Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

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Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

  1. 1. Cap´ıtulo 13For¸cas gravitacionaisdiferenciaisCorpos com simetria esf´erica agem, gravitacionalmente, como massas pon-tuais, para as quais as influˆencias gravitacionais s˜ao facilmente calculadas.Na natureza, no entanto, os corpos na maioria das vezes n˜ao s˜ao perfeita-mente esf´ericos. A principal contribui¸c˜ao `a n˜ao-esfericidade em planetas ´ea sua rota¸c˜ao. Outra contribui¸c˜ao ´e proporcionada pelas for¸cas gravitacio-nais diferenciais que corpos vizinhos exercem uns nos outros. Essas for¸casdiferenciais resultam em fenˆomenos como mar´es e precess˜ao.A for¸ca total exercida sobre uma part´ıcula ser´a:Ftotal = Fcentro de massa + dFA for¸ca gravitacional diferencial ´e a diferen¸ca entre as for¸cas gravitacionaisexercidas em duas part´ıculas vizinhas por um terceiro corpo, mais distante.A figura a seguir ilustra a for¸ca diferencial entre as part´ıculas m1 e m2 devido`a atra¸c˜ao gravitacional do corpo M.MM FF-F1F-F2mmmm11 222 1F 21A for¸ca diferencial ∆F = F1 − F2 tende a separar as duas part´ıculas m1e m2 pois, em rela¸c˜ao ao centro de massa, as duas se afastam. Se as duas111
  2. 2. part´ıculas s˜ao parte do mesmo corpo, a for¸ca diferencial tende a along´a-loou mesmo rompˆe-lo.13.1 Dedu¸c˜ao da for¸ca diferencialConsidere as duas part´ıculas da figura anterior. Chamemos de R a distˆanciaentre as duas part´ıculas, e de r a distˆancia de M `a part´ıcula m2. O valorde ∆F ser´a:∆F = F1 − F2Sendo:F1 =GMm1(r − R)2eF2 =GMm2r2Temos que:F1 − F2 = GMm1(r − R)2 −m2r2Fazendo m1 = m2 = m, podemos escrever:F1 − F2 = GMmr2 − (r − R)2r2(r − R)2= GMm2rR − R2r4 − 2Rr3 + r2R2= GMmR 2r − Rr4 1 − 2Rr + R2r2Para r >> R, 2r − R 2r, e 1 − 2Rr + R2r2 1. Portanto, a express˜ao dafor¸ca diferencial fica:∆F =2GMmr3RPodemos chegar a esse mesmo resultado derivando a Lei de Gravita¸c˜ao Uni-versal:F = −GMmr2Ent˜ao:dFdr=2GMmr3112
  3. 3. edF =2GMmr3dr.Essa ´e a express˜ao da for¸ca diferencial dF na dire¸c˜ao de dr. ´E, basicamente,a mesma express˜ao derivada anteriormente, com a diferen¸ca de que aquitemos dr onde l´a temos R. Isso nos diz, portanto, que dr ´e a separa¸c˜aoentre os pontos para os quais se calcula a for¸ca diferencial.13.2 Mar´esAs mar´es, na Terra, constituem um fenˆomeno resultante da atra¸c˜ao gravi-tacional exercida pela Lua sobre a Terra e, em menor escala, da atra¸c˜aogravitacional exercida pelo Sol sobre a Terra.A id´eia b´asica da mar´e provocada pela Lua, por exemplo, ´e que a atra¸c˜aogravitacional sentida por cada ponto da Terra devido `a Lua depende dadistˆancia do ponto `a Lua. Portanto, a atra¸c˜ao gravitacional sentida no ladoda Terra que est´a mais pr´oximo da Lua ´e maior do que a sentida no centroda Terra, e a atra¸c˜ao gravitacional sentida no lado da Terra que est´a maisdistante da Lua ´e menor do que a sentida no centro da Terra. Portanto, emrela¸c˜ao ao centro da Terra, um lado est´a sendo puxado na dire¸c˜ao da Lua,e o outro lado est´a sendo puxado na dire¸c˜ao contr´aria. Como a ´agua fluimuito facilmente, ela se “empilha” nos dois lados da Terra, que fica com umbojo de ´agua na dire¸c˜ao da Lua e outro na dire¸c˜ao contr´aria.Enquanto a Terra gira no seu movimento di´ario, o bojo de ´agua conti-nua sempre apontando aproximadamente na dire¸c˜ao da Lua. Em um certomomento, um certo ponto da Terra estar´a embaixo da Lua e ter´a mar´e alta.Seis horas mais tarde, a rota¸c˜ao da Terra ter´a levado esse ponto a 90◦ daLua e ele ter´a mar´e baixa. Dali a mais seis horas, o mesmo ponto estar´aa 180◦ da Lua e ter´a mar´e alta novamente. Portanto, as mar´es acontecemduas vezes a cada 24h 50min, que ´e a dura¸c˜ao do dia lunar. Se a Terra fossetotalmente coberta de ´agua, a m´axima altura da mar´e seria 1 m. Como aTerra n˜ao ´e completamente coberta de ´agua, v´arios aspectos resultantes dadistribui¸c˜ao das massas continentais contribuem para que a altura e a horada mar´e variem de lugar a outro. Em algumas ba´ıas e estu´arios, as mar´eschegam a atingir 10 m de altura.113
  4. 4. Figura 13.1: A mar´e alta segue a posi¸c˜ao da Lua.13.2.1 Express˜ao da for¸ca de mar´eConsidere a atra¸c˜ao gravitacional FP , sentida por uma part´ıcula em umponto P na superf´ıcie da Terra, situado a uma distˆancia r da Lua. Seja d adistˆancia centro a centro entre Terra e Lua, e R o raio da Terra.dLuaTerrarRrA for¸ca diferencial ∆F no ponto P em rela¸c˜ao ao centro da Terra ´e:∆F = FP − FC114
  5. 5. Como r ´e muito maior do que R, o ˆangulo θ ´e muito pequeno e a dire¸c˜ao dafor¸ca FP ´e quase paralela `a dire¸c˜ao da for¸ca FC, ficando aproximadamentecomo na figura abaixo:MM F1 2FFCMF-F1 CMF-F2 CMmmmm11 22Portanto, se pode dizer, sem muita perda de precis˜ao, que∆F = FP − FCO valor de ∆F j´a foi derivado na se¸c˜ao (13.1), e vale∆F =2GMmr3∆rNessa express˜ao, M ´e a massa do corpo que provoca a mar´e (a Lua no nossoexemplo), m ´e a massa da part´ıcula teste, r ´e a distˆancia entre M e m,(em m´edia, a distˆancia Terra-Lua, ou d na figura acima), e ∆r ´e a varia¸c˜aonessa distˆancia, que ´e a causadora da varia¸c˜ao na for¸ca gravitacional paradiferentes pontos da Terra. No caso da figura acima, a varia¸c˜ao em r entreos pontos P e C ´e R cos φ. Considerando que a for¸ca gravitacional m´ediada Lua sobre a Terra est´a aplicada no centro da Terra, a varia¸c˜ao m´aximanessa for¸ca acontece para os pontos que est˜ao sobre a superf´ıcie da Terra,na dire¸c˜ao da linha que une os centros da Terra e da Lua. A diferen¸ca dedistˆancia entre esses pontos e o centro da Terra ´e o pr´oprio raio da Terra,R, e, conseq¨uentemente, a m´axima acelera¸c˜ao de mar´e na Terra, devido `aLua, ´e∆Fm= 2 GMd3RPortanto, a for¸ca de mar´e em um corpo de raio R, provocada por umcorpo de massa M, localizado a uma distˆancia d, ´e:∆F ∝Md3RA for¸ca ∆F pode ser decomposta em uma componente vertical `a su-perf´ıcie da Terra e uma componente horizontal. A componente vertical115
  6. 6. provoca apenas uma leve varia¸c˜ao do peso das massas localizadas no pontoonde estamos calculando a for¸ca de mar´e; ´e a componente horizontal queprovoca a mar´e propriamente dita.13.2.2 Compara¸c˜ao das mar´es produzidas na Terra pela Luae pelo SolComo vemos na equa¸c˜ao anterior, a for¸ca de mar´e ´e diretamente proporcional`a massa do corpo que provoca a mar´e e inversamente proporcional ao cuboda distˆancia entre o corpo que provoca a mar´e e o que sofre a mar´e.Vamos comparar as mar´es produzidas pelo Sol e pela Lua em umapart´ıcula de massa m na superf´ıcie da Terra.dFdFL=MMLdLd3=2 × 1030 kg7, 35 × 1022 kg384 000 km149 600 000 km3= 0, 46Em conclus˜ao, embora a massa do Sol seja muito maior do que a daLua, por ele estar tamb´em muito mais distante a mar´e provocada pelo Soltem menos da metade do efeito da provocada pela Lua. Mas os efeitos dasduas mar´es se combinam vetorialmente, de forma que a intensidade da mar´eresultante depende da elonga¸c˜ao da Lua. Na Lua Nova ou Lua Cheia, asduas for¸cas se somam e produzem as mar´es cheias mais altas e mar´es baixasmais baixas. Na Lua Quarto-Crescente ou Minguante os efeitos da mar´e s˜aoatenuados.Vamos comparar as mar´es produzidas pela Lua em um bebe de massam na superf´ıcie da Terra, com aquela devido ao obstetra:dFobstetradFL=mobstetraMLdLdobstetra3=70 kg7, 35 × 1022 kg384 000 000 m1 m3dFobstetradFL≈ 100 00013.2.3 As mar´es, a rota¸c˜ao sincronizada da Lua e a evolu¸c˜aodo sistema Terra-LuaA for¸ca de mar´e causada em uma part´ıcula na Lua, pela Terra, ´e dada por:dF(T→L) =2GMTerrampart´ıculad3L−TRLua116
  7. 7. e a for¸ca de mar´e causada em uma part´ıcula na Terra, pela Lua, ´e dada por:dF(L→T) =2GMLuampart´ıculad3L−TRTerradF(T→L) =MTerraMLuaRLuaRTerradF(L→T) 20dF(L→T)j´a queRLua = raio da Lua = 1738 KmRTerra = raio da Terra = 6 370 KmR = raio do Sol = 696 000 KmdL−T = distˆancia Lua–Terra = 384 000 KmdS−T = distˆancia Sol–Terra = 149 600 000 KmM = massa do Sol = 1, 98 × 1030KgMTerra = massa da Terra = 5, 97 × 1024KgMLua = massa da Lua = 7, 35 × 1022KgOu seja, a for¸ca de mar´e na Lua provocada pela Terra ´e, aproximada-mente, 20 vezes a for¸ca de mar´e na Terra provocada pela Lua. Acredita-seque, no passado, o per´ıodo de rota¸c˜ao da Lua era menor do que o seu per´ıodode transla¸c˜ao em torno da Terra. Ao girar, ela tentava arrastar consigo osbojos de mar´e, que sempre ficavam alinhados na dire¸c˜ao da Terra. Assim,havia um movimento relativo entre as diferentes partes da Lua, o qual geravaatrito, que por sua vez tendia a frear a rota¸c˜ao. Devido a esse atrito, a Luafoi perdendo energia de rota¸c˜ao at´e ficar com a rota¸c˜ao sincronizada, estadoem que o per´ıodo sideral ´e exatamente igual ao per´ıodo de revolu¸c˜ao. N˜ao´e s´o a Lua que tem rota¸c˜ao sincronizada; os dois sat´elites de Marte, Phobose Deimos, cinco luas de J´upiter (incluindo os quatro sat´elites galileanos), 9luas de Urano, a lua Trit˜ao de Netuno, todos tˆem rota¸c˜ao sincronizada comtransla¸c˜ao. No caso do sistema Plut˜ao-Caronte, a sincroniza¸c˜ao ´e total, ouseja, os per´ıodos de rota¸c˜ao e transla¸c˜ao de Plut˜ao e Caronte s˜ao iguais.Na ´orbita circular e sincronizada n˜ao existe movimento relativo. A dis-tor¸c˜ao ainda ocorre, mas h´a equil´ıbrio que n˜ao envolve qualquer movimentorelativo por qualquer parte da mat´eria.No estado atual de evolu¸c˜ao do sistema Terra-Lua, a Terra ainda temde girar sob os bojos de mar´e, que ficam sempre apontados para a Lua. Oatrito gerado faz com que a rota¸c˜ao da Terra diminua, aumentando o diaem 0,002 segundos por s´eculo.117
  8. 8. Sincronizado~Nao-SincronizadoSe o momentum angular de rota¸c˜ao da Terra diminui por fric¸c˜ao, ent˜aoa Lua tem de aumentar seu momentum angular orbital, movendo-se paramais longe da Terra.Vamos ver porque isso acontece: o momentum angular de transla¸c˜ao da118
  9. 9. Lua ´e dado por = m · r × v, onde r ´e o raio da ´orbita e v a velocidadeorbital. Como v = 2πr/P e o per´ıodo P2 = kr3, ent˜ao:v =2πrk1/2r3/2=2πk1/2r−1/2,= m2πk1/2r · r−1/2= m2πk1/2r1/2,ou seja, aumentando o raio da ´orbita r, aumenta o momentum angular or-bital, compensando a redu¸c˜ao do momentum angular de rota¸c˜ao (spin).−−→total =−−−−−→rota¸c˜aoTerra +−−−−−→rota¸c˜aoLua +−−−−−−−−→transla¸c˜aoTerra−LuaNo futuro distante, a sincroniza¸c˜ao da ´orbita da Terra com a Lua impli-car´a que o dia e o mˆes ter˜ao a mesma dura¸c˜ao, que ser´a igual a aproxima-damente 35 dias atuais! No passado, a Terra devia girar mais r´apido e, por-tanto, o dia devia ser mais curto. De fato, estudos paleontol´ogicos indicamque 100 milh˜oes anos atr´as o ano tinha 400 dias; o dia 21 horas; e as mar´eseram muito mais intensas, pois a Lua estava mais pr´oxima. A evidˆenciavem de certas criaturas marinhas cujas conchas tˆem bandas de crescimentodi´arios e mensais, permitindo que os cientistas contem os n´umeros de bandasem um ciclo mensal em f´osseis de idades diferentes.13.2.4 Limite de RocheUma conseq¨uˆencia das for¸cas de mar´e ´e que um sat´elite em geral n˜ao podechegar muito perto de seu planeta sem se romper. O limite de Roche ´e adistˆancia m´ınima do centro do planeta que um sat´elite fluido pode chegarsem se tornar inst´avel frente a rompimento por mar´e.Em 1850, o astrˆonomo e matem´atico francˆes Edouard Roche (1820-1883)demonstrou que, para um sat´elite fluido, mantido apenas por sua auto-gravidade, de densidade m´edia ρm, orbitando em torno de um planeta dedensidade m´edia ρM e raio R, a distˆancia m´ınima do planeta em que osat´elite pode orbitar estavelmente ´ed = 2, 44ρMρm1/3R.Se o planeta e o sat´elite tiverem densidades iguais, o limite de Roche ´e 2,44vezes o raio do planeta.119
  10. 10. Uma deriva¸c˜ao simples do limite se obt´em considerando duas part´ıcu-las de massas m iguais, e se tocando, isto ´e, separadas somente por umadistˆancia dr. A for¸ca gravitacional entre as part´ıculas ´e dada por:FG =Gmm(dr)2e a for¸ca de mar´e de um corpo de massa M, e a uma distˆancia d, sobre elasser´a:FM =2GMm drd3Para as duas part´ıculas permanecerem juntas, a for¸ca gravitacional entreelas tem de balan¸car a for¸ca de mar´e, logoGmm(dr)2=2GMm drd3ed = (2M/m)1/3dr.ßSejaρM =M4/3πR3,eρm =2m8/3π(dr/2)3 ,d = (16)1/3 ρMρm1/3R = 2, 51ρMρm1/3R.O valor da constante num´erica, 2,51 em vez de 2,44, ´e porque n˜ao levamosem conta que as part´ıculas formam um fluido. O limite de estabilidade deRoche se aplica somente a sat´elites fluidos, sem tens˜oes intr´ınsecas.Em 1974, Hans R. Aggarwald e Vern R. Oberbeck estudaram o casode ruptura por mar´e de corpos esferoidais s´olidos, rochosos ou gelados,mantidos coesos por for¸cas de tens˜ao intr´ınsecas de seu material. Encontra-ram que, para sat´elites desse tipo, com diˆametros maiores do que 40 km, adistˆancia m´ınima que eles podem chegar de seu planeta sem quebrar ´e:d = 1, 38ρMρm1/3RPara corpos externos que se aproximam do planeta a distˆancia que elespodem chegar ´e ainda um pouquinho menor. Naturalmente, os sat´elites120
  11. 11. ou corpos impactantes podem ser quebrados por outras causas, como portens˜oes aerodinˆamicas, dependendo da densidade da atmosfera do planeta.Enfim, os limites reais de aproxima¸c˜ao m´ınima para os corpos seremest´aveis frente a for¸cas de mar´e dependem do tamanho e tens˜ao internados corpos. Sat´elites s´olidos podem chegar mais perto do planeta do quesat´elites fluidos porque as for¸cas de tens˜ao interna das rochas que o consti-tuem o mantˆem est´avel. Corpos menores do que 40 km podem chegar aindamais perto do planeta sem quebrar por for¸cas de mar´e desde que eles sejampequenos e duros o suficiente. Por exemplo, os an´eis de Saturno est˜ao dentrodo limite de Roche de Saturno, o que significa que as pequenas part´ıculasque formam o anel tˆem for¸cas coesivas maiores do que as for¸cas de mar´e.Entretanto, `a medida que aumenta o tamanho da part´ıcula, suas for¸cas co-esivas ficam menos importantes comparadas com as for¸cas de mar´e, e essa ´euma prov´avel explica¸c˜ao para o fato dessas part´ıculas nunca terem se jun-tado para formar um sat´elite. ´E poss´ıvel que os an´eis de Saturno sejamresultado de um sat´elite ou cometa que se aproximou demais do planeta ese quebrou devido `as for¸cas de mar´e.Quest˜ao: Qual a menor distˆancia que a Lua pode chegar da Terra semse romper? Usamosd = 1, 38ρMρm1/3Rconsiderando que:• MTerra = 5, 97 × 1024 Kg• RTerra = 6 370 Km• MLua = 7, 35 × 1022 Kg• RLua = 1738 KmObtemos:ρTerra =MTerra43 πR3Terra= 5514 kg/m3ρLua =MLua43 πR3Lua= 3342 kg/m3Portantod = 1, 385514 kg/m33342 kg/m3136370 km = 7527 km121
  12. 12. 13.3 Precess˜aoUm outro efeito das for¸cas diferenciais do Sol e da Lua na Terra, al´em dasmar´es, ´e o movimento de precess˜ao da Terra.O que causa a precess˜ao?A Terra n˜ao ´e perfeitamente esf´erica, mas achatada nos p´olos e bojuda noequador. Seu diˆametro equatorial ´e cerca de 40 km maior do que o diˆametropolar. Al´em disso, o plano do equador terrestre e, portanto, o plano do bojoequatorial, est´a inclinado cerca de 23◦ 26’ em rela¸c˜ao ao plano da ecl´ıptica,que por sua vez est´a inclinado 5◦ 8’ em rela¸c˜ao ao plano da ´orbita da Lua.Por causa disso, as for¸cas diferenciais (que ficam mais importantes nos doisbojos da Terra) tendem n˜ao apenas a achat´a-la ainda mais, mas tamb´emtendem a “endireitar” o seu eixo, alinhando-o com o eixo da ecl´ıptica (vejaa figura a seguir).Como a Terra est´a girando, o eixo da Terra n˜ao se alinha com o eixoda ecl´ıptica, mas precessiona em torno dele, da mesma forma que um pi˜aoposto a girar precessiona em torno do eixo vertical ao solo.No caso do pi˜ao, o seu peso gera um torqueN = r × mg.onde r ´e o vetor posi¸c˜ao do centro de massa do pi˜ao em rela¸c˜ao ao ponto decontacto com o solo, e mg ´e a for¸ca peso. Portanto, o torque N ´e paraleloao solo, perpendicular `a for¸ca peso, e perpendicular ao momentum angularde rota¸c˜ao do pi˜ao. Em m´odulo, seu valor ´e N = mgr. Como o torque ´edado por:N =dLdt.o seu efeito ´e variar o momentum angular do pi˜ao. Essa varia¸c˜ao ´e expressapordL = N dtou seja, tem a mesma dire¸c˜ao de N.Como L e N s˜ao perpendiculares, o torque n˜ao altera o m´odulo de L, masapenas sua dire¸c˜ao, fazendo-o precessionar em torno do eixo perpendicularao solo.No caso da Terra, as for¸cas diferenciais gravitacionais da Lua e do Solproduzem um torque que tende a alinhar o eixo de rota¸c˜ao da Terra com oeixo da ecl´ıptica, mas como esse torque ´e perpendicular ao momentum angu-lar de rota¸c˜ao da Terra, seu efeito ´e mudar a dire¸c˜ao do eixo de rota¸c˜ao, semalterar sua inclina¸c˜ao. Portanto, os p´olos celestes n˜ao ocupam uma posi¸c˜ao122
  13. 13. 23.5oNSmgLL L + dLdLNFigura 13.2: Precess˜ao da Terra e de um pi˜ao.123
  14. 14. fixa no c´eu: cada p´olo celeste se move lentamente em torno do respectivop´olo da ecl´ıptica, descrevendo uma circunferˆencia em torno dele com raio de23◦ 26’ 21.418”. O tempo necess´ario para descrever uma volta completa ´e25 770 anos. Atualmente, o P´olo Celeste Norte est´a nas proximidades da es-trela Polar, na constela¸c˜ao da Ursa Menor, mas isso n˜ao ser´a sempre assim.Daqui a cerca de 13 000 anos ele estar´a nas proximidades da estrela Vega, naconstela¸c˜ao de Lira. Apesar de o movimento de precess˜ao ser t˜ao lento (ape-Figura 13.3: Precess˜ao do p´olo norte celeste.nas 50,290966 por ano), ele foi percebido j´a pelo astrˆonomo grego Hiparco,no ano 129 a.C., ao comparar suas observa¸c˜oes da posi¸c˜ao da estrela Spica(α Virginis) com observa¸c˜oes feitas por Timocharis de Alexandria (c.320-124
  15. 15. c.260 a.C.) em 273 a.C. Timocharis tinha medido que Spica estava a 172◦do ponto vernal, mas Hiparco media somente 174◦. Ele concluiu que o pontovernal havia se movido 2 graus em 144 anos. O movimento de precess˜ao daTerra ´e conhecido como precess˜ao dos equin´ocios, porque, devido a ele, osequin´ocios se deslocam ao longo da ecl´ıptica no sentido de ir ao encontrodo Sol (retr´ogrado em rela¸c˜ao ao movimento da Terra em torno do Sol).O Sol leva 20 min para se mover 50 na ecl´ıptica (na verdade a Terra leva20 min para se mover 50 na sua ´orbita). Por causa disso, o ano tropical,que ´e medido em rela¸c˜ao aos equin´ocios, ´e 20 min mais curto do que o anosideral, medido em rela¸c˜ao `as estrelas. A precess˜ao n˜ao tem nenhum efeitoimportante sobre as esta¸c˜oes, uma vez que o eixo da Terra mant´em sua in-clina¸c˜ao de 23,5◦ em rela¸c˜ao ao eixo da ecl´ıptica enquanto precessiona em125
  16. 16. torno dele. Como o ano do nosso calend´ario ´e baseado nos equin´ocios, aprimavera continua iniciando em setembro no Hemisf´erio Sul, e em mar¸cono Hemisf´erio Norte. A ´unica coisa que muda ´e o ponto da ´orbita em que aTerra se encontra quando acontece uma determinada esta¸c˜ao. Devido a isso,mudam as estrelas vis´ıveis durante a noite nessa determinada esta¸c˜ao. Porexemplo, atualmente ´Orion ´e uma constela¸c˜ao caracter´ıstica de dezembro,e o Escorpi˜ao ´e uma constela¸c˜ao caracter´ıstica de junho. Daqui a cerca de13 000 anos ser´a o oposto.Tamb´em a intensidade das esta¸c˜oes pode ser alterada. Por exemplo,atualmente ´e ver˜ao no hemisf´erio sul quando a Terra est´a no peri´elio, einverno no hemisf´erio sul quando a Terra est´a no af´elio. Daqui a cercade 13 000 anos a situa¸c˜ao se reverter´a, e poss´ıvelmente as esta¸c˜oes ficar˜aomais acentuadas no hemisf´erio norte e mais atenuadas no hemisf´erio sul,comparadas com as atuais.A conseq¨uˆencia mais importante da precess˜ao ´e a varia¸c˜ao da ascens˜aoreta e da declina¸c˜ao das estrelas. Por isso os astrˆonomos, ao apontarem seustelesc´opios para o c´eu, devem corrigir as coordenadas tabeladas da estrelaque v˜ao observar pelo efeito de precess˜ao acumulado desde a data em queas coordenadas foram registradas at´e a data da observa¸c˜ao.Por completeza, devido ao torque causado pela Lua, Sol e outros pla-netas, al´em dos deslocamentos de mat´eria em diferentes partes do planeta:elasticidade do manto, achatamento da Terra, estrutura e propriedades da126
  17. 17. borda entre n´ucleo e manto, reologia do n´ucleo, variabilidade dos oceanose da atmosfera, a inclina¸c˜ao (obliq¨uidade) do eixo da Terra em rela¸c˜ao aoeixo da ecl´ıptica est´a decrescendo 0,46815 ”/ano, ou= 23◦26 21, 418 − 0, 46815”t − 0, 0000059”t2+ 0, 00001813”t3com t ≡ (ano − 2000).A pr´oxima corre¸c˜ao ao movimento chama-se nuta¸c˜ao e trata-se da com-ponente n˜ao circular (bamboleio) do movimento do p´olo da Terra em tornodo p´olo da ecl´ıptica, causada principalmente por pequenas varia¸c˜oes na in-clina¸c˜ao da ´orbita da Lua e pelo deslocamento dos n´odos da ´orbita. Aprincipal contribui¸c˜ao da nuta¸c˜ao tem uma amplitude de ∆ = 9, 2025” eper´ıodo de 18,613 anos, mas contribui¸c˜oes menores, como 0,57”com per´ıodode 182,62 dias, tamb´em est˜ao presentes.As for¸cas diferenciais do Sol e da Lua sobre a Terra s˜ao mais complexasdo que nossa aproxima¸c˜ao pois os trˆes corpos n˜ao s˜ao esf´ericos. Existe aindaa pequena contribui¸cao das for¸cas diferenciais causada pelos planetas sobrea Terra.127

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