Gravitação universal

1. LEI DA GRAVITAÇÃO DE ISAAC NEWTON

2.  Um dos mais antigos objetivos da física é compreender a força gravitacional,
a força que nos mantém na superfície da Terra, que mantém a Lua em órbita
em torno da Terra e que mantém a Terra em órbita em torno do Sol.

3.  A lei da gravitação universal de Newton estabelece que a força gravitacional
entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto de suas massas e
inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
𝑭 = 𝑮
𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝟐
𝒓

4.  A atração gravitacional depende da quantidade de matéria: a Terra possui uma
grande “quantidade de matéria” e produz uma grande atração, mas uma pessoa
possui uma quantidade de matéria relativamente pequena e é por isso que não
atrai outras pessoas.
 Força gravitacional repulsiva.
 Em 1665, Isaac Newton, então com 23 anos, prestou uma contribuição
fundamental à física ao demonstrar que era essa mesma força que mantinha a
Lua em órbita.
 Newton sustentou que todos os corpos do universo se atraem mutuamente; esse
fenômeno é chamado de gravitação.

5.  Se as massas das partículas são 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 e elas estão separadas por uma
distância r, o módulo da força de atração que uma exerce sobre a outra é
dado por
𝑭 = 𝑮
𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝟐
 G é uma constante, conhecida como constante gravitacional, cujo valor é:
(Lei da Gravitação de Newton)
𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏
𝑵𝒎𝟐
𝒌𝒈𝟐

6. Gravitação e o princípio da superposição
 Dado um grupo de partículas, podemos determinar a força gravitacional, a que
uma das partículas está submetida devido à presença das outras, usando o
princípio da superposição.
𝑭𝟏,𝒓𝒆𝒔. = 𝑭𝟏𝟐 + 𝑭𝟏𝟑 + ⋯ + 𝑭𝟏𝒏
 𝑭𝟏𝟐 é a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1.
m1
m3
m2
𝐹12 𝐹13
𝐹1,𝑟𝑒𝑠.
𝐅𝟏,𝐫𝐞𝐬. =
𝐢=𝟐
𝐧
𝐅𝟏𝐢

7.  Força gravitacional que um objeto real (de dimensões finitas) exerce sobre
uma partícula.
Objeto real
𝑭𝟏
dm
dm
dm
dm
dm
 Partes infinitesimais de massa dm; cada uma delas exerce uma força infinitesimal ⅆ𝑭 : sobre a partícula.
ⅆ𝑭
ⅆ𝑭
𝐅𝟏,𝐫𝐞𝐬. =
𝐢=𝟐
𝐧
𝐅𝟏𝐢
𝑭𝟏 = ⅆ𝑭

8. A GRAVITAÇÃO PERTO DA SUPERFÍCIE DA TERRA
• Vamos supor que a Terra é uma esfera homogênea de massa M. O módulo da
força gravitacional que a Terra exerce sobre uma partícula de massa m,
localizada fora da Terra a uma distância r do centro da Terra, é dado pela:
𝑭 = 𝑮
𝑴𝒎
𝒓𝟐
𝒓
𝑭
𝒂𝒈 = 𝑮
𝑴
𝒓𝟐
• Se a partícula é liberada, ela cai em direção ao
centro da Terra, em consequência da força
gravitacional 𝑭 , com uma aceleração 𝒂𝒈 que é
chamada de aceleração da gravidade.
𝒂𝒈

9. Altitude (km) ag (
m
s2) Exemplo de Altitude
0 9,83 Superfície média da Terra
8,8 9,8 Monte Everest
36,6 9,71
Recorde para um balão
tripulado
400 8,7 Órbita do ônibus espacial
35.700 0,225 Satélite de comunicações
 A Tabela mostra os valores de ag calculados para várias altitudes acima da
superfície da Terra.

10.  Supomos que a Terra era um referencial inercial, desprezando o movimento de
rotação do planeta.
 Essa simplificação permitiu supor que a aceleração de queda livre g de uma
partícula era igual à aceleração da gravidade (que agora chamamos de ag).
 Além disso, supusemos que g possuía o valor de 9,8 m/s2 em qualquer ponto da
superfície da Terra.
 Na verdade, o valor de g medido em um ponto específico da superfície
terrestre é diferente do valor de ag calculado usando a Eq.
𝒂𝒈 = 𝑮
𝑴
𝒓𝟐
para o mesmo ponto, por três razões:

11.  A massa da Terra não está distribuída uniformemente: A massa específica
(massa por unidade de volume) da Terra varia com a distância do centro, como
mostra a Fig.
Massa específica da Terra em função da distância do centro.

12.  A Terra não é uma esfera. A Terra tem a forma aproximada de um elipsoide; é
achatada nos polos e saliente no equador. A diferença entre o raio equatorial
(distância entre o centro da Terra e o equador) e o raio polar (distância entre o
centro da Terra e os polos) é da ordem de 21 km.

13. • A Terra está girando. O eixo de rotação passa pelos polos norte e sul da Terra.
Um objeto localizado em qualquer lugar da superfície da Terra, exceto nos polos,
descreve uma circunferência em torno do eixo de rotação e, portanto, possui
uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da circunferência. Essa
aceleração centrípeta é produzida por uma força centrípeta que também está
dirigida para o centro.