Resolução da prova do colégio naval de 2003

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Resolução da prova do colégio naval de 2003

  1. 1. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-7006Colégio Naval 2003 (prova verde)01) Analise as seguintes afirmativas sobre um sistema S se duas equações do primeiro graucom duas incógnitas X e Y .I - S sempre terá ao menos uma solução, se os seus termos independentes são iguais a zero .II - SE a razão entre os coeficientes de X for igual a dos de Y , S terá infinitas soluções .III - Se a razão entre os coeficientes de X for diferente da dos de Y , S terá apenas uma soluçãoAssinale a alternativa correta.(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira.(C) Apenas a afirmativa III é verdadeira.(D) Apenas a s afirmativas I e III são verdadeiras.(E) As afirmativas I , II e III são verdadeiras .Solução:  1 1 1 1 12 2 2 2 20sistema linear homogênio0Todo Sistema Linear Homogênio, apresenta pelo menos a solução trivial, isto é,S = 0,0 assim nunca será incompatível.(I) CORRETAa x b x c a x b xa x b x c a x b xII          1 2 1 2 21 2 1 2 21 21 2, falso para termos infinitas soluções, teriamos que ter ,(II) FALSA(III) , (II) CORRETAa a a a cb b b b cLogoa aLogob b     Alternativa D02) Quantas raízes reais tem a equação raiz de xx  20 ?(A) Nenhuma. (B) Uma. (C) Duas, as quais são positivas.(D) Duas, as quais são negativas. (E) Duas, a quais têm sinais opostos .Solução: 22 2 21 2220 20 20 20 01 e 20 5 e 4Verificando-se as respostas vemos que 4 não serve, pois, porconvenção respresenta a a raiz quadrada positiva.Logo x = 5x x x x x x x xS P x xx                   Alternativa B
  2. 2. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700603) Quantos são os pontos de um plano  que estão eqüidistantes das três retas suportes doslados de um triângulo ABC contido em  ?(A) Um. (B) Dois. (C) Três. (D) quatro. (E) cinco.Resolução:Observando a figura acima, temos:a) O1 É O INCENTRO;b) O2, O3 e O4 SÃO OS TRÊS EX-INCENTROS.Alternativa D04) Se o número natural expresso por 2 2a - b , b 0 , é primo , então a é(A) o antecedente de b. (B) o conseqüente de b. (C) múltiplo de b.(D) divisor de b. (E) um número par .Solução:          2 2a - b = , como b 0 0, se não seria negativo.Logo 1 ou 1De 1 1 , não serve, pois, " " seria negativo.De 1 1Logo "a" é o consequênte de b.a b a b a a ba b a ba b a b aa b a b                 Alternativa B
  3. 3. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700605) Se    3 3 2 3 2m.m.c x , y 2 . 3 . 5 .7 e m.d.c x , y 2 . 3 .5, x e y números naturais ,quantos são os valores possíveis para x ?(A) 16 (B) 8 (C) 6 (D) 4 (E) 2Solução:   3 3 2 3 2O m.m.c , = 2 ×3 ×5 ×7 e o m.d.c , = 2 ×3 ×5O m.m.c de dois ou mais números é igual ao produto dos fatores comuns e nãocomuns elevados aos maiores expoentes.O m.d.c de dois ou mais números é iguaX Y X Y      l ao produto dos fatores comuns elevadosaos menores expoentes.Assim X é da forma X = 2 ×3 ×5 ×7 onde pelo m.m.c , e m.d.c ,fatores comuns:) 3) 2, 31) 1, 2) 0, 1X Y X Ytemosabcd     2 2 2 1 2 2 2 8 valorespossibilidades        Alternativa B06) Um certo líquido aumenta o seu volume em 15% , ao ser congelado. Quantos mililitrosdesse líquido deve-se colocar, no máximo, em um recipiente de 230 mililitros, sabendo-se queeste não sofre qualquer alteração da sua capacidade nesse processo?(A) 195,5 (B) 200 (C) 205 (D) 210 (E) 2151ª SOLUÇÃO:230 ml __________ 115%V ml __________ 100%2230 ml 100% 230V = V =115% ml 100 %115 %V = 200 ml2ª SOLUÇÃO:2230 230V 1,15 = 230 V= V=1,15  00115V = 200 mlAlternativa B
  4. 4. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700607) Considere uma circunferência  de raio R e diâmetros perpendiculares AB e CD . O raio damenor circunferência tangente interiormente à  e à corda AC, no seu ponto médio, é dadopor(A)4R(B)42R(C) 422 R(D) 412 R(E)6R Utilizando a figura acima, temos:2 22 2 2 22r + 2r = 2r = r =2 2 2 4RR R R RR R     Alternativa C
  5. 5. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700608) O resultado da divisão de 7 12por 6, é um número(A) inteiro.(B) com parte decimal finita.(C) com parte decimal infinita periódica simples.(D) com parte decimal infinita periódica composta.(E) com parte decimal infinita e não-periódica.SOLUÇÃO:2312127 6 resto 17 6 resto 17 6 resto 1e assim por diante7 6 resto 1Logo 7 6 1 se continuarmos a divisão, então:1 1Temos que dividir o resto por seis, isto é, 1,1666...6 2 3Logo temos uma Díziq        ma Periódica Composta.Alternativa D09) O resto da divisão de131 131 131 1315 + 7 + 9 + 15 por 12 é igual a(A) 0 (B) 2 (C) 7 (D) 9 (E) 11 n n1ªSOLU O - Utilizando o fato que a + b é divisível por a + b se "n" é ímpar, temos:Observando que 5 + 7 = 12 e 9 + 15 = 24 (divisível por 12)131 131 13Temos que (5 + 7 ) 5 7 e (912ÇÃ  1 131+ 15 ) 9 1524131 131 131 131Assim (5 + 7 + 9 + 15 ) é divisível por 12,Daí o resto é zero. 
  6. 6. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062ª SOLUÇÃO:5 12 resto 5 7 12 resto 72 25 12 resto 1 7 12 resto 1`25 493 35 12 resto 5 7 12 re125 34345 12 resto 1625Logo se o expoente é ímpar o resto é 5,se o expoente é par o resto é 1.131Então 5 12 resto 5           sto 747 12 resto 12401Logo se o expoente é ímpar o resto é 7,se o expoente é par o resto é 1,131Então 7 12 resto 7  15 12 resto 3215 12 resto 119 12 resto 922529 12 resto 9 315 12 resto 381337539 12 resto 9 415 12 resto 1172950625Logo o resto é 9 sempre.Logo se o ex131Então 9 12 resto 9        poente é ímpar o resto é 3,se o expoente é par o resto é 11.131Então 15 12 0 resto 3  131 131 131 131Logo o resto da divisão de 5 + 7 + 9 + 15 por 12 é o mesmo que oda divisão dos restos encontrados por 12, isto é:131 131 131 1315 + 7 + 9 + 15 12 5 + 7 + 9 + 3 12 resto 024  Alternativa A
  7. 7. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700610) Num quadrilátero ABCD tem-se : AB = 42, BC = 48, CD = 64, DA= 49 e P é o ponto deinterseção entre as diagonais AC e BD. Qual é a razão entre os segmentos PA e PC, sabendo-seque a diagonal BD é igual a 56 ?(A) 7/8 (B) 8/7 (C) 7/6 (D) 6/7 (E) 49/64De acordo com o enunciado podemos desenhar o quadrilátero abaixo:Observando os triângulos ABD e BCD, temos:49 756DADB 77 78842 648ABBC 76 78856 864DBDC 78logo ABD ~ BCD788Em particular os ângulos ADB e BDC são congruentes.DA AB DBDB BC DC     Assim, observando o triângulo ADC, vemos que podemos usar oteorema da bissetriz interna, isto é:4964AD DC PA ADPA PC PC DC   Alternativa E
  8. 8. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700611) Um fabricante observou que tem condições de aumentar, mensalmente, a sua produção em1/5 da produção do mês anterior. Considerando a condição dada, se, em janeiro de 2004, a suaprodução for P, em que mês desse mesmo ano a sua produção será, pela primeira vez, maior ouigual a 2P?(A) Abril. (B) Maio. (C) Junho. (D) Julho. (E) Agosto.Solução: (1ª SOLUÇÃO)Janeiro __________ P1 1 6Fevereiro __________ P + P × = P × 1+ = P ×5 5 56 6 1 6 6 30+6 36__________ P × + P × × = P × + = P × P ×5 5 5 5 25 25 253__________ P ×MarçoAbril            6 36 1 36 36 180+36 216+ P × × = P × + = P × P ×25 25 5 25 125 125 125216 216 1 216 216 1080+216__________ P × + P × × = P × + = P ×125 125 5 125 625 6251296 125P × P ×625Maio                  0P × 2625(2ª SOLUÇÃO):Janeiro __________ PFevereiro __________ 1,2 P__________ 1,2 1,2 P = 1, 44 P__________ 1,2 1, 44 P = 1, 728 P__________ 1,2 1, 728 P = 2,0736 PMarçoAbrilMaioAlternativa B
  9. 9. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700612 Dada a equação do 2° grau na incógnita X : 4X 2+ kX + 3 = 0 . Quantos são os valoresinteiros possíveis do parâmetro k ,tais que essa equação só admita raízes racionais ?(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8Antes de resolver essa questão, vamos enunciar um teorema, mas não vamos demonstrá-lo.Toda equação do segundo grau da forma 20, com 1ax bx c a    , em que as raízes sejamnúmeros racionais, podemos resolvê-la formando uma nova equação com a seguinte forma2 1 20, onde e1 2y yy bx ac x xa a     .Obs.: Com essa nova equação podemos resolver a equação um, resolvendo a equação doisusando a Soma e o produto das raízes.22 221 2 1 2Exemplo :2 17 8 0, fazendo a transformação, temos:17 8 2 0 17 16 0 17 e o Produto = 161 161 e 16 e 82 2.: odíamos resolver a equação anterior usando o fato qx xy y y y Somayy y x xaObs P                  1 22 2 2ue a + b + c = 0c1 e y Produto = .aFeito isso, vamos ao problema, isto é, a equação:4 K 3 0 3 4 0 K 12 0Temos que a Soma = K e o Produto = 12yX X y Ky y y             1 2 1 21 2 1 2(K = ).Para o produto dá 12, temos as seguintes possibilidades:a) 1 e 12 ) 1 e 12 13 e 13) 2 e 6 ) 2 e 6 8Somay y b y y K Ka bc y y d y y Kc                   1 2 1 2e 8) 3 e 4 f ) 3 e 4 7 e 7Kde y y y y K Ke f          Assim temos seis valores possíveis para o parâmetro K.Alternativa D
  10. 10. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700613)Num quadrado ABCD tem-se os pontos: P, pertencente ao lado AB; Q, pertencente ao ladoCD; R, médio de DA; e S, médio de BC. Se PB é o dobro de DQ e E é o ponto de interseçãoentre PQ e RS, quantos trapézios retângulos semelhantes sempre existirão na figura, sabendo-se que PB + DQ < AB ?(A) Dois. (B) Três. (C) quatro. (D) cinco. (E) seis.Conforme o enunciado, podemos montar as figuras abaixo, assim:Observando as figuras acima, vemos que todos os triângulos formados são semelhantes,para determinar se um trapézio é semelhante a outro, temos que ver a semelhança entre osretângulos formados, fazendo isso podemos notar que os únicos trapézios semelhantes são ostrapézios BPQC e DQER.Alternativa A
  11. 11. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700614) Analise as afirmativas abaixo , onde A e B são números reais .I -  222baba II -  222.. baba III -   0,222 bbabaAssinale a alternativas correta .(A) As afirmativas I , II e III são sempre verdadeiras .(B) Apenas a afirmativa I é sempre verdadeira.(C) Apenas as afirmativas I e II são sempre verdadeiras.(D) Apenas as afirmativas I e III são sempre verdadeiras.(E) Apenas as afirmativas II e III são sempre verdadeiras.Solução:     22 222222 2 2 222 2 2 2I) Contra-exemplo sejam a = 3 e b = -33 3 9 9 3 3 63 3 0 0 Falso.II) . CorretoIII) Corretoa b a ba b a b a ba b a b a b                   Alternativa E15) Dada a equação : ( X 2+ 1 ) 2+ (X 2+ 3X - 17 ) 2= 0, pode-se afirmar que, nouniverso dos números reais, o seu conjunto solução(A) é vazio. (B) tem apenas um elemento. (C) tem apenas dois elementos.(D) tem apenas três elementos. (E) tem apenas quatro elementos .Solução:  22 222 2Observe que:) 1 0 1 0 é sempre maior do que zero para qualquer valor de x.) 3 17 0 (para dois valores reais de x, mais) 3 17 0para qualquer valor de x.Assim, podemos concluir quea x xb x x x xx             2 22 21 3 17 0 para qualquer valor de xx x    Alternativa A
  12. 12. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700616) No estudo de ciências , item “Gases Perfeitos “, tem-se a seguinte fórmula :222111TVPTVP ,onde P 1 , V1 e T1 são , respectivamente , as condições de pressão ,volume e temperatura de umgás perfeito num primeiro estado ; e P 2 , V 2 e T 2 num segundo estado . Considerando afórmula dada ,analise as afirmativas abaixo .I - Pressão e volume são diretamente proporcionais .II - Pressão e temperatura são diretamente proporcionais .III - Volume e temperatura são inversamente proporcionais .Assinale a alternativa correta.(A) As afirmativas I, II e III são falsas . (B) Apenas a afirmativa I é falsa .(C) Apenas a afirmativa II é falsa. (D) Apenas a afirmativa III é falsa.(E) Apenas as afirmativas I e III são falsas .Obs.: a) Duas grandezas estão em proporção direta quando a RAZÃO entre elas é umaconstante.b) Duas grandezas estão em proporção inversa quando o PRODUTO entre elas é uma constante.A chamada Lei dos Gases Perfeitos ou Lei de Boyle - Mariotte.Nas Condições Normais de Temperatura e Pressão (CNTP), temos:I) Transformação IsotérmicaSe 1 2 1 1 2 2 São inversamente proporcionais.T T P V P V cte       (FALSO)II) Transformação IsométricaSe 1 21 21 2São diretamente proporcionais.P PV V cteT T     (CORRETO)III) Transformação IsobáricaSe 1 21 21 2São diretamente proporcionais.V VP P cteT T     (FALSO)Alternativa E
  13. 13. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700617) O conjunto dos trinta talheres de uma certa casa é constituído de garfos, facas e colheres, deaço inoxidável e aço comum .Sabe-se que existem cinco facas ,seis garfos e sete colheres ,todos de aço comum . o número total de garfos é o dobro do número de facas de aço inoxidável. o número de facas de aço inoxidável excede o número de colheres desse mesmotipo de aço em duas unidades .Quantas colheres tem esse conjunto de talheres?(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14Do enunciado podemos montar a tabela abaixo:GARFOS FACAS COLHERES TOTALAÇO COMUM 6 5 7 18AÇO INOX X Y Z 12I) 6 + 2 2 6II) y = z + 2 z = y - 2III) x + y + z = 12Pondo I e II em III, temos:202 6 y - 2 12 4 12 6 2 4 20 54Como z = y - 2 z = 5 - 2 z = 3Daí o número de colheres é igual ax y x yy y y y y y                 7 + 3 = 10Alternativa A
  14. 14. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700618) Um estudante foi calculando o lado do polígono regular de 2n lados , inscrito em umacircunferência de raio 10 centímetros ,para n sucessivamente igual a 6, 12, 24, 48, 96, etc.Após determinar cada lado, calculou o perímetro p do respectivo polígono, e observou que pé um número cada vez mais próximo, porém menor que(A) 60 (B) 61 (C) 62 (D) 63 (E) 64Quanto maior o número de lados de um polígono regular inscrito em uma circunferência C,mais próximo o seu perímetro estará do comprimento da circunferência C 2 R , porem essevalor nunca será maior.Assim calculando o comprimento de C = 2 R, para R =10C = 2 3,14 10 C = 6,28 10 C = 62,8 cm     Desse modo temos duas respostas possíveis, isto é, as alternativas D e E estão CORRETAS.19) Seja os polinômios  2 2X 4X e X 3 1 XP Q K     . Se a razão entre P eQ é diferente de 1, necessariamente(A)35K (B)53K (C)34K (D)43K (E) k  1 22Solu o :P 4 PQ Q3 1çãxx xx k x    4xx      4PQ 3 13 1PComo queremos que 1Q4P PVamos supor que 1 1Q Q 3 1xx kx kxxx k         4 x  3 154 3 1 3 4 1 3 535Logo3kk k k kk          Alternativa A
  15. 15. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700620) Num triângulo acutângulo isósceles ABC, o segmento BP, P interno ao segmento AC,forma com o lado BA um ângulo de 15 °. Quanto mede o maior ângulo de PBC, sabendo que ostriângulos ABP e ABC são semelhantes ?(A) 65,5° (B) 82,5° (C) 97,5° (D) 135° (E) 150°Solu o : De acordo com o enunciado os triângulos ABC e ABP sãosemelhantes e alem disso o triângulo ABC é isósceles, assim podemosconcluir:A) Que o triângulo ABP é isósceles,B) Como ABC é acutâçãngulo temos que ABP também o é,C) Como o ângulo ABP é igual a 15º, temos que os ângulos BAPe APB são congruentes, se não o triângulo ABP seria obtusângulo.de (A), (B) e (C), temos:Assim  165º15º 180º 2 180º 15º 2 165º 82,5º.2Como 15º é o maior ângulo do triângulo PBC, assim15º 82,5º 15º 97,5º                    Alternativa C

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