estatística

1. f/
-.
Conjuntos ' fa si $,
A defini~sode conjuntos na matematica e aigo
intuitivo. A palavra "conjunto" remete a no@o db la sol 1
de grupo, classe ou colec20. Esse conceit0 faz ' mi re ;
pensar se esses conjuntos sao vazios ou n60, I3
podendo ser constituidos de elementos, "coisas" --;/'
ou, ainda, objetos.
lgualdade
A, 8, C, ... indicam o conjunto. Esta propriedade so e valida se, e sornente se,
dois conjuntos A e B possuem os rnesrnos ele-
a, b, c. ....indicam os elementos do conjunto.
mentos,
0 conjunto B das letras da palavra felicidade
e constituido pelos elementos: f, e, I, i, c,
d, a.
0 conjunto Idos algarismas irnpares entre 0
a 20 e constituido pelos elementos: 1, 3. 5,
7,9, 11,13,15,17,19.
AlgunS questionarnentos sobre 0s conjuntos
s.30 pertinentes, como se um elemento pertence
ou n i o a urn conjunto dado. Para isso, utiliza-se:
E: pertence
8 : n i o pertence
0 s canjuntos A = {I, 2, 3. 6) e B = {xlx B
divisor positivo de 6) possuem os mesmo ele-
mentos. Logo, A = B.
Operataes corn Conjuntas
Existern quatro operaq6es fundamentais en-
volvendo as conjuntos: uniso, intersecg20, dife-
renga e complementar.
Uni50
A operagso uni.50 e aquela que considera to-
dos 0s elementos pertencentes a urn conjunto A
Considerando o conjunto B das letras da pa- ou outre conjunto B,
lavra felicidade, temos: a E 8, d E 6,z
e B
Considemndo o conjunto Idos aigarismos A U B = { X / X € A o u x E B )
impares entre 0 a 20, temos: 1 E I, 3 E
I, 10 e I
Considerar:
Representagfio de urn Conjunto A = {l, 2, 3,4)
Considere-se o conjunto D constituido pelos B = {7, 8, 9)
eiementos d6, re, mi, f.6, sol, 16 e si. Existern trbs A U B = {I, 2, 3,4,7,8,9)
maneiras de se indicar urn conjunto:
0s elementos sso escrltos entre
chaves, separados por virgula e sem repetl- 1,
sao. A ordem dos elementos n3o importa.
2
1
I 1
D = {do, re, mi, fa, sol, la, si) ' 3 4 1
representa-se o A
conjunto por meio de uma propriedade A, ca-
racteristica de seus elementos: A = {x/x tern
a propriedade A). N e w caso, tem-se:
D = {dld e a nota musical)
0s elementos s5o escritos no inte-
rior de uma circunfer6ncia. Este diagrama 6
chamado diagrama de Venn.

2. ,/--
1
7 9 '!
I
8
B /"
Considerar:
A = {a, b, c, d)
B = {c, d, e, f)
A u B = {a, b, c, d, e, f)
Considerar:
A = C-8, -6, 6, 8)
B = 0
A U B = {-8, -6, 6, 8:.
Considerar:
Propriedade Importante da Teorio dos
Conjuntos
E impossivel estabelecer uma relag80 entre
o numero de elementos da intersec~xoe o da
uni5o de conjuntos.
Tendo-se dois conjuntos A e 8, o ndmero de
elementos da unizo 6 dado pela soma dos eie-
rnentos A e B subtraida do nbrnero de elementos
comuns que corresponde a0 nlimem de eiemen-
tos da intersecgSo.
Tem-se, entzo:
Sendo A = {0,2,5,9,12) -n(A) = 5
B = {3,5,8,9,12,13) -n(B) = 6
A U B = {0,2,3,5,8,9,12,13) -n (AU 8) = 8
A n B = {5,9,12) -n ( ~ nB)=3
Que e equivaiente a:
n(A v B) = n(A) + n(B) - n(A 0 B)
n ( A U B ) = 5 + 6 - 3
n(A U B) = 8
mtersecc20 Urna pesquisa reaiizada em urn col6gio so-
bre o gosto musical dos alunos indlcou que
A operac:o de intersec560 6 aqueia que con- 458 gostam de rock; 112 de mrisica
sidera os elementos repetidos pertencentes aos sertaneja; 62, de ambos; e 36, de nenhum
conjuntos A e B. desses estilos musicais. Com base nessesda-
Considerar:
dos, pode-se determinar o nlimero de alunos
consultados.
Chama-se de R o conjunto dos alunos que
gostam de rock, de S os alunos que gostam de
m~bsicasertaneja e de N o conjunto de quem
n2o gosta nem de rock nem de rnlisica sertane-
ja. Tem-se:
( 9 I )(z 6 ) n t ~ j = 3 6n(R n 5) = 62
n(R U 5) = 458 + 112 + (-62)
n(R U 5) = 508
Total -(R U 5) + n(N) = 508 + 36 = 544
Foram consultados 544 alunos.
C

3. Em uma dada cidade, foi feito urn levanta-
mento para saber quantas criangas haviam
recebido as vacinas Sabin e Tripiice. 0s resul-
tados obtidos estgo na tabela a seguir.
Vacinas NGmero de criangas
Sabin 5.428
Triplice 4.346
Sabin e Triplice 812
Nenhuma 1.644
Determlnar o ntimero de crlancas:
a) abrangidas pela pesquisa
b) que receberam apenas a Sab~n.
C) que receberam apenas a Triplice
d) que receberam apenas uma vacina.
Em um certo bairro, foram entrevistadas 330
prssoas. Destas, 200 usam o xampu A, 150
usam o xampu 8, e 50 n.50 usam nem A nem
B. Quantas pessoas usam A e 87
Em urna determinada escola, verificou-se a
prefersncia de filmes de 600 alunos e desco-
briu-se que 380 deles gostam de ficgao, 350
gostam de terror, e 90 gostam de outros tipos
de filmes. Quantos alunos gostam de:
a) fic~Bo,apenas?
b) fic~aoou terror?
c) fic~tio e terror?
Urn professor de portugues sugeriu a urna
classe a leitura dos llvros ~elena,de Machado
de Assis, e Iracema, de IosC de Alencar. Vinte
alunOS leram Helena, 15 leram so Iracema,
10 leram os dois livros, e 15 n5o leram ne-
nhum deles.
a) Quantos alunos leram Iracema?
b) Quantos alunos leram so Helena?
C) Quai e o nljmero de alunos nessa classe?
Uma pesquisa realizada numa determinada
empresa mostra que 277 de seus funcio-
narios possuem casa prbpria, 233 possuem
automovel. 495 oossuem cornoutador. 165
possuem a'utorn6~else computabor, 120 com
automove1 e casa pr6pria. 190 possuem casa
propria e teievisor,.e finaimente; que 105 fun-
cionarios possuem casa prbpria, autornovei e
computador.
a) Quantos funcionarios possuem automo-
veis?
b) Quantos funcionarios possuem sornente
automoveis?
c) Quantos funcionarios n.50 possuem casa
propria?
d) Quantos funcionarios possuern casa pr6-
pria e computador?
e) Quantos funcionarios possuem casa pro-
pria ou computador?

4. Raziio e Proporgiio
A raz.30 entre dois vaiores a e b (b+O) e defini-
da pelo quociente entre eles, ou seja:
A proporgzo mede a razao corn que duas gran-
dezas se reiacionam. Existem rela~Besdireta-
mente e invenamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporclonais
Quando urna das grandezas aumenta de valor
(OUdirninui), a outra grandeza tambem aumen-
ta (ou dimiqui).
Matematicamente, ternos que:
"= k (constante)
b
Um par de tenis custa R$ 200,OO. Quatro pa-
res de t@niscustam R$ 800,OO. Observa-se que
dobrando a quantidade de tenis, o valor total
tambem dobra.
Matematicamente, tem-se que:
--200 - zoo
1
--800 - 200
4
Grandezas inversamente proporcionals
Quando uma das grandezas aumenta de valor
(ou diminui), a outra grandeza diminui (ou au-
rnenta). Matematicamente, tern-se que: a.b = k
Uma construtora conta corn urn pedreiro para
construir um certo muro em 10 dias. Se ela con-
tar corn dois pedreiros, o rnuro ser6 construido
em 5 dias. observa-se que dobrando a quan-
tidade de pedreiros, diminui-se peia metade o
tempo gasto.
Matematicamente, tern-se que:
porcentagern
Defini~Sopr6tica
Como o pr6prio norne diz, para padmnizar 0s
valores obtidos em um determinado calculo, e
feita a proporgSo para 100 partes, ou Seja, call
cula-se a porcentagem.
Um aiuno, durante uma aula de Flslca, rnede
quanto distende urna mola quando sZo pen-
duras nela massas diferentes e, em seguida,
apresenta os dados na forma de tabela, como
mostra adiante.
Ma-a (!I) DlrtensSo (em)
100 4
200 8
300 12
500 20
a) Qual a razao de propoqao entre as duas
grandezas?
b) Sao qrandezas direta ou inversarnente
propokionais?
C) Escrever uma rela~Bomatemdtica para re-
presentar a tabela apresentada.
Transforme as frag6es abaixo em porcenta-
sem:
D@tres exemplos de pares de grandezas in-
versarnente proporcionais.

5. A estat;stica 6 uma area do conhecimento que
utiliza teorias probabilisticas para a explicagZo
de eventos, estudos e experimentos. Tern por
objetivo obter, organizar e anaiisar dados e de-
terminar as correiagBes que eles apresentam, ti-
rando delas suas consequSncias para descrever
e explicar o que passou e prever e organlzar o
futuro.
A estatistica tambem e uma ciCncia e pratica
de desenvolvimento de conhecimento humano
por meio do uso de dados empiricos. Baseia-se
na teoria estatistica, um ramo da matematica
apiicada.
Na teoria estatistica, a aleatoriedade e a in-
certeza sso modeladas pela teoria da probabili-
dade. Algc~laspraticas estatisticas inciuem, por
exemplo, o Pianeiamento, a sumarizacao e a in-
terpretaqao de obsewagdes. Por ser dbjetrvi da
estatistlca a produggo da 'melhor" Informacao
p 0 S ~ i ~ e la partir dos dados dis~oniveis.alabns. < -
autores sugerern que a estatistica 6 urn ramo da
teoria da decisao.
0termo estatktica suraiu da exDress.30 em la-
tim statisbcum collegru6, palestra sobre os as-
suntos do EStadO, de onde surgiu a paiavra em
lingua italiana statists, que sigiifica 'hornem de
estado" ou politico, e a paiavra alema Statistik,
designando a analise de dados sobre o Estado. A
palavra foi proposta pela primeira vez no secuio
XVII, em iatim, por Schmeitzei, na Universidade
de Lena, e adotada pelo academico alem.30 Go-
dofredo Achenwall. Apareceu como vocabulirio
na Enciclop4dia Britanica em 1797 e, no inicio
do seculo XIX, adquiriu urn significado de cokta
e classificacZo de dados.
0 conheckento (e a ignorhcia) 5.30 descritos
de forma matematica, e tenta-se aprender mais
sobre aauilo aue se oode observar. Isso reouer:.~~
planejimeAto da; observas6es corno forma
de controiar a sua variabilidade (concepgSo do
exoerimentol:
sumarizag80'da coleggo de observagBes;
inferencia estatistica - obter um consenso so-
bre o que as observaGBes dizem sobre o mun-
do observado.
Em algumas formas de estatistica descritiva,
nomeada minera~Zode dados (data mining), o
segundo e terceiro passos tornam-se, em geral,
mais importantes que o primeiro.
A probabilidade de um evento e frequente-
mente definida como urn ntimero entre 0 e 1.
Na realidade, porem, nunca ha situa~aesque
tenharn Drobabilidade 0 ou 1. Por exemolo. oo-, , .
de-se dizer que o Sol certamente nascera pela
manh8. Mas e se ele for destruido por um even-
to extremamente dificil de ocorrerj E se ocorrer
uma guerra nuclear e o ceu ficar coberto de cin-
zas e fumaga?
Costuma-se aDroximar a ~robabilidadede cer-~ - ~~
tos eventos pare cima ou bara baixo, pois eles
siio t8o provaveis ou improvaveis de ocorrer aue
e facil reconhece-10s como probabilidade de 1
ou 0.Entretanto, isso geralmente leva a desen-
tendimentos e cornportamentos perigosos, por-
que as pessoas nZo conseguem distinguir entre
uma probabilidade de lo-' e uma probabilidade
de 10~9,a despeito da grande diferen~apratica
entre elas.
Por exemplo, se atravessar uma estrada cerca
de lo5ou 10Qezes na vida 6 arriscado. entao, ....
reduzir o risco de atravessar a estrada em
sera mais seguro, enquanto um risco de cruz6-la
em 10.' Sera maiS Orovavel de resultar em um
acidente, mesmo com a intuigao de que 0,01%
e um risco muito baixo.
Aigumas cihncias usam a estatistica aolicada.-.-
t5o extensivamente que eias tern urna terrnino-
iogia especializada. Essas discipiinas incluem:
bioestatistica;
estatistica comerciai:~ ~~
estat'stica econ6m ca;
engenhar~aestat'stlca;
estatistica fisica;
estatistica popuiacional;
estatistica psicologica;
estatistica social (para todas as ciencias so-
ciais);
analise do processo e quimiometria (para ana-
lise de dados da quirnica analitica e da enge-
nharia quimica).
Estatistica e uma ferramenta-chave nosnego-
cios e na industrializa~Zocomo um todo. E utili-
zada para entender sistemas variaveis, controle
de processos (chamados de controle estatistico
de processo - CEP), sumarizasso de dados e
tomada de decisZo baseada em dados. Nessas
fungdes, ela e a ljnica ferramenta sequra.
As ligagaes para estatistica observational sao
coietadas pelos fenbrnenos estatisticos:
conjunto de tecnicas uti-
iizadas para identificar relag6es entre variaveis
que representem ou nZo relas6es de causa e
efeito;
conjunto de tecnicas utili-
zadas para atenuar o efeito de outliers e pre-
servar a forma de uma distribuigso t.30 ade-
rente quanto possivel aos dados empiricos.
A Base do Estatistica e Sua Definicfio
A estatist ca e uma ferramenta rnatematca que
nforrna quanto err0 as observag6es apresentam
soore a rea ~dadepesq-lsaaa. A estat'srlca ba-
sela-se na medlqBo do erro que exlste na estlma-
rlva de q~anrodrna arnostra rcprcsenta adeqda-
damenre a poputag.30 da qua fol extraida. Asslm,

6. o conhecimento de teoria de conjuntos, analise
combinatbria e calculo s.50 indispens6veis para se
COmDreender como o err0 e sua maqnitude se
comportam. E o err0 (err0 amostral) que define a
qualidade da obsewag.50 e do deiineamento ex-
perimental.
A faceta dessa ferramenta mais ~ a l ~ a v e ie
a estatistlca descritiva. A descri~9o'dosdados
coletados e comumente a~resentadaem arafi-
cos OL relator~ose serve tanto a prospecq50 ae
d ma ou mats var~aves 3ara posterior apllca~20
ou n9o de testes estatisticos como a apresen-
tag20 de resultados de delineamentos experi-
mentais.
P o p u l a ~ a o
Para a estatistica, a popula~.50este relacio-
nada com um determinado tema, cornpreen-
de tados os elementos do local, sem deixar de
contar corn os dados de qualquer urn que seja.
Portanto, populac2o engloba pessoas, animais,
objetos, plantas e tudo o que fizer parte de um
conjunto.
Censo
E uma pesquisa cujo objetivo e realizar o le-
vantamento das informacFes dos dados estatis-
ticos dos habitantes de uma cidade, estado ou
pais.
Amostra
E um subconjunto da populag.50, e seus re-
sultados s5o representatives do todo, por meio
de rnodelos estatisticos. A amostra e utilizada
quando o numero de elementos da popula~80e
rnuito grande ou quando e precis0 economizar
tempo ou dinheiro.
Vari6vel Estatistica
0 conjunto de dados obtidos em uma pesquisa
e chamado de variivel estatistica.
0s valores de uma variavel 5.80 divididos em
duas categorias: quantitativa e qualitatlva.
Variaveis quantitativas
SSo varieveis cuios valores reoresentam uma
resposta numerics.
Uma variavel quantitativa pode ser classifica-
da em:
a resposta e
um n6mero natural. Exemplos: Quantos filhos
vocZ tern? Qual e a sua idade? Quantos ba-
nhos voce toma por dia?
a resposta e
urn numero real (quebrado). txemplos: Qual
e sua altura? Quanto voce pesa?Qual e o valor
de seu salario?
Variaveis qualitativas
5.50 variaveis cujos valores representam um
nome ou palavra como respostas. Uma variavel
qualitativa e subdividida em:
como resposta
520 obtidos nomes ou qualidades que n2o po-
den ser ordenados de acordo com uma hie-
rarquia.
0 que voce acha da comida do
refeitbrio? Qual e a cor de seus olhos? Em
quem voce votou na ultima elei~Sopara pre-
sidente?
como resposta
s8o obtidos valores possiveis de serem hierar-
quizados de rnodo que se possa diferenciar os
sujeitos por categorias.
Qual 6 sua escolaridade? Em que
andar voc@mora?

7. Em urn jogo de futebol compareceram 10.250
espectadores. No final do jogo, 520 especta-
dores foram consultados sobre questiies de
seguransa do estadio.
Responda:
a) Quantos eiementos possui o universo esta-
tistico (populag80)?
b) Quantos elementos comp6em a amostra?
C) Para que o resultado da oesouisa reore-
sente a opiniao geral, corn; voce a ~ h a ' ~ u e
deve ser a escolha da amostra?
Identifique a variavel e alguns de seus possi-
veis valores nas quest6es seguintes:
a) Qual e a sua idade?
b) Qua1 6 a sua altura?
c) Quantos aparelhos de TV h6 em sua casa?
d) Voce prefere que genero de musica?
e) Qual 6 a sua cor predileta?
f) Qual e o seu gasto por m6s no supermer-
cado?
Considerando o exerckio anterior, diga qua1
e o tip0 de variavel de cada urn dos itens da
quest50 2.
Uma agencia de turismo realizou uma oes-
quisa para sondar as preferencias de ieus
clientes.
Analise algumas das quest6es formuladas e
indique em cada uma qua1 e a variavel, seu
tip0 e pel0 rnenos dois de seus valores.
Nirol
edYUSI...I Tot.1 Amodn
set-
At4 2. prau T h b S,,per(or
Pmdu@o 340 30 8
Administrasso 12 35 5
t4anuteyZ.o 5 8 3
OUbOI 20 2 1
Total
a) Em que rnes voc@prefere vlajar?
b) Quantos dias voce pretende viajar?
c) Que Estado do Brasil voc6 gostaria de co-
nhecer?
d) ~ u a la quantia maxima que vote pretende
gastar?
e) Voce prefere viajar por qua1melo de trans-
porte?
f) Quantas pessoas voce ievara na viagem?
9) Que categoria de hotel voce prefere?
h) Qual forma de pagamento vocO prefere?
uma agCncia imobilidria tem 2.000 clientes
cadastrados e resolveu consultar 350 deies
sobre algumas preferencias na compra de um
imovel.
Entre as questBes formuladas estao:
a) Que tip0 de imovel voc@prefere: casa ou
apartamento?
b) Quantos dormit6rios deve ter o imovel que
voce pretende comprar?
c) No caso da compra de urn apartamento,
em que andar VOC&prefere?
d) Qual o valor rnixirno que vote pretende
pagar por um imovei?
Responda:
a) Quai 6 o univcrso nessa Desauisa?
0) kewa p~~qt185af01 ut~lvada"ma amostra?
C) Qual e a varlavel em cada uma das quatm
questaes formuladas7 D@seu tioo e Delo
menos dois de seus valores.
Uma empresa apresenta o seauinte auadm re-
Iat~voaos -us h~nc~ondnos~ b t e rum'a amostra
Proporclonalestratlficada de 40 func~onAnos

8. Definiq6o
A palavra probabilidade vem do latim probare,
que significa provar ou testar. A teoria da proba-
bilidade tenta quantificar a no@o de prov8vel; e
uma representa~somatematica e l5gica.
A teoria da probabilidade pode ser exemplifi-
cada com o uso de dados, moedas ou bolinhas.
Se uma moeda for jogada para cima, mostrara
uma de suas faces - cara ou coroa - auando calr.
A probabilidade de sair cara e igual a chance de
sair coroa, ou seja, 50% ou 112 de probabilida-
de.
Se duas rnoedas forrrn jogadas ao mesrno
tempo para cima, qua1 seria a chance de se ob-
ter cara na; duas moedas?
Portanto,
1em 4, ou seja:
1= 0,25 ou 25%-
4
Pode-se representar o lancamento das moe-
das com o desenho da arvore.
cam L:%a
cara Lcaroa 2 caras e I corm=
rnoeda< coroa
Qual e a probabilidade de sair cara em todas
as 3 moedas quando jogadas juntas?
Qual e a chance de se obter sempre o resui-
tad0 "coroa" quando sBo langadas 4 moedas?
E maior ou menor que lo%?
Ao se langarem 5 moedas, qua1 a probabili-
dade de sair o resultado "coroa" em todas as
moedas? Essa chance e maior ou menor que
5%?
Se 2 dados forem jogados simuitaneamente,
quai e a probabilidade de 0s dois cairem cnrn
a m e m o nlimero, diga-se, 3?

9. A representag50 visual dos dados estatisticos
tern por finaiidade facilitar o entendirnento da
pesquisa feita. Pode ser feita por meio de tabe-
Ias e graficos, geralmente coioridos, nos quais os
dados obtidos na pesquisa sZo organizados. Essa
forma de apresentagao possibilita ao leitor com-
preender de rnodo geral a situaqao estudada.
A representagao por tabela i s vezes contem
muitas inforrna~8es.o que nSo favorece sua vi-
SualizaSSo, como dernonstra a Tabela 2.7.1.
A representaCao por grafico pode ser feita corn
varios tipos de grhficos:
grafico de linha;
grafico de barraslcolunas;
grafico de barras/colunas mtiltipias;
grafico de setores (pizza).
Esse tip0 de representagao, alern de ser mui-
to melhor para ser visuaiizado, apresenta rnais
condiS6es de entendirnento e cornparaSSo dos
dados. Seguem exernplos de cada urn deles.
fndice FIRJAN de Desenvolvimento Municipal 2007
Capitais IFDM Emprego e
renda
Brasii 0.7478 0.7520
Mediana das capitais 0.7870 0.8531
MBxirnodas capitais 0.8667 0.9062
Minimo das capitais 0.6921 0.6700
Ranking IFDM
UF Capitais
Nacional Capitals brarllelrar
IFDM
47' 1" PR Curitiba n.R687
51' 2O ES Vit6ria 0.8669
87' 3O SP 520 Paulo 0.8469
109O 4* MS Campo Grande 0.8351
119" So SC Flarian6poiis 0.8323
128* 6' RJ Rio de laneim 0.8295
1430 7O GO GoiBnia 0.8239
170' 8" DF Brasilia 0.8155
171" go RS Porto Aiegre 0.8155
1790 loa MG Belo Horironte 0.8123
2520 11- RN Natal 0.7940
267- 12' PI Teresina 0.7914
274O 13O MA SSo Luis 0.7903
2 8 9 14O PE Recife 0.7870
380' 15' MT Cuiab6 0.7707
4OOe 16' SE Aracaju 0.7681
4370 17O TO Palmas 0.7638
474O 18" RR Boa Vista 0.7591
4860 19" PA BeiCm 0.7575
556" 20" PB IoBo Pessoa 0.7488
639" 21' BA Salvador 0.7407
640" 22' AM Manaus 0.7407
650° 23' CE Fortaleza 0.7398
797O 24' AL Macei6 0.7282
1041' 25" RO Porto Velho 0.7117
1293O 26" AP Macapd 0.6964
1354' 27' AC R ~ OBranco 0.6921
Fonte: Sistema FIRJAN. Disponivelem: cwww.Rflan.org.br/IFDM>.
Emprego e
renda
0.8975
0.9062
0.8513
0.8361
0.8631
0.8506
0.8864
0.8448
0.8531
0.8612
0.8978
0.8303
0.8878
0.8814
0.8038
0.8085
0.8007
0.8554
0.8814
0.8190
0.8620
0.8654
0.8599
0.7960
0.7704
0.8462
0.6700

10. Grafico de Linha
0s graficos de linha s5o utilizados principal-
mente para acompanhamento de uma situag80,
de modo que se possa comparar tambem ocor-
rsncias, desempenhos, cotag6es etc.
Exemplo 1
Uma fabrica de roupas registrou o nljmero de
vendas da saia Fru-fru durante 6 meses e obte-
ve os seguintes resultados:
M e s s Quantidaae
laneim 30
Fevereiro 45
Margo 80
Abril 10
Maio 25
lunho 30
Essas informasaes podem ser representadas
no graficc de linhas:
90
:4050 / senel
30 I
20
10 10 4
Jan Fev Mar A Mat0 Jon
Exemplo 2
Tres candidatos estSo concorrendo a uma
vaga na empresa Mirandolina S/A. 0 supervisor
que ficou responsavel pelos candidatos anotou
as medias dos resultados obtidos por eles em
6 meses:
Mesea
a
lilneiro 25
Fevereiro 27
Mar50 25
Abrii 20
Maio 25
Iunho 30
Candidatos
b c
33 10
29 15
25 20
20 25
15 25
15 30
Pode-se fazer o grafico de linha para repre-
sentar esta situacao:
0
Jan Fev Mar Abr Maio lun
Gr6hco de Barras/Calunas
0 s graficos de barras ou coiunas sSo utiiiza-
dos para representar pesquisas quantitativas e
comparag6es.
Ha duas op~6espara sua representagzo:
sao
chamados de graficos de barras;
s.30
chamados de graficos de colunas.
Exemplo 1
0s dados a seguir mostram a area devastada
da Floresta AmazBnica nos anos discriminados:
Devastago da Floresta Amullnlu
Anos irea (km2)
2000 350
2001 200
2002 300
2003 400
2004 250
Pode-se representar a situaq5o em um grdfico
de colunas:
Exemplo 2
Uma empresa investigou as principais reivin-
dicag6es de seus funcionarios e obteve as se-
guintes informaSBes:
Itens Quantidada
Melhor salario 30
Meihoresequipamentos 15
Mai5 beneflcios 45
Qualifica~So 10
Refeit6rio 10

11. Pode-se representar a situagao cam urn gr=fi-
co de barras:
refeftorro
quahhca@o
ma15beneficros -melhores equrpamentm -melhor safbrio -0 lo 20 30 40 50
Observa-se que os eixos se invertem no gra-
fico de colunas em comparacso com o grafico
de barras.
Grhhcos corn Duas Colunas
AIUnOS POr cum0 tecnico
Cursos t6cnicos Alunos Alunas
Arnbiente 300 320
Seguranta do trabalha 350 150
Com4rcio 200 240
Contabiiidade 250 120
Alunos
.150 m
Alunas
50
n I"
Ambrente SeguranCa Comercoo Contab,lldade
do Trabalho
Gr6hco de Setores (Pizza)
Exemplo
Urna pesquisa de inten$ao de voto coletou os
seguintes dados:
Intengao de vom
Candidatos Votos
Pafhcia 1.152
lesuino 2.586
Gerrindio 900
Mariberta 810
Total 5.448

12. Construa o grafico de linhas para as tabelas
dadas a seguir:
a)
Me5 Unidader vcndldas
Fevereim 20
Margo 18
Abril 24
Maio 16
lunho 8
b)
Pronto-socorra -Casos
Dlas da semana Atandimanto
Segunda-feira 18
Observe o seguinte grafico:
Ele representa a quantidade de chuva caida
em um ano, em uma determinada regi.50.
Res~ondaas quest8es.
a) Qual e o m6s mais chuvoso do ano?
b) Qual k a estagso mais chuvosa do ano?
c) Qual e o m6s mais seco do ano?
d) Quantos litros de agua foram recolhidos
durante todo o ano (valor aproxlmado)?
Uma professora anotou o nljmero de faltas
dos alunos durante um semestre, de acordo
corn os dias da semana. Observe as anota-
$8es, construa o grafico de linhas e tire con-
clus6es:
segunda-feira: 64 faltas;
terga-feira: 32;
quarta-feira: 32;
quinta-feira: 48;
sexta-feira: 60.
Durante uma hora foram anotados 0s tipos
de veiculos que passaram pela rua onde esta
situada uma escola e conseauiram-se 0s se-
guintes dados: T, T, T, M, A, 7, T, M, T, 6, 6, T,
T,A.T.T,C,T,M,T,T,T,C,B.T,T,T,T,T,A,
T,T,T,M,C,T,T,T,T,B,T,T,M,B,A.
Considere:
M = motocicleta;
C = caminhZo;
A = ambulancia;
B = bicicleta;
T = carro.
Construa um grtifico de barras que corres-
ponda a esta pesquisa.
Durante uma pesquisa foram coletados 0s da-
dos de vendas de tr@sfebricas de vassouras
da cidade de Faxininha durante os meses de
agosto, setembro, outubro e novembro.
A empresa "Varra Bem" vendeu, respectiva-
mente, nesses meses, 15, 10, 25 e 18.
A empresa 'Vassourex" vendeu 28, 15, 30,
--55.
A empresa 'Peludinha" vendeu 35, 30, 30,
--JL.
Represente as vendas das tr&sempresas gra-
ficamente.
fUFPBl Na fiaura abaixo estao representadas-graficamente as popula@es rural e urbana do
Brasil no period0 de 1950 a 1980.
-urbana -,- rural
80 .:"/.I -~- - --
60 . . - ~~.
Com base na figura, e correto afirmar que:
a) em 1970, a populag8o urbana era superior
a 60 milhaes de habitantes.

13. b) de 1950 a 1980, a populagBo urbana au-
mentou mais de 50 milh6es de habitantes.
c) em 1980, a populag.30do Brasil era inferior
a 100 milh6es de habitantes.
d) de 1950 a 1980, a populagio urbana foi
sempre malor do que a rural.
e) de 1950 a 1980, a populag5o urbana foi
sernpre menor do que a rural.
(UFPE - adaptado) 0 indice de confiabilidade
na economia e um nlimero entre 0 e 100 que
mede a confianga dos empresarios na econo-
rnia brasileira. 0s graficos abaixo ilustram os
valores destes indices para grandes e para
mddios empresarios, de outubro de 2002 a
outubro de 2003, em dados trimestrais. Assi-
nale (V) Verdadeiro ou (F) Falso para as qua-
tro afirmagoes seguintes, acerca dos indices
de confiabilidade na economia bmsileira dos
grandes e medios empresarios representados
no grafico abaixo.
indice de confianga na economia
Grandes 52 61 62 55 59
0 :resc'mento e decresc~mentocltados nas
afirmaqces sSo relatlvos ao trlmestre anter or
1. ( ) 0 indice dos medios em~resariossem-
pre cresce-, de jan.12003 a'out.12003
2. ( ) Q-ando o 'na ce aos medlos empresa-
rios cresceu, o rnesmo ocorreu com o indi-
ce dos grandes empredrios.
3. ( ) Quando o indice dos grandes empre-
sarios decresceu, o indice dos medios em-
presarios cresceu.
4. ( ) 0 indice dos grandes ernpresarios sem-
pre foi superior ao indice dos medios ernpre-
sarios.
a) F-V-F-V.
b) F-F-V-F.
c) V-V-F-V.
d) V-F-F-V.
(UN-MG) Em 16/6/2003, a revista ~ p o c apu-
blicou a seguinte noticia: um virus poderoso
chamado Bugbear B causou phico, na sema-
na de 4 a 10 de junho de 2003, a0 contami-
nar mais de 15 mil computadores, espalhar
mensagens infectadas a milhares de outros
e colocar o Brasil no top0 do ranking rnundiai
de paises atacados. 0 grafico abaixo repre-
senta o ntimero de micros atingidos, por dia,
nesse periodo.
0Bugbear no mundo
Mirms atingidos por did (em miihares)
i~ junho 2013 A
Dados: empresa de antivirus MessageLabs.
Fonte: Epoca, 16/06/2003.
Corn base no grafico, indique a alternativa
correta:
a) 0 ntimero de micros infectados no sexto
dia foi 89 mil.
b) No dia 7 de junho ocorreu o rnenor nlimero
de micros infectados.
C) A menor diferenga no numero de mi-
cros infectados em dias consecutivos
ocorreu entre 0s dias 5 e 6.
d) A maior diferenga no nlimero de mi-
cros infectados em dias consecutivos
ocorreu entre os dias 6 e 7.
e) 0 n~jmeratotal de micros infectados du-
rante a semana foi 285 mil.
A partir da observag.30 do grafico abaixo, e
correto afirmar que a Embraer, corn relaS.30 a
receita por segmento:
""tros ..
sewicos
Aemnauticos
10,4%
~
667%
a) tem corno principal fonte de receita os ser-
vigos aeronauticos.
b) tern corno principal receita o ensino e a
pesquisa em tecnologia aeronautica.
c) tern corno principai fonte de receita a avia-
gSo executiva.
d) tem corno principal fonte de receita a avia-
5.30 comerciai.
e) tern sua menor receita advinda da aviag.30
comercial.

14. Dadas as tabeias abaixo, represente os itens
a e b por urn grafico de colunas e os itens c e
d por um grafico de barras.
Bimestre Quantidade
1' 16
2! 24
3' 12
c R
b)
indice da churas no Bresil na semana de 1.
ago. 2010 a 8 ago. 1010
Dia Quantidade(mm)
1 12
2 40
3 52
4 6
5 21
6 17
7 9
8 30
Represente par rneio de u m grafico de setores
0s seauintes casos:
a) ~ o y f e i t aurna pesquisa sobre gosto de g&-
nero de filmes, e o resultado foi:
ODiniSo sobre
Genero Quantidade
A580 5.222
Comedia 3.127
suspense 4.288
Terror 2.629
Oucros 1.152
Total 16.418
b) Outra pesquisa foi realizada em duas salas
de aula de'30an0 do Ensino Fundamental,
sobre seus doces preferidos. As inforrna-
Goes levantadas estao na tabela a seguir.
Doces Quantidade
Balas 12
Chocolates 20
Pirulito 6
Bolo 8
Outros 4
Total 50
C)
Acidentes nas mdovias federais no ltimo
semertrede 2010
Meses Quantidadede
acidentes
lulho 115
Aqosto 125
Setembro 145
Outubro 130
Novernbro 100
Dezernbro 180
d)
Idades de um determinado grupo
Idade (an061 Quantidade
10 15
11 20
12 17
13 6

15. Trata-se do process0 fundamental para a rea-
liza~aodas tabula~Besdas pesquisas.
0 histograma e a representacao grafica da
distribuiGao de frequhcia.
Como exemplos, sera0 abordados tres tipos
de frequhncias: absoluta, relativa e acumulada.
FrequPncia Absoluta (tl)
E a contagem (quantidade) de cada um dos
valores obtidos na pesquisa.
Frequencia Relativa (fr)
E a nota@o em porcentagem da frequgncia
absoluta.
Exemplo 2:
FO fe ra uma entrevista corn 32 pessoas sobre
suas ntenc6es de votos na e e1~2opresldenclal
5erra Marina
Dilma Serra
Serra Dilma
Serra Dilma
Marina Marina
Dilma Dilma
Dilma Serra
Dilma Serra
Tem-se, entSo:
Intan60 de voto
Candidato fi
Dilma 14
Serra 11
Dilma Serra
Dilma Nulo
Dllma Marina
Serra Dilma
Serra Serra
Diima Marina
Dilma Nulo
Dilma Serra
Marina 5 15.6
FrequPncia Acumulada (Fa)
30
Nuio
E a soma linha a linha da frequencia absoluta.
2 6.2 32
Total 32 100%
1 0 caso
Exemplo 3:
Dados corn pouca variag8o das respostas.
0s valores n.50 sSo tSo diversificados. Urna pesquisa mostra a quantidade de filhos que
os funciondrios da empresa Ashinanina possuem:
Euempio 1
0 1
Em uma sala de 40 alunos do 20 ano do Ensino
3 2 0 4
MBdio, foram obtidas as seguintes idades:
1 2 0 2
2 2 2 1 1 3
16 15 17 15 16 17 17 16 0 2 2 1 2 4
15 15 15 18 16 16 16 16 3 2 2 3 2 1
15 15 16 18 16 16 15 16
15 16 16 17 15 16 15 16
16 17 15 16 15 16 15 15
em-se:
Construiu-se a tabeia de frequcncia:
Idade doo olunos do 2. EM
Idades Qvantidade(fi) fr (%) Fa
15 15 37,s 15
16 18 45 33
17 5 12,5 38
18 2 5 40
Total 40 100%
N. de filhos de funcion6rior
N. de filhos n fr (%I Fa
0 4 13.3 4
1 8 26.7 12
2 12 40 24
3 4 13,3 28
4 2 6,7 30
Total 30 100%
Para calcuiar fr, faz-se: 2Qcaso
EJQQ= 37,5% 5.1DO = 12.5%
DistribuiqSo de frequcncla corn varios valores
40 40 diferentes.
Ouando se faz uma Desouisa, muitas vezes
18.100= 45% 2.m= 5%
se b b t h uma variedade de valores diferentes.
40 40

16. Nesses casos (numericos), os valores sao agru-
pados em intewalos.
Para isso, ha tres conceitos auxiilares:
indica a dispersio de va-
lores:
AT = X,,,,,, - Xmin,mo
d6 a no@o aproxima-
da de quantas classes (linhas) tera a futura
tabela:
NC =
6 o valor que se deve obedecer
para a montagern de cada um dos intervalos:
a = &
NC
Exemplo 1:
Em uma ernpresa de alimentos, foi feita uma
pesquisa corn 30 funcionarios em rela~zoa Ida-
de dos funcionarios. 0 s resuitados foram:
20 36 41 28 36
45 27 28 44 21
36 3 2 58 25 29
42 48 60 32 36
37 52 42 47 52
25 40 33 51 30
Construiu-se uma tabela de distribuiq50 de
frequencia da situagio apresentada.
Idade dos funcionSrios
Idades n fr (%I
20-28 5 16,7
28-36 7 23.3
36-44 9 30
44-52 5 16.7
52-60 4 13.2
Total 30 100%
A h r a d m pacientes
Altura (cm) fl
144-155 4
155-166 3
166-177 7
177-188 6
188-199 4
Total 24
Exemplo 2:
Uma nutricionista anotou a altura de seus pa-
cientes (ern cm) para o caiculo do indice de mas-
sa corporal.
173 180 166 196
Construiu-se a tabela de distribuiggo de fre-
quencias:

17. Paulo e sua equipe registraram o numero de
passageiros de cada um dos 50 veiculos que
passaram pela rua da escola em urn determi-
nado periodo:
1 , 3 , 2 , 4 , 3 , 1 , 2 , 3 , 2 , 4 , 4 , 1 , 5 , 2 , 1 , 1 , 1 ,
2 , 6 , 3 , 4 , 5 , 2 , i , 1 , 4 , 1 , 1 , 2 , 1 , 4 , 5 , 6 ,
5 , 1 , 3 , 2 , 1 , 1 , 5 , 2 , 3 , 1 , 1 , 6 , 1 , 3 , 3 , 1 , 1 .
Construa urna tabela de frequencias para esta
situaqao.
Silvio lansou um dado 25 vezes e registrou 0s
resultados:
a) ConstnJa uma tabela de freuuencia oara 0s
resultados obtidos.
b) Qual foi a frequencia relativa para um es-
core de 51
c) Quai foi a frequCncia relativa para um es-
core de 4 ou mais?
d) Qual foi a frequencia reiativa para urn es-
core de peio menos 3?
e) Qual e a variavei nesta situaqao e de que
tipo ela e?
Faqa vocC rnesmo: jogue uma rnoeda para o
alto 20 vezes e anote os resultados. Construa
uma tabela de distribuis.30 de frequencia dos
resultados obtidos.
Uma pesquisa com usuarios de transporte co-
letivo na cidade de 550 Paulo indagou sobre
0s diferentes tlpos usados em suas locOm0-
~ 5 e sdiarias. Dentre Bnibus, metrB e trem.
o nljmero de diferentes meios de transporte
utiiizados foi o seguinte: 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1,
2,3,1,1,1,2,2,3,1,1,1,1,2,1,1,2,~,
1, 2, 1. 2, 3.
al Oraanize uma tabela de freuusncia.~,~ -b) Faca uma representa~aografica.
C) Admitindo que essa amostra representa
bem o comportamento do usuario paulis-
tano, voce acha que a porcentagem dos
usuarios que utiiizam mais de um tip0 de
transporte 6 grande?

18. Medidas de tendbncia central sSo rnedidas que
denotam os valores que permitem que se chegue
a algurnas opini6es sobre os dados da pesquisa.
Nesta aula, sera0 estudadas apenas tres des-
sas medidas: media aritmetica, rnediana e moda.
0 rnodo de calcular essas medidas depende da
maneira como os dados sSo encontrados.
12 Caso: dados nho agrupados
Media aritmetica (Ma)
E o valor que lndlca a incidencia media 00s
resuitados:
Ma = -Xn
n
Exemplo
Qual e media da idade de um aruDo de 10 oes-
SO& que possvem as seguinte;idedes: 23,' 25,
35, 22, 19, 32, 40, 26 27 e 30?
A medla de ldade desse grupo e de 28 anos
Exeirrpio
Determine a aitura media de um qruoo aue- .
possui as seguintes alturas: 1,82; 1,75; I,.&;
1,82: 1,84; 1,77; 1,79 e 1,83.
A idade mediana deste grupo e 33 anos.
a mediana da
pesquisa sera exatamente o elemento que
ocupa a posiq%odo resuitado de m.
2
Exemplo:
Determine a mediana das aituras a seguir:
1,72; 1,73; 1,62; 1,68; 1,77; 1,82; 1,78.
A mediana desta situacso e de 1.73 m.
Moda (MO)
E a rnedida que indica o rnaior nljmero de in-
cidencia na pesquisa. Em outras paiavras, e o
valor que mais se repete.
Ma =1.82+1.75+1.80+1.82 +1.84+ 1.77 + 1.79 + 1U
8
Em uma pesquisa de opini8es, por exemplo, a
Ma = 1.8
moda representa a vontade da maioria.
Exemplo 1:
A altura media desse grupo e de 1,80 m. Dados: 5. 6. 6. 6. 5. 7. 8. 6 e 4. . , . .
Mediana (Md) A moda deGa sequencia 6 o nlimero 6. ,
Mo = 6
E o valor que representa exatamente 50% da
A pesquisa pois apresenta uma rinicaarnastra.
0 calculo da mediana de dados nEo agrupados
rnoda.
considera dois casos: quantidade de dados pa- Exemplo 2:
re5 ou impares. Dados: 25, 30, 35, 25, 27, 16, 30.
E necessario organizar 0s dados em ordem = 25 30
crescente A pesquisa e bimodal, ou seja, de duas modas.
a mediana sera a
media aritmetica dos elementos que ocupam Exernplo 3:
as posicbes: Dados:1,1,1,2,3,3,3,4,5,5,5.
Exernolo:
M 0 = 1 , 3 e ~
A pesquisa e trimodal, ou seja, de tres modas.
No caso de haver quatro modas ou mais, a
pesquisa 6 chamada poiimodal.
Calcuie a rnediana de um grupo de pessoas Urn3 pesquisa pode n6o ter elementos repeti-
que possuern as seguintes idades: 20, 35, 36, dos - neste caso, pode-se dizer que a pesquisa
30, 32, 47, 42 e 22. 6 arnoda!.
MO = 0

19. Calcule as medldas de posigZo (media, me-
diana e moda) da situagBo.
Uma pessoa gasta em rnPdia 45 rninutos por
dia ouvindo mislca (The Des Moines Register, Em Um WuPo de SeiS Pessoas corn idades de
5 de dezernbro de 1997).0 s seouintes dados 2, 3, 2, 1, 1e 50 anos, qua1 e a moda?
foram obtidos para o nljhero derninutos gas-
tos ouvindo mljsica para uma amostra de 30
individuos:
Se a temoeratura medida de hora em hora
das 6h as i l h apresentou os resultados
14 OC, 15 "C, 15 OC, 18 "C, 20 OC e 25 OC,
qua1 foi a temperatura media desse periodo?
E a ternperatura rnediana? E a temperatura, . , . . . ~ , ,, , . , . .
56.6; 52.9; 145.6; 70.4; 65.13'63.6. modal?
a) Calcule a media e a rnediana
b j 0 s dados sBo coerentes com os dados do
jornan
Milharei de brasiieiros se levantam todas as
manhas e vzo para o escritorio, em sua pro-
pria casa. Sugere-se aue o uso crescente de
cornputadores pessoais seja urna das raz6es
para que mais pessoas possam trabaihar em
casa. A seguir est6 uma amostra de dados,
por idade, de individuos que trabalham em
casa:
22. 58, 24, 50. 29. 52, 57, 31, 30, 41, 44, 40,. .
46; 29; 31; 37, 32, 44, 49, 29.
Calcule a media, a rnediana e a rnoda
A arnostra a seguir foi retirada de uma popu-
lag50 de notas dos alunos de uma ciasse: 5,
8, 6, 5. 5, 2. 7.
Determine:
a) a nota media.
b) a moda.
c) a mediana.
Segue o nirnero de cZes perdidos que forarn
capturados e encaminhados a um abrigo de
animais em 20 dias:
4 , 6 , 8 , 4 , 2 , 6 , 4 , 3 , 4 , 9 , 5 , 8 , 5 , 3 , 5 , 7 , 6 ,
3, 8, 6.
a) Calcule a media de caes capturados por
dia.
b) Calcule a moda.
C) Caicule a mediana.
Forarn feitas 36 avaiia~besde altura de uma
planta (cm) de ocorrgncia no cerrado. 0 s re-
sultados forarn os seguintes:
Calcule a media, mediana e a moda da situ-
agBo.
Contaram-se ovos eciodldos em ninhadas de -
certa ave. 0s resuitados forarn:

20. Exempio:
Um fazendeiro mediu a aitura de todas as 6r-
vores de determlnada espkcie. Determine a al-
29 Caso: dados agrupados em interval0 med;ana dessa especie de amore,
0s conceitos de media aritmetica, mediana e Altura das irvores
moda s2o os mesmos; a diferenca e o modo de
Almra
caicular essas medidas de tendhncias centrais. n
1,50-1,55 30
Media aritmetica (Ma) 1,55-1.60 27
E dada por: 1,60-1,65 33
mi = metade do intervalo
Exernplot
Caicular a media da idade dos funcionarios da
empresa Sociitata Ltda., a partir da tabela de
distribuiqS3 de frequencias.
Idades dos funclonhrlos fi
20-25 60
25~30 20
30-35 30
35-40 10
40-45 20
Total 140
Para isso, acrescentam-se duas colunas na ta-
bela, a fim de auxiliar nos calculos - uma para
mi e outra para %mi.
Idades dor funcionhrior
Idades n ml. n.ml
20-25 60 22,s 1350
25-30 20 27.5 550
30-35 30 32.5 975
35-40 10 37.5 375
40-45 20 42.5 850
Total 140 - 4100
A media de idade dos funcionarios da empresa
Sociitata Ltda. e de 29 anos.
limite inferior da classe mediana.
frequhncia acumuiada da classe ante-
rior a classe mediana.
amplitude ou intervalo da ciasse media-
na.
frequhncia absoluta da classe mediana.
1,65-1,70
1.70-1,7S
1.75-1,80
Total
Para enwntrar a mediana, deve-se acrescentar
uma coluna auxiliarda frequencia acumulada (Fa).
Como a mediana e a medida que indica exa-
tamente 50% da pesquisa, deve-se encontrar a
classe mediana.
calcula-se ,U
2
No exemplo, tem-se s 62
2
0 elemento que representa 50% da pesquisa
e o 620.
constroi-se a tabela com a coluna
extra da frequCncia acumulada. Neste exem-
plo, busca-se o 620 elemento.
Altura das 6rrorrs
AItura fi Fa
1,50-1.55 30 30
1.55-1.60 27 57
1.60-l,65 33 90 -classe rnediana
1,65-1,70 20 110
1.70-1.75 5 115
1,75-1.80 10 125
Total 125 -
062*elemento esta no intervalo de 1,55 a 1,60.
aplica-se a formula da mediana utili-
zando os dados da classe mediana.
Md = Id + (a-Fant) . hd
7
fd

21. A altura mediana das arvores de certa especie
dessa fazenda 4 de 1.61 m.
Moda (Mo)
limite inferior da classe modal.
amplitude ou intervalo da classe modal.
frequencia absoluta da classe modal
subtraida da frequCncia absoluta anterior a
classe modal.
frequencia absoluta da classe moda sub-
traida da frequencia absoluta posterior a
classe modal.
Para se calcular a moda de uma pesquisa, e
necesdrio encontrar a classe modal.
A classe modal sera aqueia que possuir a
rnaior FrequPncia absoluta.
Exernplo:
Foi realizado um levantamento da idade das
pessoas que passaram pela Rua Benjamin Cons-
tant, em Piracicaba, proximo a ETB. 0 levanta-
mento apontou os seguintes resultados:
Idadedes pssoas
Idade fi
10-20 35
20-30 40 - dasse model
30-40 25
40-50 13
Total 113
Como se pode observar, o intervalo de 20 ate
30 foi o que obteve maior frequiincia. Portanto,
este intervalo ser4 a classe modal.
Basta aplicar a f6rmula utilizando este inter-
valo como referencia para se calcular a moda.
Durante o period0 em que foi realizado o le-
vantamento das idades das pessoas que passa-
ram na Rua Benjamin Constant, pr6ximo a ETB,
em Piracicaba, apontou-se que a maioria das
Dessoas tinha 23 anos.

22. 0s vlsitantes do Parque Nacional de Yeilowstone
considemm uma erupqao do vulcao Old Faithful
uma atmeo que n5o deve ser perdida. A tabela
de frequsncias resume uma amostm de tempos
(em minutos) decorridosentre as erup~ces.
Tempo Frequencia
40 a 50 8
50 a 60 44
60 a 70 23
70 a 80 6
80 a 90 107
90 a 100 11
100 a 110 1
a) Calcule o tempo mbdio, o tempo mediano e
o tempo modal entre as erup~8es.
b) Quanto 6,em porcentagem, a ocorr&ncia
de erupgkio ate 69 minutos?
Ache a ldade media, a ldade mediana e a ida-
de modal da seguinte distribuigIio de idades
dos rnernbros do sindicato:
Idsde Frequ6ncia
15 a 20 18
20 a 25 42
25 a 30 78
30 a 35 115
35 a 40 178
40 a 45 107
45 a 50 88
50 a 55 52
55 a 60 30
60 a 65 11
Total 719
Considere 0s dados referentes ao consumo de
agua, em m3,de 75 contas da Corsan.
Consumo Frrqu6ncia
0 a 10 2
10 a 20 27
20 a 30 19
30 a 40 16
40 a 50 7
50 a 60 4
Total 75
a) Determ~neas frequenc~asslmples e ac.-
mblaaas (ansolutas e relatlvas).
b) Construa o correspondente histograma do
tip0 fr/h.
C) Calcule a media aritmetica do consumo de
agua.
d) Determine o valor da mediana.
e) Caicule o valor da moda.
0s dados a seguir foram colhidos de uma
amostra de aves de certa especie na qua1 se
estudou o tempo, em dias, que os filhotes le-
vavam para abandonar o ninho:
T e m p N6mero de filhotes
5 a 10 14
10 a 15 16
15 a 20 18
20 a 25 15
25 a 30 7
Determine:
a) o tempo media;
b) o valor da mediana;
c) o valor da moda.
A idade media dos candidatos a um determi-
nado curso de especializaS3o sempre foi bai-
xa, na ordem de 22 anos. Como esse curso
foi planejado para atender a todas as idades,
decidiu-se fazer uma campanha de dlvulga-
qSo Para verificar se a campanha foi ou nZo
eficiente, fez-se um levantamento das idades
dos candidatos a ljitima promo@io, e os resul-
tados estkio na tabela adiante:
Idade Fa
18 a 22 anos 30
22 a 26 anos 10
26 a 30 anos 8
30 a 34 anos 2
34 a 38 anos 3
Total 53
Com base nestes resultados, pode-se dizer
que a campanha produziu algum efeito, isto
e, aumentou a idade media? Por quC?

23. As medidas de disperszo sao utiiizadas para
verificar a variabilidade que existe em urn con- I
junto de dados. Podem ser feitas de tr@sma-
neiras:
rnedidas de dispersso;
variancia;
desvio-padrzo.
Medidas de Dispersao
E a rned~dareiativa ao centro da arnostra !
quanto a sua variabilidade.
Varidncia
E a soma dos quadrados dos desvios das ob-
servagdes da amostra, em reiagzo a sua media,
e dividida oelo nurnero de observa~6esda amos-
tra menos um.
--
-f
(xi- m6dia)l
n- 1 p~
/ = I
Desvio-PadrBo
E a raiz quadrada da vari8ncia; mede quanto
houve de dispersgo na distribuig.30 da frequgn-
cia. Quanto rnaior for a variabilidade entre os da-
dos da popuiag50, maior sera o desvio-padrao.
A distribuig80 normal e uma das rnais conhe-
cidas distribuiches estatisticas, chamada de dis-
trihuido de ~ a u s sou aaussiana. Sua finalidade
6 apr;sentar a aproxlm>g:o do calculo de outras
dlstr1bulc8es, auando o nljmero de observacdes
6 muito grande e bastante ut~i~zado.
Segue uma demonstrag80 da distribuig80 de
Gauss.
Distribui@o normal padrcio
A curva a seguir e conhecida como gaussia-
na e representa a distribui~aonormal padr8o.
Ela indica a probabilidade de se encontrar urn
dado estatistico; assim sendo, sua area P uni-
taria, pois nela se encontram 100% dos dados
obtidos.
Para se calcular a ocorrencia entre dois valo-
res de x, basta calcular a area sob a curva en- p-
tre esses dois pontos. Pela observa~aoda curva
pode-se concluir que as ocorr&nciastendem a se
concentrar em torno da media (pic0 da curva),
tendendo a zero quando se afastam deia.

24. Um endocrinoloaista calculara o indice de- -
massa corporal (IMc)de seus pacientes, que
e dado pela formula IMC = pesolaltura. Em
uma semana, os resultados que ele obteve
foram os seguintes:
Para melhor representar estes dados, o en-
docrinoiogista os organizara em uma tabeia
contendo a frequencia absoluta (fi)e a fre-
qucncia relativa (fr).
0s PaCientes retornarao na semana segulnte
e fa60 nova pesagem. Para verificar se seus
paCienteS t&m obtido o resuitado esperado, o
medico calculara, a cada semana, a media e
o desvio-oadrio oara Doder visualizar melhor
o q-anto seus pic enfes estio progreainao.
Lnterprete o desvfo-padrao.
Ao final, eie elaborara um histoarama.
Represente todos 0s passos d o endocrinolo-
gista.
Ao contar o nGmero de ervilhas em cada uma
das 27 vagens, Ioana encontrou:
3 , 2 , 3 , 6 . 4 . 3 , 3 , 4 , 3 . 2 . 6 . 3 , 4 , 5 , 2 , 3 , 3 ,
3,4,2,3,1,5,1,2,5,6.
Determine a varia~8oda quantidade de er-
vilhas.
Um grupo de candidatos a um emprego foi
Submetido a um teste de QI. 0 s resultados
estao agrupados a seguir:
Q.I. NGmem de candidates
80 a 90 20
90 a 100 100
100 a 110 120
110 a 120 50
Calcule:
a) o QI medio;
b) o QI mediano:
c j a moda desses valores;
d) a variancia;
A poluig80 causada por 61eo em mares e oce-
anos estimula o crescimento de certos tioos
de bacterias. Uma contagem de mlcro-or-
ganismos presentes no petrbleo (numero de
bacterias por 100 miiilitros), em 10 por~8es
de agua do mar, indicou as seguintes medi-
das:
49 70 54 67 59 40 71 67 67 52
a) Determine a media, a medlana e a moda.
b) Calcule a varlancia e o desvio-padr.50 des-
ses dados.
As companhias de seguro pesquisam conti-
nuamente as idades na morte e as respec-
tivas causas. 0 s dados se baseiam em um
estudo da revista Time sobre as mortes cau-
sadas por armas de fog0 na America durante
uma semana. Determine a idade media, a
idade mediana e a idade modal das mortes- ~ - - ~ - -
causadas por arma de fogo. Determine tam-
bCm a varisncia e o desvio-padrzo da ues-
auisa.
Idaees na m o m Quantidade
Um 6rgao do Governo do Estado esta interes-
sado em determinar padr6es sobre o investi-
mento em educa~zo,por habitante, realizado
pelas prefeituras. De um levantamento de
dez cidades, foram obtidos os valores (codifi-
cados) da tabela adiante:
Cidade A B C D E F G H I I
Investimento 26 16 14 10 19 15 19 16 19 18
a) Calcuie o investimento media.
b) Receberzo urn programa especial as cida-
des com valores de-investimento inferiores
a media menos uma vez o desvio-padrao.
Alguma cidade recebera o programa? Jus-
tifique.
Estas sZo as aituras medias, em centime-
tros, de um grupo de dez pessoas: 120, 165,
172, 184, 166, 135, 178, 187, 155 e 148.
Determine o desvio-padrio e interprete o
resultado.

25. Qual C a probabilidade de, ao se retirar, ao
acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas,
obter:
a) uma,carta de copas?
b) urn As?
c) um 2 de ouros?
d) uma carta com naipe vermelho?
e) urn 3 vermelho?
Em urna enq~eteforam entrev~stadas80 pes-
soas soore os me os de transporte q-e utll~za-
vam para ir a0 trabalho e/OU escola. 42 pes-
soas responderam Bnibus, 28 responderam
carro e 30 responderam moto; 12 utilizavam
8nibus e carro, 14 utilizavam carro e mot0 e
18 utili~avamBnibus e moto; 5 utilizavam os
trss. Qual i. a probabilidade de urna dessas
pessoas, Selecionadas ao acaso, utilizar:
a) somente Bnibus?
b) somente carro?
C) carro e Bnibus, mas nSo moto?
a)nenhLm aos tr6s ue:c~os,
e) apenas um aesses ve,'culos
A Mastercard International efetuou um estu-
do de fraudes em cartaes de credito, cujos
resultados est5o consubstanciados na tabela
a seguir:
Tipo defraud. Nbrnem
Cartao mubado 243
Cartao falslficado 85
Pedido correio / telefone 52
Outros 46
Selecionando aleatoriamente um caso de
fraude nos casos resumidos na tabela, qua1
e a probabilidade de a fraude resultar de um
cart20 falsificado?
Uma urna contem duas bolas brancas, tres
verdes e quatro azuis. Retirando-se ao acasa
urna bola da urna, qua1 e a probabilidade de
se obter urna bola branca ou verde?
Uma urna contem exatamente 30 etiquetas
nurneradas de 1a 30. Retirando-se, a0 acaso,
uma etiqueta da urna, qua1 e a probabiiidade
de se obter um nurnero menor do que 20 ou
um ndmero impar?
Urna caixa contem exatamente 1.000 bolas
numeradas de 1 a 1.000. Qual e a Drobabi-
lldaae ae se ret rar, ao acasb. ma oola c3n-
tendo um numero yclr uu unl n"mero oe aols
algarlsmos?
Em um grupo, 50 pessoas pertencern ao clu-
be A. 70 pertencem ao clube B, 30 pertencem
ao clube C, 20 pertencem aos clubes A e 8,
22 pertencem aos clubes A e C, 18 perten-
cern aos clubes B e C e 10 pertencem aos
tres clubes. Escolhida a0 acaso 1das pessoas
presentes, calcule a probabiiidade de ela:
a) pertencer aos trCs clubes;
b) pertencer somente ao clube C;
c) pertencer a dois clubes, pelo menos;
d) pertencer somente a dois clubes;
e) nSo pertencer ao clube 6.
A Cornpanhia de Seguros Security Ltda. anali-
sou a frequencia corn que 500 segurados (250
hornens e 250 mulheres) usararn o hospital
(65 usaram e 435 n2o usaram). Dos 65 segu-
rados que usaram o hospital, 40 s.50 mulhe-
res. Com base nesses dados e considerando
que a amostra e fie1 populag.30, responda:
a) Qual 6 a probabilidade de urn segurado
usar o hospital?
b) Qual e a probabilidade de um segurado ser
do sexo mascullno?
c) Qua16 a probabilidade de urn segurado ser
do sex0 masculine e n8o usar 0 hos~ital?
d) Qua16 a probabilidade de urn segurado ser
do sexo feminino e usar o hospital?
Em uma pesquisa de associag3o entre a ven-
da de sab.30 em po e amaciante com 20.000
pessoas, observou-se que 16.000 compraram
sab.50 em po e 12.000 compraram amacian-
te. Constatou-se, ainda, que 2.500 associa-
dos n%ocompraram nem sabao em p6 nem
amaciante.
a) Qual 6 a probabilidade de a pessoa aleato-
riamente selecionada ter comprado sabSo
em p6?
b) Qual e a probabilidade de uma pessoa
aleatoriamente selecionada ter cornprado
amaciante?
c) Qual e a probabilidade de uma pessoa ale-
atoriarnente selecionada n.30 ter comprado
sab.50 em p6 e ter comprado amaciante?
d) Qual e a probabilidade de uma pessoa ale-
atoriamente selecionada n2o ter comprado
sab.30 em p6 ou ter comprado amaclante?
Um nljmero 6 escolhido ao acaso dentre 0s 20
inteiros de 1a 20. Qual Pa probabilidade de o
numero escolhido ser primo ou par?
Retira-se 1carta a0 acaso de urn baralho de
52 cartas. Determine a probabilidade de ela:
a) ser de ouros ou ser urn rei;
b) ser preta Ou ser figura;
c) n.50 ser figura ou ser um AS;
d) ser figura ou ser um rei.

26. Um lote de pecas para automovels contern
60 pegas novas e 10 usadas. Escolhe-se uma
peGa ao acaso e, em seguida, sem reposigzo
da primeira, outra e retlrada. Determine a
probabilidade de:
a) as duas pegas serem usadas;
b) a prirneira ser nova e a segunda, usada
c) as duas pegas serem novas.
0 sistema de controle de quaiidade da Em-
press Equatorial Ltda. decide aceitar um lote
de materias-primas se, de uma amostra de
20, nenhuma unidade for defeituosa.
a) Qual e a probabilidade de um lote ser acei-
to quando nenhuma unidade e defeituosa?
b) Se 15% das unidades s8o defeituosas,
qua1e a probabilidade de o lote ser aceito?
c) Se 25% das unidades s.30 defeituosas,
qua1e a probabilidade de o lote ser aceito?
Um gerente de controle de qualidade utili-
za um equipamento de teste Dara detectar
modems de comp-taaor defelt-osos Hrt -
,am se aieator amente 3 modems a ferenres
de urn grupo no qua1 hd 12 defeituosos e 18
sem defeito. Qual 4 a probabilidade de:
a) todos 0s 3 serem defeltuosos?
b) a0 menos um dos modems escolhidos ser
defeituoso?
c) no m6ximo um ser defeituoso?
d) pel0 rnenos 2 serem perfeitos?
Consideremos um lote de 10.000 pegas no
qua1 10% 580 defeituosas. Duas Decas sZo
extraidas sem reposi~ao.Qual e a probabl-
lidade de:
a) arnbas serem perfeitas?
b) ambas serem defeituosas?
C) uma ser perfeita e a outra ser defeituosa?
No langarnento de urn dado e urna moeda,
qua1 6 a probabilidade de se obter cara na
moeda e a face 5 no dado?
Uma urna contem precisamente dez bolas:
quatro vermelhas, tr&s azuis e trOs brancas.
Qual e a probabilidade de retirarmos uma
bola vermelha e depois uma branca, sem re-
posigZo da primeira bola?
Uma moeda e langada 4 vezes. Qual e a pro-
babilidade de se obter:
a) quatro caras?
b) tres caras e urna coroa?
c) duas caras e duas coroas?
Lan~ando-seurn dado e uma rnoeda, qua1 e a
probabilidade de obten~80de n~jmeromalor
que dois no dado e cara na moeda?