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1. 7/4/2014 2 - Análise do Tempo de Falha - Confiabilidade | Portal Action
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2 - Análise do Tempo de Falha
Nesse tópico apresentamos um conjunto de técnicas estatísticas para análise de dados de durabilidade provenientes de
uma população homogênea. As populações heterogêneas ocorrem no contexto de testes de vida acelerados, que serão
tratados via modelos de regressão. A análise do tempo de falha responde as perguntas relacionadas ao tempo de vida de
produtos e componentes. Para introduzirmos os conceitos básicos vamos apresentar um exemplo.
Exemplo 2.1: Uma válvula de acionamento da ventoinha é avaliada com relação ao tempo de vida. O fabricante submete
várias válvulas a testes onde seu funcionamento é acelerado para obter informações sobre a confiabilidade do produto.
Um tipo comum de teste é aquele em que a válvula é colocada em um tanque de água, que é aquecido e resfriado
acelerando o funcionamento da válvula. Estima-se que 30.000 ciclos (um ciclo corresponde ao ato de abrir e fechar a
válvula) equivalem a 10 anos de uso em condições normais. Considere a situação em que um lote de 30 mecanismos novos
foi colocado em teste. O teste consiste em deixá-los em funcionamento por um período de até 50.000 ciclos e registrar,
para cada mecanismo, o número de ciclos que ele completou até falhar. Após o teste 18 mecanismos haviam falhado antes
de completar 50.000 ciclos e o restante continuava funcionando.
O número de ciclos até a falha para para esses 18 mecanismos foram: 5.625; 11.223; 12.128; 13.566; 14.922; 16.513;
22.138; 26.791; 27.144; 27.847; 28.613; 31.225; 36.229; 38.590; 39.580; 40.278; 41.325; 44.540.
5626 11223 12128 13566 14922 16513 22138 26791 27144 27847
28613 31225 36229 38590 39580 40278 41325 44540 50000+ 50000+
50000+ 50000+ 50000+ 50000+ 50000+ 50000+ 50000+ 50000+ 50000+ 50000+
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
A partir desses dados o fabricante gostaria de responder as seguintes perguntas:
1. Qual o número médio de ciclos completados até a falha deste mecanismo?
2. Os fabricantes conferem dois anos de garantia ao seu produto e sabem que o número médio de ciclos de
funcionamento do produto no período 2 anos é de 6.000 ciclos. Qual a fração de defeituosos esperada nos
primeiros dois anos?
3. Qual o número de ciclos no qual 10% dos produtos estarão fora de operação?
Com isso, introduzimos os seguintes conceitos básicos:
1. Tipos de Falha
As situações estudadas em confiabilidade envolvem o tempo até a ocorrência de um evento de interesse. Esses eventos
são, na maioria dos casos, indesejáveis e usualmente denominados de falha. O primeiro passo para estudar confiabilidade
é definir de forma clara e precisa o que venha ser falha. Uma forma razoável de definir falha é através da visão do
consumidor. O produto falha quando o consumidor diz que ele falhou.
Por exemplo, nas cafeteiras modernas a água é aquecida passando através de uma tubulação quente. Com o passar do
tempo os componentes minerais existentes na água vão se acumulando na tubulação, diminuindo o seu diâmetro. O efeito
disso é o aumento do tempo necessário para que o café fique pronto. Uma forma de definir falha sob a perspectiva do
consumidor seria então, definir em termos do tempo de preparo do café. Por exemplo, a falha ocorre quando o tempo para
preparar 8 xícaras ultrapassar 10 minutos. Um elemento relacionado ao tempo de falha é a escala de medida, no exemplo
discutido a unidade de medida é o número de ciclos. Outras vezes utilizamos o tempo.
2. Dados Censurados
Os testes realizados para obter as medidas de durabilidade de produtos são demorados e caros por isso, usualmente, os
testes são terminados antes que todos os itens falhem. Uma característica decorrente desse tipo de amostragem é a
presença de censuras ou informações incompletas. No Exemplo 2.1 apresentado acima vimos que 12 dos 30 mecanismos
não falharam até 50.000 ciclos. Essas 12 observações são ditas censuradas, pois fornecem apenas informações parciais,
isto é, apenas que o tempo de vida do mecanismo é maior que 50.000 ciclos. Ressaltamos que, embora parciais, estas
observações fornecem informações relevantes sobre o tempo de vida e não devem ser desconsideradas na análise
estatística.
Na prática temos alguns tipos de censura, sendo elas:
Censura à direita: uma observação é dita censurada à direita em um tempo L se é conhecido apenas que o seu
tempo exato de falha é maior ou igual a L, como no Exemplo 2.1 das válvulas.
Censura à esquerda: analogamente, uma observação é dita censurada à esquerda em um tempo L se é
conhecido apenas que o seu tempo exato de falha é menor ou igual a L.
Além desses dois tipos de censura devemos escolher ao planejarmos o experimento (teste), entre dois esquemas de
censura: Censura do Tipo I ou Censura do Tipo II.
Censura do Tipo I: consiste em pré-estabelecer um período de tempo para cada um dos itens em estudo, de
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maneira que o tempo de vida de um item é conhecido apenas se for menor que este período. Um exemplo desse
esquema de censura é dado pelo Exemplo 2.1 em que todos os itens são observados até no máximo 50.000
ciclos. Observe que para este esquema de censura o tempo em que cada item fica sob observação é fixo,
enquanto que o número de unidades que falham (observações não censuradas) é aleatório. Esse esquema de
censura é utilizado quando se pode planejar o tempo de duração do estudo.
Censura do tipo II: é aquela em que apenas as r menores observações de uma amostra de tamanho n são
completas, isto é, não censuradas. Em outras palavaras, dizemos que o teste termina após ter ocorrido a falha
de um número pré-estabelecido de itens sob teste. Esse esquema de censura é utilizado quando se tem pouca ou
nenhuma informação sobre a durabilidade do produto.
Ainda, temos um terceiro esquema de censura, o aleatório. Isso acontece na prática, quando um item é retirado no
decorrer do teste sem ter atingido a falha, podendo ocorrer se o item falhar por uma razão diferente da estudada.
3. Especificando o Tempo de Falha
A variável aleatória T, que representa o tempo de falha, é usualmente especificada em confiabilidade pela sua função de
confiabilidade ou pela sua função de taxa de falha.
3.1. Função de Confiabilidade
Essa é uma das principais funções probabilísticas usadas para descrever estudos provenientes de testes de durabilidade. A
função de confiabildade é definida como a probabilidade de um produto desenvolver sua função sem falhar até um certo
tempo t. Em termos probabilísticos, isso é escrito em função da variável de interesse T, que é o tempo até a ocorrência da
falha, como sendo
Tendo em mãos a função de confiabilidade, podemos voltar ao Exemplo 2.1 e responder as perguntas 2 e 3, em que a
fração de defeituosos nos dois primeiros anos de vida é de cerca de 1% e 10% dos produtos estarão fora de operação com
10 anos de uso.
3.2. Função Taxa de Falha
A probabilidade de um produto falhar em um intervalo de tempo [t1, t2) pode ser expressa em termos da função de
confiabilidade como
A taxa de falha no intervalo [t1, t2) é definida como a probabilidade de que a falha ocorra neste intervalo, dado que a falha
não ocorreu antes de t1, dividido pelo comprimento do intervalo. Assim, a taxa de falha no intervalo [t1, t2) é expressa por
Considerando o intervalo [t, t+Δt), Δt > 0, a expressão (2.1) pode ser reescrita como
A taxa instantânea de falha em um tempo t será definida como
e sua expressão será obtida ao fazermos Δt tender a zero na expressão (2.2), isto é,
Sabendo que R(t) = 1 - F(t) e que a função densidade de probabilidade f(t) é igual à derivada da função de distribuição
acumulada F(t), isto é,
concluímos que a taxa instantânea de falha h(t) pode ser expressa como
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3. 7/4/2014 2 - Análise do Tempo de Falha - Confiabilidade | Portal Action
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Confiabilidade ›
Observe que, as taxas de falha são números positivos mas sem limite superior. A função taxa de falha h(t) é bastante útil
para descrever a distribuição do tempo de vida de produtos. Ela descreve a forma em que a taxa instantânea de falha
muda com o tempo. A Figura 2.1 mostra quatro funções de taxa de falha, sendo elas:
Crescente: a taxa de falha aumenta com o tempo. Este é o comportamento esperado para produtos ou
componentes, mostrando um efeito gradual de envelhecimento.
Decrescente: a taxa de falha diminui com o tempo. É o comportamento de certos tipos de capacitores e alguns
dispositivos semicondutores.
Constante: a taxa de falha é constante para qualquer valor do tempo. Usualmente caracteriza um período do
tempo de vida de vários produtos manufaturados.
Banheira: é uma combinação entre as três funções anteriores, sendo em um período inicial decrescente, no
período intermediário aproximadamente constante, e no período final crescente. Acredita-se que a função de
taxa de falha do tipo banheira descreve bem o comportamento do tempo de vida de alguns produtos que são
sujeitos, em um período inicial, a uma alta taxa de falha (período de falhas prematuras) que decresce
rapidamente ficando constante em um período intermediário (período de vida útil) e apresenta no período final
uma taxa de falha crescente (período de desgaste).
Figura 2.1: Funções de taxa de falha.
Outra relação entre h(t) e R(t) bastante usada é dada por
em que H(t) é a função taxa de falha acumulada, utilizada por alguns autores em análises gráficas para verificar a
adequação de modelos estatísticos.