Apostila 1 matematica-ceesvo- em

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Apostila 1 matematica-ceesvo- em

  1. 1. Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim 1
  2. 2. APRESENTAÇÃO Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 1ª série do Ensino Médio. Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios. As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de Aprendizagem na Sala de Matemática. Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor. Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente. No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Não escreva na apostila, use seu caderno! META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM “Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam”. OBJETIVOS (Módulos 1 e 2 ) - Nesta U.E. você será capaz de; Fazer uso das operações básicas da matemática (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação no conjunto dos números racionais); Aplicar as técnicas de resoluções da equação do 1º grau em soluções de problemas; Reconhecer figuras geométricas e aplicar suas respectivas fórmulas no cálculo das áreas; Aplicar o conceito do Teorema de Tales na resolução de problemas que envolvam triângulos semelhantes; Aplicar o Teorema de Pitágoras para resolver situações–problemas que envolvam medidas dos lados do triângulo retângulo. 2
  3. 3. MÓDULO 1 RECORDANDO AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS Todos os dias, você usa dos recursos da Matemática para resolver pequenos e grandes problemas que aparecem na sua vida. Nesse módulo você vai estudar alguns desses recursos, para que seus cálculos estejam sempre corretos. Você iniciará esse Curso de Matemática do Ensino Médio recordando as quatro operações. Lembre-se: muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em Matemática, o mais importante é o raciocínio. Lendo os quatro problemas abaixo você vai usar as operações matemáticas que fazem parte do seu dia-a-dia. Um motorista de táxi andou 120 Km num dia e 162 Km no dia seguinte. No total quanto ele andou nesses dois dias? Um tênis que custa R$ 37,00 foi pago com uma nota de R$ 50,00. De quanto foi o troco? Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 12 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas? Devo repartir 24 balas igualmente entre meus 3 filhos. Quantas balas deve receber cada um? Quais são as operações que você usa para resolver estas questões? RESPOSTAS: 1- Soma 2- Subtração 3- Multiplicação 4 - Divisão Muitas vezes, na nossa vida, nos deparamos com operações em que necessitamos de números que representam dívidas, valores menores que zero etc, (esses números são escritos acompanhados do sinal negativo). Eles estão no Conjunto Z = ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...que se chama Conjunto dos Números Inteiros. 3
  4. 4. As quatro operações fundamentais: 1. ADIÇÃO: é usada para agrupar ou juntar quantidades de duas ou mais grandezas que identificam a mesma coisa. Exemplo1: Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 10 alunos, outra com 17 alunos e outra com 18. Quantos alunos existem ao todo nesta escola? Para reunir os alunos das 3 turmas devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. Assim: 10 + 17 + 18 = parcelas 45 soma ou total Existem, portanto, 45 alunos nesta escola. Obs: Cada um dos números que está sendo adicionado chama-se parcela e o resultado é a soma ou total Exemplo 2: Devo R$ 12,00 na padaria e devo R$ 17,00 no açougue. Qual é o total da minha dívida? –12 – 17= –29 Devemos usar o sinal negativo ( -) quando queremos representar uma dívida e o sinal positivo ( + ) quando queremos representar o dinheiro para pagar essa dívida. Observe que, se eu devo 12 reais e faço outra dívida de 17 reais, então é necessário que eu some essas dívidas para descobrir o quanto estou devendo. 2. SUBTRAÇÃO: É usada sempre que quisermos saber a “sobra” ou a diferença entre a quantidade de uma grandeza positiva e de outra negativa. E a sobra será representada pela quantidade maior. Exemplo 1: Continuando com o exemplo anterior. 4
  5. 5. Se eu descobri que estou devendo 29 reais, e tenho uma nota de R$ 50,00 para pagar essa dívida, devo representar assim: - 29 + 50 = + 21 Ou seja, se eu estou devendo 29 reais, uso o sinal negativo (-) para representar a dívida e se tenho 50 reais para pagar essa dívida, uso o sinal positivo (+) para representar o dinheiro. Assim, como o dinheiro que tenho é maior do que a quantidade que devo, pago a dívida e ainda me sobram 21 reais. Por isso que o resultado é + 21. Exemplo 2: Uma secretária recebeu a tarefa de pagar uma dívida de R$60,00 levando consigo R$100,00. Como podemos representar essa situação? – 60 +100 = +40, ou seja, ela deve 60 reais (-) e tem 100 reais (+) para pagar essa dívida. Então ela paga a dívida e ainda lhe restam 40 reais (+). OBSERVAÇÃO: Todo número positivo pode ser escrito sem o sinal de +. Porém todo número negativo deve sempre vir acompanhado do sinal de - . No exemplo anterior se quiséssemos escrever apenas 40 ao invés de +40 poderíamos. CONCLUSÃO: Quando temos números com sinais iguais devemos: somar os números e manter o mesmo sinal Quando temos números com sinais diferentes devemos: subtrair os números e manter o sinal do número maior. Observe agora outros exemplos: Exemplo 3: João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento: 5
  6. 6. Dia Saldo inicial 10 00,00 10 12 15 18 21 Depósito Retirada 60,00 25,00 65,00 20,00 12,00 Descubra o saldo bancário de João. Se você encontrou saldo positivo de R$ 68, 00, parabéns! Veja abaixo como se faz: 60 –25 + 65 – 20 – 12 = 60 + 65 – 25 – 20 – 12 = 125 – 57 = 68 Nesse caso a melhor forma de fazer o cálculo é “juntar”, somando os números positivos (depósitos) e “juntar”, somando, os números negativos (retiradas). Depois efetuar a subtração entre os dois e verificar se “sobrou” positivo ou negativo. Exemplo 4: Se você tem R$1200,00 no banco, e compra uma geladeira de R$ 1100,00 e um televisor de R$900,00 e paga com cheque como fica seu saldo bancário se você fez um deposito de R$300,00? +1200 – 1100 – 900 +300 = +1500 – 2000 = – 500 Exercícios: 1. Copie e resolva as seguintes operações no seu caderno: a) 37 + 43 = b) 37 – 47 = c) –9 – 6 = d) – 8 + 4 –12 +7= e) – 30 + 45 = f) + 24 –72 + 11 = 6
  7. 7. 3. MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO: Lembrando que a multiplicação nada mais é do que a soma de números iguais e a divisão como a operação que nos ajuda a repartir certas quantidades em partes iguais, observe: 4 X 5 quer dizer quatro vezes o número cinco, ou seja, 5 + 5 + 5 +5 que é igual a vinte. Exemplo 1: Se eu devo 3 reais para 2 pessoas posso representar assim: (- 3). 2 = -6, ou seja, (-2) + (-2) + (-2) = -6. Exemplo 2: Desejo colocar 20 lápis em 4 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo nº de lápis. Quantos lápis devo colocar em cada caixa? 20 4 ou 20 : 4 = 5 ou 20 = 5 0 5 4 Devo colocar 5 lápis em cada caixa. E se eu quisesse colocar 20 lápis em 3 caixas? dividendo 20 2 resto 3 6 divisor Colocaria 6 lápis em cada caixa e sobrariam 2. O resto é sempre positivo e menor que o divisor. quociente Recordando a multiplicação e divisão de nºs inteiros (positivos e negativos) (–5) • (– 4) = +20 (sinais iguais na multiplicação resultado positivo) (–8) • (+3) = – 24 (sinais diferentes na multiplicação resultado negativo) (+36): (+4) = +9 (sinais iguais na divisão resultado positivo) (+81): (– 3) = –27 (sinais diferentes na divisão resultado negativo) (–5) • (– 4) • (–7) = –140 + (Como os dois primeiros sinais são iguais o resultado é positivo, como o outro sinal é diferente,o resultado fica negativo) 7
  8. 8. Conclusão: As regras dos sinais na multiplicação e divisão podem ser resumidas em: Multiplicação ou Divisão de sinais iguais temos resultado positivo. Multiplicação ou Divisão de sinais diferentes o resultado é negativo. Resolva os exercícios abaixo em seu caderno e confira as respostas no GABARITO 2) Efetue as operações indicadas: a) (-20): (+ 4) = e) (+ 40) • (-3)= b) (+10) : (-5) = f) (- 100) : (-20) = c) (–3) • (+ 2) = g) (+ 80) • (- 4) = d) (–4) • (–3) = h) (5 – 8) • (+ 2)= Obs: lembre-se que no último exercício o parêntese deve ser resolvido em primeiro lugar. 4: POTENCIAÇÃO Muitas vezes, você vai ter que multiplicar um mesmo número muitas vezes. Para facilitar você deve usar a potenciação. POTENCIAÇÃO é uma multiplicação de fatores iguais, isto é, uma multiplicação com o mesmo número. Veja como se pode abreviar uma multiplicação de fatores iguais: 5.5 = 52 (lê-se: cinco elevado a segunda potência ou cinco elevado ao quadrado) 5.5.5 = 53 (cinco elevado a terceira potência ou cinco elevado ao cubo) 53 = 5. 5. 5 = 125 5² = 5. 5 = 25 Veja os nomes: expoente 53 = 125 potência Mostra quantas vezes se repete à multiplicação do número que está na base. base 8
  9. 9. Assim, 42 (quatro elevado à segunda potência) é 16 pois, 4 • 4 = 16 Lembre-se: As potenciações de expoente 2 e 3 têm nomes especiais: 42 : quatro ao quadrado; 43 : quatro ao cubo ; A potência também tem regras de sinais quando estamos operando (fazendo conta) com números positivos e negativos. Regras de sinais da potenciação Expoentes pares = a resposta é sempre + (positivo) Ex.: ( – 3) 2 = –3 • –3 = +9 (sinais iguais da multiplicação). Expoentes Ímpares = a resposta tem sempre o mesmo sinal da base Ex.: ( – 5)3 = –5 • –5• –5 = –125 Casos especiais de potenciação: Expoente zero= resultado 1, veja: ( -3) 0 = 1 Expoente 1= resultado o próprio nº da base = (–9)1 = –9 Base 0 = resultado zero 05 = 0 pois, 0 • 0 • 0 • 0 • 0 = 0 Base 10 = resultado é o nº 1 seguido da quantidade de zeros que o expoente indica. 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 Potência de expoente negativo (quando o nº é decimal ou fracionário de 10 e vice-versa) 10-1 = 1 10 = 0,1 10-2 = 1 = 0,01 100 10-3 = 1 = 0,001 1000 Veja alguns exemplos: (– 2) 4 = (–2) • (–2) • (–2) • (–2) = +16 (+1)5 = +1 • +1 • +1 • +1 • +1 = 1 (– 3) 3 = (-3) • (-3) • (-3) = – 27 (+ 3) 3 = (+3) • (+3) •(+3) = 27 Casos especiais: (-5) = -5 (-8)0 = 1 (9)1= 9 (2)-1 = 1 2 1 (1000)0 = 1 (- 25)0 = 1 9
  10. 10. 3) Determine o resultado das potenciações observando a regra de sinais. a) (+9)3 = c) (-8)2 = e) (+5)o = b) (- 25)2 = d) (-4)3 = f) (- 10)1 = FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS Fração quer dizer pedaços do mesmo tamanho. Você tem um chocolate dividido em 5 partes iguais. Dessas 5 partes você comeu 2. A fração que representa essa situação é 2 onde o nº 5 5 (denominador) mostra em quantas partes foi dividido o inteiro (chocolate) e o nº 2 (numerador) quantas partes foi considerado (comido) O chocolate inteiro é representado por 5 (nº do numerador igual ao nº do denominador) 5 Partes comidas (duas) Representação: 2 5 numerador denominador Total de partes divididas (cinco) TODA FRAÇÃO É UMA DIVISÃO. O traço de fração indica que você pode fazer a divisão do numerador pelo denominador.Veja o exemplo abaixo: Imagine que você precisa dividir R$ 25,00 igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma receberá? Você pode representar essa situação em forma de fração como 25 4 10 6,25 20 25 4 Utilizando uma fração para indicar a divisão, podemos representar: 25 = 6,25 4 Resposta: Cada pessoa receberá R$ 6,25 (seis reais e vinte e cinco centavos) 10
  11. 11. FRAÇÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES São frações que têm números diferentes mas, representam o mesmo tamanho de pedaços do inteiro.Veja o desenho abaixo: 2 = 4 = 12 3 6 18 2 4 = 3 6 “Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número”. Ex.: 20: 2= 10 6: 2 3 ou 1. 3 = 3 3.3 9 simplificação OPERAÇÕES COM FRAÇÕES: 1. SOMA E SUBTRAÇÃO: Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos considerar dois casos: 1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo denominadores: Exemplo: Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou? 3 - 2 =1 PIZZA INTEIRA = 3 3 3 3 3 Logo, sobrou 1 da pizza. 3 Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador. 11
  12. 12. 2º caso – As frações têm denominadores diferentes: Exemplo: Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos? 2 3 multipli ca + 3 4 = divid e 8 + 9 = 17 12 12 12 Você deve encontrar o m.m.c. dos denominadores 3 e 4 3,4 2 3,2 2 3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12 1,1 Observe as flechas ao lado elas mostram as operações que você deve fazer Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 12 Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois efetuar a soma ou subtração. 2. MULTIPLICAÇÃO: Para multiplicarmos duas ou mais frações, devemos multiplicar os numeradores e os denominadores entre si. Exemplos: a) 3 • 1 = 3 4 5 20 c) 1 • 9 = 9 5 5 b) – 2 • + 5 = –10 3 3 9 d) - 6 • -3 • 1 = 18 7 5 35 OBSERVAÇÃO: Quando aparecem números que não apresentam denominadores, devemos considerar esse denominador valendo 1, veja: 5=5 1 10 = 10 1 3=3 1 12
  13. 13. 3. DIVISÃO: Para dividirmos duas frações, devemos copiar a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda fração. Exemplos: a) 4 : 3 = 4 • 2 = 8 7 2 7 3 21 b) 5 : 2 = 5 • 8 = 40 3 8 3 2 6 4. Resolva as operações conforme as explicações acima: a) 8 : 6 = 2 5 b) 6 – 7 = 4 3 c) 4 + 3 = 9 4 d) 3 • 5 = 2 6 5. Resolva os problemas de acordo com o exemplo: Exemplo: Você vai fazer uma viagem de 1000 km. No primeiro dia anda 3 dos 1000 km e no 2º dia, anda 1 dos 1000 km . Quantos km faltam? 5 5 OBSERVAÇÃO: Para calcular o valor ou a quantidade de uma fração em relação ao inteiro basta efetuar a multiplicação dos numeradores e em seguida efetuar a divisão. 3 • 1000 = 3000 = 600 Km 5 5 1 • 1000 = 1000 = 200 Km 5 5 Agora resolva estes: a) Seu irmão tem R$ 224,00. Você tem 5 do que ele tem. Quanto em dinheiro você tem? 7 b) Você foi às compras levando R$ 12,00. Gastou 1 na padaria e 1 no açougue. Quanto lhe restou? 5 4 13
  14. 14. Você encontra cálculos de porcentagem em toda parte, no seu dia-a-dia. Mas o que significa e como calcular a porcentagem? PORCENTAGEM A porcentagem (%), compreende todos os problemas que se referem a tantos por cento, como as comissões, a corretagem, o desconto, etc. Observe que uma porcentagem é uma fração de denominador 100, ou seja, é “dividir por 100 e multiplicar pelo valor”. Por exemplo: 32% = 32 100 Quando queremos calcular uma porcentagem de algum número transformamos a porcentagem em fração e multiplicamos a fração por esse número: Exemplo 1: 12% de 50 = 12 • 50 = 600 = 6 100 100 Exemplo 2: 150 kg de semente de algodão dão 32% de seu peso de azeite. Quantos quilos de azeite podemos obter? Resolução: 32% de 150 = 32 • 150 = 4800 = 48 100 100 Resposta: Podemos obter 48 Kg de azeite. O que fazer para transformar uma fração em uma porcentagem? O mais prático é usar a calculadora para dividir o numerador pelo denominador e depois multiplicar o resultado por 100. 1 = 100% = um inteiro 14
  15. 15. 1 = 0,5 = 50% 2 1 = 0,25 = 25% 4 Exemplos: a) 8 = 8 :25 = 0,32 • 100 = 32 % 25 b) 4 = 4 : 7 = 0,5714 • 100 = 57,14% (com aproximação) 7 6. Resolva o problema: Você recebeu um aumento de 20% no seu salário que é de R$ 190,00. a) Qual o valor do aumento? b) Quanto ficará o novo salário? 7) Copie e complete a tabela (use a calculadora). Porcentagem Forma fração Forma Decimal 50% 1/2 0,5 6% 6/100 25% 150% 0,75 Você pode resolver porcentagens, regras de três e vários outros problemas através de proporções. PROPORÇÕES Exemplo: Vamos comparar o número de pára-choques, e o número de pneus de carros de passeio: um automóvel: simplificando 2 pára-choques = 2 = 1 4 pneus 4 2 dois automóveis: 4 pára-choques = 4 = 1 8 pneus 8 2 15
  16. 16. As razões: 1, 2, 4 , 6 são equivalentes, pois simplificando são iguais. 2 4 8 12 1=2 2 4 1=6 2 12 2=6 4 12 4=6 8 12 Cada uma dessas igualdades chama-se proporção. Proporção é a igualdade de duas razões. Ex: 20 = 8 5 2 Extremos = 20 . 2 = 40 Meios = 5 . 8 = 40 NUMA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS EXTREMOS É IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOS. Exemplo 1 : Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, quanto consumirá esse mesmo carro para percorrer 840 Km? Monte a proporção separando as grandezas em colunas. aumenta aumenta Litros Km 50 = 600 x 840 600 x = 50 . 840 x = 42000 600 x =70 litros Diretamente proporcional, quando as duas grandezas aumentam ou as duas diminuem. Resposta :O carro consumirá 70 litros. 16
  17. 17. Exemplo 2: Para construir uma casa em 24 dias preciso de 10 pedreiros. Quantos dias são necessários para construir a mesma casa com 15 pedreiros? pedreiros 10 15 aumenta diminui Dias 24 x Inversamente proporcional quando uma grandeza aumenta e outra diminui. x = 10 24 15 15x = 24 . 10 x = 240 15 x = 16 dias Neste caso devemos inverter a grandeza onde está a letra x. Resposta : São necessários 16 dias. 8 - Resolva em seu caderno: a) No curso de Medicina, para cada 2 moças, estudam 5 rapazes. Sabendo-se que há 100 moças, quantos rapazes estudam medicina? b) Em uma fábrica de calçados, para cada 5 homens empregados são também admitidas 3 mulheres. Sabendo-se que há 600 mulheres empregadas, qual o nº total de empregados que a fábrica possui? c) Numa velocidade média de 80 Km/h, fiz uma viagem em 14 horas. Se a velocidade fosse de 70 Km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem? Toda mercadoria que você compra a prazo, tem juros embutidos no preço total. Veja como calcular esses juros. JUROS SIMPLES: Tente resolver: Que juros você paga em 5 meses por uma TV de R$ 600,00 à uma taxa de 10% ao mês? Juros Simples (J)= Depositando-se dinheiro num banco, ou emprestando-se a uma pessoa, recebe-se um prêmio chamado juro. Capital (C) = é o dinheiro, ou seja, a quantidade depositada ou emprestada. 17
  18. 18. Taxa (i) = em geral é dada sob a forma de porcentagem durante um tempo determinado. Assim 10% (dez por cento), ao mês significa que R$ 100,00 rendem R$ 10,00 em um mês. Resolvendo o problema acima: t = (tempo) = 5 meses i = ( taxa ) = 10% 10 100 C = (Capital) = (preço da TV) = R$ 600,00 600. 10 = 6000 = 60 então: R$ 60,00 em 1 mês. 100 100 Como são 5 meses temos que: 60 • 5= 300 Resposta: Juros de R$ 300,00 Também você pode resolver este problema através de uma fórmula resolutiva, veja: J = c • i • t onde: 100 J= c= i= t= juros capital taxa tempo J = 600 •10 • 5 100 J = 300,00 Agora é com você ! Resolva. 9- Qual o juro produzido por um capital de R$ 800,00 a uma taxa de 5% em 3 meses? 18
  19. 19. GABARITO MÓDULO 1 1 ) a ) 80 d ) -9 b ) -10 e ) 15 c ) - 15 f ) - 37 2 ) a ) -5 d ) 12 g ) -320 b ) –2 e ) –120 h)-6 c ) -6 f)5 3 ) a ) 729 d ) –64 b ) 625 e)1 c ) 64 f ) –10 4 ) a ) 40 12 b ) – 10 12 c ) 43 36 d) 15 12 5 ) a ) R$ 160,00 b ) Restaram R$ 6,60 6) b ) R$ 228,00 a ) R$ 38,00 7) Porcentagem Forma fração Forma Decimal 50% 1/2 0,5 8) a ) 250 rapazes c ) 16 horas 9) 6% 6/100 0,06 25% 25/100 0,25 150% 150/100 1,5 75% 75/100 0,75 R$ 120,00 b ) 1600 funcionários 19
  20. 20. MÓDULO 2 EQUAÇÃO É uma sentença matemática que tem sentido completo, portanto, é uma igualdade (=) que envolve uma incógnita ou variável (letra) que está representando um número ou valor. VEJA: O dobro de um número ............. 2.X ........ sentido incompleto O dobro de um número é vinte........... 2.X = 20 sentido completo As equações são classificadas de acordo com o maior expoente da incógnita ou letra em: 1º GRAU ( o expoente da letra é 1) ex.: 3X +4 = 10 2º GRAU ( o expoente da letra é 2) ex.: X² +4X – 3 = 0 3º GRAU ( o expoente da letra é 3) ex.: X³ -5X² +X = 0 e assim por diante. RESOLVER uma equação é achar o valor da letra que torna a equação verdadeira. Esse valor é denominado raiz da equação. OBSERVE E TRADUZA PARA A LINGUAGEM MATEMÁTICA: Em Português: O dobro de um número é igual a vinte. DA Em Matemática: 2.X = 20 Qual é o valor de X que torna a igualdade verdadeira? X = 10 veja 2 . 10 = 20 20 = 20 verdadeiro Para resolver equações mais complexas (difíceis) é necessário separar os termos que são semelhantes. Quem separa é o sinal de igual (=). Devemos seguir os seguintes passos: - Isolar ou separar os termos que têm letras de um lado da igualdade e os números do outro lado, - Ao passar os termos de um lado para outro deve-se aplicar a operação inversa (troca de conta ou sinal): 20
  21. 21. de + para - ou de - para + de • para : ou de : para • Observe o esquema abaixo para entender melhor: INVERTE O SINAL LETRA / LETRA = NÚMERO / NÚMERO INVERTE O SINAL Exemplo 1: X+3=8 X = 8 –3 X=5 Exemplo 2 : 3x – 5 = x – 2 troca o sinal 3x – x = - 2 + 5 2x = 3 x= 3 2 Exemplo 3 : Resolva a equação 3 ( X – 2) = x – 8 3 . (x - 2) = x - 8 3x - 6 = x - 8 3x - x = - 8 + 6 Passa dividindo 2x = -2 x=-2 2 Multiplica, aplicando a propriedade distributiva (multiplica o nº de fora do parênteses pelos 2 termos de dentro do parênteses. Aplica a operação inversa ( invertendo o sinal). X = -1 21
  22. 22. Está resolvida, assim, a nossa equação. Se quiser conferir se a solução é realmente a que encontramos, devemos substituir x por -1 na equação dada. Veja: 3 ( X – 2) = x – 8 3 . ( -1 –2 ) = -1 -8 3 • (– 3) = -1 –8 -9 = -9 Está certo. A raiz da equação dada é realmente x = -1 . Exemplo 4 : Como resolver a equação fracionária abaixo? Coloque 1 onde não tem denominador • Encontre o m.m.c. dos denominadores m.m.c 2, 5 2 1, 5 5 1, 1 10 • Divide o m.m.c pelo debaixo e multiplica pelo de cima • X + 3x = 4x + 7 1 5 1 2 5 • x + 10 . 3x = 2 . 4x + 10. 7 10 5x +30x = 8x + 70 5x + 30x - 8x = 70 27x = 70 x = 70 27 EXERCÍCIOS: 1) Resolva as equações abaixo: a) 3x + 4 = 25 e ) 5x + 2 = -x + 20 b) 5(x – 1) – 19 = 3(x – 2) f) x + 9 = 15 c ) 3 (x + 2) = 5x – 8 g) 5 ( x –5) = x + 3 d ) 7x – 1 = 13 h) 3x + 1 = x + 4 LEMBRE-SE: nº antes de parênteses está multiplicando os de dentro do parênteses. 22
  23. 23. EQUACIONANDO UM PROBLEMA Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equação (ou as equações) de modo que ela expresse em linguagem matemática o que foi dado no problema em linguagem comum. Veja, então, como fazer isso com problemas algébricos, ou melhor, com problemas que admitem solução por meio de uma equação. EXEMPLO1: Qual é o número cujo dobro, mais 5, é igual a 17? Equacione o problema, chamando o número desconhecido de x. Saiba que não importa a letra que você usa para designar a incógnita, isto é, o número procurado, mas é universal o uso do x. O fato importante é que: Dobro do nº 2 X + 5 = 17 Para determinar o valor de x, é só resolver a equação lembrando que você deve aplicar a operação inversa . Verifique: Está multiplicando, passa do outro lado dividindo. 2 . x + 5 = 17 2 . x = 17 - 5 2 • X = 12 x = 12 2 x = 6 Vamos ver outro exemplo de equacionamento de problemas. É interessante que você experimente responder a estas duas perguntas antes de continuar a leitura: a) O que é x, neste caso? (Qual é a incógnita?) b) O que sabemos sobre x? (Qual é a equação?) 23
  24. 24. EXEMPLO 2: Qual o número cuja metade é a sexta parte de 42? Equacionamos assim: X = número O que sabemos: X = 42 2 6 multiplicando Aplicando a regra da proporção fica: 6 . x = 42 . 2 6 . x = 84 x = 84 6 x = 14 Está resolvido e a resposta é 14. EXERCÍCIOS: 2) a) b) c) Equacione e resolva os seguintes problemas algébricos: Qual é o número cujo triplo, mais 7, é igual a 23? Qual é número cujo dobro menos 10, é igual ao seu triplo mais 8? Qual é o número cuja metade é a sexta parte de 21? Agora você vai resolver alguns problemas com o auxílio da álgebra. Em cada um deles tente a partir do enunciado obter uma equação e, em seguida, resolvê-la. EXEMPLO 3: Uma caixa com 30 lápis custa R$ 4,80. Quanto deverá custar uma outra com 40 lápis? Este é um problema de regra de três (módulo 1 ). Problemas como esse são freqüentes em nossa vida. 24
  25. 25. Lápis R$ Diretamente 30 4,80 proporcional 40 x 30. x = 40 . 4,80 equação x = 192 30 x = 6,40 Logo, a caixa maior deverá custar R$ 6,40. EXERCÍCIOS: Resolva os problemas: 3) A soma de um número com seu consecutivo é 69. Qual é esse número? Atenção: consecutivo é x + 1 4) Em certo mercado, uma caixa com uma dúzia de ovos custa R$ 2,80 e uma outra com 18 ovos custa R$ 4,00. Qual das duas embalagens é mais econômica? VALOR NUMÉRICO Valor numérico é o valor que a expressão algébrica assume quando você substitui a letra X por determinados números. 1º EXEMPLO: Determine o valor numérico de : x² - 3 . x , para x = 4 1º passo: substituímos a letra x pelo número 4. x² - 3 . x = 4² - 3 . 4 = 2º: passo: efetuamos as operações indicadas. = 16 – 12 = = 4 Portanto o valor numérico de x² - 3 é 4. 25
  26. 26. 2º EXEMPLO: Calcule o valor numérico de : 3x + 4y , para x = 2 e y = -3 3 . 2 + 4 . (-3) 6 - 12 -6 , logo, o valor numérico é -6 O raciocínio algébrico é mesmo muito útil, poderoso e até mesmo muito atual em termos de pensamento matemático. Use-o nos próximos exercícios, não esquecendo de que o importante é a compreensão do que estamos estudando. EXERCÍCIOS: 5) Determine o valor numérico das seguintes expressões: a) x³ + 2. x para x = 2 para x = 3 b) 18 + 5 x c ) x + 2. x – 9 para x = -1 d ) b² - 4 .a. c para a = 2, b = -6 e c = 1 6) Você certamente reparou que os calçados são medidos por números: 35, 36, 37,... para as mulheres e 39, 40, 41,... para a maioria dos homens. Mas, existem, pés maiores. O número do sapato depende do comprimento do pé, e a fórmula para calcular o número do calçado é a seguinte: N = 5 . c + 28 4 N é o número do sapato. C é o comprimento do pé, em centímetros. Lembre-se do cálculo do valor numérico, é do mesmo jeito que se resolve! a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24 cm? 26
  27. 27. GABARITO MÓDULO 2 1) a) 7 e)3 2) a) 3) 34 e 35 16 3 b) 9 f)6 b ) – 18 c) 7 g)7 d)2 h) 3 2 c) 7 4 ) a segunda embalagem é mais econômica 5 ) a ) 12 b ) 11 c ) –12 d ) 28 6 ) a ) 37 27
  28. 28. MÓDULOS 3, 4 e 5 OBJETIVOS ( Módulos 3, 4 e 5) Nesta U.E. você será capaz de: - Calcular a área baseado no croqui de uma casa; - Diferenciar área de perímetro e reconhecer as figuras geométricas; - Calcular área das diferentes figuras geométricas e resolver problemas do cotidiano; - Usar a proporcionalidade para resolver problemas; - Aplicar o Teorema de Pitágoras na solução de situações-problemas. MÓDULO 3 Neste módulo você vai ter uma noção do conceito de semelhança entre figuras e ver como se comportam as áreas semelhantes para depois ampliar esses conhecimentos com o Teorema de Tales no módulo 5.. Duas figuras são semelhantes quando uma é “ampliação” da outra. Ampliar ou reduzir uma figura significa obter uma outra com a mesma forma mas com tamanho diferente. Numa ampliação todas as medidas estão multiplicadas por um mesmo número. Numa redução todas as medidas estão divididas por um mesmo número. Multiplicado por 2 Esse número que multiplica (amplia) ou divide (reduz) uma figura é chamado de razão de semelhança. 28
  29. 29. Dois polígonos (figuras com ângulos) são semelhantes se: - Suas medidas são proporcionais (lados correspondentes aumentam ou diminuem na mesma razão). - Seus ângulos são congruentes (mesma medida). 1,12cm 0,7cm 2,0cm 135º 122º 2,5cm 56º 135º 3,2cm 47º 56º 3,5cm 122º 4cm 47º 5,6cm Plantas e Mapas Você já viu a planta de uma casa? Ela deve ter a mesma forma e a mesma distribuição da casa que você deseja construir, mas com medidas menores para caber em uma folha de papel. Por isso o desenhista divide todas as medidas por um mesmo número tornando assim figuras semelhantes. Da mesma forma são feitos os mapas representando uma figura semelhante ao real. Tanto as plantas como os mapas devem vir acompanhados por uma informação muito importante: a escala. Escala Escala é a razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida correspondente ao comprimento real. Vamos mostrar a seguir a planta de um terreno na escala 1/500 (um para quinhentos). Isso quer dizer que, para fazer a planta, o desenhista dividiu as medidas do terreno por 500 (500 vezes menor). 29
  30. 30. C 4,5 D Escala 1/500 Quadra A 5 7 Lote 2 A 4 B Rua Bela Se você tem a planta do terreno, a escala do desenho e uma régua, pode facilmente calcular suas medidas reais. Basta multiplicar as medidas encontradas na planta pelo número que aparece no denominador da escala. No nosso exemplo, para determinar as medidas do terreno basta multiplicar as medidas da planta por 500. Veja: MEDIDA NA PLANTA MEDIDA REAL AB = 4cm FRENTE DO TERRENO 4 . 500 = 2000cm = 20 m LATERAL ESQUERDA LATERAL DIREITA FUNDO DO TERRENO AD = 5cm BC = 7cm DC = 4,5cm 5 . 500 = 2500cm = 25 m 7 . 500 = 3500cm = 35 m 4,5. 500 = 2250cm = 22,5m Com a planta do terreno e sua escala, podemos calcular duas outras medidas importantes: o perímetro e a área desse terreno. O perímetro é a soma de todas as medidas do contorno do terreno. É a soma dos seus lados. No nosso terreno, o perímetro será: 20 + 25 + 35 + 22,5 = 102,5 m 30
  31. 31. E a área é calculada pela fórmula do trapézio (mód. 4): At = (B + b) . h 2 Então: A = (25 + 35) . 20 2 = 600 m² O CROQUI O croqui é um esboço do desenho de uma casa mostrando a disposição dos cômodos, usando medidas proporcionais à casa real. Essas medidas proporcionais são calculadas através de uma escala (razão) para que o desenho seja semelhante à casa real. É conveniente você usar a escala 1/100 cm, pois assim você terá 1 cm no papel representando 100 cm (1m) do real. Ex.: Se a cozinha da casa tem medidas, 6m de largura por 4m de comprimento no papel seu desenho terá 6cm de largura por 4cm de comprimento. A planta da casa é um croqui mais aperfeiçoado com localização de portas e janelas, espessura de paredes, etc. MAPAS Os mapas são desenhos muito reduzidos de grandes regiões. Para que você possa determinar distâncias em um mapa, precisa apenas de uma régua e da escala desse mapa. A seguir você vê o mapa do estado de São Paulo com suas principais cidades desenhado na escala 1 : 117. Calcule a real distância em Km entre as cidades de Sorocaba e Ourinhos. 31
  32. 32. A CASA O primeiro desenho que fazemos da nossa casa é apenas um esboço. Neste desenho, também chamado de croqui, mostrando a disposição dos cômodos com suas medidas aproximadas. Devemos já usar uma escala para que o desenho seja semelhante à casa que pretendemos construir. Usaremos aqui a escala 1/100, que é muito conveniente porque cada centímetro do desenho corresponderá a 100 centímetros reais, ou seja, a 1 metro. Assim por exemplo, se você medir a largura de um quarto e encontrar 3 cm, saberá, de fato, essa largura é de 3 m. Veja então a proposta para nossa casa: 32
  33. 33. 1,50 2,80 Área de serviço 4,00 cozinha 1,80 3,00 banheiro quarto B 4,60 4,20 sala quarto A 7,30 3,20 3,00 Vamos agora calcular a área de cada cômodo e a área total da casa: A área é calculada multiplicando o comprimento pela largura. Área de serviço ................. 2,80 . 1,50 = 4,20 m² Cozinha .............................. 4,00 . 2,80 = 11,20 m² Banheiro ............................. 1,80 . 2,80 = 5,04 m² Quarto B............................. 3,00 . 4,20 = 12,60 m² Quarto A ............................. 3,00. 3,20 = 9,60 m² Sala ................................... 7,30. 4,60 = 33,58 m² ÁREA TOTAL ........................................... 76,22 m² Você pode também calcular comprimento e largura da sua casa, vejamos: Comprimento 3,00 + 7,30 = 10,30 m ou 1,50 + 4,00 + 1,80 + 3,00 = 10,30 m Largura: 4,60 + 2,80 = 7,40 m ou 3,20 + 4,20 = 7,40 m 33
  34. 34. EXERCÍCIO: 1. A planta ilustrada foi desenhada na escala 1 : 100: a) Calcule as dimensões reais da sala desta casa. b) Calcule quantos metros quadrados de carpete são necessários para forrar o chão dos dormitórios A e B. c) Quantos metros quadrados de piso são necessários para colocar na sala e na cozinha? d) Calcule o comprimento e a largura dessa casa. 1,5 cm 3 cm banheiro Dormitório A 1cm 3 cm 2,5cm corredor Sala Dormitório B Cozinha 2,5cm 3,5cm 4,5cm GABARITO a ) 3,5 m e 6 m b ) 18,75 m² c ) 39 m² d ) comp = 11 m largura = 6 m 34
  35. 35. MÓDULO 4 ÁREAS e PERÍMETROS PERÍMETRO: é a soma das medidas de todos os lados que formam uma figura geométrica. Exemplo: 10cm 4cm 4cm P= 10 + 4 + 4 + 5 = 23cm 5cm O perímetro de uma figura circular é a medida do comprimento da circunferência (contorno). Usa-se a fórmula 2 • π • r onde π = 3,14 Exemplo: Raio=4cm 2 • π • r = 2 • 3,14 • 4 = 25,12cm ÁREA: é a medida da superfície de uma figura geométrica. Cada figura tem uma maneira especial de se calcular a área. É usado a unidade de medida universal: o metro quadrado (m²). São também usados o Km² e o cm². Ao operar com medidas não podemos esquecer que todas devem estar na mesma unidade. Quando isto não ocorre temos que fazer as transformações necessárias. ÁREAS DE POLÍGONOS A grande maioria dos problemas práticos fala de figuras tais como retângulos, quadrados, triângulos, hexágonos (seis lados), trapézios e outros. Polígonos: são figuras formadas por segmentos de retas (seus lados) dispostos numa linha poligonal fechada. 35
  36. 36. Veja alguns exemplos: TRIÂNGULO HEXÁGONO TRAPÉZIO RETÂNGULO QUADRADO Há também octógono (8 lados), decágono (10 lados), pentágono (5 lados),etc. Você não precisa decorar esses nomes agora. É claro que os desenhos acima são apenas alguns exemplos de polígonos, mas você pode perceber que cada um ocupa uma certa quantidade de superfície que chamamos de área. Na vida prática, saber calcular a área pode lhe ajudar em alguns problemas cotidianos seja o tamanho do seu terreno ou a quantidade de lajotas que você deverá comprar para por no piso de sua casa, ou a quantidade de tecido necessário para se fazer um vestido, etc. Para você calcular a área de um polígono é necessário que você saiba identificá-lo, isto é saiba com que figura está trabalhando, portanto preste atenção nas características descritas nas figuras abaixo. 1- ÁREA DOS PARALELOGRAMOS: quadrilátero (quatro lados) cujos lados opostos são congruentes(mesma medida) e paralelos dois a dois. Observe o paralelogramo: b=base h=altura h Altura medida de uma base a outra. Pode vir marcada dentro da figura com uma linha pontilhada ou com ao lado com uma linha cheia h b A paralelograma = b • h Onde b= base h = altura O retângulo e o quadrado são exemplos de paralelogramo. 36
  37. 37. ÁREA DO RETÂNGULO: tem lados congruentes (mesma medida) dois a dois e 4 ângulos retos ( 90º) A B Observe o retângulo: Lado AB paralelo ao lado CD e congruentes Lado AC paralelo a BD e congruentes Ângulos retos: Â, B, C, D (90º) 2 cm C 3 cm D Para calcular a sua área ou superfície basta multiplicar o comprimento (base) pela largura (altura) Podemos então dizer que A= área b= base h= altura A retângulo = b . h Para o exemplo acima temos a área igual a A = 3 • 2 = 6cm² Onde: 3 2 6 base do retângulo altura do retângulo área do retângulo ÁREA DO QUADRADO: tem 4 lados congruentes (mesma medida) e quatro ângulos retos (90º). Observe o quadrado com lados de 4 cm. 4cm Como os quatro lados têm a mesma medida não há necessidade de chamar os lados de base e altura A quadrado = L² 4cm Podemos concluir que b=h então a área do quadrado é lado vezes lado ou L². o exemplo acima A = 4 • 4 = 16 cm² 37
  38. 38. 2- ÁREA DO TRAPÉZIO. têm dois lados paralelos: B (base maior) e b (base menor) Observe o trapézio: ou B b = 4cm b B h base menor base maior altura h= 3cm h B = 7cm Se quisermos saber a área de um trapézio, basta fazer: A trapézio = (B+b).h 2 h b onde: No exemplo acima temos a área do trapézio igual a: A = (7 + 4 ) • 3 = 11 • 3 = 33 16,5cm² 2 2 2 3 - ÁREA DO TRIÂNGULO: tem 3 lados e 3 ângulos) Considere um triângulo qualquer: h = 4cm A triângulo = b.h 2 Onde; b= base h= altura b = 5cm Calculando a área do triângulo: A = 5 • 4 = 20 = 10cm² 2 2 38
  39. 39. 4- ÁREA DO LOSANGO: seus lados são paralelos dois a dois. Divida um losango em quatro triângulos iguais: 8 18cm Área losango = D.d 2 Onde: D = diagonal maior d = diagonal menor Para calcular a área do losango do exemplo acima devemos: A = 18 • 8 = 144 = 72cm² 2 2 EXERCÍCIOS: 1-Deseja-se forrar um pátio que possui 16,8 metros de comprimento por 5 m de largura, com ladrilhos cuja medida é de 12 cm por 20 cm. Sendo assim, deseja-se saber quantos ladrilhos são necessários. Sugestão: Lembre-se de - Calcule a área do Pátio transformar cm e m . - Faça a transformação da medida do Ex : 12 cm = 0,12 m ladrilho (cm para m ) - Calcule a área de 1 ladrilho, e ......... - Agora é com você...,quantos ladrilhos “cabem” no piso do pátio? 2-Um piso foi forrado com 200 ladrilhos cujas medidas são de 25 cm por 25 cm. Sendo assim, quantos cm2 possuem esse piso? Sugestão: - Ache a área de 1 ladrilho Veja quantos cm2 tem em 200 ladrilhos 3 – Na casa de João existe um quarto cujo chão é um quadrado de 4m de lado. Calcule a área desse quarto. 39
  40. 40. 4-Observe o triângulo abaixo e calcule sua área. A base é 6 cm e a altura é 5,19 cm 5,19 6 cm 5. Calcule a área do polígono: Sugestão: O polígono é formado por 3 figuras: trapézio, retângulo e triângulo. Calcule a área de cada uma para depois determinar área total. 6-O telhado dessa casa é de “ quatro águas” Para cobrir 1 m² de telhado gastam-se 15 telhas. Quantas telhas, aproximadamente há no telhado da casa ? SUGESTÃO: - primeiro calcule a área de cada figura que forma o telhado. - Calcule a área total do telhado - Calcule a quantidade de telhas 40
  41. 41. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO O que é círculo ? É o conjunto formado por todos os pontos de uma circunferência mais o seu interior. Ex: CD , moeda, etc.. O círculo tem superfície, portanto podemos calcular a ÁREA. O que é circunferência? É o conjunto formado por todos os pontos que contornam o círculo. Exemplo: um anel, um bambolê. A circunferência não tem superfície. Nela podemos apenas medir o seu contorno que chamamos de comprimento da circunferência. Tanto no círculo como na circunferência existe uma medida chamada RAIO que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência. Veja o desenho: ele está usando um pedaço de corda (raio) presa ao centro para desenhar uma circunferência. DIÂMETRO: é o dobro do raio. É uma medida que sai de um ponto da circunferência, passa pelo centro e vai até o outro ponto da circunferência. . 41
  42. 42. Círculo (tem área) Circunferência (tem comprimento) diâmetro raio CD ANEL COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA E ÁREA DO CÍRCULO Quando falamos na forma circular, imediatamente pensamos no número irracional π, cujo valor na forma decimal é 3,14. e sua descoberta é uma das grandes páginas da história da Matemática. ÁREA DO CÍRCULO é determinada pela fórmula : Onde: r = medida do raio A = π . r² π = 3,14 Curiosidade: π é uma letra grega e lê-se “pi”. Esse valor constante do π é obtido dividindo-se o comprimento ( C ) da circunferência pelo seu diâmetro ( D ) Ex : Determine a área do circulo cujo raio mede 6cm A = 3,14 . 6² 6cm A = 3,14 . 36 LEMBRE-SE: A = 113,04 cm² 6² = 6 • 6 = 36 42
  43. 43. COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA é calculado com a fórmula: C = 2 . π . r Calcule o comprimento da circunferência cujo raio é 8cm 8 cm C = 2 . π . r C = 2 . 3,14 . 8 C = 50,24 cm Diâmetro é o dobro do raio. Se o diâmetro mede 10 cm, qual é a medida do raio? É 5 cm. ACERTOU !!!! EXERCÍCIOS : 7 ) Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias . Calcule a área de cada fatia. SUGESTÃO: calcule a área da pizza inteira para depois dividi-la por seis.. 8 ) A comunidade vai cercar uma praça com árvores distribuídas a cada 5 m. Como essa praça tem 150 metros de raio, quantas árvores serão necessárias ? 9 ) Um bambolê tem 60 cm de diâmetro . Determine o seu comprimento. 10 ) Um disco de cobre têm 80 m de diâmetro . Determine a área desse disco . 43
  44. 44. GABARITO 1 )3500 ladrilhos 2 ) 125000 cm² ou 12,5 m2 3 ) 16m2 4 ) 15,57 cm² 5 ) A = 25,35 m² 6 ) 177,19 m² , aproximadamente 2657 telhas 7 ) 117,75 cm² 8) aproximadamente 189 árvores 9 ) 188,4 cm 10 ) 5024 m² 44
  45. 45. MÓDULO 5 Freqüentemente, engenheiros arquitetos, construtores e urbanistas têm a precaução de desenhar e mostar suas obras em dimensões reduzidas, como um primeiro passo para a sua construção. Para isso, esses profissionais fazem uso de maquetes e plantas em seus respectivos trabalhos. • O desenho da planta de um apartamento, um desenho e sua imagem vistam por uma lupa, são exemplos de semelhança. FIGURAS SEMELHANTES Ítalo e Aline fazem ginástica diariamente. Veja a foto e sua ampliação: Observe que as medidas dos lados das duas fotos são diferentes, mas as medidas dos ângulos são iguais. 45
  46. 46. 35º 48 mm 69 mm 35º 32 mm 46 mm 124 º 124 º 66 cm 99 cm Na matemática, uma foto e sua ampliação são exemplo de figuras semelhantes. • Pode-se dizer que dois triângulos têm a mesma forma, uma vez que ambos têm forma triangular, mas nem sempre são semelhantes. Porém, dois triângulos eqüiláteros são sempre semelhantes. Eles têm a mesma forma! • Dois círculos são sempre semelhantes: Em figuras semelhantes há certas propriedades notáveis. Uma delas referese a comprimentos. Observe que as medidas das figuras (Ítalo e Aline) são diretamente proporcionais aos comprimentos correspondentes da outra. Multiplicando os comprimentos da figura menor por 1,5 obtemos os comprimentos da maior. Dizendo de outra maneira, temos: 99 mm = 69 mm = 48 mm 66 mm 46 mm 32 mm Figuras semelhantes têm também uma propriedade referente a ângulos. Os ângulos de uma figura são iguais aos ângulos correspondentes da outra. (Veja bem, aqui não entra proporcionalidade). Em dois triângulos semelhantes: • Os ângulos congruentes (mesmas medidas) são chamados ângulos correspondentes; • Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados homólogos. Você verá que a semelhança de triângulos é muito utilizada no Teorema de Tales. 46
  47. 47. TEOREMA DE TALES Curiosidades sobre Tales de Mileto Você sabe quem foi Tales? - Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo. - Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano 646 aC. e morreu em 546 aC. - A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas: m n Três ou mais retas paralelas (r,s,t) cortadas por duas retas transversais (m,n) determinam segmentos proporcionais: a = c b d 47
  48. 48. ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS Quando dois triângulos são semelhantes, os seus lados correspondentes são proporcionais. O Teorema de Tales estabelece que: Um feixe de retas paralelas determina em duas transversais, segmentos proporcionais Observe que aplicando o teorema das proporções você pode determinar a medida de um dos segmentos das retas transversais. = 20 multiplicando X . 20 = 12 . 10 10 X . 20 = 120 X = 120 20 x = 6 Você sabe que existem situações em que é difícil efetuar medições então, podemos usar o Teorema da Proporcionalidade (Tales) usando a teoria dos triângulos semelhantes. Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio. Como calcular a largura do rio para saber qual será o comprimento da ponte? Veja o esquema e observe como resolve a proporção para achar o valor de x. 12 X 20 10 12 x 48
  49. 49. O formato de um triângulo fica completamente definido quando são conhecidos os seus ângulos. Para isso basta conhecer dois ângulos, pois o terceiro é o que falta para que a soma dos três seja igual a 180º. “A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER É SEMPRE IGUAL A 180º”. Essa propriedade dos triângulos tem inúmeras aplicações práticas. Veja o exemplo abaixo. Imagine que para fazer um mapa, seja necessário saber a largura de um rio. Graças a essa propriedade dos triângulos a largura pode ser obtida facilmente. Veja: Representação matemática X Medem-se os ângulos B e C e a distância BC. 5,8 X 4 105 Apenas com essas medidas resolve-se o problema. Para isso desenha-se um triângulo semelhante àquele do rio. Veja a representação dos dois triângulos ao lado. Medindo-se os lados e usando proporcionalidade encontra-se a largura do rio. 49
  50. 50. Calculando a largura do rio dessa maneira, evita-se muito trabalho. Nem é preciso atravessar o rio. É por isso que a semelhança de triângulos é um conhecimento importante para geógrafos, cartógrafos, agrimensores, topógrafos e engenheiros. EXERCÍCIOS 1 - Observando o exemplo anterior, resolva em seu caderno. Um homem de 1,80 de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de comprimento. Qual é a altura da árvore? Representação matemática X 1,80 m 60º 2,70 m 60º 9m 2) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura abaixo. Qual é a largura do lago? Faça a representação matemática. Observe que têm dois triângulos: um menor dentro do outro maior. x 50
  51. 51. Exemplo resolvido. Calcule o comprimento de X x 17 = 2,1 4,2 (multiplica cruzado) 4,2 • X = 2,1 • 17 X = 35,7 4,2 X = 8,5 EXERCÍCIOS – 3 ) Faça em seu caderno. 4 ) Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que projeta uma sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo instante, uma vara de 1,5 m produz uma sombra de 2,5m? X 1,5m sombra 18m sombra 2,5m 51
  52. 52. 5 ) Uma haste de um metro projeta uma sombra de 2m, qual será a altura de um poste de iluminação que no mesmo instante tem uma sombra de 15 m? SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos dos triângulos. 6 ) Três retas paralelas ( a, b, c ) são cortadas por duas retas transversais (s, t ) formando quarteirões com as respectivas medidas. Determine a medida do quarteirão x. a x 100 m 80 50 m b c s t TEOREMA DE PITÁGORAS No século VI a.C. foi descoberta uma propriedade válida em todos os triângulos retângulos. Recordando: Elementos do Triângulo Retângulo Hipotenusa (é o lado maior, oposto ao ângulo reto) cateto Cateto ( lados que formam o ângulo reto 90º ) Teorema de Pitágoras. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 52
  53. 53. Exemplo: Hip² = cat² + cat² X² = 3² + 4² X² = 9 + 16 X = 25 X=5 X 3 4 2 ) Observe o terreno triangular abaixo e descubra a medida do terceiro lado. 25 (hipotenusa) 24 (cateto) X (cateto) Hip² = cat² + cat² 25² = x² + 24² 625 = X² + 576 625 – 576 = x² X² = 49 X = 49 X=7 EXERCÍCIOS: 7 ) O carpinteiro precisa calcular o comprimento dos caibros do telhado: 10 X Nesta situação você encontra um triângulo retângulo. Usando o Teorema de Pitágoras descubra o comprimento do caibro. 2,90 53
  54. 54. 8 ) Os lados de um quadrado medem 10 cm. Qual é o comprimento de suas diagonais? Dica : DIAGONAL: SEGMENTO DE RETA QUE UNE VÉRTICES OPOSTOS. Veja o desenho ao lado e observe que a Diagonal = diagonal passa a ser a hipotenusa dos dois triângulos hipotenusa retângulos formados. 9 ) Para que o portão ganhe rigidez ( lembra-se da rigidez do triângulo? ) o carpinteiro deve colocar uma trave de madeira que se estenda do ponto A até C ( conforme figura): A X GABARITO 130 C MÓDULO 5 150 GABARITO 1) 6 m 2) 250 m 3) 8,4 4) 10,8 5) 7,5 m 6 ) 160 m 7) 10,41 m 8 ) 14,142 9) 198,49 cm 54
  55. 55. Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes ATUALIZADA EM 2008 APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim 55

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