Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

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Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

  1. 1. Cap´ıtulo 9Movimento dos planetasOs planetas est˜ao muito mais pr´oximos de n´os do que as estrelas, de formaque eles parecem se mover, ao longo do ano, entre as estrelas de fundo. Essemovimento se faz, geralmente, de oeste para leste (n˜ao confundir com o mo-vimento diurno, que ´e sempre de leste para oeste!), mas em certas ´epocaso movimento muda, passando a ser de leste para oeste. Esse movimentoretr´ogrado pode durar v´arios meses (dependendo do planeta), at´e que ficamais lento e o planeta reverte novamente sua dire¸c˜ao, retomando o movi-mento normal. O movimento observado de cada planeta ´e uma combina¸c˜aodo movimento do planeta em torno do Sol com o movimento da Terra emtorno do Sol, e ´e simples de explicar quando sabemos que a Terra est´a emmovimento, mas fica muito dif´ıcil de descrever num sistema em que a Terraesteja parada e seja o centro do movimento dos outros astros, ou seja, numsistema geocˆentrico.9.1 O modelo geocˆentrico de PtolomeuApesar disso, o geocentrismo foi uma id´eia dominante na astronomia durantetoda a Antiguidade e Idade M´edia. O sistema geocˆentrico tamb´em ´e conhe-cido como sistema ptolemaico, pois foi Claudius Ptolemaeus (85 d.C.-165 d.C.), o ´ultimo dos grandes astrˆonomos gregos, quem construiu o mo-delo geocˆentrico mais completo e eficiente. Ptolomeu explicou o movimentodos planetas atrav´es de uma combina¸c˜ao de c´ırculos: o planeta se move aolongo de um pequeno c´ırculo chamado epiciclo, cujo centro se move em umc´ırculo maior chamado deferente. A Terra fica numa posi¸c˜ao um pouco afas-tada do centro do deferente (portanto, o deferente ´e um c´ırculo excˆentricoem rela¸c˜ao `a Terra). At´e aqui, o modelo de Ptolomeu n˜ao diferia do modelo63
  2. 2. usado por Hiparco aproximadamente 250 anos antes. A novidade introdu-zida por Ptolomeu foi o equante, que ´e um ponto ao lado do centro dodeferente oposto em rela¸c˜ao `a Terra, em rela¸c˜ao ao qual o centro do epici-clo se move a uma taxa uniforme, e que tinha o objetivo de dar conta domovimento n˜ao uniforme dos planetas.x .PlanetaEquanteCentro doTerraDeferenteEpicicloDeferenteO objetivo de Ptolomeu era o de produzir um modelo que permitisseprever a posi¸c˜ao dos planetas de forma correta e, nesse ponto, ele foi razoa-velmente bem-sucedido. Por essa raz˜ao, esse modelo continuou sendo usadosem mudan¸ca substancial por cerca de 1300 anos.9.2 Cop´ernico e o modelo heliocˆentricoNo in´ıcio do s´eculo XVI, a Renascen¸ca estava sacudindo as cinzas do obs-curantismo da Idade M´edia e trazendo novo fˆolego a todas as ´areas do co-nhecimento humano. Nicolau Cop´ernico representou o Renascimento naastronomia. Cop´ernico (1473-1543) foi um astrˆonomo polonˆes com grandeinclina¸c˜ao para a matem´atica. Estudando na It´alia, ele leu sobre a hip´oteseheliocˆentrica proposta (e n˜ao aceita) por Aristarco de Samos (310-230 a.C.),e achou que o Sol no centro do Universo era muito mais razo´avel do que aTerra. Cop´ernico registrou suas id´eias num livro - De Revolutionibus- pu-blicado no ano de sua morte.As realiza¸c˜oes mais importantes de Cop´ernico foram:• introduziu o conceito de que a Terra ´e apenas um dos seis planetas(ent˜ao conhecidos) girando em torno do Sol;64
  3. 3. Figura 9.1: Movimento retr´ogrado dos planetas.• colocou os planetas em ordem de distˆancia ao Sol: Merc´urio, Vˆenus,Terra, Marte, J´upiter, Saturno (Urano, Netuno e Plut˜ao);• determinou as distˆancias dos planetas ao Sol, em termos da distˆanciaTerra-Sol;• deduziu que quanto mais perto do Sol est´a o planeta, maior ´e suavelocidade orbital. Dessa forma, o movimento retr´ogrado dos planetasfoi facilmente explicado sem necessidade de epiciclos [ver figura (9.2)].Conv´em notar que Cop´ernico manteve a id´eia de que as ´orbitas dosplanetas eram circulares e, para obter posi¸c˜oes razo´aveis, teve de manterpequenos epiciclos, mas n˜ao usou equantes.9.2.1 Classifica¸c˜ao dos planetas pela distˆancia ao SolPlanetas inferiores: Merc´urio e Vˆenus. Tˆem ´orbitas menores do que a´orbita da Terra. Os dois planetas est˜ao sempre muito pr´oximos doSol, alcan¸cando o m´aximo afastamento angular em rela¸c˜ao ao Sol de28◦, no caso de Merc´urio, e 48◦, no caso de Vˆenus. Por essa raz˜ao, eless´o s˜ao vis´ıveis ao anoitecer, logo ap´os o pˆor-do-sol (astro vespertino),ou ao amanhecer, logo antes do nascer do Sol (astro matutino).65
  4. 4. Planetas superiores: Marte, J´upiter, Saturno, Urano, Netuno e Plut˜ao.Tˆem ´orbitas maiores do que a da Terra. Podem estar a qualquerdistˆancia angular do Sol, podendo ser observados no meio da noite.9.2.2 Configura¸c˜oes planet´ariasPara definir as configura¸c˜oes dos planetas, que s˜ao as posi¸c˜oes caracter´ısticasdos planetas em suas ´orbitas, vistas da terra, conv´em antes definir elonga¸c˜ao:elonga¸c˜ao (e): distˆancia angular do planeta ao Sol, vista da Terra.Configura¸c˜oes de um planeta inferior• conjun¸c˜ao inferior: o planeta est´a na mesma dire¸c˜ao do Sol (e = 0) emais pr´oximo da Terra do que o Sol.• conjun¸c˜ao superior: o planeta est´a na mesma dire¸c˜ao do Sol (e = 0),e mais longe da Terra do que o Sol.• m´axima elonga¸c˜ao: a distˆancia angular entre o planeta e o Sol ´em´axima, e vale 28◦ no caso de Merc´urio, e 48◦ no caso de Vˆenus.Na m´axima elonga¸c˜ao ocidental, o planeta est´a a oeste do Sol (nasce ese p˜oe antes do Sol) e, portanto, ´e vis´ıvel ao amanhecer, no lado leste.Na m´axima elonga¸c˜ao oriental, o planeta est´a a leste do Sol (nasce ese p˜oe depois do Sol) e ´e vis´ıvel ao anoitecer, no lado oeste.Configura¸c˜oes de um planeta superior• conjun¸c˜ao: o planeta est´a na mesma dire¸c˜ao do Sol (e = 0), e maislonge da Terra do que o Sol;• oposi¸c˜ao: o planeta est´a na dire¸c˜ao oposta ao Sol (e = 180◦). Oplaneta est´a no c´eu durante toda a noite;• quadratura (e = 90◦): O planeta est´a 6h a leste do Sol (quadraturaoriental) ou a oeste do Sol (quadratura ocidental).9.2.3 Per´ıodo sin´odico e sideral dos planetasPer´ıodo sin´odico (S): ´e o intervalo de tempo decorrido entre duas con-figura¸c˜oes iguais consecutivas. ´E o per´ıodo de revolu¸c˜ao aparente doplaneta, em rela¸c˜ao `a Terra.66
  5. 5. 21B A33B1A1 2B3A2Figura 9.2: Per´ıodo sin´odico e sideral.Per´ıodo sideral (P): ´e o per´ıodo real de transla¸c˜ao do planeta em tornodo Sol, em rela¸c˜ao a uma estrela fixa.Rela¸c˜ao entre os dois per´ıodosConsidere dois planetas, A e B, como na figura 9.2.3. O planeta A move-semais r´apido do que o planeta B, por estar numa ´orbita mais interna. Naposi¸c˜ao (1), o planeta A passa entre os planeta B e o Sol. O planeta Aest´a em conjun¸c˜ao inferior visto de B, e o planeta B est´a em oposi¸c˜ao vistode A. Quando A completou uma revolu¸c˜ao em torno do Sol, e retornou `aposi¸c˜ao (1), o planeta B moveu para a posi¸c˜ao (2). De fato, A n˜ao alcan¸cao planeta B at´e os dois estarem na posi¸c˜ao (3), quando as posi¸c˜oes de Ae B em rela¸c˜ao ao Sol voltam a ser as mesmas que na situa¸c˜ao (1), e ter´adecorrido um per´ıodo sin´odico para A e B. Mas, nesse ponto, o planeta Ater´a ganho uma volta completa (360◦) em rela¸c˜ao a B.Para achar a rela¸c˜ao entre o per´ıodo sin´odico e o per´ıodo sideral, vamoschamar de Pi o per´ıodo sideral do planeta interior, e de Pe o per´ıodo sideraldo planeta exterior. S ´e o per´ıodo sin´odico, que ´e o mesmo para os dois.67
  6. 6. O planeta interior, movendo-se 360◦Pipor dia, viaja mais r´apido do que oplaneta exterior, que se move a 360◦Pepor dia.Ap´os um dia, o planeta interior ter´a ganho um ˆangulo de 360◦Pi− 360◦Peemrela¸c˜ao ao planeta exterior. Por defini¸c˜ao de per´ıodo sin´odico, esse ganho ´eigual a 360◦S , j´a que em S dias esse ganho ser´a igual a 360◦. Ou seja:360◦S=360◦Pi−360◦Peque ´e o mesmo que:1S=1Pi−1Pe9.3 Exemplos de per´ıodos1. Sabendo-se que Marte leva 780 dias para nascer quando o Sol se p˜oeduas vezes seguidas, qual ´e o per´ıodo sideral (orbital) de Marte? Usa-mos a f´ormula1S=1Pi−1Peidentificando que, neste caso, i=Terra e Pi=1 ano, e=Marte e S=780 d/ 365,25 (dias/ano) = 2,14 anos, j´a que o per´ıodo entre duas oposi¸c˜oes´e o per´ıodo sin´odico S.Calculado-se1Pe=1Pi−1Sobt´em-se Pe=1,87 anos = 687 dias.2. Sabendo-se que Vˆenus leva 583,93 dias para aparecer em elonga¸c˜aom´axima a leste duas vezes seguidas (se p˜oe 3 horas depois do Sol),qual seu per´ıodo sideral (orbital)? Usamos a f´ormula1S=1Pi−1Peidentificando que, neste caso, e=Terra e Pe= 365,25 dias, i=Vˆenus eS=583,93 dias, j´a que o per´ıodo entre duas elonga¸c˜oes m´aximas a leste´e o per´ıodo sin´odico S.Calculado-se1Pi=1Pe+1Sobt´em-se Pi= 224,7 dias.68
  7. 7. 9.3.1 Distˆancias dentro do Sistema SolarCop´ernico determinou as distˆancias dentro do sistema solar em termos dadistˆancia Terra-Sol, ou seja, em unidades astronˆomicas (UA).Distˆancias dos planetas inferioresemaxpT SQuando o planeta inferior est´a em m´axima elonga¸c˜ao (eM ), o ˆanguloentre Terra e Sol, na posi¸c˜ao do planeta, ser´a de 90◦. Ent˜ao, nessa situa¸c˜aoSol, Terra e planeta formam um triˆangulo retˆangulo, e a distˆancia do planetaao Sol ser´a:sen eM =distˆancia(planeta−Sol)distˆancia(Terra−Sol)Portanto:distˆancia(planeta−Sol) = sen eM × 1 UANo caso de Merc´urio, cuja ´orbita tem alta excentricidade, a elonga¸c˜aom´axima varia de 23◦ a 28◦, e a distˆancia de 0,39 a 0,46 UA.69
  8. 8. Distˆancias dos planetas superioresE.E’SPP’Observando Marte, Cop´ernico viu que o intervalo de tempo decorridoentre uma oposi¸c˜ao e uma quadratura ´e de 106 dias.Nesse per´ıodo de 106 dias, a Terra percorre uma distˆancia angular de104,5◦, pois se em 365 dias ela percorre 360◦, em 106 dias ela percorre106/365 × 360◦.Como o per´ıodo sideral de Marte ´e de 687 dias, ent˜ao a distˆancia angularpercorrida por Marte nesse mesmo per´ıodo de 106 dias ser´a 55,5◦ (106/687× 360◦).Agora, considerando o triˆangulo formado pelo Sol, Terra e Marte naquadratura (SE’P’ na figura), o ˆangulo entre o Sol e o planeta, visto daTerra, ´e de 90◦, e o ˆangulo entre Terra e Marte, visto do Sol, ´e de 104,5◦ -55,5◦ = 49◦.Ent˜ao, a distˆancia entre Marte e Sol ´e:distˆancia(Sol−Marte) =1 UAcos 49◦= 1, 52 UAA tabela a seguir mostra uma compara¸c˜ao entre os valores das distˆanciasdos planetas ao Sol, em unidades astronˆomicas, determinadas por Cop´ernico,e os valores atuais.70
  9. 9. Planeta Cop´ernico ModernoMerc´urio 0,38 0,387Vˆenus 0,72 0,723Terra 1 1Marte 1,52 1,523J´upiter 5,22 5,202Saturno 9,17 9,554Apesar do grande sucesso de Cop´ernico em determinar as distˆancias dosplanetas ao Sol, e na simplicidade da explica¸c˜ao do movimento observado dosplanetas no seu sistema, as posi¸c˜oes previstas para os planetas nesse sisteman˜ao eram melhores do que as posi¸c˜oes previstas no sistema de Ptolomeu.Uma rela¸c˜ao emp´ırica para a distˆancia m´edia dos planetas em tornodo Sol foi proposta em 1770 por Johann Elert Bode (1747-1826) e JohannDaniel Titius (1729-1796)a =2n × 3 + 410com n = −∞ para Merc´urio, n=0 para Vˆenus, n=1 para a Terra, n=2para Marte, n=3 para o cintur˜ao de aster´oides, n=4 para J´upiter, n=5para Saturno, n=6 para Urano, Netuno n˜ao fita, e n=7 para Plut˜ao. Estarela¸c˜ao indica que deve haver algum tipo de resonˆancia mecˆanica no discoprotoplanet´ario que deu origem ao Sistema Solar.71

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