidade de limite como j´a foi demons-
trado. Temos que provar agora que se ∀(xn) convergente possui limite ´unico ent˜ao d ´e
m´etrica. Usaremos a contrapositiva, que ´e d n˜ao ´e m´etrica implica que existe (xn) con-
vergente que n˜ao possui limite ´unico. Se d ´e pseudo-m´etrica n˜ao sendo m´etrica, existem
a e b ∈ M, a ̸= b tais que d(a, b) = 0 , se n˜ao, ela seria m´etrica. Definimos a sequˆencia
(xn) com xn = a com n par e xn = b se n ´ımpar, vale d(xn, a) = 0 e d(xn, b) = 0, pois
para qualquer valor xn = a ou xn = b as distˆancias s˜ao nulas. Logo vale lim xn = a e
lim xn = b, pois para qualquer ε > 0 e n ∈ N tem-se d(xn, a) = 0 < ε e d(xn, b) = 0 < ε.
1.10.5 Sequˆencias de Cauchy em espa¸cos m´etricos
Defini¸c˜ao 67 (Sequˆencia de Cauchy). Uma sequˆencia (xn) num espa¸co m´etrico M
´e uma sequˆencia da Cauchy quando
∀ε > 0, ∃n0 > 0 | m, n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ε.
Propriedade 108 (Toda sequˆencia convergente ´e de Cauchy). Toda sequˆencia con-
vergente ´e de Cauchy.
Demonstra¸c˜ao. Como a sequˆencia (xn) converge, seja a o seu limite, ent˜ao
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N|n, m > n0 ⇒ d(xm, a) <
ε
2
, d(xn, a) <
ε
2
por desigualdade triangular segue que
d(xm, xn) ≤ d(xm, a) + d(xn, a) <
ε
2
+
ε
2
= ε
logo (xn) ´e de Cauchy.
Exemplo 24. Nem toda sequˆencia de Cauchy ´e convergente.
Propriedade 109. Toda sequˆencia de Cauchy ´e limitada.
57. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 56
Demonstra¸c˜ao. Seja (xn) uma sequˆencia de Cauchy, ent˜ao dado ε = 1, existe
n0 ∈ N tal que m, n > n0 implica d(xm, xn) < 1, da´ı o conjunto {xn|n > n0} ´e limitado
e como o conjunto {xn|n ≤ n0} ´e limitado, segue que sua uni˜ao, que ´e o conjunto dos
termos da sequˆencia ´e um conjunto limitado.
Corol´ario 36. Se a sequˆencia n˜ao ´e limitada, ent˜ao n˜ao ´e de Cauchy.
Exemplo 25. Nem toda sequˆencia limitada ´e de Cauchy. Por exemplo a sequˆencia
de termos dados por xn = 0 se n par e xn = 2 se n ´ımpar na reta, ´e uma sequˆencia
limitada, por´em vale que d(xn, xn+1) = |xn+1 − xn| = 2. Ent˜ao ela n˜ao ´e uma sequˆencia
de Cauchy.
Propriedade 110. Se uma sequˆencia de Cauchy possui uma subsequˆencia conver-
gente, ent˜ao ela ´e convergente e converge para o mesmo limite da subsequˆencia.
Demonstra¸c˜ao.
Sejam (xn) uma sequˆencia de Cauchy em (xnk
)k uma subsequˆencia com lim
k
xnk
= a.
Vale lim xn = a pois
∀ε > 0∃p ∈ N | nk > p ⇒ d(xnk
, a) <
ε
2
por (xn) ser de Cauchy ∃q ∈ N | m, n > q ⇒ d(xm, xn) <
ε
2
tomando n0 = max p, q vale que ∀n > n0 existe nk > n0 d(xnk
, a) <
ε
2
e d(xn, xnk
) <
ε
2
e por desigualdade triangular
d(xn, a) ≤ d(xn, xnk
) + d(xn, a) <
ε
2
+
ε
2
= ε
logo lim xn = a.
Propriedade 111. Toda fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua, transforma sequˆencias de
Cauchy em sequˆencias de Cauchy.
Demonstra¸c˜ao. Como a fun¸c˜ao ´e uniformemente cont´ınua temos que
∀ε > 0, ∃δ > 0 | d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε
e pela sequˆencia ser de Cauchy, tem-se que existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica
d(xn, xm) < δ, da´ı d(f(xn), f(yn)) < ε, logo ela transforma sequˆencias de Cauchy em
sequˆencias de De Cauchy.
58. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 57
Propriedade 112. Sejam (xn), (yn) sequˆencias de Cauchy em um espa¸co m´etrico
ent˜ao zn = d(xn, yn) ´e de Cauchy, logo convergente.
Demonstra¸c˜ao. Dado
ε
2
> 0 existe n0 tal que m ≥ n ≥ n0 temos d(xm, xn) <
ε
2
,
existe n1 ∈ N tal que m ≥ n > n1 temos d(yn, ym) <
ε
2
, tomando n2 > n0 + n1 temos as
duas desigualdades.
Temos que
|d(xm, ym) − d(xn, yn)| ≤ d(xm, xn) + d(ym, yn) ≤
ε
2
+
ε
2
= ε
logo (zn) ´e de cauchy.
1.11 Sequˆencias e propriedades topol´ogicas de espa¸cos
m´etricos
1.11.1 Sequˆencias e continuidade
Propriedade 113 (Sequˆencias e continuidade). f : M → N ´e cont´ınua em a sse ∀(xn)
com lim xn = a implique lim f(xn) = f(a), isto ´e, fun¸c˜oes cont´ınuas comutam limite de
sequˆencias
lim f(xn) = f(lim xn).
Propriedade 114 (Sequˆencias e fecho). Seja A ⊂ M. a ∈ A sse existe (xn) ∈ A tal
que lim xn = a.
Propriedade 115 (Sequˆencias e conjuntos densos). A ⊂ M ´e denso M, sse todo
ponto ∀a ∈ M ∃(xn) em A tal que lim xn = a.
Propriedade 116 (Sequˆencias e pontos de acumula¸c˜ao). a ´e ponto de acumula¸c˜ao
de A sse existe (xn) em A de pontos distintos, tais que lim xn = a.
Defini¸c˜ao 68. Dizemos que (xn) converge subsequentemente para x se possui sub-
sequˆencia (xnk
) que converge para x.
59. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 58
Propriedade 117. Seja E o conjunto dos limites subsequenciais ent˜ao E ´e fechado.
Demonstra¸c˜ao. Seja y ponto limite de E, escolhemos n1 tal que xn1 ̸= y, se
esse ponto n˜ao existir, E consiste de apenas um ponto e o conjunto ´e fechado. Seja
delta = d(y, xn1 ). Suponha que j´a escolhemos n1, n2, · · · , nk−1 como y ´e ponto limite de
E, existe z ∈ E tal que
d(z, y) <
δ
2k
,
como z ∈ E, existe nk tal que
d(nk, z) <
δ
2k
,
da´ı
d(y, xnk
) ≤ d(y, z) + d(z, xnk
) =
δ
2k−1
mas isso quer dizer que lim
k→∞
xnk
= y ⇒ y ∈ E.
1.11.2 Teorema do ponto fixo de Banach
⋆ Teorema 1 (Teorema do ponto fixo de Banach, sobre pontos fixos de contra¸c˜oes). Se
M ´e completo ent˜ao toda contra¸c˜ao f : M → M possui um ´unico ponto fixo a ∈ M.
Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que existe um ponto fixo, pois a unicidade segue
do fato de ser contra¸c˜ao . Tomamos x0 ∈ M e definimos x1 = f(x0), xn+1 = f(xn) ∀n ∈ N.
Suponha que lim xn = a, como f ´e cont´ınua temos
lim xn+1 = a = lim f(xn) = f(a)
da´ı f(a) = a, logo a ´e ponto fixo de f.
(xn) ´e de Cauchy, pois vale
d(xk+1, xk+2) = d(f(xk), f(xk+1)) ≤ c d(xk, xk+1)
g(k)
da´ı Qg(k) ≤ c aplicando
n−1∏
k=0
segue
g(n) ≤ cn
g(0); d(xn, xn+1) ≤ cn
d(x0, x1)
logo ( por uma desigualdade v´alida para m´etricas)
d(xn, xm) ≤
m−1∑
k=n
d(xk, xk+1) ≤
m−1∑
k=n
ck
d(x0, x1) ≤
cn
1 − c
d(x0, x1)
60. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 59
de lim cn
= 0 conclu´ımos que (xn) ´e de Cauchy, logo convergente.
A passagem
m−1∑
k=n
ck
≤
cn
1 − c
vale pois
m−1∑
k=n
ck
= cn
m−1−n∑
k=0
ck
≤ cn
∞∑
k=0
ck
=
cn
1 − c
.
Propriedade 118. Sejam M espa¸co m´etrico completo e T : M → M. Se existe
m ∈ N tal que Tm
´e uma contra¸c˜ao, ent˜ao T admite um ´unico ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Como Tm
: M → M ´e contra¸c˜ao e M ´e completo, ent˜ao Tm
possui um ´unico ponto fixo pelo teorema anterior, digamos a, Tm
(a) = a, vale tamb´em
que Tm
(Tm
(a)) = Tm
(a) = a e Tm
(Tm+1
(a)) = T(a), logo por propriedade de contra¸c˜ao
temos
d(a, T(a)) = d( Tm
(Tm
(a)), Tm
(Tm+1
(a)) ) ≤ c d( (Tm
(a), Tm+1
(a) ) = c d(a, T(a))
logo vale
d(a, T(a)) ≤ c d(a, T(a)) ⇒ d(a, T(a))
≥0
(1 − c)
>0
≤ 0
da´ı d(a, T(a)) = 0, logo a = T(a), assim T possui o mesmo ponto fixo de Tm
. Supondo
por absurdo que T possua 2 pontos fixos a ̸= b, ent˜ao Tm
(a) = a e Tm
(b) = b o que
implicaria que Tm
possui dois pontos fixos, o que ´e absurdo pois Tm
´e contra¸c˜ao .
Propriedade 119. Seja F : X → X cont´ınua, X completo, tal que Fm
´e uma
contra¸c˜ao para algum m ∈ N ent˜ao existe um ´unico p ∈ X ponto fixo de F, al´em disso
ele ´e atrator.
Demonstra¸c˜ao. Pelo resultado anterior j´a sabemos que F possui um ´unico ponto
fixo, por´em iremos dar outra demonstra¸c˜ao.
Como Fm
´e contra¸c˜ao ent˜ao ∃p ∈ X ponto fixo atrator, Dado n ∈ N existem kn e rn
com 0 ≤ rn < m tais que
n = mkn + rn
por divis˜ao euclidiana, como rn ´e limitada temos que se n → ∞ ent˜ao kn → ∞, temos
61. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 60
lim
kn→∞
(Fm
)k
(x) = p ∀x ∈ X
tem-se tamb´em que Frn
(x) ∈ X
lim
kn→∞
(Fm
)kn
(Frn
(x)) = p
pois todas subsequˆencias com 0 ≤ rn < m convergem para o mesmo ponto, disso segue
que
lim
n→∞
Fn
(x) = p
p ´e atrator para F, por outro lado
p = lim Fn
(F(x)) = lim F(Fn
(x)) = F(lim Fn
(x)) = F(p)
logo p ´e ponto fixo.
Defini¸c˜ao 69 (ε- ponto fixo.). x ´e ε-ponto fixo de f : X → X se
d(f(x), x) < ε.
Propriedade 120. Se f : X → X for cont´ınua, X compacto e f tem ε-ponto fixo
∀ε > 0 ent˜ao existe x ∈ X tal que
f(x) = x,
isto ´e, f possui ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Tome εk > 0 para cada εk existe xk com d(xk, f(xk)) < εk. Como
X ´e compacto, podemos supor que xk → x, pois (xk) possui subsequˆencia convergente
em X.
Dado ε > 0 temos que para k suficientemente grande vale que ambos os termos
d(x, xk), d(xk, f(xk)), d(f(xk), f(x))
podem ser tomados menores que
ε
3
, o primeiro pois xk → x o segundo pois f possui
ε-ponto fixo e o terceiro por continuidade de f, ent˜ao temos por desigualdade triangular
d(x, f(x)) ≤ d(x, xk) + d(xk, f(xk)) + d(f(xk), f(x)) <
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε
como ε ´e arbitr´ario ent˜ao d(x, f(x)) = 0 e da´ı x = f(x).
62. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 61
Propriedade 121. Seja S um conjunto e f : S → S tal que ∀ x0 ∈ S a sequˆencia
f(xn) = xn+1 tem um ponto fixo. Ent˜ao existe uma m´etrica para X tal que
1. X ´e compacto.
2. f ´e uma contra¸c˜ao .
Propriedade 122 (Perturba¸c˜ao da identidade). Seja f : U ⊂ Rn
→ Rn
uma con-
tra¸c˜ao, ent˜ao
ψ(x) = x + f(x)
´e um homeomorfismo de U em um aberto de Rn
.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro observamos que ψ ´e uniformemente cont´ınua, por ser
soma de fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas.
Dados a, b ∈ U vale que
||ψ(a) − ψ(b)|| = ||a − b + f(a) − f(b)|| ≥ ||a − b|| − ||f(a) − f(b)|| ≥ (1 − λ)||a − b|| ⇒
||ψ(a) − ψ(b)|| ≥ (1 − λ)||a − b||,
||a − b|| ≤
||ψ(a) − ψ(b)||
(1 − λ)
.
onde λ ´e a constante de continuidade uniforme de f. A desigualdade acima implica que
se ψ(a) = ψ(b) ent˜ao a = b, portanto ψ ´e injetora, sendo bijetora sobre sua imagem.
Agora iremos mostrar que a inversa ψ−1
´e uniformemente cont´ınua, na desigualdade
||a − b|| ≤
||ψ(a) − ψ(b)||
(1 − λ)
, tomamos a = ψ−1
(x), b = ψ−1
(y), ent˜ao
||ψ−1
(x) − ψ−1
(y)|| ≤
||x − y||
(1 − λ)
.
Agora queremos demonstrar que ψ(U) ´e um aberto de Rn
. Seja w ∈ ψ(U), queremos
mostrar que existe Bε(w) ⊂ ψ(U). Definimos Ew(x) = w − f(x). Temos que
Ew(x) = x ⇔ x = w − f(x) ⇔ x + f(x) = w ⇔ ψ(x) = w.
Seja δ > 0 tal que Bδ[z] ⊂ U, ent˜ao
63. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 62
||Ew(x)−z|| = ||w−f(x)−z|| ≤ ||w−f(z)−z||+||f(z)−f(x)|| = ||w−ψ(z)||+λ||z−x|| ≤
||w − ψ(z)||
<(1−λ)δ
+λδ = δ
se x ∈ Bδ[z] e ||w − ψ(z)|| ≤ (1 − λ)δ . Ent˜ao temos que ||Ew(x) − z|| ≤ δ. Ent˜ao temos
Ew : Bδ[z] → Bδ[z], mas
||Ew(x) − Ew(y)|| = ||f(y) − f(x)|| ≤ λ||x − y||
pelo teorema do ponto fixo de Banach (pode ser aplica, pois a bola fechada ´e completa)
Ew tem um ´unico ponto fixo, existe um ´unico x ∈ Bλ[z] tal que Ew(x) = x, portanto
existe um ´unico x ∈ Bδ[z] tal que ψ(x) = w. Como o argumento vale para qualquer
w ∈ B(1−δ)(ψ(z)) = B ent˜ao B ⊂ ψ(U) e ψ(U) ´e aberto.
1.12 Espa¸cos m´etricos completos
Defini¸c˜ao 70 (Espa¸co m´etrico completo). Um espa¸co m´etrico M ´e completo quando
toda sequˆencia de Cauchy em M ´e convergente.
Exemplo 26. O espa¸co dos n´umeros racionais com a m´etrica usual, n˜ao ´e um
espa¸co completo, pois dentro dos racionais existe sequˆencias que convergem para n´umero
irracionais.
Exemplo 27. Nem todo espa¸co m´etrico discreto ´e completo, pois por exemplo o
conjunto A = {
1
n
|n ∈ N}, temos a sequˆencia de termo xn =
1
n
que ´e uma sequˆencia de
Cauchy em A mas seu limite, zero, ´e um valor n˜ao contido em A.
Defini¸c˜ao 71 (M´etrica uniformemente discreta). Uma m´etrica d num espa¸co m´etrico
M ´e dita uniformemente discreta quando, existir ε > 0 tal que se x, y ∈ M e d(x, y) < ε
ent˜ao x = y.
Corol´ario 37. Se d no espa¸co m´etrico (M, d) ´e uniformemente discreta, ent˜ao toda
sequˆencia de Cauchy em M ´e convergente, pois d(xm, xn) < ε implica xm = xn logo todos
64. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 63
os termos a partir de certo´ındice s˜ao constantes, logo a sequˆencia ´e convergente e o espa¸co
´e completo.
Corol´ario 38. Sejam M e N espa¸cos m´etricos e f um Homeomorfismo uniforme,
ent˜ao M ´e completo sse N ´e completo. Pois um Homeomorfismo uniforme ´e uma fun¸c˜ao
bijetora, tal que f e sua inversa s˜ao uniformemente cont´ınuas, ent˜ao pela proposi¸c˜ao j´a
demonstrada, se por exemplo M ´e completo a fun¸c˜ao f leva sequˆencias de Cauchy em M
em sequˆencias de Cauchy em N.
Propriedade 123. A reta ´e um espa¸co m´etrico completo.
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 124. Um subespa¸co fechado F de um espa¸co m´etrico completo M ´e
completo.
Demonstra¸c˜ao. Dada uma sequˆencia de Cauchy (xn) em F, existe lim xn = a ∈
M, como F ´e fechado em M, segue que a ∈ F. Logo F ´e completo.
Propriedade 125. Um subespa¸co completo de qualquer espa¸co m´etrico ´e fechado.
Demonstra¸c˜ao. Sejam A o subespa¸co e M o espa¸co m´etrico. Dado uma sequˆencia
(xn) em A , tal que lim xn = a ∈ M ent˜ao (xn) ´e de Cauchy e vale lim xn = b ∈ A, da´ı
a = b pela unicidade de limite , logo A ´e fechado.
Propriedade 126. M × N ´e completo ⇔ M e N s˜ao completos.
Corol´ario 39.
n∏
k=1
Mk ´e completo ⇔ cada Mk ´e completo.
Corol´ario 40. Rn
´e completo, pois R ´e completo e vale Rn
=
n∏
k=1
R.
Propriedade 127.
∞∏
k=1
Mk ´e completo ⇔ cada Mk ´e completo.
Defini¸c˜ao 72. Sejam A um conjunto e g : A → M uma fun¸c˜ao. Definimos
Bg(A, M) = {f : A → M | d(f, g) = sup
x∈A
d(f(x), g(x)) < ∞}.
Propriedade 128. Se M ´e completo ent˜ao Bg(A, M) ´e completo.
65. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 64
1.12.1 Crit´erio de Cauchy para convergˆencia uniforme
Propriedade 129 (Crit´erio de Cauchy para convergˆencia uniforme). Seja M com-
pleto. fn : A → M converge uniformemente em A ⇔
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | m, n > n0 ⇒ d(fm(x), fn(x)) < ε, ∀x ∈ A.
1.13 Espa¸co de Banach
Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados. Usaremos a nota¸c˜ao L(E, F) para designar o
conjunto das fun¸c˜oes lineares cont´ınuas de E em F.
Propriedade 130. L(E, F) ´e um espa¸co vetorial com a norma
∥f∥ = sup{∥f(x)∥ ; x ∈ E, |x| = 1}.
Propriedade 131. Se F ´e completo ent˜ao L(E, F) ´e completo
Propriedade 132. Se M ´e completo ent˜ao Bg(A, M) ´e completo.
Demonstra¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 73 (Espa¸co de Banach). Um espa¸co de Banach ´e um espa¸co vetorial
normado completo .
Exemplo 28. Rn
´e um espa¸co de Banach.
⋆ Teorema 2. Todo espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita ´e de Banach.
Exemplo 29. O conjunto P[0, 1] das fun¸c˜oes polinomiais p : [0, 1] → R ´e um espa¸co
vetorial. Tomando a norma ∥p∥ = sup
t∈[0,1]
|p(t)|. Com essa norma o espa¸co P[0, 1] n˜ao ´e
completo pois a sequˆencia de polinˆomios pn =
n∑
k=0
xk
k!
converge para a fun¸c˜ao cont´ınua ex
que n˜ao ´e um polinˆomio.
66. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 65
1.13.1 Espa¸co de Hilbert
Defini¸c˜ao 74 (Espa¸co de Hilbert). Um espa¸co vetorial H, munido de um produto
interno e completo em rela¸c˜ao a norma definida por esse produto interno ´e chamado de
espa¸co de Hilbert.
1.13.2 Extens˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas
Defini¸c˜ao 75 (Extens˜ao de fun¸c˜ao). Dados A, B tal que A ⊂ B, uma fun¸c˜ao F :
B → C ´e dita uma extens˜ao de f : A → C, quando F(x) = f(x) para todo x ∈ A, nesse
caso escrevemos F|A = f.
Defini¸c˜ao 76 (Extens˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas). Dizemos que f cont´ınua se estende
continuamente a M, quando f possui uma extens˜ao F : M → N cont´ınua. Se f ´e
uniformemente cont´ınua e F uniformemente cont´ınua, ent˜ao a extens˜ao ´e dita extens˜ao
uniformemente cont´ınua.
Propriedade 133. Seja f : A → N cont´ınua tal que A = M. Se f admite extens˜ao
cont´ınua F : M → N ent˜ao para cada a ∈ M existe o limite lim
x→a
f(x).
Demonstra¸c˜ao. Para todo a ∈ M faz sentido falar em lim
x→a
f(x) pois A ´e denso
em M. Se f admite extens˜ao cont´ınua F : M → N, ent˜ao existe o limite lim
x→a
F(x) =
F(a), dada uma sequˆencia de pontos (xn) em A com lim xn = a e por continuidade vale
F(xn) = f(xn) , lim F(xn) = F(a) = lim f(xn), logo lim
x→a
f(x) = F(a) (o limite existe)
pelo crit´erio de sequˆencias para limite e continuidade.
Propriedade 134. Nas condi¸c˜oes da propriedade anterior, se para cada a ∈ M existe
o limite lim
x→a
f(x) ent˜ao f admite extens˜ao cont´ınua F : M → N.
Demonstra¸c˜ao. Para cada a ∈ M definimos lim
x→a
f(x) = F(a), nesse caso F ´e
cont´ınua.
Corol´ario 41. Uma extens˜ao cont´ınua F : M → N de uma aplica¸c˜ao cont´ınua
f : X → N, X denso em M ´e ´unica, pois para todo a ∈ M deve valer
lim
x→a
f(x) = F(a)
67. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 66
por´em o limite ´e ´unico.
Exemplo 30. Nem toda fun¸c˜ao pode ser extendida continuamente. Por exemplo
f : (2, 3) → R dada por f(x) =
1
(x − 2)(x − 3)
n˜ao pode ser estendida em qualquer
conjunto que contenha [2, 3], pois n˜ao existem os limites quando x → 2 e x → 3, se fosse
cont´ınua teria que valer por exemplo lim
x→2
f(x) = f(2) .
Propriedade 135. Seja f : E ⊂ R → R cont´ınua, com E fechado. Existe g : R → Rn
cont´ınua tal que g|E = f.
Demonstra¸c˜ao. Se E for fechado, Ec
´e aberto ent˜ao
Ec
=
∪
n∈A
In
onde In = (an, bn), s˜ao intervalos disjuntos, por propriedade de abertos da reta e A ´e um
conjunto enumer´avel. Agora definimos a extens˜ao.
g(x) =
f(x) se x ∈ E
f(an) +
f(bn) − f(an)
bn − an
(x − an) se x ∈ In
com essa defini¸c˜ao g ´e cont´ınua, sendo extens˜ao de f.
1.13.3 Crit´erio de Cauchy
Propriedade 136. Sejam f : A → N, N completo, a ∈ A, ent˜ao lim
x→a
f(x) existe sse
∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, d(x, a) < δ, d(y, a) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε.
Demonstra¸c˜ao. Se lim
x→a
f(x) = L ent˜ao
∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, d(x, a) < δ, d(y, a) < δ ⇒ d(f(x), b) <
ε
2
, d(f(y), b) <
ε
2
tomando a desigualdade triangular segue
d(f(x), f(y)) ≤ d(f(y), b) + d(f(x), b) <
ε
2
+
ε
2
= ε
logo nessas condi¸c˜oes d(f(x), f(y)) < ε.
Para toda sequˆencia de pontos (xn) em A com lim xn = a, com as condi¸c˜oes dadas a
sequˆencia (f(xn)) ´e de Cauchy em N, e como N ´e completo ela converge o que implica
que existe o limite lim
x→a
f(x).
68. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 67
Propriedade 137. Sejam f : A → N uniformemente cont´ınua, A = M e N completo,
ent˜ao f possui uma extens˜ao uniformemente cont´ınua F : M → N.
Demonstra¸c˜ao. Como f ´e uniformemente cont´ınua, vale
∀ε > 0∃δ > 0 | d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε
logo se dado a ∈ M fixo arbitr´ario e vale d(x, a) <
δ
2
, d(y, a) <
δ
2
, segue por desigualdade
triangular que
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(y, a) <
δ
2
+
δ
2
= δ
da´ı d(f(x), f(y)) < ε e pelo crit´erio de Cauchy existe lim
x→a
f(x) = F(a), logo ∀a ∈ M,
F : M → N ´e cont´ınua.
Vamos provar agora que F : M → N ´e uniformemente cont´ınua.
Sejam u, v ∈ M tal que d(u, v) < δ, como A ´e denso em M, existem sequˆencias (xn)
e (yn) em A tal que lim xn = u e lim yn = v. Pela continuidade da fun¸c˜ao distˆancia vale
que para n grande d(yn, xn) < δ de onde segue que d(f(xn), f(yn)) <
ε
2
pela continuidade
uniforme da f. Assim para u, v ∈ M
d(u, v) < δ ⇒ lim d(f(xn), f(yn))
≤ ε
2
= d(lim f(xn), lim f(yn)) = d(F(u), f(V )) ≤
ε
2
< ε.
Logo F ´e uniformemente cont´ınua.
Corol´ario 42. Seja f : A → B um homeomorfismo uniforme, com A = M, B = N,
M e N completos. Ent˜ao f admite extens˜ao F : M → N, onde F ´e um homeomorfismo
uniforme.
Propriedade 138. Seja f : A → B uma isometria tal que A = M e B = N, ambos
M e N completos. Ent˜ao f se extende a uma isometria F : M → N.
Demonstra¸c˜ao. Isometrias s˜ao fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas, logo existe um
´unico homeomorfismo uniforme F : M → N que estende f. Dados x ∈ M e y ∈ N,
como A e B s˜ao densos em M e N respectivamente, ent˜ao existem sequˆencias (xn) em A
e (yn) ∈ B tais que lim xn = x, lim yn = y. Da´ı
lim d(xn, yn) = d(x, y) = lim d(f(xn), f(yn)) = d(f(x), f(y))
logo F ´e uma isometria.
69. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 68
1.13.4 Completamento de um espa¸co m´etrico
Defini¸c˜ao 77 (Completamento). Um completamento de M ´e um par (M, f) onde
M ´e completo e f : M → M ´e uma imers˜ao isom´etrica(preserva distˆancias, mas n˜ao ´e
necessariamente sobrejetiva) com f(M) = M.
Exemplo 31. R ´e um completamento de Q.
Propriedade 139. Se M ´e completo, ent˜ao para todo A ⊂ M seu fecho A ´e um
completamento de A.
Exemplo 32. [0, 1] ´e um completamento de (0, 1).
Propriedade 140 (Existˆencia de completamento). Todo espa¸co m´etrico possui um
completamento.
Propriedade 141. O completamento do produto cartesiano M × N ´e M × N.
1.13.5 Espa¸cos m´etricos topologicamente completos
Exemplo 33. O conjunto (−1, 1) com a m´etrica induzida da reta, n˜ao ´e completo,
mas a fun¸c˜ao definida nele na reta dada por f(x) =
x
1 − |x|
´e um homeomorfismo sobre
R que ´e completo.
Propriedade 142. Todo subconjunto aberto de um espa¸co m´etrico completo ´e ho-
meomorfo a um espa¸co m´etrico completo.
Propriedade 143. Seja B =
∞∩
k=1
Ak, onde cada Ak ⊂ M ´e aberto e M ´e completo.
B ´e homeomorfo a um espa¸co m´etrico completo.
Defini¸c˜ao 78 (Espa¸co m´etrico topologicamente completo). Um espa¸co m´etrico (M, d)
´e dito topologicamente completo quando ´e homeomorfo a um espa¸co m´etrico completo.
Defini¸c˜ao 79 (Conjunto Gδ). A ⊂ M ´e um Gδ quando A =
∞∩
k=1
Ak onde cada Ak ´e
aberto.
70. CAP´ITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 69
Defini¸c˜ao 80 (Conjunto Gδ absoluto ). M ´e um Gδ absoluto quando todo A ⊂ N
isom´etrico a M ´e um Gδ em N.
Propriedade 144. Um espa¸co m´etrico ´e topologicamente completo ⇔ ´e um Gδ
absoluto.
Propriedade 145. (fn) n˜ao converge uniformemente em A para f ⇔ dado ε > 0
existem subsequˆencia (fnk
) de (fn) e (xk) em A tais que
d(fnk
(xk), f(xk)) ≥ ε0 ∀ k ∈ N.
Demonstra¸c˜ao.