O documento discute determinantes de matrizes quadradas. Explica que o determinante de uma matriz é obtido por operações com os elementos da matriz e fornece exemplos de como calcular determinantes de primeira, segunda e terceira ordem utilizando regras específicas. Também apresenta propriedades importantes dos determinantes, como que o determinante é nulo se a matriz tiver linhas iguais.

1. Prof. Jorge

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Determinante de uma matriz quadradaDeterminante de uma matriz quadrada
 A toda matriz quadrada A está associado um
número real, chamado determinante de A.
Ele é obtido por meio de certas operações
com os elementos da matriz.
 O determinante de uma matriz A pode ser
indicado por det A ou, ainda, substituído-se
os parênteses ou colchetes da matriz por
barras.
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Exemplo
 O determinante da matriz P abaixo
pode ser indicado
–5 0
–1 4
P =
 Por det P;
–5 0
–1 4

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4. Prof. Jorge
Determinantes de 1ª e 2ª ordemDeterminantes de 1ª e 2ª ordem
 O determinante de uma matriz quadrada de 1ª
ordem (matriz 1 x 1) é igual ao valor de seu único
elemento.
 Exemplo
2 ⇒ det A = 2A =
A = [a11] det A = a⇒ 11
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5. Prof. Jorge
Determinantes de 1ª e 2ª ordemDeterminantes de 1ª e 2ª ordem
 O determinante de uma matriz quadrada de 2ª
ordem (matriz 2 x 2) é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal, menos o produto
dos elementos da diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
= a11 . a22 – a12 . a21
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6. Prof. Jorge
Exemplos
 Calcule o determinante das matrizes M e N abaixo.
2 3
5 1
M =
–5 0
–1 4
N =
2 3
5 1
 Det M = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13
–5 0
–1 4
 Det N = = (–5).4 – 0.(–1) = –20
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Exemplos
 Resolver a equação
x 2
x x + 1
= 2.
x 2
x x + 1
= x.(x + 1) – 2.x = x2
+ x – 2x = x2
– x
x2
– x = 2 ⇒ x2
– x – 2 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 2
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8. Prof. Jorge
Determinantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem
 Para calcular determinantes de 3ª ordem, usamos
um dispositivo chamado Regra de Sarrus. Veja os
passos a serem seguidos, em que tomamos um
determinante de uma matriz genérica A.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A =
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Determinantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
A =
1o
passo: Copiamos ao lado da matriz A as suas
duas primeiras colunas
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10. Prof. Jorge
Determinantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem
2o
passo: Multiplicamos os elementos da diagonal
principal de A. Seguindo a direção da diagonal
principal, multiplicamos, separadamente, os
elementos das outras “diagonais”.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
Det A =
A =
a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
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11. Prof. Jorge
Determinantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem
3o
passo: Multiplicamos os elementos da diagonal
secundária de A, trocando o sinal do produto obtido.
Seguindo a direção da diagonal secundária,
multiplicamos, separadamente, os elementos das
outras “diagonais”, também trocando o sinal dos
produtos.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
Det A =
A =
a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a31.a22.a13 – a32.a23.a11
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12. Prof. Jorge
Determinantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
Det A =
A =
a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12
4o
passo: Somamos todos os resultados obtidos.
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13. Prof. Jorge
1 –3 2
4 2 0
–2 1 3
Exemplos
 Calcule o determinante da matriz A abaixo.
A =
1 –3 2
4 2 0
–2 1 3
1 –3
4 2
–2 1
1.2.3 + (–3).0.(–2) + 2.4.1 = 6 + 0 + 8 = 14
–[2.2.(–2)] –[1.0.1] –[(–3).4.3] = 8 – 0 + 36 = 44
Det A = 14 + 44 = 58
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14. Prof. Jorge
x 2 3
–1 x 4
–3 0 1
Exemplos
 Encontrar os valores de x que anulam o
determinante
x 2 3
–1 x 4
–3 0 1
x 2
–1 x
–3 0
x.x.1 + 2.4.(–3) + 3.(–1).0 = x2
– 24
–[3.x.(–3)] –[x.4.0] –[2.(–1).1] = 9x + 2
Det A = x2
+ 9x – 22 ⇒ x2
+ 9x – 22 = 0 ⇒
x = –11
ou
x = 2
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15. Prof. Jorge
Propriedades
dos
Determinantes
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16. Prof. Jorge
Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes
P1. O determinante de uma matriz vale zero se ele
tem:
 Uma linha (ou coluna) nula.
–1 2 3
0 0 0
5 1 3
= 0
 Duas linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais.
1 5 1
2 –4 2
3 0 3
= 0
0 1 3
2 2 6
–3 4 12
= 0
2º
coluna x 3
1º
coluna =3o
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17. Prof. Jorge
Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes
P2. se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou
colunas) de um determinante, ele troca de sinal.
2 –1 3
1 0 4
3 –2 1
= –1
3 –1 2
4 0 1
1 –2 3
= 1
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18. Prof. Jorge
2.3 –5
1.3 4
2 –5
1 4
Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes
P3. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de um
determinante por uma constante k, ele fica
multiplicado por k.
= 13
6 –5
3 4
= = 39
13. 3 = 39
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19. Prof. Jorge
Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes
P4. O determinante de uma matriz é igual ao
determinante de sua transposta.
Det At
⇔ det A
 Exemplo
3 1
–4 2
A =
3 –4
1 2
⇒ At
=
Det A = 10 Det At
= 10
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20. Prof. Jorge
2 0 0
3 –1 0
2 0 3
Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes
P5. Se forem nulos todos os elementos situados de
um mesmo lado da diagonal principal, o
determinante será igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
 Exemplo
A = Det A = 2.(–1).3 = –6
 A matriz A é triangular.
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21. Prof. Jorge
Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes
P6. O determinante do produto de duas matrizes é o
produto de seus determinantes (teorema de
Binet).
det (AB) = det A . det B
 Exemplo
3 1
4 2
A =
2 –3
4 1
B =
10 –8
16 –10
AB =
Det A = 2 Det B = 14 Det AB = 28
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22. Prof. Jorge
1 + (–2).2 2
3 + (–2).5 5
Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes
P7. Um determinante não se altera se substituirmos
uma de suas filas por ela própria somada com
uma outra paralela multiplicada por uma
constante (Teorema de Jacobi).
 Exemplo
1 2
3 5
= 1.5 – 2.3 = 5 – 6 = –1
=
–3 2
–7 5
= –15 – (–14) = –1
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